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专题02 平行四边形的判定
考点类型
知识一遍过
（一）平行四边形的判定
平行四边形的判定： 几何表达式举例： (1) ∵AB∥CD AD∥BC ∴四边形ABCD是平行四边形 (2) ∵AB=CD AD=BC ∴四边形ABCD是平行四边形 (3)∵∠A=∠B ∠C=∠D ∴四边形ABCD是平行四边形 （4）∵AB=CD AB∥CD ∴四边形ABCD是平行四边形 （5）∵OA=OC OB=OD ∴四边形ABCD是平行四边形
（二）三角形中位线性质
三角形中位线定理：
三角形的中位线平行第三边，并且等于它的一半.
如图：DE=BC
考点一遍过
考点1：平行四边形的判定——两组对边平行
典例1：（2023下·八年级课时练习）已知：如图，直线，A，B是直线a上任意两点，，垂足分别为C，D．
求证：．
【答案】见解析
【分析】先证四边形ABCD是平行四边形，再利用平行四边形的两组对边相等性质即可得证；
【详解】证明：∵，
∴．
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形（平行四边形的定义）．
∴（平行四边形的对边相等）．
【点睛】本题考查的是平行线间的距离，熟知平行线间的距离处处相等对于今后的解题由很大的帮助．
【变式1】（2023·广西柳州·统考中考真题）平行四边形的其中一个判定定理是：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．请你证明这个判定定理．
已知：如图，在四边形中，，．
求证：四边形是平行四边形．
证明：
【答案】详见解析
【分析】连接AC，由SSS证明△ABC≌△CDA得出∠BAC=∠DCA，∠ACB=∠CAD，证出AB∥CD，BC∥AD，即可得出结论．
【详解】证明：连接，如图所示：
在和中，，
∴≌（），
∴，，
∴，，
∴四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的判定；熟练掌握平行四边形的判定定理，证明三角形全等是解题的关键．
【变式2】（2023·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，点D，E分别为AB，AC的中点，延长DE到点F，使得EF=DE，连接CF．求证：
(1)△CEF≌△AED；
(2)四边形DBCF是平行四边形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【详解】证明 （1）∵点D，E分别为AB，AC的中点，
∴AE=CE．
在△CEF与△AED中，
∴△CEF≌△AED（AAS）．
（2）由（1）证得△CEF≌△AED，
∴∠A=∠FCE，∴BD∥CF．
∵D，E分别为AB，AC的中点，
∴DF∥BC，
∴四边形DBCF是平行四边形．
【变式3】（2023下·陕西渭南·八年级统考期末）如图，在中，点是延长线上的一点，连接，，交于点．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)104度
【分析】（1）平行四边形的性质，得到，，进而得到，推出，得到，即可得证；
（2）邻补角求出，平行四边形的性质，得到，结合，求出，进而得到的度数，再利用外角的性质，求解即可．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴四边形是平行四边形．
（2）∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质定理和判定定理．
考点2：平行四边形的判定——两组对边相等
典例2：（2023下·八年级课时练习）如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，有多少个平行四边形？为什么？
【答案】6个，两组对边分别相等的四边形是平行四边形
【分析】根据平行四边形的判定定理求解即可．
【详解】解：如图所示，
∵六个三角形是全等的正三角形，
∴OA=EF，AF=OE，
∵两组对边分别相等，
∴四边形AOEF为平行四边形；
同理可证，四边形ABOF，四边形ABCO，四边形BCDO，四边形CDEO，四边形DEFO均为平行四边形，
∴共有6个平行四边形，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查平行四边形的判定，理解并熟练运用平行四边形的判定方法是解题关键．
【变式1】（2024下·八年级课时练习）如图，已知都是等边三角形，点不在同一条直线上．你能证明四边形是平行四边形吗？
【答案】见解析
【详解】证明：都是等边三角形，．，即．．．又∵在等边三角形中，，，同理可得．∴四边形是平行四边形．
易错点分析:此题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质，熟练掌握特殊四边形的判定方法和性质是解答此题的关键．根据全等三角形的对应边相等以及等边三角形的性质，即可得到，由此，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”即可证明．
【变式2】（2023下·八年级课时练习）如图，以平行四边形的边为边，作等边和等边，连接．求证：四边形是平行四边形．
【答案】证明见解析
【分析】首先根据平行四边形的性质得到，然后由等边三角形的性质得到，然后证明出，得到，即可证明出四边形是平行四边形．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵和是等边三角形，
∴，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质和判定，等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
【变式3】（2023下·八年级课时练习）如图，以三角形的三边分别作等边，，，求证四边形是平行四边形．
【答案】见解析
【分析】证△BDE≌△BCA（SAS），得出DE=AC，证出DE=AF，同理DA=EF，即可得出结论．
【详解】证明：∵△BCE和△ABD是等边三角形，
∴BE=BC，BD=BA=AD，
又∵∠DBE=60°-∠ABE，∠ABC=60°-∠ABE，
∴∠DBE=∠ABC，
在△BDE和△BAC中，
，
∴△BDE≌△BCA（SAS），
∴DE=AC，
∵△CAF是等边三角形，
∴EF=AC=AF，
∴DE=AF，
同理：DA=EF，
∴四边形ADEF是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定，证明△BDE≌△BCA是解题的关键．
考点3：平行四边形的判定——一组对边平行且相等
典例3：（2023下·辽宁大连·八年级期末）如图，点D，C在上，，，．
(1)求证；
(2)连接，，猜想四边形的形状，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)四边形为平行四边形，理由见解析
【分析】（1）利用证明，再根据全等三角形的性质可得；
（2）首先根据全等三角形的性质可得，再根据内错角相等两直线平行可得到，又，可证出四边形为平行四边形．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
即，
在与中，
∴，
∴；
（2）猜想：四边形为平行四边形，
理由如下：由（1）知，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，解决问题的关键是证明．
【变式1】（2022下·广东深圳·八年级统考期末）已知：如图，在四边形中，，垂足分别为E，F，延长，分别交于点H，交于点G，若，．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)5
【分析】（1）证明，可得，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可解决问题；
（2）根据平行四边形的性质证明，然后根据勾股定理可得，进而可以解决问题．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形；
（2）解：∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴
∴，
在中，
∵，
∴，
∴，
∴．
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到．
【变式2】（2023下·河南驻马店·八年级统考期末）如图，平行四边形的对角线与相交于点，点为的中点，过点作交的延长线于点，连接．求证：四边形是平行四边形．
【答案】见解析
【分析】根据平行四边形的性质，，根据，得，根据全等三角形的判定，得，，根据平行四边形的判定，即可．
【详解】证明，如下：
∵平行四边形的对角线与相交于点，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查平行四边形的知识，解题的关键是掌握平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质．
【变式3】（2023下·浙江·八年级专题练习）如图，已知，，点A、E、F、C在同一直线上且．求证：四边形是平行四边形．
【答案】证明见解析
【分析】由平行线的性质可得，，证明，则，进而结论得证．
【详解】证明：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
考点4：平行四边形的判定——对角线互相平分
典例4：（2022下·八年级课时练习）已知：如图，是的一条对角线．延长至F，反向延长至E，使．求证：四边形是平行四边形．
【答案】见解析
【分析】连接，与交于点G，根据得到，根据，得到，从而得到，问题得证．
【详解】证明：如图，连接，与交于点G，
因为，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握对角线互相平分的四边形是平行四边形是解题的关键．
【变式1】（2022下·八年级课时练习）已知：如图，在中，E，F是对角线上的两个点，G，H是对角线上的两点，，．求证：四边形是平行四边形．
【答案】见解析
【分析】利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可．
【详解】证明：因为，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，结合条件活用对角线互相平分的四边形是平行四边形是解题的关键．
【变式2】（2023下·八年级课时练习）如图，在四边形中，，相交于点O，且．求证：四边形是平行四边形．
【答案】见解析
【分析】根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形进行”判断即可．
【详解】证明：∵，，
∴．
∴．
∴．
同理．
∴四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了用平行四边形的定义来判定平行四边形的方法，掌握平行四边形的定义是解题的关键．
【变式3】（2023·九年级课时练习）如图，在中，，为边上一点，连接，为中点，连接并延长至点，使得，连接交于点，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）由对角线互相平分的四边形是平行四边形可得结论；
（2）由平行四边形的性质可得CF∥AB，DF∥BC，可得∠FCG=∠A=30°，∠CGF=∠CGD=∠ACB=90°，由直角三角形的性质可得FG，CG，GD的长，由勾股定理可求CD的长．
【详解】（1）∵点E为CD中点，
∴CE=DE．
∵EF=BE，
∴四边形DBCF是平行四边形．
（2）∵四边形DBCF是平行四边形，
∴CF∥AB，DF∥BC．
∴∠FCG=∠A=30°，∠CGF=∠CGD=∠ACB=90°．
在Rt△FCG中，CF=6，
∴FG＝CF＝3，CG＝．
∵DF=BC=4，
∴DG=
在Rt△DCG中，
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，利用直角三角形的性质求线段CG的长度是本题的关键．
考点5：平行四边形的性质与判定综合
典例5：（2022下·九年级单元测试）如图，四边形中，，为高，且，，．
(1)求的长；
(2)求证∶ ．
【答案】(1)25
(2)见解析
【分析】（1）首先过点作交的延长线于，易证得四边形是平行四边形，然后由勾股定理求得与的长，即可求得的长；
（2）由，，，利用勾股定理的逆定理即可证得，继而可得．
【详解】（1）解：过点作交的延长线于，
，
四边形是平行四边形，
，，
为高，，，．
在中，，
在中，，
；
（2）证明：，，，
，
，
，
，
．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质以及勾股定理的逆定理等知识．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的作法．
【变式1】（2023上·辽宁葫芦岛·八年级校考期末）如图，在中，的平分线分别与线段交于点F，E，与交于点G．
(1)求证：．
(2)若，求的长度．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先根据平行线的性质得到，再由角平分线的定义证明，得到，即可证明；再根据平行线的性质和角平分线的定义证明，得到，同理可得，则；
（2）过点C作交于K，交于点I，证明四边形是平行四边形，，得到，再证明，得到，则，同理证明，得到，求出，则．
【详解】（1）证明：在平行四边形中，，
∴．
∵分别是的平分线，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
同理可得，
∴；
（2）解：过点C作交于K，交于点I，
∵，
∴四边形是平行四边形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵D，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，角平分线的定义等等，正确作出辅助线是解题的关键．
【变式2】（2023下·广东广州·八年级统考期末）如图，在平行四边形中，点E是边的中点，连接并延长交的延长线于点F，连接．
(1)求证：；
(2)求证：四边形是平行四边形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，根据平行线的性质可得，利用即可证明；
（2）根据全等三角形的性质可得，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得结论．
【详解】（1）证明：∵在平行四边形中，，
∴，
∵点E是边的中点，
∴，
在和中
,
∴．
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，全等三角形的性质与判定，平行四边形的对边互相平行；有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；熟练掌握相关性质与判定定理是解题关键．
【变式3】（2022上·八年级单元测试）已知：如图，在中，对角线交于点O，，．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)不添加辅助线，图中还有哪些平行四边形？并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)平行四边形、平行四边形，理由见解析
【分析】（1）证明，可得，，可得，，从而可得结论；
（2）证明，．，可得．结合．可得四边形是平行四边形．证明．结合，可得四边形是平行四边形．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴．
∵，，
∴，，
∴四边形是平行四边形．
（2）图中还有平行四边形、平行四边形．
理由如下：
∵四边形是平行四边形，
∴，．
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴．
又∵．
∴四边形是平行四边形．
又∵，，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，熟记平行四边形的判定与性质是解本题的关键.
考点6：三角形中位线——求角
典例6：（2023下·山东济南·八年级统考期末）如图，在四边形中，是对角线的中点，点，分别是，的中点，，．则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据三角形中位线定理得到PF=BC，PFBC，EP=AD，EPAD，即有EP=FP,根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．
【详解】解：∵P是BD的中点，F是DC的中点．
∴PF是△DBC的中位线．
∴PF=BC，PFBC．
同理可得，EP=AD，EPAD．
∴EP=FP．
∵∠EPF=140°．
∴∠PFE=×（180°-140°）=20°．
故选：D．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
【变式1】（2023下·江苏苏州·八年级统考期末）如图，在中，已知，分别为边，的中点，连结，若，则等于（ ）
A．70 B．67. 5 C．65 D．60
【答案】A
【分析】由题意可知DE是三角形的中位线，所以DE∥BC，由平行线的性质即可求出的度数．
【详解】∵D，E分别为AB，AC的中点，
∴DE是三角形的中位线，
∴DE∥BC，
∴∠AED=∠C=70°，
故选A
【点睛】此题考查平行线的性质，三角形中位线定理，难度不大
【变式2】（2023·山东济南·校联考一模）如图1，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，将△ADE沿线段DE向下折叠，得到图下列关于图2的四个结论中，不一定成立的是（ ）
A．点A落在BC边的中点 B．∠B+∠1+∠C=180°
C．△DBA是等腰三角形 D．DE∥BC
【答案】A
【分析】根据折叠的性质明确对应关系，易得∠A=∠1，DE是△ABC的中位线，所以易得B、D答案正确，D是AB中点，所以DB=DA，故C正确．
【详解】根据题意可知DE是三角形ABC的中位线，所以DE∥BC；∠B+∠1+∠C=180°；∵BD=AD，∴△DBA是等腰三角形．故只有A错，BA≠CA．故选A．
【点睛】主要考查了三角形的内角和外角之间的关系以及等腰三角形的性质．还涉及到翻折变换以及中位线定理的运用．
（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和．
（2）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件．通过折叠变换考查正多边形的有关知识，及学生的逻辑思维能力．解答此类题最好动手操作．
【变式3】（2023上·浙江金华·九年级校联考开学考试）如图，是锐角三角形，是的中点，分别以，为边向外侧作等腰三角形和等腰三角形．点，分别是底边，的中点，连接，，若（是锐角），则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接，与交于点，连接，与交于点，与相交于点，根据等腰三角形的性质可得，根据全等三角形的判定和性质可得，推得，，根据三角形内角和可求得，根据中位线的判定和性质可得，，根据平行四边形的判定和性质可得，即可求得．
【详解】解：连接，与交于点，连接，与交于点，与相交于点，如图：
∵，，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，,
∴，
即，
整理得：；
∵是的中点，点是底边的中点，
∴是三角形的中位线，即，
∵是的中点，点是底边的中点，
∴是三角形的中位线，即，
∴四边形为平行四边形，
∴，
又∵，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和，中位线的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握以上判定和性质是解题的关键．
考点7：三角形中位线——求线段
典例7：（2024上·江西吉安·九年级统考期末）如图，中，D、E分别是、的中点，平分，交于点F，若，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的中位线定理，平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，熟练掌握相关图形的性质与判定是解决本题的关键.
根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得，根据两直线平行，内错角相等可得，再根据角平分线的定义可得，从而得到，根据等角对等边可得，然后根据线段中点的定义解答即可.
【详解】 D、E分别是、的中点，
是的中位线，
，
，
平分，
，
，
，
D是的中点，
，
．
故选：B
【变式1】（2023·浙江宁波·校联考模拟预测）如图，在中，，，，分别是边的中点，于点．连接，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，三角形中位线定理，先根据等边对等角得到，再由勾股定理得到，由线段中点的定义和三角形中位线定理得到，，，再由得到，，由此求出，即可利用勾股定理求出的长，证明是的中位线是解题的关键．
【详解】解：∵在中，，，
∴，
∵，
∴，
∵分别是边的中点，
∴是的中位线，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
故选：．
【变式2】（2023上·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考期末）如图，在中，分别平分和，过点A作于点D，作于点G，若，，，则的长为（）
A． B．5 C．6 D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了三角形中位线定理以及等腰三角形的判定与性质，关键是掌握三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．问题的难点在于过关键点作辅助线构造．
延长，交的延长线于点，延长，交的延长线于点，依据等腰三角形的判定与性质，即可得到的长；再根据三角形中位线定理，即可得到的长等于的长的一半．
【详解】如图所示，延长，交的延长线于点，延长，交的延长线于点，
∵、分别平分和，
∴，，
又∵，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴ ，
∵平分，
∴点是的中点，
同理可得，点是的中点，
∴是的中位线，
∴，
故选：B．
【变式3】（2023下·湖北武汉·八年级湖北省水果湖第二中学校考期中）如图，在凸四边形中，，M，N分别为中点，则线段的值不可能是（ ）
A．1 B．4 C．8 D．12
【答案】A
【分析】本题主要考查了三角形中位线定理及三边关系，作出辅助线，利用三角形中位线及三边关系可得的取值范围，即可解答．
【详解】解：连接，取中点G，连接，
∵M是边的中点，
∴是的中位线，，
，
∵N是的中点，
∴是的中位线，，
，
在中，由三角形三边关系可知，即，
∴，
当时，即，
故线段长的取值范围是，
线段的值不可能是
故选：A．
考点8：三角形中位线——证明题
典例8：（2022下·广东广州·九年级校考阶段练习）如图，点D、F分别为的中点，，，求证：．
【答案】见解析
【分析】先根据三角形中位线定理可得，再根据平行线的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质即可得证．
【详解】证明：∵点分别为的中点，
是的中位线，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理、平行线的性质、三角形全等的判定定理与性质，熟练掌握三角形中位线定理是解题关键．
【变式1】（2023上·江苏淮安·九年级统考阶段练习）如图，中，点、分别为、的中点，延长到点，使得，连接．求证：
(1)；
(2)四边形是平行四边形．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】（1）根据中点的定义有，再利用“”可直接证明；
（2）先得出为中位线，进而可得，，即有，问题随之得证．
【详解】（1）∵中，点、分别为、的中点，
∴，
∵，，
∴；
（2）∵中，点、分别为、的中点，
∴为中位线，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了中位线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定等知识，掌握中位线的判定与性质，是解答本题的关键．
【变式2】（2023下·湖南邵阳·八年级统考期中）已知：如图，在四边形中，，为对角线的中点，为的中点，为的中点．求证：．
【答案】证明见解析
【分析】根据三角形中位线定理证得是等腰三角形，然后由等腰三角形的性质证得结论．
【详解】证明：是中点，是中点，
是的中位线，
，
是中点，是中点，
是的中位线，
，
，
，
是等腰三角形，
．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理、等腰三角形的判定与性质．注意：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．
【变式3】（2023下·陕西西安·八年级校考期末）如图，在中，点为边的中点，点为边上一点．过作于点，且平分，过作交于点．
求证：四边形为平行四边形．
【答案】见解析
【分析】根据已知证明，则，又点为边的中点，可得是的中位线，则，根据已知，即可得证．
【详解】证明：∵平分，
∴
∵
∴，
又
∴
∴
∵点为边的中点，
∴是的中位线，
∴，即
又∵
∴四边形为平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，三角形中位线的性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
考点9：三角形中位线——辅助线
典例9：（2024上·山东淄博·八年级统考期末）如图，的中线，相交于点G，求证：，．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了中位线的判定与性质，中线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，延长到D，使，连接，先证明是的中位线，即有，，再证明即可作答．
【详解】证明：延长到D，使，连接，
∵的中线，相交于点G，
∴，，
∵，，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
在和中， ，
∴，
∴，，
又∵，，
∴，．
【变式1】（2023下·全国·八年级假期作业）如图，AO是的角平分线，，交AO的延长线于点D，E是BC的中点．求证：．
【答案】见解析
【详解】证明：如图，延长AC，BD，两者相交于点．
是的角平分线，．
，．
又，，
，．
又是BC的中点，是的中位线，
．
【变式2】（2023上·福建莆田·九年级校考期中）如图1，在等边中，点D、E分别是上的点，与交于点O．
(1)填空： 度；
(2)如图2，将绕点A旋转得，连接，求证：；
(3)如图3，若点G是的中点，连接，判断与有什么数量关系？并说明理由．
【答案】(1)120
(2)见解析
(3)，见解析
【分析】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质“三边相等，三个角都是”，全等三角形的判定和性质，全等三角形常见判定方法“”添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．
（1）由“”可证，可得，由外角的性质可求解；
（2）由“”可证，可得；
（3）由三角形中位线定理可得，由“”可证，可得．
【详解】（1）解：是等边三角形，
在和中，
，
，
，
；
故答案为：120；
（2）证明：将绕点A旋转得，连接，
是等边三角形，
，
，
；
（3）解：，理由如下：
如图，延长至H，使，连接，
∵点G是的中点，
，
又，
，
∵是等边三角形，
，
，
，
，
，
又，
，
，
．
【变式3】（2023下·福建福州·八年级统考期中）如图1，在四边形中，E，F，G，H是各边中点，连接．可得到以下结论：
结论1：四边形是平行四边形：
结论2：四边形的面积是四边形的一半：
(1)试证明结论
(2)探究与应用：（提示：以下问题可以直接使用上述结论）
①如图2，在四边形中，E，G分别为边的中点，连接．已知，．求出线段的取值范围．
②如图3，在四边形中，点E，F，G，H分别是的中点，连接交于点O．若，，，试求出四边形的面积．
【答案】(1)详见解析
(2)①；②
【分析】（1）连接，利用三角形的中位线定理，即可得证；
（2）①连接，取的中点P，连接，，得到，，根据三角形的三边关系，得到，即可；②连接，易得是平行四边形，过点H作交延长线于点M，过点F作于点N，得到四边形是平行四边形，根据含30度角的直角三角形的性质，求出，进而得到，利用结论2即可得解．
【详解】（1）证明：连接，
∵E，F，G，H是各边中点
∴，，，，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）①连接，取的中点P，连接，，
∵E，G，P分别为边的中点
∴，，
∵，，
∴，
根据三角形三边关系可知：
∴；
②连接，
由结论1可知是平行四边形，
∴，
过点H作交延长线于点M，过点F作于点N
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
由结论2可知：．
【点睛】本题考查三角形的中位线定理，含30度的直角三角形，勾股定理．解题的关键是构造三角形的中位线．
同步一遍过
一、单选题
1．（2022下·湖南湘西·八年级统考期末）顺次连结任意四边形各边中点所得的四边形必定是（ ）
A．任意四边形 B．平行四边形 C．菱形 D．矩形
【答案】B
【分析】利用中位线定理和平行四边形的判定，可推出四边形为平行四边形．
【详解】解：如图，连结AC，BD，由题意可得：分别为的中位线，
∴GF=BD且，EH=BD且，
∴EH=FG，，
∴四边形EFGH是平行四边形．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和三角形的中位线定理，本题主要应用了三角形中位线定理得到了判定平行四边形的条件．
2．（2023下·广东广州·八年级广州市培正中学校考期中）如图，D、E、F是△ABC各边的中点，连接DE、EF、FD，可组成（ ）个平行四边形．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据三角形中位线的性质得到、、、，再根据平行四边形的判定条件，即可求解．
【详解】解：已知点D、F、E分别是△ABC的边AB、CA的中点，
∴且，且
∴四边形、四边形和四边形为平行四边形，
故选：C．
【点睛】此题考查了三角形中位线的性质以及平行四边形的判定，熟练掌握中位线的性质以及平行四边形的判定是解题的关键．
3．（2022下·江苏泰州·八年级校考阶段练习）如图，中，直线，并且与、的延长线分别交于E、F，交AD于M，交AB于N．下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由平行四边形的性质与判定和全等三角形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【详解】解：A．∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ADBC，ABCD，AD＝BC，
又∵EFBD，
∴四边形BDMF和四边形BDEN是平行四边形，
∴NE＝BD，FM＝BD，
∴EN＝FM，故选项A不符合题意；
B．当CD＝CB时，CE＝CF，故选项B不正确，符合题意；
C．∵四边形BDMF是平行四边形，
∴DM＝BF，
∵AM+DM＝AD，
∴AM+BF＝AD，
∴AM+BF＝BC，故选项C不符合题意；
D．∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC，ADBC，
∴∠NBF＝∠EDM，∠F＝∠DME，
又∵BF＝DM，
∴△BFN≌△DME（ASA），
故选项D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查平行四边形的判断和性质、全等三角形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
4．（2022下·八年级单元测试）如图，点P是平行四边形ABCD内一点，已知S△PAB＝7，S△PAD＝4，那么S△PAC等于（ ）
A．4 B．3.5 C．3 D．无法确定
【答案】C
【分析】根据平行四边形的对边相等，可得AB＝DC，再假设点P到AB的距离为h1,假设点P到DC的距离为h2，将平行四边形的面积进行分割组合，即可求解．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC．
假设点P到AB的距离为h1，假设点P到DC的距离为h2，
∴S△PAB＝AB·h1，S△PDC＝DC·h2，
∴S△PAB＋S△PDC＝( AB·h1＋DC·h2) ＝ DC·(h1＋h2)，
∵h1＋h2正好是AB到DC的距离，
∴S△PAB＋ S△PDC＝S平行四边形ABCD＝S△ABC＝S△ADC
即S△ADC＝S△PAB＋ S△PDC＝7＋S△PDC
而S△PAC＝S△ADC－S△PDC－S△PAD
∴S△PAC＝7－4＝3．
故选：C
【点睛】本题考查平行四边形的性质：平行四边形的对边平行且相等，解题时要注意将四边形的面积有机的分割组合．
5．（2022上·北京海淀·八年级校考期末）如图，、是四边形两边，的中点，，是两条对角线，的中点，若，且，则以下说法不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据三角形中位线定理判断即可．
【详解】解： 、是，的中点，、是，的中点，
，，
，．
故选D
【点睛】本题考查了三角形中位线定理，掌握三角形中位线定理是解题的关键．
6．（2022上·八年级单元测试）若以A(-0.5，0)，B(2，0)，C(0，1)三点为顶点要画平行四边形，则第四个顶点不可能在( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】令点A为（-0.5，0），点B（2，0），点C（0，1），①以BC为对角线作平行四边形，②以AC为对角线作平行四边形，③以AB为对角线作平行四边形，从而得出点D的三个可能的位置，由此可判断出答案．
【详解】解：根据题意画出图形，如图所示：
分三种情况考虑：①以CB为对角线作平行四边形ABD1C，此时第四个顶点D1落在第一象限；
②以AC为对角线作平行四边形ABCD2，此时第四个顶点D2落在第二象限；
③以AB为对角线作平行四边形ACBD3，此时第四个顶点D3落在第四象限，
则第四个顶点不可能落在第三象限．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质及坐标的性质，利用了数形结合的数学思想，学生做题时注意应以每条边为对角线分别作平行四边形，不要遗漏．
7．（2023下·江苏无锡·七年级校联考期中）如图，△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，点E是AB的中点，BD=2CD，则△BDE的面积是 （ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】C
【分析】过点E作交BC于根据三角形中位线定理得到EH，根据题意求出BD，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】过点E作交BC于
∠C=90°，AC=8，点E是AB的中点，
BC=6， BD=2CD，
则△BDE的面积
故选C.
【点睛】考查中位线定理以及三角形的面积公式，作出辅助线是解题的关键.
8．（2023下·四川阿坝·八年级统考期末）如图，小明为了测量学校里一池塘的宽度，选取可以直达，两点的点处，再分别取，的中点，，量得，则池塘的宽度为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意知MN是△ABO的中位线，所以由三角形中位线定理来求AB的长度即可．
【详解】解：∵点M、N是OA、OB的中点，
∴MN是△ABO的中位线，
∴AB=AMN．
又∵MN=20m，
∴AB=40m．
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半是解题的关键．
9．（2023上·湖北十堰·八年级校联考期中）如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出以下四个结论：
①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S四边形AEPF=S△ABC；④EF=AP．上述结论始终正确的有（ ）
②③
A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【分析】根据等腰直角三角形的性质得：AP⊥BC，AP=BC，AP平分∠BAC．所以可证∠C=∠EAP；∠FPC=∠EPA；AP=PC．即证得△APE与△CPF全等．根据全等三角形性质判断结论是否正确．
【详解】∵∠APE、∠CPF都是∠APF的余角，
∴∠APE=∠CPF，
∵AB=AC，∠BAC=90°，P是BC中点，
∴AP=CP，
∴∠PAE=∠PCF，
在△APE与△CPF中，
，
∴△APE≌△CPF（ASA），
同理可证△APF≌△BPE，
∴AE=CF，△EPF是等腰直角三角形，S四边形AEPF=S△ABC，①②③正确；
而AP=BC，当EF不是△ABC的中位线时，则EF不等于BC的一半，EF≠AP，
∴故④不成立．
故始终正确的是①②③．
故选B.
【点睛】此题考查等腰直角三角形的判定及性质的运用，三角形的中位线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
10．（2023下·江西赣州·八年级统考阶段练习）在四边形ABCD中，AD∥BC，要使四边形ABCD是平行四边形，可添加的条件不正确的是（ ）
A．AB∥CD B．∠B＝∠D C．AD＝BC D．AB＝CD
【答案】D
【分析】根据平行四边形的判定解答即可．
【详解】∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故A正确；
∵AD∥BC，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故C正确；
∵AD∥BC，
∴∠D+∠C=180°，
∵∠B=∠D，
∴∠B+C=180°，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故B正确；
故选：D．
【点睛】此题考查平行四边形的判定，解题关键是根据平行四边形的判定解答．
二、填空题
11．（2023上·福建泉州·九年级阶段练习）如图，点D，E分别是的BC，AC边的中点，若，则DE的长等于 ．
【答案】3
【分析】点D，E分别是的BC，AC边的中点，则DE是△ABC的中位线，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半解答即可．
【详解】解：∵点D，E分别是△ABC的BC，AC边的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DEAB6＝3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理是解题的关键．
12．（2023下·广西南宁·八年级统考期末）在水塘江乐水公园里，A，B两地被一块湿地隔开不能直接测量，技术员通过下列的方法测量了A，B之间的距离：先在外选一点C，然后测出，的中点M，N，并测量出的长为，则A、B间的距离为 m．
【答案】400
【分析】利用三角形中位线的性质定理解答即可．
【详解】解：∵M，N是，的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
故答案为：400．
【点睛】此题考查了三角形中位线的性质定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半，熟练掌握三角形的中位线性质定理是解题的关键．
13．（2023上·黑龙江大庆·八年级统考期末）在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，若BC=4，则DE= ．
【答案】
【分析】根据三角形的中位线的性质，三角形的中位线等于第三边的一半，可直接求解.
【详解】∵点D、E分别为△ABC的边AB、AC的中点，BC=4，
∴DE=BC=×4=2，
故答案为：2.
【点睛】此题主要考查了三角形的中位线的性质，比较简单，确定三角形的中位线是解题关键.
14．（2022下·江西九江·八年级统考期末）的两直角边，的长分别是5，12，以三边的中点为顶点的三角形记为．以三边的中点为顶点的三角形记为．以此类推，则的周长为 ．
【答案】
【分析】先求出，得到，再由即可求解；
【详解】解：
∴的周长为
根据题意可知，
∴
故答案为：．
【点睛】本题主要考查勾股定理、中位线的性质，找到周长的变化规律是解题的关键．
15．（2023下·湖南邵阳·八年级统考期中）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，E，F，G，H分别是AB，AC，CD，BD的中点．若AD＝5，BD＝4，CD＝3，则四边形EFGH的周长是 ．
【答案】10
【分析】根据勾股定理求出BC，根据三角形中位线定理解答即可．
【详解】解：在Rt△BDC中，BD＝4，CD＝3，
∴BC＝，
∵F，G分别是AC，CD的中点，
∴FG是△ACD的中位线，
∴FG＝AD＝2.5，
同理，EF＝BC＝2.5，EH＝AD＝2.5，HG＝BC＝2.5，
∴四边形EFGH的周长＝FG＋EF＋EH＋HG＝10，
故答案为：10．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
16．（2022上·上海青浦·八年级校考期末）如图，已知中，，，，以边的中点为旋转中心按顺时针方向旋转，将A、B、C的对应点记为、、，当时，点B与点的距离为 ．
【答案】或/或
【分析】由勾股定理可得，由旋转可知，，，分点在右侧和左侧两种情况，可知，根据三角形中位线逆定理可知为的中位线，求出，，的长度即可求得点B与点的距离．
【详解】∵，，，
∴
如图，当点在右侧时，连接，
由旋转可知，，，
∵
∴
∵为的中点，
∴，为的中位线，
∴，，
∴，
则：；
如图，当点在左侧时，连接，
同理可得：，，，
则：；
综上，点B与点的距离为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查旋转的性质，勾股定理及三角形的中位线相关知识，能够推导出
为的中位线是解决问题的关键．
三、解答题
17．（2023下·安徽滁州·八年级统考期末）如图，在ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，连接DF，EF，BF．
（1）求证：四边形BEFD是平行四边形；
（2）若，，求四边形BEFD的周长
【答案】（1）见解析；（2）16
【分析】（1）利用中位线可证，，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形来证明即可；
（2）由∠AFB＝90°，得DF＝DB＝DA＝AB＝4，再根据菱形的判定定理证得四边形BEFD是菱形，进而求得答案．
【详解】（1）证明：∵D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，
∴DF，EF是△ABC的中位线，
∴，，
∴四边形BEFD是平行四边形；
（2）解：∵D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，，
∴，
又∵，，
∴，
由（1）得：四边形BEFD是平行四边形，
∴四边形BEFD是菱形，
∴，
∴四边形BEFD的周长．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、菱形的判定和性质等，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明四边形的边相等是解题的关键．
18．（2022下·四川自贡·八年级校考期中）如图，D、E分别是的边AB、AC的中点，点O是内部任意一点，连接OB、OC，点G、F分别是OB、OC的中点，顺次连接点D、G、F、E．求证：四边形DGFE是平行四边形．
【答案】见解析
【分析】根据三角形中位线性质，可知且，且，由此可证得且，根据平行四边形的判定：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证得四边形DGFE是平行四边形．
【详解】证明：∵D、E分别是的边AB、AC的中点，点G、F分别是OB、OC的中点，
∴DE是的中位线，GF是的中位线，
∴且，且，
∴且，
∴四边形DGFE是平行四边形．
【点睛】本题主要考查的是平行四边形的判定，此类题中需要注意，遇到中点，首先想到中位线的性质．
19．（2022下·辽宁·八年级统考期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E，点F在直线BD上，且 ，连接AE，CF．
求证：四边形AECF是平行四边形．
【答案】见解析
【分析】根据平行四边形和平行线的性质证明≌得，进而即可证明．
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，．
∴，
∴．
∵，
∴，
在与中，
，
∴≌(AAS)，
∴，
∵，
∴四边形AECF是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是掌握以上图形的判定和性质．
20．（2023·湖北襄阳·统考一模）如图，在ABC中，AB＝AC，E是AC的中点，D是BA延长线上的一点．
(1)实践与操作：利用尺规作∠DAC的平分线AM，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)猜想与证明：请你连接BE并延长交AM于点F，连接CF，猜想四边形ABCF的形状并证明．
【答案】(1)见解析
(2)平行四边形，理由见解析
【分析】（1 ）直接利用角平分线的作法进而得出符合题意的图形；
（ 2）利用全等三角形的判定与性质以及平行四边形的判定方法分析得出答案．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）四边形ABCF是平行四边形．
理由如下：
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB．
∴∠DAC＝∠ABC+∠ACB＝2∠ACB．
由作图可知∠DAC＝2∠FAC，
∴∠ACB＝∠FAC．
∴AF∥BC．
∵点E是AC的中点，
∴AE＝CE．
在△AEF和△CEB中
，
∴△AEF≌△CEB（ASA），
∴AF＝BC．
又∵AF∥BC，
∴四边形ABCF是平行四边形．
【点睛】此题主要考查了角平分线的基本作图、平行四边形的判定、全等三角形的判定和性质，正确得出△AEF≌△CEB是解题关键．
21．（2023下·陕西榆林·八年级统考期末）如图，在中，AC为对角线，E，F分别为AB，AC的中点，连接EF，若AD＝10，求EF的长．
【答案】
【分析】 根据已知条件可知EF是三角形ABC的中位线，由中位线定理可得EF是BC的一半，又由平行四边形的性质求得BC长，问题即可得解．
【详解】解：∵E，F分别为AB，AC的中点，
∴EF为的中位线，
∴．
∵四边形是平行四边形，AD＝10，
∴BC＝AD＝10，
∴．
【点睛】本题考查平行四边形的综合应用，熟练掌握平行四边形的性质和三角形中位线定理是解题关键．
22．（2023下·山东菏泽·八年级统考期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC交BD于点O，四边形AODE是平行四边形．求证：四边形ABOE是平行四边形．
【答案】见解析
【分析】因为，，四边形是平行四边形，，所以，又，根据平行四边形的判定，可推出四边形是平行四边形．
【详解】解：∵在平行四边形ABCD中，对角线AC交BD于点O，
∴OB＝OD
又∵四边形AODE是平行四边形，
∴AE∥OD，AE＝OD，
∴AE∥OB，AE＝OB，
∴四边形ABOE是平行四边形．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，判定方法有：1、两组对角分别相等的四边形是平行四边形；2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形；3、对角线互相平分的四边形是平行四边形；4、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；5、两组对边分别平行的四边形是平行四边形．牢记判定方法，根据具体的题目选取合理的判定方法是解决此类问题的关键．
23．（2023·江苏镇江·统考一模）如图1，已知点A、B、C、D在一条直线上，BF、CE相交于O，AE＝DF，∠E＝∠F，OB＝OC．
（1）求证：△ACE≌△DBF；
（2）如果把△DBF沿AD折翻折使点F落在点G，如图2,连接BE和CG． 求证：四边形BGCE是平行四边形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【分析】(1)直接利用等腰三角形的性质结合全等三角形的判定与性质得出即可；
(2)利用翻折变换的性质得出∠DBG=∠DBF，再利用平行线的判定方法得出CE∥BG，进而求出四边形BGCE是平行四边形
【详解】（1）如图1，
∵OB＝OC，
∴∠ACE＝∠DBF，
在△ACE和△DBF中，
，
∴△ACE≌△DBF（AAS）；
（2）如图2，
∵∠ACE＝∠DBF，∠DBG＝∠DBF，
∴∠ACE＝∠DBG，
∴CE∥BG，
∵CE＝BF，BG＝BF，
∴CE＝BG，
∴四边形BGCE是平行四边形．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质和翻折变换(折叠问题)，综合利用判定的性质是解题关键
24．（2023·山东枣庄·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BA延长线上的一点，点E是AC的中点.
(1)实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母(保留作图痕迹，不写作法).
①作∠DAC的平分线AM；
②连接BE并延长交AM于点F；
③连接FC．
(2)猜想与证明：猜想四边形ABCF的形状，并说明理由.
【答案】（1）详见解析；（2）四边形ABCF是平行四边形．
【分析】（1）利用尺规作出∠DAC的平分线AM即可，连接BE延长BE交AM于F，连接FC；
（2）只要证明△AEF≌△CEB即可解决问题．
【详解】解：（1）如图所示：
（2）四边形ABCF是平行四边形．
理由如下：
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB．
∴∠DAC＝∠ABC+∠ACB＝2∠ACB．
由作图可知∠DAC＝2∠FAC，
∴∠ACB＝∠FAC．
∴AF∥BC．
∵点E是AC的中点，
∴AE＝CE．
在△AEF和△CEB中, ∠FAE=∠ECB，AE＝CE，∠AEF＝∠CEB，
∴△AEF≌△CEB（ASA），
∴AF＝BC．
又∵AF∥BC，
∴四边形ABCF是平行四边形．
【点睛】本题考查了角平分线的作法、全等三角形的判定、平行四边形的判定，熟练掌握并灵活运用是解题的关键.
25．（2023下·湖北武汉·八年级校考阶段练习）在四边形ABCD中，，，AC与BD交于点F．
(1) 如图1，求证：判断的形状并证明你的结论
(2) 如图2，若，且，猜想：和的数量关系并证明
(3) 如图3，若，点E在AD上，，，，则BD＝_____
【答案】（1）是等腰三角形，证明见解析；（2），证明见解析；（3）8．
【分析】（1）如图（见解析），延长BC至点G，使，连接DG，先根据平行四边形的判定与性质得出，再根据平行线的性质可得，然后根据等腰三角形的性质得出，最后根据等量代换可得，由此即可得；
（2）如图（见解析），设，则，先根据等腰三角形的三线合一得出，，再根据等腰直角三角形的判定与性质得出，从而得出，然后根据角平分线的判定得出，最后根据等量代换即可得；
（3）如图（见解析），设，先利用平行线的性质、等腰三角形的性质可推出，，再设，从而可得，然后根据，在中利用直角三角形的性质可得DG、KG的长，从而在中，利用勾股定理可求出BG的长，由此即可得出答案．
【详解】（1）是等腰三角形，证明如下：
如图，延长BC至点G，使，连接DG
四边形ADGC是平行四边形
是等腰三角形；
（2），证明如下：
如图，过点B作于点H，过点F作于点E
设，则
由（1）知，是等腰三角形
，（等腰三角形的三线合一）
是等腰直角三角形
（角平分线的判定）
即；
（3）如图，延长CE、BA交于点H，延长BC至点K，使，连接DK，过点K作于点G
设
，
，即，
四边形EDKC是平行四边形
，
设，则，
故答案为：8．
【点睛】本题是一道较难的综合题，考查了等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质、平行四边形的判定与性质等知识点，较难的是题（3），通过作辅助线，构造平行四边形和直角三角形是解题关键．
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专题02 平行四边形的判定
考点类型
知识一遍过
（一）平行四边形的判定
平行四边形的判定： 几何表达式举例： (1) ∵AB∥CD AD∥BC ∴四边形ABCD是平行四边形 (2) ∵AB=CD AD=BC ∴四边形ABCD是平行四边形 (3)∵∠A=∠B ∠C=∠D ∴四边形ABCD是平行四边形 （4）∵AB=CD AB∥CD ∴四边形ABCD是平行四边形 （5）∵OA=OC OB=OD ∴四边形ABCD是平行四边形
（二）三角形中位线性质
三角形中位线定理：
三角形的中位线平行第三边，并且等于它的一半.
如图：DE=BC
考点一遍过
考点1：平行四边形的判定——两组对边平行
典例1：（2023下·八年级课时练习）已知：如图，直线，A，B是直线a上任意两点，，垂足分别为C，D．
求证：．
【变式1】（2023·广西柳州·统考中考真题）平行四边形的其中一个判定定理是：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．请你证明这个判定定理．
已知：如图，在四边形中，，．
求证：四边形是平行四边形．
证明：
【变式2】（2023·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，点D，E分别为AB，AC的中点，延长DE到点F，使得EF=DE，连接CF．求证：
(1)△CEF≌△AED；
(2)四边形DBCF是平行四边形．
【变式3】（2023下·陕西渭南·八年级统考期末）如图，在中，点是延长线上的一点，连接，，交于点．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若，，求的度数．
考点2：平行四边形的判定——两组对边相等
典例2：（2023下·八年级课时练习）如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，有多少个平行四边形？为什么？
【变式1】（2024下·八年级课时练习）如图，已知都是等边三角形，点不在同一条直线上．你能证明四边形是平行四边形吗？
【变式2】（2023下·八年级课时练习）如图，以平行四边形的边为边，作等边和等边，连接．求证：四边形是平行四边形．
【变式3】（2023下·八年级课时练习）如图，以三角形的三边分别作等边，，，求证四边形是平行四边形．
考点3：平行四边形的判定——一组对边平行且相等
典例3：（2023下·辽宁大连·八年级期末）如图，点D，C在上，，，．
(1)求证；
(2)连接，，猜想四边形的形状，并说明理由．
【变式1】（2022下·广东深圳·八年级统考期末）已知：如图，在四边形中，，垂足分别为E，F，延长，分别交于点H，交于点G，若，．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若，求的长．
【变式2】（2023下·河南驻马店·八年级统考期末）如图，平行四边形的对角线与相交于点，点为的中点，过点作交的延长线于点，连接．求证：四边形是平行四边形．
【变式3】（2023下·浙江·八年级专题练习）如图，已知，，点A、E、F、C在同一直线上且．求证：四边形是平行四边形．
考点4：平行四边形的判定——对角线互相平分
典例4：（2022下·八年级课时练习）已知：如图，是的一条对角线．延长至F，反向延长至E，使．求证：四边形是平行四边形．
【变式1】（2022下·八年级课时练习）已知：如图，在中，E，F是对角线上的两个点，G，H是对角线上的两点，，．求证：四边形是平行四边形．
【变式2】（2023下·八年级课时练习）如图，在四边形中，，相交于点O，且．求证：四边形是平行四边形．
【变式3】（2023·九年级课时练习）如图，在中，，为边上一点，连接，为中点，连接并延长至点，使得，连接交于点，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，求的长．
考点5：平行四边形的性质与判定综合
典例5：（2022下·九年级单元测试）如图，四边形中，，为高，且，，．
(1)求的长；
(2)求证∶ ．
【变式1】（2023上·辽宁葫芦岛·八年级校考期末）如图，在中，的平分线分别与线段交于点F，E，与交于点G．
(1)求证：．
(2)若，求的长度．
【变式2】（2023下·广东广州·八年级统考期末）如图，在平行四边形中，点E是边的中点，连接并延长交的延长线于点F，连接．
(1)求证：；
(2)求证：四边形是平行四边形．
【变式3】（2022上·八年级单元测试）已知：如图，在中，对角线交于点O，，．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)不添加辅助线，图中还有哪些平行四边形？并说明理由．
考点6：三角形中位线——求角
典例6：（2023下·山东济南·八年级统考期末）如图，在四边形中，是对角线的中点，点，分别是，的中点，，．则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023下·江苏苏州·八年级统考期末）如图，在中，已知，分别为边，的中点，连结，若，则等于（ ）
A．70 B．67. 5 C．65 D．60
【变式2】（2023·山东济南·校联考一模）如图1，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，将△ADE沿线段DE向下折叠，得到图下列关于图2的四个结论中，不一定成立的是（ ）
A．点A落在BC边的中点 B．∠B+∠1+∠C=180°
C．△DBA是等腰三角形 D．DE∥BC
【变式3】（2023上·浙江金华·九年级校联考开学考试）如图，是锐角三角形，是的中点，分别以，为边向外侧作等腰三角形和等腰三角形．点，分别是底边，的中点，连接，，若（是锐角），则的度数是（ ）
A． B． C． D．
考点7：三角形中位线——求线段
典例7：（2024上·江西吉安·九年级统考期末）如图，中，D、E分别是、的中点，平分，交于点F，若，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式1】（2023·浙江宁波·校联考模拟预测）如图，在中，，，，分别是边的中点，于点．连接，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023上·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考期末）如图，在中，分别平分和，过点A作于点D，作于点G，若，，，则的长为（）
A． B．5 C．6 D．
【变式3】（2023下·湖北武汉·八年级湖北省水果湖第二中学校考期中）如图，在凸四边形中，，M，N分别为中点，则线段的值不可能是（ ）
A．1 B．4 C．8 D．12
考点8：三角形中位线——证明题
典例8：（2022下·广东广州·九年级校考阶段练习）如图，点D、F分别为的中点，，，求证：．
【变式1】（2023上·江苏淮安·九年级统考阶段练习）如图，中，点、分别为、的中点，延长到点，使得，连接．求证：
(1)；
(2)四边形是平行四边形．
【变式2】（2023下·湖南邵阳·八年级统考期中）已知：如图，在四边形中，，为对角线的中点，为的中点，为的中点．求证：．
【变式3】（2023下·陕西西安·八年级校考期末）如图，在中，点为边的中点，点为边上一点．过作于点，且平分，过作交于点．
求证：四边形为平行四边形．
考点9：三角形中位线——辅助线
典例9：（2024上·山东淄博·八年级统考期末）如图，的中线，相交于点G，求证：，．
【变式1】（2023下·全国·八年级假期作业）如图，AO是的角平分线，，交AO的延长线于点D，E是BC的中点．求证：．
【变式2】（2023上·福建莆田·九年级校考期中）如图1，在等边中，点D、E分别是上的点，与交于点O．
(1)填空： 度；
(2)如图2，将绕点A旋转得，连接，求证：；
(3)如图3，若点G是的中点，连接，判断与有什么数量关系？并说明理由．
【变式3】（2023下·福建福州·八年级统考期中）如图1，在四边形中，E，F，G，H是各边中点，连接．可得到以下结论：
结论1：四边形是平行四边形：
结论2：四边形的面积是四边形的一半：
(1)试证明结论
(2)探究与应用：（提示：以下问题可以直接使用上述结论）
①如图2，在四边形中，E，G分别为边的中点，连接．已知，．求出线段的取值范围．
②如图3，在四边形中，点E，F，G，H分别是的中点，连接交于点O．若，，，试求出四边形的面积．
同步一遍过
一、单选题
1．（2022下·湖南湘西·八年级统考期末）顺次连结任意四边形各边中点所得的四边形必定是（ ）
A．任意四边形 B．平行四边形 C．菱形 D．矩形
2．（2023下·广东广州·八年级广州市培正中学校考期中）如图，D、E、F是△ABC各边的中点，连接DE、EF、FD，可组成（ ）个平行四边形．
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2022下·江苏泰州·八年级校考阶段练习）如图，中，直线，并且与、的延长线分别交于E、F，交AD于M，交AB于N．下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022下·八年级单元测试）如图，点P是平行四边形ABCD内一点，已知S△PAB＝7，S△PAD＝4，那么S△PAC等于（ ）
A．4 B．3.5 C．3 D．无法确定
5．（2022上·北京海淀·八年级校考期末）如图，、是四边形两边，的中点，，是两条对角线，的中点，若，且，则以下说法不正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022上·八年级单元测试）若以A(-0.5，0)，B(2，0)，C(0，1)三点为顶点要画平行四边形，则第四个顶点不可能在( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．（2023下·江苏无锡·七年级校联考期中）如图，△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，点E是AB的中点，BD=2CD，则△BDE的面积是 （ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
8．（2023下·四川阿坝·八年级统考期末）如图，小明为了测量学校里一池塘的宽度，选取可以直达，两点的点处，再分别取，的中点，，量得，则池塘的宽度为（ ）．
A． B． C． D．
9．（2023上·湖北十堰·八年级校联考期中）如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出以下四个结论：
①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S四边形AEPF=S△ABC；④EF=AP．上述结论始终正确的有（ ）
②③
A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②③④
10．（2023下·江西赣州·八年级统考阶段练习）在四边形ABCD中，AD∥BC，要使四边形ABCD是平行四边形，可添加的条件不正确的是（ ）
A．AB∥CD B．∠B＝∠D C．AD＝BC D．AB＝CD
二、填空题
11．（2023上·福建泉州·九年级阶段练习）如图，点D，E分别是的BC，AC边的中点，若，则DE的长等于 ．
12．（2023下·广西南宁·八年级统考期末）在水塘江乐水公园里，A，B两地被一块湿地隔开不能直接测量，技术员通过下列的方法测量了A，B之间的距离：先在外选一点C，然后测出，的中点M，N，并测量出的长为，则A、B间的距离为 m．
13．（2023上·黑龙江大庆·八年级统考期末）在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，若BC=4，则DE= ．
14．（2022下·江西九江·八年级统考期末）的两直角边，的长分别是5，12，以三边的中点为顶点的三角形记为．以三边的中点为顶点的三角形记为．以此类推，则的周长为 ．
15．（2023下·湖南邵阳·八年级统考期中）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，E，F，G，H分别是AB，AC，CD，BD的中点．若AD＝5，BD＝4，CD＝3，则四边形EFGH的周长是 ．
16．（2022上·上海青浦·八年级校考期末）如图，已知中，，，，以边的中点为旋转中心按顺时针方向旋转，将A、B、C的对应点记为、、，当时，点B与点的距离为 ．
三、解答题
17．（2023下·安徽滁州·八年级统考期末）如图，在ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，连接DF，EF，BF．
（1）求证：四边形BEFD是平行四边形；
（2）若，，求四边形BEFD的周长
18．（2022下·四川自贡·八年级校考期中）如图，D、E分别是的边AB、AC的中点，点O是内部任意一点，连接OB、OC，点G、F分别是OB、OC的中点，顺次连接点D、G、F、E．求证：四边形DGFE是平行四边形．
19．（2022下·辽宁·八年级统考期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E，点F在直线BD上，且 ，连接AE，CF．
求证：四边形AECF是平行四边形．
20．（2023·湖北襄阳·统考一模）如图，在ABC中，AB＝AC，E是AC的中点，D是BA延长线上的一点．
(1)实践与操作：利用尺规作∠DAC的平分线AM，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)猜想与证明：请你连接BE并延长交AM于点F，连接CF，猜想四边形ABCF的形状并证明．
21．（2023下·陕西榆林·八年级统考期末）如图，在中，AC为对角线，E，F分别为AB，AC的中点，连接EF，若AD＝10，求EF的长．
22．（2023下·山东菏泽·八年级统考期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC交BD于点O，四边形AODE是平行四边形．求证：四边形ABOE是平行四边形．
23．（2023·江苏镇江·统考一模）如图1，已知点A、B、C、D在一条直线上，BF、CE相交于O，AE＝DF，∠E＝∠F，OB＝OC．
（1）求证：△ACE≌△DBF；
（2）如果把△DBF沿AD折翻折使点F落在点G，如图2,连接BE和CG． 求证：四边形BGCE是平行四边形．
24．（2023·山东枣庄·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BA延长线上的一点，点E是AC的中点.
(1)实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母(保留作图痕迹，不写作法).
①作∠DAC的平分线AM；
②连接BE并延长交AM于点F；
③连接FC．
(2)猜想与证明：猜想四边形ABCF的形状，并说明理由.
25．（2023下·湖北武汉·八年级校考阶段练习）在四边形ABCD中，，，AC与BD交于点F．
(1) 如图1，求证：判断的形状并证明你的结论
(2) 如图2，若，且，猜想：和的数量关系并证明
(3) 如图3，若，点E在AD上，，，，则BD＝_____
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