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专题04 平行四边形单元过关（基础版）
考试范围：第6章；考试时间：120分钟；总分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
评卷人得分
一、单选题
1．一个正六边形的每一个外角都等于（ ）
A．60° B．72° C．90° D．108°
【答案】A
【分析】由多边形的外角和等于360°，即可求得正六边形的每一个外角的度数．
【详解】解：∵多边形的外角和等于360°，
∴正六边形的每一个外角的度数为360°÷6=60°，
故选：A．
【点睛】此题考查了多边形的外角和定理．此题比较简单，注意掌握多边形的外角和等于360度是关键．
2．如图：在中，对角线和交于O，周长为9，，则等于（
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】C
【分析】由周长为9，可得，结合，可得，证明，，进而可得答案．
【详解】解：∵周长为9，
∴，
∵，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，熟记平行四边形的对角线互相平分是解本题的关键．
3．在中，，点，分别为，的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意可得是的中位线，再根据三角形中位线的性质即可求出的长度．
【详解】解：如图：
点，分别为，的中点，，
是的中位线，
．
故选：．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理，熟练掌握三角形中位线的定义和性质是解决问题的关键．
4．如图，口ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且，若△BCO的周长为14，则AD的长为（ ）
A．12 B．9 C．8 D．6
【答案】D
【分析】由平行四边形的性质可得，，由的周长为14，可求．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
的周长为14，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的对角线互相平分．
5．一个正多边形，它的一个内角恰好是一个外角的4倍，则这个正多边形的边数是（ ）
A．十二 B．十一 C．十 D．九
【答案】C
【分析】根据正多边形的内外角的互补关系求得外角度数，再根据外角和为求解边数即可．
【详解】解：设这个多边形的一个外角为x，则它的一个内角为，
则，
∴，
∴这个正多边形的边数为，
故选：C．
【点睛】本题考查多边形的内角和外角问题，熟知正多边形的内角和外角的关系是解答的关键．
6．如图，在平面直角坐标系中，的顶点，点A在轴的正半轴上，的平分线交于点，则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由平行四边形的性质证得，设，则，由勾股定理得出，求出，则可得出答案．
【详解】解：设与y轴交于点E，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵
∴，，
∵平方，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴．
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
7．如图，在中，，，观察图中尺规作图的痕迹，可知的长度为（ ）
A．3 B．6 C． D．
【答案】B
【分析】由作图知AH是∠DAB的平分线，利用平行线的性质，可得到△DAH为等腰三角形，即可求解．
【详解】解：由作图知AH是∠DAB的平分线，
∵在 ABCD中，BC=6，
∴AD=6， CD∥AB，
由作图知AH是∠DAB的平分线，
∴∠DAH=∠HAB，
∵CD∥AB，
∴∠DHA=∠HAB，
∴∠DAH=∠DHA，
∴△DAH为等腰三角形，
∴DA=DH=6，
故选：B．
【点睛】本题考查了作图-基本作图，平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，熟知角平分线的作法是解答此题的关键．
8．正多边形的一个外角的度数为30°，则这个正多边形的边数为（ ）．
A．6 B．10 C．8 D．12
【答案】D
【分析】结合题意，根据正多边形的外角和性质计算，即可得到答案．
【详解】∵正多边形的一个外角的度数为30°
又∵正多边形的外角和为：
∴正多边形的边数为：
故选：D．
【点睛】本题考查了正多边形外角和的知识；解题的关键是熟练掌握正多边形外角和的性质，从而完成求解．
9．如图，现有一张三角形纸片ABC，BC＝8，S△ABC＝28，点D，E分别是AB，AC中点，点M是DE上一定点，点N是BC上一动点，将纸片依次沿DE，MN剪开，得到Ⅰ、Ⅱ和Ⅱ三部分，将Ⅱ绕点D版时针旋转，DB与DA重合，将Ⅲ绕点E逆时针旋转，使EC与EA重合，拼成了一个新的图形，则这个新图形周长的最小值是( )
A．15 B．20 C．23 D．30
【答案】C
【分析】作AJ⊥BC交DE于O，由题意旋转后的新图形是平行四边形GHPQ，周长=2DE+BC+2MN，结合图形利用三角形中位线的性质及三角形面积得出AJ=7，AO=OJ=，当MN最小时，周长的值最小，根据垂线段最短得MN的最小值为，即可求解．
【详解】解：如图，作AJ⊥BC交DE于O，
由题意旋转后的新图形是平行四边形GHPQ，周长=2DE+BC+2MN,
∵AD=DB，AE=EC，
∴DE//BC，DE=BC=4，
∵，
∴AJ=7，
∵AD=DB，DE//BC，
∴AO=OJ=，
∴四边形GHPQ的周长=16+2MN，
∴当MN最小时，周长的值最小，
根据垂线段最短得：MN的最小值为，
∴四边形GHPQ的周长的最小值为16+7=23，
故选：C．
【点睛】题目主要考查旋转的性质及三角形中位线的性质，垂线段最短等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
10．如图，在 ABCD中，，，点M、N分别是边AB、BC上的动点，连接DN、MN，点E、F分别为DN、MN的中点，连接EF，则EF的最小值为
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】由已知可得，EF是三角形DMN的中位线，所以，当DM⊥AB时，DM最短，此时EF最小.
【详解】连接DM，
因为，E、F分别为DN、MN的中点，
所以，EF是三角形DMN的中位线，
所以，EF=,
当DM⊥AB时，DM最短，此时EF最小.
因为，，
所以，DM=AM,
所以，由勾股定理可得AM=2，此时 EF==.
故选B
【点睛】本题考核知识点：三角形中位线，平行四边形，勾股定理.解题关键点：巧用垂线段最短性质.
第II卷（非选择题）
评卷人得分
二、填空题
11．一个多边形每个内角是150度，这是 边形
【答案】十二
【分析】先求出每一个外角的度数，然后根据边数=360°÷外角计算即可．
【详解】解：180°-150°=30°，
360°÷30°=12．
故答案为：十二．
【点睛】本题考查了多边形的外角和与边数的关系，熟记外角和与多边形的边数的关系是解题的关键．
12．若一个多边形的每个外角都等于它相邻的内角，则这个多边形的每个外角的度数是 ．
【答案】/90度
【分析】已知多边形的每个外角与其相邻的内角相等，而两者的和为，由此可得，每个外角与内角都是．
【详解】解：∵一个多边形的每个外角都等于与它相邻的内角，
∴它的每个外角是
故答案为：．
【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，理解邻补角的和为是解题的关键．
13．如图，AE、DE分别是四边形ABCD的外角∠NAD、∠MDA的平分线，∠B＋∠C=230°，则∠E的度数为 ．
【答案】65°/65度
【分析】根据三角形内角和定理的应用，四边形的内角和与平角的定义可得结论．
【详解】解：由四边形内角和可得∠B＋∠C＋∠CDA＋∠BAD＝360°，
∵∠MDA＋∠CDA＋∠NAD＋∠BAD＝360°，
∴∠MDA＋∠NAD＝∠B＋∠C，
∵AE、DE分别是∠NAD、∠MDA的平分线，
∴∠ADE＋∠EAD＝（∠MDA＋∠NAD）＝（∠B＋∠C），
∵∠B＋∠C＝230°，
∴∠ADE＋∠EAD＝×230°＝115°，
∴∠E＝180° （∠ADE＋∠EAD）＝180° 115°＝65°．
故答案为：65°．
【点睛】本题考查三角形和四边形的内角与外角，熟练掌握三角形和四边形的内角和与外角和是解题关键．
14．在平面直角坐标系中，已知A、B、C、D四点的坐标依次为（0，0）、（6，2）、（8，8）、（2，6），若一次函数y＝mx－6m＋6(m≠0)的图像将四边形ABCD的面积分成1:1两部分，则m的值为 ．
【答案】1
【分析】根据已知条件得到四边形ABCD是菱形，连接AC，得到对角线的交点O的坐标(-2，1)，由于直线y=mx-6m+6使四边形ABCD的面积分成相等的两部分，得到直线y=mx-6m+6过点O，于是得到结论．
【详解】∵A、B、C、D四点的坐标依次为(0，0)、(6，2)、(8，8)、(2，6)，
∴AB=，
BC=，
CD=，
AD=，
∴四边形ABCD是菱形，
连接AC，BD交于O，
∴点O的坐标为(，)，即(，)，
∵直线使四边形ABCD的面积分成相等的两部分，
∴直线过点O(，)，
∴，
∴，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了一次函数与几何的综合问题，平行四边形的判定和性质，根据题意得到四边形ABCD是菱形是解题的关键．
15．如图，的边在轴上，对角线，相交于点，已知点坐标为，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】根据平行四边形的性质可得E为OB的中点，根据O点和点坐标可得点的坐标．
【详解】解：∵点E为对角线的交点，
∴E为OB的中点，
∵O点坐标为(0,0)，点坐标为，
∴点的坐标为，
∴点的坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，中点公式．中点公式：有两点，，则它们的中点P的坐标为．
16．如图，中，已知点、、分别是、、边上的中点，，则 ．
【答案】8
【分析】已知是的中位线，那么；是斜边的中线，则．
【详解】解：是直角三角形，是的中位线，
，
，
又是斜边的中线，
，
．
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理以及直角三角形斜边上的中线等知识，解题的关键是掌握（1）直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；（2）三角形的中位线等于第三边的一半．
评卷人得分
三、解答题
17．如图，的对角线与交于点O，，，．求的周长．
【答案】的周长是
【分析】
由，，根据“平行四边形的对角线互相平分”得，，而，即可求得的周长是．
【详解】
解：∵的对角线与交于点O，，，
∴，，
∵，
∴，
∴的周长是．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形对角线互相平分．
18．如图，四边形是平行四边形，分别是的平分线，且与对角线分别相交于点.
(1)求证:；
(2)连结，判断四边形是否是平行四边形，说明理由.
【答案】(1)见解析；(2) 是平行四边形；理由见解析.
【分析】（1）根据角平分线的性质先得出∠BEC＝∠DFA，然后再证∠ACB＝∠CAD，再证出△ABE≌△CDF，从而得出AE＝CF；
（2）连接BD交AC于O，则可知OB＝OD，OA＝OC，又AE＝CF，所以OE＝OF，然后依据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明．
【详解】（1）证明:四边形是平行四边形，
，
分别是的平分线，
，
∴ ，
∴
（2）是平行四边形；
连接交于，
四边形是平行四边形，
，
.
即
四边形为平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形).
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，解答本题的关键寻找两条线段所在的三角形，然后证明两三角形全等．
19．如图，在平行四边形ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中点，点E、F在对角线AC上，且AE＝CF．求证：四边形EGFH是平行四边形．
【答案】见解析
【分析】根据平行四边形的性质得到AB//CD，AB= CD，根据平行线的性质得到∠GAE=∠HCF，得△AGE≌△CHF（SAS），根据全等三角形的性质得到GE= HF，∠AEG =∠CFH，根据平行四边形的判定定理即可得到结论．
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB＝CD，
∴∠GAE＝∠HCF，
∵点G，H分别是AB，CD的中点，
∴AG＝CH，
在△AGE和△CHF中，
，
∴△AGE≌△CHF（SAS），
∴GE＝HF，∠AEG＝∠CFH，
∴∠GEF＝∠HFE，
∴GE//HF，
又∵GE＝HF，
∴四边形EGFH是平行四边形
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形判定与的性质是解题的关键．
20．如图，已知点四边形ABCD是平行四边形，点E、F分别在射线CA和射线AC上，．
(1)求证：；
(2)直接写出图中所有相等的线段（除外）．
【答案】(1)证明见解析
(2)AB=CD，AD=BC，，．
【分析】（1）由平行四边形的性质可得出AB=CD，．根据平行线的性质可得出，即可证明(AAS)，得出，从而可证；
（2）根据平行四边形的性质和全等三角形的性质即可写出．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，，
∴．
∵，
∴，
∴(AAS)，
∴，
∴，即．
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC．
∵，
∴，．
∴图中相等的线段有AB=CD，AD=BC，，．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质．熟练掌握平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质是解题关键．
21．如图，在中，对角线与相交于点O，点分别在和的延长线上，且，连接．求证：．
【答案】证明见解析
【分析】由平行四边形的性质得到OB=OD，AB=CD，AB∥CD，得到∠ABE=∠CDF，再由得到OF=OE，最后由SAS证明即可．
【详解】证明：∵，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABE=∠CDF，
∵，
∴DE+DB=BF+DB，
∴BE=DF，
在和中，，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质、平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
22．（1）已知一个n边形的内角和是，求这个多边形的边数；
（2）如图，在中，，，过点C作的平行线．求的度数．
【答案】（1）这个多边形的边数是9；（2）
【分析】（1）根据多边形内角和公式列方程求解；
（2）先利用三角形内外和定理求出，再根据平行线的性质求解．
【详解】解：（1）由题意知，
解得，
即这个多边形的边数是9；
（2） 中，，，
，
，
，
即的度数为．
【点睛】本题考查多边形内角和问题，三角形内角和定理及平行线的性质，解题的关键是掌握多边形内角和公式及三角形内角和定理．
23．七年级（1）班某数学学习小组在学习了第9章多边形后对几何学习产生了浓厚的兴趣，他们在同一几何图形中有不同的发现．如图1，直线，垂足为，三角板的直角顶点落在的内部，三角板的另两直角边分别与、交于点和点．
（1）小“毕达哥拉斯”说：由四边形内角和知识很容易得到的值．那么他得到的结论是：________°．
（2）小“欧几里得”说：连结（如图2），若平分，那么也平分．请你说明当平分时，也平分的理由．
（3）小“欧拉”说：若分，平分，我发现与具有特殊位置关系（如图3）．请判断与有怎样的位置关系并说明理由．
【答案】（1）180°；（2）详见解析；（3）垂直，理由详见解析
【分析】（1）根据四边形内角和360度解题；
（2）根据角平分线性质解题；
（3）由（1）（2）结论，结合三角形内角和180度解题即可．
【详解】解：（1）①由四边形内角的性质，得；
（2）∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴平分；
（3）∵
，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴垂直．
【点睛】本题考查四边形内角和360度、三角形内角和180度、角平分线的性质、垂线的性质等知识，是常见基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
24．已知：如图，四边形中，垂直平分，垂足为．
求证：四边形是平行四边形；
如果，求四边形的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）48．
【分析】（1）由得，，由垂直平分线的性质得AB＝BC，AD＝CD，得到角相等，进而得到，加之，得到，进而可证得；
（2）四边形的面积＝，计算即可．
【详解】（1）证明：垂直平分
即
四边形是平行四边形
（2）解：
四边形是平行四边形
在和中，
同理可证：
【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，面积的转化，垂直平分线的性质，难度不大．
25．【感知】如图①，在△ABC中，，．则______°．
【操作】如图②，点D、E分别在图①中的△ABC的边AC、AB上，且均不与△ABC的顶点重合，连接DE，将△ABC沿DE折叠，使点A的对称点始终落在四边形BCDE的外部，交边AB于点F，且点与点C在直线AB的异侧．则______°．
【探究】如图③，设图②中的，．
（1）求的度数．
（2）当的某条边与BC平行时，直接写出的度数．
【答案】【感知】50 【操作】220 【探究】（1）80° （2）的大小为45°或25°．
【分析】感知：根据三角形内角和定理可得的度数；
操作：根据四边形的内角和定理计算即可；
探究：（1）根据可得；再由折叠，得，可得，据此求解即可；
（2）分两种情况：或时，分别求解即可．
【详解】感知：∵在△ABC中，，，
∴
操作：∵在四边形中，，，
∴
探究：（1）∵
∴①，
由折叠，得，
∴在中，②
∴①-②得：；
（2）如图，当时，
则，
∵
∴
由折叠性质得；
如图，当时，
则，
；
如图，当时，不符合题意，
综上所述，的大小为45°或25°．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，四边形的内角和定理，平行的性质和折叠的性质，熟悉相关性质并能熟练应用是解决本题的关键．
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考试范围：第6章；考试时间：120分钟；总分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
评卷人得分
一、单选题
1．一个正六边形的每一个外角都等于（ ）
A．60° B．72° C．90° D．108°
2．如图：在中，对角线和交于O，周长为9，，则等于（
A．10 B．11 C．12 D．13
3．在中，，点，分别为，的中点，则（ ）
A． B． C． D．
4．如图，口ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且，若△BCO的周长为14，则AD的长为（ ）
A．12 B．9 C．8 D．6
5．一个正多边形，它的一个内角恰好是一个外角的4倍，则这个正多边形的边数是（ ）
A．十二 B．十一 C．十 D．九
6．如图，在平面直角坐标系中，的顶点，点A在轴的正半轴上，的平分线交于点，则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，，，观察图中尺规作图的痕迹，可知的长度为（ ）
A．3 B．6 C． D．
8．正多边形的一个外角的度数为30°，则这个正多边形的边数为（ ）．
A．6 B．10 C．8 D．12
9．如图，现有一张三角形纸片ABC，BC＝8，S△ABC＝28，点D，E分别是AB，AC中点，点M是DE上一定点，点N是BC上一动点，将纸片依次沿DE，MN剪开，得到Ⅰ、Ⅱ和Ⅱ三部分，将Ⅱ绕点D版时针旋转，DB与DA重合，将Ⅲ绕点E逆时针旋转，使EC与EA重合，拼成了一个新的图形，则这个新图形周长的最小值是( )
A．15 B．20 C．23 D．30
10．如图，在 ABCD中，，，点M、N分别是边AB、BC上的动点，连接DN、MN，点E、F分别为DN、MN的中点，连接EF，则EF的最小值为
A．1 B． C． D．
第II卷（非选择题）
评卷人得分
二、填空题
11．一个多边形每个内角是150度，这是 边形
12．若一个多边形的每个外角都等于它相邻的内角，则这个多边形的每个外角的度数是 ．
13．如图，AE、DE分别是四边形ABCD的外角∠NAD、∠MDA的平分线，∠B＋∠C=230°，则∠E的度数为 ．
14．在平面直角坐标系中，已知A、B、C、D四点的坐标依次为（0，0）、（6，2）、（8，8）、（2，6），若一次函数y＝mx－6m＋6(m≠0)的图像将四边形ABCD的面积分成1:1两部分，则m的值为 ．
15．如图，的边在轴上，对角线，相交于点，已知点坐标为，则点的坐标为 ．
16．如图，中，已知点、、分别是、、边上的中点，，则 ．
评卷人得分
三、解答题
17．如图，的对角线与交于点O，，，．求的周长．
18．如图，四边形是平行四边形，分别是的平分线，且与对角线分别相交于点.
(1)求证:；
(2)连结，判断四边形是否是平行四边形，说明理由.
19．如图，在平行四边形ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中点，点E、F在对角线AC上，且AE＝CF．求证：四边形EGFH是平行四边形．
20．如图，已知点四边形ABCD是平行四边形，点E、F分别在射线CA和射线AC上，．
(1)求证：；
(2)直接写出图中所有相等的线段（除外）．
21．如图，在中，对角线与相交于点O，点分别在和的延长线上，且，连接．求证：．
22．（1）已知一个n边形的内角和是，求这个多边形的边数；
（2）如图，在中，，，过点C作的平行线．求的度数．
23．七年级（1）班某数学学习小组在学习了第9章多边形后对几何学习产生了浓厚的兴趣，他们在同一几何图形中有不同的发现．如图1，直线，垂足为，三角板的直角顶点落在的内部，三角板的另两直角边分别与、交于点和点．
（1）小“毕达哥拉斯”说：由四边形内角和知识很容易得到的值．那么他得到的结论是：________°．
（2）小“欧几里得”说：连结（如图2），若平分，那么也平分．请你说明当平分时，也平分的理由．
（3）小“欧拉”说：若分，平分，我发现与具有特殊位置关系（如图3）．请判断与有怎样的位置关系并说明理由．
24．已知：如图，四边形中，垂直平分，垂足为．
求证：四边形是平行四边形；
如果，求四边形的面积．
25．【感知】如图①，在△ABC中，，．则______°．
【操作】如图②，点D、E分别在图①中的△ABC的边AC、AB上，且均不与△ABC的顶点重合，连接DE，将△ABC沿DE折叠，使点A的对称点始终落在四边形BCDE的外部，交边AB于点F，且点与点C在直线AB的异侧．则______°．
【探究】如图③，设图②中的，．
（1）求的度数．
（2）当的某条边与BC平行时，直接写出的度数．
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