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微专题02 平行四边形构造中位线通关专练
一、单选题
1．（2023·安徽合肥·八年级校联考期末）如图，在 ABCD中，，，点M、N分别是边AB、BC上的动点，连接DN、MN，点E、F分别为DN、MN的中点，连接EF，则EF的最小值为
A．1 B． C． D．
2．（2023·山东临沂·二模）如图，在中，∠BAC=120°，点D为BC的中点，点E是AC上的一点，且．若，则AB的长为（ ）
A． B．4 C． D．6
3．（2023下·湖北鄂州·八年级校联考期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，E是CA延长线上一点，F是CB上一点，AE=12，BF=8，点P，Q，D分别是AF，BE，AB的中点，则PQ的长为( )
A．2 B．4 C．6 D．3
4．（2023下·福建厦门·八年级校考期中）如图，的周长为26，点D，E都在边上，的平分线垂直于，垂足为Q，的平分线垂直于，垂足为P，若，则的长为（ ）
A． B．3 C． D．4
5．（2023下·八年级课时练习）如图，在等腰和等腰，，，为的中点，则线段的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022下·浙江台州·八年级校联考期中）如图，在中，，，，分别是，的中点，的长可能为（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
7．（2023下·山东德州·八年级统考期中）如图，平行四边形中，对角线相交于，，分别是的中点，以下结论：①；②；③；④平分，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
8．（2023下·广东深圳·八年级校考期中）如图，在中，为中位线，平分，交于点F，若，，则的长是( )
A．7 B．8 C．9 D．10
二、填空题
9．（2023下·四川达州·八年级四川省渠县中学校考期末）在等腰三角形中，为腰，O为的中点，为的中点，，则的度数是 ．
10．（2023下·云南楚雄·八年级统考期末）如图，E为△ABC中AB边的中点，EF∥AC交BC于点F，若EF=3cm，则AC= ．
11．（2023·吉林长春·统考三模）如图，四边形中，，，，点为线段上的动点，点、点分别为线段、的中点，则长度的最大值为 ．
12．（2023下·四川南充·八年级四川省南充市第九中学校考期中）如图所示，在中，已知，依次连接的三边中点得，再依次连接的三边中点得,…，则的周长为 ．
13．（2023下·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，点、分别是边、上的动点，连接、，点、分别为、的中点，连接，则的最小值为 ．
14．（2023·江苏常州·校考二模）已知线段AB＝12，C、D是AB上两点，且AC＝DB＝2，P是线段CD上一动点，在AB同侧分别作等边三角形APE和等边三角形PBF，G为线段EF的中点，点P由点C移动到点D时，G点移动的路径长度为
15．（2023下·浙江宁波·八年级校联考期中）如图，△ABC和△DBC均在BC的上方，边AC与BD相交于一点，M是BD的中点，N是AC的中点，连接MN．若AB＝4，CD＝4，MN＝2，∠BCD＝80°，则∠ABC＝ ．
16．（2023下·浙江嘉兴·八年级统考阶段练习）如图，△ABC 的周长为 17，点 D，E 在边 BC 上，∠ABC 的平分线垂直于 AE，垂足为G，∠ACB 的平分线垂直于 AD，垂足为 F，若 BC=6，则 FG 的长度为 ．
三、解答题
17．（2023下·全国·九年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，DB=DC，点E、F分别为DB、BC的中点，连接AE、EF、AF．
（1）求证：AE=EF；
（2）当AF=AE时，设∠ADB=α，∠CDB=β，求α，β之间的数量关系式．
18．（2023下·全国·八年级期末）如图所示，在中，为的中点，平分，于点．
试说明：（1）；
（2）．
19．（2023下·辽宁锦州·八年级统考期末）如图，在等边△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使CF＝BC，连接CD和EF．
(1)求证：CD＝EF；
(2)猜想：△ABC的面积与四边形BDEF的面积的关系，并说明理由．
20．（2023上·上海徐汇·八年级上海市西南位育中学校考期中）如图，AD∥BC，点E是AB的中点，联结DE并延长交CB的延长线于点F，点G在边BC上，且∠GDF＝∠ADF．
(1)求证：AD＝BF；
(2)当点G是FC的中点时，判断△FDC的形状．
21．（2023上·河南洛阳·九年级校考阶段练习）如图，M是ΔABC的边BC的中点，AN平分BAC, BNAN于点N延长BN交AC于点D，已知AB=10,BC=15,MN=3
（1）求证：ΔBAN≌ΔDAN
（2）求ΔABC的周长
22．（2023·江西南昌·一模）（1）化简：(2x+1)(2x﹣1)+(x+1)(1﹣2x)．
（2）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，E，F，M分别是AD，DC，AC的中点，连接EF，BM，求证：EF=BM．
23．（2023下·河南漯河·八年级统考期末）加图，在中，．点是斜边的中点，，垂足为，若，求的长．
24．（2023上·吉林长春·九年级统考阶段练习）如图，是等边三角形，点在边上(点与点不重合) ，过点作交于点，连结，分别为的中点，连结．
（1）求证：
（2）的大小是 ．
25．（2023下·辽宁鞍山·八年级统考期中）如图，点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，连接BE，过点C作CF∥BE，交DE的延长线于点F，若DE＝1，求DF的长．
26．（2023下·黑龙江黑河·八年级统考期末）如图，在中，，，点在上，若，平分．
（1）求的长；
（2）若是中点，求线段的长．
27．（2023上·浙江温州·九年级瑞安市安阳实验中学校考期中）如图，在等腰中，，点在的延长线上，， 点在边上，．
（1）求证：；
（2）求的值．
28．（2022下·吉林长春·八年级吉林省第二实验学校校考期中）【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容．
(1)【定理证明】
请根据教材内容结合图1，写出证明过程．
(2)【定理应用】
如图2，在中，AD垂直于的平分线BE于点E，且交BC边于点D，点F为AC的中点．若，，请直接写出EF的长______；
(3)如图3，的中线BD、CE相交于点O，F、G分别是BO、CO的中点，连接DE、EF、FG、GD．若的面积为18，则四边形DEFG的面积为______；
29．（2023下·广西南宁·八年级南宁市天桃实验学校校考阶段练习）【温故知新】在研究平行四边形时，我们经历了将平行四边形问题转化为三角形问题来解决的过程，如图表①；同时我们也经历了利用平行四边形研究三角形的有关问题如图表②．
图表① 图表②
问题：求证平行四边形对边相等 策略：平行四边形问题三角形全等问题 问题：如图，D，E分别的中点，求证：，且． 策略：三角形问题平行四边形 进而得到与的位置和数量关系
总结：①平行四边形问题可以通过构造对角线转化为三角形问题；同样的三角形问题也可以转化为平行四边形问题； ②全等三角形和平行四边形是研究边、角关系的重要工具．
【迁移应用】请你根据已学的知识和学习经验解决下面问题：问题：．
(1)如图1，是的中线，若，求中线的取值范围；
(2)如图2，在梯形中，点M，N分别是的中点，连接．试判断与有什么数量关系和位置关系，并说明理由．
30．（2022下·新疆乌鲁木齐·八年级新疆生产建设兵团第一中学校考期中）如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，，，点D足OA的中点，动点P在线段BC上以每秒2个单位长的速度由点C向B运动．设动点P的运动时间为t秒．
(1)直接写出B点坐标______，用含t的代数式表示______．当______时，四边形PODB是平行四边形．
(2)在直线CB上是否存在一点Q，使得O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求出O点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)在线段PB上有一点M，且，求，画出当四边形OAMP的周长最小时，点M与P的位置，并求出此时的t值．（保留作图痕迹）
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微专题02 平行四边形构造中位线通关专练
一、单选题
1．（2023·安徽合肥·八年级校联考期末）如图，在 ABCD中，，，点M、N分别是边AB、BC上的动点，连接DN、MN，点E、F分别为DN、MN的中点，连接EF，则EF的最小值为
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】由已知可得，EF是三角形DMN的中位线，所以，当DM⊥AB时，DM最短，此时EF最小.
【详解】连接DM，
因为，E、F分别为DN、MN的中点，
所以，EF是三角形DMN的中位线，
所以，EF=,
当DM⊥AB时，DM最短，此时EF最小.
因为，，
所以，DM=AM,
所以，由勾股定理可得AM=2，此时 EF==.
故选B
【点睛】本题考核知识点：三角形中位线，平行四边形，勾股定理.解题关键点：巧用垂线段最短性质.
2．（2023·山东临沂·二模）如图，在中，∠BAC=120°，点D为BC的中点，点E是AC上的一点，且．若，则AB的长为（ ）
A． B．4 C． D．6
【答案】B
【分析】延长CA到F点，使AF=AB，连接BF，可证得△ABF为等边三角形，E为FC中点，DE为△BCF的中位线，据此即可求得．
【详解】解：如图，延长CA到F点，使AF=AB，连接BF，
，
，
又∵AF=AB，
∴△ABF为等边三角形，
∴AB=AF=BF，
∵AB+AE=EC，
∴AF+AE=EC，即EF=EC，
∴E为FC中点，
∵D为BC中点，
∴DE为△BCF的中位线，
∴BF=2DE，
∵DE=2，
∴AB=BF=4，
故选：B．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，三角形中位线定理，作出辅助线是解决本题的关键．
3．（2023下·湖北鄂州·八年级校联考期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，E是CA延长线上一点，F是CB上一点，AE=12，BF=8，点P，Q，D分别是AF，BE，AB的中点，则PQ的长为( )
A．2 B．4 C．6 D．3
【答案】A
【分析】根据三角形中位线定理得到PD、DQ，PD∥BC，根据平行线的性质得到∠PDA=∠CBA，同理得到∠PDQ=90°，根据勾股定理计算，得到答案．
【详解】∵∠C=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°，
∵点P，D分别是AF，AB的中点，
∴PD=BF=6，PD∥BC，
∴∠PDA=∠CBA，
同理，QD=AE=6，∠QDB=∠CAB，
∴∠PDA+∠QDB=90°，即∠PDQ=90°，
∴PQ=，
故选A．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
4．（2023下·福建厦门·八年级校考期中）如图，的周长为26，点D，E都在边上，的平分线垂直于，垂足为Q，的平分线垂直于，垂足为P，若，则的长为（ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】B
【分析】根据的周长为26，，得到,根据的平分线垂直于，的平分线垂直于得到是得中位线，求得的长，利用中位线定理计算即可．
【详解】∵的周长为26，，
∴,
∵的平分线垂直于，
，
∴，
∴，，
同理可证，，，
∴是得中位线，
∴，
∴,
∴,
∴,
∴，
故选B．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理，三角形全等的判定和性质，熟练掌握中位线定理是解题的关键．
5．（2023下·八年级课时练习）如图，在等腰和等腰，，，为的中点，则线段的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】取AB的中点G，接DG，CG，过C作于点H，根据三角形中位线的性质和勾股定理解答即可．
【详解】解：取AB得中点G，连接DG，CG，过点C作交AB延长线与H．
∵点D是AE的中点，点G是AB的中点，
∴AD = ED，AG=BG，
∴DG是的中位线，
∴DG=BE，
∵AB=BC=BE=2，
∴DG=1，BG=1，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴HG= BG +BH=2，
在中，
，
∵，
∴，
∴当且仅当D、G、C三点共线时，线段CD取最小值为．
故选：B．
【点睛】此题考查勾股定理，关解题的键是根据三角形的中位线定理和勾股定理解答．
6．（2022下·浙江台州·八年级校联考期中）如图，在中，，，，分别是，的中点，的长可能为（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
【答案】A
【分析】根据三角形中位线的判定与性质得到DE＝BC，再根据三角形三遍关系即可得到结论．
【详解】解：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝BC，
∵BC＝5，
在中，，，根据三角形三边关系可知，即，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查三角形的中位线判定与性质及三角形三边关系，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
7．（2023下·山东德州·八年级统考期中）如图，平行四边形中，对角线相交于，，分别是的中点，以下结论：①；②；③；④平分，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
【答案】B
【分析】根据平行四边形的性质可得OB=BC，由等腰三角形的性质可判断①正确，由直角三角形的性质和三角形中位线定理可判断②错误，通过证四边形BGFE是平行四边形，可判断③正确，由平行线的性质和等腰三角形的性质可判断④正确．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴BO=DO=BD，AD=BC，AB=CD，AB∥BC，
又∵BD=2AD，
∴OB=BC=OD=DA，且点E 是OC中点，
∴BE⊥AC，故①正确；
∵E、F分别是OC、OD的中点，
∴EF∥CD，EF=CD，
∵点G是Rt△ABE斜边AB上的中点，
∴GE=AB=AG=BG
∴EG=EF=AG=BG，无法证明GE=GF，故②错误；
∵BG=EF，AB∥CD∥EF，
∴四边形BGFE是平行四边形，
∴GF=BE，且BG=EF，GE=GE，
∴△BGE≌△FEG（SSS），故③正确；
∵EF∥CD∥AB，
∴∠BAC=∠ACD=∠AEF，
∵AG=GE，
∴∠GAE=∠AEG，
∴∠AEG=∠AEF，
∴AE平分∠GEF，故④正确，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．
8．（2023下·广东深圳·八年级校考期中）如图，在中，为中位线，平分，交于点F，若，，则的长是( )
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】D
【分析】首先利用中点定义和中位线定理得到，，利用平行线的性质和角平分线的定义得到，推出，根据求出可得的长，从而利用求出的长．
【详解】∵ 为中位线，即点、分别是边、的中点，
，，
，
∵平分
，
，
，
又∵，
，
故选：D．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，平行线的性质，等角对等边，掌握三角形中位线定理是解题关键．
二、填空题
9．（2023下·四川达州·八年级四川省渠县中学校考期末）在等腰三角形中，为腰，O为的中点，为的中点，，则的度数是 ．
【答案】或/或
【分析】分、两种情况，分别求出，根据三角形中位线定理得到，根据平行线的性质得到，进而求出．
【详解】解：当，时，
，
则，
当，时，
，
则，
O为的中点，为的中点，
是的中位线，
，
，
为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形中位线平行于第三边，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
10．（2023下·云南楚雄·八年级统考期末）如图，E为△ABC中AB边的中点，EF∥AC交BC于点F，若EF=3cm，则AC= ．
【答案】6cm
【分析】根据平行线分线段成比例定理，得到BF=FC，根据三角形中位线定理求出AC的长．
【详解】解：∵E为△ABC中AB边的中点，
∴BE=EA．
∵EF∥BC，
∴=，
∴BF=FC，则EF为△ABC的中位线，
∴AC=2EF=6．
故答案为6．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理的运用和平行线分线段成比例定理的运用，掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半是解题的关键．
11．（2023·吉林长春·统考三模）如图，四边形中，，，，点为线段上的动点，点、点分别为线段、的中点，则长度的最大值为 ．
【答案】3
【分析】根据题意，连接PD，先确定点P的位置，即当点P运动到点B时，EF的长度最大，然后由勾股定理和中位线定理即可求出答案．
【详解】解：根据题意，连接PD，
∵点E，F分别为AD，AP的中点，
∴EF=，
∴PD最大时，EF最大，
∵P与B重合时PD最大，
此时，在直角△PCD中，由勾股定理，
，
∴；
∴长度的最大值为3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理，勾股定理的应用，熟练掌握所学的定理，正确确定点P的位置是解题的关键．
12．（2023下·四川南充·八年级四川省南充市第九中学校考期中）如图所示，在中，已知，依次连接的三边中点得，再依次连接的三边中点得,…，则的周长为 ．
【答案】1
【分析】由三角形的中位线定理得：、、分别等于、、的一半， 所以的周长等于 的周长的一半，以此类推可求出 的周长为 的周长的；
【详解】∵、、分别等于、、的一半，
所以 的周长等于 的周长的一半，
∵、、 分别等于 、、的一半，
所以 的周长等于 的周长的一半，等于 的周长的，
∵、、分别等于、、的一半，
所以的周长等于的周长的
∴以此类推：的周长为的周长的
∴则 的周长为
故答案为：1
【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理，关键是根据三角形的中位线定理得：、、分别等于 、、 的一半，所以 的周长等于的周长的一半
13．（2023下·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，点、分别是边、上的动点，连接、，点、分别为、的中点，连接，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】连接，利用三角形中位线定理，可知，求出的最小值即可求出的最小值．
【详解】解：如图，连接，
、分别为、的中点，
，
的最小值，就是的最小值，当时，最小，
在中，，，
，
，
，
的最小值是．
故答案为：．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，本题的突破点是确定的最小值，就是的最小值．
14．（2023·江苏常州·校考二模）已知线段AB＝12，C、D是AB上两点，且AC＝DB＝2，P是线段CD上一动点，在AB同侧分别作等边三角形APE和等边三角形PBF，G为线段EF的中点，点P由点C移动到点D时，G点移动的路径长度为
【答案】4
【分析】分别延长AE、BF交于点M，易证四边形PEMF为平行四边形，得出G为PM中点，则G的运行轨迹为△MCD的中位线，运用中位线的性质求出HI的长度即可．
【详解】解：如图，分别延长AE、BF交于点M，
∵∠A＝∠DPF＝60°，
∴AM∥PF，
∵∠B＝∠EPA＝60°，
∴BM∥PE，
∴四边形PEMF为平行四边形，
∴EF与MP互相平分．
∵G为EF的中点，
∴G正好为PM的中点，
即在P的运动过程中，G始终为PM的中点，
∴G的运行轨迹为△MCD的中位线HI，
∵HI＝CD＝×（12﹣2﹣2）＝4，
∴G点移动的路径长度为4．
故答案为：4
【点睛】本题考查了三角形中位线定理及等边三角形的性质，解答本题的关键是作出辅助线，找到点G移动的规律，判断出其运动路径，综合性较强．
15．（2023下·浙江宁波·八年级校联考期中）如图，△ABC和△DBC均在BC的上方，边AC与BD相交于一点，M是BD的中点，N是AC的中点，连接MN．若AB＝4，CD＝4，MN＝2，∠BCD＝80°，则∠ABC＝ ．
【答案】55°．
【分析】取BC的中点E，连接ME，NE，由三角形中位线定理得出ME∥CD，NE∥AB，ME＝CD，NE＝AB，证明△MNE是等腰直角三角形，由平行线的性质可求出答案．
【详解】取BC的中点E，连接ME，NE，
∵M是BD的中点，N是AC的中点，
∴ME，NE分别是△BCD和△ABC的中位线，
∴ME∥CD，NE∥AB，ME＝CD，NE＝AB，
∴∠BCD＝∠MEB，∠ABC＝∠NEC，
∵AB＝4，CD＝4，MN＝2，
∴ME＝2，NE＝2，
∵ME2+NM2＝22+22＝8，NE2＝8，
∴ME2+MN2＝NE2，
∴∠EMN＝90°，
∴△MNE是等腰直角三角形，
∴∠MEN＝45°，
∵∠BCD＝80°，
∴∠BEM＝∠BCD＝80°，
∴∠NEC＝180°﹣∠MEN﹣∠BEM＝180°﹣45°﹣80°＝55°，
∴∠ABC＝55°．
故答案为：55°．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理，平行线的性质，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
16．（2023下·浙江嘉兴·八年级统考阶段练习）如图，△ABC 的周长为 17，点 D，E 在边 BC 上，∠ABC 的平分线垂直于 AE，垂足为G，∠ACB 的平分线垂直于 AD，垂足为 F，若 BC=6，则 FG 的长度为 ．
【答案】2.5
【分析】通过证明三角形全等可以得到，点F和点G分别为线段AD、AE的中点，再利用三角形中位线定理可得线段DE的长度.
【详解】∵CF平分∠ACB，BG平分∠ABC，∴ ，
又∵ ，∴
在三角形 和 中； 和 中
∴(ASA) ，(ASA)
∴ （全等三角形对应边相等），
所以点F和点G分别为线段AD、AE的中点，
∵FG是的中位线，则 .
又∵的周长为 17，即，∴
∵，∴ ，
∵ ∴可得
所以 .
【点睛】本题旨在考查中位线定理及三角形全等，熟练掌握三角形中位线定理是本题的关键.
三、解答题
17．（2023下·全国·九年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，DB=DC，点E、F分别为DB、BC的中点，连接AE、EF、AF．
（1）求证：AE=EF；
（2）当AF=AE时，设∠ADB=α，∠CDB=β，求α，β之间的数量关系式．
【答案】（1）见解析；（2）α，β之间的数量关系式为2α+β=60°．
【分析】（1）根据三角形的中位线的性质得到EF=CD，根据直角三角形的性质得到AE=BD，于是得到结论；
（2）根据题意得到△AEF是等边三角形，求得∠AEF=60°，根据三角形中位线的性质和三角形外角的性质即可得到结论．
【详解】（1）∵点E、F分别为DB、BC的中点，
∴EF=CD，
∵∠DAB=90°，
∴AE=BD，
∵DB=DC，
∴AE=EF；
（2）∵AF=AE，AE=EF，
∴△AEF是等边三角形，
∴∠AEF=60°，
∵∠DAB=90°，点E、F分别为DB、BC的中点，
∴AE=DE，EF∥CD，
∴∠ADE=∠DAE=α，∠BEF=∠BDC=β，
∴∠AEB=2∠ADE=2α，
∴∠AEF=∠AEB+∠FEB=2α+β=60°，
∴α，β之间的数量关系式为2α+β=60°．
【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，直角三角形的性质，平行线的性质，三角形外角的性质，正确的识别图形是解题的关键．
18．（2023下·全国·八年级期末）如图所示，在中，为的中点，平分，于点．
试说明：（1）；
（2）．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）延长交于点，可证明D点是AF的中点，即DE是△ABF的中位线，从而可得结论；
（2）由中位线定理可证明．
【详解】解：（1）证明：延长交于．
∵，平分，
∴．
又∵为的中点，
∴，
即．
（2）由（1）知，，
∴．
【点睛】本题主要考查了中位线定理和全等三角形的判定，解决本题的关键是作出辅助线，利用全等三角形来得出线段相等，进而应用中位线定理解决问题．
19．（2023下·辽宁锦州·八年级统考期末）如图，在等边△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使CF＝BC，连接CD和EF．
(1)求证：CD＝EF；
(2)猜想：△ABC的面积与四边形BDEF的面积的关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)△ABC的面积＝四边形BDEF的面积，理由见解析
【分析】（1）利用三角形中位线定理得出DE∥BC，DE＝BC，证明四边形DCFE是平行四边形，进而得出CD＝EF；
（2）根据AE＝CE可得△ADE的面积＝△DEC的面积，由平行四边形的性质可知△DEC的面积＝△ECF的面积，等量代换即可证得△ABC的面积＝四边形BDEF的面积．
【详解】（1）证明：∵D，E分别为AB，AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∵CF＝BC，
∴DE＝FC，
∵DE∥FC，
∴四边形DCFE是平行四边形，
∴CD＝EF；
（2）△ABC的面积＝四边形BDEF的面积，
理由：∵AE＝CE，
∴△ADE的面积＝△DEC的面积，
∵四边形DCFE是平行四边形，
∴△DEC的面积＝△ECF的面积，
∴△ADE的面积＝△ECF的面积，
∴△ABC的面积＝四边形BDEF的面积．
【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质，平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理等知识，灵活运用各性质定理进行推理论证是解题关键．
20．（2023上·上海徐汇·八年级上海市西南位育中学校考期中）如图，AD∥BC，点E是AB的中点，联结DE并延长交CB的延长线于点F，点G在边BC上，且∠GDF＝∠ADF．
(1)求证：AD＝BF；
(2)当点G是FC的中点时，判断△FDC的形状．
【答案】(1)见解析；
(2)直角三角形．
【分析】（1）由两直线平行内错角相等得到∠ADE＝∠BFE，继而证明△ADE≌△BFE（AAS），最后根据全等三角形的对应边相等解题；
（2）由△ADE≌△BFE得：DE＝FE，再结合等腰三角形的三线合一性质得到DE＝FE，再由平行线的性质解得CD⊥DF，据此解题．
【详解】（1）证明：∵AD//BC，
∴∠ADE＝∠BFE，
∵E为AB的中点，
∴AE＝BE，
在△ADE和△BFE中，
∴△ADE≌△BFE（AAS），
∴AD＝BF；
（2）解：△FDC是直角三角形，理由如下：
联结EG，
∵∠GDF＝∠ADE，∠ADE＝∠BFE，
∴∠GDF＝∠BFE，
由（1）△ADE≌△BFE得：DE＝FE，
即GE为DF上的中线，
∴GE⊥DF，
∵点G是FC的中点，DE＝FE，
∴GE//CD，
∴CD⊥DF，
∴△FDC是直角三角形．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的性质、直角三角形的判定、等腰三角形三线合一的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
21．（2023上·河南洛阳·九年级校考阶段练习）如图，M是ΔABC的边BC的中点，AN平分BAC, BNAN于点N延长BN交AC于点D，已知AB=10,BC=15,MN=3
（1）求证：ΔBAN≌ΔDAN
（2）求ΔABC的周长
【答案】（1）详见解析；（2）41
【分析】（1）根据题意∠1=∠2，AN=AN，∠ANB=∠AND=90°，即可证明ΔBAN≌ΔDAN；
（2）由（1）可知，AB=AD，N为BD的中点，则MN为中位线，得CD=2MN，然后计算可得周长.
【详解】解：（1）∵AN平分BAC，
∴∠1=∠2，
∵BNAN，
∴∠ANB=∠AND=90°，
∵AN=AN，
∴ΔBAN≌ΔDAN（ASA）；
（2）由ΔBAN≌ΔDAN，
∴AB=AD，BN=DN，
∴N为BD的中点，
∵M是ΔABC的边BC的中点，
∴MN为△BCD的中位线，
∴CD=2MN=6，
∵AB=AD=10，BC=15，
∴ΔABC的周长=AB+BC+AC=AB+BC+AD+DC=10+15+10+6=41.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线定理，以及三角形中位线定理，解题的关键是正确找到证明全等的条件.
22．（2023·江西南昌·一模）（1）化简：(2x+1)(2x﹣1)+(x+1)(1﹣2x)．
（2）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，E，F，M分别是AD，DC，AC的中点，连接EF，BM，求证：EF=BM．
【答案】（1）2x2﹣x；（2）证明见解析．
【分析】（1）原式利用平方差公式，以及多项式乘以多项式法则计算，合并即可得到结果；
（2）根据三角形的中位线定理和直角三角形斜边中线的性质可得结论．
【详解】（1）解：（2x+1）（2x-1）+（x+1）（1-2x）．
=4x2-1+x-2x2+1-2x，
=2x2-x；
（2）证明：∵E，F分别是AD，DC的中点，
∴EF是△ADC的中位线，
∴EF=AC，
∵AB⊥BC，M是AC的中点，
∴BM=AC，
∴EF=BM．
【点睛】本题属于计算和几何的综合题，考查了整式的混合运算，三角形的中位线定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，熟练掌握定理和性质是关键．
23．（2023下·河南漯河·八年级统考期末）加图，在中，．点是斜边的中点，，垂足为，若，求的长．
【答案】
【分析】先证明∥，根据平行线性质可证得DE为△ABC的中位线，求得BC，再根据勾股定理求得CE和BE即可．
【详解】解：在中，，
∴∥，
点为中点，
∴DE为△ABC的中位线，又，
，
在中，，
由勾股定理得，
∴在中，由勾股定理得：．
【点睛】本题考查平行线的判定与性质、中位线的判定与性质、勾股定理，熟练掌握中位线的判定与性质是解答的关键．
24．（2023上·吉林长春·九年级统考阶段练习）如图，是等边三角形，点在边上(点与点不重合) ，过点作交于点，连结，分别为的中点，连结．
（1）求证：
（2）的大小是 ．
【答案】（1）见解析；（2）120°
【分析】（1）易证△ADE是等边三角形，可求得，然后利用三角形中位线定理得到，，即可证明；
（2）根据三角形中位线定理和三角形外角的性质求出∠MNE＝∠ABE，∠ENP＝120°－∠ABE，然后根据∠MNP＝∠MNE＋∠ENP计算即可.
【详解】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠ABC=∠ACB=60°，
∵DE∥AB，
∴∠ABC=∠ADE=60°，∠ACB=∠AED=60°，
∴∠ADE=∠AED=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD=AE，
∴，
∵M、N分别为DE、BE的中点，
∴，
∵N、P分别为BE、BC的中点，
∴，
∴；
（2）∵M、N、P分别为DE、BE、BC的中点，
∴MN∥AB，NP∥EC，
∴∠MNE＝∠ABE，∠BNP＝∠BEC＝∠A＋∠ABE＝60°＋∠ABE，
∴∠ENP＝180°－∠BNP＝180°－60°－∠ABE＝120°－∠ABE，
∴∠MNP＝∠MNE＋∠ENP＝∠ABE＋120°－∠ABE＝120°，
故答案为：120°.
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形中位线定理，平行线的性质以及三角形外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
25．（2023下·辽宁鞍山·八年级统考期中）如图，点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，连接BE，过点C作CF∥BE，交DE的延长线于点F，若DE＝1，求DF的长．
【答案】．
【分析】根据三角形中位线定理求出BC=2，再证明四边形为平行四边形得EF=BC，从而可得结论．
【详解】解：∵、分别是边、的中点
∴ ∥
∵
∴
∵∥
∴四边形为平行四边形
∴
∴．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理、平行四边形判定与性质等知识，熟知三角形中位线定理是解题的关键．
26．（2023下·黑龙江黑河·八年级统考期末）如图，在中，，，点在上，若，平分．
（1）求的长；
（2）若是中点，求线段的长．
【答案】（1）12；（2）5．
【分析】（1）先根据线段的和差可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，然后在中，利用勾股定理即可得；
（2）利用三角形的中位线定理即可得．
【详解】解：（1），
，
，
，
是等腰三角形，
平分，，
，
则在中，；
（2）由（1）可知，，即点是的中点，
是中点，
是的中位线，
．
【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一、三角形中位线定理等知识点，熟练掌握等腰三角形的三线合一是解题关键．
27．（2023上·浙江温州·九年级瑞安市安阳实验中学校考期中）如图，在等腰中，，点在的延长线上，， 点在边上，．
（1）求证：；
（2）求的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）1．
【分析】（1）先根据等腰三角形的性质可得，再根据三角形的外角性质、等量代换可得，然后根据等腰三角形的判定即可得证；
（2）过点作，交于点，先根据三角形全等的判定定理证出，再根据全等三角形的性质可得，然后根据线段的和差可得，最后根据三角形中位线定理即可得．
【详解】证明：（1），
，
，
，
；
（2）如图，过点作，交于点，
，
在和中，，
，
，
，
，
设，则，
，
，即点是的中点，
又，
是的中位线，
，
即．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形中位线定理、三角形全等的判定定理与性质等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．
28．（2022下·吉林长春·八年级吉林省第二实验学校校考期中）【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容．
(1)【定理证明】
请根据教材内容结合图1，写出证明过程．
(2)【定理应用】
如图2，在中，AD垂直于的平分线BE于点E，且交BC边于点D，点F为AC的中点．若，，请直接写出EF的长______；
(3)如图3，的中线BD、CE相交于点O，F、G分别是BO、CO的中点，连接DE、EF、FG、GD．若的面积为18，则四边形DEFG的面积为______；
【答案】(1)见解析
(2)2
(3)24
【分析】（1）根据角和线段比例关系证△ADE∽△ABC即可得证结论；
（2）根据ASA证△AEB≌△DEB，得出AE=DE，BD=AB=3，求出CD=BC-BD=4，根据F是AC的中点得出EF=CD即可；
（3）先证四边形DEFG是平行四边形，得出则四边形DEFG的面积，即可求出四边形的面积．
【详解】（1）∵点D、E分别是AB与AC的中点，
∴，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴∠ADE=∠ABC，
∴DE∥BC，DE=BC；
（2）∵BE平分∠ABC，BE⊥AD于点E，
∴∠ABE=∠DBE，∠BEA=∠DEB=90°，
又∵BE=BE，
∴△AEB≌△DEB（ASA），
∴AE=DE，BD=AB=3，
∴CD=BC-BD=7-3=4，
又∵点F是AC的中点，
∴EF=CD=2，
故答案为：2；
（3）∵点F、G分别是BO和CO的中点，
∴FG∥BC，且FG=BC，
由（1）知，ED∥BC，且ED=BC，
∴ED∥FG，ED=FG，
∴四边形DEFG是平行四边形，
∵DE是△ADB的边AB上的中位线，
∴△DAE与△DBE等底等高，即△DBE的面积为18，
∵四边形DEFG是平行四边形，
∴OD=OF，
∵F点是OB的中点，
∴OF=BF，
∴BF=OF=OD，
∴△EBF、△EFO、△EOD等底等高，
即这三个三角形的面积相等都是18÷3=6，
∴S△EFD=2S△EFB=12，
∴四边形DEFG的面积是：2S△EFD=24，
故答案为：24．
【点睛】本题主要考查三角形中位线定理的证明和应用，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形中位线定理的证明和应用是解题的关键．
29．（2023下·广西南宁·八年级南宁市天桃实验学校校考阶段练习）【温故知新】在研究平行四边形时，我们经历了将平行四边形问题转化为三角形问题来解决的过程，如图表①；同时我们也经历了利用平行四边形研究三角形的有关问题如图表②．
图表① 图表②
问题：求证平行四边形对边相等 策略：平行四边形问题三角形全等问题 问题：如图，D，E分别的中点，求证：，且． 策略：三角形问题平行四边形 进而得到与的位置和数量关系
总结：①平行四边形问题可以通过构造对角线转化为三角形问题；同样的三角形问题也可以转化为平行四边形问题； ②全等三角形和平行四边形是研究边、角关系的重要工具．
【迁移应用】请你根据已学的知识和学习经验解决下面问题：问题：．
(1)如图1，是的中线，若，求中线的取值范围；
(2)如图2，在梯形中，点M，N分别是的中点，连接．试判断与有什么数量关系和位置关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)，；理由见解析
【分析】（1）延长到点E，使，连接，证明，利用三角形的三边关系得到，即可得解；
（2）连接并延长交的延长线于点，证明，推出是的中位线，得到，，进而得到，利用平行公理，得到，即可．
【详解】（1）解：延长到点E，使，连接．
∵是中线，
∴，
在三角形和三角形中
，
∴．
∴．
在中，，
由三角形的三边关系定理得：
，即．
∵，
∴．
（2），，证明如下：
连接并延长交的延长线于点，
∵M是的中点，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴．
∴，
∴M是的中点．
又∵N是的中点，
∴是的中位线，
∴，．
∵
∴，
∴．
∵，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理．熟练掌握倍长中线法构造全等三角形，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，是解题的关键．
30．（2022下·新疆乌鲁木齐·八年级新疆生产建设兵团第一中学校考期中）如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，，，点D足OA的中点，动点P在线段BC上以每秒2个单位长的速度由点C向B运动．设动点P的运动时间为t秒．
(1)直接写出B点坐标______，用含t的代数式表示______．当______时，四边形PODB是平行四边形．
(2)在直线CB上是否存在一点Q，使得O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求出O点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)在线段PB上有一点M，且，求，画出当四边形OAMP的周长最小时，点M与P的位置，并求出此时的t值．（保留作图痕迹）
【答案】(1)（10，4），，
(2)，或，或，
(3)画图见解析，
【分析】（1）先求出OA，OC得到B的坐标，进而求出OD＝5，再由运动知BP＝10 2t，进而由平行四边形的性质建立方程10 2t＝5即可得出结论；
（2）分三种情况讨论，利用菱形的性质和勾股定理即可得出结论；
（3）先判断出四边形OAMP周长最小，得出AM＋DM最小，即可确定出点M的位置，再用三角形的中位线得出BM，进而求出PC，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵四边形OABC是矩形，，，，
∴AB=OC=4，OA=BC=10，AB⊥x轴，
∴点B的坐标为（10，4）；
∵动点P在线段BC上以每秒2个单位长的速度由点C向B运动．动点P的运动时间为t秒，
∴；
∵点是的中点，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴；
故答案为：（10，4），，；
（2）解：①当点在的右边时，如图1，
∵四边形为菱形，
∴，
∴在中，由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴；
②当点在的左边且在线段上时，如图2，
同①的方法可得，
∴，，
∴；
③当点在的左边且在的延长线上时，如图3，
同①的方法得出，，
∴，，
∴；
综上所述，，或，或，
（3）解：如图4，
由（1）知，，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵四边形的周长为，
，
∴最小时，四边形的周长最小，
∴作点关于的对称点，连接交于，
∴，ME=MA，
∴∠E=∠MAE，
∵∠E+∠ADE=90°=∠MAD+∠MAE，
∴∠ADE=∠MAD，
∴MD=MA=ME，即点M为DE的中点，
又∵点B是AE的中点，
∴BM是△ADE的中位线，
∴，
∴
∴．
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，菱形的性质，平行四边形的判定与性质，轴对称最短路径问题，三角形中位线定理，勾股定理，解（1）的关键是求出OD的值，解（2）的关键时分类讨论的思想，解（3）的关键是找出点M的位置，是一道中等难度的中考常考题．
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