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专题02 图形的旋转
考点类型
知识一遍过
（一）旋转的定义
（1）旋转的概念：在平面内，把一个平面图形绕着平面内一个定点沿某一方向转动一个角度，就叫做图形的旋转．这个定点叫做旋转中心．转动的角叫做旋转角
如图所示，是绕定点逆时针旋转得到的，其中点与点叫作对应点，线段与线段叫作对应线段，与叫作对应角，点叫作旋转中心，（或）的度数叫作旋转的角度.
（2）【注意】旋转中心可以是图形内，也可以是图形外。
（3）【图形旋转的三要素】旋转中心、旋转方向和旋转角.
（二）旋转的性质
旋转的 性质 (1)对应点到旋转中心的距离相等; (2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角; (3)旋转前、后的图形全等
重点 解读 (1)图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度; (2)对应点到旋转中心的距离相等,对应线段相等,对应角相等; (3)图形的大小和形状都没有发生改变,只改变了图形的位置
（三）旋转作图
旋转作图 的依据 (1)任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角; (2)对应点到旋转中心的距离相等
作图要素 (1)原图;(2)旋转中心;(3)旋转方向;(4)旋转角;(5)一对对应点
作图步骤 (1)连:连接原图形中一个关键点与旋转中心. (2)转:根据旋转方向与旋转角度,以(1)中关键点与旋转中心的连线为一边作一个旋转角. (3)截:在该旋转角的另一边上,从旋转中心开始截取此关键点到旋转中心的长度,得到该点的对应点.重复上述操作,作出所有关键点的对应点. (4)接:按原图形顺次连接所得到的各点. 注意:为了避免作图时的混乱,以上连、转、截这三步每个点独立完成后,再进行下一个点的旋转
考点一遍过
考点1：旋转的定义
典例1：（2023下·七年级单元测试）如图所示的各图中，上方图形可看成由下方图形绕着一个顶点顺时针旋转90°而形成的是( )
A． B． C． D．
【变式1】（2024下·全国·七年级假期作业）下列运动属于旋转的是（ ）
A．火箭升空的运动 B．升旗时红旗上升的过程 C．大风车运动的过程 D．传输带的运动
【变式2】（2023下·江苏宿迁·八年级沭阳县怀文中学校考阶段练习）下列运动属于数学上的旋转的有（ ）．
A．钟表上的时针运动 B．城市环路公共汽车
C．地球绕太阳转动 D．将等腰三角形沿着底边上的高对折
【变式3】（2022·湖南永州·统考一模）如图，在平面内将风车绕其中心旋转后所得到的图案是（ ）
A． B． C． D．
考点2：旋转的性质——旋转中心、旋转角
典例2：（2024上·陕西延安·九年级统考期末）风力发电机可以在风力作用下发电，如图，该叶片图案绕中心旋转后能与原来的图案重合，则的值不可能的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2024上·北京朝阳·九年级统考期末）在如图所示的正方形网格中，四边形绕某一点旋转某一角度得到四边形（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点中，可能是旋转中心的是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【变式2】（2023上·广西南宁·九年级校考期中）如图，是由绕A点旋转得到的，若，，则旋转角的度数为( )
A． B． C． D．
【变式3】（2023上·河南驻马店·九年级统考期中）如图，可由旋转而成，点的对应点是，点的对应点是，在平面直角坐标系中，三点坐标为，，，则旋转中心的坐标为（ ）
A． B． C． D．
考点3：旋转的性质——求角
典例3：（2023上·辽宁盘锦·九年级统考期末）将直角三角板绕顶点逆时针旋转到的位置，使点落到边上，若，，则( )
A． B． C． D．
【变式1】（2024上·安徽合肥·九年级统考期末）如图，将绕点O，按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023上·浙江绍兴·九年级校联考期中）如图，在中，，将绕点C按逆时针方向旋转，得到 ，点A的对应点落在AB边上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2024上·天津宁河·九年级统考期末）如图，将绕点A旋转到的位置，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
考点4：旋转的性质——求线段
典例4：（2022下·江苏淮安·八年级统考期末）如图，将绕点A顺时针旋转一定的角度得到，此时点B恰在边上，若，，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式1】（2024上·辽宁大连·九年级统考期末）如图，将绕点顺时针旋转得到，若线段，则的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【变式2】（2023上·山东淄博·八年级统考期末）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，点B落在点D处，则B、D两点间的距离为（ ）
A． B． C．3 D．
【变式3】（2023上·福建福州·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，点的坐标为，将绕着点顺时针旋转，得到，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
考点5：旋转中的坐标与图形变换
典例5：（2024上·广东肇庆·九年级统考期末）如图，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，那么的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023上·天津西青·九年级校考期中）如图，在平面首角坐标系中，点A，C在x轴上，点C的坐标为，．将先绕点C顺时针旋转，则变换后点A的对应点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023上·山东临沂·九年级统考期中）将含有角的直角三角板如图放置在平面直角坐标系中，在轴上，若，将三角板绕原点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2023上·广西南宁·九年级广西大学附属中学校考阶段练习）如图，在方格纸上建立的平面直角坐标系，A的坐标为，将绕点O按顺时针方向旋转，得，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
考点6：旋转作图
典例6：（2023上·四川自贡·九年级校考期中）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点，，均在格点上，
(1)画出将向下平移4个单位长度得到的；
(2)画出绕点C逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标；
【变式1】（2023上·浙江绍兴·九年级校联考期中）如图，的三个顶点都在网格的格点上，网格中的每个小正方形的边长均为一个长度单位，以点建立平面直角坐标系．
(1)画出绕点逆时针旋转后所得的图形；
(2)写出点，的坐标；
(3)求四边形的面积．
【变式2】（2024上·北京东城·八年级景山学校校考期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标为，，，将绕原点逆时针旋转，得到，将向右平移6个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，
(1)画出和；
(2)经旋转后点的对应点分别为，是的边上一点，经旋转、平移后点的对应点分别为，，请写出点，，的坐标；
【变式3】（2022上·四川成都·八年级四川省成都市石室联合中学校联考期末）如图，在平面直角坐标系中，，，．
(1)在图中作出关于x轴对称的；
(2)在图中作出绕点O逆时针旋转的图形，并写出的坐标；
(3)求的面积．
考点7：旋转的综合应用——最值
典例7：（2023下·甘肃兰州·八年级兰州十一中校考期中）如图，已知在中，，，将绕点逆时针旋转．得到．点是边的中点，点为边上的动点，在绕点逆时针旋转的过程中，点的对应点是点，则线段长度的最大值与最小值的差是（ ）．
A． B． C． D．18
【变式1】（2023上·河南洛阳·九年级统考期中）如图，在矩形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，连接EF，G是EF的中点，连接DG．在中，，，若将绕点B逆时针旋转，则在旋转的过程中，线段DG长的最大值是（ ）
A． B． C．10 D．12
【变式2】（2023下·陕西榆林·八年级统考期末）如图，点到等边三角形的顶点，的距离分别为，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2023·江苏南通·校考模拟预测）如图，线段，为的中点，动点到点的距离是1，连接，线段绕点逆时针旋转90°得到线段，连接，则线段长度的最大值是（ ）
A．2 B．3 C． D．
考点8：旋转的综合应用——周期
典例8：（2023下·广东佛山·八年级统考期末）如图是一个装饰连续旋转闪烁所成的四个图形，照此规律闪烁，第2021次闪烁呈现出来的图形是（ ）
A．B． C． D．
【变式1】（2023·山东济宁·统考一模）如图，矩形ABCD中AB是3cm，BC是2cm，一个边长为1cm的小正方形沿着矩形ABCD的边AB→BC→CD→DA→AB连续地翻转，那么这个小正方形第一次回到起始位置时，小正方形箭头的方向是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023上·重庆南川·九年级期中）有两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心O按逆时针方向进行旋转，每次均旋转45°，第1次旋转后得到图①，第2次旋转后得到图②，……，则第2021次旋转后得到的图形与图①﹣④中相同的是（ ）
A．图① B．图② C．图③ D．图④
【变式3】（2023上·重庆·七年级重庆实验外国语学校校考阶段练习）等边三角形（三条边都相等的三角形是等边三角形）纸板ABC在数轴上的位置如图所示，点A、B对应的数分别为2和1，若△ABC绕着顶点逆时针方向在数轴上连续翻转，翻转第1次后，点C所对应的数为0，则翻转2023次后，点C所对应的数是（ ）
A．﹣2021 B．﹣2022 C．﹣2023 D．﹣2024
考点9：旋转的综合应用——规律探究
典例9：（2023上·广东江门·九年级江门市培英初级中学校考阶段练习）如图,在平面直角坐标系中,点的坐标为,将线段绕点O按逆时针方向旋转,再将其长度伸长为的倍,得到线段;又将线段绕点O按逆时针方向旋转,长度伸长为的倍,得到线段;如此下去,得到线段,,…（n为正整数）,则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023下·广东佛山·八年级校联考期末）如图，在平面直角坐标系中，射线是第一象限的角平分线，线段，将绕原点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束后，点对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2022下·河南周口·七年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，是边长为1个单位长度的小正方形的顶点，开始时，顶点，依次放在点，的位置，然后向右滚动，第1次滚动使点落在点的位置，第2次滚动使点落在点的位置，…，按此规律滚动下去，则第2022次滚动后，顶点的坐标是( )
A． B． C． D．
【变式3】（2023上·全国·九年级专题练习）如图在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形，，直角边在x轴上，且．将绕原点O顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，再将绕原点O顺时针旋转得到等腰三角形，且…，依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标（ ）
A．B． C． D．
考点10：旋转的综合应用——几何综合
典例10：（2023上·河南濮阳·八年级统考期中） 已知：如图 1， 中， ，D、E分别是、上的点， 不难发现、的关系．
(1)将 绕A 点 旋转到图2 位 置时，写出、的 数量关系 ；
(2)当 时，将 绕 A 点 旋转到图3 位置．
①猜想与有什么数量关系和位置关系 请就图3 的情形进行证明；
②当点 C、D、E 在同一直线上时，直接写出的度数 ．
【变式1】（2023上·安徽阜阳·九年级统考期中）如图1，，分别是正方形的边，上的动点，且满足，试判断线段，，之间的数量关系，并说明理由．
小聪同学的想法：将顺时针旋转，得到，然后通过证明三角形全等可得出结论．
请你参考小聪同学的思路完成下面的问题．
(1)线段，，之间的数量关系是______．
(2)如图2，在正方形中，，连接，分别交，于点，，试判断线段，，之间的数量关系，并说明理由．
【变式2】（2023上·湖北襄阳·九年级统考期中）在中，．
(1)特例证明：如图1，点D，E分别在线段上，，求证：．
(2)探索发现：将图1中的绕点C逆时针旋转α（）到图2位置，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
(3)拓展运用：如图3，点D在内部，当时，若，求线段的长．
【变式3】（2022下·安徽合肥·八年级校考期中）（1）（操作发现）
如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的三个质点均在格点上，现将绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为，点C的对应点为，连接，如图所示则__________；
（2）（解决问题）
如图2条等边内有一点P，且，，，如果将绕点B逆时针旋转得出，求的度数和的长；
（3）（灵活运用）
如图将（2）题中“在等边内有一点P”改为“在等腰直角三角形 内有一点P”且，，，，求的度数．
同步一遍过
一、单选题
1．（2022·黑龙江哈尔滨·校考模拟预测）如图，将绕直角顶点顺时针旋转，得到，连接，若，则的度数是（ ）．
A． B． C． D．
2．（2023上·七年级课时练习）下列现象中属于旋转的是（ ）
A．鼠标在鼠标垫上滑动 B．拧开冰红茶瓶盖 C．一轮红日缓缓升起 D．空中下落的硬币
3．（2022上·河北石家庄·七年级石家庄市第四十一中学校考期末）如图，将绕点O按逆时针方向旋转70°后得到，已知，则等于（ ）°
A．34 B．36 C．54 D．56
4．（2023上·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点．以点P为旋转中心，把点A按逆时针方向旋转，得点B．在，，，四个点中，直线经过的点是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023上·广东广州·九年级统考期末）如图，在中，，在同一平面内，将绕点逆时针方向旋转到，点恰好落在边的延长线上，则( )
A． B． C． D．
6．（2023上·湖北省直辖县级单位·九年级校联考期中）如图，在，，，将在平面内绕点逆时针旋转到 的位置，连接．若AB∥CC'，则旋转角的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023下·山东菏泽·八年级统考期中）将如图所示的图案绕其中心旋转一个合适的角度可以和原图案重合，这个旋转角的最小度数为（ ）
A．45° B．60° C．75° D．90°
8．（2023·江苏南通·校考模拟预测）如图，线段，为的中点，动点到点的距离是1，连接，线段绕点逆时针旋转90°得到线段，连接，则线段长度的最大值是（ ）
A．2 B．3 C． D．
9．（2023下·全国·八年级统考期末）把∠A是直角的△ABC绕A点沿顺时针方向旋转85°，点B转到点E，点C转到点F得△AEF，则以下结论错误的是( )
A．∠BAE＝85° B．AC＝AF C．EF＝BC D．∠EAF＝85°
10．（2023下·山西·七年级统考期末）在正方形网格中，线段是线段绕某点逆时针旋转得到的，点与点A对应，则旋转中心是（ ）
A．点M B．点N C．点P D．点Q
二、填空题
11．（2023下·八年级课时练习）如图，边长为4的等边中，D为中点，M是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点B逆时针旋转得到，连接，则在点M运动过程中，线段长度的最小值是 ．
12．（2022下·福建三明·八年级统考期中）如图所示，将一个含角的直角三角板绕点旋转，使得点，，在同一条直线上，则三角板旋转的角度是 ．
13．（2023·天津和平·九年级校联考期末）一个正三角形绕着内心旋转一定角度后图形能和自身重合，这个角度的最小值是 度．
14．（2022下·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨德强学校校考阶段练习）如图，在中，，以直角顶点C为旋转中心，将逆时针旋转到的位置，其中分别是A、B的对应点，且点B在斜边上直角边交于点D．则旋转角的度数为 ．
15．（2023·江苏·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在方格线的格点上，将△ABC绕点P顺时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，则点P的坐标为 ．
16．（2023下·山东济宁·九年级济宁市第十五中学校考阶段练习）如图，中，，，，是内部的任意一点，连接、、，则的最小值为 ．
三、解答题
17．（2023·安徽合肥·统考二模）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点（顶点式网格线的交点），，，．
(1)先将竖直向下平移5个单位，再水平向右平移2个单位得到，请画出；
(2)将绕A点逆时针旋转，得到，请画出．
18．（2023上·陕西西安·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系内，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（0，﹣1），C（3，﹣1）．
（1）画图：将△ABC绕点A逆时针旋转90°，画出旋转后对应的△AB1C1；
（2）平移△ABC，使点A的对应点A2的坐标为（5，3），画出平移后对应的△A2B2C2．
19．（2023下·全国·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点分别为A(-1，4)，B(-3，1)，C(-3，4)，△A1B1C1是由△ABC绕某一点旋转得到的.
(1)请直接写出旋转中心的坐标是________，旋转角是_____°；
(2)将△ABC平移得到△A2B2C2，使得点A2的坐标为(0，-1)，请画出平移后的△A2B2C2，并求出平移的距离.
20．（2023下·北京石景山·八年级统考期末）正方形中，点是直线上的一个动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．
（1）如图1，若点在线段上，
①直接写出的度数为 °；
②求证：；
（2）如图2，若点在的延长线上，，，
①依题意补全图2；
②直接写出线段的长度为 ．
21．（2022上·黑龙江齐齐哈尔·九年级校考期中）如图所示，在平面直角坐标系中，△的三个顶点坐标分别为A（1，4）、B（4，2）、C（3，5）（每个方格的边长均为1个单位长度）
(1)请画出向下平移5个单位后得到的；
(2)将绕点O逆时针旋转90°，画出旋转后得到的，并直接的长．
22．（2023下·江苏泰州·八年级校考阶段练习）如图顶点坐标为、、．
(1)的面积是______；
(2)画出关于y轴对称的；在y轴上作一点D，使的周长最短，点坐标为______；
(3)请画出绕原点顺时针旋转后，并写出点、坐标．
23．（2023上·浙江衢州·八年级衢州市实验学校教育集团（衢州学院附属学校教育集团）校考期末）如图，已知是等腰三角形，，，点在边上，将绕点逆时针旋转得到，且点，，三点在同一条直线上．
(1)的度数是______，的度数是______；
(2)求证：；
(3)若，求的长度．
24．（2023上·江西赣州·九年级统考期中）如图，和都是等边三角形，且B、C、D三点共线．
(1)可以看作是由 绕着点 ，逆时针旋转 得到；
(2)试证明这两个三角形全等．
25．（2023上·江苏扬州·七年级校考期末）如图，以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC＝70°，将一个直角三角板的直角顶点放在点O处．（注：∠DOE＝90°）
(1)如图①，若直角三角板DOE的一边OD放在射线OB上，则∠COE＝ °；
(2)如图②，将直角三角板DOE绕点O转动，如果OD在∠BOC的内部，且∠BOD＝50°，求∠COE的度数；
(3)将直角三角板DOE绕点O转动一周，如果OD在∠BOC的外部，则∠BOD和∠COE有怎样的数量关系？请直接写出答案．
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专题02 图形的旋转
考点类型
知识一遍过
（一）旋转的定义
（1）旋转的概念：在平面内，把一个平面图形绕着平面内一个定点沿某一方向转动一个角度，就叫做图形的旋转．这个定点叫做旋转中心．转动的角叫做旋转角
如图所示，是绕定点逆时针旋转得到的，其中点与点叫作对应点，线段与线段叫作对应线段，与叫作对应角，点叫作旋转中心，（或）的度数叫作旋转的角度.
（2）【注意】旋转中心可以是图形内，也可以是图形外。
（3）【图形旋转的三要素】旋转中心、旋转方向和旋转角.
（二）旋转的性质
旋转的 性质 (1)对应点到旋转中心的距离相等; (2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角; (3)旋转前、后的图形全等
重点 解读 (1)图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度; (2)对应点到旋转中心的距离相等,对应线段相等,对应角相等; (3)图形的大小和形状都没有发生改变,只改变了图形的位置
（三）旋转作图
旋转作图 的依据 (1)任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角; (2)对应点到旋转中心的距离相等
作图要素 (1)原图;(2)旋转中心;(3)旋转方向;(4)旋转角;(5)一对对应点
作图步骤 (1)连:连接原图形中一个关键点与旋转中心. (2)转:根据旋转方向与旋转角度,以(1)中关键点与旋转中心的连线为一边作一个旋转角. (3)截:在该旋转角的另一边上,从旋转中心开始截取此关键点到旋转中心的长度,得到该点的对应点.重复上述操作,作出所有关键点的对应点. (4)接:按原图形顺次连接所得到的各点. 注意:为了避免作图时的混乱,以上连、转、截这三步每个点独立完成后,再进行下一个点的旋转
考点一遍过
考点1：旋转的定义
典例1：（2023下·七年级单元测试）如图所示的各图中，上方图形可看成由下方图形绕着一个顶点顺时针旋转90°而形成的是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】观察图形，根据图形的特征及旋转方向做出判定即可.
【详解】选项A、C顺时针旋转对角线是相交而不是重叠；选项D，顺时针旋转不重叠；只有选项符合题意．故选B．
【点睛】本题考查了旋转图形的性质，熟知旋转图形的性质是解决问题的关键．
【变式1】（2024下·全国·七年级假期作业）下列运动属于旋转的是（ ）
A．火箭升空的运动 B．升旗时红旗上升的过程 C．大风车运动的过程 D．传输带的运动
【答案】C
【解析】略
【变式2】（2023下·江苏宿迁·八年级沭阳县怀文中学校考阶段练习）下列运动属于数学上的旋转的有（ ）．
A．钟表上的时针运动 B．城市环路公共汽车
C．地球绕太阳转动 D．将等腰三角形沿着底边上的高对折
【答案】A
【分析】根据旋转的定义，在平面内，把一个图形绕着某一个点旋转一个角度的图形变换叫做旋转，进而分别判断得出答案．
【详解】解：A、钟表上的时针运动，属于旋转，故此选项符合题意；
B、城市环路公共汽车，不属于旋转，故此选项不符合题意；
C、地球绕太阳转动，不属于旋转，故此选项不符合题意；
D、将等腰三角形沿着底边上的高对折，不属于旋转，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题主要考查了生活中的旋转现象，正确把握定义是解题关键．
【变式3】（2022·湖南永州·统考一模）如图，在平面内将风车绕其中心旋转后所得到的图案是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据旋转的性质，旋转前后，各点的相对位置不变，得到的图形全等，找到关键点，分析选项可得答案．
【详解】解：根据旋转的性质，旋转前后，各点的相对位置不变，得到的图形全等，风车图案绕中心旋转180°后，阴影部分的等腰直角三角形的顶点向下，得到的图案是C．
故选：C．
【点睛】本题考查了利用旋转设计图案的知识，图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变．
考点2：旋转的性质——旋转中心、旋转角
典例2：（2024上·陕西延安·九年级统考期末）风力发电机可以在风力作用下发电，如图，该叶片图案绕中心旋转后能与原来的图案重合，则的值不可能的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角，该图形被平分成三部分，因而每部分被分成的圆心角是，并且圆具有旋转不变性，因而旋转的整数倍，就可以与自身重合，由此即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：由图可得：该图形被平分成三部分，每份的度数为，
旋转的整数倍，就可以与自身重合，
的值不可能的是，
故选：A．
【变式1】（2024上·北京朝阳·九年级统考期末）在如图所示的正方形网格中，四边形绕某一点旋转某一角度得到四边形（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点中，可能是旋转中心的是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】A
【分析】本题主要考查了旋转的性质，对应顶点到旋转中心的距离应相等且旋转角也相等，对称中心在连接对应点线段的垂直平分线上，连接，，作的垂直平分线，作的垂直平分线，交于点M，则M为旋转中心．
【详解】解：连接，， 作的垂直平分线，作的垂直平分线，交到在M处，所以可知旋转中心的是点M．如下图：
故选∶A．
【变式2】（2023上·广西南宁·九年级校考期中）如图，是由绕A点旋转得到的，若，，则旋转角的度数为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题主要考查了旋转的性质，根据题意得出是旋转角，即可求解．
【详解】是由绕点旋转得到的，
是旋转角，
，，
旋转角的度数为．
故选：A．
【变式3】（2023上·河南驻马店·九年级统考期中）如图，可由旋转而成，点的对应点是，点的对应点是，在平面直角坐标系中，三点坐标为，，，则旋转中心的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查旋转的性质，线段垂直平分线的性质．连接，分别作和的线段垂直平分线，且它们的交点即为旋转中心，由图写出其坐标即可．理解两线段垂直平分线的交点即为旋转中心是解答本题的关键．
【详解】如图，连接，分别作和的线段垂直平分线，且交于点P．则P点即为旋转中心．
由图可知P点坐标为，即旋转中心的坐标为．
故选：A．
考点3：旋转的性质——求角
典例3：（2023上·辽宁盘锦·九年级统考期末）将直角三角板绕顶点逆时针旋转到的位置，使点落到边上，若，，则( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质等知识由旋转得，，因为，所以是等边三角形，则，于是得到问题的答案．
【详解】解：由旋转得，，
点在边上，，
是等边三角形，
，
，
故选：C．
【变式1】（2024上·安徽合肥·九年级统考期末）如图，将绕点O，按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了旋转角的理解，利用定义从图形中准确得找出旋转角是关键．
根据绕点O按逆时针方向旋转后得到，可得，然后根据可以求出的度数．
【详解】解：∵绕点O按逆时针方向旋转后得到，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
【变式2】（2023上·浙江绍兴·九年级校联考期中）如图，在中，，将绕点C按逆时针方向旋转，得到 ，点A的对应点落在AB边上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，等边对等角，旋转的性质，先由三角形内角和定理得到，由旋转的性质得到，则，进一步利用三角形内角和定理求出，则．
【详解】解：∵在中，，
∴，
由旋转的性质可得，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【变式3】（2024上·天津宁河·九年级统考期末）如图，将绕点A旋转到的位置，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键；由题意易得，则有，然后根据直角三角形的两个锐角互余可进行求解．
【详解】解：由旋转的性质可知：，，
∴，，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
故选B．
考点4：旋转的性质——求线段
典例4：（2022下·江苏淮安·八年级统考期末）如图，将绕点A顺时针旋转一定的角度得到，此时点B恰在边上，若，，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．由旋转的性质可得，即可求解．
【详解】解：∵将绕点A顺时针旋转一定的角度得到，
，
∴．
故选：B．
【变式1】（2024上·辽宁大连·九年级统考期末）如图，将绕点顺时针旋转得到，若线段，则的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，根据旋转的性质可得，，然后判断出是等边三角形，再根据等边三角形的三条边都相等可得．
【详解】解：绕点顺时针旋转得到，
，，
是等边三角形，
，
，
．
故选：B．
【变式2】（2023上·山东淄博·八年级统考期末）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，点B落在点D处，则B、D两点间的距离为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】A
【分析】本题考查了旋转的性质及勾股定理，根据勾股定理先求，再根据旋转得出，进而用勾股定理求值即可．
【详解】解：连接，
∵在中，，
∴，
∵将绕点A逆时针旋转，使点C落在线段上的点E处，
∴，
∴，
在中，
．
故选：A．
【变式3】（2023上·福建福州·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，点的坐标为，将绕着点顺时针旋转，得到，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了坐标与图形变化 旋转，勾股定理，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半，求出的长度是解题的关键．作轴于M，再利用旋转的性质求出，根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半求出，利用勾股定理列式求出，然后求出点C的横坐标，再写出点C的坐标即可．
【详解】解：作轴于M，
∵点B的坐标为
∴
∵，
∴
∴，，
∴，
∴
故选：B．
考点5：旋转中的坐标与图形变换
典例5：（2024上·广东肇庆·九年级统考期末）如图，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，那么的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，全等三角形的性质与判定，由线段绕点顺时针旋转得到线段可以得出，，作轴于，轴于，就可以得出 ，就可以得出，，由的坐标就可以求出结论．
【详解】解：线段绕点顺时针旋转得到线段，
，．
作轴于，轴于，
．
，
，
．
在和△中，
，
，
∴，．
∵，
，，
，，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，点的坐标的运用，正确作出辅助线并证得 是解决问题的关键．
【变式1】（2023上·天津西青·九年级校考期中）如图，在平面首角坐标系中，点A，C在x轴上，点C的坐标为，．将先绕点C顺时针旋转，则变换后点A的对应点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据旋转变换的性质即可得到旋转变换后点A的对应点坐标．
【详解】解：∵点C的坐标为，，
∴点A的坐标为，
如图所示，将先绕点C顺时针旋转，
则点A的对应点的坐标为，
故选：C．
【点睛】本题考查的是坐标与图形变化—旋转，掌握旋转变换的性质是解题的关键．
【变式2】（2023上·山东临沂·九年级统考期中）将含有角的直角三角板如图放置在平面直角坐标系中，在轴上，若，将三角板绕原点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了坐标与图形变化和旋转求出旋转后与轴夹角为，然后求出点的横坐标与纵坐标，从而得解．
【详解】如图，
三角板绕原点顺时针旋转，
旋转后与轴夹角为，
，
，
点的横坐标为 ，
纵坐标为 ，
所以，点的坐标为．
故选：C．
【变式3】（2023上·广西南宁·九年级广西大学附属中学校考阶段练习）如图，在方格纸上建立的平面直角坐标系，A的坐标为，将绕点O按顺时针方向旋转，得，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】画出旋转后的图形即可求解．
【详解】解：如图，点的坐标为(1，3)．
故选D．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，熟练掌握网格结构作出旋转后的三角形，利用数形结合的思想求解更简便．
考点6：旋转作图
典例6：（2023上·四川自贡·九年级校考期中）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点，，均在格点上，
(1)画出将向下平移4个单位长度得到的；
(2)画出绕点C逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标；
【答案】(1)画图见解析
(2)画图见解析，点的坐标
【分析】本题主要考查了作图平移变换，旋转变换等知识，熟练掌握平移和旋转的性质是解题的关键．
（1）根据平移的性质即可画出图形；
（2）根据旋转的性质即可画出图形，从而得出点的坐标；
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求；
∴点的坐标．
【变式1】（2023上·浙江绍兴·九年级校联考期中）如图，的三个顶点都在网格的格点上，网格中的每个小正方形的边长均为一个长度单位，以点建立平面直角坐标系．
(1)画出绕点逆时针旋转后所得的图形；
(2)写出点，的坐标；
(3)求四边形的面积．
【答案】(1)见详解
(2)，
(3)12
【分析】本题主要考查了坐标与图形、旋转变换等知识，利用旋转的性质作出是解题关键．
（1）首先根据旋转的性质确定点的对应点，然后顺次连接即可；
（2）结合图形，即可获得答案；
（3）利用割补法求解即可．
【详解】（1）解：如下图，即为所求；
（2）由图形可知，，；
（3）．
答：四边形的面积为
【变式2】（2024上·北京东城·八年级景山学校校考期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标为，，，将绕原点逆时针旋转，得到，将向右平移6个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，
(1)画出和；
(2)经旋转后点的对应点分别为，是的边上一点，经旋转、平移后点的对应点分别为，，请写出点，，的坐标；
【答案】(1)见解析
(2)，，
【分析】本题主要考查了作图—旋转变换、平移变换，旋转的性质、平移的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）利用网格特点，旋转的性质和平移的性质画出图形即可；
（2）根据所画图形即可得出点的坐标，根据旋转和平移的性质可得，的坐标．
【详解】（1）解：如图，和即为所作，
；
（2）解：由图可得：，
由旋转和平移的性质可得：，．
【变式3】（2022上·四川成都·八年级四川省成都市石室联合中学校联考期末）如图，在平面直角坐标系中，，，．
(1)在图中作出关于x轴对称的；
(2)在图中作出绕点O逆时针旋转的图形，并写出的坐标；
(3)求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)见解析，
(3)2
【分析】本题考查作图-轴对称变换、旋转变换，熟练掌握轴对称的性质、旋转的性质是解答本题的关键．
（1）根据轴对称的性质作图即可．
（2）根据旋转的性质作图，即可得出答案．
（3）利用割补法求三角形的面积即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求．
（2）解：如图，即为所求．
∴．
（3）解：的面积为．
考点7：旋转的综合应用——最值
典例7：（2023下·甘肃兰州·八年级兰州十一中校考期中）如图，已知在中，，，将绕点逆时针旋转．得到．点是边的中点，点为边上的动点，在绕点逆时针旋转的过程中，点的对应点是点，则线段长度的最大值与最小值的差是（ ）．
A． B． C． D．18
【答案】C
【分析】如图，连接，作于，于．求出的最小值以及最大值即可解决问题．
【详解】解：如图，连接，作于，于，
∵绕点逆时针旋转得到，，，
∴点的对应点是点，，
，，
又∵点是边的中点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
在旋转过程中，当点与重合时，的值最小，最小值为：，
当点与重合时，的值最大，最大值为：，
∴线段长度的最大值与最小值的差是：．
故选：C．
【点睛】本题考查旋转变换，等腰三角形的性质，解直角三角形，等积变换，动点问题等知识．解题的关键是理解和掌握旋转变换的性质，学会用转化的思想思考问题．
【变式1】（2023上·河南洛阳·九年级统考期中）如图，在矩形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，连接EF，G是EF的中点，连接DG．在中，，，若将绕点B逆时针旋转，则在旋转的过程中，线段DG长的最大值是（ ）
A． B． C．10 D．12
【答案】C
【分析】连接BD、BG，在旋转的过程中，BG的长度保持不变始终等于EF=2，在△DBG中，BG+BD>GD，当D，B，G三点共线且B点在D、G之间时，DG最大，求出BD即可求解.
【详解】解：如图，△ BEF旋转到图中位置，连接BD、BG，
∵在△BEF中，∠EBF=90°，BE=2，∠BFE=30°，
∴EF=2BE=4，BF=2 ，
∵旋转前点E是AB的中点，点F是BC的中点，
∴AB=CD=4，BC=4，
∴BD=8.
∵在Rt△BEF中，点G是EF的中点，
∴BG=EF=2.
在△BEF的旋转过程中，BG的长不变，
∵在△DBG中，BG+BD>GD，
∴当D，B，G三点共线且B点在D、G之间时，DG最大，此时，DG=BG+BD=2+8=10，
∴DG的最大值为10.
故选C.
【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，三角形三边关系，勾股定理，含30°角的直角三角形性质，解题关键是判断出DG最长时G点的位置.
【变式2】（2023下·陕西榆林·八年级统考期末）如图，点到等边三角形的顶点，的距离分别为，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】把PA绕点A逆时针旋转60°，得AD，则DA＝PA，连CD，DP，CP，由△ABC为等边三角形ABC，得到∠DAC＝∠BAP，AC＝AB，于是有△DAC≌△PAB，则DC＝PB，所以PC≤DP＋DC，即可得到PC所能达到的最大值．
【详解】解：把PA绕点A逆时针旋转60°，得AD，
则DA＝PA，连CD，DP，CP，如图，
∵△ABC为等边三角形ABC，
∴∠BAC＝60°，AC＝AB，
∴∠DAC＝∠PAB，
在△DAC和△PAB中，
，
∴△DAC≌△PAB（SAS），
∴DC＝PB，
∵DA＝PA，,
∴为等边三角形，
∴,
而PB＝2，PA＝1，
∴DC＝2，
∵PC≤DP＋DC，
∴PC≤3，
所以PC所能达到的最大值为
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了等边三角形的性质和三角形全等的判定与性质．
【变式3】（2023·江苏南通·校考模拟预测）如图，线段，为的中点，动点到点的距离是1，连接，线段绕点逆时针旋转90°得到线段，连接，则线段长度的最大值是（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】D
【分析】以M为坐标原点建立坐标系，过点C作CD⊥y轴，垂足为D，过点P作PE⊥DC，垂足为E，延长EP交x轴于点F，设点P的坐标为（x，y），则x2＋y2＝然后证明△ECP≌△FPB，由全等三角形的性质得到EC＝PF＝y，FB＝EP＝2 x，从而得到点C（x＋y，y＋2 x），再由勾股定理可求得AC＝，最后，依据当y＝1时，AC有最大值求解即可．
【详解】解：如图所示：以M为坐标原点建立坐标系，连接BC，过点C作CD⊥y轴，垂足为D，过点P作PE⊥DC，垂足为E，延长EP交x轴于点F．
∵AB＝4，M为AB的中点，
∴A（ 2，0），B（2，0），
设点P的坐标为（x，y），则x2＋y2＝1，
∵∠EPC＋∠BPF＝90°，∠EPC＋∠ECP＝90°，
∴∠ECP＝∠FPB，
由旋转的性质可知：PC＝PB，
在△ECP和△FPB中，
，
∴△ECP≌△FPB（AAS），
∴EC＝PF＝y，EP＝FB＝2 x，
∴C（x＋y，y＋2 x），
∴AC＝，
∵x2＋y2＝1，
∴AC＝，
∵ 1≤y≤1，
∴当y＝1时，AC有最大值，AC的最大值为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查的是旋转的性质、全等三角形的性质和判定，坐标系中两点之间的距离的应用，列出AC的长度与点P的坐标之间的关系式是解题的关键．
考点8：旋转的综合应用——周期
典例8：（2023下·广东佛山·八年级统考期末）如图是一个装饰连续旋转闪烁所成的四个图形，照此规律闪烁，第2021次闪烁呈现出来的图形是（ ）
A．B． C． D．
【答案】A
【分析】观察图形的变化易得每旋转一次的度数，根据阴影所处的位置可得相应选项．
【详解】解：观察图形的变化可知：每旋转一次，旋转角为90°，即每4次旋转一周，
∵2021÷4＝505...1，
即第2021次与第1次的图案相同．
故选：A．
【点睛】此题考查了图形的变换规律问题，解题的关键是找到图形旋转的规律周期．
【变式1】（2023·山东济宁·统考一模）如图，矩形ABCD中AB是3cm，BC是2cm，一个边长为1cm的小正方形沿着矩形ABCD的边AB→BC→CD→DA→AB连续地翻转，那么这个小正方形第一次回到起始位置时，小正方形箭头的方向是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意可知，矩形ABCD的边长AB和BC分别是3cm和2cm，小正方形的边长为1cm，则这个小正方形第一次回到起始位置时需10次翻转，而每翻转4次，它的方向重复依次，小正方形共翻转10次回到起始位置，即可得到它的方向．
【详解】解：根据题意可得：小正方形沿着矩形ABCD的边AB→BC→CD→DA→AB连续地翻转，矩形ABCD的边长AB和BC分别是3cm和2cm，小正方形的边长为1cm，则这个小正方形第一次回到起始位置时需10次翻转，而每翻转4次，它的方向重复1次，故回到起始位置时它的方向是向下．
故选：C．
【点睛】本题考查了图形类规律题，关键是得出小正方形共翻转10次回到起始位置．
【变式2】（2023上·重庆南川·九年级期中）有两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心O按逆时针方向进行旋转，每次均旋转45°，第1次旋转后得到图①，第2次旋转后得到图②，……，则第2021次旋转后得到的图形与图①﹣④中相同的是（ ）
A．图① B．图② C．图③ D．图④
【答案】A
【分析】观察图形不难发现，四次旋转后矩形又回到初始水平位置，用2021除以4，根据商和余数的情况确定即可．
【详解】解：由图可知，四次旋转后矩形又回到初始水平位置，
∵2021÷4=505余1，
∴第2021次旋转后得到的图形为第505个循环组的第一个图，是图①．
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转的性质，图形变化规律，观察出四次旋转后矩形又回到初始水平位置是解题的关键．
【变式3】（2023上·重庆·七年级重庆实验外国语学校校考阶段练习）等边三角形（三条边都相等的三角形是等边三角形）纸板ABC在数轴上的位置如图所示，点A、B对应的数分别为2和1，若△ABC绕着顶点逆时针方向在数轴上连续翻转，翻转第1次后，点C所对应的数为0，则翻转2023次后，点C所对应的数是（ ）
A．﹣2021 B．﹣2022 C．﹣2023 D．﹣2024
【答案】B
【分析】作出草图，不难发现，每3次翻转为一个循环组依次循环，用2023除以3，根据余数为1可知点C在数轴上，然后进行计算即可得解．
【详解】解：如图，每3次翻转为一个循环组依次循环，
∵2023÷3＝674…1，，
∴翻转2023次后点C在数轴上，
∴点C对应的数是0﹣674×3＝﹣20
故选：B．
【点睛】本题考查了数轴，根据翻转的变化规律确定出每3次翻转为一个循环组依次循环是解题的关键．
考点9：旋转的综合应用——规律探究
典例9：（2023上·广东江门·九年级江门市培英初级中学校考阶段练习）如图,在平面直角坐标系中,点的坐标为,将线段绕点O按逆时针方向旋转,再将其长度伸长为的倍,得到线段;又将线段绕点O按逆时针方向旋转,长度伸长为的倍,得到线段;如此下去,得到线段,,…（n为正整数）,则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查勾股定理,旋转,规律变化知识．正确分析出变化规律是解答本题的关键．
【详解】解:∵点的坐标为,
∴,
∵将线段绕点O逆时针方向旋转,再将其长度伸长为的倍,得到线段,
∴,
∵将线段绕点O逆时针方向旋转,长度伸长为的倍,得到线段,
∴,
∴,
∴,
∵每次旋转,
∴,
∴点应旋转到轴负半轴位置,
∴,
故选:C．
【变式1】（2023下·广东佛山·八年级校联考期末）如图，在平面直角坐标系中，射线是第一象限的角平分线，线段，将绕原点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束后，点对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化﹣旋转及探索图形规律．
根据题意和角平分线的性质，即可得到B点的坐标，根据旋转的规律即可得到旋转后B的坐标，找到规律，即可求解．
找到旋转的规律是解题的关键．
【详解】∵射线是第一象限的角平分线，
∴，
由题意得：第一次旋转： ，
第二次旋转：，
第三次旋转：，
第四次旋转：，
以此类推知：第八次旋转后与原来点B重合，
，
∴第次旋转结束后，点对应点的坐标与第七次的坐标相同为
故答案为：D．
【变式2】（2022下·河南周口·七年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，是边长为1个单位长度的小正方形的顶点，开始时，顶点，依次放在点，的位置，然后向右滚动，第1次滚动使点落在点的位置，第2次滚动使点落在点的位置，…，按此规律滚动下去，则第2022次滚动后，顶点的坐标是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】列举几次滚动后A点的坐标，找到滚动次数与A点坐标之间的规律，进而求出A点的坐标．
【详解】解：滚动1次后，；
滚动2次后，；
滚动3次后，；
滚动4次后，．
滚动4次为1个循环．
∴，，，．
∵，
∴，即．
故选：D．
【点睛】本题考查点的坐标的规律，解题的关键是找到A点坐标随滚动次数的变化规律．
【变式3】（2023上·全国·九年级专题练习）如图在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形，，直角边在x轴上，且．将绕原点O顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，再将绕原点O顺时针旋转得到等腰三角形，且…，依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标（ ）
A．B． C． D．
【答案】A
【分析】根据旋转特点，找到坐标的变化规律，再求解．
【详解】解：由题意得：，，，，……，
，
的坐标为，
故选：A．
【点睛】本题考查了点的坐标，找到坐标的变化规律是解题的关键．
考点10：旋转的综合应用——几何综合
典例10：（2023上·河南濮阳·八年级统考期中） 已知：如图 1， 中， ，D、E分别是、上的点， 不难发现、的关系．
(1)将 绕A 点 旋转到图2 位 置时，写出、的 数量关系 ；
(2)当 时，将 绕 A 点 旋转到图3 位置．
①猜想与有什么数量关系和位置关系 请就图3 的情形进行证明；
②当点 C、D、E 在同一直线上时，直接写出的度数 ．
【答案】(1)
(2)①，，证明见解析，②或
【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质．
（1）证明，即可作答；
（2）①同理先证明，即有，，在和中，根据，，即有，则有，问题得解；②分两种情况：第一种：当点 C、D、E 在同一直线上，且点D在线段上时，第二种：当点 C、D、E 在同一直线上，且点E在线段上时，画出图形，结合在等腰中，，以及，即可作答．
【详解】（1）∵，
即，
在和中，，，，
∴
∴；
（2）①，，
证明：如图，交于点F，交于点M，
∵，
∴，
即，
在和中，，，，
∴
∴，，
在和中，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
因此，；
②如图，
当点 C、D、E 在同一直线上，且点D在线段上时，如图I所示，
在等腰中，，
∵，
∴，
∴；
当点 C、D、E 在同一直线上，且点E在线段上时，如图II所示，
在等腰中，，
∵，
∴，
∴；
故的度数为：或．
【变式1】（2023上·安徽阜阳·九年级统考期中）如图1，，分别是正方形的边，上的动点，且满足，试判断线段，，之间的数量关系，并说明理由．
小聪同学的想法：将顺时针旋转，得到，然后通过证明三角形全等可得出结论．
请你参考小聪同学的思路完成下面的问题．
(1)线段，，之间的数量关系是______．
(2)如图2，在正方形中，，连接，分别交，于点，，试判断线段，，之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了旋转与三角形综合，
（1）先证明三点共线，再证明，得到，即可证明；
（2）如图所示，将绕点A逆时针旋转得到，先求出，由旋转的性质可知，则，证明，得到，利用勾股定理即可证明．
【详解】（1）解：结论：
理由：∵四边形是正方形，
∴，
由旋转的性质可知：，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴三点共线，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）结论：,证明如下：
如图所示，将绕点A顺时针旋转得到．
∵，
∴，
由旋转的性质可知：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题涉及了旋转变换，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型．
【变式2】（2023上·湖北襄阳·九年级统考期中）在中，．
(1)特例证明：如图1，点D，E分别在线段上，，求证：．
(2)探索发现：将图1中的绕点C逆时针旋转α（）到图2位置，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
(3)拓展运用：如图3，点D在内部，当时，若，求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)成立，理由见解析
(3)
【分析】（1）根据等边对等角和平行的性质得 ，证出，即可证出；
（2）通过证明即可得出；
（3）通过把线段绕点C逆时针旋转至，连接，可证出即可求出结论．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
，
，
；
（2）成立，理由如下：
证明：由旋转可知，，
，
，
；
（3）把线段绕点C逆时针旋转至，连接，
则，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】此题考查了旋转的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、三点共线等知识，熟练掌握旋转的性质和等腰直角三角形的性质及添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．
【变式3】（2022下·安徽合肥·八年级校考期中）（1）（操作发现）
如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的三个质点均在格点上，现将绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为，点C的对应点为，连接，如图所示则__________；
（2）（解决问题）
如图2条等边内有一点P，且，，，如果将绕点B逆时针旋转得出，求的度数和的长；
（3）（灵活运用）
如图将（2）题中“在等边内有一点P”改为“在等腰直角三角形 内有一点P”且，，，，求的度数．
【答案】（1）（2），（3）
【分析】（1）只要证明是等腰直角三角形即可；
（2）根据等边三角形的性质得到，根据旋转的性质得到，，，，推出 是等边三角形，得到，，根据勾股定理的逆定理得到是直角三角形，于是得到结论；
（3）仿照（2）中的思路，将绕点B逆时针旋转，得到了，然后连接，根据旋转的性质结合勾股定理的逆定理可得是直角三角形，可得从而得出结论．
【详解】解：（1）如图1，将绕点A按顺时针方向旋转，
，
；
故答案为：；
（2）如图2，是等边三角形，
，
将绕点B逆时针旋转得出，
，，，
又，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，则是直角三角形，
；
（3）如图3，
将绕点B逆时针旋转，得到，连接，
则，，
故，
，，
是直角三角形，，
，即 ．
【点睛】本题考查几何变换综合题、旋转的性质，等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理、解题的关键是学会用旋转法添加辅助线，属于中考压轴题．
同步一遍过
一、单选题
1．（2022·黑龙江哈尔滨·校考模拟预测）如图，将绕直角顶点顺时针旋转，得到，连接，若，则的度数是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由旋转的性质可得，，从而得到是等腰直角三角形，则，从而得到，最后由进行计算即可得到答案．
【详解】解：将绕直角顶点顺时针旋转，得到，连接，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
2．（2023上·七年级课时练习）下列现象中属于旋转的是（ ）
A．鼠标在鼠标垫上滑动 B．拧开冰红茶瓶盖 C．一轮红日缓缓升起 D．空中下落的硬币
【答案】B
【分析】根据旋转的意义，在平面内，把一个图形绕点旋转一个角度的图形变换叫做旋转，因此旋转前、后的图形全等．由此可作出选择．
【详解】解：A、鼠标在鼠标垫上滑动，不属于旋转．
B、拧开冰红茶瓶盖，是旋转．
C、一轮红日缓缓升起，不是旋转．
D、空中下落的硬币，不是旋转．
故选：B．
【点睛】本题考查了生活中的旋转现象，要根据旋转的定义来判断是否是旋转．
3．（2022上·河北石家庄·七年级石家庄市第四十一中学校考期末）如图，将绕点O按逆时针方向旋转70°后得到，已知，则等于（ ）°
A．34 B．36 C．54 D．56
【答案】B
【分析】由旋转可得： ，，再 ，即可由求解．
【详解】解：由旋转可得： ， ，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查利用旋转的性质求角度，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
4．（2023上·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点．以点P为旋转中心，把点A按逆时针方向旋转，得点B．在，，，四个点中，直线经过的点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是旋转的性质，含角的直角三角形的性质、待定系数法求一次函数的解析式．确定点B的坐标是解本题的关键．
由旋转的性质，含角的直角三角形的性质可得，待定系数法求直线的解析式，然后依次将代入直线的解析式验证即可．
【详解】解：∵点，点，
∴轴，，
由旋转可得，，
如图，过点B作轴于C，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
∴，
设直线的解析式为：，
将，，代入得，
解得，，
∴直线的解析式为，
当时，，即点不在直线上；
当时，，即在直线上；
当时，，即不在直线上；
当时，，即不在直线上．
故选：B．
5．（2023上·广东广州·九年级统考期末）如图，在中，，在同一平面内，将绕点逆时针方向旋转到，点恰好落在边的延长线上，则( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据旋转的性质得出，根据等边对等角以及三角形内角和定理，得出，根据三角形的外角的性质得出，根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：依题意，，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边对等角，三角形的外角的性质与三角形内角和定理，掌握旋转的性质是解题的关键．
6．（2023上·湖北省直辖县级单位·九年级校联考期中）如图，在，，，将在平面内绕点逆时针旋转到 的位置，连接．若AB∥CC'，则旋转角的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平行线性质，得，根据旋转的性质，得AC=AC’，从而得到，利用三角形的内角和定理计算即可．
【详解】解：∵在，，，
∴∠BAC=40°，
∵AB∥CC'，
∴∠ACC’=∠BAC=40°，
∵在平面内绕点逆时针旋转到 的位置，
∴AC=AC’，
∴∠ACC’=∠AC’C=40°，
∴∠CAC’=180°-40°-40°=100°．
∴旋转角的度数为，
故选B．
【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质，平行线的性质是解题的关键．
7．（2023下·山东菏泽·八年级统考期中）将如图所示的图案绕其中心旋转一个合适的角度可以和原图案重合，这个旋转角的最小度数为（ ）
A．45° B．60° C．75° D．90°
【答案】D
【分析】观察图形可得，图形有四个形状相同的部分组成，从而能计算出旋转角度．
【详解】图形可看作由一个基本图形每次旋转90°，旋转4次所组成，故最小旋转角为90°．
故选：D．
【点睛】本题考查了旋转对称图形，根据已知图形得出最小旋转角度数是解题关键．
8．（2023·江苏南通·校考模拟预测）如图，线段，为的中点，动点到点的距离是1，连接，线段绕点逆时针旋转90°得到线段，连接，则线段长度的最大值是（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】D
【分析】以M为坐标原点建立坐标系，过点C作CD⊥y轴，垂足为D，过点P作PE⊥DC，垂足为E，延长EP交x轴于点F，设点P的坐标为（x，y），则x2＋y2＝1．然后证明△ECP≌△FPB，由全等三角形的性质得到EC＝PF＝y，FB＝EP＝2 x，从而得到点C（x＋y，y＋2 x），再由勾股定理可求得AC＝，最后，依据当y＝1时，AC有最大值求解即可．
【详解】解：如图所示：以M为坐标原点建立坐标系，连接BC，过点C作CD⊥y轴，垂足为D，过点P作PE⊥DC，垂足为E，延长EP交x轴于点F．
∵AB＝4，M为AB的中点，
∴A（ 2，0），B（2，0），
设点P的坐标为（x，y），则x2＋y2＝1，
∵∠EPC＋∠BPF＝90°，∠EPC＋∠ECP＝90°，
∴∠ECP＝∠FPB，
由旋转的性质可知：PC＝PB，
在△ECP和△FPB中，
，
∴△ECP≌△FPB（AAS），
∴EC＝PF＝y，EP＝FB＝2 x，
∴C（x＋y，y＋2 x），
∴AC＝，
∵x2＋y2＝1，
∴AC＝，
∵ 1≤y≤1，
∴当y＝1时，AC有最大值，AC的最大值为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查的是旋转的性质、全等三角形的性质和判定，坐标系中两点之间的距离的应用，列出AC的长度与点P的坐标之间的关系式是解题的关键．
9．（2023下·全国·八年级统考期末）把∠A是直角的△ABC绕A点沿顺时针方向旋转85°，点B转到点E，点C转到点F得△AEF，则以下结论错误的是( )
A．∠BAE＝85° B．AC＝AF C．EF＝BC D．∠EAF＝85°
【答案】D
【详解】分析：根据旋转的性质：旋转前后的两个三角形全等以及旋转角的定义即可判断．
详解：如图，
根据旋转的性质：旋转前后的两个三角形全等，可以得到：△ABC≌△AEF，
则：∠BAE=85，AC=EF，EF=BC，故A、B、C是正确的；
∠EAF=90°，故D错误．
故选D．
点睛：本题考查了旋转的定义，正确理解旋转角定义是关键．
10．（2023下·山西·七年级统考期末）在正方形网格中，线段是线段绕某点逆时针旋转得到的，点与点A对应，则旋转中心是（ ）
A．点M B．点N C．点P D．点Q
【答案】B
【分析】根据对应点连线段的垂直平分线的交点就是旋转中心，由此即可得出答案．
【详解】解：由网格图可知：
PN垂直平分，MN垂直平分，
∴交点N就是旋转中心．
故选：B．
【点睛】本题考查旋转的定义和旋转，掌握对应点连线段的垂直平分线的交点就是旋转中心是解题的关键．
二、填空题
11．（2023下·八年级课时练习）如图，边长为4的等边中，D为中点，M是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点B逆时针旋转得到，连接，则在点M运动过程中，线段长度的最小值是 ．
【答案】1
【分析】连接MD，根据等边三角形的性质和旋转的性质可得：∠HBN＝∠DBM，HB＝BD，MB＝NB，然后利用SAS即可证明△MBD≌△NBH，进而可得HN＝MD，然后根据垂线段最短可得MD⊥CH时，MD最短，再根据∠BCH＝30°求解即可．
【详解】解：如图，连接MD，
∵旋转角为60°，
∴∠MBH+∠HBN＝60°．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠MBH+∠MBC＝∠ABC＝60°，
∴∠HBN＝∠DBM．
∵CH是等边△ABC的高所在的直线，
∴，
∴HB＝BD．
又∵MB旋转到BN，
∴BM＝BN，
∴△MBD≌△NBH(SAS)，
∴MD＝NH，
根据垂线段最短可知：当MD⊥CH时，MD最短，即HN最短，
此时∵∠BCH＝×60°＝30°，，
∴，
∴HN＝1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定和性质、垂线段最短和30°角的直角三角形的性质等知识，作辅助线构建全等三角形、把求HN最短问题转化为求MD最短是解题的关键．
12．（2022下·福建三明·八年级统考期中）如图所示，将一个含角的直角三角板绕点旋转，使得点，，在同一条直线上，则三角板旋转的角度是 ．
【答案】/150度
【分析】由旋转的性质可知旋转角为，由平角的性质即可求出最后结果．
【详解】解：将一个含角的直角三角板绕点旋转，使得点，，在同一条直线上，
旋转角为，
，，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是解答本题的关键．
13．（2023·天津和平·九年级校联考期末）一个正三角形绕着内心旋转一定角度后图形能和自身重合，这个角度的最小值是 度．
【答案】120．
【分析】根据旋转角及旋转对称图形的定义结合图形特点作答．
【详解】解：∵360°÷3=120°，
∴该图形绕中心至少旋转120度后能和原来的图案互相重合．
故答案为120．
【点睛】本题考查了旋转角的定义及求法．对应点与旋转中心所连线段的夹角叫做旋转角．
14．（2022下·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨德强学校校考阶段练习）如图，在中，，以直角顶点C为旋转中心，将逆时针旋转到的位置，其中分别是A、B的对应点，且点B在斜边上直角边交于点D．则旋转角的度数为 ．
【答案】80°
【分析】根据旋转的性质可得∠=∠ABC，BC=，根据等腰三角形的性质可得 ，根据直角三角形的性质求出∠B=50°，然后三角形内角和定理求出 的度数，进而求出旋转角 即可的度数．
【详解】解：∵△ABC以点C为中心旋转到△A'B'C的位置，
∴∠=∠ABC，BC=，
∴ ，
∵∠A=40°，
∴∠=∠ABC=90°-40°=50°，
∴ =180°-2×50°=80°，
∴ =80°．
故答案为：80°．
【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质，熟记性质并求出BC=B'C是解题的关键，此题难度不大．
15．（2023·江苏·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在方格线的格点上，将△ABC绕点P顺时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，则点P的坐标为 ．
【答案】（1，2）
【分析】选两组对应点，连接后作其中垂线，两中垂线的交点即为点P．
【详解】连接AA′，CC′，线段AA′，CC′的垂直平分线的交点即为旋转中心．
如图，旋转中心P的坐标为（1，2）．
故答案为：（1，2）．
【点睛】本题主要考查坐标与图形的变化-旋转，解题的关键是掌握旋转变换的性质．
16．（2023下·山东济宁·九年级济宁市第十五中学校考阶段练习）如图，中，，，，是内部的任意一点，连接、、，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】以为边作等边三角形，将绕点顺时针旋转，得到 ，连接 ，可得，， ， ， ，则当点，点，点，点共线时，有最小值为 ，由勾股定理可求解．
【详解】解：如图，以为边作等边三角形，将绕点顺时针旋转，得到 ，连接A，
是等边三角形，
，，
将绕点顺时针旋转，
， ， ，
，
，
当点，点，点，点共线时，有最小值为 ，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造等边三角形是本题的关键．
三、解答题
17．（2023·安徽合肥·统考二模）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点（顶点式网格线的交点），，，．
(1)先将竖直向下平移5个单位，再水平向右平移2个单位得到，请画出；
(2)将绕A点逆时针旋转，得到，请画出．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据平移的性质找到的对应点，进而画出；
（2）根据旋转的性质找到的对应点，进而画出；
【详解】（1）解：如图所示即为所求；
（2）解：如图所示即为所求．
【点睛】本题考查了平移作图，画旋转图形，熟练掌握平移的性质与旋转的性质是解题的关键．
18．（2023上·陕西西安·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系内，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（0，﹣1），C（3，﹣1）．
（1）画图：将△ABC绕点A逆时针旋转90°，画出旋转后对应的△AB1C1；
（2）平移△ABC，使点A的对应点A2的坐标为（5，3），画出平移后对应的△A2B2C2．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据图形旋转的性质画出旋转后所得到的△AB1C1即可；
（2）根据A移动的位置可得平移的距离和方向，画出图形即可．
【详解】（1）如图所示，△AB1C1即为所求；
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求．
【点睛】本题考查了旋转、平移的知识，解题的关键是熟练掌握作图的方法.
19．（2023下·全国·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点分别为A(-1，4)，B(-3，1)，C(-3，4)，△A1B1C1是由△ABC绕某一点旋转得到的.
(1)请直接写出旋转中心的坐标是________，旋转角是_____°；
(2)将△ABC平移得到△A2B2C2，使得点A2的坐标为(0，-1)，请画出平移后的△A2B2C2，并求出平移的距离.
【答案】（1）（0，0）；90；（2）画图见解析；平移距离为.
【分析】（1）利用旋转的性质可知，旋转中心在对应点连线的垂直平分线上，分别画AA1、BB1的垂直平分线，交点即为旋转中心；进而可得旋转角；（2）根据A2坐标可知，△ABC向右平移1个单位，向下平移5个单位，据此画出△A2B2C2即可，根据勾股定理求出AA1的长即可得平移距离.
【详解】(1)如图：分别连接AA1、BB1，作AA1、BB1的垂直平分线，交点为（0，0），
∴旋转中心为（0，0），∠AOA1为旋转角，
由图像可得∠AOA1=90°，
故答案为（0，0）；90；
(2)∵A(-1，4)，A2(0，-1)，
∴△ABC向右平移1个单位，向下平移5个单位，
∴△A2B2C2如图所示，
∴AA2==.
【点睛】本题考查旋转、平移的变换，熟练掌握旋转和平移的性质是解题关键.
20．（2023下·北京石景山·八年级统考期末）正方形中，点是直线上的一个动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．
（1）如图1，若点在线段上，
①直接写出的度数为 °；
②求证：；
（2）如图2，若点在的延长线上，，，
①依题意补全图2；
②直接写出线段的长度为 ．
【答案】（1）①；②证明见解析；（2）①补全图形见解析；②．
【分析】（1）①证明△BAP≌△BCE，得∠BAC=∠BCE=45°，从而可求出结论；
②连接，可得△PBE，△PCE均为直角三角形，利用勾股定理即可求解；
（2）①根据提示补全图形即可；
②连接PE，可得△PBE，△PCE均为直角三角形，利用勾股定理求得PE=，PC=5，从而可求AC=4.
【详解】（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∵∠PBE=90°，
∴∠ABP=∠CBE，
又BP=BE，
∴△BAP≌△BCE，
∴∠BAP=∠BCE
∵AC是正方形的对角线，
∴∠BAC=∠BCA=45°，
∴∠BCE=∠BCA=45°，
∴∠BCE+∠BCA=90°，即的度数为90°；
②证明：连接，如图．
∵四边形是正方形，
∴，，．
∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，
∴，．
∴，
．
∴≌（）．
∴，．
∴．
在中，由勾股定理，得．
∵，，
∴．
（2）①补全的图形如图所示．
②连接PE．易证△PBA≌△EBC，
∴CE=PA=1，∠BAP=∠BCE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC=∠BCA=45°，
∴∠BAP=∠BCE=135°，
∴∠ECA=90°,即△PCE是直角三角形，
在Rt△PBE中，PE=PB=，
在Rt△PCE中，PC=
∴AC=PC-PA=5-1=4.
【点睛】本题考查旋转变换、正方形的性质、全等三角形的判断和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.
21．（2022上·黑龙江齐齐哈尔·九年级校考期中）如图所示，在平面直角坐标系中，△的三个顶点坐标分别为A（1，4）、B（4，2）、C（3，5）（每个方格的边长均为1个单位长度）
(1)请画出向下平移5个单位后得到的；
(2)将绕点O逆时针旋转90°，画出旋转后得到的，并直接的长．
【答案】(1)见解析
(2)图见解析，
【分析】（1）利用点平移的坐标特征画出、、，然后描点即可得到为所作；
（2）利用网格特性和旋转的性质画出A、B、C的对应点、、，从而得到，然后根据勾股定理即可求出的长．
【详解】（1）如图：
（2）如图：
根据勾股定理可得，．
【点睛】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
22．（2023下·江苏泰州·八年级校考阶段练习）如图顶点坐标为、、．
(1)的面积是______；
(2)画出关于y轴对称的；在y轴上作一点D，使的周长最短，点坐标为______；
(3)请画出绕原点顺时针旋转后，并写出点、坐标．
【答案】(1)
(2)画图见解析，
(3)画图见解析，、
【分析】（1）利用割补法计算即可；
（2）找到各顶点关于y轴对称的点，再依次连接，连接，与y轴交于点D，此时最短，即的周长最短，求出直线的解析式，进而求出与轴的交点，即可得解；
（3）根据旋转的性质找到对应点，再依次连接，进而可得点的坐标．
【详解】（1）解：的面积是；
故答案为：；
（2）如图，和点D即为所求；
由图可知：，
设直线的解析式为：，
则：，解得：，
∴，
当时，，
∴，
故答案为：．
（3）如图，即为所求；
其中，、．
【点睛】本题考查了根据轴对称变换、平移变换作图以及轴对称确定最短路线问题，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
23．（2023上·浙江衢州·八年级衢州市实验学校教育集团（衢州学院附属学校教育集团）校考期末）如图，已知是等腰三角形，，，点在边上，将绕点逆时针旋转得到，且点，，三点在同一条直线上．
(1)的度数是______，的度数是______；
(2)求证：；
(3)若，求的长度．
【答案】(1)，；
(2)证明见解析；
(3)．
【分析】（）根据旋转的性质可得，，再由角度和差及等边对等角即可求解；
（）根据等腰三角形的判定即可；
（）由（）得：，证明等腰直角三角形，再根据勾股定理即可求解；
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，熟练运用旋转的性质是解题的关键．
【详解】（1）由旋转性质可知：，
∴，，
故答案为：，；
（2）∵，，
∴，
由（）得：，
∴，
∴，
∴；
（3）由（）得：，
∵，
∴，
∴，
由旋转性质可知，
∵点，，三点在同一条直线上，
∴等腰直角三角形，
由勾股定理得：．
24．（2023上·江西赣州·九年级统考期中）如图，和都是等边三角形，且B、C、D三点共线．
(1)可以看作是由 绕着点 ，逆时针旋转 得到；
(2)试证明这两个三角形全等．
【答案】(1)，C， 60
(2)见解析
【分析】本题主要考查 了等边三角形，全等三角形，熟练掌握等边三角形的边角性质，全等三角形的判定和性质，是解决问题的关键．
（1）可通过观察与全等着手，寻找旋转中心，旋转角．根据等边三角形的性质得到，，，推出，根据推出，根据，因此可以看作是由绕着点C，逆时针旋转得到；
（2）根据等边三角形的性质得到，，，推出，根据推出．
【详解】（1）∵和都是等边三角形
∴，，，
∴，
即，
∴，
∵，
∴可以看作是由绕着点C，逆时针旋转得到；
故答案为：，C， 60
（2）∵和都是等边三角形，
∴，，，
∴，
即，
∴．
25．（2023上·江苏扬州·七年级校考期末）如图，以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC＝70°，将一个直角三角板的直角顶点放在点O处．（注：∠DOE＝90°）
(1)如图①，若直角三角板DOE的一边OD放在射线OB上，则∠COE＝ °；
(2)如图②，将直角三角板DOE绕点O转动，如果OD在∠BOC的内部，且∠BOD＝50°，求∠COE的度数；
(3)将直角三角板DOE绕点O转动一周，如果OD在∠BOC的外部，则∠BOD和∠COE有怎样的数量关系？请直接写出答案．
【答案】(1)20
(2)70°
(3)∠COE＝∠BOD+20°或∠COE＝∠BOD﹣20°，见解析
【分析】（1）如图①，若直角三角板DOE的一边OD放在射线OB上，则∠COE=20°；
（2）如图②，将直角三角板DOE绕点O转动，如果OD在∠BOC的内部，且∠BOD=50°，可知∠COD=20°进而可求∠COE的度数；
（3）将直角三角板DOE绕点O转动，如果OD在∠BOC的外部，在备用图中画出三角板DOE的四个位置，即可求出∠COE的度数．
【详解】（1）解：若直角三角板DOE的一边OD放在射线OB上，
则∠COE=∠DOE-∠BOC=90°-70°=20°．
（2）∵∠BOD=50°，
∴∠COD=∠BOC-∠BOD=70°-50°=20°，
∴∠COE=∠DOE-∠COD=90°-20°=70°，
答：∠COE的度数为70°；
（3）设旋转角为α，
当70°＜α≤160°时，∠COE=∠BOD+20°，
如图，
∵∠BOC=70°，
∴∠BOD=∠BOC+∠COD=70°+∠COD，
∴∠COE=∠COD+∠DOE=90°+∠COD，
∴∠COE=∠BOD+20°；
当160°＜α≤180°时，∠COE+∠BOD=340°，
如图，
∵∠BOD=70°+∠COD，
∴∠COE=360°-90°-∠COD=270°-∠COD，
∴∠COE+∠BOD=340°；
当180°＜α≤270°时，∠COE=∠BOD-20°，
如图，
∵∠BOD=360°-70°-∠COD，
∴∠COE=360°-90°-∠COD，
∴∠COE=∠BOD-20°；
当270°＜α≤360°时，∠COE=∠BOD-20°，
如图，
∠BOD+∠COE=90°-70°=20°，
∴∠BOD+∠COE=20°；
综上，∠COE=∠BOD+20°或∠COE+∠BOD=340°或∠COE=∠BOD-20°或∠BOD+∠COE=20°．
【点睛】考查了作图-复杂作图、余角和补角、旋转作图，解题关键是准确画出旋转后的三角板的位置．
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