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专题03 中心对称
考点类型
知识一遍过
（一）中心对称的相关概念
（1）中心对称概念：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫作对称中心.这两个图形旋转后能重合的对应点叫作关于对称中心的对称点.
如图，绕着点旋转后，与完全重合，则称和关于点对称，点是点关于点的对称点.
（2）中心对称图形概念：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点就是它的对称中心.
（二）中心对称的性质
（1）中心对称的性质：
①中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；
②中心对称的两个图形是全等图形.
（2）找对称中心的方法和步骤：
方法1：连接两个对应点，取对应点连线的中点，则中点为对称中心.
方法2：连接两个对应点，在连接两个对应点，两组对应点连线的交点为对称中心.
（三）平面直角坐标系——原点对称
两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点
P’(-x，-y)
考点一遍过
考点1：中心对称的定义
典例1：（2023上·北京朝阳·九年级校考期中）下列各图中，四边形是正方形，其中阴影部分两个三角形成中心对称的是（ ）
A． B．C．D．
【答案】A
【分析】根据成中心对称的定义进行判断作答即可．
【详解】解：由题意知，
中阴影部分两个三角形成中心对称，
故选：A．
【点睛】本题考查了成中心对称．解题的关键在于熟练掌握：如果把一个图形绕某一点旋转后能与另一个图形重合，这两个图形成中心对称．
【变式1】（2023下·浙江金华·八年级统考期末）如图，在正方形网格中，A，B，C，D，E，F，G，H，I，J是网格线交点，与关于某点成中心对称，则其对称中心是（ ）
A．点G B．点H C．点I D．点J
【答案】C
【分析】关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，由此即可解决问题．
【详解】解：
∵与关于某点成中心对称，
∴对应点B和E的连线与对应点C和F的连线的交点I是对称中心．
故选：C．
【点睛】本题考查中心对称，关键是掌握中心对称的性质．
【变式2】（2023·河北邯郸·统考模拟预测）图是由8个大小相等的正方形组成的中心对称图形，则此图的对称中心是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】A
【分析】根据中心对称图形的概念即可分析判断.
【详解】观察图形可知，图形中所有的点都关于P点中心对称，
∴P点为对称中心，
故选：A.
【点睛】本题考查中心对称，掌握中心对称图形的概念，旋转180°后与原图重合，掌握图形所有点都关于对称中心对称，是解题的关键.
【变式3】（2024上·福建厦门·九年级统考期末）如图，直线l是正方形的一条对称轴，l与，分别交于点M，N．，的延长线相交于点P，连接．下列三角形中，与成中心对称的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了中心对称的定义．根据中心对称的定义即可得出答案．
【详解】解：根据中心对称的定义可知，与成中心对称．
故选：D．
考点2：中心对称作图
典例2：（2023上·山东东营·八年级校考阶段练习）在的正方形网格中，在其中选择一个白色的小正方形并涂黑，使图中黑色部分是一个中心对称图形，你能找到（ ）个这样的白色小正方形．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】本题考查了中心对称图形的定义，绕着中心点旋转能与原图形重合即为中心对称图形．根据中心对称图形的定义进行解答即可．
【详解】解：图中中间的相邻的2对黑色的正方形已是中心对称图形，需找到最上边的那个小正方形的中心对称图形，它原来在右上方，那么旋转后将在左下方．
如图所示，能找到1个这样的白色小正方形．
．
故选：B．
【变式1】（2023上·山东淄博·八年级鲁村中学校考阶段练习）在方格纸中，选择标有序号中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形，该小正方形的序号是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将一个图形旋转180度后能与原图形重合的图形是中心对称图形，根据定义解答．
【详解】A、涂④后构成轴对称图形，不符合题意；
B、涂③后构成轴对称图形，不符合题意；
C、涂②后构成中心对称图形，符合题意；
D、涂①后既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意；
故选：C．
．
【点睛】此题考查中心对称图形的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的特点及区别是解题的关键．
【变式2】（2023·河北邢台·统考一模）如图是的网格图，将图中标有①、②、③、④的一个小正方形涂灰，使所有的灰色图形构成中心对称图形，则涂灰的小正方形是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】C
【解析】根据中心对称图形的意义解答．
【详解】解：如图，
如果以O为对称中心，则A与B、C与D、E与F分别对应，
从图中可以看出，G应该与③对应，
故选C．
【点睛】本题考查中心对称的应用，熟练掌握中心对称图形及对称中心的意义是解题关键．
【变式3】（2023·河北沧州·模拟预测）如图，老师让同学们利用棋子在棋盘上拼出一个中心对称图形（颜色忽略），为了增加难度，加入了方向角，则下一个棋子应该放在中心点的（ ）
A．西北方向的处 B．西南方向的处 C．东南方向的处 D．西南方向的处
【答案】D
【分析】根据中心对称图形的定义判断即可．
【详解】解：A、B、C均无法找到一个点，使其绕着某个点旋转能与原来的图形重合，
D能找到一个点，使其绕着某个点旋转能与原来的图形重合，此时红点即对称点：
故选D．
【点睛】本题考查了中心对称图形的定义，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心，旋转前后图形上能够重合的点叫做对应点．
考点3：中心对称图形
典例3：（2024上·四川广安·九年级统考期末）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了中心对称图形的定义，即在平面内，把一个图形绕着某个点旋转所得的图形能与原图形重合，则该图形为中心对称图形，掌握其定义即可解题．
【详解】解：B项图形绕其中心旋转能与原图形重合，所以B项图形是中心对称图形，
故选：B．
【变式1】（2022上·北京海淀·九年级统考期末）下列各曲线是根据不同的函数绘制而成的，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的定义，是解答本题的关键．
根据中心对称图形的定义，即在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，由此选出答案．
【详解】解：根据题意得：
选项中，该图不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
选项中，该图不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
选项中，该图是中心对称图形，故本选项符合题意；
选项中，该图不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：．
【变式2】（2023上·辽宁鞍山·九年级统考期中）下列四个图形，既是轴对称又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【详解】解：A．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．不是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【变式3】（2023·山东青岛·统考模拟预测）以下投稿的民间建筑装饰图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的定义，直接根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义逐项判断即可．
【详解】解：第一个图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
第二个图形不是轴对称图形，但是中心对称图形，不符合题意；
第三个图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
第四个图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意．
故选：A．
考点4：中心对称性质——求坐标
典例4：（2023上·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在第一象限，点，的坐标分别为，，，，直线交轴于点，若与关于点成中心对称，则点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了中心对称，等腰直角三角形的运用，先求得直线解析式为，即可得出，再根据点与点关于点成中心对称，利用中点公式，即可得到点的坐标．
【详解】解：如图，过点作于点,
，，
是等腰直角三角形，
∴，
∵点，的坐标分别为，，
∴
，
设直线解析式为，则
，
解得，
直线解析式为，
令，则，
，
又点与点关于点成中心对称，
点为的中点，
设，则，，
，，
，
故选：A．
【变式1】（2024上·重庆合川·九年级统考期末）若点与关于原点对称，则的值为（ ）
A．1 B． C．5 D．
【答案】C
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，代数式求值，根据关于原点对称的点，横、纵坐标都护卫相反数，求出、的值，再代入计算即可．
【详解】解：点与关于原点对称，
，，
，
故选：C．
【变式2】（2024上·辽宁大连·九年级统考期末）平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，掌握 “两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点是”是解题的关键．
根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得出答案．
【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于原点对称点的坐标为．
故选：B．
【变式3】（2024上·江苏苏州·八年级期末）在平面直角坐标系中，将点A先向左平移6个单位长度，再向下平移8个单位长度，得到的点正好与点A关于原点对称，则点A的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了图形平移变换中点的坐标变换及关于原点成中心对称的坐标规律，直接利用平移中点的变化和中心对称的坐标规律求解即可，关于原点对称两个点，其横纵坐标对应相加等于是解题关键．
【详解】设A点坐标为，
∴，
∵A与成中心对称，
∴，，
∴
∴，
故选：A．
考点5：中心对称性质——求面积
典例5：（2023·四川凉山·统考模拟预测）如图，AB垂直于BC且AB＝BC＝3cm，与关于点O中心对称，AB、BC、、所围成的图形的面积是( )cm
A． B．π C． D．π
【答案】A
【分析】由弧OA与弧OC关于点O中心对称，根据中心对称的定义，如果连接AC，则点O为AC的中点，则题中所求面积等于△BAC的面积．
【详解】解：连AC，如图，
∵AB⊥BC，AB＝BC＝3cm，
∴△ABC为等腰直角三角形，
又∵与关于点O中心对称，
∴OA＝OC，＝，
∴弓形OA的面积＝弓形OC的面积，
∴AB、BC、与所围成的图形的面积＝三角形ABC的面积＝×3×3＝（cm2）．
故选：A．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质：等腰直角三角形的两腰相等，两锐角都为；也考查了中心对称的性质以及三角形的面积公式．
【变式1】（2023上·福建龙岩·九年级校联考期末）如图，在面积为12的□ABCD中，对角线BD绕着它的中点O按顺时针方向旋转一定角度后，其所在直线分别交AB、CD于点E、F，若AE=2EB，则图中阴影部分的面积等于（）
A．3 B．1 C． D．
【答案】A
【详解】∵□ABCD，
∴AO＝OC,∠CAB＝∠DCO.
∵在△AOE和△COF中AO＝OC,∠CAB＝∠DCO，∠AOE＝∠COF.
∴△AOE≌△COF.
∴S△FCO＝S△OAE.
∵面积为12的□ABCD，
∴S△DAB＝6.
过点D做DG⊥AB,OH⊥AB,
∵O为中点,
∴OH＝DG.
∴S阴影＝SOAB＝ S△DAB＝3.
故选A.
【点睛】本题考查的是平行四边形，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键.
【变式2】（2023·河北保定·校联考三模）用一条直线 m 将如图 1 的直角铁皮分成面积相等的两部分．图 2、图 3 分别是甲、乙两同学给出的作法，对于两人的作法判断正确的是（ ）
A．甲正确，乙不正确 B．甲不正确，乙正确
C．甲、乙都正确 D．甲、乙都不正确
【答案】C
【分析】根据图形中所画出的虚线，可以利用图形中的长方形、梯形的面积比较得出直线两旁的面积的大小关系．
【详解】如图：图形2中，直线m经过了大长方形和小长方形的对角线的交点，所以两旁的图形的面积都是大长方形和小长方形面积的一半，所以这条直线把这个图形分成了面积相等的两部分，即甲做法正确；
图形3中，经过大正方形和图形外不添补的长方形的对角线的交点，直线两旁的面积都是大正方形面积的一半-添补的长方形面积的一半，所以这条直线把这个图形分成了面积相等的两部分，即乙做法正确．
故选C．
【点睛】此题主要考查了中心对称，根据图形中的割补情况，抓住经过对角线的交点的直线都能把长方形分成面积相等的两部分这一特点，即可解决问题．
【变式3】（2023上·江西南昌·九年级南昌市第十七中学校考期末）如图矩形的长为，宽为4，点O是各组三角形的对称中心，则图中阴影面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】在矩形中，点O是各组三角形的对称中心，由可求得结果．
【详解】解：在矩形中，点O是各组三角形的对称中心，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了中心对称的性质；理解中心对称的性质是解题的关键．
考点6：中心对称的性质——求线段
典例6：（2023上·河北石家庄·八年级统考期末）如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若，则的长为（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质：的锐所对的直角边等于斜边的一半，以及中心对称图形的性质．
在直角中根据30度角所对的直角边等于斜边的一半求得，而，据此即可求解．
【详解】解：∵在直角中，1，
故选：B．
【变式1】（2022下·河南鹤壁·七年级统考期末）如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（ ）
A．点A与点是对称点 B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据中心对称图形的性质，逐项进行判断即可．
【详解】解：∵与关于点O成中心对称，
∴点A与是一组对称点，，，故A，B，C都不合题意．
∵与不是对应角，
∴与不一定相等，不成立，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了中心对称的性质，熟练掌握成中心对称的两个图形，对应点的连线被对称中心平分，对应角相等，对应线段相等，是解题的关键．
【变式2】（2023上·吉林·九年级吉林松花江中学校考期中）如图，是等腰三角形的底边的中线，，，与关于点C成中心对称，连接，则的长是（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及中心对称，掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解答本题的关键．根据等腰三角形的性质得出，，根据中心对称的性质得出，，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】解：∵是等腰三角形的底边的中线，，
∴，，
∵与关于点C中心对称，，
∴，，，
∴，
∴．
故选：D．
【变式3】（2022·河北秦皇岛·统考一模）如图，已知点A与点C关于点O对称，点B与点D也关于点O对称，若，．则AB的长可能是（ ）
A．3 B．4 C．7 D．11
【答案】C
【分析】根据三角形三边关系定理，可知即可求解．
【详解】解：∵点与点关于点对称，点与点也关于点对称，
∴，
又∵∠AOD=∠BOC
∴△AOD≌△BOC（SAS）
∴AD=BC=3
∵
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形三边关系定理：任意两边之和大于第三边，及对称的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是将求AB的值转化为求三角形第三边的取值范围．
考点7：中心对称的性质——规律探究
典例7：（2022上·河北邯郸·九年级校考期中）在如图所示的平面直角坐标系中，是边长为2的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，点在第 个三角形上，（n是正整数）的顶点的坐标是 ．
【答案】 7
【分析】由题意可以求出点，，，的坐标，找出其中的规律，即可得到第一个空的答案；根据第一个空的规律，可求得第二个空的答案．
【详解】解：由题意可得，点的坐标为，，，，由此可得，点是的坐标，即该点在第7个三角形上；
法一：由图可得点，，所以点，则点，
由图可推得点；
法二：由点，，，的坐标，可得点，
，
所以点．
故答案为7，
【点睛】本题考查图形类的规律探索题，根据图形找到规律是解题的关键．
【变式1】（2022下·湖南永州·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为：，，.已知，作点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，…，依此类推，则点的坐标为 .
【答案】
【分析】根据平面直角坐标系中，点的对称性质，结合题意，依次求得点，，，，，，的坐标，从而发现该题的规律，求得点的坐标．
【详解】解：∵，，
∴点关于点的对称点，
∵点关于点的对称点为，，，
∴，
∵点关于点的对称点为，，，
∴，
∵点关于点的对称点为，，，
∴，
∵点关于点的对称点为，，，
∴，
∵点关于点的对称点为，，，
∴，
∵点关于点的对称点为，，，
∴，
此时点与点重合．
∵，
∴与点重合，
故 ，
答案为：．
【点睛】本题考查了点坐标的对称性质，熟练掌握点坐标的对称性质是解题的关键．
【变式2】（2023·贵州黔东南·统考中考真题）以 ABCD对角线的交点O为原点，平行于BC边的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若A点坐标为（﹣2，1），则C点坐标为 ．
【答案】（2，﹣1）
【分析】根据平行四边形是中心对称图形，再根据 ABCD对角线的交点O为原点和点A的坐标，即可得到点C的坐标．
【详解】解：∵ ABCD对角线的交点O为原点，A点坐标为（﹣2，1），
∴点C的坐标为（2，﹣1），
故答案为：（2，﹣1）．
【点睛】此题考查中心对称图形的顶点在坐标系中的表示．
【变式3】（2023上·新疆·九年级新疆农业大学附属中学校考期中）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标是，若点A与点B关于中心对称，则 ．
【答案】6
【分析】先根据“点A与点B关于中心对称”求出，，再代入求值即可．
【详解】解：∵点A与点B关于中心对称，
∴，，
∴，，
此时，
故答案为
【点睛】本题考查了中心对称，点A与点B关于中心对称，即，．
考点8：中心对称的应用——综合
典例8：（2023上·北京海淀·九年级校考开学考试）对于点和图形，若点关于图形上任意的一点的对称点为点，所有点组成的图形为，则称图形为点关于图形的“对称图形”．在平面直角坐标系中，已知点，，，．
(1)①在点，，中，是点关于线段的“对称图形”上的点有_______．
②画出点关于四边形的“对称图形”；
(2)点是轴上的一动点．
①若点关于四边形的“对称图形”与关于四边形的“对称图形”有公共点，求的取值范围；
②直线与轴交于点，与轴交于点，线段上存在点，使得点是点关于四边形的“对称图形”上的点，直接写出的取值范围．
【答案】(1)①点E，点F，②图见解析．
(2)①，②或
【分析】根据点关于图形的“对称图形”的定义，可以在图形上找几个特殊点（线段的端点），作出点关于这些特殊点的对称点，大体描绘图形的形状．
（1）①作出点关于点、的对称点、，得到点关于线段的“对称图形”是一条线段；
②先画出点关于四边形的四个顶点中心对称的对应点，再顺次连接可以得到点关于四边形的“对称图形”是一个正方形；
（2）①点关于四边形的“对称图形”也是一个正方形，与关于四边形的“对称图形”大小一样，只是随的变化左右移动，可以用数形结合求解；
②是动线段与动正方形的交点问题，沿用数形结合求解．
【详解】（1）解：①根据点关于图形的“对称图形”的定义，点关于线段的“对称图形”是线段，如图所示其中点，．故点，在线段上．
故答案为：点，点；
②点关于四边形的“对称图形”为四边形．
（2）①动点关于四边形的“对称图形”为四边形，如图所示．利用中点坐标公式可得到点，，，．四边形随的变化左右移动，当四边形与四边形有公共点时，应满足：
，
，
②要使得点是四边形上的点，需满足：
或，
或．
【点睛】这道题在新定义下考查了点的对称，数形结合的思想，以及运动的观点，建立不等式解决交点问题，熟练掌握新定义，轴对称的性质是解题的就．
【变式1】（2022·安徽安庆·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，RtΔABC的三个顶点分别是A（－3，2）、B（0，4）、C（0，2）．
(1)将ΔABC以点C为中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C；
(2)平移△ABC，若点A的对应点A2的坐标为（1，－4），画出平移后对应的△A2B2C2；
(3)若将△A1B1C绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标；
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）写出点A、B关于点C的对称点A1(3，2)，B1(0，0)，描出A1，B1，顺次连接A1，B1，C，得到△A1B1C；
（2）求出点A沿水平方向向右平移了4个单位长度，沿竖直方向向下平移了6个单位长度的距离，然后写出点B、C移动后的坐标B2(4，-2)，C2(4，-4)，描出点A2，B2，C2，顺次连接A2，B2，C2，得到△A2B2C2；
（3）分别求出A1A2，B1B2，CC2的中点坐标，发现三个中点坐标相同，这点就是旋转中心．
【详解】（1）∵点C是旋转中心，
∴点C是AA1的中点，是BB1的中点，
∵A(-3，2)，B(0，4)，C(0，2)，
∴，，
，，
∴A1(3，2)，B1(0，0)，
描出点A1，B1，顺次连接A1，B1，C，得到ΔABC以点C为中心旋转180°后的△A1B1C；
（2）∵A(-3，2)平移到A2(1，-4)，
∴1-（-3）=4，-4-2=-6，
∴点A向右平移了4个单位长度，向下平移了6个单位长度，
∵B(0，4)，C(0，2)，
∴0+4=4，4-6=-2，2-6=-4，
∴B2(4，-2)，C2(4，-4)，
描出A2，B2，C2，顺次链接A2，B2，C2，得到△ABC向右平移4个单位长度，向下平移6个单位长度后的△A2B2C
（3）∵A1(3，2)，A2(1，-4)，∴，，
∴A1A2的中点坐标为(2，-1)，
∵B1(0，0)，B2(4，-2)，
∴，，
∴B1B2的中点坐标为(2，-1)，
∵C(0，2)，C2(4，-4)，
∴
∴CC2的中点坐标为(2，-1)，
∴A1A2，B1B2，CC2的中点重合，
故若将△A1B1C绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，旋转中心的坐标为(2，-1)．
【点睛】本题主要考查了中心对称和平移，解决问题的关键是熟练运用对称中心平分对称点的连线性质，平移坐标上加下减，右加左减的性质．
【变式2】（2023上·福建福州·九年级福州三牧中学校考阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是．
（1）作出与关于原点O成中心对称的；
（2）若点B关于x轴的对称点为点，将点向右平移a个单位长度后落在的内部（不包括顶点和边）．
①写出点坐标_________；
②写出a的取值范围为___________．
【答案】（1）见详解；（2）①（﹣2，1）；②
【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可；
（2）①根据轴对称的性质求解即可；
②求出直线A′C′的解析式，求出y＝1时，自变量的值，即可解决问题．
【详解】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求．
（2）①B1（﹣2，1）．
②∵A′（3，﹣2），C′（4，2），
∴直线A′C′的解析式为y＝4x﹣14，
当y＝1时，x=，
，
∴a的取值范围为．
故答案为：．
【点睛】本题考查作图﹣旋转变换，坐标与图形的性质﹣平移，轴对称等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【变式3】（2023上·北京西城·九年级校考期中）在平面内，将图形关于点作中心对称变换得到图形的过程简记为：．若图形再关于点作中心对称变换得到图形，即：，则由图形变换到的过程称为图形作对称得到图形，记作：．
容易知道：若，则；若，则．
已知在平面直角坐标系中，点．
(1)如图1，已知点．点作下面的变换后，对应点仍在的内部或边上的是___________（写序号）：①对称；②对称；③对称；④对称．
(2)点在直线上，线段，当线段与坐标轴有公共点时，求点的横坐标的取值范围；
(3)点是平面内一点，．若线段上存在点，使点作对称后的对应点在轴上，直接写出点的横坐标的取值范围．
【答案】(1)①②
(2)点的横坐标的取值范围为或
(3)或
【分析】（1）根据题意，分别求出点作变换后的点的坐标，再判断是否在的内部或边上，即可得到答案；
（2）设点，则线段后点的坐标为，，分两种情况：当线段与轴有公共点时，当线段与轴有公共点时，分别求出的取值范围即可得到答案；
（3）设点的坐标为，点，则，由可得，点作对称后的对应点，由点在轴上，可得，从而得出的取值范围，再根据求出的取值范围，由此即可得到答案．
【详解】（1）解：根据题意可得：
点关于对称的点的坐标为，在的边上，符合题意；
点关于对称的点的坐标为，在的边上，符合题意；
点关于对称的点的坐标为，不在的内部或边上，不符合题意；
点关于对称的点的坐标为，不在的内部或边上，不符合题意；
故点作下面的变换后，对应点仍在的内部或边上的是①②，
故答案为：①②；
（2）解：点在直线上，
设点，
点，
线段后点的坐标为，，
线段与坐标轴有公共点，
当线段与轴有公共点时，，，
解得：，
当线段与轴有公共点时，，
解得：，
综上所述，点的横坐标的取值范围为或；
（3）解：线段上存在点，，
设点的坐标为，点，则，
，
，即，
点作对称后的对应为点，
，
点在轴上，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：或，
或，
点的横坐标的取值范围为或．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形、中心对称的性质、解不等式组、点的坐标的性质，熟练掌握以上知识点，采用数形结合与分类讨论的思想解题，是解此题的关键．
考点9：中心对称的应用——图案设计
典例9：26．（2023·吉林·统考一模）图①、图②和图③都是的正方形网格，每个小正方形边长均为．按要求分别在图①、图②和图③中画图：
(1)在图①中画等腰，使其面积为，并且点在小正方形的顶点上；
(2)在图②中画四边形，使其是轴对称图形但不是中心对称图形，，两点都在小正方形的顶点上；
(3)在图③中画四边形，使其是中心对称图形但不是轴对称图形，，两点都在小正方形的顶点上；
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析
(3)作图见解析
【分析】（1）取格点，连接、即可；
（2）取格点、，连接、、即可；
（3）取格点、，连接、、即可．
【详解】（1）解：取格点，连接、，取格点，连接，
∵图①是的正方形网格，每个小正方形边长均为，
∴，，，
∴垂直平分，
∴，
∴是等腰三角形，
又∵，
∴等腰面积为，且点在小正方形的顶点上，
则即为所作；
（2）取格点、，连接、、，
∵图②是的正方形网格，每个小正方形边长均为，
∴，，，
∴，
∴四边形是梯形，
∵，，
∴，
∴四边形是等腰梯形，它是一个轴对称图形，不是中心对称图形，
则四边形即为所作；
（3）取格点、，连接、、即可，
∵图③是的正方形网格，每个小正方形边长均为，
∴，，
∴四边形是平行四边形，它是一个中心对称图形，不是轴对称图形，
则四边形即为所作．
【点睛】本题考查作图一应用与设计作图，考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，等腰梯形的判定，勾股定理，平行四边形的判定，中心对称图形，轴对称图形，三角形的面积等知识．解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题．
【变式1】（2022下·湖南长沙·八年级长沙市长郡双语实验中学校考期末）在平面直角坐标系中，将坐标为（0，0），（1，3），（2，0），（3，3）的点用线段依次连接起来得到一个图案N．
(1)在图（1）中，分别画出图案N关于x轴和y轴对称的图案；
(2)在图（2）中，将图案N先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，画出第二次平移后的图案；
(3)在图（3）中，以原点为对称中心，画出与图案N成中心对称的图案．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）利用轴对称变换的性质作出图形即可；
（2）利用平移变换的性质作出图形即可；
（3）利用中心对称变换的性质作出图形即可．
【详解】（1）图形如图所示：
（2）图形如图所示：
（3）图形如图所示．
【点睛】本题考查利用旋转设计图案，利用平移设计图案，利用轴对称设计图案，解题的关键是掌握轴对称变换，旋转变换，平移变换的性质．
【变式2】（2022·浙江温州·统考二模）如图是由54个边长为1的小等边三角形组成的网格，请按要求画格点多边形（顶点均在格点上）．
(1)在图1中画一个以为腰的．
(2)在图2中画一个四边形，使其中一条对角线长为4，且恰有两个内角为90°．
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析
【分析】（1）根据等腰三角形的特征进行作图即可；
（2）以A或B为固定点，先确定其中一条对角线长为4时的对应点，再根据其中恰有两个内角为90°进行作图即可．
【详解】（1）解：画法不唯一，如图1或图2
（2）解：画法不唯一，如图3、图4、图5、图6、图7或图8
【点睛】本题考查了作图，解题的关键是找准作图的突破口，再根据题目要求进行作图．
【变式3】（2022·吉林长春·校考一模）如图，在4×4的方格纸中，的三个顶点都在格点上．
图1 图2 图3
(1)在图1中，画出一个与成中心对称的格点三角形；
(2)在图2中，画出一个与成轴对称且与有公共边的格点三角形；
(3)在图3中，选择格点D，画出以A，B，C，D为顶点的平行四边形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）如图，以点C为对称中心画出△DEC；
（2）如图，以AC边所在的性质为对称轴画出△ADC；
（3）如图，利用网格特点和平行四边形性质画出点D，从而得到.
【详解】（1）解：如图，△DEC为所作；
（2）解：如图，△ADC为所作；
（3）解：如图，为所作.
【点睛】本题考查了作图 旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了轴对称变换．
同步一遍过
一、单选题
1．（2018上·山东日照·九年级阶段练习）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断即可．
【详解】第1个，是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
第2个，不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
第3个，是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；
第4个，是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．
故选B．
【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2．（2023上·湖北咸宁·九年级统考期末）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．正三角形 B．平行四边形 C．正五边形 D．等腰梯形
【答案】B
【分析】根据中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．
【详解】解：A、不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，故此选项错误；
B、能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，故此选项正确；
C、不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，故此选项错误；
D、不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，故此选项错误，
故选：B．
【点睛】本题考查中心对称图形，解题的关键是掌握中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
3．（2018上·全国·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，将绕原点旋转180°，得到的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】旋转180°后，两点关于原点对称，确定坐标即可．
【详解】∵绕原点旋转180°，
∴两个点是关于原点对称的，
∴旋转后的坐标为(1，2)，
故选A．
【点睛】本题考查了原点对称，正确理解绕原点旋转180°实质是原点对称是解题的关键．
4．（2020下·辽宁盘锦·九年级统考学业考试）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故不符合题意；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形．故符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
5．（2016上·九年级课时练习）如图，点A，B，C的坐标分别为（0，﹣1），（0，2），（3，0）．从下面四个点M（3，3），N（3，﹣3），P（﹣3，0），Q（﹣3，1）中选择一个点，以A，B，C与该点为顶点的四边形不是中心对称图形，则该点是（ ）
A．M B．N C．P D．Q
【答案】C
【详解】根据中心对称图形的概念，知：只要组成的四边形不是平行四边形，则一定不是中心对称图形．
解：根据平行四边形的判定，知A、B、D都能够和已知的三个点组成平行四边形，则一定是中心对称图形．
故选C．
6．（2019·浙江温州·统考一模）剪纸是中国古老的民间艺术，下列作品中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据轴对称图形的定义沿一条直线对折后，直线两旁部分完全重合的图形是轴对称图形，以及中心对称图形的定义分别判断即可得出答案．
【详解】解：A、C、D此图形沿一条直线对折后不能够完全重合，∴图形不是轴对称图形，不是中心对称图形，故这些选项错误；
B、此图形沿一条直线对折后能够完全重合，∴此图形是轴对称图形，旋转180°能与原图形重合，是中心对称图形，故此选项正确.
【点睛】本题考查轴对称图形和中心对称图形的定义，牢记定义并能熟练应用是解答的关键．
7．（2019上·广西河池·九年级统考期中）下面四个图案是常用的交通标志，其中为中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据中心对称图形的概念进行判断即可；
【详解】A、图形旋转180度之后不能与原图形重合，故不是中心对称图形；
B、图形旋转180度之后不能与原图形重合，故不是中心对称图形；
C、图形旋转180度之后能与原图形重合，故是中心对称图形；
D、图形旋转180度之后不能与原图形重合，故不是中心对称图形；
故选：C．
【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合；
8．（2021·广东广州·统考一模）已知点A（﹣2，3）经变换后到点B，下面的说法正确的是（ ）
A．点A先向上平移3个单位，再向左平移4个单位到点B，则点B的坐标为B（2，6）
B．点A绕原点按顺时针方向旋转90°后到点B，则点B的坐标为B（3，2）
C．点A与点B关于原点中心对称，则点B的坐标为B（3，﹣2）
D．点A与点B关于x轴对称，则点B的坐标为B（2，3）
【答案】B
【分析】根据点坐标的平移、旋转、轴对称的变换规律逐项判断即可得．
【详解】A、点先向上平移3个单位，再向左平移4个单位到点，则点的坐标为，即为，则此项说法错误，不符题意；
B、绕原点按顺时针方向旋转的点坐标变换规律：横、纵坐标互换，且纵坐标变为相反数，
则点绕原点按顺时针方向旋转后到点，则点的坐标为，此项说法正确，符合题意；
C、点坐标关于原点对称的变换规律：横、纵坐标均变为相反数，
则点与点关于原点中心对称，则点的坐标为，此项说法错误，不符题意；
D、点坐标关于轴对称的变换规律：横坐标不变、纵坐标变为相反数，
则点与点关于轴对称，则点的坐标为，此项说法错误，不符题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了点坐标的平移、旋转、轴对称的变换规律，熟练掌握各变换规律是解题关键．
9．（2022下·福建漳州·八年级统考期中）下列命题不正确的是 （ ）
A．一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等
B．两边分别相等的两个直角三角形全等
C．三角形经过旋转，对应线段平行且相等．
D．中心对称图形上每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分．
【答案】C
【分析】根据全等三角形的判定定理可判断A和B选项，根据旋转的性质可判断C选项，根据中心对称图形的性质可判断D选项，综上得出答案．
【详解】解：A、一个锐角和一条边分别相等再加上两个直角是相等角，用或可证明两三角形全等，故A正确；
B、若是一条直角边一条斜边分别相等，则用证明全等；若是两条直角边分别相等，则用证明全等，因此两边分别相等的两个直角三角形全等，故B正确；
C、三角形经过旋转，对应线段相等但不一定平行，故C错误；
D、中心对称图形上每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分是中心对称图形的性质，故D正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了命题、全等三角形的判定、旋转的性质和中心对称图形的性质等，牢固掌握以上知识点是解出本题的关键．
10．（2018上·河北秦皇岛·九年级校联考期末）在正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正八边形5个图形中既是轴对称又是中心对称的图形有( )个
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】正四边形、正六边形、正八边形既是轴对称又是中心对称的图形，
故选B．
【点睛】本题考查了中心对称图形，掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
二、填空题
11．（2017·四川宜宾·中考真题）在平面直角坐标系中，点M（3，﹣1）关于原点的对称点的坐标是 ．
【答案】（﹣3，1）．
【分析】根据两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数解答．
【详解】点M（3，﹣1）关于原点的对称点的坐标是（﹣3，1）．
故答案为（﹣3，1）．
12．（2019·湖北武汉·统考一模）已知平面直角坐标系上的三个点D（0，0），A（﹣1，1），B（﹣1，0）．将△ABD绕点D旋转180°，则点A、B的对应点A、B的坐标分别是A1 ，B1
【答案】 （1，﹣1） （1，0）
【分析】根据旋转的性质,旋转不改变图形大小和形状．
【详解】解：旋转180°后,各对应点将关于原点对称,
∴A1（1,﹣1）,B1（1,0）．
【点睛】本题考查旋转的性质,解答本题关键要理解旋转180°即成了中心对称．
13．（2023上·山东日照·九年级校考期中）已知点与点关于原点成中心对称，则 ．
【答案】3
【分析】此题考查了关于原点对称点的性质：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点O的对称点是，解二元一次方程组．直接利用关于原点对称点的性质建立关于a，b的二元一次方程组，解方程组求出a，b的值，代入计算得出答案．
【详解】解：点与点关于原点成中心对称，
，即，
解得：，
．
14．（2020上·广东珠海·九年级珠海市九洲中学校考期中）在平面直角坐标系中，若点P(x﹣2，x+1)关于原点的对称点在第四象限，则x的取值范围是 ．
【答案】﹣1＜x＜2
【分析】根据题意可得点P在第二象限，再利用第二象限内点的坐标符号可得关于x的不等式组，然后解不等式组即可．
【详解】解：∵点P（x﹣2，x+1）关于原点的对称点在第四象限，
∴点P在第二象限，
∴，
解得：﹣1＜x＜2，
故答案为：﹣1＜x＜2．
【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的坐标，关键是掌握第二象限内点的坐标符号．
15．（2023上·江苏宿迁·九年级校联考阶段练习）从下列图形：等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形中任意抽取一个图形，抽取的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是 ．
【答案】/0.6
【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题的关键；
根据题意，既是轴对称图形又是中心对称图形的有矩形、菱形、正方形，然后直接利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】在等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形这5个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有矩形、菱形、正方形这3个，
所以抽取的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是；
故答案为：
16．（2019上·山东威海·八年级统考期末）如图，在中，，，是中点，则点关于点的对称点的坐标是 ．
【答案】()．
【分析】过点A作AD⊥OB于D，然后求出AD、OD的长，从而得到点A的坐标，再根据中点坐标公式，求出点C的坐标，然后利用中点坐标公式求出点O关于点C的对称点坐标，即可．
【详解】如图，过点A作AD⊥OB于D，
∵OA=OB=3，∠AOB=45°，
∴AD=OD=3÷=，
∴点A(，)，B(3，0)，
∵C是AB中点，
∴点C的坐标为()，
∴点O关于点C的对称点的坐标是：()
故答案为：()．
【点睛】本题主要考查图形与坐标，掌握等腰直角三角形的三边之比以及线段中点坐标公式，是解题的关键．
三、解答题
17．（2019上·山西·九年级校考期中）已知在图（1）与图（2）中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△AOB的三个顶点都在格点上．
（1）将△OAB关于点P对称，在图（1）中画出对称后的图形△O′A′B′，并涂黑；
（2）先画出△OAB关于y轴的轴对称图形△O′A′B′，然后将△O′A′B′向右平移2个单位，再向上平移3个单位，在图（2）中画出平移后的图形△O″A″B″，并涂黑．
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【分析】（1）直接利用关于点对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）直接利用关于y轴对称点的性质和平移的性质得出对应点位置进而得出答案．
【详解】（1）如图（1）所示：△O'A'B'，即为所求；
（2）如图（2）所示：△O″A″B″，即为所求．
【点睛】本题考查了轴对称变换以及平移变换，正确得出对应点位置是解题的关键．
18．（2023下·浙江·八年级专题练习）如图，在直角坐标平面内，已知点A的坐标．
(1)图中点B的坐标是 ；
(2)点B关于原点对称的点C的坐标是 ；点A关于y轴对称的点D的坐标是 ；
(3)的面积是 ．
【答案】(1)
(2)；
(3)
【分析】（1）直接在坐标系中读出坐标即可；
（2）关于原点对称点特征：横坐标和纵坐标都互为相反数；关于y轴对称点特征：横坐标互为相反数，纵坐标不变；依此作答即可；
（3）先根据勾股定理求出 ， ，，再根据勾股逆定理得出是直角三角形，且，即可求出的面积．
【详解】（1）根据图示知，点B的坐标为，
故答案为：；
（2）由（1）知，B，
∴点B关于原点对称的点C的坐标是；
∵点A的坐标，
∴点A关于y轴对称的点D的坐标是；
故答案为：；；
（3）由勾股定理求得 ， ，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了坐标与图形，熟练掌握轴对称，中心对称和勾股定理以及逆定理是解题的关键．
19．（2021上·福建龙岩·九年级统考期中）如图，已知的顶点A、B、C的坐标分别是，，．
（1）画出关于原点O的中心对称图形；
（2）将绕原点O按顺时针方向旋转90°后得到，画出，并写出点、、的坐标．
【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析，
【分析】（1）分别确定△ABC的三个顶点关于点O的对称点 再顺次连接即可得到答案；
（2）分别确定△ABC的三个顶点分别绕原点O按顺时针方向旋转90°的对应点 然后顺次连接，再根据的位置写出它们的坐标，从而可得答案．
【详解】解：（1）如图，是所求作的三角形；
（2）如图，是所求作的三角形；
结合的位置可得：
【点睛】本题考查的是关于原点成中心对称的作图，关于原点旋转的作图，图形与坐标，理解关于原点成中心对称是解题的关键.
20．（2018·安徽合肥·九年级统考期末）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点B的坐标为（1，0）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）画出将△ABC绕原点O按逆时针旋转90°所得的△A2B2C2，并写出点C2的坐标；
（3）△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称吗？若成中心对称，写出对称中心的坐标．
【答案】（1）见解析；（2）见解析，点C2的坐标为（1，3）；（3）△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称，对称中心为（，）
【分析】(1)作出A、B、C关于x轴的对称点，然后顺次连接即可得到;
(2)把A、B、C绕原点按逆时针旋转90度得到对应点，然后顺次连接即可得到，根据图可写出C2的坐标;
(3)成中心对称，连续各对称点，连线的交点就是对称中心，从而可以找出对称中心的坐标.
【详解】（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求，点C2的坐标为（1，3）；
（3）△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称，对称中心为（，）．
【点睛】本题综合考查了轴对称图形和图形的旋转的作图，图形变换的性质，不管是哪一种变化，找对应点是关键.
21．（2023下·湖南益阳·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格的长度为1，已知点，，．
(1)请画出，并判断的形状__________直角三角形．（填“是”或“不是”）
(2)请画出关于轴对称的．
(3)请画出关于原点对称的．
【答案】(1)见解析，不是
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）找出A、B、C在平面直角坐标系中的位置，再顺次连接即可，再根据勾股定理求出，，，，根据勾股定理的逆定理判断即可；
（2）先找出A、B、C关于轴对称的点，再顺次连接即可得出答案；
（3）先找出A、B、C关于原点对称的点，再顺次连接即可得出答案
【详解】（1）解：如图，即为所求；
∵，，，
∴，
∴不是直角三角形，
故答案：不是；
（2）如图，即为所求．
（3）如图，即为所求．
【点睛】本题考查画轴对称图形，关于原点对称的图形，勾股定理的逆定理，掌握这些知识点是解题的关键，
22．（2020·吉林长春·校考模拟预测）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，请按要求分别在图①和图②中画出相应的图形，所画的图形的各个顶点均在格点上（每个小正方形的顶点均为格点）
（1）请在图①中画一个四边形ABCD，使得它是一个中心对称图形，且面积为12；
（2）请在图②中画一个△ABE，使得△ABE面积为6，且有一个内角等于45°．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）作一以AB为边的平行四边形即可得；
（2）取AE=4，且点E在点A的右侧，连接BE即可．
【详解】解：（1）如图1， ABCD即为所求；
（2）如图2，等腰△ABE即为所求；
【点睛】本题主要考查了利用图形的基本变换进行作图，作图时需要运用平行四边形的性质以及等腰三角形的性质进行计算．注意：平行四边形是中心对称图形，等腰直角三角形有两个内角为45°．
23．（2021上·内蒙古呼和浩特·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系内，顶点的坐标分别为，，．
（1）平移，使点移到点，画出平移后的，并写出点，的坐标；
（2）画出与关于原点对称的图形．
【答案】（1）见解析；，；（2）见解析
【分析】（1）根据点C移到点C1（﹣2，﹣4），可知向下平移了5个单位，分别作出A、B、C的对应点A1、B1、C1即可解决问题；
（2）根据中心对称的性质，作出A、B、C的对应点A2、B2、C2即可．
【详解】（1）如图所示，则△A1B1C1为所求作的三角形，，，
（2）如图所示，则△A2B2C2为所求作的三角形，
【点睛】本题考查平移变换、旋转变换以及平移坐标变化等知识，解题的关键是正确作出对应点解决问题．
24．（2022下·山东菏泽·八年级校联考期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．
(1)将向右平移4个单位，再向下平移1个单位得到，画出；
(2)画出与关于原点O的对称图形，并写出点的坐标．
【答案】(1)画图见解析
(2)（－2，－4）
【分析】（1）先根据平移的性质得到的坐标，然后描出，最后顺次连接即可得到答案；
（2）先根据关于原点对称的点的坐标特征得到，然后描出，最后顺次连接即可得到答案．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
∵将向右平移4个单位，再向下平移1个单位得到，，，，
∴
（2）解：如图所示，即为所求；
∵关于原点O的对称图形是，，
∴．
【点睛】本题主要考查了画平移图形，画与原点对称的图形，熟知相关知识是解题的关键．
25．（2023上·广东深圳·九年级校联考开学考试）如图，在由边长为1的小正方形组成的正方形网格中，的顶点均在格点上．
(1)画出关于原点成中心对称的
(2)画出向右平移5个单位得到后，再绕点逆时针旋转得到的．
(3)在x轴上有长度为1的线段（点P在点Q的左侧），是否存在一点P，使得的长最小 若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
(3)存在，
【分析】（1）根据中心对称的定义进行作图即可；
（2）根据平移性质，按要求作出的平移图形，根据旋转性质，再按要求作出绕点逆时针旋转得到的图形即可；
（3）过作关于轴的对称点，连接交轴于一点，连接交轴于一点P，即可得到的长最小．
【详解】（1）解：关于原点成中心对称的如下图所示：
（2）解：向右平移5个单位得到后，再绕点逆时针旋转得到的如下图所示：
（3）解：存在，，
因为x轴上有长度为1的线段（点P在点Q的左侧），
所以在取一点记为，则，
点过作关于轴的对称点，连接交轴于一点P，，连接，
如图所示：
设，则
因为，
所以
因为，
设的解析式为，
把，代入，
得
解得
解得，
当时，，即，
因为，且，
所以是平行四边形，
则，
那么有最小值，
且为．
【点睛】本题主要考查了中心对称、旋转作图以及平移作图等知识内容，综合性较强，要求学生有较强的作图能力，难度中等．
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专题03 中心对称
考点类型
知识一遍过
（一）中心对称的相关概念
（1）中心对称概念：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫作对称中心.这两个图形旋转后能重合的对应点叫作关于对称中心的对称点.
如图，绕着点旋转后，与完全重合，则称和关于点对称，点是点关于点的对称点.
（2）中心对称图形概念：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点就是它的对称中心.
（二）中心对称的性质
（1）中心对称的性质：
①中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；
②中心对称的两个图形是全等图形.
（2）找对称中心的方法和步骤：
方法1：连接两个对应点，取对应点连线的中点，则中点为对称中心.
方法2：连接两个对应点，在连接两个对应点，两组对应点连线的交点为对称中心.
（三）平面直角坐标系——原点对称
两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点
P’(-x，-y)
考点一遍过
考点1：中心对称的定义
典例1：（2023上·北京朝阳·九年级校考期中）下列各图中，四边形是正方形，其中阴影部分两个三角形成中心对称的是（ ）
A． B．C．D．
【变式1】（2023下·浙江金华·八年级统考期末）如图，在正方形网格中，A，B，C，D，E，F，G，H，I，J是网格线交点，与关于某点成中心对称，则其对称中心是（ ）
A．点G B．点H C．点I D．点J
【变式2】（2023·河北邯郸·统考模拟预测）图是由8个大小相等的正方形组成的中心对称图形，则此图的对称中心是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【变式3】（2024上·福建厦门·九年级统考期末）如图，直线l是正方形的一条对称轴，l与，分别交于点M，N．，的延长线相交于点P，连接．下列三角形中，与成中心对称的是（ ）
A． B． C． D．
考点2：中心对称作图
典例2：（2023上·山东东营·八年级校考阶段练习）在的正方形网格中，在其中选择一个白色的小正方形并涂黑，使图中黑色部分是一个中心对称图形，你能找到（ ）个这样的白色小正方形．
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式1】（2023上·山东淄博·八年级鲁村中学校考阶段练习）在方格纸中，选择标有序号中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形，该小正方形的序号是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023·河北邢台·统考一模）如图是的网格图，将图中标有①、②、③、④的一个小正方形涂灰，使所有的灰色图形构成中心对称图形，则涂灰的小正方形是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【变式3】（2023·河北沧州·模拟预测）如图，老师让同学们利用棋子在棋盘上拼出一个中心对称图形（颜色忽略），为了增加难度，加入了方向角，则下一个棋子应该放在中心点的（ ）
A．西北方向的处 B．西南方向的处 C．东南方向的处 D．西南方向的处
考点3：中心对称图形
典例3：（2024上·四川广安·九年级统考期末）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2022上·北京海淀·九年级统考期末）下列各曲线是根据不同的函数绘制而成的，其中是中心对称图形的是（ ）
A．B．C． D．
【变式2】（2023上·辽宁鞍山·九年级统考期中）下列四个图形，既是轴对称又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【变式3】（2023·山东青岛·统考模拟预测）以下投稿的民间建筑装饰图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点4：中心对称性质——求坐标
典例4：（2023上·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在第一象限，点，的坐标分别为，，，，直线交轴于点，若与关于点成中心对称，则点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（2024上·重庆合川·九年级统考期末）若点与关于原点对称，则的值为（ ）
A．1 B． C．5 D．
【变式2】（2024上·辽宁大连·九年级统考期末）平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2024上·江苏苏州·八年级期末）在平面直角坐标系中，将点A先向左平移6个单位长度，再向下平移8个单位长度，得到的点正好与点A关于原点对称，则点A的坐标是（ ）
A． B． C． D．
考点5：中心对称性质——求面积
典例5：（2023·四川凉山·统考模拟预测）如图，AB垂直于BC且AB＝BC＝3cm，与关于点O中心对称，AB、BC、、所围成的图形的面积是( )cm
A． B．π C． D．π
【变式1】（2023上·福建龙岩·九年级校联考期末）如图，在面积为12的□ABCD中，对角线BD绕着它的中点O按顺时针方向旋转一定角度后，其所在直线分别交AB、CD于点E、F，若AE=2EB，则图中阴影部分的面积等于（）
A．3 B．1 C． D．
【变式2】（2023·河北保定·校联考三模）用一条直线 m 将如图 1 的直角铁皮分成面积相等的两部分．图 2、图 3 分别是甲、乙两同学给出的作法，对于两人的作法判断正确的是（ ）
A．甲正确，乙不正确 B．甲不正确，乙正确
C．甲、乙都正确 D．甲、乙都不正确
【变式3】（2023上·江西南昌·九年级南昌市第十七中学校考期末）如图矩形的长为，宽为4，点O是各组三角形的对称中心，则图中阴影面积为（ ）
A． B． C． D．
考点6：中心对称的性质——求线段
典例6：（2023上·河北石家庄·八年级统考期末）如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若，则的长为（ ）
A．2 B．4 C． D．
【变式1】（2022下·河南鹤壁·七年级统考期末）如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（ ）
A．点A与点是对称点 B．
C． D．
【变式2】（2023上·吉林·九年级吉林松花江中学校考期中）如图，是等腰三角形的底边的中线，，，与关于点C成中心对称，连接，则的长是（ ）
A．4 B． C． D．
【变式3】（2022·河北秦皇岛·统考一模）如图，已知点A与点C关于点O对称，点B与点D也关于点O对称，若，．则AB的长可能是（ ）
A．3 B．4 C．7 D．11
考点7：中心对称的性质——规律探究
典例7：（2022上·河北邯郸·九年级校考期中）在如图所示的平面直角坐标系中，是边长为2的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，点在第 个三角形上，（n是正整数）的顶点的坐标是 ．
【变式1】（2022下·湖南永州·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为：，，.已知，作点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，…，依此类推，则点的坐标为 .
【变式2】（2023·贵州黔东南·统考中考真题）以 ABCD对角线的交点O为原点，平行于BC边的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若A点坐标为（﹣2，1），则C点坐标为 ．
【变式3】（2023上·新疆·九年级新疆农业大学附属中学校考期中）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标是，若点A与点B关于中心对称，则 ．
考点8：中心对称的应用——综合
典例8：（2023上·北京海淀·九年级校考开学考试）对于点和图形，若点关于图形上任意的一点的对称点为点，所有点组成的图形为，则称图形为点关于图形的“对称图形”．在平面直角坐标系中，已知点，，，．
(1)①在点，，中，是点关于线段的“对称图形”上的点有_______．
②画出点关于四边形的“对称图形”；
(2)点是轴上的一动点．
①若点关于四边形的“对称图形”与关于四边形的“对称图形”有公共点，求的取值范围；
②直线与轴交于点，与轴交于点，线段上存在点，使得点是点关于四边形的“对称图形”上的点，直接写出的取值范围．
【变式1】（2022·安徽安庆·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，RtΔABC的三个顶点分别是A（－3，2）、B（0，4）、C（0，2）．
(1)将ΔABC以点C为中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C；
(2)平移△ABC，若点A的对应点A2的坐标为（1，－4），画出平移后对应的△A2B2C2；
(3)若将△A1B1C绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标；
【变式2】（2023上·福建福州·九年级福州三牧中学校考阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是．
（1）作出与关于原点O成中心对称的；
（2）若点B关于x轴的对称点为点，将点向右平移a个单位长度后落在的内部（不包括顶点和边）．
①写出点坐标_________；
②写出a的取值范围为___________．
【变式3】（2023上·北京西城·九年级校考期中）在平面内，将图形关于点作中心对称变换得到图形的过程简记为：．若图形再关于点作中心对称变换得到图形，即：，则由图形变换到的过程称为图形作对称得到图形，记作：．
容易知道：若，则；若，则．
已知在平面直角坐标系中，点．
(1)如图1，已知点．点作下面的变换后，对应点仍在的内部或边上的是___________（写序号）：①对称；②对称；③对称；④对称．
(2)点在直线上，线段，当线段与坐标轴有公共点时，求点的横坐标的取值范围；
(3)点是平面内一点，．若线段上存在点，使点作对称后的对应点在轴上，直接写出点的横坐标的取值范围．
考点9：中心对称的应用——图案设计
典例9：26．（2023·吉林·统考一模）图①、图②和图③都是的正方形网格，每个小正方形边长均为．按要求分别在图①、图②和图③中画图：
(1)在图①中画等腰，使其面积为，并且点在小正方形的顶点上；
(2)在图②中画四边形，使其是轴对称图形但不是中心对称图形，，两点都在小正方形的顶点上；
(3)在图③中画四边形，使其是中心对称图形但不是轴对称图形，，两点都在小正方形的顶点上；
【变式1】（2022下·湖南长沙·八年级长沙市长郡双语实验中学校考期末）在平面直角坐标系中，将坐标为（0，0），（1，3），（2，0），（3，3）的点用线段依次连接起来得到一个图案N．
(1)在图（1）中，分别画出图案N关于x轴和y轴对称的图案；
(2)在图（2）中，将图案N先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，画出第二次平移后的图案；
(3)在图（3）中，以原点为对称中心，画出与图案N成中心对称的图案．
【变式2】（2022·浙江温州·统考二模）如图是由54个边长为1的小等边三角形组成的网格，请按要求画格点多边形（顶点均在格点上）．
(1)在图1中画一个以为腰的．
(2)在图2中画一个四边形，使其中一条对角线长为4，且恰有两个内角为90°．
【变式3】（2022·吉林长春·校考一模）如图，在4×4的方格纸中，的三个顶点都在格点上．
图1 图2 图3
(1)在图1中，画出一个与成中心对称的格点三角形；
(2)在图2中，画出一个与成轴对称且与有公共边的格点三角形；
(3)在图3中，选择格点D，画出以A，B，C，D为顶点的平行四边形．
同步一遍过
一、单选题
1．（2018上·山东日照·九年级阶段练习）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2023上·湖北咸宁·九年级统考期末）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．正三角形 B．平行四边形 C．正五边形 D．等腰梯形
3．（2018上·全国·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，将绕原点旋转180°，得到的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．（2020下·辽宁盘锦·九年级统考学业考试）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2016上·九年级课时练习）如图，点A，B，C的坐标分别为（0，﹣1），（0，2），（3，0）．从下面四个点M（3，3），N（3，﹣3），P（﹣3，0），Q（﹣3，1）中选择一个点，以A，B，C与该点为顶点的四边形不是中心对称图形，则该点是（ ）
A．M B．N C．P D．Q
6．（2019·浙江温州·统考一模）剪纸是中国古老的民间艺术，下列作品中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2019上·广西河池·九年级统考期中）下面四个图案是常用的交通标志，其中为中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·广东广州·统考一模）已知点A（﹣2，3）经变换后到点B，下面的说法正确的是（ ）
A．点A先向上平移3个单位，再向左平移4个单位到点B，则点B的坐标为B（2，6）
B．点A绕原点按顺时针方向旋转90°后到点B，则点B的坐标为B（3，2）
C．点A与点B关于原点中心对称，则点B的坐标为B（3，﹣2）
D．点A与点B关于x轴对称，则点B的坐标为B（2，3）
9．（2022下·福建漳州·八年级统考期中）下列命题不正确的是 （ ）
A．一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等
B．两边分别相等的两个直角三角形全等
C．三角形经过旋转，对应线段平行且相等．
D．中心对称图形上每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分．
10．（2018上·河北秦皇岛·九年级校联考期末）在正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正八边形5个图形中既是轴对称又是中心对称的图形有( )个
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
11．（2017·四川宜宾·中考真题）在平面直角坐标系中，点M（3，﹣1）关于原点的对称点的坐标是 ．
12．（2019·湖北武汉·统考一模）已知平面直角坐标系上的三个点D（0，0），A（﹣1，1），B（﹣1，0）．将△ABD绕点D旋转180°，则点A、B的对应点A、B的坐标分别是A1 ，B1
13．（2023上·山东日照·九年级校考期中）已知点与点关于原点成中心对称，则 ．
14．（2020上·广东珠海·九年级珠海市九洲中学校考期中）在平面直角坐标系中，若点P(x﹣2，x+1)关于原点的对称点在第四象限，则x的取值范围是 ．
15．（2023上·江苏宿迁·九年级校联考阶段练习）从下列图形：等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形中任意抽取一个图形，抽取的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是 ．
16．（2019上·山东威海·八年级统考期末）如图，在中，，，是中点，则点关于点的对称点的坐标是 ．
三、解答题
17．（2019上·山西·九年级校考期中）已知在图（1）与图（2）中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△AOB的三个顶点都在格点上．
（1）将△OAB关于点P对称，在图（1）中画出对称后的图形△O′A′B′，并涂黑；
（2）先画出△OAB关于y轴的轴对称图形△O′A′B′，然后将△O′A′B′向右平移2个单位，再向上平移3个单位，在图（2）中画出平移后的图形△O″A″B″，并涂黑．
18．（2023下·浙江·八年级专题练习）如图，在直角坐标平面内，已知点A的坐标．
(1)图中点B的坐标是 ；
(2)点B关于原点对称的点C的坐标是 ；点A关于y轴对称的点D的坐标是 ；
(3)的面积是 ．
19．（2021上·福建龙岩·九年级统考期中）如图，已知的顶点A、B、C的坐标分别是，，．
（1）画出关于原点O的中心对称图形；
（2）将绕原点O按顺时针方向旋转90°后得到，画出，并写出点、、的坐标．
20．（2018·安徽合肥·九年级统考期末）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点B的坐标为（1，0）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）画出将△ABC绕原点O按逆时针旋转90°所得的△A2B2C2，并写出点C2的坐标；
（3）△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称吗？若成中心对称，写出对称中心的坐标．
21．（2023下·湖南益阳·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格的长度为1，已知点，，．
(1)请画出，并判断的形状__________直角三角形．（填“是”或“不是”）
(2)请画出关于轴对称的．
(3)请画出关于原点对称的．
22．（2020·吉林长春·校考模拟预测）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，请按要求分别在图①和图②中画出相应的图形，所画的图形的各个顶点均在格点上（每个小正方形的顶点均为格点）
（1）请在图①中画一个四边形ABCD，使得它是一个中心对称图形，且面积为12；
（2）请在图②中画一个△ABE，使得△ABE面积为6，且有一个内角等于45°．
23．（2021上·内蒙古呼和浩特·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系内，顶点的坐标分别为，，．
（1）平移，使点移到点，画出平移后的，并写出点，的坐标；
（2）画出与关于原点对称的图形．
24．（2022下·山东菏泽·八年级校联考期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．
(1)将向右平移4个单位，再向下平移1个单位得到，画出；
(2)画出与关于原点O的对称图形，并写出点的坐标．
25．（2023上·广东深圳·九年级校联考开学考试）如图，在由边长为1的小正方形组成的正方形网格中，的顶点均在格点上．
(1)画出关于原点成中心对称的
(2)画出向右平移5个单位得到后，再绕点逆时针旋转得到的．
(3)在x轴上有长度为1的线段（点P在点Q的左侧），是否存在一点P，使得的长最小 若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
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