中小学教育资源及组卷应用平台
微专题01 因式分解通关专练
一、解答题
1．（2023上·吉林长春·八年级东北师大附中校考阶段练习）因式分解：
（1）3x3y﹣12x2y+3xy
（2）x3﹣4x
（3）x2﹣2x﹣24
（4）2a2﹣16ab+32b2
【答案】（1）3xy（x2﹣4x+1）；（2）x（x﹣2）（x+2）；（3）（x﹣6）（x+4）；（4）2（a﹣4b）2．
【分析】（1）直接提取公因式3xy，进而分解因式得出答案；
（2）首先提取公因式x，再利用平方差公式分解因式即可；
（3）直接利用十字相乘法分解因式得出答案；
（4）首先提取公因式2，再利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】解：（1）3x3y﹣12x2y+3xy
＝3xy（x2﹣4x+1）；
（2）x3﹣4x＝x（x2﹣4）
＝x（x﹣2）（x+2）；
（3）x2﹣2x﹣24
＝（x﹣6）（x+4）；
（4）2a2﹣16ab+32b2
＝2（a2﹣8ab+16b2）
＝2（a﹣4b）2．
【点睛】本题是对因式分解的综合考查，熟练掌握因式分解的提公因式法及公式法是解决本题的关键.
2．（2023上·河北廊坊·八年级廊坊市第四中学校考阶段练习）因式分解．
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）由题意直接根据完全平方差公式即可进行因式分解；
（2）由题意先提取公因式，进而利用平方差公式即可进行因式分解；
（3）根据题意先提取公因式，进而利用平方差公式即可进行因式分解.
【详解】解：（1）
（2）
（3）
【点睛】本题考查整式的因式分解，熟练掌握提取公因式法和公式法是解答本题的关键．
3．（2023下·山西·八年级统考阶段练习）（1）；
（2）．，
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）先提取公因式xy2，再运用平方差公式分解；
（2）先提取公因式n，再运用完全平方公式分解．
【详解】解：原式 ；
原式 ．
【点睛】本题考查了多项式的因式分解，属于常考题型，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键．
4．（2022上·福建厦门·八年级厦门市湖滨中学校考期末）（1）计算：;
（2）分解因式：．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）原式利用多项式乘以多项式法则计算即可得到结果；
（2）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
【点睛】本题考查了整式的混合运算以及提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5．（2023上·河南南阳·八年级统考期中）因式分解．小禾通过代入特殊值检验的方法，发现左右两边的值不相等．下面是他的解答和检验过程，请认真阅读并完成相应的任务．
小禾的解法： ① ② ③ 小禾的检验： 当，时， ∵ ∴分解因式错误
任务：
(1)小禾的解答是从第______步开始出错的，错误的原因是____________．
(2)请尝试写出正确的因式分解过程．
【答案】(1)②，y与合并同类项计算错误
(2)，过程见解析
【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
（1）根据平方差公式因式分解时，减去时，合并同类项出错；
（2）根据平方差公式与提公因式法因式分解即可求解．
【详解】（1）解：小禾的解答是从第②步开始出错的，错误的原因是y与合并同类项计算错误；
故答案为：②，y与合并同类项计算错误；
（2）解：正确的因式分解过程如下：
．
6．（2024上·河南信阳·七年级统考期末） 分解因式∶ ．
【答案】
【分析】本题考查的是因式分解，原式整理后，利用十字相乘法分解，再进一步分解即可，掌握因式分解的方法与步骤是解本题的关键．
【详解】解：
；
7．（2023上·山东济宁·八年级统考阶段练习）两位同学将一个关于 x 的二次三项式分解因式时，一位同学因看错了一次项系数而分解成，另一位同学因看错了常数项而分解成．请求出a，b，c的值，并将这个二次三项式因式分解．
【答案】，
【分析】本题主要考查了因式分解和多项式乘法，先根据多项式乘法计算法则求出，据此得到，再求出，据此得到，则原多项式为，先提取公因数2，再利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】解：
，
∵一位同学因看错了一次项系数而分解成，
∴；
，
∵另一位同学因看错了常数项而分解成，
∴，
∴原多项式为，
8．（2023下·重庆沙坪坝·八年级重庆一中校考期中）对于一个三位正整数（各位数字均不为0），若满足十位数字是个位数字与百位数字之和，则称该三位正整数为“夹心数”．将“夹心数”的百位、个位数字交换位置，得到另一个“夹心数”，记，．
例如：，．
，．
（1）计算__________；__________．
（2）对“夹心数”，令，当时，求的值．
（3）若“夹心数”满足与均为完全平方数，求的值．
【答案】（1）3，6；（2）m=121；（3）m=121，583，484．
【分析】（1）根据题中的定义和例题提供的算法，即可算出结果；
（2）设代入 并进行化简后，根据 s=36的已知条件，求出a、b的值，即可求出m的值；
（3）结合（2）的相关结论，求出a、b的值，即可求出符合条件的m的值．
【详解】解：（1）
故答案为：3；6．
（2）设
则
∴
∵s=36，
∴
∵且 a、 b、a+b都是正整数，
∴
∴，
解得，．
∴
（3）由（2）得，
∵a、b、a+b都是1到9的正整数，
∴
∵是完全平方数，
∴
又∵是偶数，
∴不合题意，舍去．
∴
当a+b=2时，a=b=1，
此时，，符合题意；
当a+b=8时，
若a=7，b=1，此时，不合题意，舍去；
若a=6，b=2，此时，不合题意，舍去；
若a=5，b=3，此时，符合题意；
若a=4，b=4，此时，符合题意．
∵
∴符合条件的
【点睛】本题考查了新定义运算、因式分解、方程组、不等式等知识点和分类讨论的数学思想，解题的关键是围绕新定义的运算法则进行计算是解题的基础，同时需要利用分类讨论时做到不重复不遗漏．
9．（2022下·广东深圳·八年级校考期中）分解因式：
(1)；
(2)先因式分解，再计算求值：，其中．
【答案】(1)
(2)；-8
【分析】（1）先提公因式，再用因式分解即可．
（2）先因式分解，再求值即可．
【详解】（1）
；
（2）
当时，原式=
．
【点睛】本题考查因式分解及整式混合运算，选择正确的分解方法是求解本题的关键．
10．（2023上·河南南阳·八年级校考期末）计算或因式分解：
(1)计算：；
(2)因式分解：.
(3)因式分解：.
【答案】(1)9
(2)
(3)
【分析】（1）先利用平方差公式计算，再合并同类项；
（2）先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解；
（3）综合运用提公因式法和公式法求解．
【详解】（1）解：
（2）解：
（3）解：
【点睛】本题考查整式的混合运算、因式分解，解题的关键是掌握整式的混合运算法则，能够综合运用提公因式法和公式法分解因式．
11．（2023下·浙江杭州·七年级统考期末）因式分解：
(1)ma﹣mb+mc；
(2)(x﹣y)2﹣6(x﹣y)+9．
【答案】(1)m(a﹣b+c)；(2)(x﹣y﹣3)2
【分析】(1)原式提取公因式即可；
(2)把(x﹣y)看作一个整体，利用完全平方公式分解即可．
【详解】(1)ma﹣mb+mc=m(a﹣b+c)；
(2)(x﹣y)2﹣6(x﹣y)+9=(x﹣y﹣3)2．
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12．（2023下·江苏连云港·七年级连云港市新海实验中学校考期中）如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形(如图2)．
(1)图2中的阴影部分的面积为 ；
(2)观察图2请你写出(a+b)2、(a b)2、ab之间的等量关系是 ；
(3)根据(2)中的结论，若m+n=5，mn=4，则m n= ；
(4)实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式．根据图3，写出一个因式分解的等 ．
【答案】(1)（a+b）-4ab或（b-a）；(2)(a+b)-4ab-(b-a)；(3) 3m，(4)
【分析】（1）阴影部分为边长为（b-a）的正方形，然后根据正方形的面积公式求解；（2）在图2中，大正方形有小正方形和4个矩形组成，则（a+b）2-（a-b）2=4ab；
（3）由（2）的结论得到（x+y）2-（x-y）2=4xy，再把m+n=5，mn=4，代入此方程，得到（x-y）2=9，然后利用平方根的定义求解
（4）观察图形得到长和宽分别为（a+b）与（3a+b）的矩形由3个边长为a的正方形、4个长和宽分别为a、b的矩形和一个边长为b的正方形组成，则有3a2+4ab+b2=（a+b） （3a+b）．
【详解】(1)阴影部分为边长为(b a)的正方形，所以阴影部分的面积．
故答案为∶ ．
(2)图2中，用边长为a+b的正方形的面积减去边长为b a的正方形等于4个长宽分别a、b的矩形面积，
所以
故答案为
(3)∵
∴把m+n=5，mn=4分别代入，得
∴，
∴
故答案为；
(4) 长和宽分别为(a+b)与(3a+b)的矩形面积为(a+b)(3a+b)，它由3个边长为a的正方形、4个长和宽分别为a、b的矩形和一个边长为b的正方形组成，
∴，
故答案为．
【点睛】熟练掌握完全平方公式的变形，以及因式分解的运用是解决本题的关键．
13．（2023上·山东淄博·九年级统考期末）把下列多项式分解因式：
（1）．
（2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）原式整理后利用完全平方公式分解即可；
（2）原式提取公因式即可得到结果．
【详解】（1）
；
（2）
．
【点睛】本题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．
14．（2022上·甘肃武威·八年级校考期末）分解因式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先提取公因式3x，再利用平方差公式因式分解即可；
（2）先提取公因式3y，再利用完全平方公式因式分解即可；
【详解】（1）解：原式=
=；
（2）解：原式=
=．
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
15．（2023上·吉林长春·八年级统考期中）分解因式：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键：
（1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可；
（2）利用平方差公式分解因式即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
16．（2023上·山东滨州·八年级校考期中）因式分解：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查因式分解．熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键．
（1）先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可；
（2）利用提公因式法进行因式分解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
17．（2022上·湖北武汉·八年级校考期末）因式分解．
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先提取公因式，进而利用完全平方公式分解因式即可；
（2）首先提取公因式，进而利用平方差公式分解因式即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
.
【点睛】本题考查了提公因式法以及公式法分解因式，熟练掌握因式分解的方法步骤及乘法公式是解题的关键．
18．（2022上·山东淄博·八年级周村二中校考阶段练习）因式分解：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）利用十字相乘法分解因式；
（2）利用提公因式法分解因式．
【详解】（1）；
（2）
=
=．
【点睛】本题主要考查了因式分解，利用多项式的特征灵活运用分解因式的方法是解决问题的关键．
19．（2024上·广西柳州·八年级统考期末）分解因式：．
【答案】
【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【详解】解：原式．
20．（2024上·天津滨海新·八年级校考期末）因式分解：
(1)______
(2)
(3)
【答案】(1)．
(2)
(3)
【分析】本题考查因式分解，掌握因式分解的方法即可解题．
（1）本题利用十字相乘法进行因式分解即可．
（2）本题先提公因式，再利用公式法进行因式分解即可．
（3）本题先打开括号进行合并同类项，再利用完全平方公式进行因式分解即可．
【详解】（1）解：，
故答案为：．
（2）解：．
（3）解：
．
21．（2023上·河南信阳·八年级河南省淮滨县第一中学校考阶段练习）分解因式：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键．
（1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可；
（2）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
22．（2023上·河南濮阳·九年级校考阶段练习）因式分解：
（1）
（2）
【答案】（1）；（2） ．
【分析】（1）先提公因式，再利用平方差分解因式即可；
（2）先利用平方差公式因式分解，再根据完全平方公式分解即可．
【详解】解：（1）；
（2）．
【点睛】本题考查了因式分解，因式分解的一般步骤是“一提二看三检查”，注意分解要彻底．
23．（2023下·湖南益阳·七年级校考期中）因式分解：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）提公因式，即可求解；
（2）先提公因式，然后根据完全平方公式因式分解即可求解．
【详解】（1）解：
，
（2）解：
．
【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
24．（2023上·广西钦州·八年级统考期末）（1）计算：（6x2﹣8xy）÷2x；
（2）分解因式：a3﹣6a2+9a．
【答案】(1) 3x﹣4y (2) a（a﹣3）2
【详解】试题分析：（1）利用多项式除以单项式的运算法则计算即可；（2）提取公因式a后，再利用完全平方公式分解因式即可.
试题解析：
（1）原式=2x（3x﹣4y）÷2x
=3x﹣4y
（2）原式=a（a2﹣6a+9）
=a（a﹣3）2
25．（2023下·江苏·七年级校考周测）分解因式：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先提取公因式，然后利用平方差公式进行因式分解；
（2）先提取公因式，然后利用完全平方公式进行因式分解．
【详解】（1）解：
=
=
（2）
=
=
【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式法分解因式是解题关键．
26．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级校考阶段练习）整式乘法与因式分解是方向相反的变形．
由得，；
利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式，
例如：将式子分解因式．
分析：这个式子的常数项，一次项系数，所以．
解：
请仿照上面的方法，解答下列问题：
(1)分解因式：________；
(2)分解因式：________；
【答案】(1)；
(2)．
【分析】此题考查了利用十字相乘法进行因式分解，弄清题中的分解因式的方法是解题的关键．
（）根据所给材料信息即可求解；
（）先将看作一个整体进行因式分解，随后再对每一个因式进一步分解即可；
【详解】（1）解：这个式子的常数项，一次项系数，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）先把看成整体，
则
．
故答案为：．
27．（2023下·江苏盐城·七年级校考阶段练习）因式分解：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】（1）原式提取公因式即可得到结果；
（2）原式利用平方差公式分解即可；
（3）原式提取公因式即可．
（4）原式先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【详解】解：（1）原式=
（2）原式=
（3）原式==
（4）原式==
【点睛】此题考查提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
28．（2023下·山东济南·八年级统考期中）因式分解：①，②．
③，④．
【答案】①原式；②原式；③原式；④原式．
【详解】试题分析：
①本题多项式的各项有公因式，先提公因式“m”，再用“平方差”公式分解；
②本题多项式的各项有公因式，先提公因式“a”，再用“完全平方”公式分解；
③本题多项式的各项有公因式，先提公因式“”，再用“平方差”公式分解；
④本题把“”看着一个整体，把“”化成“”，就可用“完全平方公式”分解；
试题解析：
①原式
．
②原式．
③原式．
④原式．
点睛：对多项式进行因式分解时，首先要看多项式各项有没有公因式，有公因式的一定要先提出公因式，再看第二个因式能不能用公式法或十字相乘法作进一步的分解，要直到每个因式在指定范围内不能再分解为止，即分解要彻底.
29．（2023下·陕西咸阳·七年级校考阶段练习）阅读材料：求的值．
解：设，将等式两边同时乘2，得
2S=将下式减去上式，得
2S-S=，
即S=
请你仿照此法计算下面各题
（1）
（2）（其中n为正整数）
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）利用例题的方法将原式进行变形进而可以得出答案；
（2）仿照例题的思路进行变形即可．
【详解】解：（1）设，将等式两边同时乘2，得
将下式减去上式，得
，
即
∴结果为
（2）设，将等式两边同时乘3，得
将下式减去上式，得
，
即，
∴，
∴结果为
【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，提取公因式法分解因式，正确将式子进行变形是解题的关键．
30．（2023上·四川南充·八年级四川省南充市白塔中学校考阶段练习）（1）计算：
（2）分解因式：
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）先根据积的乘方法则去掉括号，再利用同底数幂的乘法和除法法则计算即可；
（2）先提公因式，再利用平方差公式分解即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
．
【点睛】本题考查整式乘除运算、因式分解，同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减．
31．（2023下·山东临沂·七年级统考期末）分解因式：
（1） （2）-2x+x2+1
【答案】⑴x（x+1）（x—1）； ⑵(x-1)2
【详解】分析：（1）先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解.
（2）可直接用完全平方公式分解.
详解：（1）
=x(x -1)
= x（x+1）（x—1）
（2）-2x+x2+1
=x2-2x +1
=(x-1)2
点睛：此题考查了提公因式与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.
32．（2023上·湖北省直辖县级单位·八年级校考阶段练习）因式分解：
（1）3a2﹣6ab＋3b2
（2） （x＋1）（x＋2）（x＋3）（x＋4）＋1
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）先提取公因式，然后利用公式法进行因式分解即可；
（2）先利用乘法交换律进行变换，然后根据多项式乘以多项式分两组计算，将看作一个整体，继续进行多项式乘法运算，最后运用公式法进行因式分解即可．
【详解】解：（1），
，
；
（2），
，
，
，
．
【点睛】题目主要考查因式分解的方法提公因式法和公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．
33．（2023上·辽宁盘锦·八年级校考期中）分解因式：
(1)
(2)
【答案】(1)（．
(2)．
【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握提公因式法、公式法进行因式分解是解决本题的关键．
（1）先变形，再提公因式，最后逆用平方差公式．
（2）先变形，再逆用完全平方公式．
【详解】（1）解：
（2）解：
．
34．（2023上·山东东营·八年级校考阶段练习）先分解因式，再求值：
(1)，其中，；
(2)已知，，求的值；
(3)利用简便方法计算：．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先根据提公因式法因式分解，再代入值即可；
（2）先将原式提公因式，转化为完全平方式的形式，代入值即可；
（3）将原式按照平方差公式和完全平方公式进行转化，再计算即可．
【详解】（1）解：
当，时
原式
；
（2）解：∵，，
∴
；
（3）解：
．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式和平方差公式的应用，熟练掌握公式的形式是解题的关键．
35．（2023上·吉林长春·八年级校考阶段练习）阅读理解题：
定义：如果一个数的平方等于－1，记为，这个数i叫做虚数单位．那么形如（a，b为实数）的数就叫做复数，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．
例如计算：．
；
．
(1)填空：______，______；
(2)计算：①；②；
(3)若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下列问题：已知： ，（x，y为实数），求的值．
(4)试一试：请你参照这一知识点，将（m为实数）因式分解成两个复数的积．
【答案】(1)i；2
(2)①5；②
(3)14
(4)
【分析】（1）根据题中虚数定义和整式中的同底数幂的乘法运算法则求解即可；
（2）①利用整式的平方差公式和题中虚数定义求解即可；②利用整式的完全平方公式和题中虚数定义求解即可；
（3）根据复数相等列二元一次方程组求得x、y值，再代值求解即可；
（4）根据虚数定义和整式的平方差公式分解因式即可求解．
【详解】（1）解：，
，
故答案为：i；2；
（2）解：① ；
②
；
（3）解：由题意，得，解得，
∴；
（4）解：∵，
∴
．
【点睛】本题考查整式的运算、因式分解、解二元一次方程组、代数式求值，理解题中虚数定义和复数的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似并灵活运用是解答的关键．
36．（2023上·福建泉州·八年级福建省泉州市培元中学校考期中）把下列多项式分解因式：
(1)
(2)；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先提取公因式，然后运用平方差公式分解因式即可；
（2）先计算多项式乘以多项式，然后利用完全平方公式进行因式分解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题考查提公因式法与公式法进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．
37．（2023上·河南驻马店·八年级统考期末）阅读下面的问题，然后回答．
分解因式：，
解：原式
上述因式分解的方法称为配方法．
请体会配方法的特点，用配方法分解因式：
【答案】
【分析】根据题目意思利用完全平方公式：，将配成完全平方，再根据平方差公式：，进行因式分解即可.
【详解】解：原式
【点睛】本题主要考查的是对题目的理解，利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解，掌握这两个公式是解题的关键.
38．（2023下·山东济南·八年级统考期末）分解因式：
(1) a(m－2)＋b(2－m)． (2) y3＋4x2y－4xy2
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）直接利用提取公因式法即可得；
（2）综合利用提取公因式法和公式法即可得．
【详解】（1）原式，
；
（2）原式，
，
．
【点睛】本题考查了利用提取公因式法和公式法分解因式，因式分解的主要方法包括：提取公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法等，熟练掌握各方法是解题关键．
39．（2023下·山东菏泽·七年级统考期末）分解因式
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）(x 2).
【分析】（1）先提取公因式3x，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案；
（2）先去括号，再根据完全平方公式进行分解即可．
【详解】(1)原式=3x(1 4x)=3x(1 2x)(1+2x)
(2)原式=x 4x+4=(x 2).
【点睛】此题考查提公因式法与公式法的综合运用，解题关键在于掌握运算法则.
40．（2023下·湖南岳阳·七年级统考期末）因式分解：
（1）3x2﹣3y2；
（2）ab2﹣4ab+4a．
【答案】（1）3(x+y)(x﹣y)；（2）a(b﹣2)2
【分析】（1）先提公因式3，再用平方差公式分解因式；
（2）先提公因式a，再用完全平方公式分解因式．
【详解】解：（1）原式＝3（x2﹣y2）
＝3（x+y）（x﹣y）；
（2）原式＝a（b2﹣4b+4）
＝a（b﹣2）2．
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握a2-b2=（a+b）（a-b），a2±2ab+b2=（a±b）2是解题的关键．
41．（2023·山东威海·八年级校联考期中）把下列各式分解因式：
（1）4a2b2-（a2+b2）2
（2）（x2-1）2+6（1-x2）+9．
【答案】（1）-（a+b）2（a-b）2；（2）（x+2）2（x-2）2．
【分析】（1）原式利用平方差公式及完全平方公式分解即可； （2）原式变形后，利用完全平方公式及平方差公式分解即可．
【详解】（1）原式=（2ab+a2+b2）（2ab-a2-b2）=-（a+b）2（a-b）2；
（2）原式=（x2-1-3）2=（x+2）2（x-2）2．
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
42．（2023上·江苏·八年级校考开学考试）把下面各式分解因式：（1）ax3－9ax；
（2）x2＋2x(x－3y)＋(x－3y)2．
【答案】（1）ax（x+3）（x-3）；（2）（2x-3y）2．
【分析】（1）根据提公因式法，平方差公式，可得答案；
（2）根据完全平方公式，可得答案．
【详解】（1）原式=ax（x2-9）=ax（x+3）（x-3）；
（2）原式=[ x+（x-3y）]2=（2x-3y）2．
【点睛】本题考查了因式分解，一提，二套，三检查，分解要彻底．
43．（2022上·八年级课时练习）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）提取公因式，再将剩余的一项合并同类项化简即可；
（2）根据平方差公式展开，再将完全平方公式展开计算即可．
【详解】（1）解：，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
．
【点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练掌握提公因式，完全平方公式，平方差公式对式子进行简便计算．
44．（2022上·山西晋城·八年级统考期末）（1）计算：．
（2）计算：
（3）因式分解：
（4）因式分解：
【答案】（1）4；（2）；（3）；（4）
【分析】（1）将改写成，再利用平方差公式进行计算即可得；
（2）先计算括号内的乘法公式、单项式乘以多项式，再计算括号内的加减法，然后计算多项式除以单项式即可得；
（3）先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可得；
（4）先计算多项式乘以多项式，再计算整式的加减，然后利用完全平方公式进行因式分解即可得．
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
；
（3）原式
；
（4）原式
．
【点睛】本题考查了利用平方差公式进行运算、整式的混合运算、因式分解，熟练掌握各运算法则和公式是解题关键．
45．（2023上·江西赣州·八年级校考期末）阅读理解：
（1）特例运算：①（x+1）（x+2）＝ ；
②（x+3）（x﹣1）＝ ；
（2）归纳结论：（x+a）（x+b）＝x2+（ ）x+ ；
（3）尝试运用：直接写出计算结果（m+99）（m﹣100）＝ ；
（4）解决问题：根据你的理解，把下列多项式因式分解：
①x2﹣5x+6＝ ；
②x2﹣3x﹣10＝ ．
（5）拓展延伸：若x2+px﹣8可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是 ．
【答案】（1）①x2+3x+2；②x2+2x﹣3；（2）a+b；ab；（3）m2﹣m﹣9900；（4）①（x﹣2）（x﹣3）；②（x﹣5）（x+2）；（5）﹣7，﹣2，2，7
【分析】（1）各式利用多项式乘以多项式法则计算即可得到结果；
（2）归纳总结得到一般性规律，写出即可；
（3）利用得出的规律计算即可求出值；
（4）利用十字相乘法分解即可；
（5）根据十字相乘法求出p的所有可能值即可．
【详解】解：（1）特例运算：①（x+1）（x+2）＝x2+3x+2；
②（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3；
（2）归纳结论：（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab；
（3）尝试运用：直接写出计算结果（m+99）（m﹣100）＝m2﹣m﹣9900；
（4）解决问题：根据你的理解，把下列多项式因式分解：
①x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3）；
②x2﹣3x﹣10＝（x﹣5）（x+2）；
（5）拓展延伸：若x2+px﹣8可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是﹣7，﹣2，2，7，
故答案为（1）①x2+3x+2；②x2+2x﹣3；（2）a+b；ab；（3）m2﹣m﹣9900；（4）①（x﹣2）（x﹣3）；②（x﹣5）（x+2）；（5）﹣7，﹣2，2，7
【点睛】考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键．
46．（2023上·江西·九年级统考期中）因式分解：
（1）-2m+4m2-2m3 ； （2）a2﹣b2﹣2a+1；
（3）(x-y)2-9(x+y)2 ；
【答案】（1）-2m(m-1) ；(2) （a﹣1+b）（a﹣1﹣b）;(3) -4(2x+y)(x+2y).
【分析】1、可将-2m提取出来即可得出.2、可以先将一个完全平方式提取出来，即可得出答案.3、可先将式子乘出来，再合并同类项，提出-4，即可得出答案.
【详解】（1）原式=-2m(m-1) .
（2）解：a2﹣b2﹣2a+1=（a2﹣2a+1）﹣b2=（a﹣1）2﹣b2=（a﹣1+b）（a﹣1﹣b）．
(3)原式=-4(2x+y)(x+2y).
【点睛】本题考查了多项式化简合并，熟悉掌握多项式的花间合并是解决本题的关键.
47．（2023下·广东佛山·八年级统考期末）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”．请你利用“数形结合”的思想解决以下问题．如图1，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，图2题由图1外阴影部分排成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为．
(1)请直接用含和的代数式表示___________，___________；写出利用图形的面积关系所得到的公式：___________（用式子表达）．
(2)请依据（1）得到的公式计算：．
(3)请用（1）中的公式证明任意两个相邻奇数的平方差必是8的倍数．
【答案】(1)，，
(2)
(3)见解析
【分析】（1）用大正方形的面积减去小正方形的面积即可求出，根据长方形的面积公式即可求出，根据两个图形中的阴影部分面积相等即可得出相应的公式；
（2）根据（1）中得到的平方差公式解答即可；
（3）设两个相邻的奇数为（n为自然数），根据平方差公式解答即可．
【详解】（1）由题意可得：，，
根据阴影部分面积相等可得公式： ，
故答案为：，， ；
（2）
；
（3）证明：设两个相邻的奇数为（n为自然数），
则
；
所以任意两个相邻奇数的平方差必是8的倍数．
【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景，正确理解题意、熟练掌握利用平方差公式分解因式是解题的关键．
48．（2022下·陕西西安·八年级校考期末）如图，在一个边长为米的正方形铁皮的四角各剪去一个边长为米的正方形．
(1)用含和的代数式表示剩余铁皮的面积；
(2)利用因式分解的知识计算，当，时，剩余铁皮的面积是多少平方米．
【答案】(1)平方米
(2)32平方米
【分析】（1）根据图形，可以用含和的代数式表示剩余铁皮的面积；
（2）将，代入中的结果，然后利用平方差公式，可以求得剩余铁皮的面积是多少平方米．
【详解】（1）解：由图可得，
剩余铁皮的面积是平方米；
（2）解：当，时，
，
即剩余铁皮的面积是平方米．
【点睛】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，利用因式分解的方法解答．
49．（2023上·七年级校考课时练习）利用分解因式计算：
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用平方差公式运算；
（2）先利用平方差公式进行运算，然后再提公因式继续运算即可．
【详解】（1）原式
（2）原式
【点睛】本题考查了因式分解，根据具体数据分析确定因式分解的方法是解题的关键．
50．（2023下·江苏扬州·七年级统考期末）分解因式：
（1）3ax2﹣6axy+3ay2；
（2）x2（x﹣2）﹣16（x﹣2）．
【答案】（1）3a（x-y）2；（2）（x-2）（x-4）（x+4）
【分析】（1）此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有3项，可采用完全平方公式继续分解．
（2）此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有2项，可采用平方差公式继续分解．
【详解】解：（1）3ax2-6axy+3ay2
=3a（x2-2xy+y2）
=3a（x-y）2；
（2）x2（x-2）-16（x-2）
=（x-2）（x2-16）
=（x-2）（x-4）（x+4）．
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
微专题01 因式分解通关专练
一、解答题
1．（2023上·吉林长春·八年级东北师大附中校考阶段练习）因式分解：
（1）3x3y﹣12x2y+3xy
（2）x3﹣4x
（3）x2﹣2x﹣24
（4）2a2﹣16ab+32b2
2．（2023上·河北廊坊·八年级廊坊市第四中学校考阶段练习）因式分解．
（1）
（2）
（3）
3．（2023下·山西·八年级统考阶段练习）（1）；
（2）．，
4．（2022上·福建厦门·八年级厦门市湖滨中学校考期末）（1）计算：;
（2）分解因式：．
5．（2023上·河南南阳·八年级统考期中）因式分解．小禾通过代入特殊值检验的方法，发现左右两边的值不相等．下面是他的解答和检验过程，请认真阅读并完成相应的任务．
小禾的解法： ① ② ③ 小禾的检验： 当，时， ∵ ∴分解因式错误
任务：
(1)小禾的解答是从第______步开始出错的，错误的原因是____________．
(2)请尝试写出正确的因式分解过程．
6．（2024上·河南信阳·七年级统考期末） 分解因式∶ ．
7．（2023上·山东济宁·八年级统考阶段练习）两位同学将一个关于 x 的二次三项式分解因式时，一位同学因看错了一次项系数而分解成，另一位同学因看错了常数项而分解成．请求出a，b，c的值，并将这个二次三项式因式分解．
8．（2023下·重庆沙坪坝·八年级重庆一中校考期中）对于一个三位正整数（各位数字均不为0），若满足十位数字是个位数字与百位数字之和，则称该三位正整数为“夹心数”．将“夹心数”的百位、个位数字交换位置，得到另一个“夹心数”，记，．
例如：，．
，．
（1）计算__________；__________．
（2）对“夹心数”，令，当时，求的值．
（3）若“夹心数”满足与均为完全平方数，求的值．
9．（2022下·广东深圳·八年级校考期中）分解因式：
(1)；
(2)先因式分解，再计算求值：，其中．
10．（2023上·河南南阳·八年级校考期末）计算或因式分解：
(1)计算：；
(2)因式分解：.
(3)因式分解：.
11．（2023下·浙江杭州·七年级统考期末）因式分解：
(1)ma﹣mb+mc；
(2)(x﹣y)2﹣6(x﹣y)+9．
12．（2023下·江苏连云港·七年级连云港市新海实验中学校考期中）如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形(如图2)．
(1)图2中的阴影部分的面积为 ；
(2)观察图2请你写出(a+b)2、(a b)2、ab之间的等量关系是 ；
(3)根据(2)中的结论，若m+n=5，mn=4，则m n= ；
(4)实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式．根据图3，写出一个因式分解的等 ．
13．（2023上·山东淄博·九年级统考期末）把下列多项式分解因式：
（1）．
（2）．
14．（2022上·甘肃武威·八年级校考期末）分解因式：
(1)；
(2)．
15．（2023上·吉林长春·八年级统考期中）分解因式：
(1)
(2)
16．（2023上·山东滨州·八年级校考期中）因式分解：
(1)
(2)
17．（2022上·湖北武汉·八年级校考期末）因式分解．
(1)；
(2)．
18．（2022上·山东淄博·八年级周村二中校考阶段练习）因式分解：
(1)；
(2)．
19．（2024上·广西柳州·八年级统考期末）分解因式：．
20．（2024上·天津滨海新·八年级校考期末）因式分解：
(1)______
(2)
(3)
21．（2023上·河南信阳·八年级河南省淮滨县第一中学校考阶段练习）分解因式：
(1)
(2)
22．（2023上·河南濮阳·九年级校考阶段练习）因式分解：
（1）
（2）
23．（2023下·湖南益阳·七年级校考期中）因式分解：
(1)；
(2)．
24．（2023上·广西钦州·八年级统考期末）（1）计算：（6x2﹣8xy）÷2x；
（2）分解因式：a3﹣6a2+9a．
25．（2023下·江苏·七年级校考周测）分解因式：
(1)
(2)
26．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级校考阶段练习）整式乘法与因式分解是方向相反的变形．
由得，；
利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式，
例如：将式子分解因式．
分析：这个式子的常数项，一次项系数，所以．
解：
请仿照上面的方法，解答下列问题：
(1)分解因式：________；
(2)分解因式：________；
27．（2023下·江苏盐城·七年级校考阶段练习）因式分解：
（1）
（2）
（3）
（4）
28．（2023下·山东济南·八年级统考期中）因式分解：①，②．
③，④．
29．（2023下·陕西咸阳·七年级校考阶段练习）阅读材料：求的值．
解：设，将等式两边同时乘2，得
2S=将下式减去上式，得
2S-S=，
即S=
请你仿照此法计算下面各题
（1）
（2）（其中n为正整数）
30．（2023上·四川南充·八年级四川省南充市白塔中学校考阶段练习）（1）计算：
（2）分解因式：
31．（2023下·山东临沂·七年级统考期末）分解因式：
（1） （2）-2x+x2+1
32．（2023上·湖北省直辖县级单位·八年级校考阶段练习）因式分解：
（1）3a2﹣6ab＋3b2
（2） （x＋1）（x＋2）（x＋3）（x＋4）＋1
33．（2023上·辽宁盘锦·八年级校考期中）分解因式：
(1)
(2)
34．（2023上·山东东营·八年级校考阶段练习）先分解因式，再求值：
(1)，其中，；
(2)已知，，求的值；
(3)利用简便方法计算：．
35．（2023上·吉林长春·八年级校考阶段练习）阅读理解题：
定义：如果一个数的平方等于－1，记为，这个数i叫做虚数单位．那么形如（a，b为实数）的数就叫做复数，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．
例如计算：．
；
．
(1)填空：______，______；
(2)计算：①；②；
(3)若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下列问题：已知： ，（x，y为实数），求的值．
(4)试一试：请你参照这一知识点，将（m为实数）因式分解成两个复数的积．
36．（2023上·福建泉州·八年级福建省泉州市培元中学校考期中）把下列多项式分解因式：
(1)
(2)；
37．（2023上·河南驻马店·八年级统考期末）阅读下面的问题，然后回答．
分解因式：，
解：原式
上述因式分解的方法称为配方法．
请体会配方法的特点，用配方法分解因式：
38．（2023下·山东济南·八年级统考期末）分解因式：
(1) a(m－2)＋b(2－m)． (2) y3＋4x2y－4xy2
39．（2023下·山东菏泽·七年级统考期末）分解因式
（1）
（2）
40．（2023下·湖南岳阳·七年级统考期末）因式分解：
（1）3x2﹣3y2；
（2）ab2﹣4ab+4a．
41．（2023·山东威海·八年级校联考期中）把下列各式分解因式：
（1）4a2b2-（a2+b2）2
（2）（x2-1）2+6（1-x2）+9．
42．（2023上·江苏·八年级校考开学考试）把下面各式分解因式：（1）ax3－9ax；
（2）x2＋2x(x－3y)＋(x－3y)2．
43．（2022上·八年级课时练习）计算：
(1)；
(2)．
44．（2022上·山西晋城·八年级统考期末）（1）计算：．
（2）计算：
（3）因式分解：
（4）因式分解：
45．（2023上·江西赣州·八年级校考期末）阅读理解：
（1）特例运算：①（x+1）（x+2）＝ ；
②（x+3）（x﹣1）＝ ；
（2）归纳结论：（x+a）（x+b）＝x2+（ ）x+ ；
（3）尝试运用：直接写出计算结果（m+99）（m﹣100）＝ ；
（4）解决问题：根据你的理解，把下列多项式因式分解：
①x2﹣5x+6＝ ；
②x2﹣3x﹣10＝ ．
（5）拓展延伸：若x2+px﹣8可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是 ．
46．（2023上·江西·九年级统考期中）因式分解：
（1）-2m+4m2-2m3 ； （2）a2﹣b2﹣2a+1；
（3）(x-y)2-9(x+y)2 ；
47．（2023下·广东佛山·八年级统考期末）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”．请你利用“数形结合”的思想解决以下问题．如图1，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，图2题由图1外阴影部分排成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为．
(1)请直接用含和的代数式表示___________，___________；写出利用图形的面积关系所得到的公式：___________（用式子表达）．
(2)请依据（1）得到的公式计算：．
(3)请用（1）中的公式证明任意两个相邻奇数的平方差必是8的倍数．
48．（2022下·陕西西安·八年级校考期末）如图，在一个边长为米的正方形铁皮的四角各剪去一个边长为米的正方形．
(1)用含和的代数式表示剩余铁皮的面积；
(2)利用因式分解的知识计算，当，时，剩余铁皮的面积是多少平方米．
49．（2023上·七年级校考课时练习）利用分解因式计算：
（1）
（2）
50．（2023下·江苏扬州·七年级统考期末）分解因式：
（1）3ax2﹣6axy+3ay2；
（2）x2（x﹣2）﹣16（x﹣2）．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
