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专题02 因式分解单元过关（基础版）
考试范围：第4章；考试时间：120分钟；总分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
评卷人得分
一、单选题
1．（2023下·浙江·七年级期中）下列式子从左到右变形属于因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022下·湖南岳阳·七年级统考期中）多项式2x2﹣6x中各项的公因式是（ ）
A．2x B．12x C．2x2 D．6x2
3．（2023上·山东泰安·八年级统考期中）下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023上·山东淄博·八年级统考期中）若代数式可化为，则b－a的值（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．（2022下·浙江温州·七年级统考期末）下列等式从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·安徽宿州·统考一模）下列各式中，可以在有理数范围内进行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023下·广东河源·八年级龙川县培英学校校考开学考试）直角三角形的两边长m，n满足，则第三边长是（ ）
A．5 B．5或 C．4或 D．4
8．（2023下·湖南株洲·七年级统考期末）下列因式分解正确的是（ ）
A．x2＋9＝(x＋3)(x﹣3) B．x2＋x﹣6＝（x﹣2）（x＋3）
C．3x﹣6y＋3＝3（x﹣2y） D．x2＋2x﹣1＝(x﹣1)2
9．（2023上·湖北襄阳·八年级校考阶段练习）已知，，则的值为（ ）
A．10 B．12 C．10 D．15
10．（2023上·湖北武汉·八年级校考阶段练习）下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C．9－6(m－n)+(n－m)=(3－m+n) D．
第II卷（非选择题）
评卷人得分
二、填空题
11．（2023·广东广州·校考一模）分解因式： ．
12．（2023上·山西长治·八年级统考期末）分解因式： ．
13．（2023下·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习）代数式因式分解的结果为 ．
14．（2023下·七年级课时练习）若3a2－M＝3(a＋3)(a－3)，则M＝ ．
15．（2024上·上海松江·七年级统考期末）分解因式：= ．
16．（2022上·山东济宁·八年级统考期末）分解因式的结果是 ．
评卷人得分
三、解答题
17．（2023下·浙江杭州·七年级统考阶段练习）因式分解：
(1)；
(2)；
(3)．
18．（2023上·福建·九年级厦门市华侨中学校考阶段练习）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2-6a-14b+58=0
（1）求a、b的值；
（2）求△ABC的周长的最小值．
19．（2023上·山西忻州·八年级统考期末）（1）因式分解：
（2）计算：
20．（2023上·山东泰安·八年级统考期中）【发现问题】现有图1中的A，B，C三种卡片若干，用这些卡片可以拼成各式各样的图形，根据这些图形的面积的不同表示可以将一些多项式因式分解．
例：用1张A卡片，2张B卡片，1张C卡片拼成如图2的图形，用两种方法表示该图形的面积，可以得到等式．
(1)【小试牛刀】请把表示图3面积的多项式因式分解（直接写出等式即可）．
(2)【自主探索】请利用图1的卡片，将多项式因式分解，并画出图形．
21．（2022上·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考阶段练习）（1）计算：
（2）因式分解：
22．（2023上·河南南阳·八年级统考期中）（1）计算：
（2）分解因式：
23．（2023下·河北石家庄·七年级统考期末）对于实数，用表示运算，例如，
（1）求
（2）分解因式：
24．（2023上·山东泰安·八年级校考阶段练习）分解因式
（1）（2）
（3） （4）（a2+4）2﹣16a2
25．（2022下·四川达州·八年级统考期末）课本第101页中这样写道：形如 a ±2ab+b 的式子称为完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形；先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．能解决某些多项式的因式分解或求代数式最大值，最小值等问题．
例如：分解因式． 例如．求代数式2x2+4x-1的最小值．
原式=x2+2x-3 原式=2x2+4x -1
=（x +2x+1）-4 =2（x +2x+1-1）-1
=(x+1)2 -22 =2(x+1)2- 3．
=(x+1+2)(x+1-2) 可知当x= -1时，2x +4x-1有最小值，
=(x+3)(x-1) 最小值是-3
参照上面方法，解决下面问题：
(1)分解因式：a2-6a-7
(2)当x为何值时，多项式x2-2x-1有最小值，并求出这个最小值．
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专题02 因式分解单元过关（基础版）
考试范围：第4章；考试时间：120分钟；总分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
评卷人得分
一、单选题
1．（2023下·浙江·七年级期中）下列式子从左到右变形属于因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据因式分解的意义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解分别进行判断，即可得出答案．
【详解】解：A、，符合因式分解的定义，故本选项符合题意；
B、，等式不成立，故本选项不合题意；
C、，是整式乘法，不是因式分解，故本选项不合题意；
D、，右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项不合题意；
故选A．
【点睛】本题考查了因式分解的意义，解答本题的关键是掌握因式分解的意义即因式分解后右边是整式积的形式．
2．（2022下·湖南岳阳·七年级统考期中）多项式2x2﹣6x中各项的公因式是（ ）
A．2x B．12x C．2x2 D．6x2
【答案】A
【分析】根据公因式的定义，找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，然后即可确定公因式．
【详解】解：系数的最大公约数是2，相同字母的最低指数次幂是x，
∴公因式为2x．
故选：A．
【点睛】本题主要考查公因式的确定，能熟记多项式的公因式的定义是解此题的关键．
3．（2023上·山东泰安·八年级统考期中）下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据因式分解的定义进行计算即可；
【详解】解：选项A中，，不符合题意，故选项A错误；
选项B中，，不符合题意，故选项B错误；
选项C中，，符合题意，故选项C正确；
选项D中，，不符合题意，故选项D错误；
故选C.
【点睛】本题主要考查了因式分解的定义，掌握因式分解的定义是解题的关键.
4．（2023上·山东淄博·八年级统考期中）若代数式可化为，则b－a的值（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】根据完全平方公式得出 2ax＝ 6x，，求出a、b的值，再代入求出即可．
【详解】解：∵代数式可化为，
∴ 2ax＝ 6x，，
∴a＝3，b＝9，
∴b a＝9 3＝6，
故选：D．
【点睛】本题考查了因式分解和完全平方公式，能熟记完全平方公式是解此题的关键．
5．（2022下·浙江温州·七年级统考期末）下列等式从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
【详解】解：A、属于整式的乘法，不是因式分解；
B、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，不是因式分解；
C、符合因式分解的定义；
D、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，不是因式分解；
故选C．
【点睛】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，注意因式分解与整式乘法的区别．
6．（2023·安徽宿州·统考一模）下列各式中，可以在有理数范围内进行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据因式分解的定义，能化为几个因式的积的形式的多项式即可因式分解．
【详解】解：A、在有理数范围内不能化成几个因式积的形式，不能进行因式分解，故本选项错误；
B、在有理数范围内不能化成几个因式积的形式，不能进行因式分解，故本选项错误；
C、在有理数范围内不能化成几个因式积的形式，不能进行因式分解，故本选项错误；
D、，在有理数范围内能进行因式分解，故本选项正确；
故选：D
【点睛】此题考查了分解因式的定义，分解因式时，有公因式的，先提公因式，若能再分解，再考虑运用何种公式法来分解．
7．（2023下·广东河源·八年级龙川县培英学校校考开学考试）直角三角形的两边长m，n满足，则第三边长是（ ）
A．5 B．5或 C．4或 D．4
【答案】B
【分析】利用非负数的性质求出m，n，再分两种情况根据勾股定理即可解决问题．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴．
∴．
①为斜角边时，则第三边长为：；
②为直角边时，则第三边长为：；
综上所述，第三边长为5或．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式，勾股定理，非负数的性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
8．（2023下·湖南株洲·七年级统考期末）下列因式分解正确的是（ ）
A．x2＋9＝(x＋3)(x﹣3) B．x2＋x﹣6＝（x﹣2）（x＋3）
C．3x﹣6y＋3＝3（x﹣2y） D．x2＋2x﹣1＝(x﹣1)2
【答案】B
【分析】利用公式法对A、D进行判断；根据十字相乘法对B进行判断；根据提公因式对C进行判断．
【详解】解：A、x2＋9不能分解，所以A选项不符合题意；
B、x2＋x﹣6＝（x﹣2）（x＋3），所以B选项符合题意；
C、3x﹣6y＋3＝3（x﹣2y＋1），所以C选项不符合题意；
D、x2＋2x﹣1在有理数范围内不能分解，所以D选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了因式分解﹣十字相乘法等：对于x2＋（p＋q）x＋pq型的式子的因式分解．这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x2＋（p＋q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q）．
9．（2023上·湖北襄阳·八年级校考阶段练习）已知，，则的值为（ ）
A．10 B．12 C．10 D．15
【答案】D
【分析】先将原式变形得到=[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2 ]，再由，得到，然后利用整体代入计算求值即可.
【详解】∵，，
∴，
∴，
=[(a2+b2-2ab)+(b2+c2-2bc)+(a2+c2-2ac)
=[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2 ]
=[()2+()2+42 ]
=
=15.
故选：D.
【点睛】本题考查了因式分解的应用：利用因式分解的方法把所给的代数式和等式进行变形，然后得到更为简单的数量关系，再利用整体思想解决问题.
10．（2023上·湖北武汉·八年级校考阶段练习）下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C．9－6(m－n)+(n－m)=(3－m+n) D．
【答案】C
【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．
【详解】A、原式=（x-2）2，错误；
B、原式不能分解，错误；
C、原式=（3-m+n）2，正确；
D、原式=（x2+y2）（x2-y2）=（x2+y2）（x+y）（x-y），错误.
故选：C．
【点睛】此题考查因式分解-十字相乘法，提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
第II卷（非选择题）
评卷人得分
二、填空题
11．（2023·广东广州·校考一模）分解因式： ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解．直接利用提公因式法分解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
12．（2023上·山西长治·八年级统考期末）分解因式： ．
【答案】
【分析】利用提公因式法进行因式分解．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题考查提公因式法因式分解，掌握提取公因式的技巧正确计算是解题关键．
13．（2023下·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习）代数式因式分解的结果为 ．
【答案】
【分析】先提公因式，然后根据平方差公式进行因式分解即可求解．
【详解】解：
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．
14．（2023下·七年级课时练习）若3a2－M＝3(a＋3)(a－3)，则M＝ ．
【答案】27
【分析】利用整式乘法计算3(a＋3)(a－3)，然后与3a2－M进行比较即可求得答案.
【详解】3(a＋3)(a－3)=3（a2-9）=3a2-27，
又3a2－M＝3(a＋3)(a－3)，
所以M=27，
故答案为27.
【点睛】本题考查了因式分解、整式的乘法与等式的性质，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键.
15．（2024上·上海松江·七年级统考期末）分解因式：= ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解，掌握及十字相乘法的分解方法是解题的关键．
【详解】解：原式，
故答案：．
16．（2022上·山东济宁·八年级统考期末）分解因式的结果是 ．
【答案】或
【分析】直接利用平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：
=
=
=
=
或=
故答案为：或．
【点睛】本题考查了利用平方差公式进行因式分解，解题的关键是掌握平方差公式．
评卷人得分
三、解答题
17．（2023下·浙江杭州·七年级统考阶段练习）因式分解：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用平方差公式即可进行因式分解；
（2）综合利用提公因式法和公式法即可进行因式分解；
（3）利用平方差公式、完全平方公式即可进行因式分解．
【详解】（1）解：原式
（2）解：原式
（3）解：原式
【点睛】本题考查了利用提公因式法和公式法分解因式．根据式子特点选择适用的方法即可．
18．（2023上·福建·九年级厦门市华侨中学校考阶段练习）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2-6a-14b+58=0
（1）求a、b的值；
（2）求△ABC的周长的最小值．
【答案】（1）a=3，b=7；（2）△ABC周长的最小值为15．
【分析】（1）根据完全平方公式整理成非负数的和的形式，再根据非负数的性质列式求出a、b；
（2）根据三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出第三边的取值范围，再求出第三边最小时的值，再求解即可．
【详解】解：（1）∵a2+b2-6a-14b+58=（a2-6a+9）+（b2-14b+49）=（a-3）2+（b-7）2=0，
∴a-3=0，b-7=0，
解得a=3，b=7；
（2）∵a、b、c是△ABC的三边长，
∴b-a＜c＜a+b，
即4＜c＜10，
要使△ABC周长的最小只需使得边长c最小，
又∵c是正整数，
∴c的最小值是5，
∴△ABC周长的最小值为3+5+7=15．
故答案为（1）a=3，b=7；（2）△ABC周长的最小值为15．
【点睛】本题考查因式分解的实际运用，掌握完全平方公式，利用完全平方式的特点分解是解决问题的关键．也考查了三角形三边关系．
19．（2023上·山西忻州·八年级统考期末）（1）因式分解：
（2）计算：
【答案】(1);(2)
【分析】(1)根据因式分解的方法解出即可.
(2)根据整式的混合运算进行计算即可.
【详解】（1）原式
（2）原式
【点睛】本题考查因式分解与整式运算,关键在于掌握运算方法.
20．（2023上·山东泰安·八年级统考期中）【发现问题】现有图1中的A，B，C三种卡片若干，用这些卡片可以拼成各式各样的图形，根据这些图形的面积的不同表示可以将一些多项式因式分解．
例：用1张A卡片，2张B卡片，1张C卡片拼成如图2的图形，用两种方法表示该图形的面积，可以得到等式．
(1)【小试牛刀】请把表示图3面积的多项式因式分解（直接写出等式即可）．
(2)【自主探索】请利用图1的卡片，将多项式因式分解，并画出图形．
【答案】(1)
(2)，见解析
【分析】本题主要考查了因式分解的应用：
（1）仿照题意把图3的面积用两种方法表示出来，然后根据两种表示方法表示的面积相等即可得到答案；
（2）仿照题意画出对应的图形即可得到答案；
【详解】（1）解：由图可知，图3是由1张A卡片，3张B卡片，2张C卡片拼成的，
图3的面积为，
又图3的面积又等于一个长为，宽为的长方形面积，
；
（2）解：如图所示，下图是由2张A卡片，5张B卡片，3张C卡片拼成的
同理可得；
21．（2022上·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考阶段练习）（1）计算：
（2）因式分解：
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）原式先根据二次根式及开立方的运算法则计算，再根据有理数的加减运算法则计算即可解答；
（2）原式先提取公因式后，得，再根据完全平方公式对进行因式分解即可得到结果．
【详解】（1）原式
；
（2）原式
．
【点睛】本题主要考查实数的运算、提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
22．（2023上·河南南阳·八年级统考期中）（1）计算：
（2）分解因式：
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查了整式的混合运算及因式分解：
（1）利用整式的混合运算法则即可求解；
（2）先提取公因式，再利用公式法即可求解；
熟练掌握整式的混合运算法则及公因式法和公式法分解因式是解题的关键．
【详解】解：（1）原式
．
（2）原式
．
23．（2023下·河北石家庄·七年级统考期末）对于实数，用表示运算，例如，
（1）求
（2）分解因式：
【答案】（1）-1；（2）
【分析】（1）先计算出的值，然后按照定义的新运算的运算顺序和法则计算即可；
（2）先按照定义的新运算的顺序和法则得出的结果，然后合并同类项之后再利用提取公因式和公式法分解因式即可．
【详解】解：（1）
（2）
【点睛】本题主要考查定义新运算和分解因式，掌握完全平方公式是解题的关键．
24．（2023上·山东泰安·八年级校考阶段练习）分解因式
（1）（2）
（3） （4）（a2+4）2﹣16a2
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】（1）原式利用平方差公式分解即可；
（2）原式利用完全平方公式分解即可；
（3）原式提取公因式分解即可；
（4）先利用平方差公式进行因式分解，再利用完全平方公式因式分解即可．
【详解】解：（1）原式；
（2）原式；
（3）原式；
（4）原式．
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．
25．（2022下·四川达州·八年级统考期末）课本第101页中这样写道：形如 a ±2ab+b 的式子称为完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形；先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．能解决某些多项式的因式分解或求代数式最大值，最小值等问题．
例如：分解因式． 例如．求代数式2x2+4x-1的最小值．
原式=x2+2x-3 原式=2x2+4x -1
=（x +2x+1）-4 =2（x +2x+1-1）-1
=(x+1)2 -22 =2(x+1)2- 3．
=(x+1+2)(x+1-2) 可知当x= -1时，2x +4x-1有最小值，
=(x+3)(x-1) 最小值是-3
参照上面方法，解决下面问题：
(1)分解因式：a2-6a-7
(2)当x为何值时，多项式x2-2x-1有最小值，并求出这个最小值．
【答案】(1)
(2)当x= 1时，x2-2x-1有最小值，最小值为-2
【分析】（1）根据题干中例子的方法，先将原式加上9再减去9，变形为，再用公式法进行分解因式即可；
（2）根据题干中例子的方法，先将原式加1再减1，配成完全平方式，即可求得多项式的最小值．
【详解】（1）解：a2-6a-7
；
（2）解：x2-2x-1
，
∵，
∴ ，
即当x= 1时，x2-2x-1有最小值，最小值为-2．
【点睛】本题考查了利用配方法对多项式进行因式分解和求代数式的最大值，最小值问题，理解题意，仿照题干中例题的方法进行求解是解题的关键．
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