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微专题02 因式分解经典应用通关专练
一、解答题
1．（2023下·浙江·七年级期中）解答下列问题：
（1）当时，代数式______．
（2）当______时，代数式的值为0；
（3）求代数式的最小值．
【答案】（1）0；（2）-3；（3）2
【分析】（1）将x=2代入代数式x2-4x+4中，即可求得代数式的值；
（2）解方程x2+6x+9=0，求出x的值，即可解答本题；
（3）将代数式变形，然后根据非负数的性质，即可得到代数式x2+8x+18的最小值；
【详解】解：（1）当x=2时，
x2-4x+4=22-4×2+4=0；
（2）∵x2+6x+9=0，
∴（x+3）2=0，
∴x=-3；
（3）∵x2+8x+18=（x+4）2+2，
∴当x=-4时，x2+8x+18取得最小值2．
【点睛】本题考查因式分解的应用、非负数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用完全平方公式和非负数的性质解答．
2．（2023下·浙江嘉兴·七年级校联考期中）如图①，有三张卡片，分别为边长为、的长方形，边长为的正方形及边长为的正方形；
(1)用九张卡片拼成了如图②的一个大长方形，
用一个多项式表示图②的面积：______；
用两个整式的积表示图②的面积：______；
(2)利用上述面积的不同表示方法，写出一个整式乘法或因式分解的等式：______；
(3)如果用若干图①中的卡片，拼成了一个面积为的长方形，请求出这个长方形的边长；
【答案】(1)；
(2)
(3)这个长方形的边长为和．
【分析】（1）图②是由2个大正方形，2个小正方形，5个长方形组成，把面积相加即可得出答案；图②也可以看作由长为，宽为的长方形，由此即可得到答案；
（2）根据（1）中两种表示的图②的面积相等列出等式即可；
（3）根据即可求解.
【详解】（1）解：由题意得，
用一个多项式表示图②的面积：；
用两个整式的积表示图②的面积：；
故答案为：；；
（2）解：由（1）得；
故答案为：；
（3）解：∵，
∴拼成了一个面积为的长方形，
这个长方形的边长为和．
【点睛】本题主要考查了列代数式，因式分解的应用，正确理解题意是解题的关键．
3．（2023下·江苏无锡·七年级统考期中）先阅读右侧的内容，再解决问题．
例题：若，求m和n的值．
∴
∴
∴
∴，
∴，
（1）若，请问是什么形状？说明理由．
（2）若xy=1()，且，求的值．
（3）已知，，求的值．
【答案】（1）△ABC是等腰三角形，
（2）4；
（3）3．
【分析】（1）利用配方法把原式变形，根据偶次方、绝对值的非负性求出a、b、c，根据等腰三角形的概念判断；
（2）把xy＝1变形，把原式化为非负数的和的形式，计算即可；
（3）根据配方法把原式变形，根据偶次方、绝对值的非负性解答即可．
【详解】解：（1）△ABC是等腰三角形，
理由如下：a2+b2﹣8a﹣10b+41+|5﹣c|＝0，
a2﹣8a+16+b2﹣10b+25+|5﹣c|＝0，
（a﹣4）2+（b﹣5）2+|5﹣c|＝0，
a﹣4＝0，b﹣5＝0，5﹣c＝0，
解得，a＝4，b＝5，c＝5，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）∵xy＝1，
∴y＝，
则x2﹣2+（）2+|z﹣3|＝0，
（x﹣）2+|z﹣3|＝0，
x﹣＝0，z﹣3＝0，
∵x＞0，
∴x＝1，z＝3，
则y＝1，
∴zx+y＝31+1＝4；
（3）∵a﹣b＝4，
∴b＝a﹣4，
a（a﹣4）+c2﹣6c+13＝0，
a2﹣4a+4+c2﹣6c+9＝0，
（a﹣2）2+（c﹣3）2＝0，
则a＝2，c＝3，
∴b＝a﹣4＝﹣2，
∴a+b+c＝2+（﹣2）+3＝3．
【点睛】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．
4．（2023上·山东烟台·八年级统考期中）小明同学将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，如图，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m、宽为n的相同小长方形，且．
(1)观察图形，可以发现代数式可以因式分解为
(2)小明想要拼一个长为，宽为的大长方形，则需要边长为m的大正方形 个，边长为n的小正方形 个，长为m、宽为n的小长方形 个；
(3)动手操作：数学活动小组准备了足够数量的与小明裁剪出的边长为m的大正方形、边长为n的小正方形、长为m、宽为n的小长方形相同的图片若干，请你也利用这些图片拼图分解因式：．（画出拼图的示意图，并在图中标出适量的与m，n有关的信息，完成因式分解）
(4)拓展：若每块小长方形的面积为12，三个大正方形和三个小正方形的面积和为75，试求的值．
【答案】(1)
(2)1，2，3
(3)图见解析；
(4)
【分析】本题考查了因式分解与完全平方公式的变形在图形面积中的应用，
（1）根据大矩形面积可以表示为，也可以表示为即可求解；
（2）根据多项式乘多项式法则将展开为，进而求解即可；
（3）根据题意画出图形，进而因式分解即可；
（4）根据题意得到，，然后利用完全平方公式的变形求解即可．
熟练运用完全平方公式和数形结合思想通过两种方法表示纸板面积是解题的关键．
【详解】（1）根据题意可得，
大矩形面积可以表示为，
也可以表示为，
∴
∴代数式可以因式分解为；
（2）根据题意可得，
∴需要边长为m的大正方形1个，边长为n的小正方形2个，长为m、宽为n的小长方形3个；
（3）依据拼图，
∴；
（4）由题意得：，
∴
∴，
∴
∴
又∵，
∴．
5．（2023下·重庆南岸·八年级重庆市第十一中学校校考期中）若一个正整数是两个连续奇数或连续偶数的乘积，即，其中为正整数，则称为“半平分数”，为的“半平分点”．例如，，则35是“半平分数”，5为35的半平分点．
(1)是80的“半平分点”，则______；的“半平分数”“半平分点”为1，则______；当为正整数时，整数______．
(2)把“半平分数”与“半平分数”的差记为，其中，，例如，，，则．若“半平分数”的“半平分数”为，“半平分数”的“半平分点”为，当时，求的值．
【答案】(1)8；3；或或1或5
(2)的值为或．
【分析】（1）直接应用新定义的运算规则，即可求解．
（2）运用新定义的运算规则，先得出关系式：，应用因式分解，运用分类讨论思想，求出．
【详解】（1）解：∵，∴；
∵，∴；
∵为正整数，
∴或2或4或8，
整数或或1或5；
故答案为：8；3；或或1或5；
（2）解：∵，，，
∴，
∴，
即，
∵s、t都是正整数，
∴、都是正整数，
∵，
∴或或或，
解得(舍) 或或或(舍)，
∴的值为或．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，涉及知识点有：因式分解、解二元一次方程组等，考查学生的阅读素养、计算能力、推理能力、应用能力等，体现了数学的分类讨论思想，本题第一问较简单，第二问关键在于能将式子的左右两边分别进行因式分解，得出四种情况进行分类讨论．
6．（2023下·江苏扬州·七年级统考期中）问题背景：对于形如这样的二次三项式，可以直接用完全平方公式将它分解成，对于二次三项式，就不能直接用完全平方公式分解因式了．此时常采用将加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有：
=
====
问题解决：
（1）请你按照上面的方法分解因式：；
（2）已知一个长方形的面积为，长为，求这个长方形的宽．
【答案】（1）； （2）长为时这个长方形的宽为
【分析】按照原题解题方法，进而借助完全平方公式以及平方差公式分解因式得出即可．
【详解】(1)
=
=
=
=
=
(2) ∵
=
=
∴长为时这个长方形的宽为．
7．（2023下·江苏·七年级专题练习）求证：若是7的倍数，其中x、y都是整数，则是49的倍数．
【答案】见解析
【分析】由是7的倍数，设（m为整数），得，把因式分解得，从而代入y，即可得证．
【详解】证明：∵是7的倍数，设（m为整数），则，
=
=
，
∵x、m是整数，
∴也是整数，
∴是49的倍数．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握十字相乘法是解题的关键．
8．（2023上·福建泉州·八年级校考期中）如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小矩形，且mn，(长度单位：cm)，
(1)观察图形，发现代数式可以因式分解，请写出因式分解的结果；
(2)若每块小矩形的面积为7cm2，四个正方形的面积和为100cm2，试求图中所有裁剪线(虚线部分)长之和．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据图形长方形面积公式即可将代数式进行因式分解
（2）根据四个正方形的面积和为得出的值，再利用每块小矩形的面积为得出的值，整理得出完全平方和，即可得，进一步得到图中所有裁剪线（虚线部分）长之和即可．
【详解】（1）矩形纸板由两块是边长都为的大正方形，两块是边长都为的小正方形，五块是长为，宽为的全等小矩形，且．
∴矩形纸板的面积，
观察图形，发现矩形纸板的长为，宽为，
∴矩形纸板的面积，
∴，
故答案为：；
（2）若每块小矩形的面积为，四个正方形的面积和为，
则，，
∴，
∴
∵，
∴，
∴图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为．
【点睛】本题考查了因式分解在几何图形问题中的应用，数形结合，并熟练掌握相关计算法则是解题的关键．
9．（2023上·上海青浦·七年级校考期中）关于、、的多项式，，，，在将字母、、轮换（即将换成，换成，换成）时，保持不变．这样的多项式称为、、的轮换式．我们可以利用轮换式的特征帮助我们进行巧妙地因式分解，我们也叫轮换式法．
例题：分解因式
解：令时，原式
所以是原式的因式，由于原式是、、的轮换式，所以、也是原式的因式，从而可以设
，
（保证两边次数相同，其中是系数）
令，得，即
所以
阅读上述材料分解因式完成下列两题：
(1)对多项式
令________，原式；令________，原式
所以设
令得________
(2)用轮换式法因式分解：
【答案】(1)1，1，1
(2)
【分析】本题考查了因式分解，正确掌握轮换式法分解因式是解题关键．
（1）观察多项式可得当时，多项式的值等于0；再将代入即可求出的值；
（2）先分别求出当，，时，多项式的值等于0，从而可设，再将代入求出的值即可得．
【详解】（1）解：对多项式，
令，原式；令，原式，
所以设，
令得，，即，
故答案为：1，1，1．
（2）解：对多项式，
令时，原式，
令时，原式，
令时，原式，
所以设（保证两边次数相同，其中是系数），
令时，，
解得，
所以，
即．
10．（2023下·七年级单元测试）阅读并解决问题．
对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成 的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项 ，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有：
像这样，先添﹣适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．
（1）利用“配方法”分解因式：．
（2）若 a b 5 ， ab 6 ，求：①；② 的值．
（3）已知 x 是实数，试比较与的大小，说明理由．
【答案】（1）；（2）①13；②97；（3）＞，理由见详解．
【分析】（1）利用配方法先对原式＋9，然后再-9，然后利用平方差公式分解因式即可．
（2）① 利用完全平方公式进行变形可得 即可求出答案
② 再利用一次完全平方公式进行变形为即可得出答案
（3）将两式作差，通过跟0进行比较即可得出结论．
【详解】（1）原式
（2）① ∵a b 5 ， ab 6
②
（3）
∵
∴
∴
【点睛】本题主要考查配方法，掌握因式分解，完全平方公式是解题的关键．
11．（2022上·吉林长春·八年级吉林大学附属中学校考期中）【学习材料】拆项添项法
在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项，这样的分解因式的方法称为拆项添项法．如：
例1分解因式：．
解：原式
例2分解因式：．
解：原式．
我们还可以通过拆项对多项式进行变形，如
例3把多项式写成的形式．
解：原式
【知识应用】请根据以上材料中的方法，解决下列问题：
(1)分解因式：______；
(2)运用拆项添项法分解因式：______；
(3)判断关于x的二次三项式在______时有最小值；
(4)已知（均为整数，m是常数），若M恰能表示成的形式，求m的值．
【答案】(1)
(2)
(3)10
(4)m的值为18
【分析】（1）加1再减1，进行分解因式即可解答；
（2）仿照例1的解题思路，进行计算即可解答；
（3）先配方成完全平方的形式，然后写出最小值即可；
（4）仿照例3的解题思路，进行计算即可解答．
【详解】（1）解：
故答案为：．
（2）解：
故答案为：．
（3）解：∵
∴当时，有最小值．
故答案为：10．
（4）解：
∵若M恰能表示成的形式，
∴，
∴，
答：m的值为18．
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，完全平方公式的运用，阅读理解题目表述的意思是本题的关键．
12．（2022上·内蒙古乌兰察布·八年级校考期末）先阅读下面的内容，再解决问题
例题：若 ，求m和n的值
解：∵
∴
∴
∴，
∴，
问题：
(1)若，求的值；
(2)试探究关于x、y的代数式是否有最小值，若存在，求出最小值及此时x、y的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)4
(2)存在，最小值为，，
【分析】（1）先配方，再根据非负性求出x、y，即可得到答案；
（2）先配方，再根据非负性即可求出最小值．
【详解】（1）解：由题意可得，
，
∴，
∴，，
∴，，
∴；
（2）解：原式
∵，，
∴当，，有最小值，
∴原式，
∴当，时，即当，时，代数式有最小值．
【点睛】本题考查配方及非负性应用，解题的关键是掌握非负性式子和为0，它们分别等于0．
13．（2023上·山东淄博·八年级淄博市张店区实验中学校考阶段练习）阅读与思考：
整式乘法与因式分解是方向相反的变形．
由得，；
利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式，
例如：将式子分解因式．
分析：这个式子的常数项，一次项系数，所以．
解：
请仿照上面的方法，解答下列问题：
(1)分解因式：；
(2)分解因式：；
(3)填空：若可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能的值是多少？
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据所给材料信息即可求解；
（2）先将看作一个整体进行因式分解，随后再对每一个因式进一步分解即可；
（3），据此即可求解．
【详解】（1）解：，
故答案为：；
（2）解：原式
（3）解：若可分解为两个一次因式的积
则整数p的所有可能值是
故答案为：．
【点睛】本题以材料题为背景，考查了十字相乘法．掌握相关分解方法及原理是解题关键．
14．（2023下·广东深圳·七年级深圳实验学校校考期末）用几个小的长方形、正方形拼成一个大的正方形，然后利用两种不同的方法计算这个大的正方形的面积，可以得到一个等式，例如：计算图1的面积．把图1看作一个大正方形． 它的面积是；如果把图1 看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为，由此得到．
(1)如图2，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为的正方形，从中你能发现什么结论？该结论用等式表示为 ．
(2)利用（1）中的结论解决以下问题：
已知，，求的值；
(3)如图3，正方形边长为a，正方形边长为b，点D，G，C在同一直线上，连接、，若，，求图3中阴影部分的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由正方形的面积的两种不同的计算方法，从而可得结论；
（2）把，代入（1）中公式可得答案；
（3）先求解，阴影部分的面积为：，再利用因式分解后整体代入求值即可．
【详解】（1）解：正方形的面积可表示为：，
还可以表示为：，
∴．
（2）∵，，，
∴，
∴．
（3）∵，，
∴，
∴（负根舍去），
∵阴影部分的面积为：
．
【点睛】本题考查的是多项式的乘法运算与图形面积的关系，完全平方公式的应用，完全平方公式的变形的灵活应用，因式分解的应用，熟练的利用图形面积建立代数公式是解本题的关键．
15．（2022下·江苏无锡·七年级校联考期中）若干块如图1所示的长方形和正方形硬纸片，小明拼成的长方形如图2，面积为；也可以表示为，于是可得；试借助拼图的方法，把二次三项式分解因式．
【答案】，拼图见解析
【分析】利用图形面积关系进行分解，即可．
【详解】解： 如图，
图形中的大长方形的面积为，
也可以是，
∴
【点睛】本题考查因式分解，构造图形，利用面积关系分解是求解本题的关键．
16．（2023下·江苏泰州·七年级统考期末）用等号或不等号填空：
（1）比较2x与的大小：
①当时，________，
②当时， ________，
③当x=-1时，________；
（2）通过上面的填空，猜想2x与的大小关系为______________；
（3）无论x取什么值，2x与总有这样的大小关系吗？试说明理由．
【答案】（1）①，＜；②=；③＜（2）；（3）总有这样的大小关系，理由见解析．
【分析】（1）根据代数式求值，再根据有理数的大小比较，可得答案；
（2）根据代数式求值，再任意选两个数代入代数式，最根据有理数的大小比较，可得答案；
（3）根据因式分解的完全平方公式和平方本身的非负性即可得答案．
【详解】解：（1）比较2x与x2+1的大小：
当x=2时，2x＜x2+1
当x=1时，2x=x2+1
当x=-1时，2x＜x2+1，
故答案为：＜，=，＜；
（2）当x=3时，2x＜x2+1，
当x=-2时，2x＜x2+1，
故答案为：≤
（3）理由：∵，
∴．
无论x取什么值，2x与总有这样的大小关系．
【点睛】本题考查了代数式的值及代数式的大小比较，利用完全平方公式是非负数是解题关键．
17．（2023下·陕西榆林·八年级统考期末）已知，，求下列式子的值：
（l）；
（2）．
【答案】（1）12；（2）144
【分析】（1）先提公因式，再代数求值；
（2）先提公因式，再用完全平方公式分解因式，最后代数求值．
【详解】解：（1）
∵，，
∴；
（2）
，
∴．
【点睛】本题考查化简求值，熟练掌握因式分解是关键．
18．（2023上·全国·七年级专题练习）阅读下列材料：
常用分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如x2﹣2xy+y2﹣16，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解．过程如下：
x2﹣2xy+y2﹣16=（x﹣y）2﹣16=（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）
这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题：
（1）分解因式：x2﹣4y2﹣2x+4y；
（2）△ABC三边a，b，c满足a2+c2+2b2﹣2ab﹣2bc=0，判断△ABC的形状，并说明理由．
【答案】（1）（x﹣2y）（x+2y﹣2）；（2）△ABC是等边三角形．理由见解析
【分析】（1）根据所给代数式前两项一组，后两项一组，分组分解后再提公因式即可分解；
（2）将2b2分成两项，分别与其他项组成完全平方公式，然后利用非负数的性质进行解答．
【详解】解：（1）x2﹣4y2﹣2x+4y
=（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）
=（x﹣2y）（x+2y﹣2）；
（2）△ABC是等边三角形．
理由如下：
a2+c2+2b2﹣2ab﹣2bc
=（a2﹣2ab+b2）+（c2﹣2bc+b2）
=（a﹣b）2+（b﹣c）2
∵（a﹣b）2≥0；（b﹣c）2≥0，
而（a﹣b）2+（b﹣c）2=0，
∴（a﹣b）2=（b﹣c）2=0，
∴a﹣b=0且b﹣c=0，
∴a=b=c，
∴△ABC为等边三角形．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，利用分组分解法时，关键要明确分组的目的，是分组分解后仍能继续分解，还是分组后利用各组本身的特点进行解题．
19．（2023下·安徽合肥·八年级统考期末）（1）已知实数，满足，求的最大值；
（2）已知，，为正实数，且满足和，试判断以，，为三边的长的三角形的形状，并说明理由．
【答案】（1）x＋y的最大值为6；（2）等腰直角三角形，理由见解析
【分析】（1）利用配方法和非负数的性质求得x、y的值；
（2）展开后利用分组分解法因式分解后利用非负数的性质确定三角形的三边的关系即可．
【详解】解：（1）由x2＋3x＋y 5＝0可得：y＝ x2 3x＋5．
x＋y＝x＋（ x2 3x＋5）＝ x2 2x＋5＝ （x2＋2x＋1）＋6＝ （x＋1）2＋6．
因为 （x＋1）2≤0，所以 （x＋1）2＋6≤6，
即当x＝ 1时，x＋y的最大值为6．
（2）以b，c，a＋b为三边的长的三角形是等腰直角三角形，理由如下：
由b2＋ba ca c2＝0可得：（b2 c2）＋（ab ac）＝0，
（b＋c）（b c）＋a（b c）＝0，（b c）（a＋b＋c）＝0，
因为a，b，c都为正数，
所以b c＝0，a＋b＋c≠0，
所以b＝c，即以b，c，a＋b为三边的长的三角形是等腰三角形，
a2＋ac＋ab b2＝0……①，b2＋ba ca c2＝0……②，
由①＋②得：a2＋2ab c2＝0，（a2＋2ab＋b2） b2 c2＝0，b2＋c2＝（a＋b）2．
即以b，c，a＋b为三边的长的三角形是直角三角形，
所以以b，c，a＋b为三边的长的三角形是等腰直角三角形．
【点睛】本题考查了因式分解的应用及二次函数的最值的知识，解题的关键是仔细阅读材料理解分组分解的方法，难度不大．
20．（2023·河北保定·统考一模）我们生活在一个充满轴对称的世界中，从自然景观到分子结构，从建筑物到艺术作品，甚至日常生活用品，都可以找到轴对称的影子
我们把形如aa，bcb，bccb，abcba的正整数叫“轴对称数”，例如：33，151，2442，.56765，…
（1）写出一个最小的四位“轴对称数”： ．
（2）设任意一个n（n≥3）位的“轴对称数”为ABA，其中首位和末位数字为A，去掉首尾数字后的（n﹣2）位数表示为B，求证：该“轴对称数”与它个位数字的11倍的差能被10整除．为了让同学们更好的解答本题，王老师给出了一些提示，如图所示
33﹣3×11＝3×10+3﹣3×11＝0
151﹣1×11＝1×100+5×10+1﹣1×11＝140
2442﹣2×11＝2×1000+44×10+2﹣2×11＝2420
①请根据上面的提示，填空：56765﹣5×11= ．
②写出（2）的证明过程．
【答案】（1）1001；（2）①56710；②证明见解析.
【分析】（1）由题意即可得出结果；
（2）①由提示进行计算即可；
②由提示进行计算，得出ABA﹣11A＝10[A×（10n﹣2﹣1 ）+B]，即可得出结论．
【详解】（1）解：由题意得：最小的四位“轴对称数”为1001；
故答案为1001；
（2）解：①56765﹣5×11＝5×10000+676×10+5﹣5×11＝56710；
故答案为56710
②证明：ABA﹣11A．
＝A×10n﹣1+B×10+A﹣11A
＝A×10n﹣1+B×10+（﹣10）A
＝10[A×（10n﹣2﹣1 ）+B]
∵A，B为整数，n≥3，
∴原式能被10整除．
【点睛】本题考查了因式分解的应用以及“轴对称数”，理解题目中的提示是解题的关键．
21．（2022下·湖北武汉·八年级校联考期中）已知，求下列各式的值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)16
(2)
【分析】（1）先根据完全平方公式把变形，再把a，b的值代入计算；
（2）先根据平方差公式把变形，再把a，b的值代入计算．
【详解】（1）∵，，
∴
；
（2）∵，，
∴
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键，整式的乘法的运算公式及运算法则对二次根式的运算同样适应．
22．（2023下·江苏南京·七年级校联考期中）发现与探索．
（1）根据小明的解答（图1）将下列各式因式分解
①a2-12a+20
②（a-1）2-8（a-1）+7
③a2-6ab+5b2
（2）根据小丽的思考（图2）解决下列问题．
①说明：代数式a2-12a+20的最小值为-16．
②请仿照小丽的思考解释代数式-（a+1）2+8的最大值为8，并求代数式-a2+12a-8的最大值．
【答案】(1) ①（a-10）（a-2）; ②（a-8）（a-2）; ③（a-5b）（a-b）;(2) ①见解析;②-a2+12a-8的最大值为28
【分析】参照例题可得相应解法
【详解】（1）根据小明的解答将下列各式因式分解
①a2-12a+20
解原式=a2-12a+36-36+20
=（a-6）2-42
=（a-10）（a-2）
②（a-1）2-8（a-1）+7
解原式=（a-1）2-8（a-1）+16-16+7
=（a-5）2-32
=（a-8）（a-2）
③a2-6ab+5b2
解原式=a2-6ab+9b2-9b2+5b2
=（a-3b）2-4b2
=（a-5b）（a-b）
（2）①说明：代数式a2-12a+20的最小值为-16．
a2-12a+20
解原式=a2-12a+36-36+20
=（a-6）2-16
∵无论a取何值（a-6）2都≥0
∴代数式（a-6）2-16≥-16，
∴a2-12a+20的最小值为-16．
②∵无论a取何值-（a+1）2≤0
∴代数式-（a+1）2+8小于等于8，
则-（a+1）2+8的最大值为8．
-a2+12a-8．
解原式=-（a2-12a+8）
=-（a2-12a+36-36+8）
=-（a-6）2+36-8
=-（a-6）2+28
∵a取何值-（a-6）2≤0，
∴代数式-（a-6）2+28≤28
∴-a2+12a-8的最大值为28．
【点睛】本题考查的是应用配方法求二次简单二次三项式的最值问题，以及简单二次三项式的因式分解．
23．（2023上·重庆北碚·八年级西南大学附中校考期中）若一个三位数满足条件：其十位数字是百位数字的两倍与个位数字的差，则称这样的三位数为“十全数”，将“十全数”s的百位数字与十位数字交换位置，交换后所得的新数叫做s的“十美数”，如231是一个“十全数”，321是231的“十美数”
（1）证明：任意一个“十全数”s的“十美数”都能被3整除；
（2）已知m为“十全数”，n是m的“十美数”，若m的两倍与n的差能被13整除，求m的值
【答案】（1）见解析；（2）m为582或675或768.
【分析】（1）首先应根据题目中所给的“十全数”和“十美数”的概念，将他们数表示出来．要说明“十美数”都能被3整除，则只需要证明到“十美数”是3的倍数即可．
（2）首先应根据题意表示出m、n，又因为m的两倍与n的差能被13整除，所以m的两倍与n的差必须是13的倍数．因此根据它们的范围一一验证即可求出最终m的值．
【详解】（1）设“十全数”s为100a+10×（2a﹣b）+b，∴s的“十美数”为100×（2a﹣b）+10a+b=210a﹣99b=3×（70a﹣33b），∴任意一个“十全数”s的“十美数”都能被3整除；
（2）设m为100x+10×（2x﹣y）+y，∴m的“十美数”为100×（2x﹣y）+10x+y=210x﹣99y，∴2[100x+10×（2x﹣y）+y]﹣[210x﹣99y]=30x+81y
∵m的两倍与n的差能被13整除，∴2x+6y．
∵为整数，1≤x≤9，0≤y≤9，1≤2x﹣y≤9，∴x=1时，y=3，2x﹣y=﹣1（不合题意舍去），x=2时，y=6，2x﹣y=﹣2（不合题意舍去），x=3，4时，y的值不合题意，x=5时，y=2，2x﹣y=8，x=6时，y=5，2x﹣y=7，x=7时，y=8，2x﹣y=6，x=8、9时，y不合题意，∴m为582或675或768．
【点睛】本题是因式分解的应用，解答本题的关键是根据题意能表示出“十全数”和“十美数””，以及整除的含义．本题考查了因式分解，整式的运算．
24．（2022上·八年级课时练习）阅读材料：若，求的值．
解：
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)，则a＝ ，b＝ ．
(2)已知，求xy的值．
(3)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求△ABC的周长．
【答案】(1)-3；1
(2)
(3)
【分析】（1）通过完全平方公式进行变式得，然后由非负数性质求得结果；
（2）由得，然后由非负数性质求得结果；
（3）把方程通过变式得，然后由非负数性质求得a、b，根据三角形三边关系进而得c，便可求得三角形的周长．
【详解】（1）解：由得，
，
∵≥0，，
∴a+3=0，b-1=0，
∴a=-3，b=1．
故答案为：-3；1；
（2）由，得，
，
，
∴，
∴；
（3）由得，
∴，
∵△ABC的三边长a、b、c都是正整数，
∴，
∴，
∴，
∴△ABC的周长为．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，三角形的三边关系，偶次方的非负性，理解阅读材料中的解题思路是解题的关键．
25．（2022下·江苏连云港·七年级统考期中）阅读与理解：
(1)先阅读下面的解题过程：分解因式：
解：方法（1）原式
．
方法（2）原式
．
请你参考上面一种解法，对多项式进行因式分解；
(2)阅读下面的解题过程：
已知，试求m与n的值．
解：由已知得
因此得到
所以只有当并且上式才能成立．
因而得：并且．
请你参考上面的解题方法解答下面的问题：
已知：，试求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，仿照题例先用提公因式法，方法二先用完全平方公式，再用平方差公式因式分解；
（2）仿照题例利用完全平方公式把方程写成两个代数式平方和的形式，先利用非负数的和为0求出x、y，再代入求代数式的值．
【详解】（1）解：方法（1）：
；
方法（2）
；
（2）
【点睛】本题考查了整式的因式分解和求值，负整数指数幂的运算，看懂题例理解题例解法，掌握完全平方公式、平方差公式是解决本题的关键．
26．（2023下·浙江金华·七年级统考期中）阅读材料并完成题目
【材料一】我们可以将任意三位数记为（其中分别表示该数百位数字、十位数字和个位数字，且），显然．
【材料二】若在一个两位正整数N的个位数字与十位数字之间添上数字4，组成一个新的三位数，我们称这个三位数为N的“明礼数”，如36的“明礼数”为346；若将一个两位正整数M加4后得到一个新数，我们称这个新数为M的“修身数”，如37的“修身数”为41．
(1)30的“明礼数”是______，“修身数”是______；
(2)求证：对任意一个两位正整数，其“明礼数”与“修身数”之差能被9整除；
(3)若一个两位正整数的“修身数”的各位数字之和是的“明礼数”各位数字之和的一半，求的最大值．
【答案】(1)340，34
(2)见解析
(3)86
【分析】（1）根据“明礼数”和“修身数”的定义计算即可得到答案；
（2）设的十位数字为，个位数字为，则其“明礼数”为：，“修身数”为：，作差进行计算即可得到答案；
（3）设的十位数字为，个位数字为，则其“明礼数”为：，“修身数”为：，则 “明礼数”的各位数字之和为：，当时，“修身数”的各位数字之和为：，当时，“修身数”的各位数字之和为：，最后分情况进行计算即可得到答案．
【详解】（1）解：根据题意可得：
30的“明礼数”是340，30的“修身数”是34，
故答案为：340，34；
（2）证明：设的十位数字为，个位数字为，
则其“明礼数”为：，“修身数”为：，
它们的差为：，
对任意一个两位正整数，其“明礼数”与“修身数”之差能被9整除；
（3）解：设的十位数字为，个位数字为，
则其“明礼数”为：，“修身数”为：，
“明礼数”的各位数字之和为：，
当时，“修身数”的各位数字之和为：，
当时，“修身数”的各位数字之和为：，
一个两位正整数的“修身数”的各位数字之和是的“明礼数”各位数字之和的一半，
当时，，
解得：，不符合题意，
当时，，
解得：，
为两位正整数，
当时，最大，最大值为86．
【点睛】本题主要考查了新定义在数字问题中的应用，正确理解“明礼数”和“修身数”的定义是解题的关键．
27．（2023下·辽宁锦州·八年级统考期末）数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释如图，有足够多的A，B，C三种纸片：A种是边长为的正方形，B种是边长为的正方形，C种是宽为，长为的长方形．用A种纸片张，B种纸片张，C种纸片张可以拼出（不重不漏）如图所示的正方形．根据正方形的面积，可以用来解释整式乘法，反过来也可以解释多项式，因式分解的结果为，依据上述积累的数与形对应关系的经验，解答下列问题：
(1)若多项式表示分别由，，张A，B，C三种纸片拼出如图所示的大长方形的面积，请根据图形求出这个长方形的长和宽，并对多项式进行因式分解；
(2)我们可以借助图再拼出一个更长方形，使该长方形刚好由张A种纸片，张B种纸片，张C种纸片拼成，那么这个长方形的面积可以表示为多项式______，据此可得到该多项式因式分解的结果为______．
【答案】(1)长是，宽是，因式分解结果是
(2)，
【分析】（1）根据，，三种纸片的边长即可求出图2中长方形的长和宽，根据长方形的面积等于长乘宽即可进行因式分解；
（2）根据长方形由3张种纸片，2张种纸片，7张种纸片拼成，即可求出这个长方形的面积，然后进行因式分解即可．
【详解】（1）解：根据图形可知这个长方形的长是，宽是，
；
（2）根据长方形刚好由3张种纸片，2张种纸片，7张种纸片拼成，
则这个长方形的面积可以表示为多项式，
，
故答案为：，．
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，多项式乘多项式，利用数形结合思想与长方形的面积解答是解题的关键．
28．（2023上·广东广州·八年级校考期末）在现今“互联网＋”的时代，密码与我们的生活已经紧密相连，但诸如“123456”．生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，其原理是：将一个多项式分解因式，例如多项式：x3＋2x2﹣x﹣2因式分解的结果为（x﹣1）（x＋1）（x＋2），当x＝18时，x﹣1＝17，x＋1＝19，x＋2＝20，此时可以得到数字密码：171920，191720，201719等．
（1）根据上述方法，当x＝21，y＝7时，对于多项式x3﹣xy2分解因式后可以形成哪些数字密码？（只需写出其中2个）
（2）若多项式x3＋（m＋n）x2﹣nx﹣21因式分解后，利用本题的方法，当x＝27时可以得到其中一个密码为242834，求m、n的值；
（3）若关于x的方程﹣＝无解，求k的值．
【答案】（1）212814、281421；（2）m=-12，n=17；（3）或或0．
【分析】(1)根据因式分解的方法可以将题目中的式子因式分解，从而可以解答本题，注意本题答案不唯一
(2) 设，求出p、q、r，根据等号左右两边对应相等，可以求得m、n的值；
(3)去分母求出方程的解，根据方程无解得到x=-1或3或-7，代入求出k的值即可．
【详解】(1) ，
当x＝21，y＝7时，x+y=28，x-y=14，
∴可以形成的数字密码是212814、281421；
(2)设，
∵当x＝27时可以得到其中一个密码为242834，
∴27+p=24，27+q=28，27+r=34，
解得p=-3，q=1，r=7，
∴=
∴，
∴，解得；
(3)﹣＝，
去分母得（x+7）-k（x-3）=x+1，
解得，
∵方程﹣＝无解，
∴x=-1或3或-7，
当x=-1时，，解得k=，经检验是方程的解；
当x=3时，=3，方程无解；
当x=-7时，=-7，解得k=，经检验是方程的解；
当k=0时，方程（x+7）-k（x-3）=x+1，无解，则原方程无解；
∴k的值为或或0 ．
【点睛】此题考查多项式的分解因式，分式方程的应用，方程组的应用，（2）是难点，读懂例题中多项式分解因式的个数仿照解决问题是解题的关键．
29．（2023下·八年级单元测试）请阅读下列材料：
我们可以通过以下方法，求代数式的最小值．
，
∵，∴当时，有最小值．
请根据上述方法，解答下列问题：
(1)，则________，___________；
(2)求证：无论x取何值，代数式的值都是正数；
(3)若代数式的最小值为3，求k的值．
【答案】(1)3，1
(2)见解析
(3)或．
【分析】（1）将配方，然后与比较，可得a与b的值，则问题得解；
（2）先利用完全平方公式配方，再根据偶次方非负数的性质列式求解；
（3）二次项系数为1的二次三项式配方时，常数项为一次项系数一半的平方，故先将代数式配方，然后根据代数式的最小值为3，可得关于k的方程，求解即可．
【详解】（1）
=
∴
∴
故答案为：3，1
（2）证明：
，
∵
∴
∴无论x取何值，代数式的值都是正数；
（3），
∵，
∴的最小值为，
又∵代数式的最小值为3，
∴，解得或．
【点睛】本题考查了配方法的应用和非负数的性质．配方法的关键是：先将二次项系数化为1，然后加上一次项系数一半的平方再减去一次项系数一半的平方即可完成配方．
30．（2023·浙江宁波·九年级效实中学校联考自主招生）已知且．
(1)求的最小值；
(2)若求的值．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）将已知式子化为，再由得原式转化为求的最小值，只要分母最大时即可得解；
（2）将代入由题意整理得，结合，令，则，解得，即可求或．
【详解】（1）解：∵且，
∴，，
∵
当时，有最大值，最大值为，
此时有最小值，最小值为，
∴的最小值为；
（2）解：，
，
，
，
，，
∵，
令，
∴，
解得，
∴或．
【点睛】本题考查因式分解的应用，熟练掌握配方法，利用换元法求出的值是解题的关键．
31．（2023·重庆·校联考一模）当一个多位数的位数为偶数时，在其中间插入一位数k，（0≤k≤9，且k为整数）得到一个新数，我们把这个新数称为原数的关联数．如：435729中间插入数字6可得435729的一个关联数4356729，其中435729=729+435×1000，4356729=729+6×1000+435×10000．
请阅读以上材料，解决下列问题．
（1）现有一个4位数2316，中间插入数字m（0≤m≤9，且m为3的倍数），得其关联数，求证：所得的2316的关联数与原数10倍的差一定能被3整除；
（2）若一个三位关联数是原来两位数的9倍，请找出满足这样的三位关联数．
【答案】（1）见解析；（2）135、225、315和405．
【详解】分析：（1）可直接写出关联数，将关联数与原数10倍相减得：m 10n﹣9B，再根据m和9均为3的倍数，即可证出结论；
（2）设原数为ab=10a+b，其关联数为amb=100a+10m+b，根据关联数为原数的9倍即可得出b与a、m之间的关系，结合a、b、m的特点即可得出结论；
详解：（1）证明：∵这个4位数的前两位为23，后两位为16，∴2316的关联数是23m16
将关联数与原数10倍相减得：m 102﹣9×16．
∵m和9均为3的倍数，∴关联数与原数10倍的差一定能被3整除；
（2）（1）解：设原数为ab=10a+b，其关联数为amb=100a+10m+b．
∵amb=9ab，∴100a+10m+b=9×（10a+b），∴5a+5m=4b，∴5（a+m）=4b．
∵b、m为整数，a为正整数，且a、b、m均为一位数，∴b=5，a+m=4，∴a=1，m=3；a=2，m=2；a=3，m=1；a=4，b=0，∴满足条件的三位关联数为135、225、315和405．
点睛：本题考查了约数与倍数以及有理数的乘法，解题的关键是：（1）将关联数与原数的10做差得出m 10n﹣9B．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，设出合适的未知量是解题的关键；（2）找出b与a、m之间的关系．
32．（2023下·湖南怀化·七年级统考期中）对于二次三项式不能直接用公式分解，但可用以下方式分解因式：
像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．请用以上方法分解因式：
(1)
(2)
(3)能否根据以上方法确定式子有最小（或最大）值，若能，请求出这个值.
【答案】(1)
(2)
(3)有最小值2
【分析】（1）根据题中定义求解；
（2）化成即可求解；
（3）把化成二次函数求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：
（2）解：；
（3）解：，
∴二次函数有最小值2；
【点睛】本题考查了新定义下的运算，运用平方差公式和完全平方公式求解即可．
33．（2023·八年级校考课时练习）阅读下列材料：
1637年笛卡尔在其《几何学》中，首次应用“待定系数法”将四次方程分解为两个二次方程求解，并最早给出因式分解定理．
他认为：对于一个高于二次的关于x的多项式，“是该多项式值为0时的一个解”与“这个多项式一定可以分解为（）与另一个整式的乘积”可互相推导成立．
例如：分解因式．
∵是的一个解，∴可以分解为与另一个整式的乘积．
设
而，则有
，得，从而
运用材料提供的方法，解答以下问题：
（1）①运用上述方法分解因式时，猜想出的一个解为_______（只填写一个即可），则可以分解为_______与另一个整式的乘积；
②分解因式；
（2）若与都是多项式的因式，求的值．
【答案】（1）①：x=-1；（x+1）；②；（2）3
【分析】（1）①计算当x=-1时，方程成立，则必有一个因式为（x+1）,即可作答；
②根据待定系数法原理先设另一个多项式，然后根据多项式乘多项式的计算即可求得结论；
（2））设（其中M为二次整式），由材料可知，x=1，x=-2是方程的解，然后列方程组求解即可．
【详解】解：（1）①，观察知，显然x=-1时，原式=0，则的一个解为x=-1；原式可分解为（x+1）与另一个整式的积．
故答案为：x=-1；（x+1）
②设另一个因式为（x2+ax+b），
（x+1）（x2+ax+b）=x3+ax2+bx+x2+ax+b
=x3+（a+1）x2+（a+b）x+b
∴a+1=0 ，a=-1， b=3
∴多项式的另一因式为x2-x+3．
∴．
（2）设（其中M为二次整式），
由材料可知，x=1，x=-2是方程的解，
∴可得，
∴②-①，得m-n=3
∴的值为3．
【点睛】本题考查了分解因式，正确理解题意，利用待定系数法和多项式乘多项式的计算法则求解是解题的关键．
34．（2023上·四川乐山·八年级统考期末）已知多项式可以分解为式，那么关于x的方程可以变成，所以可以得到或者，所以方程的解为或，这种方法称为因式分解法解方程．书写过程如下：
解：
∴或者
∴或
根据以上信息，解下列方程：
(1)
(2)
【答案】(1)或
(2)或或
【分析】（1）用十字相乘法把等号的左边分解因式，转化为2个一元一次方程求解；
（2）用因式分解法和十字相乘法把等号的左边分解因式，转化为3个一元一次方程求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴或，
∴或；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴或或，
∴或或．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，以及一元一次方程的解法，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．
35．（2023下·广东深圳·八年级深圳市光明区高级中学校联考期中）利用因式分解计算：
(1)；
(2)已知：，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）提取公因数即可求解；
（2）原式提取后运用完全平方公式因式分解，然后把整体代入计算即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：
，
当时，原式．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，将所求式子进行适当的变形是解题的关键．
36．（2023·安徽阜阳·七年级阶段练习）有一个n位自然数能被x0整除，依次轮换个位数字得到的新数能被（x0+1）整除，再依次轮换个位数字得到的新数能被（x0+2）整除，按此规律轮换后，能被（x0+3）整除，…，能被（x0+n﹣1）整除，则称这个n位数是x0的一个“轮换数”．例如：60能被5整除，06能被6整除，则称两位数60是5的一个“轮换数”．再如：324能被2整除，243能被3整除，432能被4整除，则称三位数324是2的一个“轮换数”．
（1）请判断：自然数24 “轮换数”，245 “轮换数”（填“是”或“不是”）；
（2）若一个两位自然数的个位数字是m（0＜m＜5，且为整数），十位数字是2m，试说明：这个两位自然数一定是“轮换数”；
（3）若三位自然数是4的一个“轮换数”，其中b=0，请直接写出这个三位自然数．
【答案】（1）是，不是；（2）详见解析；（3）504.
【分析】（1）分别判断能否被两个联系的整数整除即可；
（2）表示出这个两位自然数，和轮换两位自然数，得到能整除即可；
（3）先表示出三位自然数和轮换三位自然数，再根据能被5整除，得出b的可能值，进而用4整除，得出c的可能值，最后用能被3整除即可．
【详解】（1）∵24是6的倍数，42是7的倍数，
∴自然数24是“轮换数”；
∵245的约数是5、7、7，452的约数有2、2、113；
当245被5整除时，而452不能被6整除；
当245被7整除时，而452不能被8整除；
∴245不是“轮换数”．
（2）此两位数为20m+m=21m=7m×3，是3的倍数； 轮换后为10m+2m=12m=4m×4，是4的倍数；
∴这个两位自然数一定是“轮换数”．
（3）此三位数为：100a+10b+c
当b=0时，三位数为：100a+10b+c=100a+c，
∵100a+c是4的倍数，而100a是4的倍数，
∴c是4的倍数，
∴c=4或8；
若c=4，轮换后为40+a是5的倍数，
∴a=5；
验证：再次轮换后为450是6的倍数，即这个三位数为：504
若c=8，则三位数为：100a+8；
轮换后为80+a是5的倍数，
∴a=5；
验证：再次轮换后为850不是6的倍数，即c=8舍去
综上所述，这个三位数为：504．
【点睛】此题是数的整除性，主要考查了3的倍数，4的倍数，5的倍数的特点，解本题的关键是用5的倍数求出b的值．
37．（2023上·海南海口·八年级统考期末）如图，在一块边长为a米的正方形空地的四角均留出一块边长为b(b＜)米的正方形修建花坛，其余的地方种植草坪．利用因式分解计算当a=13.2，b=3.4时，草坪的面积.
【答案】（a2-4b2）平方米，128平方米
【详解】试题分析：由正方形面积减去四个小正方形面积求出剩余的面积，将a与b的值代入计算即可求出值．
试题解析：根据题意得：剩余部分的面积为（a2-4b2）平方米，
当a=13.2，b=3.4时，
（a2-4b2）=( a+2b)( a-2b)=(13.2+6.8)×( 13.2-6.8)=128平方米.
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
38．（2023下·江苏南京·七年级南京钟英中学校考阶段练习）如图①是由边长为a的大正方形纸片剪去一个边长为b的小正方形后余下的图形．我们把纸片剪开后，拼成一个长方形（如图②）．
(1)探究：上述操作能验证的等式的序号是___________．
①；②；③
(2)应用：运用你从（1）中选出的等式，完成下列各题．
①已知，，则___________；
②计算．
③计算．
【答案】(1)③
(2)①3；②；③
【分析】（1）根据两个图形中阴影部分的面积相等，即可列出等式；
（2）①把利用（1）中的结论写成两个式子相乘的形式，然后把代入即可求解；②利用（1）中的结论化成式子相乘的形式即可求解； ③将原式乘以，利用（1）中的结论进行计算即可．
【详解】（1）解：第一个阴影部分的面积是，第二个图形的面积是
则
故选：③；
（2）①
又
故答案为：3
②原式
；
③原式
【点睛】本题考查平方差的证明与运用，通过面积相等构造等量关系得出平方差公式，再运用平方差公式求解，掌握平方差公式是关键．
39．（2023下·四川成都·七年级校联考期中）“化归与转化的思想”是指在研究解决数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决．
(1)我们知道可以得到．如果，求、的值.
(2)已知 试问多项式a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值是否与变量的取值有关？若有关请说明理由；若无关请求出多项式的值.
【答案】（1）a=-1，b=2 （2）无关 3
【分析】（1）根据题意，可以将题目中的式子化为材料中的形式，从而可以得到a、b的值；
（2）根据 a2+b2+c2-ab-ac-bc=，代入求值．
【详解】（1）由a2+b2+2a-4b+5=0，得到：（a2+2a+1）+（b2-4b+4）=0，
（a+1）2+（b-2）2=0，
所以有a+1=0，b-2=0，
解得a=-1，b=2；
（2）多项式 a2+b2+c2-ab-ac-bc的值与变量x的取值无关．理由如下：
∵a=x+2017，b=x+2015，c=x+2016，
∴a-b=2，a-c=1，c-b=1，
∴a2+b2+c2-ab-ac-bc
=（-ab+）+（-ac+）+（-cb+）
=
=
=3．
∴多项式 a2+b2+c2-ab-ac-bc的值与变量x的取值无关，且a2+b2+c2-ab-ac-bc的值是3．
【点睛】本题考查因式分解的应用、非负数的性质-偶次方，解题的关键是明确题目中的材料，可以将问题中方程转化为材料中的形式．
40．（2023上·河南漯河·八年级校联考阶段练习）阅读材料，然后解下面三个小题
若一个整数能表示成（、均为正整数）的形式，则称这个数为“完美数”．
例如：因为，所以13是完美数；
再如：因为（、均为正整数），
所以，也是完美数．
（1）请你写出一个大于20而小于30的完美数，并把该数表示成的形式；
（2）判断53是否为完美数，说明理由；
（3）试判断（其中、均为正整数）是否为完美数，并说明理由．
【答案】（1）26，（答案不唯一）；（2）是，理由见解析；（3）是，理由见解析．
【分析】（1）根据完美数的定义，结合完美数的取值范围，按要求写出即可．
（2）根据完美数的定义进行证明即可．
（3）运用多项式乘法法则计算出结果，并判断是否能写成的形式，根据完美数的定义判断即可．
【详解】（1）26，．
（2）53是完美数，
∵，符合完美数的定义，
∴53是完美数．
（3）是完美数，
∵
∵、均为正整数，
∴是完美数．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，正确理解新概念“完美数”是解题关键．
41．（2023下·七年级单元测试）分解因式x2－4y2－2x＋4y，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式，过程为：x2－4y2－2x＋4y＝(x＋2y)(x－2y)－2(x－2y)＝(x－2y)(x＋2y－2)．这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题：
(1)分解因式：a2－4a－b2＋4；
(2)若△ABC三边a、b、c满足a2－ab－ac＋bc＝0，试判断△ABC的形状．
【答案】(1) (a＋b－2)(a－b－2);(2) △ABC是等腰三角形,理由见解析
【详解】试题分析：（1）应用分组分解法，把分解因式即可．
（2）首先应用分组分解法，把分解因式，然后根据三角形的分类方法，判断出△ABC的形状即可．
试题解析:
(2)
或
或
∴△ABC是等腰三角形．
42．（2023下·浙江温州·八年级校联考阶段练习）若能分解为两个关于，的一次项乘积，求的值．
【答案】或6
【分析】根据可设原式，展开后与原式对比，得出方程组，求出m，n的值即可解决问题．
【详解】解：∵，
∴可设原式，
∵，
，
，
∴，解得：或，
∴＝6或－9．
【点睛】本题考查了因式分解的应用以及解一元二次方程，正确设出原式，求出m，n的值是解题关键．
43．（2023下·浙江杭州·七年级期中）请先观察下列算式，再填空：
（1）______；
（2）______；
（3）_____；
（4）____________；
（5）通过观察归纳，写出反映这种规律的一般结论；
（6）用分解因式说明你发现的规律．
【答案】（1）3；（2）7；（3）11；（4）11，6；（5）（2n+1）2-（2n-1）2=8n；（6）见解析
【分析】（1）（2）（3）（4）观察算式，补全空白；
（5）归纳总结得到一般性规律，写出即可；
（6）利用平方差公式证明即可．
【详解】解：∵32-12=8×1，52-32=8×2，
（1）72-52=8×3；
（2）92-72=8×4；
（3）112-92=8×5；
（4）132-112=8×6；
（5）通过观察归纳，猜想第n个式子为（2n+1）2-（2n-1）2=8n；
（6）证明：（2n+1）2-（2n-1）2
=[（2n+1）+（2n-1）][（2n+1）-（2n-1）]
=8n，得证．
【点睛】此题考查了因式分解的应用，规律型：数字的变化，平方差公式，找出题中的规律是解本题的关键．
44．（2023下·八年级单元测试）（1）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：．
①分解因式：；
②若 都是正整数且满足，求的值；
（2）若为实数且满足，，求的最小值．
【答案】（1）①；②8；（2）
【分析】（1）①根据题意分组分解即可；
②根据①的结论可得，进而根据 都是正整数，列二元一次方程组解决问题；
（2）先将利用分组分解法因式分解，再将已知条件整体代入，化为完全平方式，最后根据非负数的性质确定的最小值．
【详解】解：（1）①
②由题即
∵为正整数且
∴
即
∴
（2）由题
∴
∵
∴，当且仅当时取等号
经验证当时满足
综上，的最小值为．
【点睛】本题考查了提公因式法因式分解，分组分解法因式分解，二元一次方程组，非负数的性质，整体代入是解题的关键．
45．（2023上·陕西延安·八年级校考阶段练习）如图所示，长方形的长为a，宽为b，长方形的两边长之差为6，面积为16，求的值．
【答案】96
【分析】由题意可得：，，把化为，再代入计算即可．
【详解】解：∵长方形的长为a，宽为b，长方形的两边长之差为6，面积为16，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查的是提公因式分解因式，因式分解的应用，熟练的分解因式是解本题的关键．
46．（2023下·湖南邵阳·七年级统考期中）阅读材料：若，求m，n的值．
解：∵，∴
∴，∴，，∴，．
根据你的观察，回答下面的问题：
(1)，则______，______．
(2)已知，求的值．
【答案】(1)2，0
(2)
【分析】（1）根据完全平方公式因式分解，然后根据非负数的性质求得的值；
（2）根据完全平方公式因式分解，根据非负数的性质求得的值，代入代数式即可求解．
【详解】（1）解：
，
∴，，
∴，，
故答案为：；
（2）解：
，
∴，，
∴，．
∴．
【点睛】本题考查了利用完全平方公式因式分解，非负数的性质，代数式求值，掌握完全平方公式是解题的关键．
47．（2023上·福建泉州·八年级校考阶段练习）仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知关于x的多项式x2-4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为（x+n），得：x2-4x+m=（x+3）（x+n），则x2-4x+m=x2+（n+3）x+3n，
∴，解得：n =-7，m =-21．
∴另一个因式为（x-7），m的值为-21．
问题：仿照以上方法解答下面问题：
（1）已知关于x的多项式2x2+3x-k有一个因式是（x+4），求另一个因式以及k的值．
（2）已知关于x的多项式2x3+5x2-x+b有一个因式为(x+2)，求b的值．
【答案】（1）另一个因式是：2x 5，k＝20；
（2）b的值是 6．
【分析】（1）设另一个因式是（2x＋b），则（x＋4）（2x＋b）＝2x2＋bx＋8x＋4b＝2x2＋（b＋8）x＋4b＝2x2＋3x k，根据对应项的系数相等即可求得b和k的值；
（2）设另一个因式是（2x2＋mx＋n），利用多项式的乘法运算法则展开，然后根据对应项的系数相等列式求出b的值即可得解．
【详解】（1）设另一个因式是（2x＋b），
则（x＋4）（2x＋b）＝2x2＋bx＋8x＋4b＝2x2＋（b＋8）x＋4b＝2x2＋3x k，
则，
解得：，
则另一个因式是：2x 5，k＝20；
（2）设另一个因式是（2x2＋mx＋n），则
（x＋2）（2x2＋mx＋n）＝2x3＋（m＋4）x2＋（2m＋n）x＋2n＝2x3＋5x2 x＋b，
则，
解得，
故b的值是 6．
【点睛】本题考查了因式分解的意义，正确理解因式分解与整式的乘法互为逆运算是关键．
48．（2023上·八年级单元测试）如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且m>n.(以上长度单位：cm)
(1)观察图形，可以发现代数式2m2＋5mn＋2n2可以因式分解为 ；
(2)若每块小长方形的面积为10 cm2，四个正方形的面积和为58 cm2，试求图中所有裁剪线(虚线部分)长之和.
【答案】(1)(m＋2n)(2m＋n)（2）42cm
【分析】（1）根据图象由长方形面积公式将代数式2m2+5mn+2n2因式分解即可；
（2）求出m+n的值，然后根据图象由正方形的性质和长方形的性质即可得出结论；
【详解】（1）2m2+5mn+2n2可以因式分解为（m+2n）（2m+n）；
故答案为（m+2n）（2m+n）；
（2）依题意得：2m2+2n2=58，mn=10，∴m2+n2=29．
∴（m+n）2＝m2+n2+2mn=49，
∴m+n＝7，
∴图中所有裁剪线（虚线部分）长度之和为6m+6n=6(m+n)=6×7=42cm．
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用、列代数式以及完全平方公式的应用，根据已知图形得出是解题的关键．
49．（2023上·全国·八年级专题练习）利用因式分解简便计算：（1）57×99+44×99-99；
（2）．
【答案】（1）9900；（2）
【分析】（1）利用提取公因式法简算即可；
（2）利用平方差公式计算．
【详解】（1）原式
（2）原式
【点睛】考查了提取公因式法和平方差公式因式分解进行简便运算，比较简单.
50．（2023上·全国·八年级专题练习）利用因式分解计算：2022+202×196+982
【答案】90000
【分析】利用完全平方公式因式分解后即可很容易的得到结论．
【详解】原式=2022+2×202×98+982=（202+98）2=3002=90000
【点睛】本题考查因式分解在计算中的应用，解题关键是熟知因式分解的方法并正确的应用．
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微专题02 因式分解经典应用通关专练
一、解答题
1．（2023下·浙江·七年级期中）解答下列问题：
（1）当时，代数式______．
（2）当______时，代数式的值为0；
（3）求代数式的最小值．
2．（2023下·浙江嘉兴·七年级校联考期中）如图①，有三张卡片，分别为边长为、的长方形，边长为的正方形及边长为的正方形；
(1)用九张卡片拼成了如图②的一个大长方形，
用一个多项式表示图②的面积：______；
用两个整式的积表示图②的面积：______；
(2)利用上述面积的不同表示方法，写出一个整式乘法或因式分解的等式：______；
(3)如果用若干图①中的卡片，拼成了一个面积为的长方形，请求出这个长方形的边长；
3．（2023下·江苏无锡·七年级统考期中）先阅读右侧的内容，再解决问题．
例题：若，求m和n的值．
∴
∴
∴
∴，
∴，
（1）若，请问是什么形状？说明理由．
（2）若xy=1()，且，求的值．
（3）已知，，求的值．
4．（2023上·山东烟台·八年级统考期中）小明同学将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，如图，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m、宽为n的相同小长方形，且．
(1)观察图形，可以发现代数式可以因式分解为
(2)小明想要拼一个长为，宽为的大长方形，则需要边长为m的大正方形 个，边长为n的小正方形 个，长为m、宽为n的小长方形 个；
(3)动手操作：数学活动小组准备了足够数量的与小明裁剪出的边长为m的大正方形、边长为n的小正方形、长为m、宽为n的小长方形相同的图片若干，请你也利用这些图片拼图分解因式：．（画出拼图的示意图，并在图中标出适量的与m，n有关的信息，完成因式分解）
(4)拓展：若每块小长方形的面积为12，三个大正方形和三个小正方形的面积和为75，试求的值．
5．（2023下·重庆南岸·八年级重庆市第十一中学校校考期中）若一个正整数是两个连续奇数或连续偶数的乘积，即，其中为正整数，则称为“半平分数”，为的“半平分点”．例如，，则35是“半平分数”，5为35的半平分点．
(1)是80的“半平分点”，则______；的“半平分数”“半平分点”为1，则______；当为正整数时，整数______．
(2)把“半平分数”与“半平分数”的差记为，其中，，例如，，，则．若“半平分数”的“半平分数”为，“半平分数”的“半平分点”为，当时，求的值．
6．（2023下·江苏扬州·七年级统考期中）问题背景：对于形如这样的二次三项式，可以直接用完全平方公式将它分解成，对于二次三项式，就不能直接用完全平方公式分解因式了．此时常采用将加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有：
=
====
问题解决：
（1）请你按照上面的方法分解因式：；
（2）已知一个长方形的面积为，长为，求这个长方形的宽．
7．（2023下·江苏·七年级专题练习）求证：若是7的倍数，其中x、y都是整数，则是49的倍数．
8．（2023上·福建泉州·八年级校考期中）如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小矩形，且mn，(长度单位：cm)，
(1)观察图形，发现代数式可以因式分解，请写出因式分解的结果；
(2)若每块小矩形的面积为7cm2，四个正方形的面积和为100cm2，试求图中所有裁剪线(虚线部分)长之和．
9．（2023上·上海青浦·七年级校考期中）关于、、的多项式，，，，在将字母、、轮换（即将换成，换成，换成）时，保持不变．这样的多项式称为、、的轮换式．我们可以利用轮换式的特征帮助我们进行巧妙地因式分解，我们也叫轮换式法．
例题：分解因式
解：令时，原式
所以是原式的因式，由于原式是、、的轮换式，所以、也是原式的因式，从而可以设
，
（保证两边次数相同，其中是系数）
令，得，即
所以
阅读上述材料分解因式完成下列两题：
(1)对多项式
令________，原式；令________，原式
所以设
令得________
(2)用轮换式法因式分解：
10．（2023下·七年级单元测试）阅读并解决问题．
对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成 的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项 ，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有：
像这样，先添﹣适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．
（1）利用“配方法”分解因式：．
（2）若 a b 5 ， ab 6 ，求：①；② 的值．
（3）已知 x 是实数，试比较与的大小，说明理由．
在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项，这样的分解因式的方法称为拆项添项法．如：
例1分解因式：．
解：原式
例2分解因式：．
解：原式．
我们还可以通过拆项对多项式进行变形，如
例3把多项式写成的形式．
解：原式
【知识应用】请根据以上材料中的方法，解决下列问题：
(1)分解因式：______；
(2)运用拆项添项法分解因式：______；
(3)判断关于x的二次三项式在______时有最小值；
(4)已知（均为整数，m是常数），若M恰能表示成的形式，求m的值．
12．（2022上·内蒙古乌兰察布·八年级校考期末）先阅读下面的内容，再解决问题
例题：若 ，求m和n的值
解：∵
∴
∴
∴，
∴，
问题：
(1)若，求的值；
(2)试探究关于x、y的代数式是否有最小值，若存在，求出最小值及此时x、y的值；若不存在，说明理由．
13．（2023上·山东淄博·八年级淄博市张店区实验中学校考阶段练习）阅读与思考：
整式乘法与因式分解是方向相反的变形．
由得，；
利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式，
例如：将式子分解因式．
分析：这个式子的常数项，一次项系数，所以．
解：
请仿照上面的方法，解答下列问题：
(1)分解因式：；
(2)分解因式：；
(3)填空：若可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能的值是多少？
14．（2023下·广东深圳·七年级深圳实验学校校考期末）用几个小的长方形、正方形拼成一个大的正方形，然后利用两种不同的方法计算这个大的正方形的面积，可以得到一个等式，例如：计算图1的面积．把图1看作一个大正方形． 它的面积是；如果把图1 看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为，由此得到．
(1)如图2，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为的正方形，从中你能发现什么结论？该结论用等式表示为 ．
(2)利用（1）中的结论解决以下问题：
已知，，求的值；
(3)如图3，正方形边长为a，正方形边长为b，点D，G，C在同一直线上，连接、，若，，求图3中阴影部分的面积．
15．（2022下·江苏无锡·七年级校联考期中）若干块如图1所示的长方形和正方形硬纸片，小明拼成的长方形如图2，面积为；也可以表示为，于是可得；试借助拼图的方法，把二次三项式分解因式．
16．（2023下·江苏泰州·七年级统考期末）用等号或不等号填空：
（1）比较2x与的大小：
①当时，________，
②当时， ________，
③当x=-1时，________；
（2）通过上面的填空，猜想2x与的大小关系为______________；
（3）无论x取什么值，2x与总有这样的大小关系吗？试说明理由．
17．（2023下·陕西榆林·八年级统考期末）已知，，求下列式子的值：
（l）；
（2）．
18．（2023上·全国·七年级专题练习）阅读下列材料：
常用分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如x2﹣2xy+y2﹣16，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解．过程如下：
x2﹣2xy+y2﹣16=（x﹣y）2﹣16=（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）
这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题：
（1）分解因式：x2﹣4y2﹣2x+4y；
（2）△ABC三边a，b，c满足a2+c2+2b2﹣2ab﹣2bc=0，判断△ABC的形状，并说明理由．
19．（2023下·安徽合肥·八年级统考期末）（1）已知实数，满足，求的最大值；
（2）已知，，为正实数，且满足和，试判断以，，为三边的长的三角形的形状，并说明理由．
20．（2023·河北保定·统考一模）我们生活在一个充满轴对称的世界中，从自然景观到分子结构，从建筑物到艺术作品，甚至日常生活用品，都可以找到轴对称的影子
我们把形如aa，bcb，bccb，abcba的正整数叫“轴对称数”，例如：33，151，2442，.56765，…
（1）写出一个最小的四位“轴对称数”： ．
（2）设任意一个n（n≥3）位的“轴对称数”为ABA，其中首位和末位数字为A，去掉首尾数字后的（n﹣2）位数表示为B，求证：该“轴对称数”与它个位数字的11倍的差能被10整除．为了让同学们更好的解答本题，王老师给出了一些提示，如图所示
33﹣3×11＝3×10+3﹣3×11＝0
151﹣1×11＝1×100+5×10+1﹣1×11＝140
2442﹣2×11＝2×1000+44×10+2﹣2×11＝2420
①请根据上面的提示，填空：56765﹣5×11= ．
②写出（2）的证明过程．
21．（2022下·湖北武汉·八年级校联考期中）已知，求下列各式的值：
(1)；
(2)．
22．（2023下·江苏南京·七年级校联考期中）发现与探索．
（1）根据小明的解答（图1）将下列各式因式分解
①a2-12a+20
②（a-1）2-8（a-1）+7
③a2-6ab+5b2
（2）根据小丽的思考（图2）解决下列问题．
①说明：代数式a2-12a+20的最小值为-16．
②请仿照小丽的思考解释代数式-（a+1）2+8的最大值为8，并求代数式-a2+12a-8的最大值．
23．（2023上·重庆北碚·八年级西南大学附中校考期中）若一个三位数满足条件：其十位数字是百位数字的两倍与个位数字的差，则称这样的三位数为“十全数”，将“十全数”s的百位数字与十位数字交换位置，交换后所得的新数叫做s的“十美数”，如231是一个“十全数”，321是231的“十美数”
（1）证明：任意一个“十全数”s的“十美数”都能被3整除；
（2）已知m为“十全数”，n是m的“十美数”，若m的两倍与n的差能被13整除，求m的值
24．（2022上·八年级课时练习）阅读材料：若，求的值．
解：
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)，则a＝ ，b＝ ．
(2)已知，求xy的值．
(3)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求△ABC的周长．
25．（2022下·江苏连云港·七年级统考期中）阅读与理解：
(1)先阅读下面的解题过程：分解因式：
解：方法（1）原式
．
方法（2）原式
．
请你参考上面一种解法，对多项式进行因式分解；
(2)阅读下面的解题过程：
已知，试求m与n的值．
解：由已知得
因此得到
所以只有当并且上式才能成立．
因而得：并且．
请你参考上面的解题方法解答下面的问题：
已知：，试求的值．
26．（2023下·浙江金华·七年级统考期中）阅读材料并完成题目
【材料一】我们可以将任意三位数记为（其中分别表示该数百位数字、十位数字和个位数字，且），显然．
【材料二】若在一个两位正整数N的个位数字与十位数字之间添上数字4，组成一个新的三位数，我们称这个三位数为N的“明礼数”，如36的“明礼数”为346；若将一个两位正整数M加4后得到一个新数，我们称这个新数为M的“修身数”，如37的“修身数”为41．
(1)30的“明礼数”是______，“修身数”是______；
(2)求证：对任意一个两位正整数，其“明礼数”与“修身数”之差能被9整除；
(3)若一个两位正整数的“修身数”的各位数字之和是的“明礼数”各位数字之和的一半，求的最大值．
27．（2023下·辽宁锦州·八年级统考期末）数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释如图，有足够多的A，B，C三种纸片：A种是边长为的正方形，B种是边长为的正方形，C种是宽为，长为的长方形．用A种纸片张，B种纸片张，C种纸片张可以拼出（不重不漏）如图所示的正方形．根据正方形的面积，可以用来解释整式乘法，反过来也可以解释多项式，因式分解的结果为，依据上述积累的数与形对应关系的经验，解答下列问题：
(1)若多项式表示分别由，，张A，B，C三种纸片拼出如图所示的大长方形的面积，请根据图形求出这个长方形的长和宽，并对多项式进行因式分解；
(2)我们可以借助图再拼出一个更长方形，使该长方形刚好由张A种纸片，张B种纸片，张C种纸片拼成，那么这个长方形的面积可以表示为多项式______，据此可得到该多项式因式分解的结果为______．
28．（2023上·广东广州·八年级校考期末）在现今“互联网＋”的时代，密码与我们的生活已经紧密相连，但诸如“123456”．生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，其原理是：将一个多项式分解因式，例如多项式：x3＋2x2﹣x﹣2因式分解的结果为（x﹣1）（x＋1）（x＋2），当x＝18时，x﹣1＝17，x＋1＝19，x＋2＝20，此时可以得到数字密码：171920，191720，201719等．
（1）根据上述方法，当x＝21，y＝7时，对于多项式x3﹣xy2分解因式后可以形成哪些数字密码？（只需写出其中2个）
（2）若多项式x3＋（m＋n）x2﹣nx﹣21因式分解后，利用本题的方法，当x＝27时可以得到其中一个密码为242834，求m、n的值；
（3）若关于x的方程﹣＝无解，求k的值．
29．（2023下·八年级单元测试）请阅读下列材料：
我们可以通过以下方法，求代数式的最小值．
，
∵，∴当时，有最小值．
请根据上述方法，解答下列问题：
(1)，则________，___________；
(2)求证：无论x取何值，代数式的值都是正数；
(3)若代数式的最小值为3，求k的值．
30．（2023·浙江宁波·九年级效实中学校联考自主招生）已知且．
(1)求的最小值；
(2)若求的值．
31．（2023·重庆·校联考一模）当一个多位数的位数为偶数时，在其中间插入一位数k，（0≤k≤9，且k为整数）得到一个新数，我们把这个新数称为原数的关联数．如：435729中间插入数字6可得435729的一个关联数4356729，其中435729=729+435×1000，4356729=729+6×1000+435×10000．
请阅读以上材料，解决下列问题．
（1）现有一个4位数2316，中间插入数字m（0≤m≤9，且m为3的倍数），得其关联数，求证：所得的2316的关联数与原数10倍的差一定能被3整除；
（2）若一个三位关联数是原来两位数的9倍，请找出满足这样的三位关联数．
32．（2023下·湖南怀化·七年级统考期中）对于二次三项式不能直接用公式分解，但可用以下方式分解因式：
像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．请用以上方法分解因式：
(1)
(2)
(3)能否根据以上方法确定式子有最小（或最大）值，若能，请求出这个值.
33．（2023·八年级校考课时练习）阅读下列材料：
1637年笛卡尔在其《几何学》中，首次应用“待定系数法”将四次方程分解为两个二次方程求解，并最早给出因式分解定理．
他认为：对于一个高于二次的关于x的多项式，“是该多项式值为0时的一个解”与“这个多项式一定可以分解为（）与另一个整式的乘积”可互相推导成立．
例如：分解因式．
∵是的一个解，∴可以分解为与另一个整式的乘积．
设
而，则有
，得，从而
运用材料提供的方法，解答以下问题：
（1）①运用上述方法分解因式时，猜想出的一个解为_______（只填写一个即可），则可以分解为_______与另一个整式的乘积；
②分解因式；
（2）若与都是多项式的因式，求的值．
34．（2023上·四川乐山·八年级统考期末）已知多项式可以分解为式，那么关于x的方程可以变成，所以可以得到或者，所以方程的解为或，这种方法称为因式分解法解方程．书写过程如下：
解：
∴或者
∴或
根据以上信息，解下列方程：
(1)
(2)
35．（2023下·广东深圳·八年级深圳市光明区高级中学校联考期中）利用因式分解计算：
(1)；
(2)已知：，求的值．
36．（2023·安徽阜阳·七年级阶段练习）有一个n位自然数能被x0整除，依次轮换个位数字得到的新数能被（x0+1）整除，再依次轮换个位数字得到的新数能被（x0+2）整除，按此规律轮换后，能被（x0+3）整除，…，能被（x0+n﹣1）整除，则称这个n位数是x0的一个“轮换数”．例如：60能被5整除，06能被6整除，则称两位数60是5的一个“轮换数”．再如：324能被2整除，243能被3整除，432能被4整除，则称三位数324是2的一个“轮换数”．
（1）请判断：自然数24 “轮换数”，245 “轮换数”（填“是”或“不是”）；
（2）若一个两位自然数的个位数字是m（0＜m＜5，且为整数），十位数字是2m，试说明：这个两位自然数一定是“轮换数”；
（3）若三位自然数是4的一个“轮换数”，其中b=0，请直接写出这个三位自然数．
37．（2023上·海南海口·八年级统考期末）如图，在一块边长为a米的正方形空地的四角均留出一块边长为b(b＜)米的正方形修建花坛，其余的地方种植草坪．利用因式分解计算当a=13.2，b=3.4时，草坪的面积.
38．（2023下·江苏南京·七年级南京钟英中学校考阶段练习）如图①是由边长为a的大正方形纸片剪去一个边长为b的小正方形后余下的图形．我们把纸片剪开后，拼成一个长方形（如图②）．
(1)探究：上述操作能验证的等式的序号是___________．
①；②；③
(2)应用：运用你从（1）中选出的等式，完成下列各题．
①已知，，则___________；
②计算．
③计算．
39．（2023下·四川成都·七年级校联考期中）“化归与转化的思想”是指在研究解决数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决．
(1)我们知道可以得到．如果，求、的值.
(2)已知 试问多项式a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值是否与变量的取值有关？若有关请说明理由；若无关请求出多项式的值.
40．（2023上·河南漯河·八年级校联考阶段练习）阅读材料，然后解下面三个小题
若一个整数能表示成（、均为正整数）的形式，则称这个数为“完美数”．
例如：因为，所以13是完美数；
再如：因为（、均为正整数），
所以，也是完美数．
（1）请你写出一个大于20而小于30的完美数，并把该数表示成的形式；
（2）判断53是否为完美数，说明理由；
（3）试判断（其中、均为正整数）是否为完美数，并说明理由．
41．（2023下·七年级单元测试）分解因式x2－4y2－2x＋4y，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式，过程为：x2－4y2－2x＋4y＝(x＋2y)(x－2y)－2(x－2y)＝(x－2y)(x＋2y－2)．这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题：
(1)分解因式：a2－4a－b2＋4；
(2)若△ABC三边a、b、c满足a2－ab－ac＋bc＝0，试判断△ABC的形状．
42．（2023下·浙江温州·八年级校联考阶段练习）若能分解为两个关于，的一次项乘积，求的值．
43．（2023下·浙江杭州·七年级期中）请先观察下列算式，再填空：
（1）______；
（2）______；
（3）_____；
（4）____________；
（5）通过观察归纳，写出反映这种规律的一般结论；
（6）用分解因式说明你发现的规律．
44．（2023下·八年级单元测试）（1）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：．
①分解因式：；
②若 都是正整数且满足，求的值；
（2）若为实数且满足，，求的最小值．
45．（2023上·陕西延安·八年级校考阶段练习）如图所示，长方形的长为a，宽为b，长方形的两边长之差为6，面积为16，求的值．
46．（2023下·湖南邵阳·七年级统考期中）阅读材料：若，求m，n的值．
解：∵，∴
∴，∴，，∴，．
根据你的观察，回答下面的问题：
(1)，则______，______．
(2)已知，求的值．
47．（2023上·福建泉州·八年级校考阶段练习）仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知关于x的多项式x2-4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为（x+n），得：x2-4x+m=（x+3）（x+n），则x2-4x+m=x2+（n+3）x+3n，
∴，解得：n =-7，m =-21．
∴另一个因式为（x-7），m的值为-21．
问题：仿照以上方法解答下面问题：
（1）已知关于x的多项式2x2+3x-k有一个因式是（x+4），求另一个因式以及k的值．
（2）已知关于x的多项式2x3+5x2-x+b有一个因式为(x+2)，求b的值．
48．（2023上·八年级单元测试）如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且m>n.(以上长度单位：cm)
(1)观察图形，可以发现代数式2m2＋5mn＋2n2可以因式分解为 ；
(2)若每块小长方形的面积为10 cm2，四个正方形的面积和为58 cm2，试求图中所有裁剪线(虚线部分)长之和.
49．（2023上·全国·八年级专题练习）利用因式分解简便计算：（1）57×99+44×99-99；
（2）．
50．（2023上·全国·八年级专题练习）利用因式分解计算：2022+202×196+982
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