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专题05 分式与分式方程单元过关（培优版）
考试范围：第5章；考试时间：120分钟；总分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
评卷人得分
一、单选题
1．（2023上·山东济宁·八年级统考期末）下列各式中，正确的是（ ）
A． B． C．＝b+1 D．＝a+b
2．（2023·山东临沂·统考二模）有两块面积相同的蔬菜试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获蔬菜1500千克和2100千克已知第二块试验田每亩的产量比第一块多200千克若设第一块试验田每亩的产量为x千克，则根据题意列出的方程是（ ）
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
3．（2023下·七年级课时练习）李老师在黑板上出示了如下题目：“已知方程，试添加一个条件，使方程的解是x=-1”后，小颖的回答是：“添加k=0的条件”；小亮的回答是：“添加k=2的条件”，则你认为 .
A．只有小颖的回答正确 B．小亮、小颖的回答都正确
C．只有小亮的回答正确 D．小亮、小颖的回答都不正确
4．（2023上·重庆·九年级校考期末）若关于x的不等式组有3个负整数解，且关于y的方程有整数解，则所有满足条件的整数m的和为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023下·贵州毕节·八年级统考期末）上复习课时李老师叫小聪举出一些分式的例子，他举出了: ，，其中正确的个数为( ).
A．2 B．3 C．4 D．5
6．（2023下·八年级统考课时练习）下列结论：①无论取何值，都有意义；②时，分式的值为0；③若的值为负，则的取值范围是；④若有意义，则的取值范围是且，其中正确的是（ ）．
A．①③④ B．①②③ C．①③ D．①④
7．（2023·重庆·统考一模）解式方程的正确结果是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023下·八年级课时练习）九龙坡为治理污水，需要铺设一段全长为4000米的污水排放管道，为尽量减少施工对城市交通的造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划提高了，结果提前15天完成这一任务，求实际每天铺设污水排放管道多少米？设实际每天铺设污水排放管道x米，则可列方程（ ）
A． B．
C． D．
9．（2023·河北·统考三模）在复习分式的化简运算时，老师把两位同学的解答过程分别展示如图，你对两位同学解答过程的评价为（ ）
甲同学： 乙同学：
A．甲对乙错 B．乙对甲错 C．两人都对 D．两人都错
10．（2023下·八年级单元测试）计算的结果为（ ）．
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
评卷人得分
二、填空题
11．（2023下·江苏常州·八年级统考期末）当x＝ 时，分式的值是0．
12．（2023·重庆·校联考模拟预测）重庆是长江上游地区的经济中心、金融中心和创新中心．某公司为了调动员工积极性，将公司员工分成了三个小组进行集分制考核：每月销售业绩第一名集x分，销售业绩第二名集y分，销售业绩第三名集0分（x＞y，且均为正整数），经过若干个月（超过4个月）考核后，第一小组集分为23分，第二小组集分为20分，第三小组集分为9分，则第一小组最多得到 次第二名．
13．（2023下·贵州黔西·八年级校考期末）若,则=
14．（2023·浙江·九年级专题练习）如图所示是一个计算程序：
若x＝2，则第n次的计算结果为 （用含字母n的代数式表示）．
15．（2023上·重庆北碚·九年级西南大学附中校考期中）若a使关于x的不等式组至少有三个整数解，且关于x的分式方程有正整数解，则所有整数a的乘积为 ．
16．（2023下·河南洛阳·八年级统考期中）若分式方程=有增根，则这个增根是x= ．
评卷人得分
三、解答题
17．（2023·全国·八年级假期作业）解下列分式方程：
（1）；
（2）．
18．（2023·重庆永川·统考三模）化简：
（1）；
（2）．
19．（2022下·河南南阳·八年级统考期中）某公司在完成一个项目后，计划采购A，B两种大礼包鼓励员工，已知A礼包单价比B礼包单价贵200元，且用2000元购买B礼包的数量是用1400元购买A礼包数量的2倍．
(1)求A，B两种大礼包的单价分别是多少元？
(2)若该公司有员工70人，在每人只能领一个大礼包的情况下，该公司计划购买A种大礼包m个（）两种礼包的总费用为y元；
①求y与m之间的函数关系式；
②公司应如何安排购买方案，才能使总费用最少，并求出费用的最小值．
20．（2023·福建·九年级统考学业考试）先化简，再求值：，其中．
21．（2023上·广东江门·八年级校考阶段练习）观察下列式子，并探索它们的规律：
；
．
(1)填空：
①________；②________；
(2)当取哪些正整数时，分式的值为整数？
22．（2023下·浙江·七年级期中）为了美化校园，学校计划在操场旁边内种植A，B两种花木，共660棵，若A花木数量是B花木数量的2倍少60棵．
（1）A，B两种花木的数量分别是多少棵？
（2）如果园林处安排26人同时种植这两种花木，每人每天能种植A花木60棵或B花木40棵，应分别安排多少人种植A花木和B花木，才能确保同时完成各自的任务？
23．（2022下·山东菏泽·八年级统考期末）在“母亲节”前期，某花店购进康乃馨和玫瑰两种鲜花，销售过程中发现康乃馨比玫瑰销售量大，店主决定将玫瑰每枝降价1元促销，降价后30元可购买玫瑰的数量是原来购买玫瑰数量的2倍，求降价后每枝玫瑰的售价是多少元？
24．（2023上·广东汕头·八年级汕头市龙湖实验中学校考期末）设．
（1）化简M；
（2）当a＝3时，记此时M的值为f(3)；当a＝4时，记此时M的值为f(4)；……．解关于x的不等式．
25．（2023上·河北沧州·八年级校考阶段练习）【阅读理解】我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一，“作差法”：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式，的大小，只要作出差，若，则；若，则；若，则．
【解决问题】
(1)若，试判断： ______（填“”，“”或“”）；
(2)已知，，当时，试比较与的大小，并说明理由；
(3)嘉嘉和琪琪两次购物均买了同一种商品，嘉嘉两次都买了千克该商品，琪琪两次购买该商品均花费元，已知第一次购买该商品的价格为元/千克，第二次购买该商品的价格为元/千克（是整数，且）．请用作差法比较嘉嘉和琪琪两次所购买商品的平均价格的高低．
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专题05 分式与分式方程单元过关（培优版）
考试范围：第5章；考试时间：120分钟；总分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
评卷人得分
一、单选题
1．（2023上·山东济宁·八年级统考期末）下列各式中，正确的是（ ）
A． B． C．＝b+1 D．＝a+b
【答案】B
【分析】等式成立的条件是a＝0或a＝b时；因式分解法化简分式＝；根据分式的基本性质化简＝b+．
【详解】解：A.与在a＝0或a＝b时才成立，故选项A不正确；
B.＝＝，故选项B正确；
C.＝b+，故选项C不正确；
D. 不能化简，故选项D不正确；
故选：B．
【点睛】本题考查分式的化简，解题关键是熟练掌握分式的基本性质.
2．（2023·山东临沂·统考二模）有两块面积相同的蔬菜试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获蔬菜1500千克和2100千克已知第二块试验田每亩的产量比第一块多200千克若设第一块试验田每亩的产量为x千克，则根据题意列出的方程是（ ）
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
【答案】C
【分析】设第一块试验田每亩的产量为x千克，根据题意列出方程解答即可．
【详解】设第一块试验田每亩的产量为x千克，可得：，
故选：C．
【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键，注意分式方程要检验．
3．（2023下·七年级课时练习）李老师在黑板上出示了如下题目：“已知方程，试添加一个条件，使方程的解是x=-1”后，小颖的回答是：“添加k=0的条件”；小亮的回答是：“添加k=2的条件”，则你认为 .
A．只有小颖的回答正确 B．小亮、小颖的回答都正确
C．只有小亮的回答正确 D．小亮、小颖的回答都不正确
【答案】A
【分析】将x的值带入到方程式中即可求出本题答案.
【详解】因为方程的解为x＝－1，
所以＝－1，即＝0，
所以k(k－1)＝0且k－1≠0，
解得k＝0，因此只有小颖回答的正确.
故答案为A.
【点睛】本题考查了求方程中k的取值－代入法，熟练掌握代入法是本题解题的关键.
4．（2023上·重庆·九年级校考期末）若关于x的不等式组有3个负整数解，且关于y的方程有整数解，则所有满足条件的整数m的和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据不等式组的整数解求出的取值范围，然后求出分式方程的解，根据的取值范围得出的值，从而得出答案．
【详解】解：
解不等式①得：
解不等式②得：
∵不等式组有3个负整数解，
∴
解得：
，
解得：且，
∵是整数，
∴，
∴满足条件的整数m的和为，
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解分式方程，正确的计算是解题的关键．
5．（2023下·贵州毕节·八年级统考期末）上复习课时李老师叫小聪举出一些分式的例子，他举出了: ，，其中正确的个数为( ).
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】根据分式定义：如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式进行分析即可．
【详解】解：在，中，是分式，只有3个，
故选B．
【点睛】本题考查了分式，关键是掌握分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母．
6．（2023下·八年级统考课时练习）下列结论：①无论取何值，都有意义；②时，分式的值为0；③若的值为负，则的取值范围是；④若有意义，则的取值范围是且，其中正确的是（ ）．
A．①③④ B．①②③ C．①③ D．①④
【答案】C
【分析】①根据平方的非负性可知分母永远大于0，故分式有意义；
②把时，代入分母可知分母为中，分式没有意义；
③根据分子分母同号得正，异号得负可解；
④根据分母不为0，除数不为0列出条件可解.
【详解】①无论取何值，，，所以都有意义，故①正确；
②时，分母，分式没有意义，故②错误；
③因为分子，若的值为负，则分母，所以的取值范围是，故③正确；
④若有意义，则，，，所以的取值范围是且且，故④错误.
故选：C.
【点睛】本题考查了分式有无意义的条件、分式的值为0的条件以及分式的值为正数为负数的条件，其中④很容易漏了这一限制条件，要注意.
7．（2023·重庆·统考一模）解式方程的正确结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】分析：方程两边同时乘以（x+1）（x-1），则可以把方程转化为整式方程，即可求得x的值，把所求的值代入（x+1）（x-1）进行检验即可．
详解：方程两边同时乘以（x+1）（x-1），
得：3（x+1）-2（x-1）=0，
去括号得：3x+3-2x+2=0，
移项得： 3x-2x=0-2-3，
合并同类项得：x=-5，
把x=--代入（x+1）（x-1）=-4×（-6）≠0．
则方程的解是：x=-5．
故选B.
点睛：本题主要考查了分式方程的解法．（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．
8．（2023下·八年级课时练习）九龙坡为治理污水，需要铺设一段全长为4000米的污水排放管道，为尽量减少施工对城市交通的造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划提高了，结果提前15天完成这一任务，求实际每天铺设污水排放管道多少米？设实际每天铺设污水排放管道x米，则可列方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，找出等量关系，列出方程即可．原计划铺设天数减去实际铺设天数等于15天．
【详解】解：设实际每天铺设污水排放管道x米，则原计划每天铺设管道米，
可列方程为：，
整理为：，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系列出方程．
9．（2023·河北·统考三模）在复习分式的化简运算时，老师把两位同学的解答过程分别展示如图，你对两位同学解答过程的评价为（ ）
甲同学： 乙同学：
A．甲对乙错 B．乙对甲错 C．两人都对 D．两人都错
【答案】D
【分析】甲：由分式加减运算法则和分式的基本性质求解；乙：根据所给的例子可知， ，即取中较小的数，据此即可判断．
【详解】甲同学：
故甲错误．
乙同学：
故乙错误，则两人都错．
故选：D．
【点睛】本题主要考查分式的混合运算以及新定义下实数的大小比较，解题的关键是掌握分式的混合运算和新定义题目的理解．
10．（2023下·八年级单元测试）计算的结果为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先把分式的分子或分母能分解因式的分解因式，再把除法变为乘法，然后约分后相乘即可．
【详解】原式= =-，
故选B．
【点睛】此题主要考查了分式的乘除法，分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分．
第II卷（非选择题）
评卷人得分
二、填空题
11．（2023下·江苏常州·八年级统考期末）当x＝ 时，分式的值是0．
【答案】-1
【分析】直接利用分式的值为零则分子为零，分母不为零，进而得出答案．
【详解】解：由题意得：x+1＝0，且x2+1≠0，
解得：x＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点睛】本题考查的是分式的值为0的条件，即分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
12．（2023·重庆·校联考模拟预测）重庆是长江上游地区的经济中心、金融中心和创新中心．某公司为了调动员工积极性，将公司员工分成了三个小组进行集分制考核：每月销售业绩第一名集x分，销售业绩第二名集y分，销售业绩第三名集0分（x＞y，且均为正整数），经过若干个月（超过4个月）考核后，第一小组集分为23分，第二小组集分为20分，第三小组集分为9分，则第一小组最多得到 次第二名．
【答案】8
【分析】根据题意，可得一共经过了：（个）月，超过4个月，即x+y＜13，故x+y可以为：1，2，4，又因为x＞y，所以可得x＝3，y＝1，进而可以设第一小组有a个月得第一名，b个月得第二名，根据题意可以列方程组即可得解．
【详解】解：根据题意，得
一共经过了：（个）月，
23+20+9＝52，x＞y，
∵＞4，
∴x+y＜13，
故x+y可以为：1，2，4，
又∵x＞y，故x＝3，y＝1，
∴一共有13个月，
设第一小组有a个月得第一名，b个月得第二名，根据题意，得
由①得：3a+3b≤39③
由②得，3a＝23﹣b④
将④代入③，解得b≤8，
当b＝8时，a＝5，
答：第一小组最多得到8次第二名．
故答案为：8．
【点睛】此题主要考查不等式组与分式的实际应用，解题的关键是根据题意得到相应的式子进行求解．
13．（2023下·贵州黔西·八年级校考期末）若,则=
【答案】
【分析】设=k,同x=2k,y=4k,z=5k，再代入中化简即可.
【详解】设=k,
x=2k,y=4k,z=5k
=.
故答案是：.
【点睛】考查的是分式化简问题，利用比例性质通过设未知数的方式，代入分式化简可以求解．
14．（2023·浙江·九年级专题练习）如图所示是一个计算程序：
若x＝2，则第n次的计算结果为 （用含字母n的代数式表示）．
【答案】
【分析】根据题目中的程序可以得出规律计算出yn，从而可以解答本题．
【详解】∵y1＝，
∴y2＝，
y3＝，
……
yn＝，
∴当x＝2时，yn＝；
故答案为：．
【点睛】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确题意，用代数式表示出相应的yn．
15．（2023上·重庆北碚·九年级西南大学附中校考期中）若a使关于x的不等式组至少有三个整数解，且关于x的分式方程有正整数解，则所有整数a的乘积为 ．
【答案】
【分析】将不等式组整理后，由不等式组至少有三个整数解确定出的范围，再由分式方程有正整数解确定出满足条件的值，进而求出它们的积．
【详解】解：关于的不等式组，
整理得，
由不等式组至少有三个整数解，可得，
关于的分式方程，整理得，
分式方程有正整数解，且，
或，
，
故答案为：．
【点睛】此题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16．（2023下·河南洛阳·八年级统考期中）若分式方程=有增根，则这个增根是x= ．
【答案】2
【详解】试题分析：增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．
解：∵分式方程=有增根，
∴x﹣2=0
∴原方程增根为x=2，
故答案为2．
评卷人得分
三、解答题
17．（2023·全国·八年级假期作业）解下列分式方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）x=3；（2）x=3
【分析】根据解分式方程的一般步骤解出方程：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论即可．
【详解】解：,
方程两边同乘，
得，，
解得，，
检验：当时，，
故是原方程的解，
则原方程的解为：．
．
方程两边同乘，
得，，
解得，，
检验：当时，，
是原方程的解，
则原方程的解为：．
【点睛】本题考查的是分式方程的解法，属于基础题，需要有一定的运算求解能力，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
18．（2023·重庆永川·统考三模）化简：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用多项式乘多项式以及完全平方公式展开，再合并同类项即可；
（2）括号内的两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，除式分子分母分解因式，然后将除法运算转化为乘法运算，约分后即可得到结果．
【详解】（1）
；
（2）
．
【点睛】本题考查了多项式乘多项式、完全平方公式以及分式的混合运算，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时分式的分子分母出现多项式，应将多项式分解因式后再约分．
19．（2022下·河南南阳·八年级统考期中）某公司在完成一个项目后，计划采购A，B两种大礼包鼓励员工，已知A礼包单价比B礼包单价贵200元，且用2000元购买B礼包的数量是用1400元购买A礼包数量的2倍．
(1)求A，B两种大礼包的单价分别是多少元？
(2)若该公司有员工70人，在每人只能领一个大礼包的情况下，该公司计划购买A种大礼包m个（）两种礼包的总费用为y元；
①求y与m之间的函数关系式；
②公司应如何安排购买方案，才能使总费用最少，并求出费用的最小值．
【答案】(1)A礼包单价为700元，则B礼包单价为500元
(2)购买A种大礼包50个，购买B种大礼包20个，能使总费用最少，费用的最小值为45000元
【分析】（1）设A礼包单价为x元，则B礼包单价为（x-200）元，根据题意列出分式方程并解方程即可；
（2）①根据总费用=A礼包费用+B礼包费用即可得出函数关系式；②根据一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设A礼包单价为x元，则B礼包单价为（x-200）元，根据题意，
得：，
解得：x=700，
经检验，x=700是所列分式方程的解，
x-200=700-200=500，
答：A礼包单价为700元，则B礼包单价为500元；
（2）解：①根据题意，得：y=700m+500（70-m）=200m+35000，
答：y与m之间的函数关系式为y=200m+35000（50≤m≤70）；
②对于y=200m+35000，
∵200＞0，
∴y随m的增大而增大，
∵50≤m≤70
∴当m=50时，y最小，最小值为y=200×50+35000=45000，
答：购买A种大礼包50个，购买B种大礼包20个，能使总费用最少，费用的最小值为45000元．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用、一次函数的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出分式方程和函数关系式是解题的关键．
20．（2023·福建·九年级统考学业考试）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】先将分式进行化简，然后将代入计算即可．
【详解】解：
当时，
原式．
【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21．（2023上·广东江门·八年级校考阶段练习）观察下列式子，并探索它们的规律：
；
．
(1)填空：
①________；②________；
(2)当取哪些正整数时，分式的值为整数？
【答案】(1)①；②
(2)为1或3
【分析】（1）①先把原式化为，再根据分式的除法计算；
②先把原式化为，再根据分式的除法计算；
（2）先把原式化为，再根据分式的除法计算得，根据分式的值为整数得，或，计算即可．
【详解】（1）；
；
故答案为：①；②；
（2），
当为正整数，且为5的约数时，的值为整数，
即或时，的值为整数．
或，
即当为1或3时，的值为整数．
【点睛】本题考查了分式的加减法、规律型数字的变化类、整式的加减，掌握分式的加减法运算方法，其中数字的变化规律是解题关键．
22．（2023下·浙江·七年级期中）为了美化校园，学校计划在操场旁边内种植A，B两种花木，共660棵，若A花木数量是B花木数量的2倍少60棵．
（1）A，B两种花木的数量分别是多少棵？
（2）如果园林处安排26人同时种植这两种花木，每人每天能种植A花木60棵或B花木40棵，应分别安排多少人种植A花木和B花木，才能确保同时完成各自的任务？
【答案】（1），两种花木的数量分别是420棵、240棵；（2）种植花木的14人，种植花木的12人
【分析】（1）根据在广场内种植，两种花木共 660棵，若花木数量是花木数量的2倍少60 棵可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题；
（2）根据安排26时种植这两种花木，每人每天能种植花木60棵或花木40 棵，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题．
【详解】解：（1）设，两种花木的数量分别是棵、棵，，
解得，，
即，两种花木的数量分别是420棵、240棵；
（2）设安排种植花木的人，种植花木的人，
，
解得，，
答：安排种植花木的14人，种植花木的12人，可以确保同时完成各自的任务．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程组．
23．（2022下·山东菏泽·八年级统考期末）在“母亲节”前期，某花店购进康乃馨和玫瑰两种鲜花，销售过程中发现康乃馨比玫瑰销售量大，店主决定将玫瑰每枝降价1元促销，降价后30元可购买玫瑰的数量是原来购买玫瑰数量的2倍，求降价后每枝玫瑰的售价是多少元？
【答案】1元
【分析】设降价后每枝玫瑰的售价是x元，则降价前每枝玫瑰的售价是（x+1）元，根据降价后30元可购买玫瑰的数量是原来购买玫瑰数量的2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【详解】解：设降价后每枝玫瑰的售价是x元，则降价前每枝玫瑰的售价是元，
根据题意得：，
解得：x＝1，
经检验，x＝1是原分式方程的解，且符合题意．
答：降价后每枝玫瑰的售价是1元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
24．（2023上·广东汕头·八年级汕头市龙湖实验中学校考期末）设．
（1）化简M；
（2）当a＝3时，记此时M的值为f(3)；当a＝4时，记此时M的值为f(4)；……．解关于x的不等式．
【答案】（1）；（2）x≤4
【分析】（1）根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子；
（2）根据，即可得到，，，．．．，，由此求解即可．
【详解】解：(1)
．
(2)∵，
∴，，，．．．，
∴，
∴即为，
∴，
解得：．
【点睛】本题考查分式化简、代数式求值和一元一次不等式，熟练掌握分式化简是解题的关键．
25．（2023上·河北沧州·八年级校考阶段练习）【阅读理解】我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一，“作差法”：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式，的大小，只要作出差，若，则；若，则；若，则．
【解决问题】
(1)若，试判断： ______（填“”，“”或“”）；
(2)已知，，当时，试比较与的大小，并说明理由；
(3)嘉嘉和琪琪两次购物均买了同一种商品，嘉嘉两次都买了千克该商品，琪琪两次购买该商品均花费元，已知第一次购买该商品的价格为元/千克，第二次购买该商品的价格为元/千克（是整数，且）．请用作差法比较嘉嘉和琪琪两次所购买商品的平均价格的高低．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)嘉嘉两次购买商品的平均价格高于琪琪两次购买商品的平均价格
【分析】（1）根据分式的基本性质化简，进而求解．
（2）化简，由可得，进而求解．
（3）分别求出嘉嘉与琪琪两次购买商品的平均价格为和，然后通过作差法求解．
【详解】（1）解：原式
，
，
，
则，
，
故答案为：；
（2）解：
，
，
，
．
（3）解：嘉嘉两次购买商品的平均价格为，
琪琪两次购买商品的平均价格为，
，
嘉嘉两次购买商品的平均价格高于琪琪两次购买商品的平均价格．
【点睛】本题考查分式的基本性质，解题关键是掌握分式的基本性质，通过题干方法作差求解．
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