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微专题03 分式方程解的问题通关专练
一、单选题
1．（2022上·重庆·九年级西南大学附中校考阶段练习）若整数a使关于x的分式方程有非负整数解，且使关于y的不等式组至少有3个整数解，则符合条件的所有整数a的和是（ ）
A． B． C．0 D．2
2．（2023下·重庆·八年级重庆实验外国语学校校考期中）从-3，-2，-1，1，2，3这六个数中，随机抽取一个数记作，使关于的分式方程有整数解，且使关于的方程有实数解，则符合条件的的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（2023上·重庆江北·九年级重庆十八中校考期中）如果关于的分式方程有整数解，且关于的不等式组有且只有四个整数解，那么符合条件的整数的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
4．（2022上·河北沧州·八年级校考阶段练习）关于x的分式方程的解为负数，则字母a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．且
5．（2023上·内蒙古呼伦贝尔·八年级统考期末）若分式方程无解，则的值是（ ）
A． B． C．0 D．3
6．（2023下·四川成都·八年级统考期末）若关于的分式方程有增根，则增根为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023上·四川达州·九年级统考期中）已知关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解为正整数，则满足条件的所有整数的和为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·四川泸州·校考一模）已知关于x的方程无解，则实数m的取值是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023上·山东东营·八年级校考期中）关于x的分式方程的解是负数，则字母m的取值范围是（ ）
A． B．且 C．且 D．且
10．（2023·福建三明·八年级统考期末）若解关于x的方程有增根，则m的值为（ ）
A．﹣5 B．5 C．﹣2 D．任意实数
11．（2022上·黑龙江牡丹江·八年级统考期末）已知关于x的分式方程＝2的解是负数，则n的取值范围为（ ）
A．n＞1且n≠ B．n＞1 C．n＜2且n≠ D．n＜2
12．（2023下·河北石家庄·八年级统考开学考试）关于x的分式方程有增根，则m的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．5
13．（2023下·江苏泰州·八年级校联考期中）已知关于x的方程的解是正数，则m的取值范围为（ ）
A．m<–9 B．m >–9且m≠–6 C．m<–9 D．m<–9且m≠–6
14．（2022上·重庆·九年级统考期末）能使分式方程有非负实数解，且使二次函数的图象与x轴无交点的所有整数k的积为（ ）
A． B．20 C． D．60
15．（2022上·重庆·七年级西南大学附中校考期末）若关于x的不等式组有且仅有3个整数解，且关于y的方程的解为负整数，则符合条件的整数a的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
16．（2023下·江苏·八年级统考期末）若关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
17．（2023·河北·统考模拟预测）已知关于的分式方程，对于方程的解，甲、乙两人有以下说法：甲：当时，方程的解是负数；乙：当时，方程的解是正数．下列判断正确的是（ ）
A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都错
18．（2022上·八年级课时练习）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≥5，且关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．-1 B．-2 C．-3 D．0
19．（2023下·四川眉山·九年级统考期中）已知关于x的分式方程的解为正数，则非正整数的所有个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
20．（2023上·八年级单元测试）若数a使关于x的不等式组，有且仅有三个整数解，且使关于y的分式方程=1有整数解，则满足条件的所有a的值之和是（ ）
A．﹣10 B．﹣12 C．﹣16 D．﹣18
二、填空题
21．（2023·全国·八年级专题练习）若关于x的分式方程有增根，则m的值为 ．
22．（2023下·四川宜宾·九年级校联考期中）若关于x的分式方程无解，则k的值是 ．
23．（2022上·八年级课时练习）当m＝ ，方程会产生增根．
24．（2023上·七年级单元测试）若关于x的分式方程+ = 2m无解，则m的值为
25．（2023·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）若关于的方程的解是非负数，则的取值范围是 .
26．（2023上·上海浦东新·七年级校联考期末）如果关于的方程会产生增根，则 ．
27．（2023下·四川成都·八年级四川省成都市盐道街中学校考期中）若分式方程产生增根，则的值是 ．
28．（2023上·山东威海·八年级统考期末）关于x的方程无解，则m的值为 ．
29．（2023下·四川成都·八年级统考期末）若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数的值之和是 ．
30．（2023上·江苏南通·八年级校考期末）已知关于的方程有增根，则的值是 ．
31．（2023·四川广元·统考中考真题）关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是 ．
32．（2023下·河南郑州·八年级校考阶段练习）若数关于的不等式组恰有两个整数解，且使关于的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数的值之和是 ．
33．（2022上·八年级课时练习）若关于的分式方程有增根，则的值是 ．
34．（2023下·八年级单元测试）若分式方程无解，则a= .
35．（2023下·江苏常州·八年级统考期末）若关于的分式方程有正整数解，则整数的值是 ．
三、解答题
36．（2023上·安徽芜湖·八年级芜湖市第二十九中学校考期末）若数a使关于x的不等式组有且只有四个整数解，且使关于y的方程的解为非负数，求符合条件的所有整数a之和．
37．（2023·北京·九年级专题练习）关于的方程去分母转化为整式方程后产生增根，求的值．
38．（2023下·江苏苏州·八年级统考期末）（1）若k是正整数，关于x的分式方程的解为非负数，求k的值；
（2）若关于x的分式方程总无解，求a的值．
39．（2023下·浙江金华·七年级统考期末）先阅读下面的材料，然后回答问题：
方程的解为,；
方程的解为,；
方程的解为,； …
（1）观察上述方程的解,猜想关于x的方程的解是___；
（2）根据上面的规律,猜想关于x的方程的解是___；
（3）猜想关于x的方程x 的解并验证你的结论；
（4）在解方程：时,可将方程变形转化为(2)的形式求解，按要求写出你的变形求解过程．
40．（2023下·福建三明·八年级统考期末）已知，关于y的分式方程．
（1）若它的解为正数，求满足条件的a的取值范围；
（2）在（1）的条件下，若数a能使关于x的不等式组有且仅有三个整数解，求满足条件的a的所有整数值．
41．（2023上·七年级校考课时练习）当为何值时，关于的方程会产生增根
42．（2022上·八年级课时练习）若关于有增根，求a的值。
43．（2023上·河北承德·八年级校考阶段练习）若关于x的方程无解，求k.
44．（2023上·广东广州·八年级统考期末）已知，关于x的分式方程．
(1)当，时，求分式方程的解；
(2)当时，求b为何值时分式方程无解；
(3)若，且a、b为正整数，当分式方程的解为整数时，求b的值．
45．（2023下·安徽滁州·七年级校考期中）已知，关于的分式方程．
(1)当，时，求分式方程的解；
(2)当时，求为何值时，分式方程无解；
(3)若，为正整数，分式方程的解为整数时，求的值．
46．（2023上·山东临沂·八年级校考期末）解分式方程：
(1)；
(2)．
47．（2023上·吉林·八年级吉林省实验校考阶段练习）若关于x的一元一次不等式组的解集为x＜4，且关于y的分式方程＝4的解是正数，求a的取值范围．请认真阅读以下解答过程并补充完整．
解：步骤1：由不等式①，解得 ．
由不等式②，解得 ．
又∵该不等式组的解集为x＜4，
∴a的取值范围是 ．
步骤2：解这个分式方程＝4得，y＝ ．
请继续写出下面的解答过程．
步骤3： ．
48．（2022上·河北石家庄·八年级校考阶段练习）解方程：
(1)
(2)
49．（2023下·山东德州·九年级校考阶段练习）若关于x的方程
(1)若，解这个分式方程；
(2)若原分式方程无解，求m的值．
50．（2022上·八年级单元测试）已知关于x的分式方程；
(1)若方程的增根为x=1，求m的值．
(2)若方程有增根，求m的值．
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微专题03 分式方程解的问题通关专练
一、单选题
1．（2022上·重庆·九年级西南大学附中校考阶段练习）若整数a使关于x的分式方程有非负整数解，且使关于y的不等式组至少有3个整数解，则符合条件的所有整数a的和是（ ）
A． B． C．0 D．2
【答案】D
【分析】先解一元一次不等式组，根据不等式组至少有3个整数解，求出a的范围，再解分式方程，根据分式方程有非负整数解，确定a的值即可解答．
【详解】解：，
解不等式①得： ，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为：，
∵不等式组至少有3个整数解，
∴，
，
，
解得：，
∵分式方程有非负整数解，
∴ ，
∴0且3，
∴，
∴符合条件的所有整数a的值为：，
∴符合条件的所有整数a的和是：2，
故选：D．
【点睛】本题考查了分式方程的解，一元一次不等式组的整数解，熟练掌握解一元一次不等式组，解分式方程是解题的关键．
2．（2023下·重庆·八年级重庆实验外国语学校校考期中）从-3，-2，-1，1，2，3这六个数中，随机抽取一个数记作，使关于的分式方程有整数解，且使关于的方程有实数解，则符合条件的的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】首先求解分式方程，并结合题意以及增根问题进行的初步判断，然后再结合整式方程有实数解，讨论的范围，最后综合两部分内容进行求解即可．
【详解】解：∵的分式方程有整数解，
∴，
∵是整数，
∴；
∵分式方程有意义，
∴或2，
∴，
∴，
∵关于的方程有实数解，
∴当时，该方程为一元一次方程，有实数解，符合题意；
当时，，解得：；
∴或，
∴使关于的分式方程有整数解，且使关于的方程有实数解的值为–2，
故选：B．
【点睛】本题考查含参分式方程以及一元二次方程含参讨论问题，掌握分式方程的定义与解法，以及一元二次方程的定义是解题关键．
3．（2023上·重庆江北·九年级重庆十八中校考期中）如果关于的分式方程有整数解，且关于的不等式组有且只有四个整数解，那么符合条件的整数的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
【答案】A
【分析】分别求解分式方程和不等式组，根据解的情况确定参数的取值范围即可．
【详解】解：解分式方程得：，
∵分式方程有整数解，
∴为的倍数，且，即
解不等式组得：
∵不等式组有且只有四个整数解
∴
解得：
综上所述：符合条件的整数为：
故选：A
【点睛】本题考查了根据分式方程和不等式组解的情况求解参数的取值范围．正确的计算是解题关键．
4．（2022上·河北沧州·八年级校考阶段练习）关于x的分式方程的解为负数，则字母a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．且
【答案】D
【分析】先求出带有a的分式方程的解，然后再根据解为负数求出a的取值范围即可．
【详解】解析：解分式方程得：．
因为分式方程的解为负数，
所以，
即，
因为，
所以，
所以，
所以且．
故选：D．
【点睛】本题考查了分式方程的解，本题需注意在任何时候都要考虑分母不为0．
5．（2023上·内蒙古呼伦贝尔·八年级统考期末）若分式方程无解，则的值是（ ）
A． B． C．0 D．3
【答案】B
【分析】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程无解的问题是解题的关键；由题意可先去分母，然后再根据分式方程无解的问题进行求解即可．
【详解】解：由可得：，
∵该方程无解，
∴，即，
∴；
故选B．
6．（2023下·四川成都·八年级统考期末）若关于的分式方程有增根，则增根为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】在去分母过程中会产生令分母为零的根，这就是增根．根据增根的定义可判断．
【详解】解：分式方程的增根就是分母为零时未知数的值，
故，即．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了分式方程中增根的定义，熟练掌握增根的定义是解题关键．
7．（2023上·四川达州·九年级统考期中）已知关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解为正整数，则满足条件的所有整数的和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先分别求出不等式的解集，得到，求出a的取值范围；解方程求出a的所有整数值，由此得到满足条件的所有整数的值，由此得到答案．
【详解】解：解不等式，得；解不等式，得，
∵不等式组的解集为，
∴，
解得；
解方程，得，
∵关于的分式方程的解为正整数，且，
∴a=0或-1或-2或-3，
当a=-3时，y=3，分式方程分母不能为0，
∴满足条件的所有整数a的值为0、-1、-2，
∴满足条件的所有整数的和为-1-2=-3，
故选：A．
【点睛】此题考查解一元一次不等式组，解分式方程，正确掌握对应的解法是解题的关键．
8．（2022·四川泸州·校考一模）已知关于x的方程无解，则实数m的取值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分式方程无解的情况有两种：一是去分母之后得到的整式方程无解；二是去分母后得到的整式方程有解，但这个解又使分式方程的最简公分母为0，此时分式方程也无解．根据这两种情况分析解答即可．
【详解】解：原方程两边同乘以，得：，
整理得：，
当时，，
当时，这个整式方程无解，即当时，原分式方程无解，
当时，2是原分式方程的增根，原方程无解，此时无解，
当时，是原分式方程的增根，原方程无解，此时的解为：，
∴当或时，原分式方程无解，
故选：D．
【点睛】本题考查分式方程无解的条件，解题的关键是正确理解分式方程无解的情况有两种：一是去分母之后得到的整式方程无解；二是去分母后得到的整式方程有解，但这个解又使分式方程的最简公分母为0，此时分式方程也无解．
9．（2023上·山东东营·八年级校考期中）关于x的分式方程的解是负数，则字母m的取值范围是（ ）
A． B．且 C．且 D．且
【答案】C
【详解】本题考查了分式方程的解和解一元一次不等式，正确掌握解分式方程和解一元一次不等式是解题的关键．解分式方程，得到含有得方程的解，根据“方程的解是负数”，结合分式方程的分母不等于零，得到两个关于的不等式，解之即可．
【分析】解：，
方程两边同时乘以得：，
解得：，
，
即，
解得：，
又方程的解是负数，
，
解不等式得：，
综上可知：且，
故选：C．
10．（2023·福建三明·八年级统考期末）若解关于x的方程有增根，则m的值为（ ）
A．﹣5 B．5 C．﹣2 D．任意实数
【答案】A
【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根所以应先确定增根的可能值,让最简公分母(x-5))=0,得到x=5,然后代入化为整式方程的方程算出m的值
【详解】方程两边都乘（x﹣5），
得x＝3（x﹣5）﹣m，
∵原方程有增根，
∴最简公分母x﹣5＝0，
解得x＝5，
当x＝5时，m＝﹣5，故m的值是﹣5．
故选A．
【点睛】此题考查分式方程的增根，解题关键在于利用原方程有增根
11．（2022上·黑龙江牡丹江·八年级统考期末）已知关于x的分式方程＝2的解是负数，则n的取值范围为（ ）
A．n＞1且n≠ B．n＞1 C．n＜2且n≠ D．n＜2
【答案】C
【分析】直接解不等式进而利用x＜0得出答案，再利用分式有意义的条件得出答案．
【详解】解：解关于x的方程=2，得x＝n﹣2，
∵其解是负数，
∴n﹣2＜0，
解得：n＜2，
又∵2x+1≠0，
即2（n﹣2）+1≠0，
解得：n≠，
故n＜2且n≠．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了分式方程的解，正确掌握解分式方程的方法是解题关键．
12．（2023下·河北石家庄·八年级统考开学考试）关于x的分式方程有增根，则m的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．5
【答案】B
【分析】先去分母，将分式方程化为整式方程，把m当做已知数，求解出，再根据增根的定义，即可求出m的值．
【详解】解：，
去分母，得：，
移项合并，得：，
化系数为：，
∵分式方程有增根，
∴，解得：，
∴，解得：，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，分式方程的定义，解题的关键是掌握解分式方程的方法和步骤，以及使分式方程分母为0的x的值是分式方程的增根．
13．（2023下·江苏泰州·八年级校联考期中）已知关于x的方程的解是正数，则m的取值范围为（ ）
A．m<–9 B．m >–9且m≠–6 C．m<–9 D．m<–9且m≠–6
【答案】B
【分析】先求出方程的解，再根据解为正数列出不等式，即可求出m的取值范围．
【详解】，
去分母得2x+m=3x-9，
移项合并得x=m+9，
∵x＞0，
∴m+9＞0，
∴m＞-9，
∵x-3≠0，
∴x≠3，m+9≠3，
∴m≠-6，
∴m的取值范围为m＞-9且m≠-6．
故选B.
【点睛】考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤，且不要遗漏验根．
14．（2022上·重庆·九年级统考期末）能使分式方程有非负实数解，且使二次函数的图象与x轴无交点的所有整数k的积为（ ）
A． B．20 C． D．60
【答案】B
【分析】①解分式方程，使x≥0且x≠1，求出k的取值；②因为二次函数y=x2+2x-k-1的图象与x轴无交点，所以Δ＜0，列不等式，求出k的取值；③综合①②求公共解并求其整数解，再相乘．
【详解】解：去分母，方程两边同时乘以x-1，
-k+2（x-1）=3，
，
∴k≥-5①，
∵x≠1，
∴k≠-3②，
由y=x2+2x-k-1的图象与x轴无交点，则4-4（-k-1）＜0，
k＜-2③，
由①②③得：-5≤k＜-2且k≠-3，
∴k的整数解为：-5、-4，乘积是20；
故选：B．
【点睛】本题综合考查了分式方程和抛物线与x轴的交点，对于分式方程求字母系数问题，先解方程，根据解的情况列不等式，要注意分母不为0时的情况．
15．（2022上·重庆·七年级西南大学附中校考期末）若关于x的不等式组有且仅有3个整数解，且关于y的方程的解为负整数，则符合条件的整数a的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】解不等式组得到，利用不等式组有且仅有3个整数解得到，再解分式方程得到，根据解为负整数，得到a的取值，再取共同部分即可．
【详解】解：解不等式组得：，
∵不等式组有且仅有3个整数解，
∴，
解得：，
解方程得：，
∵方程的解为负整数，
∴，
∴，
∴a的值为：-13、-11、-9、-7、-5、-3，…，
∴符合条件的整数a为：-13，-11，-9，共3个，
故选C．
【点睛】本题考查了分式方程的解：求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．也考查了解一元一次不等式组的整数解．
16．（2023下·江苏·八年级统考期末）若关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
【答案】D
【分析】先去分母得到整式方程，再由整式方程的解为非负数得到，由整式方程的解不能使分式方程的分母为0得到，然后求出不等式的公共部分得到m的取值范围．
【详解】解：去分母，得，
解得，
∵该分式方程的解是非负数，，
∴且，
解得且，
故选：D．
【点睛】本题考查了分式方程的解、解分式方程、解一元一次不等式，解答的关键是掌握解分式方程的解法步骤，时刻注意分母不为0这个条件．
17．（2023·河北·统考模拟预测）已知关于的分式方程，对于方程的解，甲、乙两人有以下说法：甲：当时，方程的解是负数；乙：当时，方程的解是正数．下列判断正确的是（ ）
A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都错
【答案】B
【分析】首先解方程表示出分式方程的解，然后根据参数的取值范围求解即可．
【详解】
去分母得，，
解得，
要使分式方程有解，，
∴，
∴，
∴当时，，
∴，
∴当，且时，方程的解是负数，故甲说法错误；
当时，，
∴，
∴乙说法正确．
故选：B．
【点睛】本题考查分式方程含参数问题，解题的关键是熟练掌握分式方程的增根的定义：使分式方程的最简公分母等于0的根叫做分式方程的增根．
18．（2022上·八年级课时练习）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≥5，且关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．-1 B．-2 C．-3 D．0
【答案】B
【分析】首先由不等式组的解集为x≥5，得a＜3，然后由分式方程有非负整数解，得a≥-2且a≠2的偶数，即可得解.
【详解】由题意，得
，即
，即
∴，即
，解得
有非负整数解，即
∴a≥-2且a≠2
∴且
∴符合条件的所有整数a的数有：-2，-1,0,1
又∵为非负整数解，
∴符合条件的所有整数a的数有：-2,0
∴其和为
故选：B.
【点睛】此题主要考查根据不等式组的解集和分式方程的解求参数的值，熟练掌握，即可解题.
19．（2023下·四川眉山·九年级统考期中）已知关于x的分式方程的解为正数，则非正整数的所有个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】本题主要考查了解分式方程，解分式方程，得，因为分式方程的解是正数，所以且，进而推断出且．进一步可得出结论．
【详解】解：，
方程两边同乘，得，
解得：，
∵关于x的分式方程的解为正数，
∴且，
∴且，
∴符合条件的非正整数为0，，共4个．
故选：C．
20．（2023上·八年级单元测试）若数a使关于x的不等式组，有且仅有三个整数解，且使关于y的分式方程=1有整数解，则满足条件的所有a的值之和是（ ）
A．﹣10 B．﹣12 C．﹣16 D．﹣18
【答案】B
【分析】利用不等式组和已知条件，确定a的取值范围，求出分式方程的解，求出满足有整数解的a的值即可解决问题；
【详解】解：;
由①得到：x≥-3，
由②得到：x≤，
∵不等式组有且仅有三个整数解，
∴-1≤＜0，
解得-8≤a＜-3．
由分式方程:=1
解得y=-，
∵有整数解，
∴a=-8或-4，
-8-4=-12，
故选B．
【点睛】本题考查分式方程的解，一元一次不等式组等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
二、填空题
21．（2023·全国·八年级专题练习）若关于x的分式方程有增根，则m的值为 ．
【答案】2
【详解】因为，
所以x-2（x-2）=m，
又关于x的分式方程的增根是x=2，
所以把x=2代入x-2（x-2）=m得，
m=2．
故答案为2．
22．（2023下·四川宜宾·九年级校联考期中）若关于x的分式方程无解，则k的值是 ．
【答案】或
【分析】先将分式方程去分母，化为整式方程，再进行分类讨论：①当整式方程无解时，②当分式方程有增根时，即可求解．
【详解】解：去分母得：，
整理得：，
①当整式方程无解时：，解得：；
②当分式方程有增根时：，
则，解得：，
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了解分式方程无解的情况，解题的关键是熟练掌握解分式方程的方法和步骤，以及分式方程无解的情况．
23．（2022上·八年级课时练习）当m＝ ，方程会产生增根．
【答案】或
【分析】用含m的代数式表示x的值，通过x＝0或x＝1时为增根求m的值．
【详解】解：方程两边同时乘以x（x 1）得，
3（x 1）＋6x＝x＋m，
∵方程有增根，
∴x＝0或x＝1，
把x＝0代入3（x 1）＋6x＝x＋m，
解得m＝ 3，
把x＝1代入3（x 1）＋6x＝x＋m，
解得m＝5，
故答案为： 3或5．
【点睛】本题考查分式方程增根问题，解题关键是将原式化简，分别代入x为增根的值．
24．（2023上·七年级单元测试）若关于x的分式方程+ = 2m无解，则m的值为
【答案】或1
【分析】方程无解分两种情况：①方程的根是增根②去分母后的整式方程无解，去分母后分情况讨论即可.
【详解】①去分母得：x-4m=2m（x-4）
若方程的根是增根，则增根为x=4
把x=4代入得：4-4m=0 解得：m=1
②去分母得：x-4m=2m（x-4）
整理得：（2m-1）x=4m
∵方程无解，故2m-1=0 解得：m=
∴m的值为或1
故答案为：或1
【点睛】本题考查的是分式方程的无解问题，注意无解的两种情况是解答的关键.
25．（2023·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）若关于的方程的解是非负数，则的取值范围是 .
【答案】且
【分析】方程去分母，移项合并，将x系数化为1，表示出解，根据解为非负数求出m的范围即可．
【详解】由原方程，得
x+m=2x 2
x=m+2
则，且m+2≠1
解得且m≠ 1.
故答案为且m≠ 1.
【点睛】本题考查了求分式方程的解与解一元一次不等式，正确理解非负数的定义是解题的关键．
26．（2023上·上海浦东新·七年级校联考期末）如果关于的方程会产生增根，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了分式方程的增根，解此类题的基本步骤：①化分式方程为整式方程求出增根；②把增根代入整式方程求出相关字母的值．
【详解】解：∵方程会产生增根，
∴，
解得：，
原方程去分母得：，
把代入得：，
解得，
故答案为：．
27．（2023下·四川成都·八年级四川省成都市盐道街中学校考期中）若分式方程产生增根，则的值是 ．
【答案】或
【分析】先把方程两边同乘以得到整式方程，由于原方程存在增根，则，即可求出增根为或，然后把增根代入求出即可.
【详解】解：方程两边同乘以得，，
整理得：，
方程存在增根，
或，
把与，分别代入，
解得：或，
故本题答案是：或
【点睛】本题考查了分式方程的增根的问题，增根就是使分式方程的最简公分母等于0的未知数的值，把分式方程化为整式方程代入求解即可．
28．（2023上·山东威海·八年级统考期末）关于x的方程无解，则m的值为 ．
【答案】2或0
【分析】先去分母方程两边同乘以根据无解的定义得到关于m的方程，解方程即可求出m的值．
【详解】解：∵，
化为整式方程，得，
去括号得，，
移项，合并同类项得，，
∵关于x的方程无解，
∴当时，整式方程无解，即；
当时，此时方程有增根，增根为，
∴代入得，，解得：，
∴m的值为2或0．
故答案为：2或0．
【点睛】本题考查了分式方程无解的条件，分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．
29．（2023下·四川成都·八年级统考期末）若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数的值之和是 ．
【答案】8
【分析】解出一元一次不等式组的解集，根据不等式组的解集为x≥6，列出不等式，求出a的范围；解出分式方程的解，根据方程的解是正整数，列出不等式，求得a的范围；检验分式方程，列出不等式，求得a的范围；综上所述，得到a的范围，最后根据方程的解是正整数求得满足条件的整数a的值，求和即可．
【详解】解：，
解不等式①得：x≥6，
解不等式②得：x＞，
∵不等式组的解集为x≥6，
∴，
∴a＜7；
分式方程两边都乘（y-1）得：y+2a-3y+8=2（y-1），
解得：y=，
∵方程的解是正整数，
∴＞0，
∴a＞-5；
∵y-1≠0，
∴≠1，
∴a≠-3，
∴-5＜a＜7，且a≠-3，
∴能使是正整数的a是：-1，1，3，5，
∴和为8，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组与解分式方程，掌握一元一次不等式组与分式方程的解法是解题的关键．
30．（2023上·江苏南通·八年级校考期末）已知关于的方程有增根，则的值是 ．
【答案】1
【分析】根据增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根，求出增根为x=3，再将分式方程化为整式方程，然后将x=3代入整式方程即可求出k的值．
【详解】解：∵原方程有增根，
∴x-3=0，
解得x=3，
方程两边都乘以（x-3），得
k+3（x-3）=4-x，
把x=3代入k+3（x-3）=4-x中，得
k=4-3=1．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了分式方程无解（有增根）问题，依据分式方程的增根确定字母参数的值的一般步骤 ：①由题意求出增根；② 将分式方程转化为整式方程；③将增根代入所化得的整式方程，解之就可得到字母参数的值．注意①和②的顺序可以颠倒．
31．（2023·四川广元·统考中考真题）关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是 ．
【答案】m<2且m≠0
【分析】首先解方程求得方程的解，根据方程的解是正数，即可得到一个关于m的不等式，从而求得m的范围．
【详解】解：去分母得：m+4x-2=0，
解得：x＝，
∵关于x的分式方程的解是正数，
∴＞0，
∴m<2，
∵2x-1≠0，
∴，
∴m≠0，
∴m的取值范围是m<2且m≠0．
故答案为：m<2且m≠0．
【点睛】本题主要考查了分式方程的解的符号的确定，正确求解分式方程是解题的关键．
32．（2023下·河南郑州·八年级校考阶段练习）若数关于的不等式组恰有两个整数解，且使关于的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数的值之和是 ．
【答案】5
【分析】先解不等式得出解集x≤2且x≥，根据其有两个整数解得出0＜≤1，解之求得的范围；解分式方程求出y＝2 1，由解为正数且分式方程有解得出2 1＞0且2 1≠1，解之求得的范围；综合以上的范围得出的整数值，从而得出答案．
【详解】解：
解不等式①得：x≤2
解不等式②得：x≥
∵不等式组恰有两个整数解，
∴0＜≤1
解得，
解分式方程得：
由题意知，解得且
则满足，且的所有整数的值是2和3；
它们之和是2+3=5
故答案为：5
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组和求方程的正数解，解题的关键是根据不等式组整数解和方程的正数解得出的范围，再求和即可．
33．（2022上·八年级课时练习）若关于的分式方程有增根，则的值是 ．
【答案】1
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，确定出m的值即可
【详解】解：去分母得：3﹣x﹣m＝x﹣2，
由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2，
把x＝2代入整式方程得：3﹣2﹣m＝0，
解得：m＝1，
故答案：1．
【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
34．（2023下·八年级单元测试）若分式方程无解，则a= .
【答案】4
【分析】先通过去分母，把分式方程化为整式方程，求出，根据分式方程无解，可得是分式方程有增根，进而即可求解．
【详解】，
去分母得：，
解得：，
∵分式方程无解，
∴是增根，即：8-a=4，
∴a=4．
故答案是：4．
【点睛】本题主要考查分式方程的增根，学会去分母，把分式方程化为整式方程，熟练掌握分式方程的增根的意义：使分式方程的分母等于零的根，是解题的关键．
35．（2023下·江苏常州·八年级统考期末）若关于的分式方程有正整数解，则整数的值是 ．
【答案】或
【分析】先解分式方程，当时，可得再根据为正整数，且 为整数，逐一分析可得答案.
【详解】解： ，
当时，
为正整数，且 为整数，
是的因数，
当时，
当时，，舍去，
当时，
当时，，舍去，
所以的值为：或，
故答案为：或
【点睛】本题考查的是解分式方程，根据分式方程的解为正整数求解字母系数的值，正确分析各个限制性的条件，理解题意是解题的关键.
三、解答题
36．（2023上·安徽芜湖·八年级芜湖市第二十九中学校考期末）若数a使关于x的不等式组有且只有四个整数解，且使关于y的方程的解为非负数，求符合条件的所有整数a之和．
【答案】1
【分析】解不等式组，得到不等式组的解集，根据整数解的个数判断a的取值范围，解分式方程，用含有a的式子表示y，根据解的非负性求出a的取值范围，确定符合条件的整数a，相加即可．
【详解】解：，
解①得，；
解②得，，
∵不等式组有且只有四个整数解，
∴不等式组的解集为，整数解为：1，2，3，4；
∴，
解得，；
解分式方程得，；
∵方程的解为非负数，且
∴；即；
综上：且
∵a是整数，
∴；
∴．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，分式方程，根据题目条件确定a的取值范围，是解题的关键．
37．（2023·北京·九年级专题练习）关于的方程去分母转化为整式方程后产生增根，求的值．
【答案】－10或－4
【分析】方程两边同时乘以将分式方程化为整式方程，再将整式方程的增根代入整式方程中计算求解即可.
【详解】解：方程两边同乘以，得，
当时，，
关于的方程的增根为，
当时，；
当时，，
故的值为或．
【点睛】本题主要考查分式方程的增根，解题的关键是理解增根产生的原因，并能从整式方程中代入增根求解对应参数.
38．（2023下·江苏苏州·八年级统考期末）（1）若k是正整数，关于x的分式方程的解为非负数，求k的值；
（2）若关于x的分式方程总无解，求a的值．
【答案】（1）；（2）的值-1，2.
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，由解为非负数求出k的范围，即可确定出正整数k的值；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，分类讨论a的值，使分式方程无解即可．
【详解】解：（1）由得：，
化简得：，
因为x是非负数，所以，即，
又是正整数，所以；
（2）去分母得：，即，
若，显然方程无解；
若，，
当时，不存在；
当时，，
综合上述：的值为-1，2.
【点睛】此题考查了分式方程的解，始终注意分式分母不为0这个条件．
39．（2023下·浙江金华·七年级统考期末）先阅读下面的材料，然后回答问题：
方程的解为,；
方程的解为,；
方程的解为,； …
（1）观察上述方程的解,猜想关于x的方程的解是___；
（2）根据上面的规律,猜想关于x的方程的解是___；
（3）猜想关于x的方程x 的解并验证你的结论；
（4）在解方程：时,可将方程变形转化为(2)的形式求解，按要求写出你的变形求解过程．
【答案】（1）, ；（2） , ；（3）x1=2,x2= ；（4） ；
【分析】（1）观察阅读材料中的方程解过程，归纳总结得到结果；
（2）仿照方程解方程，归纳总结得到结果；
（3）方程变形后，利用得出的规律得到结果即可；
（4）方程变形后，利用得出的规律得到结果即可．
【详解】（1）猜想方程
的解是 ；
（2）猜想方程
的解是，；
(3)猜想关于x的方程x 的解为x1=2,x2=，理由为：
方程变形得：x ,即x+( )=2+( ),依此类推得到解为x1=2,x2= ；
（4）方程变形得：，可得或 ，
解得：.
【点睛】此题考查分式方程的解，解题关键在于找到基本规律掌握解分式方程的基本步骤.
40．（2023下·福建三明·八年级统考期末）已知，关于y的分式方程．
（1）若它的解为正数，求满足条件的a的取值范围；
（2）在（1）的条件下，若数a能使关于x的不等式组有且仅有三个整数解，求满足条件的a的所有整数值．
【答案】（1）且；（2）a的值为-2，-1，0
【分析】（1）解分式方程得到，根据解为正数以及方程的根不能为1即可求解；
（2）解不等式组得到，根据不等式组有三个整数解确定a的范围，再与（1）中a的范围取公共部分，即可求解．
【详解】解：（1），
，
两边同时乘以，得 ，
解得 ，
∵ 解为正数 ，
∴ ，
又∵分式方程的增根为 1，
∴ ≠1，即，
∴ 满足条件的a的取值范围为：且；
（2）解：
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集是 ，
∵原不等式组有且仅有三个整数解，
∴x可以为1，2，3，
∴，
∴ ，
由（1）得且，
∴ 且，
∴ a的值为-2，-1，0．
【点睛】本题考查解分式方程、分式方程的增根、一元一次不等式组的整数解等内容，掌握解分式方程和不等式组的方法是解题的关键．
41．（2023上·七年级校考课时练习）当为何值时，关于的方程会产生增根
【答案】
【分析】先将分式方程转化为整式方程，根据方程有增根，可知增根为，再将代入，即可得出的值．
【详解】方程可转化为，
方程有增根
增根是
把代入，得
【点睛】本题考查了分式方程的增根，先把分式方程转化为整式方程，若整式方程的解使分式方程的分母为0，则这个整式方程的解就是分式方程的增根．
42．（2022上·八年级课时练习）若关于有增根，求a的值。
【答案】2和
【分析】先两边同乘以将分式方程化成整式方程，由增根的定义“方程求解后得到的根是整式方程的根但不是分式方程的根”得和，代入整式方程可求出的值.
【详解】两边同乘以得：
由分式方程有增根得： 和是的根
故当时，，解得
当时，
经检验，和时，符合增根的定义
故的值是2和.
【点睛】本题考查了分式方程的增根的定义，理解增根的定义是解题关键.
43．（2023上·河北承德·八年级校考阶段练习）若关于x的方程无解，求k.
【答案】k＝1.
【分析】首先将分式方程化为整式方程，表示出整式方程的解，再根据分式方程无解确定x的值，然后再求k的值.
【详解】解：方程去分母得：，
解得：，
由分式方程无解可得：x－3＝0即x＝3，
∴，
解得：k＝1.
【点睛】本题考查了分式方程无解问题．分两种情况：一种是把分式方程化成整式方程后，整式方程无解；一种是把分式方程化成整式方程后，整式方程有解，但这个解使分式方程的分母为0，是增根．
44．（2023上·广东广州·八年级统考期末）已知，关于x的分式方程．
(1)当，时，求分式方程的解；
(2)当时，求b为何值时分式方程无解；
(3)若，且a、b为正整数，当分式方程的解为整数时，求b的值．
【答案】(1)
(2)
(3)3、29、55、185
【分析】（1）将a和b的值代入分式方程，解分式方程即可；
（2）把a的值代入分式方程，分式方程去分母后化为整式方程，分类讨论b的值，使分式方程无解即可；
（3）将a=3b代入方程，分式方程去分母化为整式方程，表示出整式方程的解，由解为整数和b为正整数确定b的取值．
【详解】（1）解：把a=2，b=1代入原分式方程中，
得：，
方程两边同时乘以，
得：，
解得：，
检验：把代入，
∴原分式方程的解为：．
（2）解：把a=1代入原分式方程中，
得：，
方程两边同时乘以，
得：，
去括号，得：，
移项、合并同类项，得：，
①当时，即，原分式方程无解；
②当时，得，
Ⅰ.时，原分式方程无解，
即时，
此时b不存在；
Ⅱ.x=5时，原分式方程无解，
即时，
此时b=5；
综上所述，时，分式方程无解．
（3）解：把a=3b代入分式方程中，
得：，
方程两边同时乘以，
得：，
，
解得：，
∵b为正整数，x为整数，
∴10+ b必为195的因数，10+b≥11，
∵195=3×5×13，
∴195的因数有1、3、5、13、15、39、65、195，
∵1、3、5都小于11，
∴10十b可以取13、15、39、65、195这五个数，
对应地，方程的解x=3、5、13、15、17，
又x=5为分式方程的增根，故应舍去，
对应地，b只可以取3、29、55、185，
∴满足条件的b可取3、29、55、185这四个数．
【点睛】本题主要考查分式方程的计算，难度较大，涉及知识点较多．熟练掌握解分式方程的步骤是解决这三道小题的前提条件；其次，分式方程无解的两种情况要熟知，一是分式方程去分母后的整式方程无解，而是分式方程去分母后的整式方程的解是原分式方程的增根．总之，解分式方程的步骤要重点掌握．
45．（2023下·安徽滁州·七年级校考期中）已知，关于的分式方程．
(1)当，时，求分式方程的解；
(2)当时，求为何值时，分式方程无解；
(3)若，为正整数，分式方程的解为整数时，求的值．
【答案】(1)
(2)或
(3)3，55
【分析】（1）将的值代入分式方程，解分式方程即可得到答案；
（2）把的值代入分式方程，将分式方程去分母后化为整式方程，分类讨论的值使分式方程无解即可；
（3）把代入分式方程，将分式方程化为整式方程，表示出整式方程的解，由解为整数和为正整数即可确定的值．
【详解】（1）解：把，代入分式方程中，
得：，
方程两边同时乘以，
得：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
系数化为1得：，
检验：把代入，
所以原分式方程的解是；
（2）解：把代入分式方程，
得：，
方程两边同时乘以，
得：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
①当时，即，方程无解，
②当时，，
时，分式方程无解，即，不存在；
时，分式方程无解，即，，
综上所述，或时，分式方程无解；
（3）解：把代入分式方程中，
得：，
方程两边同时乘以，
得：，
整理得：，
∵，且为正整数，为整数，
∴必为65的因数，，
∵，
∴65的因数有1，5，13，65，
1，5小于11，
可以取13，65这两个数，对应地，方程的解为0，4，对应地，的值为3，55，
满足条件的可取3，55这两个数．
【点睛】本题考查分式方程的计算，熟练掌握解分式方程的步骤是解决问题的前提条件，分式方程无解的两种情况要熟知：一是分式方程去分母后的整式方程无解，二是分式方程去分母后的整式方程的解是原分式方程的增根．
46．（2023上·山东临沂·八年级校考期末）解分式方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)无解
【分析】（1）把分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）把分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】（1）解：由
则去分母得：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
经检验：是原分式方程的解；
（2）解：由，
则去分母得：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
因为，
经检验：是增根，原分式方程无解．
【点睛】此题考查解分式方程，解题关键在于掌握运算法则．
47．（2023上·吉林·八年级吉林省实验校考阶段练习）若关于x的一元一次不等式组的解集为x＜4，且关于y的分式方程＝4的解是正数，求a的取值范围．请认真阅读以下解答过程并补充完整．
解：步骤1：由不等式①，解得 ．
由不等式②，解得 ．
又∵该不等式组的解集为x＜4，
∴a的取值范围是 ．
步骤2：解这个分式方程＝4得，y＝ ．
请继续写出下面的解答过程．
步骤3： ．
【答案】x＜4；；；； 且
【分析】化简一元一次不等式组，根据解集为x＜4得到a的取值范围；解分式方程，根据解是正数，且不是增根，得到a的最终范围即可．
【详解】解：解：步骤1：由不等式①，解得x＜4．
由不等式②，解得．
又∵该不等式组的解集为x＜4，
∴a的取值范围是．
步骤2：解这个分式方程＝4得，y＝，
∵关于y的分式方程＝4的解是正数，且 ，
∴ ，且 ，
解得： 且 ，
∴a的取值范围为 且．
【点睛】本题主要考查了分式方程的解，一元一次不等式组的解集．考虑解分式方程可能产生增根是解题的关键．
48．（2022上·河北石家庄·八年级校考阶段练习）解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)原方程无解
【分析】（1）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1，最后检验根是否有意义，即可求解；
（2）先将分式通分，再根据分式的加减法法则进行运算，最后把解的根代入原方程检验，若分式有意义则有解，原方程无意义则原方程无解．
【详解】（1）解：原式变形得，，且，
，
∴，
代入原方程检验得，原方程左边：，原方程右边：，
即时，方程左边等于右边，且原方程有意义，
故方程的解是：．
（2）解：原式通分得，，且，
，
，
∴，
，
代入原方程检验：原方程分母为零，方程无意义，
故原方程无解．
【点睛】本题主要考查解分式方程，掌握分式的加减法法则，通分，分式方程有意义是解题的关键．
49．（2023下·山东德州·九年级校考阶段练习）若关于x的方程
(1)若，解这个分式方程；
(2)若原分式方程无解，求m的值．
【答案】(1)
(2)4或0
【分析】（1）先将分式方程化为整式方程，求出解后进行检验即可；
（2）将分式方程化为，根据方程无解，可得或当时，，由此可解．
【详解】（1）解：当时，，
两边同乘，得，
整理，得，
移项、合并同类项，得，
解得，
当时，，
因此这个分式方程的解为；
（2）解：方程，
两边同乘，得，
整理，得，
移项、合并同类项，得，
方程无解，
或当时，，
即或或，
上述方程的解依次为，，无解．
m的值为4或0．
【点睛】本题考查解分式方程，分式方程无解问题，根据分式方程无解，得出关于m的方程是解题的关键．
50．（2022上·八年级单元测试）已知关于x的分式方程；
(1)若方程的增根为x=1，求m的值．
(2)若方程有增根，求m的值．
【答案】(1)m=-6
(2)-6或
【分析】（1）先把分式方程化为整式方程，再把x=1代入整式方程，即可求解；
（2）根据方程有增根，可得x=1或-2，再代入整式方程，即可求解．
【详解】（1）解∶
去分母得：，
整理得：，
∵方程的增根为x=1，
∴，
解得：m=-6；
（2）解：∵方程有增根，
∴或，
解得：x=1或-2，
由（1）得：当x=1时，m=-6；
当x=-2时，，
解得：；
综上所述，m的值为-6或．
【点睛】本题主要考查了分式方程增根的问题，理解分式方程产生增根的原因是解题的关键
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