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专题01 认识分式
考点类型
知识一遍过
（一）分式的概念
概念：一般地，如果A，B表示两个整数，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，A为分子，B为分母。
（二）与分式有关的条件问题
要求 表示
分式有意义 分母≠0
分式无意义 分母=0
分式值为0 分子为0且分母不为0
分式值为正或大于0 分子分母同号 A>0,B>0 A<0,B<0
分式值为负或小于0 分子分母异号 ①A>0,B<0 ②A<0,B>0
分式值为1 分子分母值相等 A=B
分式值为-1 分子分母值互为相反数 A+B=0
（三）分式的基本性质
基本性质（基础）：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
字母表示：
其中A、B、C是整式，C≠0。
拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即
注意：在应用分式的基本性质时，要注意C≠0这个限制条件和隐含条件B≠0。
（四）最简分式与分式的约分
（1）约分的定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去。
（2）最简分式的定义：分子与分母没有公因式的分式。
（3）分式约分步骤：
①提分子、分母公因式
②约去公因式
③观察结果，是否是最简分式或整式。
注意：
①约分前后分式的值要相等.
②约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式.
③约分是对分子、分母的整体进行的，也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式
（五）最简公分母与分式通分
（1）通分的定义：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。
（2）最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。
（3）分式通分的关键：确定最简公分母。
确定分式的最简公分母的方法
①因式分解
②系数：各分式分母系数的最小公倍数；
③字母：各分母的所有字母的最高次幂
④多项式：各分母所有多项式因式的最高次幂
⑤积
考点一遍过
考点1：分式的定义
典例1：（2023下·甘肃兰州·八年级校考期中）在，，，，，中，是分式的有（ ）．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式1】（2022上·河北石家庄·八年级统考期末）在，，，，中，是分式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式2】（2023上·内蒙古赤峰·八年级统考期末）下列各式中，分式有（ ）个
，，，，，
A．4 B．3 C．2 D．1
【变式3】（2023上·广西桂林·八年级统考期中）下列各式：，，，，中，是分式的共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点2：分式有无意义的条件
典例2：（2023上·河北沧州·八年级统考期末）在实数范围内有意义，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2024上·福建厦门·八年级福建省厦门第六中学校考期末）如表描述了分式的部分信息：
的值 … 0 …
的值 … 无意义 …
其中，，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2022下·浙江温州·七年级统考期末）当时，分式没有意义，则b的值为（ ）
A． B． C． D．3
【变式3】（2022下·安徽合肥·七年级统考期末）已知分式（，为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是（ ）
的取值 －2 2
分式的值 无意义 0 1 2
A． B． C． D．的值不存在
考点3：分式值为零的条件
典例3：（2024上·湖南湘潭·八年级统考期末）若分式的值为0，则的值是（ ）
A．2 B． C． D．
【变式1】（2023上·山东泰安·八年级校考阶段练习）若已知分式的值为0，则的值为（ ）
A．或 B．或 C． D．1
【变式2】（2022上·四川绵阳·八年级校考阶段练习）若分式的值为0，则x的值是( )．
A．1或 B．1 C． D．
【变式3】（2022下·陕西西安·八年级统考阶段练习）若分式的值为0，则a满足的条件是（ ）
A． B． C． D．或
考点4：分式求值
典例4：（2023上·全国·八年级专题练习）已知 ，则值为（ ）
A．10 B．11 C．15 D．16
【变式1】（2023下·全国·八年级专题练习）已知．则分式的值为（ ）
A．8 B．3 C． D．4
【变式2】（2023上·四川宜宾·九年级统考期中）已知，则的值为（ ）
A． B．3 C．5 D．7
【变式3】（2023下·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考期中）对于非负整数x，使得是一个正整数，则符合条件的个数有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
考点5：根据分式值的符号求字母取值
典例5：（2024·全国·八年级竞赛）若分式的值为正数，则的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．
【变式1】（2023上·陕西渭南·八年级校考阶段练习）若分式的值为正数，则的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．
【变式2】（2023上·山东日照·八年级统考期末）已知分式的值是正数，那么x的取值范围是（ ）
A．x＞0 B．x＞-4
C．x≠0 D．x＞-4且x≠0
【变式3】（2023上·山东泰安·八年级校考阶段练习）使分式的值为负的条件是（ ）
A．x＜0 B．x＞0 C．x＞ D．x＜
考点6：根据分式值为整数求字母的值
典例6：（2023下·全国·八年级假期作业）若取整数，则使分式的值为整数的值有（ ）
A．3个 B．4个 C．6个 D．8个
【变式1】（2023上·八年级课时练习）若m为整数，则能使的值也为整数的m有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式2】（2023下·江苏常州·八年级校考期中）对于非正整数x，使得的值是一个整数，则x的个数有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【变式3】（2023·山西大同·校联考模拟预测）若分式的值为正整数，则的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
考点7：分式的基本性质
典例7：（2024上·浙江台州·八年级统考期末）下列分式变形从左到右一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2024上·四川泸州·八年级统考期末）如果把分式中的m，n都变为原来的2倍，那么分式的值（ ）
A．变为原来的2倍 B．变为原来的4倍
C．变为原来的 D．不变
【变式2】（2023下·河北邯郸·八年级统考期末）若，则x应满足的条件是（ ）
A． B． C．且 D．或
【变式3】（2024上·山东东营·八年级统考期末）若在中的x和y都扩大到原来的2倍．那么分式的值（ ）
A．缩小为原来的一半 B．不变
C．扩大为原来的4倍 D．扩大为原来的2倍
考点8：约分与通分
典例8：（2023上·湖北荆门·八年级统考期末）下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（2024上·河北唐山·八年级统考期末）约分的结果是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2024上·北京平谷·八年级统考期末）分式，化简结果为（）
A． B． C． D．
【变式3】（2024上·上海松江·七年级统考期末）下列分式化简正确的是（ ）
A． B．
C． D．
考点9：最简分式
典例9：（2024上·河南周口·八年级统考期末）下列分式中，最简分式是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2024上·湖南怀化·八年级统考期末）以下式子是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2024上·辽宁盘锦·八年级统考期末）分式，，，中，最简分式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式3】（2024上·辽宁大连·八年级统考期末）下列式子中，是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
考点10：运用分式基本性质求值
典例10：（2023下·浙江·七年级专题练习）已知，则分式的值为（ ）
A． B． C． D．1
【变式1】（2023上·八年级课时练习）已知，则的值为（ ）
A．2021 B．2022 C． D．1011
【变式2】（2023下·山东威海·八年级统考期末）若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2023上·黑龙江大庆·八年级校考期中）已知，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．﹣2
同步一遍过
一、单选题
1．（2023上·湖南怀化·八年级统考期中）下列各式中，是分式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023下·四川资阳·八年级四川省乐至实验中学校考阶段练习）下列各式中，属于分式的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022上·广东广州·八年级统考期末）当x＝﹣2时，下列分式没有意义的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023上·湖南邵阳·八年级统考期中）若分式中a，b的值同时扩大为原来的4倍，则此分式的值（ ）
A．扩大为原来的8倍 B．扩大为原来的4倍
C．缩小到原来的 D．不变
5．（2024上·上海松江·七年级统考期末）下列分式化简正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023下·江苏盐城·八年级统考期中）若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠1 B．x＞1 C．x=1 D．x＜1
7．（2023下·江苏无锡·九年级校考阶段练习）函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023下·八年级单元测试）要使式子从左到右变形成立，x应满足的条件是( )
A． B． C． D．
9．（2023上·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期末）若把分式中的x、y都扩大4倍，则该分式的值（ ）
A．不变 B．扩大4倍 C．缩小4倍 D．扩大16倍
10．（2023上·广西贵港·八年级统考期中）若的值为，则的值是( )
A．-1 B．1 C． D．
二、填空题
11．（2022上·云南昆明·八年级统考期末）若分式有意义，即满足的条件是 ．
12．（2023下·八年级课时练习）当 时，分式无意义．
13．（2022上·上海宝山·七年级统考期末）如果分式有意义，那么的取值范围是 ．
14．（2023上·八年级单元测试）已知，则＝ ．
15．（2023上·浙江金华·九年级统考期中）若3，则a:b= ．
16．（2023下·八年级单元测试）温故知新：若满足不等式的整数k只有一个，则正整数n的最大值 ．
阅读理解：任意正整数，，∵，∴，∴，只有当时，等号成立；结论：在（、均为正实数）中，只有当时，有最小值．若，有最小值为 ．
三、解答题
17．（2022上·河北邢台·八年级统考期中）小明和小强一起做分式的游戏，如图所示他们面前各有三张牌（互相可以看到对方的牌），两人各自任选两张牌分别做分子和分母，组成一个分式，然后两人均取一个相同的x值，再计算分式的值，值大者为胜．为使分式有意义，他们约定x是大于3的正整数．
(1)小明组成的分式中值最大的分式是______，小强组成的分式中值最大的分式是______；
(2)小强思考了一下，哈哈一笑，说：“虽然我是三张带减号的牌，但最终我一定是胜者”小强说的有道理吗？请你通过计算说明．
18．（2023下·七年级单元测试）（1）已知，求分式的值；
（2）已知，求分式的值．
19．（2023下·山西朔州·八年级校考期中）已知是实数，且，求的值．
20．（2023上·江苏南通·八年级校考阶段练习）已知，k为正实数．
（1）当时，求的值：
（2）当时，求的值：
21．（2023上·全国·八年级课堂例题）当取何值时，下列分式的值为0？
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
22．（2023上·八年级课时练习）要使分式的值为零，x和y的取值范围是什么？
23．（2022下·北京海淀·八年级校考期中）请认真观察图形，解答下列问题：
(1)根据图中条件，试用两种不同方法表示阴影部分的面积．方法1： ；方法2： ；
(2)从中你能发现什么结论？请用等式表示该结论： ．
(3)运用你所得到的结论，解决问题：
①已知＝16，xy＝1，求的值．
②已知=2，则的值为 ．
24．（2023上·河北衡水·八年级校考期中）解：根据算术平方根的意义，由，得(2x－y)2＝9，所以2x－y＝3．①(第一步)
根据立方根的意义，由，得x－2y＝－3．②(第二步)
解得x＝3，y＝3．
把x、y的值代入分式中，得．(第三步)
上述解答有两处错误，一处是___________步，忽视了___________；另一处是步___________，忽视了___________．请写出正确的解答过程．
25．（2023下·八年级课时练习）当x取什么值时，分式分式有意义？
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专题01 认识分式
考点类型
知识一遍过
（一）分式的概念
概念：一般地，如果A，B表示两个整数，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，A为分子，B为分母。
（二）与分式有关的条件问题
要求 表示
分式有意义 分母≠0
分式无意义 分母=0
分式值为0 分子为0且分母不为0
分式值为正或大于0 分子分母同号 A>0,B>0 A<0,B<0
分式值为负或小于0 分子分母异号 ①A>0,B<0 ②A<0,B>0
分式值为1 分子分母值相等 A=B
分式值为-1 分子分母值互为相反数 A+B=0
（三）分式的基本性质
基本性质（基础）：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
字母表示：
其中A、B、C是整式，C≠0。
拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即
注意：在应用分式的基本性质时，要注意C≠0这个限制条件和隐含条件B≠0。
（四）最简分式与分式的约分
（1）约分的定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去。
（2）最简分式的定义：分子与分母没有公因式的分式。
（3）分式约分步骤：
①提分子、分母公因式
②约去公因式
③观察结果，是否是最简分式或整式。
注意：
①约分前后分式的值要相等.
②约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式.
③约分是对分子、分母的整体进行的，也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式
（五）最简公分母与分式通分
（1）通分的定义：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。
（2）最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。
（3）分式通分的关键：确定最简公分母。
确定分式的最简公分母的方法
①因式分解
②系数：各分式分母系数的最小公倍数；
③字母：各分母的所有字母的最高次幂
④多项式：各分母所有多项式因式的最高次幂
⑤积
考点一遍过
考点1：分式的定义
典例1：（2023下·甘肃兰州·八年级校考期中）在，，，，，中，是分式的有（ ）．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】根据分式的定义判断即可．
【详解】解：，，的分母中都含有字母，都是分式，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的判断，如果、表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式，其中叫做分子，叫做分母．特别注意：判断一个代数式是不是分式，不能将原代数式进行变形后再判断，而必须按照原来的形式进行判断，不能认为分母含有的式子是分式．
【变式1】（2022上·河北石家庄·八年级统考期末）在，，，，中，是分式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据分式的定义判断即可，分式是形如（B中含字母）的式子．
【详解】解：在，，，，中，是分式的为：，，，
所以共有3个，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了分式，熟练掌握分式的定义是解题的关键．
【变式2】（2023上·内蒙古赤峰·八年级统考期末）下列各式中，分式有（ ）个
，，，，，
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【分析】分母是整式且整式中含有字母，根据这点判断即可．
【详解】∵中的分母是3，不含字母，
∴不是分式；
∵中的分母是n，是整式，且是字母，
∴是分式；
∵中的分母是a+5，是多项式，含字母a，
∴是分式；
∵中的分母是15，不含字母，
∴不是分式；
∵中的分母是，是整式，含字母x，y，
∴是分式；
∵中的分母是，是整式，含字母a，b，
∴是分式；
共有4个，
故选A．
【点睛】本题考查了分式的定义，熟练掌握分式构成的两个基本能条件是解题的关键．
【变式3】（2023上·广西桂林·八年级统考期中）下列各式：，，，，中，是分式的共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】利用分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，进行解答即可．
【详解】解：在，，，，中， ，，是分式，共3个，
故选：C．
【点睛】本题考查了分式，关键是掌握分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母．
考点2：分式有无意义的条件
典例2：（2023上·河北沧州·八年级统考期末）在实数范围内有意义，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件为分母不等于零是解题的关键．
根据分式有意义的条件列不等式计算即可．
【详解】解：∵在实数范围内有意义，
∴，解得：．
故选：C．
【变式1】（2024上·福建厦门·八年级福建省厦门第六中学校考期末）如表描述了分式的部分信息：
的值 … 0 …
的值 … 无意义 …
其中，，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查分式的性质与不等式的性质，掌握分式的性质，不等式的性质是解题的关键．根据当时，该分式总有意义，当时，分式无意义，可以判定n的大小，当时，该分式的值为负数，可以判定，为异号，由此即可求解．
【详解】解：∵，
∴当时，该分式总有意义，当时，分式无意义，
∴，
∵当时，该分式的值为负数，
∴，
∴，异号，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
【变式2】（2022下·浙江温州·七年级统考期末）当时，分式没有意义，则b的值为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】B
【分析】先将代入分式，再根据分母等于0时分式没有意义即可得到答案．
【详解】解：当，，
∵分式没有意义，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查分式没有意义的条件，熟知当分母为零时分式没有意义是解题的关键．
【变式3】（2022下·安徽合肥·七年级统考期末）已知分式（，为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是（ ）
的取值 －2 2
分式的值 无意义 0 1 2
A． B． C． D．的值不存在
【答案】A
【分析】根据分式有意义的条件可得m，n的值，进而可知p，q的值，选出符合要求的选项即可．
【详解】解：∵x为﹣2时方程无意义，
∴x－m=0，解得：m=﹣2，故B正确，
故分式为：，
当x=2时，分式的值为0，
故2×2＋n=0，n=﹣4，故A错误，
故分式为：，
当分式值为1时，2x－4=x+2，解得：x=6，
故，故C正确，
当时，2x－4=2x＋4，此等式不成立，则q的值不存在，故D正确，
故选：A．
【点睛】本题考查分式有意义的条件，方程思想，能够熟练掌握分式有意义的条件时解决本题的关键．
考点3：分式值为零的条件
典例3：（2024上·湖南湘潭·八年级统考期末）若分式的值为0，则的值是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查分式值为零的条件，掌握分式值等于0，分子等于0，分母不等于0是解题的关键．
根据分式值等于0，分子等于0，分母不等于0，列出不等式组求解即可．
【详解】解：由题意，得
，
解得：，
故选：B．
【变式1】（2023上·山东泰安·八年级校考阶段练习）若已知分式的值为0，则的值为（ ）
A．或 B．或 C． D．1
【答案】D
【分析】根据分式值为零的条件可得：，且，再求负整数指数幂，即可．
【详解】解：由题意得：，且，
解得：，
，
故选：．
【点睛】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
【变式2】（2022上·四川绵阳·八年级校考阶段练习）若分式的值为0，则x的值是( )．
A．1或 B．1 C． D．
【答案】C
【分析】分式的值为0的条件：分子为0，分母不为0，再建立方程与不等式解题即可．
【详解】解：∵分式的值为0，
∴，，
∵，
∴，解得：，
当时，，舍去，
当时，，符合题意，
∴，
故选C
【点睛】本题考查的是分式的值为0的条件，利用平方根的含义解方程，熟记分式的值为0的条件是解本题的关键．
【变式3】（2022下·陕西西安·八年级统考阶段练习）若分式的值为0，则a满足的条件是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】B
【分析】由分式的值为0的条件可得：，再解方程与不等式即可．
【详解】解：∵分式的值为0，
由①得：
由②得：且
∴
故选B
【点睛】本题考查的是分式的值为0的条件，掌握“分式的值为0，则分子为0，而分母不为0”是解本题的关键．
考点4：分式求值
典例4：（2023上·全国·八年级专题练习）已知 ，则值为（ ）
A．10 B．11 C．15 D．16
【答案】C
【分析】本题主要考查了分式的求值，根据已知变形得到，进而可得，求出，再将所求代数式变形得到即可答案．
【详解】解：∵，且根据题意有：，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴
故选：C．
【变式1】（2023下·全国·八年级专题练习）已知．则分式的值为（ ）
A．8 B．3 C． D．4
【答案】B
【分析】由可得，然后再对分式进行变形，最后代入计算即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴
＝
＝
＝
＝
故选：B．
【点睛】本题主要考查了代数式求值、通分、约分等知识点，根据题意得出是解本题的关键．
【变式2】（2023上·四川宜宾·九年级统考期中）已知，则的值为（ ）
A． B．3 C．5 D．7
【答案】B
【分析】根据，得到，即可得解．
【详解】解：∵，
∴，即：
∴；
故选B．
【点睛】本题考查分式的求值．将作为一个整体，利用平方法进行求解，是解题的关键．
【变式3】（2023下·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考期中）对于非负整数x，使得是一个正整数，则符合条件的个数有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】B
【分析】将看作一个整体，把代数式中的分子运用完全平方公式进行变形，再根据正整数的特性即可得．
【详解】解：，
，
，
，
为非负整数，是一个正整数，
的所有可能取值为，
即符合条件的个数有4个，
故选：B．
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用等知识点，熟练掌握完全平方公式是解题关键．
考点5：根据分式值的符号求字母取值
典例5：（2024·全国·八年级竞赛）若分式的值为正数，则的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．
【答案】C
【分析】根据题意列出不等式组，解不等式组则可．此题考查分式的值，解不等式组，解题关键在于根据题意列出不等式组．
【详解】解：∵分式的值为正数，
∴或，
解得：或.
故选：C．
【变式1】（2023上·陕西渭南·八年级校考阶段练习）若分式的值为正数，则的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．
【答案】B
【分析】根据题意可得，然后解这两个不等式组即可求出结论．
【详解】解∶ ，
∵分式的值为正数，
∴，
解得且．
故选∶B．
【点睛】此题考查的是根据分式的值的取值范围，求字母的取值范围，掌握两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除是解题的关键．
【变式2】（2023上·山东日照·八年级统考期末）已知分式的值是正数，那么x的取值范围是（ ）
A．x＞0 B．x＞-4
C．x≠0 D．x＞-4且x≠0
【答案】D
【分析】若的值是正数，只有在分子分母同号下才能成立，即x＋4＞0，且x≠0，因而能求出x的取值范围．
【详解】解：∵＞0，
∴x＋4＞0，x≠0，
∴x＞ 4且x≠
故选：D．
【点睛】本题考查分式值的正负性问题，若对于分式（b≠0）＞0时，说明分子分母同号；分式（b≠0）＜0时，分子分母异号，也考查了解一元一次不等式．
【变式3】（2023上·山东泰安·八年级校考阶段练习）使分式的值为负的条件是（ ）
A．x＜0 B．x＞0 C．x＞ D．x＜
【答案】C
【分析】分子分母异号即可，而分子恒为正，因此令分母小于0，最终求得不等式的解集．
【详解】∵
∴若使分式的值为负，则
解得x＞
故答案为x＞．
【点睛】本题考查了分式方程的求解，使分式的值为正即为分子分母同号，分式的值为负即为分子分母异号．
考点6：根据分式值为整数求字母的值
典例6：（2023下·全国·八年级假期作业）若取整数，则使分式的值为整数的值有（ ）
A．3个 B．4个 C．6个 D．8个
【答案】B
【解析】略
【变式1】（2023上·八年级课时练习）若m为整数，则能使的值也为整数的m有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据平方差公式和完全平方公式进行因式分解，再约分，得出答案即可．
【详解】原式，且，
若m为整数，的值也为整数，
则，，且，
解得：或或，
能使的值也为整数的m的值共有三个．
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的值，掌握分式的性质是解题的关键．
【变式2】（2023下·江苏常州·八年级校考期中）对于非正整数x，使得的值是一个整数，则x的个数有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】A
【分析】先将分式变形，然后根据x为非负整数，分式的结果为正整数，得出x的值．
【详解】解：，
∵x为非正整数，分式的结果正整数，
∴x取值为，0，
∴x的个数有3个，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式的特殊值，难度较大，考核学生的计算能力，这类题经常要用到枚举法，是解题的关键．
【变式3】（2023·山西大同·校联考模拟预测）若分式的值为正整数，则的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先利用分式的运算法则把原式进行化简，再根据分式的值为正整数求出的取值可以为多少．
【详解】解：原式，
，
，
，
，
要使分式有意义，则，
，
故选：．
【点睛】本题考查了分式的值，根据分式运算法则进行化简是解答本题的关键．
考点7：分式的基本性质
典例7：（2024上·浙江台州·八年级统考期末）下列分式变形从左到右一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了分式的基本性质．根据分式的基本性质，进行计算即可解答．
【详解】解：A、，故本选项不符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、当时，，故本选项不符合题意；
D、，故本选项符合题意；
故选：D．
【变式1】（2024上·四川泸州·八年级统考期末）如果把分式中的m，n都变为原来的2倍，那么分式的值（ ）
A．变为原来的2倍 B．变为原来的4倍
C．变为原来的 D．不变
【答案】C
【分析】本题考查分式的性质，根据分式的性质计算即可．
【详解】解：
，
即分式的值变为原来的，
故选：C．
【变式2】（2023下·河北邯郸·八年级统考期末）若，则x应满足的条件是（ ）
A． B． C．且 D．或
【答案】C
【分析】根据分式的基本性质及分式有意义的条件即可求解．
【详解】解：当时，分子与分母同时除以，分式的值不变，即，
，
又分式的分母不能为0，
，
x应满足的条件是且，
故选C．
【点睛】本题考查分式的基本性质及分式有意义的条件，解题的关键是注意分式的分母不能为
【变式3】（2024上·山东东营·八年级统考期末）若在中的x和y都扩大到原来的2倍．那么分式的值（ ）
A．缩小为原来的一半 B．不变
C．扩大为原来的4倍 D．扩大为原来的2倍
【答案】A
【分析】本题考查了分式的性质，利用分式的性质是解题关键．根据分式的性质：分子分母都乘（或除以）同一个不为零的整式，可得答案．
【详解】解：把分中的x和y都扩大到原来的2倍，
得出：，
分式的值缩小为原来的，
故选：A．
考点8：约分与通分
典例8：（2023上·湖北荆门·八年级统考期末）下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了整式的乘法运算和分式的化简，根据整式的乘法运算法则和分式的性质进行运算即可判断求解，掌握整式的乘法运算法则和分式的性质是解题的关键．
【详解】解：、，该选项错误，不合题意；
、，该选项错误，不合题意；
、，该选项正确，符合题意；
、，该选项错误，不合题意；
故选：．
【变式1】（2024上·河北唐山·八年级统考期末）约分的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了分式的约分，根据分式的性质，即可求解．
【详解】解：，
故选：B
【变式2】（2024上·北京平谷·八年级统考期末）分式，化简结果为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了分式的基本性质，分式的约分的应用，能根据分式的基本性质正确约分是解此题的关键．
先对分母分解因式，再根据分式的基本性质进行约分即可．
【详解】解：，
故选：B．
【变式3】（2024上·上海松江·七年级统考期末）下列分式化简正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】此题主要考查了分式的混合运算．首先把分子分母分解因式，再去约分化简即可．
【详解】解：A、，故本选项不符合题意；
B、，故本选项符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、不能约分，故本选项不符合题意；
故选：B．
考点9：最简分式
典例9：（2024上·河南周口·八年级统考期末）下列分式中，最简分式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了分式的性质、分式的约分等知识点，掌握最简分式的概念是解题的关键．
根据“分子与分母没有非零次的公因式的分式叫最简分式”逐项判断即可．
【详解】解：A. 的分子分母有非零公因式，不是最简分式，不符合题意；
B. 的分子分母有非零公因式，不是最简分式，不符合题意；
C. 的分子分母没有有非零公因式，是最简分式，符合题意；
D. 的分子分母有非零公因式，不是最简分式，不符合题意；
故选：C．
【变式1】（2024上·湖南怀化·八年级统考期末）以下式子是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了最简分式的定义和分式约分化简，即一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时，叫最简分式．根据分式约分的方法及最简分式的定义进行判断即可．
【详解】A. ，不是最简分式，故不符合题意；
B. ，不能再化简，是最简分式，符合题意；
C. ，不是最简分式，故不符合题意；
D. ，不是最简分式，故不符合题意；
故选B．
【变式2】（2024上·辽宁盘锦·八年级统考期末）分式，，，中，最简分式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题主要考查了最简分式的判断，分子和分母没有公因式的分式 叫做最简分式，据此判断即可．
【详解】解：是最简分式，符合题意；
，不是最简分式，不符合题意；
是最简分式，符合题意；
不是最简分式，不符合题意；
故选：B．
【变式3】（2024上·辽宁大连·八年级统考期末）下列式子中，是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了最简分式的定义，熟知最简分式的定义是解题的关键．根据最简分式的定义：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式，由此求解即可．
【详解】解：A．，不是最简分式，不符合题意；
B．，不是最简分式，不符合题意；
C．是最简分式，符合题意；
D．，不是最简分式，不符合题意；
故选：C
考点10：运用分式基本性质求值
典例10：（2023下·浙江·七年级专题练习）已知，则分式的值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】先根据等式的性质，等式两边同除以，可得，再把等式两边平方可得，然后把原式分子分母同时除以，整体代入即可得出结果．
【详解】解：∵且，
∴，
∴，
∴，
∴原式．
故选：A．
【点睛】此题考查了等式的性质，分式的性质，完全平方公式，整体代入思想方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键
【变式1】（2023上·八年级课时练习）已知，则的值为（ ）
A．2021 B．2022 C． D．1011
【答案】D
【分析】先进行约分，然后再代入数据求值即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质，将分式化简为．
【变式2】（2023下·山东威海·八年级统考期末）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求得，再代值求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查分式的求值，掌握分式的性质并正确求解是解答的关键．
【变式3】（2023上·黑龙江大庆·八年级校考期中）已知，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．﹣2
【答案】B
【分析】设，则，然后代入化简，即可求解．
【详解】解：∵，
∴设，则，
∴．
故选：B
【点睛】本题主要考查了利用分式的基本性质化简，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
同步一遍过
一、单选题
1．（2023上·湖南怀化·八年级统考期中）下列各式中，是分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据分式的定义即可求出答案．
【详解】解：A、分母不是未知数，故不是分式；
B、分母不是未知数，故不是分式；
C、是分式；
D、分母不是未知数，故不是分式．
故选：C．
【点睛】本题考查的是分式的定义，如果A、B(B不等于零)表示两个整式，且B中含有字母，那么式子 叫做分式，其中A称为分子，B称为分母，解题关键是掌握分式的定义．
2．（2023下·四川资阳·八年级四川省乐至实验中学校考阶段练习）下列各式中，属于分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据分式的定义进行解答即可，即分母中含有未知数的式子叫分式．
【详解】解： A、 的分母中不含有字母，因此它是整式，而不是分式，故此选项不符合题意；
B、 ，分母中不含有字母，所以它不是分式，故此选项不符合题意；
C、 的分母中不含有字母，因此它不是分式，故此选项不符合题意；
D、 的分母中含有字母，因此它是分式，故此选项不符合题意；
故选：D ．
【点睛】本题考查的是分式的定义，在解答此题时要注意分式是形式定义，只要是分母中含有未知数的式子即为分式．
3．（2022上·广东广州·八年级统考期末）当x＝﹣2时，下列分式没有意义的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据分式的分母为0时，分式无意义即可解答．
【详解】解：A．分式没有意义时，x=-2，故A符合题意；
B．分式没有意义时，x=2，故B不符合题意；
C．分式没有意义时，x=0，故C不符合题意；
D．分式没有意义时，x=0，故D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了分式无意义的条件，熟练掌握分式的分母为0时，分式无意义是解题的关键．
4．（2023上·湖南邵阳·八年级统考期中）若分式中a，b的值同时扩大为原来的4倍，则此分式的值（ ）
A．扩大为原来的8倍 B．扩大为原来的4倍
C．缩小到原来的 D．不变
【答案】D
【分析】根据分式约分法则计算即可判断．
【详解】解：由题意得，其值不变，
故选：D．
【点睛】此题考查了根据分式的基本性质判断分式的值的变化，正确掌握分式的基本性质是解题的关键．
5．（2024上·上海松江·七年级统考期末）下列分式化简正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】此题主要考查了分式的混合运算．首先把分子分母分解因式，再去约分化简即可．
【详解】解：A、，故本选项不符合题意；
B、，故本选项符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、不能约分，故本选项不符合题意；
故选：B．
6．（2023下·江苏盐城·八年级统考期中）若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠1 B．x＞1 C．x=1 D．x＜1
【答案】A
【详解】解：∵x﹣1≠0，
∴x≠1．
故选A．
7．（2023下·江苏无锡·九年级校考阶段练习）函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据分母不为0，可得，然后进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握分母不为0是解题的关键．
8．（2023下·八年级单元测试）要使式子从左到右变形成立，x应满足的条件是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】观察等式，显然是根据分式的基本性质，分子和分母同时乘以了，则在从左到右变形中，只需保证即可．
【详解】解：根据分式的基本性质：“在分式的分子和分母中，同时乘以（或除以）一个不为0的数（或整式）分式的值不变．”
可知，要使式子从左到右变形成立，
则，即，
故选：D．
【点睛】本题考查的是分式的基本性质，熟知分式的分子、分母同时乘以一个不为0的数，分式的值不变是解答此题的关键．
9．（2023上·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期末）若把分式中的x、y都扩大4倍，则该分式的值（ ）
A．不变 B．扩大4倍 C．缩小4倍 D．扩大16倍
【答案】A
【分析】把x换成4x，y换成4y，利用分式的基本性质进行计算，判断即可．
【详解】，
∴把分式中的x，y都扩大4倍，则分式的值不变．
故选：A．
【点睛】本题考查了分式的基本性质．解题的关键是掌握分式的基本性质，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
10．（2023上·广西贵港·八年级统考期中）若的值为，则的值是( )
A．-1 B．1 C． D．
【答案】A
【分析】先根据题意求出的值，再整体代入所求式子计算即可.
【详解】解：∵=，∴，∴，
∴.
故选A.
【点睛】本题考查了分式的求值，属于常考题型，灵活应用整体的数学思想方法是解题的关键.
二、填空题
11．（2022上·云南昆明·八年级统考期末）若分式有意义，即满足的条件是 ．
【答案】
【分析】先根据分式有意义的条件列出关于的不等式，求出的取值范围即可．
【详解】解：分式有意义，
，解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，即分式的分母不为，根据题意列出关于的不等式是解答此题的关键．
12．（2023下·八年级课时练习）当 时，分式无意义．
【答案】
【详解】根据分式的分母为0，则分式无意义，列方程解之即可得到答案.
解：∵分式无意义，
∴，
解得
故答案为.
13．（2022上·上海宝山·七年级统考期末）如果分式有意义，那么的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据分式有意义的条件“分母不为零”，列不等式求解即可．
【详解】解：由题意得：，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件“分母不为零”是解答本题的关键．
14．（2023上·八年级单元测试）已知，则＝ ．
【答案】-3
【分析】由已知条件可知xy≠0，根据分式的基本性质，先将分式化简，再把-=3代入即可．
【详解】∵-=3，
∴a≠0,b≠0,
∴ab≠0,
∴==-=-3.
故答案为-3.
【点睛】本题考查了分式的求值，解题的关键是根据题意先将分式化简再代入数值即可.
15．（2023上·浙江金华·九年级统考期中）若3，则a:b= ．
【答案】2：3
【详解】试题分析：由3，得：3a=2b，a：b=2：3
考点：比例的性质
16．（2023下·八年级单元测试）温故知新：若满足不等式的整数k只有一个，则正整数n的最大值 ．
阅读理解：任意正整数，，∵，∴，∴，只有当时，等号成立；结论：在（、均为正实数）中，只有当时，有最小值．若，有最小值为 ．
【答案】 112 3
【分析】温故知新：由，可得，即，根据整数k只有一个得，即可得n的最大值为112；
阅读理解：．
【详解】解：温故知新：
∵，
∴，
∴，即，
∵整数k只有一个，
∴，
解得：，
当时，或均符合，与整数k只有一个矛盾，舍去；
当时，符合，与整数k只有一个相符；
此时n的最大值为112；
故答案为：112；
阅读理解：
，
∴，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了分式和二次根式的变形求值，解决本题的关键是读懂题意，灵活运用分式的基本性质．
三、解答题
17．（2022上·河北邢台·八年级统考期中）小明和小强一起做分式的游戏，如图所示他们面前各有三张牌（互相可以看到对方的牌），两人各自任选两张牌分别做分子和分母，组成一个分式，然后两人均取一个相同的x值，再计算分式的值，值大者为胜．为使分式有意义，他们约定x是大于3的正整数．
(1)小明组成的分式中值最大的分式是______，小强组成的分式中值最大的分式是______；
(2)小强思考了一下，哈哈一笑，说：“虽然我是三张带减号的牌，但最终我一定是胜者”小强说的有道理吗？请你通过计算说明．
【答案】(1)，
(2)小强说的有道理，理由见详解
【分析】（1）分式的最大，则分母要大于分子，由此即可求解；
（2）比较分式，大小即可求解．
【详解】（1）解：根据分式的大小关系可知，
小明组成的分式中值最大的分式是，小强组成的分式中值最大的分式是．
（2）解：小强说的有道理， 理由如下：
∵，
当x是大于3的正整数时，
∴，
∴，
∴，
故小强说的有道理．
【点睛】本题主要考查分式的应用，理解分式的性质，分式比较大小的方法是解题的关键．
18．（2023下·七年级单元测试）（1）已知，求分式的值；
（2）已知，求分式的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）将已知等式变形为，代入中即可；
（2）由已知可知x-y=-5xy，然后代入所求的式子，进行约分就可求出结果．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∴=；
（2）∵，
∴，
∴，
∴====．
【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．（2023下·山西朔州·八年级校考期中）已知是实数，且，求的值．
【答案】13
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列不等式求出x的值，再求出y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】解：由题意得，，
解得x=3，
所以，y=，
所以，5x+6y=5×3+6×()=15-2=13．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件和代数式求值．掌握二次根式中被开方数必须是非负数，分式的分母不能为0是解题关键．
20．（2023上·江苏南通·八年级校考阶段练习）已知，k为正实数．
（1）当时，求的值：
（2）当时，求的值：
【答案】（1）5；（2）
【分析】（1）根据=代入可得结果；
（2）先根据，计算=的值，再将平方后计算．
【详解】解：（1）当时，，
===5；
（2）当时，，
==，
=．
【点睛】本题考查了分式的值和完全平方公式的运用，将所求式子进行适当的变形是解题的关键．
21．（2023上·全国·八年级课堂例题）当取何值时，下列分式的值为0？
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)无解
(4)
【分析】本题考查了分式为0的条件，即分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，
关键是熟练掌握分式值为零的条件是解题的关键；
（1）根据分式值为零即分子为零且分母不为零进行解答即可；
（2）根据分式值为零即分子为零且分母不为零进行解答即可；
（3）根据任何非零的数的平方都是非负数，当时，，分式无意义，故无解；
（4）根据分式值为零即分子为零且分母不为零进行解答即可；
【详解】（1）由，得．
当时，分式的值为0．
（2），
又 ，
即．
当时，分式的值为0．
（3） 时，，
分式无意义，
没有使分式的值为0的值．
（4）由
，
得
当时，分式的值为0．
22．（2023上·八年级课时练习）要使分式的值为零，x和y的取值范围是什么？
【答案】x＝－1且y≠±1
【分析】根据分式为0的条件可以求出x的值，进而可以得出y的取值范围.
【详解】解：∵分式的值为0
∴解得：x＝﹣1，y≠1.
【点睛】本题主要考查了分式的值为0的条件，熟知分时的值为0的条件是分子等于0分母不等于0是解答此题的关键.
23．（2022下·北京海淀·八年级校考期中）请认真观察图形，解答下列问题：
(1)根据图中条件，试用两种不同方法表示阴影部分的面积．方法1： ；方法2： ；
(2)从中你能发现什么结论？请用等式表示该结论： ．
(3)运用你所得到的结论，解决问题：
①已知＝16，xy＝1，求的值．
②已知=2，则的值为 ．
【答案】(1)，
(2)
(3)①14，②2
【分析】（1）根据图形和图形中的数据，利用两个正方形的面积和，或者用大正方形的面积减去2个长方形的面积，用含a、b的式子表示出阴影部分的面积；
（2）根据（1）中的结果，可以写出相应的结论；
（3）①根据（2）中的结论，可以算出的值；
②根据，将两边平方，可得，，根据（2）的结论即可求解．
【详解】（1）解：利用两个正方形的面积和，或者用大正方形的面积减去2个长方形的面积得，
，，
故答案为：，；
（2）由（1）可知：，
故答案为：；
（3）①∵
∴
；
②∵，
∴，，
∴
故答案为：2
【点睛】本题考查了列代数式，完全平方公式与图形面积，根据完全平方公式变形求值，求分式的值，数形结合是解题的关键．
24．（2023上·河北衡水·八年级校考期中）解：根据算术平方根的意义，由，得(2x－y)2＝9，所以2x－y＝3．①(第一步)
根据立方根的意义，由，得x－2y＝－3．②(第二步)
解得x＝3，y＝3．
把x、y的值代入分式中，得．(第三步)
上述解答有两处错误，一处是___________步，忽视了___________；另一处是步___________，忽视了___________．请写出正确的解答过程．
【答案】第一步，正数有两个平方根；第三步，分母不能为0；正确解法详见解析
【分析】根据平方根和立方根的性质：一个正数的平方根有两个，它们互为相反数；负数没有平方根；0的平方根是0．正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0，即可求解．
【详解】解：在第一步中，由（2x－y）2＝9应得到2x－y＝±3，忽略了正数有两个平方根；
在第三步中，当时，分式无意义，忽略了分母不能为0；
正确的过程如下：
根据算术平方根的意义，由，得(2x－y)2＝9，所以2x－y＝±3．
根据立方根的意义，由，得x－2y＝－3．
当时，解得，
当时，解得，
∵当时，分式无意义，
∴，
将代入分式，得，
所以正确的结论是．
【点睛】此题主要考查了平方根、立方根的性质，同时还要注意求分式的值时，首先要保证分式有意义．
25．（2023下·八年级课时练习）当x取什么值时，分式分式有意义？
【答案】x≠3且x≠-2.
【详解】利用分式的分母不等于0时分式有意义，即可得出答案.
解：∵分式分式有意义，
∴，
解得，
∴当x≠3且x≠-2时，分式分式有意义.
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