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专题02 分式运算
考点类型
知识一遍过
（一）分数的乘除法法则
分式的乘除法法则：
用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。式子表示为：
分式除以分式：除以一个数等于乘于这个数的倒数。式子表示为
（二）分数的乘方
分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子
注意：
①分式乘方要把分子、分母分别乘方。
②分式乘方时，要首先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负。
（三）分式加减法法则
同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为
异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。式子表示为
考点一遍过
考点1：分式乘除法运算
典例1：（2023下·全国·八年级假期作业）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】略
【变式1】（2023上·贵州铜仁·八年级校考阶段练习）下列分式运算中，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了分式的运算，根据分式的运算法则解题．
【详解】解：A. ，故A错误，不符合题意；
B. ，故B错误，不符合题意；
C. ，故C错误，不符合题意；
D. ，正确，故D符合题意
故选：D．
【变式2】（2023上·湖北恩施·八年级统考期末）若计算的结果为整式，则“□”中的式子可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查分式乘除运算，熟练掌握分式乘除运算法则是解题的关键．
先根据分式除法法则计算，再根据结果为整式，得出“□”中的式子的可能式，即可得出答案．
【详解】解：
=
=，
∵运算结果为整式，
∴“□”中的式子应该是含有因式的式子，
只有选项C中符合题意，
故选：C．
【变式3】（2023上·山东东营·八年级校考阶段练习）下列化简结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】同时对分子、分母进行因式分解，再将除转化为乘，进行约分，结果化为最简分式或整式，进行逐一化简，即可求解．
【详解】解：A.，结果不正确，故不符合题意；
B.，结果不正确，故不符合题意；
C.结果正确，故符合题意；
D.已是最简分式，无法化简，结果不正确，故不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了分式化简求值，掌握分式化简的步骤是解题的关键．
考点2：分式的乘方运算
典例2：（2024上·河南信阳·八年级统考期末）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了分式乘方运算，根据分式性质结合乘方法则进行运算，即可作答．
【详解】解：依题意，，
故选：B．
【变式1】（2023上·山东聊城·八年级统考期中）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了分式的乘方，分式的基本性质，分式的除法，熟练掌握分式的乘方法则，分式的基本性质，分式的除法法则，是解题的关键．根据分式的乘方法则，分式的基本性质，分式的除法法则，逐一计算判断即可．
【详解】A. ，
∵，
∴A错误；
B. ，
∵，
∴B正确；
C. ，
∵，
∴C错误；
D. ，
∵，
∴D错误．
故选：B．
【变式2】（2023上·八年级课时练习）下列各式：①；②；③；④．其中计算结果相等的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．③④
【答案】B
【分析】先根据分式的运算法则计算各式，然后可得答案．
【详解】解：①，
②，
③，
④；
所以，计算结果相等的是①③；
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的运算，熟练掌握分式的运算法则、正确计算是解题的关键．
【变式3】（2022上·八年级单元测试）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用乘方的意义计算即可得到结果．
【详解】解： ，
故选C．
【点睛】本题考查了分式的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
考点3：含乘方的分式乘除混合运算
典例3：（2024上·山东烟台·八年级统考期末）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了分式混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．
（1）根据积的乘方，分式乘法和除法运算法则进行计算即可；
（2）根据分式乘除运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
【变式1】（2023上·八年级课时练习）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先计算乘方，然后将除法转化成乘法，进而计算乘法即可；
（2）首先计算乘方，然后将除法转化成乘法，进而计算乘法即可．
【详解】（1）
；
（2）
．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算法则是解题关键．
【变式2】（2023上·八年级课时练习）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据分式乘除混合运算法则进行计算即可；
（2）根据分式乘除混合运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题主要考查了分式乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握分式乘除混合运算法则，准确计算．
【变式3】（2023上·八年级课时练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【详解】（1）解：；
（2）解：
；
（3）解：
．
（4）解：
．
【点睛】本题考查了分式的乘除混合运算：分式的乘除混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除．最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
考点4：同分母相加减
典例4：（2024上·山东泰安·八年级统考期末）化简的结果是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查分式的加减运算，掌握分式加减的运算法则为解题关键．
先化成同分母分数，再相加减，然后对分子进行因式分解，最后约分即可．
【详解】解：
=
=
=，
故选：A．
【变式1】（2024上·天津红桥·八年级统考期末）计算的结果是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查分式的加减，根据分式的加减法法则计算即可．
【详解】．
故选：A．
【变式2】（2023上·广西桂林·八年级校考期中）计算的结果是（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了分式的加减法．根据“同分母分式相加减，那么分母不变，把分子直接相加减” 即可求解．
【详解】解：
．
故选：A．
【变式3】（2023上·河北沧州·八年级校考期中）化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是分式的化简，先变形得到，再计算得到，根据完全平方公式得到，化简即可得到答案．熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【详解】
．
故选；B．
考点5：最简公分母与通分
典例5：（2023上·湖北孝感·八年级统考期末）分式，，的最简公分母是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是最简公分母的确定，要求分式的最简公分母，即取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积．
【详解】解：分式，，的最简公分母是，
故选A
【变式1】（2023上·广东肇庆·八年级四会市四会中学校考期末）分式与的最简公分母是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】把第二个分式的分母分解因式，然后根据最简公分母的确定方法解答．本题考查了最简公分母的确定，解题的关键在于对分母正确分解因式．
【详解】解：∵，
∴与的最简公分母为，故D正确．
故选：D．
【变式2】（2023上·八年级课时练习）对分式通分后，的结果是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】把a2-b2因式分解，得出的最简公分母，根据分式的基本性质即可得答案．
【详解】∵a2-b2=(a+b)(a-b)，
∴分式的最简公分母是，
∴通分后，=．
故选：B．
【点睛】本题考查分式的通分，正确得出最简公分母是解题关键．
【变式3】（2023上·河北邢台·八年级校考期中）若将分式与分式通分后，分式的分母变为，则分式的分子应变为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用分式的性质分别进行通分把分母变为，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴分式的分子应变为，
故选：A．
考点6：异分母相加减
典例6：（2024上·河南新乡·八年级统考期末）计算的结果是（ ）
A．3 B． C．2 D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了分式加减运算，解题的关键是熟练掌握分式加减运算法则．根据分式加减运算法则进行计算即可．
【详解】解：
．
故选：C．
【变式1】（2023上·山东淄博·八年级校考阶段练习）计算的正确结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．根据分式的运算法则即可求出答案．
【详解】解：原式
，
故选：A．
【变式2】（2023上·全国·八年级假期作业）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】略
【变式3】（2023上·山东菏泽·八年级统考期中）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了分式相减和平方差公式的运算法则，准确的计算是解决本题的关键．
根据分式相加减和平方差公式的运算法则求解即可．
【详解】解：，
故答案为：D
考点7：分式化简求值
典例7：（2024上·山东烟台·八年级统考期末）先化简，再求值：，其中能使关于的二次三项式是完全平方式．
【答案】；
【分析】本题考查的是分式的化简求值，完全平方式，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出a的值代入进行计算即可．
【详解】解：原式
．
由是完全平方式，得．
∵分式中分母不为0，
∴．
∴．
当时，原式．
【变式1】（2024上·河南安阳·八年级统考期末）先化简，再求值：其中x从1，2，3三个数中任取一个求值．
【答案】，时，原式
【分析】本题考查分式的化简求值，根据分式的混合运算法则，进行化简，再选择一个使分式有意义的值，代入求值即可．掌握分式的混合运算法则，正确的计算，是解题的关键．
【详解】解：原式
；
要使原式有意义，则，
所以x的值只能取2，
当时，原式．
【变式2】（2024上·河南信阳·八年级统考期末）先化简：，然后从，，2，3中选一个你认为合适的x的值代入求值．
【答案】，当时，原式
【分析】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件．熟练掌握分式的化简求值，分式有意义的条件是解题的关键．
先通分，利用完全平方公式，平方差公式进行因式分解，然后计算除法可得化简结果，根据分式有意义的条件确定的值，最后代入求解即可．
【详解】解：
，
由题意知，，，
解得，，，
当时，原式．
【变式3】（2024上·广西北海·八年级统考期末）先化简，再求值：，从，中选取一个合适的数作为的值代入求值．
【答案】，2
【分析】本题考查分式的化简求值．先根据分式混合运算法则化简，再选择使分式有意义的a值代入化简式计算即可．
【详解】解：
，
，，
，
当时，原式．
考点8：分式运算应用——比较大小
典例8：（2023下·浙江嘉兴·九年级校考阶段练习）比较与的大小（其中，且）．
(1)尝试（用“<”，“=”或“>”填空）：
①当，时， ；
②当，时， ；
(2)归纳：与有怎样的大小关系？试说明理由．
【答案】(1)①；②；
(2)，理由见解析．
【分析】（1）将①，代入两式求解，进行比较大小；②将，代入两式求解，进行比较大小；
（2）利用作差法比较大小即可．
【详解】（1）解：①当，时，，
∵
∴
故答案为：；
②当，时，，
∵
∴
故答案为：；
（2），理由如下：
∵，且
∴，
∴
∴，即
∴
【点睛】此题考查了代数式求值，分式大小比较，涉及了完全平方公式，分式的混合运算，不等式的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．
【变式1】（2023上·湖南长沙·八年级校联考期末）由完全平方差公式可知，，而，所以，对所有的实数都有：，且只有当时，才有等号成立：．
应用上面的结论解答下列问题：
(1)计算 ，由此可知 （填不等号）；
(2)已知为不相等的两正数，试比较：与的大小；
(3)试求分式的最大值．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）根据资料提示的算法即可求解；
（2）分别按多项成乘法运算方法展开与，再根据资料提供的方法即可求解；
（3）根据分式的运算方法，计算，再根据资料提供的解题方法即可求解．
【详解】（1）解：，
，
∵，
∴，
故答案为：，．
（2）解：，
∵
又
∴．
（3）解：，当时，原式；
当时，
，
∵（当时，等号成立）
∴，
当时，的最大值为．
【点睛】本题主要考查分式的运算，理解题干意思，掌握分式的混合运算是解题的关键．
【变式2】（2023上·河北沧州·八年级校考阶段练习）【阅读理解】我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一，“作差法”：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式，的大小，只要作出差，若，则；若，则；若，则．
【解决问题】
(1)若，试判断： ______（填“”，“”或“”）；
(2)已知，，当时，试比较与的大小，并说明理由；
(3)嘉嘉和琪琪两次购物均买了同一种商品，嘉嘉两次都买了千克该商品，琪琪两次购买该商品均花费元，已知第一次购买该商品的价格为元/千克，第二次购买该商品的价格为元/千克（是整数，且）．请用作差法比较嘉嘉和琪琪两次所购买商品的平均价格的高低．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)嘉嘉两次购买商品的平均价格高于琪琪两次购买商品的平均价格
【分析】（1）根据分式的基本性质化简，进而求解．
（2）化简，由可得，进而求解．
（3）分别求出嘉嘉与琪琪两次购买商品的平均价格为和，然后通过作差法求解．
【详解】（1）解：原式
，
，
，
则，
，
故答案为：；
（2）解：
，
，
，
．
（3）解：嘉嘉两次购买商品的平均价格为，
琪琪两次购买商品的平均价格为，
，
嘉嘉两次购买商品的平均价格高于琪琪两次购买商品的平均价格．
【点睛】本题考查分式的基本性质，解题关键是掌握分式的基本性质，通过题干方法作差求解．
【变式3】（2023上·河南许昌·八年级校考期中）比较与的大小．
（1）尝试（用“＜”，“＝”或“＞”填空）：
①当时，
②当时，
③当时，
（2）归纳：若a取不为零的任意实数，与有怎样的大小关系？试说明理由．
【答案】（1）①=，②=，③=；（2） ，证明见解析
【分析】（1）①把代入左右两边进行计算即可；②把代入左右两边进行计算即可；③把代入左右两边进行计算即可；
（2）先由（1）归纳出结论，再按照分式的加法与乘法的运算分别计算左右两边，从而可得结论.
【详解】解：（1）①当时，
故答案为：=
②当时，
故答案为：=
③当时，
故答案为：=
（2）由（1）可得： ，理由如下：
左边
右边
所以左边=右边，
故：
【点睛】本题考查的是分式的值，分式的加法与乘法运算，运算的规律探究，掌握“从具体到一般的探究方法，再归纳，再证明”是解本题的关键.
考点9：分式运算应用——规律探究
典例9：（2024上·福建厦门·八年级统考期末）下列各组的两个整式具有共同特征，我们将具有这种特征的两个整式称为“孪生整式”．察下列各组孪生整式：
①，；
②，；
③，；
④，；
⑤，；
根据你观察到的规律，解决下列问题：
(1)写出的孪生整式；
(2)探究整式与是否可能为一组孪生整式．
【答案】(1)；
(2)不可能，原因见解析．
【分析】此题考查了分式和整式的混合运算，找到规律和熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）根据题意得到规律，即可写出的孪生整式；
（2）观察“孪生整式”，可知展开后一次项相同，二次项系数与常数项互换，根据规律得关于m、n的方程组，根据方程组解的情况即可作出判断．
【详解】（1）解：根据题意可得，的孪生整式为，
∴的孪生整式为；
（2）不可能，理由如下：
∵，
观察“孪生整式”，可知展开后一次项相同，二次项系数与常数项互换，
，
若与是“孪生整式”，
比较系数，得： ，
不存在满足此条件的 m、n 的值.
∴这两个整式不可能为一组孪生整式．
【变式1】（2023上·福建·七年级专题练习）观察下列计算
，，，，
(1)第5个式子是 ；第个式子是 ．
(2)从计算结果中找规律，利用规律计算．
(3)计算．
【答案】(1)；
(2)
(3)
【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（1）观察一系列等式得到一般性规律，写出第5个式子与第个式子即可；
（2）原式利用得出的规律化简，计算即可得到结果；
（3）原式变形后，利用得出的规律化简，计算即可得到结果．
【详解】（1）解：第5个式子是；
第个式子是；
故答案为：；；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
．
【变式2】（2023上·山东东营·八年级校考阶段练习）观察下列各式的变化规律，然后解答下列问题：
(1)计算：若n为正整数，猜想___________
(2)计算：
(3)利用上述方法，解决以下问题：如图，将形状大小完全相同的“〇”按照一定的规律（如图所示）摆放，其中图①的“〇”的个数为a1，图②中的“〇”的个数为a2，图③中的“〇”的个数为a3，…以此类推，则的值是 ___________（n为正整数）．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题目所给的运算方法即可解答；
（2）根据题目所给的运算方法即可解答；
（3）由题可知归纳得出，再进行计算即可．
【详解】（1）解：根据题意可得：
故答案为：；
（2）解：
；
（3）解：由题可知，，，，，，…，
∴，
∴
．
【点睛】本题考查了规律探寻和分式的运算，正确找到规律是解题的关键．
【变式3】（2023·安徽六安·统考三模）观察以下等式：
第1个等式：；
第2个等式：，；
第3个等式：；
第4个等式：；
……
根据以上规律，解决下列问题．
(1)写出第5个等式：______﹔
(2)写出你猜想的第个等式：______（用含的等式表示），并证明．
【答案】(1)
(2)，详见解析
【分析】（1）根据等式的规律写出第5个等式．
（2）根据等式的规律写出第个等式，根据分式的加减进行计算，即可证明．
【详解】（1）解：第5个等式：
故答案为：；
（2）第n个等式：；
证明：左
右．
等式成立．
故答案为：．
【点睛】本题考查了数字类规律题，分式的加减，解题的关键是找到规律、熟练掌握分式的加减运算法则．
考点10：分式运算应用——新定义
典例10：（2024上·江西宜春·八年级统考期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“美好分式”，如：，则是“美好分式”．
(1)下列分式中，属于“美好分式”的是______；（只填序号）
①； ②； ③； ④．
(2)将“美好分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式；
(3)判断的结果是否为“美好分式”，并说明理由．
【答案】(1)①③④；
(2)；
(3)是美好分式，理由见解析．
【分析】本题主要考查了分式的混合运算、新定义等知识点，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
（1）根据“美好分式”的意义逐个判断即可；
（2）依先对分子进而变形，然后根据题意化简即可；
（3）首先通过分式的混合运算法则进行化简，然后再依据“美好分式”的定义判断即可．
【详解】（1）解：①由，则①属于“美好分式”；②分式分子的次数低于分母次数，不能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则②不属于“美好分式”； 由，则③属于“美好分式”；④则④属于“美好分式”；
故答案为：①③④；
（2）解：．
（3）解：的化简结果是“美好分式”，理由如下：
∵
，
∴的化简结果是“美好分式”．
【变式1】（2023上·湖南长沙·八年级校考阶段练习）定义：若分式A与分式的差等于它们的积．即，则称分式是分式A的“可存异分式”．如与．因为，．所以是的“可存异分式”．
(1)填空：分式________分式的“可存异分式”（填“是”或“不是”；）
(2)分式的“可存异分式”是________；
(3)已知分式是分式A的“可存异分式”．
①求分式A的表达式；
②若整数使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值；
(4)若关于的分式是关于的分式的“可存异分式”，求的值．
【答案】(1)不是
(2)
(3)①；②分式A的值是1，3，5；
(4)520
【分析】（1）根据“可存异分式”的定义进行判断即可；
（2）设的“可存异分式”为，根据定义得出，利用分式混合运算法则求出N即可；
（3）①根据“可存异分式”的定义列式计算即可；
②根据整除的定义进行求解即可；
（4）设关于的分式的“可存异分式”为M，求出，根据关于的分式是关于的分式的“可存异分式”，得出，求出，代入求值即可．
【详解】（1）解：∵，
，
∴，
∴分式不是分式的“可存异分式”；
故答案为：不是．
（2）解：设的“可存异分式”为，则，
∴，
∴
．
故答案为：．
（3）①∵分式是分式A的“可存异分式”，
∴，
∴，
∴
；
②∵整数使得分式A的值是正整数，，
∴时，，
时，，
时，，
∴分式A的值是1，3，5；
（4）解：设关于的分式的“可存异分式”为M，则：
，
∴
，
∵关于的分式是关于的分式的“可存异分式”，
∴，
整理得：，
解得：，
∴
．
【点睛】本题主要考查了分式混合运算的应用，新定义运算，解方程组，代数式求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算．
【变式2】（2023上·上海奉贤·七年级统考期末）定义：如果分式与分式的和等于它们的积，即，那么就称分式与分式“互为关联分式”，其中分式是分式的“关联分式”．
例如分式与分式 ，因为，，所以，所以分式与分式“互为关联分式”．
(1)请通过计算判断分式与分式是不是“互为关联分式”？
(2)小明在研究“互为关联分式”是发现：
因为，又因为都不为0，
所以，所以，
也就是“互为关联分式”的两个分式，将它们各自分子和分母颠倒位置后相加，和为
请你根据小明发现的“互为关联分式”的这个特征，求分式的“关联分式”．
【答案】(1)不是“互为关联分式”
(2)
【分析】本题主要考查了新定义下的分式运算，分式的加减计算，分式的乘法，
（1）根据关联分式的定义判断即可；
（2）根据“互为关联分式”的特征，假设其“关联分式”通过分式的运算即可求得答案．
【详解】（1）解：
．
．
所以．
所以分式与分式不是“互为关联分式”．
（2）设分式的“关联分式”为．
那么．所以．
所以．
即分式的“关联分式”为．
【变式3】（2023上·湖南株洲·八年级校联考期中）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；，这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式(即：整式与真分式的和的形式)．
如：，；
解决下列问题：
(1)分式是________分式(填“真”或“假”)；
(2)将假分式化为带分式；
(3)如果为整数，分式的值为整数，求所有符合条件的的值．
【答案】(1)真
(2)
(3)或或11或
【分析】（1）利用假分式的定义解答即可；
（2）利用题干中的方法化简运算即可；
（3）利用整数和整除的意义讨论解答即可．
【详解】（1）解：由题意得：分式是真分式，
故答案为：真；
（2）
；
（3）原式
由于分式的值为整数，故或，
或-3或11或，
是整数，
或或11或．
【点睛】本题主要考查了分式的定义，分式的值，分式的运算，本题是阅读型题目，连接题干中的新定义并熟练应用是解题的关键．
同步一遍过
一、单选题
1．（2023上·八年级课时练习）计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先利用平方差公式变形，再约分即可得出答案．
【详解】解：原式．
故选D．
【点睛】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
2．（2022上·广西贵港·八年级统考期中）下列计算一定正确的是（ ）
A．+ B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据分式的加法，分式的乘方，负整数指数幂，同底数幂乘法等计算法则求解判断即可．
【详解】解；A、，计算正确，符合题意；
B、，计算错误，不符合题意；
C、，计算错误，不符合题意；
D、，计算错误，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题主要考查了分式的加法，分式的乘方，负整数指数幂，同底数幂乘法，熟知相关计算法则是解题的关键．
3．（2023上·八年级课时练习）与分式的乘积等于的分式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】直接用除以得到的结果即为所求．
【详解】解：，
故选B．
【点睛】本题主要考查了分式的除法，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则进行求解．
4．（2022上·湖南益阳·八年级统考期末）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先把负整数指数幂转化为正整数指数幂的形式，然后进行分式的乘法即可．
【详解】解：原式==，
故答案为A．
【点睛】本题考查负整数指数幂的性质以及分式的乘法，注意 ．
5．（2022上·贵州遵义·八年级统考期末）若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据分式的运算、完全平方公式的变形即可求解．
【详解】解：∵，
∴，即，
∴，
．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是熟知完全平方公式的变形应用．
6．（2022上·湖南怀化·七年级校考阶段练习）若：，，，则：代数式的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先根据题意，联立方程组，得出，用字母表示出、的值，然后把、的值代入代数式，计算即可得出结果．
【详解】解：∵，，
∴，
由，可得：，
把代入，可得：，
又∵，
∴
．
故选：D
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法、分式的化简求值，解本题的关键在根据已知二元一次方程组进行消元，将分式中的三个未知数化成只含一个未知数的式子表示．
7．（2023上·八年级单元测试）化简的结果是（ ）
A．1 B． C． D．－1
【答案】C
【分析】将原式括号中的两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，然后利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分后即可得到最简结果．
【详解】
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的化简混合运算，分式的加减运算关键是通分，同时注意最后结果必须为最简分式．
8．（2023下·陕西汉中·七年级校考阶段练习）已知：则a，b，c大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分别按照负整数指数幂、乘方以及零指数幂的运算法则先运算，再比较大小即可．
【详解】，
，
，
∵，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了负整数指数幂、乘方以及零指数幂的运算．负整数指数为正整数指数的倒数；任何非0数的0次幂等于1．
9．（2023·河北邢台·邢台三中校考一模）若的计算结果为正整数，则对值的描述最准确的是（ ）
A．为自然数 B．为大于的偶数 C．为大于的奇数 D．为正整数
【答案】C
【分析】根据分式的乘除运算法则即可求出答案．
【详解】解：原式
，
由于是正整数，
∴是大于的奇数．
故选：C．
【点睛】本题考查分式的乘除运算，解题的关键是熟练运用分式的乘除运算法则，本题属于基础题型．
10．（2023下·福建泉州·八年级校联考期中）已知方程，计算（ ）
A．8 B．14 C．16 D．32
【答案】C
【分析】利用平方差公式，将方程左边分步通分，进而得到，再求解 ，进而求解即可．
【详解】解：
，
∴，即，
∴，
∵
，
∴
，
故选：C．
【点睛】本题考查分式的化简、代数式求值，灵活运用平方差公式，将分式分步通分求解是解答的关键．
二、填空题
11．（2023下·福建泉州·八年级统考期末）计算： ．
【答案】1
【分析】直接进行分式的加减即可.
【详解】解：原式．
故答案为1．
【点睛】本题考查了分式的加减.
12．（2023下·浙江·七年级期中）已知，则 ．
【答案】-3
【分析】根据得到，将变形为，整体代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴
=
=
=
=-3，
故答案为：-3．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是根据已知等式，利用整体代入的思想求解．
13．（2023上·北京延庆·八年级统考期中）计算： ．
【答案】
【分析】根据异分母的分式加法运算法则求解即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
【点睛】本题考查异分母的分式加法，熟练掌握异分母的分式加法的运算法则是解答的关键．
14．（2023上·湖南永州·八年级统考阶段练习）若，则分式的值为 ．
【答案】5
【分析】根据，可得，再代入求值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：5．
【点睛】本题考查分式的化简求值，根据分式的性质把变形得出是解题的关键．
15．（2022上·八年级课时练习）已知，则的值为 .
【答案】
【分析】将两边平方求出，进一步可得，即可求出．
【详解】解：∵，∴，即，
∴
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查分式加减运算，平方根，算术平方根，解题的关键是掌握运算法则．
16．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）计算：的值为 ．
【答案】
【分析】原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果．
【详解】原式=
=
=﹣
=，
故答案为：．
【点睛】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
三、解答题
17．（2023下·吉林长春·八年级校考阶段练习）已知，试说明在右边代数式有意义的条件下，不论为何值，的值不变．
【答案】见解析
【分析】根据分式的除法和加减法可以化简题目中等号右边的式子，然后观察结果即可说明在右边代数式有意义的条件下，不论为何值，y的值不变．
【详解】
，
∴在有意义的条件下，不论为何值，的值不变．
【点睛】本题主要考查了分式的混合运算、分式有意义的条件，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
18．（2023·湖南·长沙市长郡双语实验中学校考一模）先化简，再求值：，其中，．
【答案】
【分析】首先根据分式的加法运算法则化简，然后代入求值即可．
【详解】解：原式
当，时，原式．
【点睛】此题考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的化简求值．
19．（2023下·山东青岛·八年级山东省青岛实验初级中学校考期末）甲、乙两人同时从A地沿同一路线走到B地．甲有一半路程以速度a行走，另一半路程以速度b行走；乙有一半的时间以速度a行走，另一半时间以速度b行走．若甲、乙两人从A地到B地所走的路程都为单位“1”，且．
(1)试用含a、b的式子分别表示甲、乙两人从A地到B地所用的时间和；
(2)请问甲、乙两人谁先到达B地？并说明理由．
【答案】(1)，
(2)乙先到达B地，理由见解析
【分析】（1）根据时间=路程÷速度，甲有一半路程以速度a行走，另一半路程以速度b行走，可表示出；根据路程=速度×时间，乙有一半的时间以速度a行走，另一半时间以速度b行走，可得，即可表示出．
（2）用作差法比较与的大小即可求解．
【详解】（1）解：，
∵，
∴．
（2）解：∵
又，a、b为正数，
∴ ，
∴，
∴
即
∴乙先到达B地．
【点睛】本题考查列代数式，分式值的大小比较，分式加减运算，熟练掌握分式值的大小比较方法和分式加减运算法则是解题的关键．
20．（2023下·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考期中）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据整式的混合运算法则计算即可；
（2）先将分子分母因式分解，除法改写为乘法，括号里面通分计算，再根据分式混合运算的运算法则和运算顺序进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，分式的混合运算，解题的关键是掌握整式的混合运算顺序和运算法则，分式的混合运算顺序和运算法则．
21．（2022·辽宁锦州·统考二模）先化简，再求值：，其中．
【答案】；-2
【分析】直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则计算得出答案．
【详解】原式
．
当时，原式＝＝－2
【点睛】此题主要考查了分式的化简求值，正确化简分式是解题关键．
22．（2023下·浙江·七年级专题练习）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答；
（2）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答．
【详解】（1）
＝；
（2）
＝．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
23．（2023下·八年级课时练习）先化简，然后从，0，1，3中选一个合适的数作为a的值代入求值．
【答案】2a-6，当a=0时，原式=-6；当a=1时，原式=-4．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再根据分式有意义的条件确定a的值，继而代入计算可得答案．
【详解】
=
=
=
=
=2a-6，
∵a≠3且a≠-1，
∴a=0，a=1，
当a=0时，原式=2×0-6=-6；
当a=1时，原式=2×1-6=-4．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
24．（2023上·浙江·八年级统考期中）我们在分析解决某些问题时，经常会比较两个两个数或代数式的大小．而解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一.所谓“作差法”，就是通过作差、变形，并利用差的符号来确定它们的大小，若要比较代数式M、N的大小，只要作出它们的差，若，则；若，则.
（1）已知小丽和小颖购买同一种商品的平均价格分别为元/千克、元/千克（a、b是正数且），试比较小丽和小颖所购商品的平均价格的高低；
（2）已知多项式，，试比较M与N的大小；
（3）试比较图1、图2两个矩形的周长、的大小.
【答案】（1）小丽所购商品的平均价格比小颖的高；（2）M＞N；（3）见解析.
【分析】（1）利用作差法列出式子并化简，结合题中条件比较与0的大小即可；
（2）利用作差法列出式子并计算，然后根据完全平方公式变形求出结果大于0，问题得解；
（3）根据矩形周长公式求出和，利用作差法列出式子并化简，然后分情况讨论，比较、的大小即可.
【详解】解：（1），
∵a、b是正数且，
∴，即，
∴小丽所购商品的平均价格比小颖的高；
（2）∵，
∴M＞N；
（3）由题意得：，，
∴，
①当b＞c时，2（b c）＞0，即，
∴；
②当b＝c时，2（b c）＝0，即，
∴；
③当b＜c时，2（b c）＜0，即，
∴.
【点睛】本题探索了比较两个数或代数式的大小时常采用的“作差法”，读懂方法，熟练运用整式运算法则以及分式运算法则进行化简是解答本题的关键．
25．（2023·河北·统考中考真题）在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点移动到点称为一次甲方式：从点移动到点称为一次乙方式．
例、点P从原点O出发连续移动2次；若都按甲方式，最终移动到点；若都按乙方式，最终移动到点；若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点．
(1)设直线经过上例中的点，求的解析式；并直接写出将向上平移9个单位长度得到的直线的解析式；
(2)点P从原点O出发连续移动10次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点．其中，按甲方式移动了m次．
①用含m的式子分别表示；
②请说明：无论m怎样变化，点Q都在一条确定的直线上．设这条直线为，在图中直接画出的图象；
(3)在（1）和（2）中的直线上分别有一个动点，横坐标依次为，若A，B，C三点始终在一条直线上，直接写出此时a，b，c之间的关系式．
【答案】(1)的解析式为；的解析式为；
(2)①；②的解析式为，图象见解析；
(3)
【分析】（1）根据待定系数法即可求出的解析式，然后根据直线平移的规律：上加下减即可求出直线的解析式；
（2）①根据题意可得：点P按照甲方式移动m次后得到的点的坐标为，再得出点按照乙方式移动次后得到的点的横坐标和纵坐标，即得结果；
②由①的结果可得直线的解析式，进而可画出函数图象；
（3）先根据题意得出点A，B，C的坐标，然后利用待定系数法求出直线的解析式，再把点C的坐标代入整理即可得出结果．
【详解】（1）设的解析式为，把、代入，得
，解得：，
∴的解析式为；
将向上平移9个单位长度得到的直线的解析式为；
（2）①∵点P按照甲方式移动了m次，点P从原点O出发连续移动10次，
∴点P按照乙方式移动了次，
∴点P按照甲方式移动m次后得到的点的坐标为；
∴点按照乙方式移动次后得到的点的横坐标为，纵坐标为，
∴；
②由于，
∴直线的解析式为；
函数图象如图所示：
（3）∵点的横坐标依次为，且分别在直线上，
∴，
设直线的解析式为，
把A、B两点坐标代入，得
，解得：，
∴直线的解析式为，
∵A，B，C三点始终在一条直线上，
∴，
整理得：；
即a，b，c之间的关系式为：．
【点睛】本题是一次函数和平移综合题，主要考查了平移的性质和一次函数的相关知识，正确理解题意、熟练掌握平移的性质和待定系数法求一次函数的解析式是解题关键．
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专题02 分式运算
考点类型
知识一遍过
（一）分数的乘除法法则
分式的乘除法法则：
用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。式子表示为：
分式除以分式：除以一个数等于乘于这个数的倒数。式子表示为
（二）分数的乘方
分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子
注意：
①分式乘方要把分子、分母分别乘方。
②分式乘方时，要首先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负。
（三）分式加减法法则
同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为
异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。式子表示为
考点一遍过
考点1：分式乘除法运算
典例1：（2023下·全国·八年级假期作业）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023上·贵州铜仁·八年级校考阶段练习）下列分式运算中，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023上·湖北恩施·八年级统考期末）若计算的结果为整式，则“□”中的式子可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2023上·山东东营·八年级校考阶段练习）下列化简结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
考点2：分式的乘方运算
典例2：（2024上·河南信阳·八年级统考期末）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023上·山东聊城·八年级统考期中）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2023上·八年级课时练习）下列各式：①；②；③；④．其中计算结果相等的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．③④
【变式3】（2022上·八年级单元测试）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
考点3：含乘方的分式乘除混合运算
典例3：（2024上·山东烟台·八年级统考期末）计算：
(1)；
(2)．
【变式1】（2023上·八年级课时练习）计算：
(1)；
(2)．
【变式2】（2023上·八年级课时练习）计算：
(1)；
(2)．
【变式3】（2023上·八年级课时练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
考点4：同分母相加减
典例4：（2024上·山东泰安·八年级统考期末）化简的结果是( )
A． B． C． D．
【变式1】（2024上·天津红桥·八年级统考期末）计算的结果是（ ）
A．1 B． C． D．
【变式2】（2023上·广西桂林·八年级校考期中）计算的结果是（ ）
A． B．1 C． D．
【变式3】（2023上·河北沧州·八年级校考期中）化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
考点5：最简公分母与通分
典例5：（2023上·湖北孝感·八年级统考期末）分式，，的最简公分母是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023上·广东肇庆·八年级四会市四会中学校考期末）分式与的最简公分母是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2023上·八年级课时练习）对分式通分后，的结果是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】（2023上·河北邢台·八年级校考期中）若将分式与分式通分后，分式的分母变为，则分式的分子应变为（ ）
A． B． C． D．
考点6：异分母相加减
典例6：（2024上·河南新乡·八年级统考期末）计算的结果是（ ）
A．3 B． C．2 D．
【变式1】（2023上·山东淄博·八年级校考阶段练习）计算的正确结果是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023上·全国·八年级假期作业）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2023上·山东菏泽·八年级统考期中）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
考点7：分式化简求值
典例7：（2024上·山东烟台·八年级统考期末）先化简，再求值：，其中能使关于的二次三项式是完全平方式．
【变式1】（2024上·河南安阳·八年级统考期末）先化简，再求值：其中x从1，2，3三个数中任取一个求值．
【变式2】（2024上·河南信阳·八年级统考期末）先化简：，然后从，，2，3中选一个你认为合适的x的值代入求值．
【变式3】（2024上·广西北海·八年级统考期末）先化简，再求值：，从，中选取一个合适的数作为的值代入求值．
考点8：分式运算应用——比较大小
典例8：（2023下·浙江嘉兴·九年级校考阶段练习）比较与的大小（其中，且）．
(1)尝试（用“<”，“=”或“>”填空）：
①当，时， ；
②当，时， ；
(2)归纳：与有怎样的大小关系？试说明理由．
【变式1】（2023上·湖南长沙·八年级校联考期末）由完全平方差公式可知，，而，所以，对所有的实数都有：，且只有当时，才有等号成立：．
应用上面的结论解答下列问题：
(1)计算 ，由此可知 （填不等号）；
(2)已知为不相等的两正数，试比较：与的大小；
(3)试求分式的最大值．
【变式2】（2023上·河北沧州·八年级校考阶段练习）【阅读理解】我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一，“作差法”：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式，的大小，只要作出差，若，则；若，则；若，则．
【解决问题】
(1)若，试判断： ______（填“”，“”或“”）；
(2)已知，，当时，试比较与的大小，并说明理由；
(3)嘉嘉和琪琪两次购物均买了同一种商品，嘉嘉两次都买了千克该商品，琪琪两次购买该商品均花费元，已知第一次购买该商品的价格为元/千克，第二次购买该商品的价格为元/千克（是整数，且）．请用作差法比较嘉嘉和琪琪两次所购买商品的平均价格的高低．
【变式3】（2023上·河南许昌·八年级校考期中）比较与的大小．
（1）尝试（用“＜”，“＝”或“＞”填空）：
①当时，
②当时，
③当时，
（2）归纳：若a取不为零的任意实数，与有怎样的大小关系？试说明理由．
考点9：分式运算应用——规律探究
典例9：（2024上·福建厦门·八年级统考期末）下列各组的两个整式具有共同特征，我们将具有这种特征的两个整式称为“孪生整式”．察下列各组孪生整式：
①，；
②，；
③，；
④，；
⑤，；
根据你观察到的规律，解决下列问题：
(1)写出的孪生整式；
(2)探究整式与是否可能为一组孪生整式．
【变式1】（2023上·福建·七年级专题练习）观察下列计算
，，，，
(1)第5个式子是 ；第个式子是 ．
(2)从计算结果中找规律，利用规律计算．
(3)计算．
【变式2】（2023上·山东东营·八年级校考阶段练习）观察下列各式的变化规律，然后解答下列问题：
(1)计算：若n为正整数，猜想___________
(2)计算：
(3)利用上述方法，解决以下问题：如图，将形状大小完全相同的“〇”按照一定的规律（如图所示）摆放，其中图①的“〇”的个数为a1，图②中的“〇”的个数为a2，图③中的“〇”的个数为a3，…以此类推，则的值是 ___________（n为正整数）．
【变式3】（2023·安徽六安·统考三模）观察以下等式：
第1个等式：；
第2个等式：，；
第3个等式：；
第4个等式：；
……
根据以上规律，解决下列问题．
(1)写出第5个等式：______﹔
(2)写出你猜想的第个等式：______（用含的等式表示），并证明．
考点10：分式运算应用——新定义
典例10：（2024上·江西宜春·八年级统考期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“美好分式”，如：，则是“美好分式”．
(1)下列分式中，属于“美好分式”的是______；（只填序号）
①； ②； ③； ④．
(2)将“美好分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式；
(3)判断的结果是否为“美好分式”，并说明理由．
【变式1】（2023上·湖南长沙·八年级校考阶段练习）定义：若分式A与分式的差等于它们的积．即，则称分式是分式A的“可存异分式”．如与．因为，．所以是的“可存异分式”．
(1)填空：分式________分式的“可存异分式”（填“是”或“不是”；）
(2)分式的“可存异分式”是________；
(3)已知分式是分式A的“可存异分式”．
①求分式A的表达式；
②若整数使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值；
(4)若关于的分式是关于的分式的“可存异分式”，求的值．
【变式2】（2023上·上海奉贤·七年级统考期末）定义：如果分式与分式的和等于它们的积，即，那么就称分式与分式“互为关联分式”，其中分式是分式的“关联分式”．
例如分式与分式 ，因为，，所以，所以分式与分式“互为关联分式”．
(1)请通过计算判断分式与分式是不是“互为关联分式”？
(2)小明在研究“互为关联分式”是发现：
因为，又因为都不为0，
所以，所以，
也就是“互为关联分式”的两个分式，将它们各自分子和分母颠倒位置后相加，和为
请你根据小明发现的“互为关联分式”的这个特征，求分式的“关联分式”．
【变式3】（2023上·湖南株洲·八年级校联考期中）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；，这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式(即：整式与真分式的和的形式)．
如：，；
解决下列问题：
(1)分式是________分式(填“真”或“假”)；
(2)将假分式化为带分式；
(3)如果为整数，分式的值为整数，求所有符合条件的的值．
同步一遍过
一、单选题
1．（2023上·八年级课时练习）计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022上·广西贵港·八年级统考期中）下列计算一定正确的是（ ）
A．+ B．
C． D．
3．（2023上·八年级课时练习）与分式的乘积等于的分式是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022上·湖南益阳·八年级统考期末）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022上·贵州遵义·八年级统考期末）若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022上·湖南怀化·七年级校考阶段练习）若：，，，则：代数式的值等于（ ）
A． B． C． D．
7．（2023上·八年级单元测试）化简的结果是（ ）
A．1 B． C． D．－1
8．（2023下·陕西汉中·七年级校考阶段练习）已知：则a，b，c大小关系是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·河北邢台·邢台三中校考一模）若的计算结果为正整数，则对值的描述最准确的是（ ）
A．为自然数 B．为大于的偶数 C．为大于的奇数 D．为正整数
10．（2023下·福建泉州·八年级校联考期中）已知方程，计算（ ）
A．8 B．14 C．16 D．32
二、填空题
11．（2023下·福建泉州·八年级统考期末）计算： ．
12．（2023下·浙江·七年级期中）已知，则 ．
13．（2023上·北京延庆·八年级统考期中）计算： ．
14．（2023上·湖南永州·八年级统考阶段练习）若，则分式的值为 ．
15．（2022上·八年级课时练习）已知，则的值为 .
16．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）计算：的值为 ．
三、解答题
17．（2023下·吉林长春·八年级校考阶段练习）已知，试说明在右边代数式有意义的条件下，不论为何值，的值不变．
18．（2023·湖南·长沙市长郡双语实验中学校考一模）先化简，再求值：，其中，．
19．（2023下·山东青岛·八年级山东省青岛实验初级中学校考期末）甲、乙两人同时从A地沿同一路线走到B地．甲有一半路程以速度a行走，另一半路程以速度b行走；乙有一半的时间以速度a行走，另一半时间以速度b行走．若甲、乙两人从A地到B地所走的路程都为单位“1”，且．
(1)试用含a、b的式子分别表示甲、乙两人从A地到B地所用的时间和；
(2)请问甲、乙两人谁先到达B地？并说明理由．
20．（2023下·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考期中）计算：
(1)
(2)
21．（2022·辽宁锦州·统考二模）先化简，再求值：，其中．
22．（2023下·浙江·七年级专题练习）计算：
(1)；
(2)．
23．（2023下·八年级课时练习）先化简，然后从，0，1，3中选一个合适的数作为a的值代入求值．
24．（2023上·浙江·八年级统考期中）我们在分析解决某些问题时，经常会比较两个两个数或代数式的大小．而解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一.所谓“作差法”，就是通过作差、变形，并利用差的符号来确定它们的大小，若要比较代数式M、N的大小，只要作出它们的差，若，则；若，则.
（1）已知小丽和小颖购买同一种商品的平均价格分别为元/千克、元/千克（a、b是正数且），试比较小丽和小颖所购商品的平均价格的高低；
（2）已知多项式，，试比较M与N的大小；
（3）试比较图1、图2两个矩形的周长、的大小.
25．（2023·河北·统考中考真题）在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点移动到点称为一次甲方式：从点移动到点称为一次乙方式．
例、点P从原点O出发连续移动2次；若都按甲方式，最终移动到点；若都按乙方式，最终移动到点；若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点．
(1)设直线经过上例中的点，求的解析式；并直接写出将向上平移9个单位长度得到的直线的解析式；
(2)点P从原点O出发连续移动10次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点．其中，按甲方式移动了m次．
①用含m的式子分别表示；
②请说明：无论m怎样变化，点Q都在一条确定的直线上．设这条直线为，在图中直接画出的图象；
(3)在（1）和（2）中的直线上分别有一个动点，横坐标依次为，若A，B，C三点始终在一条直线上，直接写出此时a，b，c之间的关系式．
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