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专题03 分式方程及应用
考点类型
知识一遍过
（一）分式方程
（1）解分式方程的基本步骤
①去分母(两边同乘最简公分母，约去分母，化成整式方程)。
②解整式方程(去括号-移项/合并同类项-系数化为1)。
③检验(把整式方程的解代入最简公分母，
若最简公分母为0 ，则x=a不是分式方程的解
若最简公分母不为0，则x=a是分式方程的解
④写出答案
（2）增根的概念：在分式方程化为整式方程的过程时，若整式方程的根使最简公分母为0（即根使整式方程成立，但分式方程中分母为0 ），那么这个根叫做原分式方程的增根。
（二）分式方程应用
分式方程解决实际问题的步骤：
① 根据题意找等量关系
② 设未知数
③列出方程
④解方程，并验根（对解分式方程尤为重要）
⑤ 写答案
考点一遍过
考点1：分式方程定义
典例1：（2024上·河北石家庄·八年级统考阶段练习）下列是关于x的分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．
【详解】解：A、分母中不含未知数，不是分式方程，不符合题意；
B、分母中不含未知数，不是分式方程，不符合题意；
C、分母中不含未知数，不是分式方程，不符合题意；
D、分母中含未知数，是分式方程，符合题意；
故选：D．
【变式1】（2023上·八年级课时练习）下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，是关于x的分式方程有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据分母中含有未知数的方程叫做分式方程，判断即可．
【详解】解：①分母中不含有未知数，是整式方程；
②分母中含有未知数，故是分式方程；
③不是等式，故不是方程；
④分母中含有未知数，故是分式方程．
⑤分母中不含有未知数，故不是分式方程；
⑥分母中不含有未知数，故不是分式方程；
综上所述：分式方程有②④，共2个，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键．
【变式2】（2023下·辽宁沈阳·八年级统考期中）在①，②，③，④中，其中关于的分式方程的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】直接根据分母中含有未知数的方程叫做分式方程进行判断即可得到答案．
【详解】解：①，是分式，不是分式方程，故①错误，不符合题意；
②是关于的分式方程，故②错误，不符合题意；
③，是一元一次方程，不是分式方程，故③错误，不符合题意；
④，是关于的分式方程，故④正确，符合题意；
关于的分式方程的个数为1个，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分母中含有未知数的方程叫做分式方程是解题的关键．
【变式3】（2023下·浙江·七年级专题练习）下列方程：①；②；③；④．其中分式方程有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据分母中含有未知数的方程叫做分式方程，判断即可．
【详解】解：①分母中含有未知数，故是分式方程；
②分母中不含有未知数，故是整式方程；
③分母中含有未知数，故是分式方程；
④分母中含有未知数，故是分式方程．
故选：C．
【点睛】本题考查了分式方程，熟练掌握定义是解题的关键．
考点2：列分式方程
典例2：（2024上·山东烟台·八年级统考期末）甲、乙两地相距240千米，高铁开通运营后，在两地间行驶的平均车速提高了，时间比原来缩短了70分钟．设原来的平均车速为千米/小时，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
根据告诉公路开通前后长途客车平均车速间的关系，可得出新修的高速公路开通后的平均速度为千米/小时，利用时间＝路程÷速度，结合新修的高速公路开通后时间比原来缩短了70分钟，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【详解】解：∵高铁开通运营后，在两地间行驶的长途客车平均车速提高了，且原来的平均车速为x千米/小时，
∴高铁开通运营后的平均速度为千米/小时．
根据题意得：，
即．
故选：A．
【变式1】（2023·北京西城·八年级校联考期末）小东一家自驾车去某地旅行，手机导航系统推荐了两条线路，线路一全程，线路二全程，汽车在线路二上行驶的平均时速是线路一上车速的倍，线路二的用时预计比线路一用时少半小时，如果设汽车在线路一上行驶的平均速度为，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，设汽车在线路一上行驶的平均速度为，则在线路二上行驶的平均速度为 ，根据线路二的用时预计比线路一用时少半小时，列方程即可．
【详解】设汽车在线路一上行驶的平均速度为，则在线路二上行驶的平均速度为 ，
由题意得：，
故选：A．
【变式2】（2024上·浙江台州·八年级统考期末）为缅怀革命先烈，传承红色精神，某校八年级师生在清明节期间前往距离学校的烈士陵园扫墓．一部分师生骑自行车先走，过了后，其余师生乘汽车出发，结果他们同时达到．已知汽车的速度是骑车速度的3倍，设骑车的速度为，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，理解题意、找到等量关系成为解题的关键．
由汽车及骑车师生速度间的关系可得出汽车的速度为，再利用“时间、路程、速度”的关系以及等量关系“他们同时达到”列出关于x的分式方程即可．
【详解】解：∵汽车的速度是骑车师生速度的3倍，且骑车师生的速度为，
∴汽车的速度为，
根据题意得：．
故选：B．
【变式3】（2024·全国·八年级竞赛）某服装店用4.5万元购进某种品牌的服装，由于销售状况良好，服装店又调拨11万元资金购进该种服装，但这次的单价比第一次的单价贵20元，购进服装的数量比第一次的2倍还多50件，求该服装第一次的单价．为解决此问题，设该服装第一次的单价为元，根据题意列出方程，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了分式方程的实际应用，设该服装第一次的单价为元，表示第二次的单价，再分别表示两次购买的数量，根据购进服装的数量比第一次的2倍还多50件列方程即可．
【详解】解：该服装第一次的单价为元，则第二次的进价为元，由题意，得
故选：B
考点3：解分式方程
典例3：（2024上·河南安阳·八年级统考期末）解方程：
【答案】无解
【分析】本题考查的是解分式方程，掌握分式方程的解法是解题关键．依次去分母、去括号、移项合并、系数化1，检验后即可得解．
【详解】解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
系数化为1得：，
检验：把代入得：，
是原方程的增根，
原方程无解．
【变式1】（2024上·山东聊城·八年级统考期末）解分式方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)无解
【分析】本题考查了分式方程的求解，将分式方程化为整式方程，求解后进行检验即可．
（1）方程两边同时乘以即可求解；
（2）方程两边同时乘以即可求解；
【详解】（1）解：方程两边同时乘以得：
，
解得：
经检验：当时，
∴是原方程的解；
（2）解：方程两边同时乘以得：
，
解得：
经检验：当时，
∴是增根，原分式方程无解．
【变式2】（2024上·河南商丘·八年级统考期末）解分式方程
(1)
(2)
【答案】(1)无解
(2)
【分析】本题考查了解分式方程，
（1）方程两边同乘以，化为整式方程进行求解，然后进行检验，即可求解；
（2）方程两边同乘以，化为整式方程进行求解，然后进行检验，即可求解；
掌握解题步骤，检验根的正确性是解题的关键．
【详解】（1）解：方程两边同时乘以得：
，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的增根，
故原方程无解．
（2）方程两边同时乘以得：
，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的根．
【变式3】（2024上·山东聊城·八年级统考期末）解分式方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)无解
【分析】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程时注意要检验．
（1）两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，再检验即可；
（2）两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，再检验即可．
【详解】（1）解：
，
解得，
经检验是分式方程的解
（2）解：
，
解得：，
经检验是增根，分式方程无解．
∴原方程无解
考点4：根据方程解的情况——求字母
典例4：（2024上·河南新乡·八年级统考期末）已知关于y的方程的解为，则实数k的值为（ ）
A． B．3 C． D．2
【答案】D
【分析】本题考查分式方程的解．根据分式方程解的定义，将方程的根代入方程中求解易得出k的值．
【详解】解：∵关于y的方程的解为，
∴，
即，
解得．
故选：D．
【变式1】（2024上·四川绵阳·八年级统考期末）如果4是关于x的分式方程的解，则a等于（ ）
A． B． C．1 D．3
【答案】C
【分析】本题考查方程的解，根据方程的解的定义，把代入原方程，原方程左右两边相等，从而原方程转化为含有a的新方程，解此新方程可以求得a的值．
【详解】解：把代入原方程，
得：，
解得．
故选：C．
【变式2】（2024上·湖南常德·八年级校联考期末）已知关于的分式方程的解为，则的值为（ ）
A．4 B．3 C．0 D．
【答案】D
【分析】本题考查了分式方程的解，通过已知分式方程的解求未知数的知识．解题的关键是将x的值回代到原方程．将回代到方程中即可求出a值．
【详解】解：将代入方程，
得：，
解得，
故选：D．
【变式3】（2023上·山东东营·八年级校考期中）若方程的根为，则m的值是（ ）
A．0 B．3 C． D．1
【答案】C
【分析】此题考查了分式方程的解，将代入即可求解，解题的关键是熟练掌握分式方程的解的概念．
【详解】∵方程的根为，
∴将代入得，
解得．
故选：C．
考点5：分式方程增根
典例5：（2024上·安徽黄山·八年级统考期末）若关于的方程有增根，则的值为（ ）
A．3 B．1 C．0 D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了分式方程的增根．熟练掌握增根的特征，是解决问题的关键．
去分母把分式方程化为整式方程，根据分式方程的增根使分式方程的分母为0，求出增根代入整式方程求解即可．
【详解】方程两边都乘，
得，，
∵关于的方程有增根，
∴，
解得，，
∴，
解得，．
故选：D．
【变式1】（2024上·陕西安康·八年级统考期末）若关于的方程无解，则（ ）
A． B． C．5 D．
【答案】A
【分析】本题考查了分式方程无解问题，掌握分式方程无解即最简公分母为0是解题关键．由题意可知，再将代入，求出的值即可．
【详解】解：方程去分母得：，
方程无解，
，
将代入，得：，
解得：，
故选：A．
【变式2】（2023上·全国·八年级专题练习）若方程有增根，则它的增根是（ ）
A．0 B．1 C． D．1和
【答案】B
【分析】本题主要考查了分式方程的增根问题，解题的关键是求出使方程产生的增根可能为或，然后再进行验证即可．
【详解】解：，
方程两边都乘，得：
，
由最简公分母，可知增根可能是或，
当时，，
当时，得到，这是不可能的，
所以增根只能是．
故选：B．
【变式3】（2023上·山东聊城·八年级校联考阶段练习）若关于的方程无解,则的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】本题考查解分式方程的解,分式方程无解即最简公分母为分式方程去分母转化为整式方程,由分式方程无解确定出的值,代入整式方程计算即可求出的值．
【详解】解:∵无解,
∴去分母得:,解得,
∵当时,即,方程无解;
∵由分式方程无解,得,解得:,
∴把代入整式方程得:,解得:,
∴方程无解则的值为或．
故选:D．
考点6：分式方程实际应用——行程问题
典例6：（2022上·云南昆明·八年级统考期末）2020年3月，象群共计16头从西双版纳州进入普洱市，一路“象”北．当地政府组成大象护卫队，全程跟踪象群迁移轨迹，全景式记录大象“出走”经过．护卫队分成甲、乙两组，甲组行程120km和乙组行程80km所用时间相等，已知甲组的速度比乙组速度每小时快3km，求甲、乙两组的速度．
【答案】甲组的速度为9km/h，乙组的速度为6km/h．
【分析】设乙组的速度为xkm/h，则甲组的速度为（x+3）km/h，根据题意可列出关于x的分式方程，解出方程并检验，即可得出结果．
【详解】解：设乙组的速度为xkm/h，则甲组的速度为（x+3）km/h，
依题意列方程得：
解得x=6
经检验，x=6是方程的解
∴x+3=6+3=9（km/h）
答：甲组的速度为9km/h，乙组的速度为6km/h．
【点睛】本题考查分式方程的实际应用．根据题意找出数量关系列出方程是解答本题的关键．
【变式1】（2024上·山东临沂·八年级统考期末）下面是学习分式方程的应用时，老师板书的问题和甲、乙两名同学列的方程．
小丽家到学校的路程是，小丽从家去学校需要先乘公交车，下车后再走才能到学校，所用总时间是．已知公交车的速度是小丽步行速度的9倍，求公交车的速度和小丽的步行速度．（忽略公交车停车的时间和等车的时间）
甲：；乙：．
根据以上信息，解答下列问题．
(1)甲同学所列方程中的表示______；乙同学所列方程中的表示______；
(2)请你从两个方程中任选一个，解方程并回答老师提出的问题．
【答案】(1)小丽步行的速度，小丽步行所用时间
(2)公交车的速度是，小丽的步行速度是
【分析】本题考查了分式方程的应用，根据各数量之间的关系及甲、乙所列方程，找出未知数，的含义是解题的关键．
（1）根据公交车的速度与小丽步行速度间的关系，结合甲所列的方程，可得出甲同学所列方程中的表示小丽步行的速度；根据小丽从家去学校所用总时间是及步行的路程为，结合乙所列的方程，即可得出乙同学所列方程中的表示小丽步行所用时间；
（2）选择甲同学所列的方程，解之经检验后可得出小丽步行的速度，将其代入中，即可求出公交车的速度；选择乙同学所列的方程，解之经检验后可得出小丽步行所用时间，将其分别代入及中，即可求出小丽步行的速度及公交车的速度．
【详解】（1）解： 公交车的速度是小丽步行速度的9倍，
甲同学所列方程中的表示小丽步行的速度；
小丽从家去学校所用总时间是，且步行的路程为，
乙同学所列方程中的表示小丽步行所用时间．
故答案为：小丽步行的速度，小丽步行所用时间；
（2）解：选择甲同学所列的方程，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：公交车的速度是，小丽的步行速度是．
选择乙同学所列的方程，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，．
答：公交车的速度是，小丽的步行速度是．
【变式2】（2023上·湖北武汉·八年级统考期末）甲、乙两地相距，一辆汽车从甲地开往乙地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的倍匀速行驶，并比原计划提前到达乙地，设前一小时行驶的速度为．
(1)提速后走完剩余路程的时间为________（用含x的式子表示）；
(2)求汽车前一小时的行驶速度；
(3)当汽车以的速度原路返回时，同时有一辆货车以（）的速度从甲地开往乙地，两车相遇时汽车比货车多行驶多少千米？（结果用含a的式子表示）
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了分式方程的应用：
（1）用剩余的路程除以提速后的速度，即可求解；
（2）根据原计划的时间减去实际的时间等于，列出方程，即可求解；
（3）先求出两车相遇的时间为，然后用汽车行驶的路程减去货车的路程，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：提速后走完剩余路程的时间为；
故答案为：
（2）解：根据题意得：
，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：汽车前一小时的行驶速度为；
（3）解：根据题意得：两车相遇的时间为，
，
答：两车相遇时汽车比货车多行驶．
【变式3】（2023上·湖北武汉·八年级统考期末）一辆汽车开往距离出发地的目的地，出发的第一小时按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.2倍匀速行驶，比原计划提前到达目的地．
(1)求原计划的行驶速度；
(2)汽车按原路返回，若司机准备一半路程以的速度行驶，另一半路程以的速度行驶（），共用时小时；若司机准备用一半时间以的速度行驶，另一半时间以的速度行驶，共用时小时．
①直接写出用含a，b的式子分别表示和；
②试比较，的大小，并说明理由
【答案】(1)原计划的行驶速度为
(2)①；②
【分析】本题考查分式方程的应用、列代数式、分式的化简，理解题意是解答的关键．
（1）设原计划的行驶速度为，根据题意，利用一小时后的时间差为列方程求解即可；
（2）①根据时间、路程、速度关系分别求得，；②作差，根据分式的混合运算法则化简，然后与0比较即可求解．
【详解】（1）解：设原计划的行驶速度为，则
，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴原分式方程的解为．
答：原计划的行驶速度为．
（2）解：①根据题意， ，；
②，理由如下：
∵，
为正数，且，
．
．
考点7：分式方程实际应用——工程问题
典例7：（2024上·山东德州·九年级统考期末）为创建“全国文明城市”，进一步优化环境，我区政府拟对部分公路两旁的人行道地砖、排水管道等公用设施，进行全面更新改造．现有甲、乙两个工程队有能力承包这项工程，并进行了投标．每施工一天，需付甲工程队工程款1.2万元，付乙工程队工程款0.5万元，工程领导小组根据投标书测算，给出了三种施工方案：
方案一：甲队刚好单独如期完成这项工程；
方案二：乙队单独完成这项工程要比规定日期多用20天；
方案三：若甲、乙两队合作10天，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成．
(1)完成这项工程的规定日期是多少天？
(2)在不耽误工期的前提下，你觉得以上哪一种方案最节省工程款？请说明理由．
【答案】(1)完成这项工程的规定日期是天；
(2)在不耽误工期的前提下，甲乙合做10天，乙再单独做10天最节省工程款．理由见解析．
【分析】（1）设完成这项工程的规定日期是天，然后分别表示出各工程队的工作效率，然后根据题意列分式方程解答即可；
（2）先发现方案一和方案三符合条件，然后分别计算出两种方案所需的工程款，然后比较即可．
本题主要考查了分式方程的应用，根据题意列出分式方程是解答本题的关键．
【详解】（1）解：设完成这项工程的规定日期是天，则甲、乙两个工程队的工作效率分别为和
根据题意得：，
解得，
检验：当时，，
故是原分式方程的解，
答：完成这项工程的规定日期是天；
（2）在不耽误工期的前提下，甲乙合做10天，乙再单独做10天最节省工程款．理由如下：
在不耽误工期的前提下，方案一和方案三符合条件，
方案一：甲单独做：（万元），
方案三：甲乙合做10天，乙再做10天：（万元），
∵，
∴在不耽误工期的前提下，甲乙合做10天，乙再单独做10天最节省工程款．
【变式1】（2024上·海南省直辖县级单位·八年级统考期末）港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，是被誉为“现代世界七大奇迹”超级工程，它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作．港珠澳大桥开通前从香港到珠海的车程为180千米，开通后的车程缩短了130千米，行驶时间仅为原来行驶时间的，已知港珠澳大桥开通后从香港到珠海的平均时速比开通前的平均时速多40千米．
(1)港珠澳大桥开通后，
①从香港到珠海的车程为______千米；
②开通后的行驶时间=开通前的行驶时间×______；
(2)求港珠澳大桥开通后从香港到珠海的平均速度是多少？
【答案】(1)①50；②
(2)港珠澳大桥开通后从香港到珠海的平均速度是100千米时
【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
（1）①利用港珠澳大桥开通后从香港到珠海的车程=港珠澳大桥开通前从香港到珠海的车程-130，即可求出港珠澳大桥开通后从香港到珠海的车程；
②利用港珠澳大桥开通后的行驶时间=开通前的行驶时间，可得出结论；
（2）设港珠澳大桥开通后从香港到珠海的平均速度是x千米/小时，则港珠澳大桥开通前从香港到珠海的平均速度是千米/小时，利用时间=路程÷速度，结合港珠澳大桥开通后的行驶时间=开通前的行驶时间，可列出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【详解】（1）解：根据题意得：港珠澳大桥开通后，
①从香港到珠海的车程为（千米），
②开通后的行驶时间=开通前的行驶时间．
故答案为：①50；②；
（2）解：设港珠澳大桥开通后从香港到珠海的平均速度是x千米/小时，则港珠澳大桥开通前从香港到珠海的平均速度是千米/小时，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：港珠澳大桥开通后从香港到珠海的平均速度是100千米/小时．
【变式2】（2024上·山东潍坊·八年级统考期末）某项工程由甲，乙两工程队承包修建，从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的3倍；若由甲队先做天，剩下的工程再由甲，乙两队合作天完成．
(1)求甲，乙两队单独完成这项工程各需多少天？
(2)已知甲队每天的施工费用为万元，乙队每天的施工费用为万元，工程预算的施工费用为万元，为缩短工期，拟安排甲，乙两队同时开工合作完成这项工程，那么工程预算的施工费用是否够用？为什么？
【答案】(1)乙队单独完成这项工程需天，则甲队单独完成这项工作所需天数是天
(2)工程预算的费用够用，理由见解析
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次方程的应用，根据题意列出分式方程，一元一次方程是解题的关键．
（1）设乙队单独完成这项工程需天，则甲队单独完成这项工作所需天数是天，依题意得：，进行计算并检验即可得；
（2）设甲，乙两队合作完成这项工程需要天，则有，进行计算即可得，计算出需要施工的费用，再和预算的施工费用进行比较即可得．
【详解】（1）解：设乙队单独完成这项工程需天，则甲队单独完成这项工作所需天数是天，
依题意得：，
去分母得，，
解得，
经检验是原分式方程的解且符合题意，
∴（天）．
答：乙队单独完成这项工程需天，则甲队单独完成这项工作所需天数是天；
（2）解：设甲，乙两队合作完成这项工程需要天，
则有，
，
解得，
需要施工的费用：（万元），
∵，
∴工程预算的费用够用．
【变式3】（2024上·重庆潼南·八年级统考期末）甲、乙两个施工队共同参与一项全长米的筑路工程，分别从两端向中间施工，已知甲队负责施工的长度的倍比乙队负责施工的长度长米，两施工队负责施工的长度总和等于该工程全长．
(1)求甲、乙两施工队分别负责施工的长度是多少米？
(2)若乙队每天施工的长度是甲队每天施工长度的倍，如果两队同时开始施工，乙队比甲队还要多用天完工，求甲队每天施工多少米？
【答案】(1)甲施工队施工的长度是米，乙施工队施工的长度是米；
(2)甲队每天各施工米．
【分析】此题考查一元一次方程的应用，分式方程的应用，解题的关键读懂题意，列出方程．
（）设甲施工队施工的长度是米，乙施工队施工的长度是米，由题意列出一元一次方程即可；
（）设甲队每天各施工y米，乙队每天各施工米，由题中两队同时开始施工，乙队比甲队还要多用天完工列出分式方程；
【详解】（1）解：设甲施工队施工的长度是米，乙施工队施工的长度是米，
，
，
解得，
，
答：甲施工队施工的长度是米，乙施工队施工的长度是米；
（2）解：设甲队每天各施工y米，乙队每天各施工米，
，
，
，
，
经检验：当时，，
答：甲队每天各施工米．
考点8：分式方程实际应用——销售问题
典例8：（2024·全国·八年级竞赛）小王经营着一家手机店，代理销售一款A型号的手机，这款手机今年的售价与去年的售价相比，每部手机降价了500元．已知这款手机今年的销量与去年的销量相同，去年这款手机的销售额为8万元，今年这款手机的销售额为6万元．
(1)每部A型号手机今年的售价是多少元？
(2)为了提高利润，小王计划明年同时购进B型号的手机进行销售．预计明年A型号手机的进价为每部1000元，B型号手机的进价为每部800元，小王打算购进这两款手机共20部，总进价不多于18400元，但也不少于17600元，那么小王有多少种进货方案？
(3)小王明年的销售策略是：A型号手机继续按今年的售价销售，而B型号手机的售价定为每部1400元，且B型号手机每售出一部，则返还顾客现金元．假设所购进的手机能够全部销售完，且使得（2）中的所有进货方案的获利相同，则的值为多少？
【答案】(1)每部A型号手机今年的售价是1500元
(2)共有5种方案，方案1：购进A型号手机8台，B型号手机12台；方案2：购进A型号手机9台，B型号手机11台；方案3：购进A型号手机10台，B型号手机10台；方案4：购进A型号手机11台，B型号手机9台；方案5：购进A型号手机12台，B型号手机8台
(3)当时，（2）中所有方案获利相同
【分析】此题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，根据题意列出分式方程，不等式组以及一次函数是解题关键．
（1）先设去年A型号手机每部售价为x元，根据题意列出方程，解出x的值，再进行检验即可得出答案；
（2）先设购进A型号手机m台，根据题意列出不等式组，求出m的取值范围，即可得出进货方案
（3）根据总利润wA型号利润B型号利润，列出一次函数关系式，再求利润相同时a的取值．
【详解】（1）解：设去年A型号手机每部售价为x元，
由题意得：，
解得：，
经检验是原分式方程的解，
（元），
答：每部A型号手机今年的售价是1500元；
（2）设购进A型号手机m台，
由题意得：，
解得：，
只能取整数，
取8、9、10、11、12，共有5种方案，
方案1：购进A型号手机8台，B型号手机12台；
方案2：购进A型号手机9台，B型号手机11台；
方案3：购进A型号手机10台，B型号手机10台；
方案4：购进A型号手机11台，B型号手机9台；
方案5：购进A型号手机12台，B型号手机8台；
（3）设总获利w元，购进A型号手机p台，
，
则，
当时，（2）中所有方案获利相同．
【变式1】（2024上·湖南怀化·八年级统考期末）某时装店老板预测一款应季T恤衫能畅销市场，就用3000元购进一批这种T恤衫，面市后果然供不应求，该店又用6600元及时购进了第二批这款T恤衫，但每件进价比前一批每件进价贵了3元，第二批的件数是第一批件数的二倍．
(1)求：两批T恤衫的进价分别是多少？
(2)如果两批T恤衫按相同的标价销售，最后缺码的40件T恤衫按七折优惠出售，要使两批T恤衫全部售完后利润不低于80%（不考虑其它因素的影响），那么这批T恤衫每件应至少标价多少（结果取整数）．
【答案】(1)第一批和第二批T恤衫的进价分别是每件30元、33元
(2)60元
【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式实际应用．
（1）根据题意列方程即可；
（2）根据题意先求出两批T恤衫的件数，再设T恤衫的标价是每件元列出关于的一元一次不等式解出取整即可．
【详解】（1）解：设第一批T恤衫的进价是每件元，
根据题意列方程得：，
解得：，
∴，
∴第一批和第二批T恤衫的进价分别是每件30元、33元；
（2）解：两批T恤衫的件数是：（件），
设T恤衫的标价是每件元，
根据题意不等式得：，
解得：，
∴，
∴两批T恤衫每件应至少标价60元．
【变式2】（2024上·湖南湘潭·八年级统考期末）由于受到手机更新换代的影响，某手机店经销的甲种型号手机二月份售价比一份月每台降价500元．如果卖出相同数量的甲种型号手机，那么一月销售额为9万元，二月销售额只有8万元．
(1)一月甲种型号手机每台售价为多少元？
(2)为了提高利润，该店计划三月购进乙种型号手机销售，已知甲种型号每台进价为3500元，乙种型号每台进价为4000元，预计用不多于万元且不少于万元的资金购进这两种手机共20台，请问有几种进货方案？
【答案】(1)4500
(2)3
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是找到数量关系，正确列出分式方程及一元一次不等式组．
（1）找准等量关系，正确列出分式方程；
（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
【详解】（1）解：（1）设一份月甲种型号手机每台售价为x元．
由题意得，
解得 ，
经检验是方程的解．
答：一份月甲种型号手机每台售价为4500元．
（2）（2）设甲种型号进a台，则乙种型号进台．
由题意得，
解得，
a为整数，
a为8，9，10，
有3种进货方案：甲型号8台，乙型号12台；甲型号9台，乙型号11台；甲型号10台，乙型号10台．
【变式3】（2023上·湖南株洲·九年级统考期末）2023年12月8日，中国国际轨道交通和装备制造产业博览会在株洲国际会展中心开幕，株洲为此次展出推出30多款具有株洲特色的文创产品.某商家用3200元购进了一批文创品，上市后供不应求：商家又用7200元购进了第二批这种文创品，所购数量是第一批购进量的2倍，但每件贵了10元
(1)该商家购进的第一批文创品单价是多少元
(2)若两批文创品按相同的标价销售，最后剩下20件按标价八折优惠卖出，若两批文创品全部售完利润不低于3520元（不考虑其他因素），那么每件文创品的标价至少是多少元
【答案】(1)该商家购进的第一批纪念衫单价是80元
(2)每件纪念衫的标价至少是120元
【分析】本题考查了分式方程的应用，以及一元一次不等式的应用：
（1）设该商家购进的第一批纪念衫单价是x元，则第二批纪念衫单价是元，根据购进了第二批这种纪念衫数量是第一批购进量的2倍列出方程，求出方程的解即可得到结果；
（2）根据（1）得：第一批数量为40件，第二批为80件，设每件纪念衫的标价是y元，由题意列出不等式，求出不等式的解集确定出y的最小值即可．
【详解】（1）解：设该商家购进的第一批纪念衫单价是x元，则第二批纪念衫单价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验是分式方程的解，且符合题意，
则该商家购进的第一批纪念衫单价是80元；
（2）解：根据（1）得：第一批数量为40件，第二批为80件，
设每件纪念衫的标价是y元，
根据题意得：，
解得：，
则每件纪念衫的标价至少是120元．
考点9：分式方程实际应用——其他问题
典例9：（2024上·浙江台州·八年级统考期末）科学中，经常需要把两种物质混合制作成混合物，研究混合物的物理性质和化学性质．现将甲、乙两种密度分别为，的液体混合（），研究混合物的密度（），假设混合前后液体的总体积不变，令等体积的甲乙两种液体的混合溶液密度为，等质量的甲乙两种液体的混合溶液的密度为．
(1)请用含，式子表示；
(2)比较，的大小，并通过运算说明理由：
(3)现有密度为的盐水，加适量的水（密度为）进行稀释，问：需要加水多少，才能使密度为的鸡蛋悬浮在稀释后的盐水中？
【答案】(1)
(2)
(3)需要加水
【分析】本题考查列代数式，分式的加减，分式方程的应用，掌握比差法是解题的关键．
（1）设混合溶液密度为的两种液体的体积分别为V，表示出两种液体的质量，利用公式解题即可；
（2）用含，式子表示出，然后利用比差法计算的值进行比较大小；
（3）根据题意找出等量关系，利用分式方程解题即可．
【详解】（1）解：设混合溶液密度为的两种液体的体积分别为V，
∴；
（2）设混合溶液密度为的两种液体的质量分别为m，
∴，
∵，
∴；
（3）解：密度为的盐水的体积为，
设需要加水，即加入的水的体积为
则，
解得：，
经检验是原方程的解．
答：需要加水，才能使密度为的鸡蛋悬浮在稀释后的盐水中．
【变式1】（2024上·山西吕梁·八年级统考期末）山西某中学为提升学生的劳动能力，开辟一块菜地供学生实践使用，为保护菜地，需要利用护栏将菜地圈起来，李老师以招募工人和发放劳动报酬的方式来完成该项工作．小组的同学把“劳动基地菜地护栏建设”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告．请根据活动报告计算支付给工人的总费用．
课题 劳动基地菜地护栏建设
调查方式 走访调研、实地查看测量
测量过程及计算 调研内容及图示 相关数据及说明： ①护栏安装工作包括安装横杠和安装竖杠两部分，且要求所有的安装工作在一天内完成，安装横杠的工人每人当天费用为200元，安装竖杠的工人每人当天费用为240元． ②共招募6名工人，每名工人在相同的时间内安装横杠2根或竖杠3根，且每名工人只完成一项工作，要求两项安装任务同时开始，并在当天同时完成．
计算结果 …
【答案】支付给工人的总费用为1360元．
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设安排x名工人安装横杠，在安排名工人安装竖杠，根据每名工人在相同的时间内安装横杠2根或竖杠3根且两项安装任务同时开始，并在当天同时完成列出方程求解即可．
【详解】解：设安排x名工人安装横杠，安排名工人安装竖杠，
由题意得， ，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴，
元，
答：支付给工人的总费用为1360元．
【变式2】（2024上·山东德州·八年级统考期末）某公司会计欲查询乙商品的进价和数量（如下表），发现进货单已被墨水污染．
商品 进价（元/件） 数量（件） 总金额
甲
乙
李师傅：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高；
王师傅：我记得甲商品比乙商品的数量多件；
请结合以上信息帮助公司会计计算出乙商品的进价和数量．
【答案】乙商品的进价为元/件，数量为件．
【分析】本题主要考查的是分式方程的应用，解答本题的关键在于表示出相关量，找出等量关系，列出方程．
设出乙的进货价为x，表示出乙的进货数量，表示出甲的进货数量与进货价，通过甲的进货价甲的数量甲的总金额，列出分式方程，解出方程即可．
【详解】解：设乙的进货单价为x元/件，则乙的进货数量为件，
则甲的数量为件，甲的进货单价为元/件，
根据题意得：，
解得：．
经检验：是原方程的解，
（件）
答：乙商品的进价为元/件，数量为件．
【变式3】（2024上·重庆南川·八年级统考期末）沙漠化制约着我国西部的发展，我国一直在探索和尝试将科技与治沙相结合的模式，光伏发电与沙漠治理相结合是“中国智慧”和“中国建设”的体现．光伏发电既安全又绿色，为我们实现“碳达峰”、“碳中和”的目标奠定了基础．2023年8月底，新疆光伏发电项目投入建设．甲、乙两厂承包了部分光伏板的生产任务．
(1)若甲、乙两厂共生产块光伏板，甲厂每天生产的光伏板数量比乙厂每天生产数量多块，甲厂生产2天、乙厂生产3天共同完成了这批生产任务，则甲厂每天生产的光伏板数量是多少？
(2)若甲厂每天生产的光伏板比乙厂每天生产的多，甲、乙两厂各生产块光伏板时，乙厂比甲厂多用3天时间，求甲、乙厂每天各生产多少块光伏板？
【答案】(1)甲厂每天生产光伏板块，乙厂每天生产光伏板块
(2)甲厂每天生产块光伏板，乙厂每天生产块光伏板
【分析】本题考查了一元一次方程、分式方程在实际问题中的应用，正确理解题意是解题关键．
（1）设甲厂每天生产光伏板x块，则乙厂每天生产光伏板块，根据题意列方程即可求解；
（2）设乙厂每天生产y块光伏板，则甲厂每天生产块光伏板，根据题意列方程即可求解．
【详解】（1）解：设甲厂每天生产光伏板x块，则乙厂每天生产光伏板块，根据题意得：
解得：
当时，
答：甲厂每天生产光伏板块，乙厂每天生产光伏板块
（2）解：设乙厂每天生产y块光伏板，则甲厂每天生产块光伏板，
根据题意得：
解得：
经检验，是所列方程的解且符合题意
∴当时，
答：甲厂每天生产块光伏板，乙厂每天生产块光伏板．
同步一遍过
一、单选题
1．（2023下·福建泉州·八年级校考期中）圣湖路全长为600米，路面需整改，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天的工效比原计划增加20%，结果提前5天完成这一任务，设原计划每天整改x米，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】用x表示出计划和实际完成的时间，再结合实际比计划提前5天完成任务作为等量关系列方程即可
【详解】实际每天整改米，则实际完成时间，计划完成时间，
∵实际比计划提前5天完成任务
∴得方程
故选C
【点睛】本题考查了分式方程的应用．列分式方程解应用题与所有列方程解应用题一样，重点在于准确地找出相等关系，这是列方程的依据．而难点则在于对题目已知条件的分析，找出等量关系，因此需围绕题中关键词进行讨论．
2．（2022上·黑龙江哈尔滨·九年级统考期末）分式方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先去分母，然后转化为一元一次方程进行求解即可．
【详解】解：
，
解得：，
经检验：是原方程的解；
故选C．
【点睛】本题主要考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．
3．（2023上·湖南郴州·八年级校考阶段练习）若，那么x的值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】B
【分析】本题考查解分式方程，根据计算即可．
【详解】解：∵
∴，
∴，
经检验，为原方程的解．
故选：B
4．（2023下·八年级课时练习）一项工程，甲独做需m小时完成，若与乙合作20小时完成，则乙单独完成需要的时间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】试题分析：由题意可得甲的工作效率为，两人合作的工作效率为，即可得到乙的工作效率，从而可以求得结果.
由题意得乙单独完成需要的时间是小时，故选A.
考点：本题考查的是列代数式
点评：解答本题的关键是读懂题意，正确表示出甲的工作效率为以及两人合作的工作效率.
5．（2023下·河南郑州·八年级统考期末）袁隆平院士被称为“杂交水稻之父”，他在早期的研究中需要对不同的水稻品种进行种植，计算其单位产量．现有两块面积相同的水稻试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别获得水稻12000kg和14000kg，已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少1500kg，如果设第一块试验田每公顷的产量为，那么x满足怎样的分式方程？（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据两块试验田每公顷产量间的关系，可得出第二块试验田每公顷的产量为，利用种植面积=总产量÷每公顷的产量，结合两块试验田的面积相等，即可列出关于x的分式方程，此题得解．
【详解】解：∵第一块试验田每公顷的产量比第二块少1500kg，如果设第一块试验田每公顷的产量为，
∴第二块试验田每公顷的产量为，
根据题意得，，
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
6．（2022·山西·校联考一模）师徒两人共同加工同种零件，师傅的工作效率是徒弟的1.4倍，师傅加工1400个零件比徒弟加工800个零件多用4小时，求师徒每小时各加工多少个零件？若设徒弟每小时加工x个零件，则根据题意，列出的方程正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】未知量是工作效率，有工作总量，一定是根据时间来列等量关系的．关键描述语是：“师傅加工1400个零件比徒弟加工800个零件多用4小时”；等量关系为：师傅加工1400个零件所用的时间徒弟加工800个零件所用的时间=4．
【详解】解：徒弟每小时加工x个零件，则师傅每小时加工1.4x个零件，
根据题意列方程为：，
故选：B．
【点睛】题中一般有三个量，已知一个量，求一个量，一定是根据另一个量来列等量关系的．找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．
7．（2024上·湖北荆州·八年级统考期末）过新年贴春联，是中国传统的过年习俗，既增添了喜庆的节日气氛，又寄予着人们对新年和新生活的美好期盼．某超市计划购进A，B两种规格的春联进行零售，其中A种春联的进价比B种春联的进价低5元，用1500元购进A种春联的数量是用1000元购进B种春联数量的2倍，求A种春联的进价．若设A种春联的进价为x元，则根据题意可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了列分式方程解实际问题的应用，解答时根据条件建立方程是关键．根据用1500元购进A种春联的数量是用1000元购进B种春联数量的2倍列方程即可．
【详解】解：设A种春联的进价为x元，则B种春联的进价为元，
由题意，得，．
故选：D．
8．（2023·黑龙江哈尔滨·校联考一模）方程的解为（ ）
A．x＝3 B．x＝2 C．x＝﹣ D．x＝﹣
【答案】C
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：去分母得：4x+2＝x﹣3，
解得：x＝﹣，
经检验x＝﹣是分式方程的解，
故选C．
【点睛】本题考查了分式方程的解，始终注意分母不为0这个条件．
9．（2023上·八年级课时练习）某校八年级学生乘车前往某研学基地开展社会实践活动，现有两条线路如右图可选择：线路1全程，线路2全程；若走线路1平均车速是走线路2的倍，所花时间比走线路2多用，求走线路1、线路2的平均车速分别是多少？设线路2的平均车速为，依题意列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意可得线路1平均车速为，进而列出方程即可．
【详解】解：由题意得，线路2的平均车速为，则线路1平均车速为，
∴根据题意可列，
故选D．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，读懂题意并列出方程是解决本题的关键．
10．（2023·四川成都·统考二模）若关于x的分式方程有增根，则a的值是（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】A
【分析】先解分式方程得到，再根据分式方程有增根得到，解方程即可得到答案．
【详解】解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
∵分式方程有增根，
∴，即，
∴，
∴，
故选A．
【点睛】本题主要考查了分式方程有增根的问题，正确解分式方程得到是解题的关键．
二、填空题
11．（2022·湖南常德·校联考一模）若关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】先求出该分式方程的解，再根据解为负数和最简公分母不为0求解即可．
【详解】解：分式方程两边同时乘，得．
解得．
∵该分式方程的解为负数，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴且．
故答案为：且．
【点睛】本题考查根据分式方程解的情况求参数范围，熟练掌握该知识点是解题关键．
12．（2023上·八年级单元测试）当m＝ 时，解关于x的分式方程会产生增根．
【答案】﹣10或﹣4
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，确定出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值．
【详解】解：分式方程去分母得：，
由分式方程有增根，得到x2﹣1＝0，即x＝±1，
把x＝±1分别代入整式方程得：m＝﹣10或m＝﹣4，
故答案为：﹣10或﹣4．
【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
13．（2023上·内蒙古·八年级统考期末）若分式方程无解，则的值为 ．
【答案】1
【分析】先把分式方程化为整式方程，求出方程的解，再由分式方程无解，得到，代入计算，即可得到m的值.
【详解】解：∵，
∴，
∴或，
∵关于的分式方无解，即是，
当时，．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了解分式方程，根据分式方程无解求参数的值，解题的关键是掌握解分式方程的方法.
14．（2023·内蒙古通辽·校考一模）小明准备了六张形状、大小完全相同的不透明卡片，上面分别写有数﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0、1，将这6 张卡片写有数的一面向下放在桌面上．从中任意抽取一张，以卡片上的数作为m的值，则关于x的分式方程的解是负数的概率为 ．
【答案】
【分析】根据解分式方程，可得方程的解，根据方程的解是负数，可得不等式，根据解不等式求得m的取值范围，继而再利用概率公式计算可得.
【详解】解：两边都乘以（x+1），得
2x﹣m＝3（x+1），
解得x＝﹣m﹣3，
﹣m﹣3≠﹣1，解得m≠﹣2
由方程的解是负数，得
﹣m﹣3＜0，
解得m＞﹣3，m≠﹣2，
∵在﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0、1这6个数中满足上述条件的数有﹣1、0、1这3个数，
∴关于x的分式方程 的解是负数的概率为 ，
故答案为．
【点睛】本题考查了分式方程的解和概率公式，利用分式方程的解是负数得出不等式是解题关键，注意分母不等于零.
15．（2022·云南红河·统考二模）符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为：，请你根据运算法则求出等式中x的值．若，那么x＝ ．
【答案】-2
【分析】根据题意，将化为，解方程即可．
【详解】解：，
∴，即，解得，
经检验，是原方程的解．
故答案为．
【点睛】本题考查了解分式方程，理解题意将二阶行列式转化为分式方程是解题关键，注意分式方程解得后，需要检验．
16．（2022上·八年级单元测试）数学家们在研究15，12，10这三个数的倒数时发现：．因此就将具有这样性质的三个数称为调和数，如6，3，2也是一组调和数．现有一组调和数：x，5，3（x＞5），则x= ．
【答案】15
【分析】根据题意，利用已知规律求未知数，从x＞5判断，x是调和数中最大的数．
【详解】解：∵x＞5，
∴x是调和数中最大的数，
依题意得，，
解得，x=15．
经检验得出：x=15是原方程的解．
故答案为：15．
【点睛】此题主要考查了分式方程的应用，解决本题的关键是通过观察分析，注意调和数的大小关系．
三、解答题
17．（2023下·浙江杭州·七年级统考期末）某商店3月份购进一批T恤衫，进价合计12万元，因畅销，商店又于4月份购进一批同品牌的T恤衫，进价为15万元，数量是3月份的1.2倍，但每件涨了5元．
（1）求3月份购进的T恤衫的单价是多少？4月份购进了多少件T恤衫？
（2）这两批T恤衫开始都以每件180元出售，结果4月份后期出现滞销，还有一半的T恤衫没有售出，于是5月份商店便以定价的n折开始销售（1≤n≤9的正整数），结果第二批T恤衫的共盈利800m元（m为正整数），求相应n、m值．
【答案】（1）3月份购进的T恤衫的单价是120元，4月份购进了1200件T恤衫；（2）当n＝5时，m＝15；当n＝7时，m＝42；当n＝9时，m＝69
【分析】（1）设3月份购进的数量为x件，根据每件涨了5元列方程求解；
（2）利用4月份购进T恤衫的单价=3月份购进T恤衫的单价+5可求出4月份购进T恤衫的单价，利用总利润=每件的利润×销售数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，再结合m，n均为正整数，且1≤n≤9，即可得出结论．
【详解】解：（1）设3月份购进的数量为x件，
根据题意得，
解得：x＝1000，
经检验x＝1000是分式方程的解，且符合题意，4月份购进了1.2×1000=1200件T恤衫，
∴3月份的单价为12000÷1000＝120（元），
3月份购进的T恤衫的单价是120元，4月份购进了1200件T恤衫．
（2）4月份的进价为120＋5＝125（元），
根据题意得600×(180－125)＋600×(18n－125)＝800m，
整理得：27n＝2m＋105，
∵m，n为正整数，且1≤n≤9，
或或．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
18．（2023下·山东菏泽·八年级统考期末）为落实“双减政策”某学校购进“红色教育”和“传统文化”两种经典读本，花费分别是1200元和500元，已知“红色教育”经典读本的订购单价是“传统文化”经典读本的订购单价的2倍，并且订购的“红色教育”经典读本的数量比“传统文化”经典读本的数量多5本．
(1)求该学校订购的两种经典读本的单价分别是多少元；
(2)该学校拟计划再订购这两种经典读本共100本，其中“红色教育”经典读本订购数量不低于60本且总费用不超过3600元，求该学校订购这两种读本的最低总费用．
【答案】(1)“红色教育”的订购单价是40元，“传统文化”经典读本的单价是20元
(2)订购这两种经典读本的总费用最低为3200元
【分析】（1）设“传统文化”经典读本的单价是元，则“红色教育”经典读本的单价是元，利用数量=总价÷单价，结合订购的“红色教育”经典读本的数量比“传统文化”经典读本的数量多5本，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出“传统文化”经典读本的订购单价，再将其代入中，即可求出“红色教育”经典读本的订购单价；
（2）设订购“红色教育”经典读本本，则订购“传统文化”经典读本本，根据“红色教育”经典读本订购数量不低于60本且总费用不超过3600元，可列出关于a的一元一次不等式组，解之可得出a的取值范围，设该学校再订购这两种经典读本的总费用为w元，利用总价=单价×数量，可得出w关于a的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【详解】（1）解：设“传统文化”经典读本的单价是元，则“红色教育”经典读本的单价是元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
∴，
答：“红色教育”的订购单价是40元，“传统文化”经典读本的单价是20元；
（2）解：设订购“红色教育”经典读本本，则订购“传统文化”经典读本本，
由题意得： ，
解得：，
设订购两种读本的总费用为元，
由题意得：，
∵，
∴随的增大而增大，
∴当时，有最小值为（元），
此时， （本），符合题意，
答：订购这两种经典读本的总费用最低为3200元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于a的函数关系式．
19．（2023上·福建莆田·八年级统考期末）网购成为时下最热的购物方式，同时也带动了快递业的发展．某快递公司更新了包裹分拣设备后，平均每人每天比原先要多分拣50件包裹，现在分拣600件包裹所需的时间与原来分拣450件包裹所需时间相同，现在平均每人每天分拣多少件包裹？
【答案】现在平均每人每天分拣200件包裹.
【详解】解：设现在平均第人每天分拣包裹x件，
由题意得，，
解得，x=200，
经检验：x=200是原分式方程的解，且符合题意．
答：现在平均每人每天分拣包裹200件．
20．（2022上·天津东丽·八年级统考期末）为庆祝建党100周年，学校组织八年级学生去距学校的历史博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了后，其余学生乘汽车出发，结果比骑车的同学早到，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度．
【答案】
【分析】设骑车学生的速度是 ，则汽车的速度是 ，利用时间路程速度，结合乘车同学比骑车同学少用，可得出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
【详解】解：设骑车学生的速度是 ，则汽车的速度是 ，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：骑车学生的速度是．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
21．（2023·江苏南京·统考二模）某同学解方程﹣2＝，过程如下：
第一步：整理，得﹣2＝，
第二步：…．
（1）请你说明第一步变化过程的依据是： ；
（2）请把以上解方程的过程补充完整．
【答案】（1）分式的基本性质；（2）见解析
【分析】（1）根据分式的基本性质将原方程进行变形；
（2）先将分式方程变为整式方程，然后去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1求解，最后注意分式方程结果要检验．
【详解】（1）由题意可得：第一步变化过程的依据是：分式的基本性质，
故答案为：分式的基本性质；
（2）方程两边同乘（x﹣3）得：x﹣2﹣2（x﹣3）＝10﹣3x，
去括号，得：x﹣2﹣2x+6＝10﹣3x，
移项，得：x﹣2x+3x＝10﹣6+2，
合并同类项，得：2x＝6，
系数化1，得：x＝3，
检验：当x＝3时，x﹣3＝0，
∴x＝3是原方程的增根，
∴原分式方程无解．
【点睛】本题考查解分式方程，掌握解方程的步骤和计算法则准确计算是解题关键．
22．（2023下·安徽淮北·七年级校联考期末）甲、乙两工程队合作完成一项工程，需要12天完成，工程费用共36000元，若甲、乙两工程队单独完成此项工程，乙工程队所用的时间是甲工程队的1.5倍，乙工程队每天的费用比甲工程队少800元.
（1）问甲、乙两工程队单独完成此项工程各需多少天？
（2）若让一个工程队单独完成这项工程，哪个工程队的费用较少？
【答案】(1) 甲单独完成需要20天，则乙单独完成需要30天；(2) 选择乙比较划算
【分析】（1）设甲单独完成需要天，则乙单独完成需要天，根据甲、乙两工程队合作完成一项工程，需要12天完成列方程求解即可.
（2）设甲每天费用为元，则乙每天费用为 元，根据甲、乙两工程队合作完成一项工程，工程费用共36000元列方程求解，然后计算出费用比较即可.
【详解】解：（1）设甲单独完成需要天，则乙单独完成需要天，由题意得
，
解得天，
经检验符合题意，
所以乙：30天；
（2）设甲每天费用为元，则乙每天费用为 元；
，解得；
所以甲：1900元/天，乙：1100元/天；
所以甲单独完成此项工程所需费用为：1900×20=38000元；
乙单独完成此项工程所需费用为：1100×30=33000元；
所以选择乙比较划算；
【点睛】本题考查分式方程在工程问题中的应用以及一元一次方程的应用．分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．工程问题的基本关系式：工作总量=工作效率×工作时间．
23．（2023下·上海静安·九年级校考专题练习）某校组织甲、乙两班学生参加“美化校园”的义务劳动．如果甲班做2小时，乙班做3小时，那么可完成全部工作的一半；如果甲班先做2小时后另有任务，剩下工作由乙班单独完成，那么乙班所用的时间恰好比甲班单独完成全部工作的时间多1小时．问：甲乙两班单独完成这项工作各需多少时间？
【答案】甲、乙两班单独完成这项工作各需8小时、12小时．
【分析】单独完成这项工作甲需要x小时，乙需要y小时，则甲每小时完成全部工作的
，乙每小时完成全部工作的，再根据题意列方程组即可求解.，
【详解】解：设甲、乙两班单独完成这项工作各需x小时、y小时．
由题意得
①-②得：
得： ③
将③代①得：
解得：
所以
经检验：是原方程的解且符合题意.
答：甲、乙两班单独完成这项工作各需8小时、12小时．
【点睛】本题考查了分式方程组的应用，根据方程组的特点化二元分式方程为一元分式方程进一步转化为整式方程求解是关键。
24．（2022下·上海奉贤·八年级校考期末）古语有“四方上下曰宇，古往今来曰宙”，自古以来，中华民族对于宇宙的探索从未停歇．在2022年6月5日，神舟十四号成功发射，而即将到来的7月，问天实验舱也将发射升空．HYDZ公司的G项目组承担了实验舱某个电子设备的研发工作，在顺利完成一半研发工作时，由于受疫情影响，开发效率被迫减缓为原来的60%，结果最后比原计划多了10天完成任务，问：该电子设备原计划的研发时间为多少天．
【答案】该电子设备原计划的研发时间为30天
【分析】设该电子设备原计划的研发时间为x天，则实际完成后一半研发工作的时间为天，根据实际完成后一半研发工作时的工作效率为原计划工作效率的60%，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【详解】解：设该电子设备原计划的研发时间为x天，则实际完成后一半研发工作的时间为天，
依题意得：60%＝，
解得：x＝30，
经检验，x＝30是原方程的解，且符合题意,
答：该电子设备原计划的研发时间为30天．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
25．（2023上·江苏盐城·八年级校考阶段练习）解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）x=2是增根，原方程无解
【分析】（1）先找出方程的最简公分母，方程的两边都乘以各自的最简公分母，化分式方程为整式方程，求解即可；
（2）先找出方程的最简公分母，方程的两边都乘以各自的最简公分母，化分式方程为整式方程，求解即可．
【详解】解：（1）
方程的两边都乘以（x+1）（x﹣1），得
2（x+1）＝5
∴x＝
检验：当x＝时，（x+1）（x﹣1）＝，
∴原方程的解为：x＝．
（2）
方程的两边都乘以（x+2）（x﹣2），得
x（x+2）﹣（x+2）（x﹣2）＝8，
整理，得2x＝4
∴x＝2
检验：当x＝2时，（x+2）（x﹣2）＝0，
∴原方程无解．
【点睛】本题考查了分式方程的解法．题目相对简单．求解本题需要注意：（1）分式方程需检验；（2）去分母时勿漏乘不含分母的项．
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专题03 分式方程及应用
考点类型
知识一遍过
（一）分式方程
（1）解分式方程的基本步骤
①去分母(两边同乘最简公分母，约去分母，化成整式方程)。
②解整式方程(去括号-移项/合并同类项-系数化为1)。
③检验(把整式方程的解代入最简公分母，
若最简公分母为0 ，则x=a不是分式方程的解
若最简公分母不为0，则x=a是分式方程的解
④写出答案
（2）增根的概念：在分式方程化为整式方程的过程时，若整式方程的根使最简公分母为0（即根使整式方程成立，但分式方程中分母为0 ），那么这个根叫做原分式方程的增根。
（二）分式方程应用
分式方程解决实际问题的步骤：
① 根据题意找等量关系
② 设未知数
③列出方程
④解方程，并验根（对解分式方程尤为重要）
⑤ 写答案
考点一遍过
考点1：分式方程定义
典例1：（2024上·河北石家庄·八年级统考阶段练习）下列是关于x的分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023上·八年级课时练习）下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，是关于x的分式方程有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式2】（2023下·辽宁沈阳·八年级统考期中）在①，②，③，④中，其中关于的分式方程的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式3】（2023下·浙江·七年级专题练习）下列方程：①；②；③；④．其中分式方程有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点2：列分式方程
典例2：（2024上·山东烟台·八年级统考期末）甲、乙两地相距240千米，高铁开通运营后，在两地间行驶的平均车速提高了，时间比原来缩短了70分钟．设原来的平均车速为千米/小时，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（2023·北京西城·八年级校联考期末）小东一家自驾车去某地旅行，手机导航系统推荐了两条线路，线路一全程，线路二全程，汽车在线路二上行驶的平均时速是线路一上车速的倍，线路二的用时预计比线路一用时少半小时，如果设汽车在线路一上行驶的平均速度为，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2024上·浙江台州·八年级统考期末）为缅怀革命先烈，传承红色精神，某校八年级师生在清明节期间前往距离学校的烈士陵园扫墓．一部分师生骑自行车先走，过了后，其余师生乘汽车出发，结果他们同时达到．已知汽车的速度是骑车速度的3倍，设骑车的速度为，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2024·全国·八年级竞赛）某服装店用4.5万元购进某种品牌的服装，由于销售状况良好，服装店又调拨11万元资金购进该种服装，但这次的单价比第一次的单价贵20元，购进服装的数量比第一次的2倍还多50件，求该服装第一次的单价．为解决此问题，设该服装第一次的单价为元，根据题意列出方程，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
考点3：解分式方程
典例3：（2024上·河南安阳·八年级统考期末）解方程：
【变式1】（2024上·山东聊城·八年级统考期末）解分式方程：
(1)；
(2)．
【变式2】（2024上·河南商丘·八年级统考期末）解分式方程
(1)
(2)
【变式3】（2024上·山东聊城·八年级统考期末）解分式方程：
(1)；
(2)．
考点4：根据方程解的情况——求字母
典例4：（2024上·河南新乡·八年级统考期末）已知关于y的方程的解为，则实数k的值为（ ）
A． B．3 C． D．2
【变式1】（2024上·四川绵阳·八年级统考期末）如果4是关于x的分式方程的解，则a等于（ ）
A． B． C．1 D．3
【变式2】（2024上·湖南常德·八年级校联考期末）已知关于的分式方程的解为，则的值为（ ）
A．4 B．3 C．0 D．
【变式3】（2023上·山东东营·八年级校考期中）若方程的根为，则m的值是（ ）
A．0 B．3 C． D．1
考点5：分式方程增根
典例5：（2024上·安徽黄山·八年级统考期末）若关于的方程有增根，则的值为（ ）
A．3 B．1 C．0 D．
【变式1】（2024上·陕西安康·八年级统考期末）若关于的方程无解，则（ ）
A． B． C．5 D．
【变式2】（2023上·全国·八年级专题练习）若方程有增根，则它的增根是（ ）
A．0 B．1 C． D．1和
【变式3】（2023上·山东聊城·八年级校联考阶段练习）若关于的方程无解,则的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
考点6：分式方程实际应用——行程问题
典例6：（2022上·云南昆明·八年级统考期末）2020年3月，象群共计16头从西双版纳州进入普洱市，一路“象”北．当地政府组成大象护卫队，全程跟踪象群迁移轨迹，全景式记录大象“出走”经过．护卫队分成甲、乙两组，甲组行程120km和乙组行程80km所用时间相等，已知甲组的速度比乙组速度每小时快3km，求甲、乙两组的速度．
【变式1】（2024上·山东临沂·八年级统考期末）下面是学习分式方程的应用时，老师板书的问题和甲、乙两名同学列的方程．
小丽家到学校的路程是，小丽从家去学校需要先乘公交车，下车后再走才能到学校，所用总时间是．已知公交车的速度是小丽步行速度的9倍，求公交车的速度和小丽的步行速度．（忽略公交车停车的时间和等车的时间）
甲：；乙：．
根据以上信息，解答下列问题．
(1)甲同学所列方程中的表示______；乙同学所列方程中的表示______；
(2)请你从两个方程中任选一个，解方程并回答老师提出的问题．
【变式2】（2023上·湖北武汉·八年级统考期末）甲、乙两地相距，一辆汽车从甲地开往乙地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的倍匀速行驶，并比原计划提前到达乙地，设前一小时行驶的速度为．
(1)提速后走完剩余路程的时间为________（用含x的式子表示）；
(2)求汽车前一小时的行驶速度；
(3)当汽车以的速度原路返回时，同时有一辆货车以（）的速度从甲地开往乙地，两车相遇时汽车比货车多行驶多少千米？（结果用含a的式子表示）
【变式3】（2023上·湖北武汉·八年级统考期末）一辆汽车开往距离出发地的目的地，出发的第一小时按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.2倍匀速行驶，比原计划提前到达目的地．
(1)求原计划的行驶速度；
(2)汽车按原路返回，若司机准备一半路程以的速度行驶，另一半路程以的速度行驶（），共用时小时；若司机准备用一半时间以的速度行驶，另一半时间以的速度行驶，共用时小时．
①直接写出用含a，b的式子分别表示和；
②试比较，的大小，并说明理由
考点7：分式方程实际应用——工程问题
典例7：（2024上·山东德州·九年级统考期末）为创建“全国文明城市”，进一步优化环境，我区政府拟对部分公路两旁的人行道地砖、排水管道等公用设施，进行全面更新改造．现有甲、乙两个工程队有能力承包这项工程，并进行了投标．每施工一天，需付甲工程队工程款1.2万元，付乙工程队工程款0.5万元，工程领导小组根据投标书测算，给出了三种施工方案：
方案一：甲队刚好单独如期完成这项工程；
方案二：乙队单独完成这项工程要比规定日期多用20天；
方案三：若甲、乙两队合作10天，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成．
(1)完成这项工程的规定日期是多少天？
(2)在不耽误工期的前提下，你觉得以上哪一种方案最节省工程款？请说明理由．
【变式1】（2024上·海南省直辖县级单位·八年级统考期末）港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，是被誉为“现代世界七大奇迹”超级工程，它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作．港珠澳大桥开通前从香港到珠海的车程为180千米，开通后的车程缩短了130千米，行驶时间仅为原来行驶时间的，已知港珠澳大桥开通后从香港到珠海的平均时速比开通前的平均时速多40千米．
(1)港珠澳大桥开通后，
①从香港到珠海的车程为______千米；
②开通后的行驶时间=开通前的行驶时间×______；
(2)求港珠澳大桥开通后从香港到珠海的平均速度是多少？
【变式2】（2024上·山东潍坊·八年级统考期末）某项工程由甲，乙两工程队承包修建，从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的3倍；若由甲队先做天，剩下的工程再由甲，乙两队合作天完成．
(1)求甲，乙两队单独完成这项工程各需多少天？
(2)已知甲队每天的施工费用为万元，乙队每天的施工费用为万元，工程预算的施工费用为万元，为缩短工期，拟安排甲，乙两队同时开工合作完成这项工程，那么工程预算的施工费用是否够用？为什么？
【变式3】（2024上·重庆潼南·八年级统考期末）甲、乙两个施工队共同参与一项全长米的筑路工程，分别从两端向中间施工，已知甲队负责施工的长度的倍比乙队负责施工的长度长米，两施工队负责施工的长度总和等于该工程全长．
(1)求甲、乙两施工队分别负责施工的长度是多少米？
(2)若乙队每天施工的长度是甲队每天施工长度的倍，如果两队同时开始施工，乙队比甲队还要多用天完工，求甲队每天施工多少米？
考点8：分式方程实际应用——销售问题
典例8：（2024·全国·八年级竞赛）小王经营着一家手机店，代理销售一款A型号的手机，这款手机今年的售价与去年的售价相比，每部手机降价了500元．已知这款手机今年的销量与去年的销量相同，去年这款手机的销售额为8万元，今年这款手机的销售额为6万元．
(1)每部A型号手机今年的售价是多少元？
(2)为了提高利润，小王计划明年同时购进B型号的手机进行销售．预计明年A型号手机的进价为每部1000元，B型号手机的进价为每部800元，小王打算购进这两款手机共20部，总进价不多于18400元，但也不少于17600元，那么小王有多少种进货方案？
(3)小王明年的销售策略是：A型号手机继续按今年的售价销售，而B型号手机的售价定为每部1400元，且B型号手机每售出一部，则返还顾客现金元．假设所购进的手机能够全部销售完，且使得（2）中的所有进货方案的获利相同，则的值为多少？
【变式1】（2024上·湖南怀化·八年级统考期末）某时装店老板预测一款应季T恤衫能畅销市场，就用3000元购进一批这种T恤衫，面市后果然供不应求，该店又用6600元及时购进了第二批这款T恤衫，但每件进价比前一批每件进价贵了3元，第二批的件数是第一批件数的二倍．
(1)求：两批T恤衫的进价分别是多少？
(2)如果两批T恤衫按相同的标价销售，最后缺码的40件T恤衫按七折优惠出售，要使两批T恤衫全部售完后利润不低于80%（不考虑其它因素的影响），那么这批T恤衫每件应至少标价多少（结果取整数）．
【变式2】（2024上·湖南湘潭·八年级统考期末）由于受到手机更新换代的影响，某手机店经销的甲种型号手机二月份售价比一份月每台降价500元．如果卖出相同数量的甲种型号手机，那么一月销售额为9万元，二月销售额只有8万元．
(1)一月甲种型号手机每台售价为多少元？
(2)为了提高利润，该店计划三月购进乙种型号手机销售，已知甲种型号每台进价为3500元，乙种型号每台进价为4000元，预计用不多于万元且不少于万元的资金购进这两种手机共20台，请问有几种进货方案？
【变式3】（2023上·湖南株洲·九年级统考期末）2023年12月8日，中国国际轨道交通和装备制造产业博览会在株洲国际会展中心开幕，株洲为此次展出推出30多款具有株洲特色的文创产品.某商家用3200元购进了一批文创品，上市后供不应求：商家又用7200元购进了第二批这种文创品，所购数量是第一批购进量的2倍，但每件贵了10元
(1)该商家购进的第一批文创品单价是多少元
(2)若两批文创品按相同的标价销售，最后剩下20件按标价八折优惠卖出，若两批文创品全部售完利润不低于3520元（不考虑其他因素），那么每件文创品的标价至少是多少元
考点9：分式方程实际应用——其他问题
典例9：（2024上·浙江台州·八年级统考期末）科学中，经常需要把两种物质混合制作成混合物，研究混合物的物理性质和化学性质．现将甲、乙两种密度分别为，的液体混合（），研究混合物的密度（），假设混合前后液体的总体积不变，令等体积的甲乙两种液体的混合溶液密度为，等质量的甲乙两种液体的混合溶液的密度为．
(1)请用含，式子表示；
(2)比较，的大小，并通过运算说明理由：
(3)现有密度为的盐水，加适量的水（密度为）进行稀释，问：需要加水多少，才能使密度为的鸡蛋悬浮在稀释后的盐水中？
【变式1】（2024上·山西吕梁·八年级统考期末）山西某中学为提升学生的劳动能力，开辟一块菜地供学生实践使用，为保护菜地，需要利用护栏将菜地圈起来，李老师以招募工人和发放劳动报酬的方式来完成该项工作．小组的同学把“劳动基地菜地护栏建设”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告．请根据活动报告计算支付给工人的总费用．
课题 劳动基地菜地护栏建设
调查方式 走访调研、实地查看测量
测量过程及计算 调研内容及图示 相关数据及说明： ①护栏安装工作包括安装横杠和安装竖杠两部分，且要求所有的安装工作在一天内完成，安装横杠的工人每人当天费用为200元，安装竖杠的工人每人当天费用为240元． ②共招募6名工人，每名工人在相同的时间内安装横杠2根或竖杠3根，且每名工人只完成一项工作，要求两项安装任务同时开始，并在当天同时完成．
计算结果 …
【变式2】（2024上·山东德州·八年级统考期末）某公司会计欲查询乙商品的进价和数量（如下表），发现进货单已被墨水污染．
商品 进价（元/件） 数量（件） 总金额
甲
乙
李师傅：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高；
王师傅：我记得甲商品比乙商品的数量多件；
请结合以上信息帮助公司会计计算出乙商品的进价和数量．
【变式3】（2024上·重庆南川·八年级统考期末）沙漠化制约着我国西部的发展，我国一直在探索和尝试将科技与治沙相结合的模式，光伏发电与沙漠治理相结合是“中国智慧”和“中国建设”的体现．光伏发电既安全又绿色，为我们实现“碳达峰”、“碳中和”的目标奠定了基础．2023年8月底，新疆光伏发电项目投入建设．甲、乙两厂承包了部分光伏板的生产任务．
(1)若甲、乙两厂共生产块光伏板，甲厂每天生产的光伏板数量比乙厂每天生产数量多块，甲厂生产2天、乙厂生产3天共同完成了这批生产任务，则甲厂每天生产的光伏板数量是多少？
(2)若甲厂每天生产的光伏板比乙厂每天生产的多，甲、乙两厂各生产块光伏板时，乙厂比甲厂多用3天时间，求甲、乙厂每天各生产多少块光伏板？
同步一遍过
一、单选题
1．（2023下·福建泉州·八年级校考期中）圣湖路全长为600米，路面需整改，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天的工效比原计划增加20%，结果提前5天完成这一任务，设原计划每天整改x米，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022上·黑龙江哈尔滨·九年级统考期末）分式方程的解是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023上·湖南郴州·八年级校考阶段练习）若，那么x的值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
4．（2023下·八年级课时练习）一项工程，甲独做需m小时完成，若与乙合作20小时完成，则乙单独完成需要的时间是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023下·河南郑州·八年级统考期末）袁隆平院士被称为“杂交水稻之父”，他在早期的研究中需要对不同的水稻品种进行种植，计算其单位产量．现有两块面积相同的水稻试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别获得水稻12000kg和14000kg，已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少1500kg，如果设第一块试验田每公顷的产量为，那么x满足怎样的分式方程？（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·山西·校联考一模）师徒两人共同加工同种零件，师傅的工作效率是徒弟的1.4倍，师傅加工1400个零件比徒弟加工800个零件多用4小时，求师徒每小时各加工多少个零件？若设徒弟每小时加工x个零件，则根据题意，列出的方程正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
7．（2024上·湖北荆州·八年级统考期末）过新年贴春联，是中国传统的过年习俗，既增添了喜庆的节日气氛，又寄予着人们对新年和新生活的美好期盼．某超市计划购进A，B两种规格的春联进行零售，其中A种春联的进价比B种春联的进价低5元，用1500元购进A种春联的数量是用1000元购进B种春联数量的2倍，求A种春联的进价．若设A种春联的进价为x元，则根据题意可列方程为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·黑龙江哈尔滨·校联考一模）方程的解为（ ）
A．x＝3 B．x＝2 C．x＝﹣ D．x＝﹣
9．（2023上·八年级课时练习）某校八年级学生乘车前往某研学基地开展社会实践活动，现有两条线路如右图可选择：线路1全程，线路2全程；若走线路1平均车速是走线路2的倍，所花时间比走线路2多用，求走线路1、线路2的平均车速分别是多少？设线路2的平均车速为，依题意列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·四川成都·统考二模）若关于x的分式方程有增根，则a的值是（ ）
A． B． C．0 D．1
二、填空题
11．（2022·湖南常德·校联考一模）若关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是 ．
12．（2023上·八年级单元测试）当m＝ 时，解关于x的分式方程会产生增根．
13．（2023上·内蒙古·八年级统考期末）若分式方程无解，则的值为 ．
14．（2023·内蒙古通辽·校考一模）小明准备了六张形状、大小完全相同的不透明卡片，上面分别写有数﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0、1，将这6 张卡片写有数的一面向下放在桌面上．从中任意抽取一张，以卡片上的数作为m的值，则关于x的分式方程的解是负数的概率为 ．
15．（2022·云南红河·统考二模）符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为：，请你根据运算法则求出等式中x的值．若，那么x＝ ．
16．（2022上·八年级单元测试）数学家们在研究15，12，10这三个数的倒数时发现：．因此就将具有这样性质的三个数称为调和数，如6，3，2也是一组调和数．现有一组调和数：x，5，3（x＞5），则x= ．
三、解答题
17．（2023下·浙江杭州·七年级统考期末）某商店3月份购进一批T恤衫，进价合计12万元，因畅销，商店又于4月份购进一批同品牌的T恤衫，进价为15万元，数量是3月份的1.2倍，但每件涨了5元．
（1）求3月份购进的T恤衫的单价是多少？4月份购进了多少件T恤衫？
（2）这两批T恤衫开始都以每件180元出售，结果4月份后期出现滞销，还有一半的T恤衫没有售出，于是5月份商店便以定价的n折开始销售（1≤n≤9的正整数），结果第二批T恤衫的共盈利800m元（m为正整数），求相应n、m值．
18．（2023下·山东菏泽·八年级统考期末）为落实“双减政策”某学校购进“红色教育”和“传统文化”两种经典读本，花费分别是1200元和500元，已知“红色教育”经典读本的订购单价是“传统文化”经典读本的订购单价的2倍，并且订购的“红色教育”经典读本的数量比“传统文化”经典读本的数量多5本．
(1)求该学校订购的两种经典读本的单价分别是多少元；
(2)该学校拟计划再订购这两种经典读本共100本，其中“红色教育”经典读本订购数量不低于60本且总费用不超过3600元，求该学校订购这两种读本的最低总费用．
19．（2023上·福建莆田·八年级统考期末）网购成为时下最热的购物方式，同时也带动了快递业的发展．某快递公司更新了包裹分拣设备后，平均每人每天比原先要多分拣50件包裹，现在分拣600件包裹所需的时间与原来分拣450件包裹所需时间相同，现在平均每人每天分拣多少件包裹？
20．（2022上·天津东丽·八年级统考期末）为庆祝建党100周年，学校组织八年级学生去距学校的历史博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了后，其余学生乘汽车出发，结果比骑车的同学早到，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度．
21．（2023·江苏南京·统考二模）某同学解方程﹣2＝，过程如下：
第一步：整理，得﹣2＝，
第二步：…．
（1）请你说明第一步变化过程的依据是： ；
（2）请把以上解方程的过程补充完整．
22．（2023下·安徽淮北·七年级校联考期末）甲、乙两工程队合作完成一项工程，需要12天完成，工程费用共36000元，若甲、乙两工程队单独完成此项工程，乙工程队所用的时间是甲工程队的1.5倍，乙工程队每天的费用比甲工程队少800元.
（1）问甲、乙两工程队单独完成此项工程各需多少天？
（2）若让一个工程队单独完成这项工程，哪个工程队的费用较少？
23．（2023下·上海静安·九年级校考专题练习）某校组织甲、乙两班学生参加“美化校园”的义务劳动．如果甲班做2小时，乙班做3小时，那么可完成全部工作的一半；如果甲班先做2小时后另有任务，剩下工作由乙班单独完成，那么乙班所用的时间恰好比甲班单独完成全部工作的时间多1小时．问：甲乙两班单独完成这项工作各需多少时间？
24．（2022下·上海奉贤·八年级校考期末）古语有“四方上下曰宇，古往今来曰宙”，自古以来，中华民族对于宇宙的探索从未停歇．在2022年6月5日，神舟十四号成功发射，而即将到来的7月，问天实验舱也将发射升空．HYDZ公司的G项目组承担了实验舱某个电子设备的研发工作，在顺利完成一半研发工作时，由于受疫情影响，开发效率被迫减缓为原来的60%，结果最后比原计划多了10天完成任务，问：该电子设备原计划的研发时间为多少天．
25．（2023上·江苏盐城·八年级校考阶段练习）解方程：
（1）
（2）
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