中小学教育资源及组卷应用平台
专题06 三角形的证明单元过关（基础版）
考试范围：第1章；考试时间：120分钟；总分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
评卷人得分
一、单选题
1．（2022下·福建漳州·八年级漳州三中校联考期中）在中，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022下·广西河池·八年级统考期中）下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ）
A．3，4，6 B．1，1， C．6，8，11 D．5，12，23
3．（2022下·广东深圳·八年级校考期中）下列命题中真命题是（ ）
A．三角形按边可分为不等边三角形，等腰三角形和等边三角形
B．三角形三个内角平分线交点到三角形三边的距离相等
C．等腰三角形的高线、角平分线、中线重合
D．三角形的外角等于它的两个内角之和
4．（2022·吉林长春·统考一模）如图，在中，，．斜边的垂直平分线交边于点D．若，则的周长是（ ）
A．7 B．8 C．12 D．13
5．（2022下·河南郑州·八年级统考期末）如图，在中，按以下步骤作图；①分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；②作直线交边于点D，连接．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022下·山西吕梁·八年级统考期末）如图，将一根有弹性的皮筋AB自然伸直固定在平面内，然后把皮筋中点C竖立向上拉升5cm到点D，如果皮筋自然长度为24cm，则此时该弹性皮筋被拉长了（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．5cm
7．（2022下·山东临沂·八年级统考期中）如图，在四边形中，，，，，且，则四边形的面积是（ ）
A．4 B． C． D．
8．（2022上·湖南邵阳·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=40°，则∠C的度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
9．（2022下·辽宁抚顺·八年级统考期末）如图，为的边上一点，已知，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
10．（2022下·湖北鄂州·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：交轴于点，交轴于点，，，…在直线上，点，，，…在轴的正半轴上，若，，，…，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在轴上，则第个等腰直角三角形是，其点的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
评卷人得分
二、填空题
11．（2022下·广东揭阳·八年级校联考期中）已知等腰三角形的两边分别为和，且、满足，则此等腰三角形的周长为 ．
12．（2023上·山东滨州·八年级校考开学考试）如图，已知在中，，垂直平分，垂足为E，交于D，若的周长为16，则 ．
13．（2023下·河北张家口·七年级统考期中）如图，在和中，，，，．
（1） ；
（2）若，，则的面积为 ．
14．（2022下·新疆巴音郭楞·八年级校联考期中）若等腰三角形的底边长为，腰长为，则此三角形的面积是 ．
15．（2022上·江苏淮安·八年级统考期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，且，则的度数是 ．
16．（2023下·山东烟台·七年级统考期末）如图，等腰直角中，，点O是边AB的中点，点D，E分别在AC，BC上，且，连接DE．下列结论：①图形中全等的三角形只有两对；②的面积等于四边形CDOE面积的2倍；③；④．其中正确的序号为 ．
评卷人得分
三、解答题
17．（2022下·山东济宁·八年级统考期中）如图，有一块四边形空地需要测量面积，经技术人员测量，已知∠ABC＝90°，AB＝20米，BC＝15米，CD＝7米，AD＝24米．请用你学过的知识计算出这块空地的面积．
18．（2022上·山东威海·七年级统考期末）已知:等边分别是上的动点，且,交于点．
如图1,当点分别在线段和线段上时，求的度数;
如图2,当点分别在线段和线段的延长线上时，求的度数．
19．（2022上·山西大同·八年级大同一中校考阶段练习）如图，在中，，，P是上一点，且，．求的长．
20．（2022上·浙江宁波·八年级阶段练习）如图，△ABC中，AB=AC=2，∠B=40°．点D在线段BC上运动（点D不与B，C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于E．
(1)当∠BAD=20°时，∠EDC=______°；
(2)当DC等于多少时，△ABD≌△DCE？并说明理由；
(3)在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，判断当∠BAD等于多少度时，△ADE是等腰三角形．
21．（2022上·福建福州·八年级统考期中）如图，线段BC在∠MBC的边上．
（1）尺规作图：
① 作出线段BC的垂直平分线交MB于点A，连接AC；
② 作∠MBC的角平分线BK交AC于点K（要求保留作图痕迹，不写作法）．
（2）若AK=BK，求∠ABC的度数．
22．（2023下·河北廊坊·八年级校考阶段练习）若实数的算术平方根为2，且实数，满足．
(1)求代数式的值；
(2)若，，是的三边，试判断三角形的形状．
23．（2023上·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图，在中，、的垂直平分线分别交于点、．
(1)若的周长为a，求的长（用含有a的代数式表示）；
(2)若，求的度数．
24．（2022上·山东临沂·八年级统考期末）如图，是等边三角形，与关于直线对称，⊥交的延长线于点，，且与在的两侧，．
（1）作图：依题意补全图形；
（2）在上找一点，使点到点，点的距离的和最短（作图并写出作法）；
（3）求证：点到，的距离相等．
25．（2022下·九年级单元测试）已知O是等边三角形ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝135°，试问：
（1）以OA，OB，OC为边能否构成一个三角形？若能，求出该三角形各角的度数；若不能，请说明理由；
（2）如果∠AOB的大小保持不变，那么当∠BOC等于多少度时，以OA，OB，OC为边的三角形是一个直角三角形？
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题06 三角形的证明单元过关（基础版）
考试范围：第1章；考试时间：120分钟；总分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
评卷人得分
一、单选题
1．（2022下·福建漳州·八年级漳州三中校联考期中）在中，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意易得是等边三角形，然后问题可求解．
【详解】解：∵，
∴是等边三角形，
∴；
故选C．
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质与判定，熟练掌握等边三角形的判定是解题的关键．
2．（2022下·广西河池·八年级统考期中）下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ）
A．3，4，6 B．1，1， C．6，8，11 D．5，12，23
【答案】B
【分析】根据勾股定理的逆定理即可得．
【详解】A、，不能构成直角三角形，此项不符题意；
B、，能构成直角三角形，此项符合题意；
C、，不能构成直角三角形，此项不符题意；
D、，不能构成三角形，此项不符题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键．
3．（2022下·广东深圳·八年级校考期中）下列命题中真命题是（ ）
A．三角形按边可分为不等边三角形，等腰三角形和等边三角形
B．三角形三个内角平分线交点到三角形三边的距离相等
C．等腰三角形的高线、角平分线、中线重合
D．三角形的外角等于它的两个内角之和
【答案】B
【分析】根据三角形分类、角平分线的性质定理、等腰三角形性质、三角形外角性质逐项判断．
【详解】解：A、三角形按边可分为不等边三角形，等腰三角形，故A是假命题，不符合题意；
B、三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等，是真命题，符合题意；
C、等腰三角形底边上的高线、顶角的角平分线、底边上的中线重合，故C是假命题，不符合题意；
D、三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，故D是假命题，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握三角形分类、角平分线的性质定理、等腰三角形性质、三角形外角性质等知识．
4．（2022·吉林长春·统考一模）如图，在中，，．斜边的垂直平分线交边于点D．若，则的周长是（ ）
A．7 B．8 C．12 D．13
【答案】C
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到根据勾股定理求出的长，根据三角形的周长公式计算即可．
【详解】∵是的垂直平分线，
∴，又，
由勾股定理得,
∴，
故选C．
【点睛】考查了勾股定理以及垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
5．（2022下·河南郑州·八年级统考期末）如图，在中，按以下步骤作图；①分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；②作直线交边于点D，连接．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】证明∠A=30°，根据含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理即可求解．
【详解】解：由作图可知MN垂直平分线段AB，
∴DA=DB，
∴∠B=∠DAB，
∵AD=AC，
∴∠C=∠ADC，
∵∠ADC=∠B+∠BAD=2∠A，∠BAC=90°，
∴3∠A=90°，
∴∠A=30°，
∴BC=2AC=6，
∴AB==3（cm），
故选：C．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，解题的关键是证明∠A=30°．
6．（2022下·山西吕梁·八年级统考期末）如图，将一根有弹性的皮筋AB自然伸直固定在平面内，然后把皮筋中点C竖立向上拉升5cm到点D，如果皮筋自然长度为24cm，则此时该弹性皮筋被拉长了（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．5cm
【答案】B
【分析】根据题意可得CD是AB的垂直平分线，然后利用勾股定理求出AD长，进而可得BD长，从而可得答案．
【详解】解：∵中点C竖直向上拉升5cm至D点，
∴CD是AB的垂直平分线，
∴∠ACD=90°，AC=BC=AB=12cm，AD=BD，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：
AD==13（cm），
∴BD=13cm，
∴AD+BD=26cm，
∵AB=24cm，
∴该弹性皮筋被拉长了：26-24=2（cm），
故选：B．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题抽象出直角三角形，并熟练掌握勾股定理．
7．（2022下·山东临沂·八年级统考期中）如图，在四边形中，，，，，且，则四边形的面积是（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】C
【分析】连接AC，根据勾股定理可得，再由勾股定理的逆定理可得∠ACD=90°，再根据四边形的面积等于，即可求解．
【详解】解：如图，连接AC，
在中，，，，
∴，
∵，，
∴，
∴∠ACD=90°，
∴四边形的面积是 ．
故选：C
【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．
8．（2022上·湖南邵阳·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=40°，则∠C的度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【答案】D
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质解得平分，即可解得的度数，最后根据三角形内角和180°解题即可．
【详解】解：为中点，
平分，
在中，
故选：D．
【点睛】本题考查等腰三角形三线合一性质，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
9．（2022下·辽宁抚顺·八年级统考期末）如图，为的边上一点，已知，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由AD2+BD2=AB2得AD⊥BC（勾股定理逆定理），在直角△ADC中，已知AD，AC即可求得CD，则BC=BD+DC．
【详解】解：∵AD2+BD2=144+25=169，AB2=169，
∴AD2+BD2=AB2
∴AD⊥BC（勾股定理逆定理），
∠ADC=90°，
∴，
∴BC=CD+BD=5+9=14．
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理和勾股定理的运用，本题中根据勾股定理的逆定理确定AD⊥BC是解题的关键．
10．（2022下·湖北鄂州·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：交轴于点，交轴于点，，，…在直线上，点，，，…在轴的正半轴上，若，，，…，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在轴上，则第个等腰直角三角形是，其点的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出B1、B2、B3…的坐标，探究其规律，即可得到答案．
【详解】解：直线y＝x＋1与x轴、y轴的交点分别为（-1，0），（0，1），
由题意得OA=OA1=1，
∵，，，…均为等腰直角三角形，
∴OB1=OA1=1，
∴点B1（1，0），
∴B1B2=B1A2=1+1=2，
∴OB2=OB1+B1B2=1+2=3，
∴点B2（3，0），
∴B2A3=B2B3=3+1=4，
∴OB3=OB2+B2B3=3+4=7，
∴点B3（7，0），
∴B1（1，0），B2（3，0），B3（7，0）…，
∵1=2-1，3=22-1，7=23-1，…，
∴Bn的横坐标为2n-1，
∴当n=10时, 210-1=1024-1=1023
故选择B．
【点睛】此题考查规律型：点的坐标、等腰直角三角形的性质，解题的关键是从特殊到一般，探究规律，利用规律解决问题．
第II卷（非选择题）
评卷人得分
二、填空题
11．（2022下·广东揭阳·八年级校联考期中）已知等腰三角形的两边分别为和，且、满足，则此等腰三角形的周长为 ．
【答案】25
【分析】先根据非负数的性质列式求出a、b的值，再分a的值是等腰三角形的腰长还是底边这两种情况讨论求解．
【详解】∵，
又∵，，
∴，，
∴a=10，b=5，
当b为腰时，2b=10=a，不符合题意，此种情况舍去；
当a为腰时，2a＞b，即此时等腰三角形的周长为2a+b=25；
故答案为：25．
【点睛】本题主要考查非负数的性质、等腰三角形的性质及三角形三边之间的关系．解题的关键在于要利用分类讨论思想对等腰三角形三边情况进行分类，并利用三角形三边间的关系进行验证．
12．（2023上·山东滨州·八年级校考开学考试）如图，已知在中，，垂直平分，垂足为E，交于D，若的周长为16，则 ．
【答案】6
【分析】利用线段垂直平分线的性质及三角形的周长即可求解．
【详解】解： DE垂直平分，
，
的周长为16，且，
，即：，
解得：，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握其基础知识是解题的关键．
13．（2023下·河北张家口·七年级统考期中）如图，在和中，，，，．
（1） ；
（2）若，，则的面积为 ．
【答案】
【分析】（1）根据题意可得是等腰直角三角形，由此可证，可得，根据可得是直角三角形，可求出的度数，根据即可求解；
（2）由（1）可知，可求出，可求出的长，再证是等腰直角三角形，由此可求出的长，根据等腰三角形的性质可求出的长，的长，根据，，可得是直角三角形，根据三角形面积的计算方法即可求解．
【详解】解：（1）∵，，，
∴是等腰直角三角形，即，
∴，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
∵，即，
∴在中，，
∴，
∵，
故答案为：；
（2）由（1）可知，，且，，
∴，
∴，
∵， ，
∴是等腰三角形，
∴，
在中，，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴是直角三角形，且，，
∴的面积为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的综合运用，掌握以上知识的灵活运用是解题的关键．
14．（2022下·新疆巴音郭楞·八年级校联考期中）若等腰三角形的底边长为，腰长为，则此三角形的面积是 ．
【答案】60cm2
【分析】可根据题意作出图形，根据等腰三角形的性质和勾股定理求直角三角形得出三角形的高，即可求解其面积．
【详解】解：如图，在△ABC中，BC=10cm，AB=AC=13cm，
过A作AD⊥.BC，垂足为D，
∵AB=AC，
∴D为BC中点，
∴BD＝CD＝5cm，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD2＝AB2－BD2＝132－52＝144，
∴AD＝12cm，
∴．
故答案为：60cm2．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的运用、等腰三角形的性质，解题的关键是利用勾股定理求出三角形的高以及熟记三角形的面积公式．
15．（2022上·江苏淮安·八年级统考期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，且，则的度数是 ．
【答案】15°
【分析】根据等边对等角和三角形的内角和定理，即可求出∠ABC，然后根据垂直平分线的性质和等边对等角即可求出∠EBA，从而求出的度数．
【详解】解：∵，
∴∠ABC=∠ACB=（180°－∠A）=65°
∵ED垂直平分线段AB
∴EA=EB
∴∠EBA=∠A=50°
∴=∠ABC－∠EBA=15°
故答案为：15°．
【点睛】此题考查的是等腰三角形的性质、垂直平分线的性质和三角形的内角和，掌握等边对等角、垂直平分线的性质和三角形的内角和定理是解决此题的关键．
16．（2023下·山东烟台·七年级统考期末）如图，等腰直角中，，点O是边AB的中点，点D，E分别在AC，BC上，且，连接DE．下列结论：①图形中全等的三角形只有两对；②的面积等于四边形CDOE面积的2倍；③；④．其中正确的序号为 ．
【答案】②③④
【分析】结论①错误．因为图中全等的三角形有3对；结论②正确．由全等三角形的性质可以判断；结论③正确．利用全等三角形和等腰直角三角形的性质可以判断；结论④正确．利用全等三角形的性质与勾股定理可判定．
【详解】解：结论①错误．理由如下：
图中全等的三角形有3对，分别为，，
解：由等腰直角三角形的性质，可知，，
在与中，
∴
∵，
∴．
在与中，
∴，
同理可证：；
结论②正确．理由如下：
∵，
∴，
∴
∴的面积等于四边形的面积的2倍．
结论③正确，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得
∴
故结论④正确；
故答案为：②③④．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形、全等三角形的判定与性质，勾股定理等重要几何知识点．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
评卷人得分
三、解答题
17．（2022下·山东济宁·八年级统考期中）如图，有一块四边形空地需要测量面积，经技术人员测量，已知∠ABC＝90°，AB＝20米，BC＝15米，CD＝7米，AD＝24米．请用你学过的知识计算出这块空地的面积．
【答案】四边形ABCD的面积为234平方米．
【分析】利用勾股定理求出AC，再利用勾股定理的逆定理证明∠ADC＝90°，然后根据S四边形ABCD＝S△ADC+S△ABC即可求出空地的面积．
【详解】连接AC．
在Rt△ABC中，
∠ABC＝90°，AB＝20，BC＝15，
∴AC2＝A2+BC2＝202+152＝252，
在△ADC中，
CD＝7，AD＝24，AC＝25，
∴AD2+CD2＝242+72＝252＝AC2，
∴△ADC为直角三角形，∠ADC＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△ADC+S△ABC15×207×24＝234（平方米），
∴四边形ABCD的面积为234平方米．
【点睛】本题考查勾股定理的应用和勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解决本题的关键．
18．（2022上·山东威海·七年级统考期末）已知:等边分别是上的动点，且,交于点．
如图1,当点分别在线段和线段上时，求的度数;
如图2,当点分别在线段和线段的延长线上时，求的度数．
【答案】（1）∠CPE＝60°；（2）60°
【分析】根据等边三角形性质得出∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC，根据SAS证△AFC≌△CEB，推出∠ACF＝∠CBE，根据三角形的外角性质求出即可;
同理证明△AFC≌△CEB，推出∠F＝∠E，根据三角形的外角性质求出即可．
【详解】（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC，
∵在AFC和△CEB中
，
∴AFC≌△CEB（SAS），
∴∠ACF＝∠CBE，
∴=∠CBE+∠BCF
=∠ACF +∠BCF
=∠ACB
=60°;
（2）同理在AFC和△CEB中
，
∴AFC≌△CEB（SAS），
∴∠F＝∠E，，
∴=∠FBP+∠F
=∠EBA +∠E
=∠BAC
=60°．
【点睛】本题考查等边三角形性质，全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质等知识点，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理．
19．（2022上·山西大同·八年级大同一中校考阶段练习）如图，在中，，，P是上一点，且，．求的长．
【答案】
【分析】先根据等腰三角形的性质及等角对等边求得，再利用含30度直角三角形的性质求得的长即可．
【详解】∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】考查了含30度直角三角形的性质，解题关键是根据已知条件求得，再根据含30度直角三角形的性质求得的长．
20．（2022上·浙江宁波·八年级阶段练习）如图，△ABC中，AB=AC=2，∠B=40°．点D在线段BC上运动（点D不与B，C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于E．
(1)当∠BAD=20°时，∠EDC=______°；
(2)当DC等于多少时，△ABD≌△DCE？并说明理由；
(3)在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，判断当∠BAD等于多少度时，△ADE是等腰三角形．
【答案】（1）20；（2）当DC=2时，△ABD≌△DCE；（3）∠BAD=30°或60°.
【分析】（1）利用三角形外角的性质，可求出结果
（2）当DC=2时,△ABD≌△DCE，利用已知易证AB=DC，再证明∠BDA=∠CED，然后利用AAS，可证得结论
（3）分情况讨论：①若AD=AE时；②若DA=DE时；③若EA=ED时，分别求出符合题意的∠BAD的度数
【详解】（1）∵∠ADC=∠BAD+∠B
∠BAD=20°，∠B=40°
∴∠ADC=60°
∵∠ADC=∠ADE+∠EDC
∠ADE=40°
∴∠EDC=20°
（2）解：当DC=2时，△ABD≌△DCE
理由如下：
∵AB=AC=2, DC=2,
∴AB=DC,∠B=∠C=40°
∵∠ADE=∠C=40°,
∴∠BDA+∠CDE=140°,
∠CED+∠CDE=140°,
∴∠BDA=∠CED,
在△ABD和△DCE中
∴△ABD≌△DCE(AAS)
（3）解：①若AD=AE时,则∠ADE=∠AED=40°,
∵∠AED>∠C,
∴△ADE不可能是等腰三角形;
②若DA=DE时,即∠DAE=∠DEA=(180°-40°)=70°
∵∠BAC=180°-40°-40°=100°,
∴∠BAD=100°-70°=30°;
③若EA=ED时,∠ADE=∠DAE=40°,
∴∠BAD=100°-40°=60°,
∴当∠BAD=30°或60时,△ADE是等腰三角形
【点睛】本题考查等腰三角形的性质与判定、三角形的外角性质以及全等三角形的判定.
21．（2022上·福建福州·八年级统考期中）如图，线段BC在∠MBC的边上．
（1）尺规作图：
① 作出线段BC的垂直平分线交MB于点A，连接AC；
② 作∠MBC的角平分线BK交AC于点K（要求保留作图痕迹，不写作法）．
（2）若AK=BK，求∠ABC的度数．
【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）
【分析】（1）①分别以为圆心，大于的一半为半径画弧，得两弧的交点，过两交点作直线交MB于点A，即可得到答案；
②以为圆心，任意长为半径画弧，得到与角的两边的交点，再分别以两个交点为圆心，大于两交点间的距离的一半为半径再画弧，得到两弧的交点，以角的顶点为端点，过这个交点作射线交AC于点K即可；
（2）设，利用等腰三角形的性质求解，再利用角平分线的性质求解：，再利用垂直平分线的性质证明，证明,再利用三角形的内角和定理求解，从而可得答案．
【详解】解：（1）①如图，直线AD、线段AC即为所求 ；
②如图，射线即为所求；
（2）设，
平分，
垂直平分，
,
【点睛】本题考查的是垂直平分线的作图，角平分线的作图，垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，角平分线的定义，掌握以上知识是解题的关键．
22．（2023下·河北廊坊·八年级校考阶段练习）若实数的算术平方根为2，且实数，满足．
(1)求代数式的值；
(2)若，，是的三边，试判断三角形的形状．
【答案】(1)1
(2)直角三角形
【分析】（1）先根据算术平方根的定义求出的值，然后根据非负数的性质求出、c的值，最后代值计算即可；
（2）根据（1）所求，利用勾股定理的逆定理求解即可．
【详解】（1）解：∵实数的算术平方根为2，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
则；
（2）直角三角形，理由如下：
由（1）可知，，，则，，
∴，
∴是直角三角形．
【点睛】本题主要考查了算术平方根，非负数的性质，代数式求值，勾股定理的逆定理，熟知相关知识是解题的关键．
23．（2023上·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图，在中，、的垂直平分线分别交于点、．
(1)若的周长为a，求的长（用含有a的代数式表示）；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据垂直平分线的性质得到，，利用三角形的周长即可求出；
（2）利用三角形内角和定理求出，利用等边对等角求出的度数即可．
【详解】（1）∵、的垂直平分线分别交于点E、F，
∴，，
∵，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等边对等角求角度，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
24．（2022上·山东临沂·八年级统考期末）如图，是等边三角形，与关于直线对称，⊥交的延长线于点，，且与在的两侧，．
（1）作图：依题意补全图形；
（2）在上找一点，使点到点，点的距离的和最短（作图并写出作法）；
（3）求证：点到，的距离相等．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【分析】（1）依题意补全图形即可；
（2）连接BD，P为BD与AE的交点．点P即为所求；
（3）证出CD垂直平分AE．得出DA=DE．证明△FAD≌△FED（SAS）．得出∠AFD=∠EFD．即可得出结论．
【详解】解：（1）补全图形，如图1所示：
（2）如图2，作法：连接，为与的交点，点即为所求
（3）连接，．如图3所示：
，是等边三角形，
，．
，
．
．
．
∴CA=CE，
垂直平分．
∴DA=DE
，
，，
．
．
∴FA=FE ，∠FAD=∠FED
在和中，
∴△FAD≌△FED
∴∠AFD=∠EFD
点到，的距离相等．
【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识；熟练掌握等边三角形的判定与性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
25．（2022下·九年级单元测试）已知O是等边三角形ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝135°，试问：
（1）以OA，OB，OC为边能否构成一个三角形？若能，求出该三角形各角的度数；若不能，请说明理由；
（2）如果∠AOB的大小保持不变，那么当∠BOC等于多少度时，以OA，OB，OC为边的三角形是一个直角三角形？
【答案】（1）能，各角是50°、55°、75°；（2）∠BOC=150°或
【分析】（1）以OC为边作等边△OCD，连AD，证明△BCO≌△ACD，可得△OAD是以线段OA，OB，OC为边构成的三角形，再分别求解每个内角的大小即可；
（2）先求解∠OAD=50°，再分两种情况讨论，当∠AOD是直角时，当∠ADO是直角时，再分别求解即可.
【详解】解：（1）以OC为边作等边△OCD，连AD．
∵△ABC是等边三角形
∠BCO+∠ACO=60°，∠ACD+∠ACO=60°，
∴∠BCO=∠ACD
∴△BCO≌△ACD（SAS）
∴OB=AD，∠ADC=∠BOC
又∵OC=OD
∴△OAD是以线段OA，OB，OC为边构成的三角形
∵∠AOB=110°，∠BOC=135°
∴∠AOC=115°
∴∠AOD=115°-60°=55°
∵∠ADC=135°
∴∠ADO=135°-60°=75°
∴∠OAD=180°-55°-75°=50°
∴以线段OA，OB，OC为边构成的三角形的各角是50°、55°、75°．
（2）∠AOB+∠AOC+∠BOC=∠AOB+∠AOC+∠ADC
=∠AOB+（∠AOD+∠DOC）+（∠ADO+∠CDO）
=∠110°+（∠AOD+60°）+（∠ADO+60°）=360°
∴∠AOD+∠ADO=130°
∴∠OAD=50°
当∠AOD是直角时，∠AOD=90°，∠AOC=90°+60°=150°，∠BOC=100°；
当∠ADO是直角时，∠ADC=90°+60°=150°，∠BOC=150°．
【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，直角三角形的定义，掌握以上基础知识是解题的关键.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
