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专题07 三角形的证明单元过关（培优版）
考试范围：第1章；考试时间：120分钟；总分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
评卷人得分
一、单选题
1．（2022上·江苏南京·八年级统考期末）如图，在中，，平分，，，则点D到AC的距离为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
2．（2023下·湖南岳阳·八年级统考期末）以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（ ）
A．1，，2 B．5，12，13 C．3，4，5 D．2，3，4
3．（2022上·甘肃武威·八年级统考期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则这个等腰三角形的顶角为（ ）
A．30° B．150° C．30°或150° D．120°或60°
4．（2022·甘肃兰州·统考一模）如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝46°，CD⊥AB于点D，则∠DCB＝（ ）
A．46° B．67° C．44° D．23°
5．（2022下·山东烟台·七年级统考期中）如图，在第1个中，，；在边上任取一点D，延长到；使，得到第2个；在边上任取一点E，延长到，使，得到第3个，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以为顶点的内角度数是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022下·广东汕头·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠ACB＝60°，AB＝16，AD⊥BC，垂足为D，∠ACB的平分线交AD于点E，则AE的长为（ ）
A． B．4 C． D．6
7．（2023下·湖南益阳·八年级统考期末）如图，在中，平分，E，P分别是，上的动点，连接，．若，，则的最小值是（ ）
A．3 B．6 C．10 D．12
8．（2022上·山东临沂·八年级统考期中）如图，等腰中，于点D，的平分线分别交于E、F两点，M为的中点，的延长线交于点N，连接，下列结论：①；②为等腰三角形；③；④，其中正确结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2022上·安徽蚌埠·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠BAC＞90°，D为BC的中点，点E在AC上，将△CDE沿DE折叠，使得点C恰好落在BA的延长线上的点F处，连接AD、CF，则图中所有的等腰三角形的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2022上·河南周口·八年级统考期末）如图，△是等边三角形，是等腰直角三角形，，于点E，连接，分别交于点F、G，过点A作交于点H，，则下列结论：①；②是等腰三角形；③；④；⑤．其中正确的有（ ）
A．①②③④ B．①③④⑤ C．①②④⑤ D．②③④⑤
第II卷（非选择题）
评卷人得分
二、填空题
11．（2022上·江苏镇江·八年级校考期中）已知等腰△ABC的周长是19，底边长AB＝7，则腰长BC＝ ．
12．（2022下·江西抚州·八年级校考阶段练习）如图，在中，边上的垂直平分线交边于点，交边于点若的周长为，与四边形的周长之差为，则线段的长为 ．
13．（2023下·山西太原·八年级统考期末）已知，在中，，点是的中点，于点，连接请从下面A，B两题中任选一题作答．我选择 ．
A．如图1，若，则线段的长为 ．
B．如图2，若，，则线段的长为 ．
14．（2022下·广西南宁·八年级统考期末）由12个有公共顶点的直角三角形拼成的图形如图所示，．若，则的长为 ．
15．（2023上·江苏苏州·八年级苏州中学校考期末）如图，中，，，点为边上一点，，点为边的中点，连接，点为线段上的动点，连接，，则的最小值为 ．
16．（2022上·江西吉安·九年级校联考期中）如图，是等边三角形，高，为上一动点，为的中点，则的最小值为 ．
评卷人得分
三、解答题
17．（2022上·八年级单元测试）如图，四边形ABCD中，，，，，，求四边形ABCD的面积.
18．（2022上·辽宁大连·八年级统考期末）如图，是等边三角形，是边上一点，在右侧作，且，连接，．
(1)求证：是等边三角形；
(2)若是等边外一点，且与点都在直线同侧，若，连接，画出图形，探究线段、、之间的数量关系，并说明理由．
19．（2022下·福建三明·八年级统考阶段练习）如图，中，，为上一点，，．于，于点，、相交于点．
（1）连接，求的度数；
（2）求证：．
20．（2023上·山西大同·八年级大同市第六中学校校考阶段练习）以点A为顶点作等腰，等腰，其中，如图1所示放置，使得一直角边重合，连接．
(1)试判断的数量关系，并说明理由；
(2)延长交于点F，求的度数；
(3)如图2将绕着点A旋转一定的角度，那么和有怎样的关系，并说明理由．
21．（2022下·重庆渝中·七年级重庆巴蜀中学校考期末）尺规作图并完成证明．如图，点D、点F在△ABC外，连接AF、AD、BD，且AF∥BC，∠ABD＝∠CAF，BD＝AC．
(1)用尺规完成以下基本作图：
作∠ABC的平分线BE交AF于点E，连接CE（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)根据（1）中作图，求证：AD＝CE；请完善下面的证明过程．
证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝______．
∵AF∥BC．
∴∠CBE＝______．
∴∠ABE＝∠AEB．
∴______．
在ACE和△BDA中，
．
∴△ACE≌△BDA．
∴AD＝CE．
22．（2022上·江苏连云港·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB＝AC，点P是底边BC的中点，PD⊥AB，PE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为点D、E、F．
（1）试说明PD与PE的关系．
（2）请证明PD+PE与BF的关系．
23．（2023上·湖北咸宁·八年级统考期末）（1）【问题发现】 如图1，和都是等边三角形，点D在边上，连接． 则的度数为______；
（2）【拓展探究】如图2，和都是等腰直角三角形，，点D在边上，连接．则的度数为______；
（3）【迁移运用】如图3，在四边形中，，，，，求的值．
24．（2023上·辽宁沈阳·八年级沈阳市沈东初级中学校考开学考试）如图1，在平面直角坐标系中，，．
(1)点关于轴的对称点在第一象限，为实数的范围内的最大整数，点的坐标______，的面积______．
(2)在（1）的条件下，点是第一象限的点，且是以为腰的等腰直角三角形，点坐标______．
(3)在（1）的条件下，如图2，时，以、的作等边三角形和等边，连接、交于点，连接．点是轴上一动点，的最小值______．
25．（2023下·四川成都·七年级统考期末）如图，在中，为边上的高，是的角平分线，点F为上一点，连接，．
(1)求证：平分；
(2)连接交于点G，若，求证：；
(3)在（2）的条件下，当，时，求线段的长．
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专题07 三角形的证明单元过关（培优版）
考试范围：第1章；考试时间：120分钟；总分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
评卷人得分
一、单选题
1．（2022上·江苏南京·八年级统考期末）如图，在中，，平分，，，则点D到AC的距离为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】A
【分析】由D在∠BAC的平分线AD上得，点D到AC的距离与点D到AB的距离BD相等，因此求得BD的长即可．
【详解】解：∵BC=10，CD=6，
∴BD=4．
∵∠B=90°，AD平分∠BAC ．
由角平分线的性质，得点D到AC的距离等于BD=4．
故选：A．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质，由已知能够注意到D到AC的距离即为BD长是解决问题的关键．
2．（2023下·湖南岳阳·八年级统考期末）以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（ ）
A．1，，2 B．5，12，13 C．3，4，5 D．2，3，4
【答案】D
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形．
【详解】A、，符合勾股定理的逆定理，则此选项不合题意；
B、，符合勾股定理的逆定理，则此选项不符合题意；
C、，符合勾股定理的逆定理，则此选项不合题意；
D、，不符合勾股定理的逆定理，则此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，掌握理解勾股定理的逆定理是解题关键．
3．（2022上·甘肃武威·八年级统考期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则这个等腰三角形的顶角为（ ）
A．30° B．150° C．30°或150° D．120°或60°
【答案】C
【分析】借助分类讨论的数学思想，分别画出两个图形：如图1，求出顶角为30°；如图2，求出顶角为150°．
【详解】解：如图1，AB=AC，BD⊥AC，
∵∠ABD=60°，
∴顶角∠A=90°-60°=30°；
如图2，AB=AC，CD⊥AB交BA的延长线于点D；
∵∠DCA=60°，
∴∠DAC=30°，∠BAC=150°，
综上所述，这个等腰三角形的顶角为30°或150°．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，做题时，考虑问题要全面，必要的时候可以做出模型帮助解答，进行分类讨论是正确解答本题的关键．
4．（2022·甘肃兰州·统考一模）如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝46°，CD⊥AB于点D，则∠DCB＝（ ）
A．46° B．67° C．44° D．23°
【答案】D
【分析】根据等腰三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵等腰三角形ABC中，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB
∵∠A=46°，
∴∠ABC =×（180°-46°）=×134°=67°，
∵CD⊥AB于D，
∴∠DCB=90°-∠ABC=90°-67°=23°，
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，本题的解题关键是求出∠ABC的度数即可得出答案．
5．（2022下·山东烟台·七年级统考期中）如图，在第1个中，，；在边上任取一点D，延长到；使，得到第2个；在边上任取一点E，延长到，使，得到第3个，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以为顶点的内角度数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠BA1C的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，找出规律即可得出第n个三角形中以An为顶点的底角度数．
【详解】解：∵在△CBA1中，∠B＝30°，A1B＝CB，
∴∠BA1C＝180° ∠B2＝75°，
∵A1A2＝A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，
∴∠DA2A1＝∠BA1C＝×75°；
同理可得∠EA3A2＝（）2×75°，∠FA4A3＝（）3×75°，
∴第n个三角形中以An为顶点的底角度数是（）n 1×75°．
故选：C．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，找出规律是解答此题的关键．
6．（2022下·广东汕头·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠ACB＝60°，AB＝16，AD⊥BC，垂足为D，∠ACB的平分线交AD于点E，则AE的长为（ ）
A． B．4 C． D．6
【答案】C
【分析】在Rt△ABD中，利用等腰直角三角形的性质列方程求解可求出AD和BD的长度，在Rt△ADC中；根据直角三角形中30度角所对的直角边是斜边的一半的性质可列方程解出CD，同理可得DE的长度，再利用AE=AD DE即可求出AE的长度．
【详解】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，即△ABD、△ADC和△CDE为直角三角形，
在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，AB=16，∠B=45°，
∴∠B=∠BAD =45°，则AD=BD，
设AD=BD=x，由勾股定理得：
，
解得：，即AD=BD=，
在Rt△ADC中，∵∠ADC=90°，∠ACD=60°，AD=，
∴∠CAD=30°，则，
设CD=x，则AC=2x，由勾股定理得：
，
解得：，即CD，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ECD=30°，
在Rt△CDE中，同理得：DE，
∴AE=AD﹣DE=﹣=，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质和直角三角形中30度角所对的直角边是斜边的一半，根据勾股定理构造方程是解题的关键．
7．（2023下·湖南益阳·八年级统考期末）如图，在中，平分，E，P分别是，上的动点，连接，．若，，则的最小值是（ ）
A．3 B．6 C．10 D．12
【答案】B
【分析】过点C作交于点P，过点P作，此时最小，再利用 ，求出的长度，即为的最小值．
【详解】解：过点C作交于点P，过点P作，
∵平分，，，
，
∴此时最短，最短距离为的长，
∵，，
，
，
，
最小值为6．
故选：B．
【点睛】本题考查轴对称的性质、角平分线的性质，三角形的面积．熟练掌握利用轴对称解决线段的和最小问题，是解题的关键．
8．（2022上·山东临沂·八年级统考期中）如图，等腰中，于点D，的平分线分别交于E、F两点，M为的中点，的延长线交于点N，连接，下列结论：①；②为等腰三角形；③；④，其中正确结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】先根据等腰直角三角形的性质得出，，，进而证，即可判断①；根据平分，得出，再根据三角形的内角和定理得出，即可得出，即可判断②；根据等腰三角形的三线合一即可得出，即可判断③；再证，推出，即可判断④．
【详解】解：，，，
，，，
，
平分，
，
，
，
，
∴为等腰三角形，故②正确；
又∵M为的中点，
∴，故③正确；
在和中，
，
，故①正确；
在和中
，
，
，
，故④正确；
即正确的有4个，
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，直角三角形斜边上中线性质，等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质以及勾股定理等相关知识的应用，能熟练运用相关图形的判定与性质是解此题的关键，主要考查学生的推理能力．
9．（2022上·安徽蚌埠·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠BAC＞90°，D为BC的中点，点E在AC上，将△CDE沿DE折叠，使得点C恰好落在BA的延长线上的点F处，连接AD、CF，则图中所有的等腰三角形的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】由折叠的性质可得CD=DF，EF=EC，结合D为BC的中点可得BD=CD=DF，可得△BDF，△CDF，△EFC是等腰三角形，再由等腰三角形的性质和余角的性质可得∠FAE=∠AFE，可得EF=EA可说明△AEF是等腰三角形．
【详解】解：如图：∵D为BC的中点，
∴BD=CD，
∵将△CDE沿DE折叠，
∴CD=DF，EF=EC，
∴BD=CD=DF，
∴△BDF，△CDF，△EFC是等腰三角形，
∴EF=EC，
∴∠EFC=∠ECF，
∴∠FAE=∠AFE，
∴EF=AE，
∴△AEF是等腰三角形，
∴图中所有的等腰三角形的个数为4．
故选D．
【点睛】本题主要考查了翻折变换、等腰三角形的判定和性质等知识点，熟练运用折叠的性质是解答本题的关键．
10．（2022上·河南周口·八年级统考期末）如图，△是等边三角形，是等腰直角三角形，，于点E，连接，分别交于点F、G，过点A作交于点H，，则下列结论：①；②是等腰三角形；③；④；⑤．其中正确的有（ ）
A．①②③④ B．①③④⑤ C．①②④⑤ D．②③④⑤
【答案】B
【分析】①由等边三角形与等腰直角三角形知△CAD是等腰三角形且顶角∠CAD=150°，据此可判断；
②求出∠AFG和∠FAG度数，从而得出∠AGF度数，据此得出答案；
③根据ASA证明△ADF≌△BAH即可判断；
④由∠BAE=45°，∠ADC=∠BAH=15°，则∠EAH=30°，DF=2EH即可得出．
【详解】解：∵△ABC为等边三角形，△ABD为等腰直角三角形，
∴∠BAC=60°，∠BAD=90°，AC=AB=AD，∠ADB=∠ABD=45°，
∴△CAD是等腰三角形，且顶角∠CAD=150°，
∴∠ADC=15°，故①正确；
∵AE⊥BD，即∠AED=90°，
∴∠DAE=45°，
∴∠AFG=∠ADC＋∠DAE=60°，∠FAG=45°，
∴∠AGF=75°，
∴△AFG三个内角都不相等，
∴△AFG不是等腰三角形，故②错误；
由AH⊥CD且∠AFG=60°知∠FAH=30°，
则∠BAH=∠ADC=15°，
在△ADF和△BAH中，
∠ADF=∠BAH，DA=AB，
∴△ADF≌△BAH（ASA）
∴DF=AH，故③正确；
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵∠ADC=15°=∠ACD，
∴∠BCG=45°，
∴∠CGB=180°－∠ABC－∠BCG=180°－60°－45°＝75°，故④正确；
∵∠ABE=∠EAB=45°，∠ADF=∠BAH=15°，∠DAF=∠ABH=45°，
∴∠EAH=∠EAB－∠BAH=45°－15°=30°，
∴AH=2EH，
∴DF=2EH=4，故⑤正确；
故选：B．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握直角三角形的性质、等腰三角形与等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点的应用．
第II卷（非选择题）
评卷人得分
二、填空题
11．（2022上·江苏镇江·八年级校考期中）已知等腰△ABC的周长是19，底边长AB＝7，则腰长BC＝ ．
【答案】6
【分析】根据等腰三角形的性质得，腰长，计算即可得出答案．
【详解】∵等腰△ABC的周长是19，底边长AB＝7，
∴腰长，
故答案为：6．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形两腰相等是解题的关键．
12．（2022下·江西抚州·八年级校考阶段练习）如图，在中，边上的垂直平分线交边于点，交边于点若的周长为，与四边形的周长之差为，则线段的长为 ．
【答案】
【分析】运用线段垂直平分线定理可得，再根据已知条件“的周长为，与四边形的周长之差为”表示出线段之间的数量关系，联立关系式后求解．
【详解】解：是边上的垂直平分线，
．
的周长为，
，
与四边形的周长之差为，
，
，
，，
得，．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查线段的垂直平分线的性质和解二元一次方程组．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
13．（2023下·山西太原·八年级统考期末）已知，在中，，点是的中点，于点，连接请从下面A，B两题中任选一题作答．我选择 ．
A．如图1，若，则线段的长为 ．
B．如图2，若，，则线段的长为 ．
【答案】 A或B
【分析】（1）选A或B，根据条件分别求解即可；
（2）由A中条件知是等腰直角三角形，从而，进而得到是等腰直角三角形，则，进而，过作于，如图所示，由等腰直角三角形性质得到，在中，利用勾股定理即可得到线段的长为；
（3）过作于，连接，如图所示，在中由勾股定理得到，由等面积可得得，根据中点性质，在中，由勾股定理得，再由等面积可得得，在中由勾股定理得，在中由勾股定理得，从而，在中由勾股定理得．
【详解】解：（1）选A或B；
（2）选A：过作于，如图所示：
在中，，如图1，，则是等腰直角三角形，
，
，
点是的中点，
，
，
是等腰直角三角形，则，
，
在中，，，，则由勾股定理可得，
故答案为：；
（3）选B：过作于，连接，如图所示：
在中，，如图2，，，则由勾股定理可得，
由等面积可得，即，解得，
点是的中点，
，
在中，，，，则由勾股定理可得，
，
由等面积可得，即，解得，
在中，，，，则由勾股定理可得，
在中，，，，则由勾股定理可得，
，
在中，，，，则由勾股定理可得，
故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理求线段长及等腰直角三角形的判定与性质等，数形结合，熟练运用勾股定理求线段长是解决问题的关键．
14．（2022下·广西南宁·八年级统考期末）由12个有公共顶点的直角三角形拼成的图形如图所示，．若，则的长为 ．
【答案】
【分析】由∠AOB=∠BOC=…=∠LOM=30°，∠ABO=∠BCO=…=∠LMO=90°，可知AB：OB：OA=BC：OC：OB=…=FG：OG：OF=1：：2，由此可求出OG的长．
【详解】解：由图可知，∠ABO=∠BCO=…=∠LMO=90°，
∵∠AOB=∠BOC=…=∠LOM=30°，
∴∠A=∠OBC=∠OCD=…=∠OLM=60°，
∴AB=OA，OB===OA，
同理可得，，
，
…
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，属于基础题，掌握含30°角的直角三角形的性质是解题基础．
15．（2023上·江苏苏州·八年级苏州中学校考期末）如图，中，，，点为边上一点，，点为边的中点，连接，点为线段上的动点，连接，，则的最小值为 ．
【答案】5
【分析】连接，交于点，连接，首先证明为线段的垂直平分线，即有点、关于对称，，此时，的值最小，再利用勾股定理解得，由，即可确定的最小值．
【详解】解：如下图，连接，交于点，连接，
∵，点为边的中点，
∴，即为线段的垂直平分线，
∴点、关于对称，，
此时，的值最小，
∵，，
∴在中，，
∴，
即的最小值为5．
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了最短路径、勾股定理、垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，利用轴对称的性质确定取最小值时的位置是解题关键．
16．（2022上·江西吉安·九年级校联考期中）如图，是等边三角形，高，为上一动点，为的中点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了等边三角形的性质，轴对称一最短路线问题，由等边三角形的性质可得两点关于直线对称，即的最小值为的长，由等边三角形的高线相等可求的长，进而求解，确定使是最小值的点是解题的关键．
【详解】∵为等边三角形，为高，
∴两点关于直线对称，
连接，则与的交点即为使是最小值的点，
即的最小值为，
∵为的中点，
∴，即为的高线，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
评卷人得分
三、解答题
17．（2022上·八年级单元测试）如图，四边形ABCD中，，，，，，求四边形ABCD的面积.
【答案】114
【分析】连接AC，根据勾股定理求出AC，根据勾股定理的逆定理求出△ACD是直角三角形，分别求出△ABC和△ACD的面积，即可得出答案．
【详解】解：如图所示，连接AC，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴.
【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，解此题的关键是能求出△ABC和△CAD的面积，注意：如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
18．（2022上·辽宁大连·八年级统考期末）如图，是等边三角形，是边上一点，在右侧作，且，连接，．
(1)求证：是等边三角形；
(2)若是等边外一点，且与点都在直线同侧，若，连接，画出图形，探究线段、、之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)证明过程见详解
(2)当点在右侧时，；当点在左侧时，，理由见详解
【分析】（1）是等边三角形，，，可证，由此即可证；
（2）如图所示（见详解），当点在右侧时，当点在左侧时，
【详解】（1）证明：∵是等边三角形，
∴，，
又∵，，
∴，
∴，，
∴是等边三角形；
（2）解：如图所示，当点在右侧时，．
证明：在上取点，使，连结，设与交于点，
∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，即，
∴是等边三角形，
∴．
∵，
∴；
如图，当点在左侧时，．
在上取点，使，连接，同理可得，
∴，，同理可得为等边三角形，，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质的综合运用是解题的关键．
19．（2022下·福建三明·八年级统考阶段练习）如图，中，，为上一点，，．于，于点，、相交于点．
（1）连接，求的度数；
（2）求证：．
【答案】（1）30°（2）见解析
【分析】（1）根据直角三角形的性质和三角形外角性质和等腰三角形的判定即可得到结论；
（2）根据全等三角形的判定定理即可得到结论．
【详解】（1）解：∵CF⊥AD，
∴∠DFC＝90°，
∵∠ADE＝60°，
∴∠FCD＝30°，
∴DF＝CD，
∵BD＝CD，
∴BD＝DF，
∴∠BFD＝∠DBF，
∵∠DBF＋∠DFB＝∠FDC＝60°，
∴∠BFD＝30°；
（2）证明：∵∠ABC＝45°，
∴∠ABF＝45° 30°＝15°，
∵∠ABF＋∠BAF＝∠BFD＝30°，
∴∠FAB＝15°，
即∠BAF＝∠ABF，
∴BF＝AF，
∵∠FBC＝∠FCB＝30°，
∴BF＝CF，
∵AE⊥BC，
∴∠AED＝90°，
∵∠ADC＝60°，
∴∠FAG＝30°＝∠DCF，
在△AFG和△CFD中
，
∴△AFG≌△CFD（ASA）；
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，三角形外角性质，等腰三角形的判定，题目综合性比较强，难度偏大．
20．（2023上·山西大同·八年级大同市第六中学校校考阶段练习）以点A为顶点作等腰，等腰，其中，如图1所示放置，使得一直角边重合，连接．
(1)试判断的数量关系，并说明理由；
(2)延长交于点F，求的度数；
(3)如图2将绕着点A旋转一定的角度，那么和有怎样的关系，并说明理由．
【答案】(1)，理由见解析
(2)
(3)，，理由见解析
【分析】（1）根据证明与全等，再利用全等三角形的性质解答即可；
（2）利用全等三角形的性质得出，进而解答即可；
（3）根据证明与全等，再利用全等三角形的性质解答即可．
【详解】（1）解：，
理由如下：
∵等腰，等腰，
，
，
在与中，
，
，
；
（2）解：∵，
，
，
；
（3）解：，，
理由如下：
∵等腰，等腰，
，
，
，
即，
在与中，
，
，
，，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及其性质、等腰直角三角形的性质，解题的关键是牢固掌握全等三角形的判定及其性质知识点．
21．（2022下·重庆渝中·七年级重庆巴蜀中学校考期末）尺规作图并完成证明．如图，点D、点F在△ABC外，连接AF、AD、BD，且AF∥BC，∠ABD＝∠CAF，BD＝AC．
(1)用尺规完成以下基本作图：
作∠ABC的平分线BE交AF于点E，连接CE（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)根据（1）中作图，求证：AD＝CE；请完善下面的证明过程．
证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝______．
∵AF∥BC．
∴∠CBE＝______．
∴∠ABE＝∠AEB．
∴______．
在ACE和△BDA中，
．
∴△ACE≌△BDA．
∴AD＝CE．
【答案】(1)见解析
(2)∠ABE，∠AEB，AE＝AB
【分析】（1）根据要求作∠ABC的平分线BE交AF于点E，连接CE，作出图形即可；
（2）根据SAS证明△ACE≌△BDA即可．
【详解】（1）解：图形如图所示：
（2）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠ABE，
∵AFBC，
∴∠CBE＝∠AEB，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AE＝AB，
在ACE和△BDA中，
，
∴△ACE≌△BDA（SAS），
∴AD＝CE．
故答案为：∠ABE，∠AEB，AE＝AB．
【点睛】本题考查作图-基本作图，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
22．（2022上·江苏连云港·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB＝AC，点P是底边BC的中点，PD⊥AB，PE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为点D、E、F．
（1）试说明PD与PE的关系．
（2）请证明PD+PE与BF的关系．
【答案】（1）PD＝PE，见解析；（2）PD+PE＝BF，见解析．
【分析】（1）根据题意易得BP＝PC，∠B＝∠C，∠BDP＝∠PEC＝90°，从而可证△BDP≌△CEP，进而由全等三角形的性质可得；
（2）连接AP，由（1）及题意根据等面积法直接求证即可．
【详解】解：（1）∵点P是BC的中点，
∴BP＝PC，
∵AB＝AC
∴∠B＝∠C，且BP＝PC，∠BDP＝∠PEC＝90°
∴△BDP≌△CEP（AAS）
∴PD＝PE
（2）PD+PE＝BF
理由如下：如图，连接AP，
∵S△ABC＝S△ABP+S△APC，
∴AC×BF＝AB×PD+×AC×PE
∴BF＝PD+PE．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及全等三角形的性质与判定，关键是根据题意得到三角形的全等，然后利用等面积法进行求解即可．
23．（2023上·湖北咸宁·八年级统考期末）（1）【问题发现】 如图1，和都是等边三角形，点D在边上，连接． 则的度数为______；
（2）【拓展探究】如图2，和都是等腰直角三角形，，点D在边上，连接．则的度数为______；
（3）【迁移运用】如图3，在四边形中，，，，，求的值．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）根据等边三角形性质利用证明，可得；
（2）根据等腰直角三角形性质利用证明，可得；
（3）如图，延长至点，使，由，则，可得，进而可证，由可得结果．
【详解】解：（1）∵和都是等边三角形，
∴，，，
则，
∴，
∴，
∴
故答案为：；
（2）∵和都是等腰直角三角形，
∴，，，
则，
∴，
∴，
∴
故答案为：；
（3）如图，延长至点，使
∵，
∴
∵
∴，
在和中，
∴，
∴
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、三角形全等的性质和判定，本题还运用了类比的思想，从问题发现到解决问题，第三问有难度，作辅助线，构建全等三角形是关键．
24．（2023上·辽宁沈阳·八年级沈阳市沈东初级中学校考开学考试）如图1，在平面直角坐标系中，，．
(1)点关于轴的对称点在第一象限，为实数的范围内的最大整数，点的坐标______，的面积______．
(2)在（1）的条件下，点是第一象限的点，且是以为腰的等腰直角三角形，点坐标______．
(3)在（1）的条件下，如图2，时，以、的作等边三角形和等边，连接、交于点，连接．点是轴上一动点，的最小值______．
【答案】(1)，
(2)或
(3)
【分析】（1）根据第四象限内点的坐标特征，得出不等式组，然后解不等式组，进而求出点A的坐标，最后用三角形面积公式即可得出求解；
（2）分①，，②，两种情况讨论即可；
（3）先判断，则可求点C的坐标，然后作C关于的对称点，过作于H，连接交y轴于M，连接，则，此时最小，最后在利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：∵点关于轴的对称点在第一象限，
∴点在第四象限，
∴，
解得，
∴最大整数，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：是以为腰的等腰直角三角形，
则①，或②，，
①，，如图，过点P作于Q，
则，
∴，
∴，
在和中
，
∴，
∴，，
∴，
∴点P的坐标为；
②，，如图，过P作于H
同理：，
∴，，
∴，
∴点P的坐标为；
综上，点P的坐标为或；
（3）解：∵，，，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
又，
∴，即，
∴，
作C关于的对称点，过作于H，连接交y轴于M，连接，
则，此时最小，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴的最小值为．
【点睛】此题主要考查了坐标与图形，全等三角形的判定与性质，坐标与图形，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质等知识，正确作出辅助线是解题的关键．
25．（2023下·四川成都·七年级统考期末）如图，在中，为边上的高，是的角平分线，点F为上一点，连接，．
(1)求证：平分；
(2)连接交于点G，若，求证：；
(3)在（2）的条件下，当，时，求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)7.5
【分析】（1）根据是的角平分线和得，再结合为边上的高得出即可证明；
（2）过点F作于点M，于点N，证明，得出，再根据，解出即可证明；
（3）根据及为边上的高证明，得出，再根据，解得，结合即可求出；
【详解】（1）证明： 是的角平分线，
.
，
.
.
为边上的高，
.
.
平分.
（2）过点F作于点M，于点N，
平分，且，，
.
，
，
平分，
，
在和中，
，
，
，
，
，
（3），
，，
，
为边上的高，
，
，
.
在和中，
.
，
，
，
，
.
【点睛】本题主要考查了全等三角形的证明以及性质运用，角平分线的判定以及基本性质，熟练掌握全等三角形的几种判定方法以及角平分线的判定是解答该题的关键．
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