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微专题01 等腰三角形的证明与计算通关专练
一、单选题
1．（2022上·河南周口·八年级统考期末）“已知等腰三角形的底边和底边上的高，用尺规作图求作等腰三角形”里用到的基本作图是
A．作一条线段等于已知线段，作已知线段的垂直平分线 B．作已知角的平分线
C．过直线外一点作已知直线的垂线 D．作一个角等于已知角
【答案】A
【分析】根据等腰三角形的性质以及垂直平分线的性质即可判断．
【详解】当已知等腰三角形的底边时，可先尺规作图作出已知线段，
然后根据等腰三角形“三线合一”的性质，可知底边上的高所在直线为底边的垂直平分线，
因此作底边的垂直平分线，并运用尺规截取高度即可得到等腰三角形的顶点，
最后连接顶点与底边的两个端点即可得到等腰三角形，
故选：A．
【点睛】本题主要考查尺规作图作一个等腰三角形的原理，理解基本性质是解题关键．
2．（2022上·浙江·八年级期末）如图，中，，过点作交于点．若，则下列命题正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据AD⊥AC，结合∠ADC=2∠B和等腰三角形的性质，求出∠B和∠C的度数，从而设AD=x，则CD=2x，AC=AD=x，根据外角的性质得到∠BAD，从而判断B、D；推出AD=BD，从而判断出AC、CD和BD的关系，即可判断A、C．
【详解】解：∵AD⊥AC，
∴∠DAC=90°，
∵∠ADC=2∠B，AB=AC，
∴∠B=∠C=∠ADC，
又∵∠ADC+∠C=90°，
∴∠C=30°=∠B，∠ADC=60°，
设AD=x，则CD=2x，AC=AD=x，
∵∠ADC=∠B+∠BAD=60°，
∴∠BAD=30°=∠B，则B、D错误；
∴BD=AD=x，
∴CD=2BD，故A错误；
AC=AD=BD，故C正确，
故选C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和，30度的直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握含30度的直角三角形的性质，理解其边角关系．
3．（2022上·福建福州·八年级福建省福州第一中学校考期中）若等腰三角形的一个内角为，则该三角形的顶角为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】A
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求解即可．
【详解】解：∵等腰三角形的一个内角为，
∴该等腰三角形的顶角只能为，因为若底角为，则两个底角和大于，不满足三角形的内角和为，
故选：A．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质，判定出已知角只能为顶角是解答的关键．
4．（2022下·江苏无锡·七年级无锡市第一女子中学校考期中）如图，已知AB、CD交于点O，AO＝CO，BO＝DO，则在以下结论中：①AD＝BC；②∠A＝∠C；③∠ADB＝∠CBD；④∠ABD＝∠CDB，正确结论的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【分析】根据题意得出△AOD≌△COB全等和△BOD为等腰三角形，从而得出答案．
【详解】解：∵AO=CO，∠AOD=∠COB，BO=DO，
∴△AOD≌△COB，
∴AD=BC，∠A=∠C，∠ADO=∠CBO，故①②正确；
∵BO＝DO，
∴∠CDB=∠ABD，故④正确；
∴∠ADB=∠CBD，故③正确；
∴正确的有4个，
故选A．
【点睛】本题主要考查的就是三角形全等的判定与性质以及等腰三角形的性质，属于基础题型．解决这个问题的关键就是得出三角形全等，从而得出正确答案．
5．（2022下·甘肃白银·八年级校考期中）如图，在△ABC中，AB=AC=BD，∠DAC=∠DCA，则∠DAC=（ ）．
A．36° B．45° C．60° D．72°
【答案】A
【分析】设∠DAC=x°，根据∠DAC=∠DCA得到∠DAC=∠DCA=x°，然后利用等腰三角形的性质表示出相关的角的度数，利用三角形内角和定理求得x即可求得答案．
【详解】设∠DAC=x°，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
在中，，
即，
解得：．
故选：A．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形的外角性质和三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形中等边对等角是解答本题的关键．
6．（2022下·四川成都·八年级四川省成都市石室联合中学校考阶段练习）等腰三角形中，，中点为，过作于，，则等于（ ）
A．8cm B．7cm C．6cm D．4cm
【答案】A
【分析】根据等腰三角形的性质和直角三角形的性质求解．
【详解】解：等腰三角形中，，中点为，
，
，
∴∠AED=30°，
∵，
．
故选：A．
【点睛】此题考查学生对等腰三角形三线合一的掌握及直角三角形的性质的运用．
7．（2022下·福建南平·九年级阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点A(－4，0)，点B(4，0)，若点C在一次函数的图象上，且△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】B
【分析】设C（m，-m+2）．构建方程即可解决问题.
【详解】设C（m，-m+2）
①当CA=CB时，点C在线段AB的垂直平分线上，此时C（0，2）．
②当AC=AB时，（m+4）2+（-m+2）2=64，
解得：m=4，或m=-8.8，
∴C（4，0）（舍去）或（-8.8，6.4）；
③当BC=AB时，（m-4）2+（-m+2）2=64，
解得m=，
∴C（，）或（，）；
综上所述，满足条件的点有4个，
故选B．
【点睛】本题考查一次函数图象上的点的特征、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
8．（2022上·湖南长沙·八年级统考期末）如图，，是角平分线上一点，，垂足为，点是的中点，且，如果点是射线上一个动点，则的最小值是（ ）
A．１ B． C．2 D．
【答案】C
【分析】根据角平分线的定义可得∠AOP=∠AOB=30°，再根据直角三角形的性质求得PD=OP=2，然后根据角平分线的性质和垂线段最短得到结果．
【详解】∵P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB=60°，
∴∠AOP=∠AOB=30°，
∵PD⊥OA，M是OP的中点，DM=2，
∴OP=2DM=4，
∴PD=OP=2，
∵点C是OB上一个动点，
∴PC的最小值为P到OB距离，
∴PC的最小值=PD=2．
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，直角三角形的性质，熟记性质并作出辅助线构造成直角三角形是解题的关键．
9．（2022下·广西来宾·八年级统考期末）如图，直线y＝2x+b（b＞0）与x，y轴分别交于A，B两点，以OB为斜边在y轴右侧作等腰直角三角形OBC，将点C向左平移，使其对应点C恰好落在直线AB上，若OC＝2，则点的坐标为（ ）
A．(﹣1，2) B．(﹣1，) C．(﹣2，2) D．(﹣1，2)
【答案】A
【分析】先求出OB＝4，即可求得直线AB为y＝2x+4，再由C在线段OB的垂直平分线上，得出C点纵坐标为2，将y＝2代入y＝2x+4，求得x＝﹣1，即可得到的坐标为（﹣1，2）．
【详解】解：∵△OBC是等腰直角三角形，OC＝2 ，
∴OB＝4，
∴B（0，4），
∵直线y＝2x+b与y轴交于B点，
∴b＝4，
∴y＝2x+4，
∵△OBC是以OB为斜边的等腰直角三角形，
∴C在线段OB的垂直平分线上，
∴C点纵坐标为2．
将y＝2代入y＝2x+4，得2＝2x+4，
解得x＝﹣1，
∴C′（﹣1，2）．
故选：A．
【点睛】本题考查一次函数的图象与性质、待定系数法求一次函数的解析式、等腰直角三角形的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
10．（2022·陕西·统考模拟预测）在中，，，的平分线交于点，若，则长为（ ）
A． B．6 C． D．8
【答案】A
【分析】如图，根据直角三角形两锐角互余可得∠ABC=60°，根据角平分线的定义可得∠ABD=∠CBD=30°，可得∠A=∠ABD，可得BD=AD，根据含30°角的直角三角形的性质可得CD的长，利用勾股定理即可得答案．
【详解】∵，，
∴∠ABC=90°-30°=60°，
∵BD为∠ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠CBD=30°，
∴∠A=∠ABD，
∴BD=AD=8，
∴CD=BD=4，
∴BC==，
故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形性质的应用，30°角所对的直角边等于斜边的一半；熟练掌握相关性质是解题关键．
11．（2022下·河南平顶山·八年级统考期末）如图，点P在边OA上，，点M，N在边OB上，，若，的面积为，则（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】A
【分析】过点P作PC⊥MN，垂足为C，根据等腰三角形的三线合一性质可得CN＝MN＝1，再根据△PMN的面积求出PC的长，然后在Rt△POC中，根据勾股定理求出OC，即可解答．
【详解】解：过点P作PC⊥MN，垂足为C，如图所示：
∴∠PCO＝90°，
∵PM＝PN，PC⊥MN，
∴CN＝MN＝1，
∵的面积为，
∴，
∴，
在Rt△POC中，根据勾股定理可知，
，
∴ON＝OC＋CN＝6＋1＝7，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角形面积的有关计算，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线，是解题的关键．
12．（2022上·贵州铜仁·八年级统考期中）等腰三角形的一边长为，一边长为，则此三角形的周长为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【分析】分4cm是腰长和底边两种情况，利用三角形的三边关系判断是否能够组成三角形，再利用三角形的周长的定义解答即可．
【详解】解：若4cm是腰长，则三角形的三边分别为4cm、4cm、7cm，
能够组成三角形，
周长=4+4+7=15cm；
若4cm是底边长，则三角形的三边分别为4cm、7cm、7cm，
能够组成三角形，
周长=4+7+7=18cm，
综上所述，等腰三角形的周长为15cm或18cm．
故答案为：D．
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分情况讨论是解答此题的关键．
13．（2022·贵州黔东南·统考中考真题）将一副直角三角板按如图所示的方式放置，使用角的三角板的直角边和含角的三角板的直角边垂直，则∠1的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由三角板的特征可得∠B=45°，∠E=30°，∠EFD=90°，利用三角形的外角的性质及对顶角的性质可求解∠AGE的度数，再利用三角形外角的性质可求解∠1的度数．
【详解】解：由题意得△ABC，△DEF为直角三角形，∠B=45°，∠E=30°，∠EFD=90°，
∴∠AGE=∠BGF=45°，
∵∠1=∠E+∠AGE，
∴∠1=30°+45°=75°，
故选：D．
【点睛】本题主要考查三角形外角的性质，等腰直角三角形，求解∠AGE的度数是解题的关键．
14．（2022下·陕西铜川·八年级统考期末）如图，在中，，，，点D是BC边上的一个动点（不与B、C重合），过点D作交AB边于点E，将沿直线DE翻折，点B落在射线BC上的F处，连接AF，当为直角三角形时，BD的长为（ ）
A．1 B．3 C．1或2 D．1或3
【答案】C
【分析】首先利用勾股定理求出三角形ABC的边长，分∠EAF=90°和∠AFE=90°两种情况，利用30°角的性质列方程求解．
【详解】解：在直角△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴AB=2AC，
根据勾股定理，得BC2=AB2-AC2=4AC2-AC2=9，
解得AC=，AB=2AC=2，
设BD=x,则用同样方法得BE= ，
∴AE=AB-BE=2-，EF=BE=，
FC=BC-FB=3-2x,
∵∠AEF=∠B+∠EFB=60°，
当∠EAF=90°，∠EFA=30°，
∴EF=2AE，
有=2（2-），
解得x=2，
②当∠AFE=90°时，AE=2EF，
有2×=2-，
解得x=1，
故选择C．
【点睛】本题考查直角三角形的性质与折叠问题，解决问题的关键是确定折叠前后的对应关系．
15．（2022上·重庆北碚·八年级西南大学附中校考期中）如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D为AB的中点，E为线段AD上一点，过E点的线段FG交CD的延长线于G点，交AC于F点，且EG＝AE，分别延长CE，BG交于点H，若EH平分∠AEG，HD平分∠CHG则下列说法：①∠GDH＝45°；②GD＝ED；③EF＝2DM；④CG＝2DE+AE，正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】B
【分析】首先证明△AEC≌△GEC（SAS），推出CA=CG，∠A=∠CGE=45°，推出DE=DG，故②正确；再证明△EDC≌△GDB，推出∠CED=∠BGD，ED=GD，由三角形外角的性质得出∠HDG=∠HDE，进而得出∠GDH=∠EDH=45°，即可判断①正确；
通过证明△EDC和△EMD是等腰直角三角形，得到ED=MD，再通过证明△EFC≌△EDC，得到EF=ED，从而可判断③错误；由CG=CD+DG，CD=AD，ED=GD，变形即可判断④正确．
【详解】∵AC=BC，∠ACB=90°，AD=DB，
∴CD⊥AB，CD=AD=DB，∠A=∠CBD=45°．
∵EH平分∠AEG，
∴∠AEH=∠GEH．
∵∠AEH+∠AEC=180°，∠GEH+∠CEG=180°，
∴∠AEC=∠CEG．
∵AE=GE，EC=EC，
∴△AEC≌△GEC（SAS），
∴CA=CG，∠A=∠CGE=45°．
∵∠EDG=90°，
∴∠DEG=∠DGE=45°，
∴DE=DG，∠AEF=∠DEG=∠A=45°，
故②正确；
∵DE=DG，∠CDE=∠BDG=90°，DC=DB，
∴△EDC≌△GDB（SAS），
∴∠CED=∠BGD，ED=GD．
∵HD平分∠CHG，
∴∠GHD=∠EHD．
∵∠CED=∠EHD+∠HDE，∠BGD=∠GHD+∠HDG，
∴∠HDG=∠HDE．
∵∠EDG=∠ADC=90°，
∴∠GDH=∠EDH=45°，故①正确；
∵∠EDC=90°，ED=GD，
∴△EDC是等腰直角三角形，
∴∠DEG=45°．
∵∠GDH=45°，
∴∠EDH=45°，
∴△EMD是等腰直角三角形，
∴ED=MD．
∵∠AEF=∠DEG=∠A=45°，
∴∠AFE=∠CFG=90°．
∵∠EDC=90°，
∴∠EFC=∠EDC=90°．
∵EH平分∠AEG，
∴∠AEH=∠GEH．
∵∠FEC=∠GEH，∠DEC=∠AEH，
∴∠FEC=∠DEC．
∵EC=EC，
∴△EFC≌△EDC，
∴EF=ED，
∴EF=MD．
故③错误；
∵CG=CD+DG=AD+ED=AE+ED+ED，
∴CG=2DE+AE，
故④正确．
故选B．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
二、填空题
16．（2022下·湖北武汉·九年级江夏一中校考期中）如图，△ABC中，AB=AC， D是BC边上一点，且BD=AB， AD=CD， 则∠BAC的度数是
【答案】108°
【分析】由AD=CD得∠DAC=∠C，由AB=AC=BD得∠BDA=∠BAD=2∠C，从而可推出∠BAC=3∠C，根据三角形的内角和定理即可求得∠C的度数，从而可求得答案．
【详解】∵AD=CD，
∴∠DAC=∠C，
设∠DAC=∠C=，
∵AB=AC=BD，
∴∠BDA=∠BDA=∠DAC+∠C=2，∠B=∠C=，
∴∠BAC=3∠C=3，
∵∠B+∠BAC+∠C=180°，
∴5=180°，
∴∠C=36°，
∴∠BAC=3∠C=108°，
故答案为：108
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理的应用；求得角之间的关系利用内角和求解是正确解答本题的关键．
17．（2022上·吉林松原·八年级统考期中）如图，在△中，以点为圆心，以长为半径画弧交边于点，连接．若，则 度．
【答案】
【分析】根据作图可得是等腰三角形，根据等腰三角形两底角相等得出即可解答．
【详解】解：根据题意得：，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，掌握三角形内角和定理，等腰三角形的性质是解题的关键．
18．（2022上·湖南长沙·八年级校考阶段练习）如图，是边上的中点，将△沿过点的直线折叠．使点落在边上处，若，则 ．
【答案】50
【分析】先根据图形翻折的性质可得AD＝DF，结合AD＝BD根据等边对等角的性质求出∠B＝∠BFD，再根据三角形的内角和定理列式计算即可求解．
【详解】解：∵△DEF是△DEA沿直线DE翻折变换而来，
∴AD＝DF，
∵D是AB边的中点，
∴AD＝BD，
∴BD＝DF，
∴∠B＝∠BFD，
∵∠B＝65°，
∴∠BDF＝180° ∠B ∠BFD＝180° 65° 65°＝50°，
故答案为：50．
【点睛】本题考查的是折叠的性质，等边对等角以及三角形内角和定理，熟知折叠的性质是解答此题的关键．
19．（2022上·浙江金华·八年级校考期中）把一副三角板如图放置，其中，，，连接，两三角板的斜边长分别为，，若，则线段的长为 cm．
【答案】
【分析】设AB与CE的交点为F，由题意易得CE⊥AB，AF=CF=4，EF=6，然后利用勾股定理可求解．
【详解】解：设AB与CE的交点为F，如图所示：
∵，，，
∴AC=BC，∠ECD=60°，∠B=45°，
∵，
∴∠ECB=45°，
∴∠CFB=∠AFE=90°，
∴AF=FB=CF，
∵AB=8，CE=10，
∴AF=FB=CF=4，FE=6，
∴在Rt△AFE中，
；
故答案为．
【点睛】本题主要考查等腰直角三角形及含30°的直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握等腰直角三角形及含30°的直角三角形的性质及勾股定理是解题的关键．
20．（2022下·山西太原·七年级统考期末）如图，在三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，点D在AB边上（不与A、B重合），连接CD，将△ACD沿CD所在直线折叠得到△A′CD，A′C交AB于点E．
请从A、B两题中任选一题作答．我选择 题．
A．如图1，若A′D∥BC，则∠ACD的度数为 ．
B．如图2，若A′E＝A′D，则∠ACD的度数为 ．
【答案】 A（或B） 25° 15°
【分析】任意选择A或B解答．
A．由平行线的性质得到∠A′CB=A′=∠A=40°，求出∠A′CA=90°-40°=50°，即可求出∠ACD=25°；
B、根据等边对等角求出∠A′ED＝∠A′DE=70°，得到∠BEC=∠A′ED=70°，利用三角形内角和定理求出∠BCE =60°，即可得到∠ACD=15°．
【详解】解：任意选择A或B解答．
A．∵A′D∥BC，
∴∠A′CB=A′=∠A=40°，
∴∠A′CA=90°-40°=50°，
∵∠A′CD=∠ACD，
∴∠ACD=25°，
故答案为：25°；
B．∵A′E＝A′D，∠A′＝∠A=40°，
∴∠A′ED＝∠A′DE=70°，
∴∠BEC=∠A′ED=70°，
∵∠B=90°-∠A=50°，
∴∠BCE=180°-∠B-∠BEC=60°，
∴∠A′CA=30°，
∴∠ACD=15°，
故答案为：15°．
【点睛】此题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，等边对等角求角度，对顶角相等的性质，正确理解折叠的性质是解题的关键．
21．（2022上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考阶段练习）如图，等边，点在线段的延长线上，连接，在上，在上，且，，，的周长为35，则 ．
【答案】6
【分析】过点A作AH⊥BC于H，设等边的边长为a，，由等边三角形求出AH和HC，用x来表示AH、HD、AD的长，利用勾股定理即可求出x，从而可得到答案．
【详解】解：如图，过点A作AH⊥BC于H，
设等边的边长为a，即AB=BC=a，，
则，
在Rt△AHC中，，
∵，的周长为35，
∴，即，
∴，
∴，，，
在Rt△AHD中，，
即，
解得，
∵，
∴．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、勾股定理，正确的根据勾股定理列出方程是解题的关键．
22．（2022上·湖北十堰·八年级统考期末）如图，等腰三角形的底边长为，面积是，腰的垂直平分线分别交，于点、，若点为底边的中点，点为线段上一动点，则的周长的最小值为 .
【答案】9
【分析】连接AD，连接AE，由线段垂直平分线的性质可知AE=EB，则BE+DE=AE+DE，故此当A、E、D在一条直线上时，EB+DE有最小值，然后依据等腰三角形三线合一的性质可证明AD为△ABC底边上的高线，依据三角形的面积可求得AD的长．
【详解】连接AD，连接AE，如图，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴BD=3,AD⊥BC，
解得，
∵MN是线段AB的垂直平分线，
∴AE=BE．
∴BE+ED=ED+AE．
∴当A、E、D在一条直线上时，EB+ED=AD有最小值，最小值为6．
∴△BDE的周长的最小值为DB+AD=3+6=9；
【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
23．（2022上·湖南长沙·八年级长郡中学校考期末）如图，在ABC中，ACB 90，BAC 30， AB2，D是AB边上的一个动点（点D不与点A、B重合），连接CD，过点D作CD的垂线交射线CA于点E．当ADE为等腰三角形时，AD的长度为 ．
【答案】1或
【分析】分两种情况：①当点E在AC上，AE＝DE时，则∠EDA＝∠BAC＝30°，由含30°角的直角三角形的性质得出BC＝1，∠B＝60°，证出△BCD是等边三角形，得出AD＝AB－BD＝1；②当点E在射线CA上，AE＝AD时，得出∠E＝∠ADE＝15°，由三角形内角和定理求出∠ACD＝∠CDA，由等角对等边得出AD＝AC＝即可．
【详解】解：分两种情况：①当点E在AC上，AE＝DE时，
∴∠EDA＝∠BAC＝30°，
∵DE⊥CD，
∴∠BDC＝60°，
∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，
∴BC＝AB＝1，∠B＝60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴BD＝BC＝1，
∴AD＝AB－BD＝1；
②当点E在射线CA上，AE＝AD时，如图所示：
∵∠BAC＝30°，
∴∠E＝∠ADE＝15°，
∵DE⊥CD，
∴∠CDA＝90° 15°＝75°，
∴∠ACD＝180° 30° 75°＝75°＝∠CDA，
∴AD＝AC＝，
综上所述：AD的长度为1或；
故答案为：1或．
【点睛】本题考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质等知识；灵活运用各性质进行推理计算是解决问题的关键．
24．（2022上·河南郑州·八年级校考开学考试）如图，过边长为2的等边△ABC的边AB上点P作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE长为 ．
【答案】1
【分析】过P做BC的平行线交AC于F，通过求证△PFD和△QCD全等，推出FD＝CD，再通过证明△APF是等边三角形和PE⊥AC，推出AE＝EF，即可推出AE＋DC＝EF＋FD，可得ED＝AC，即可推出ED的长度．
【详解】解：过P做BC的平行线交AC于F，
∴∠Q＝∠FPD，
∵等边△ABC，
∴∠APF＝∠B＝60°，∠AFP＝∠ACB＝60°，
∴△APF是等边三角形，
∴AP＝PF，
∵AP＝CQ，
∴PF＝CQ，
∵在△PFD和△QCD中，
，
∴△PFD≌△QCD（AAS），
∴FD＝CD，
∵PE⊥AC于E，△APF是等边三角形，
∴AE＝EF，
∴AE+DC＝EF+FD，
∴ED＝AC，
∵AC＝2，
∴DE＝1．
故答案为1．
【点睛】本题主要考查等边三角形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质，关键在于正确地作出辅助线，熟练运用相关的性质、定理，认真地进行计算．
25．（2022下·八年级单元测试）如图,点B,C,D在一条直线上,△ABC,△ADE是等边三角形,若CE=15cm,CD=6cm,则AC= ,∠ECD= .
【答案】 9cm； 60.
【分析】根据等边三角形性质得出AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠EAD=∠B=60°，求出∠BAD=∠CAE，根据SAS证△BAD≌△CAE，推出∠ACE=∠B=60°，BD=CE=15cm，求出BC和∠ECD即可．
【详解】解：∵△ABC、△ADE是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠EAD=∠B=60°，
∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD，
即∠BAD=∠CAE，
∵在△BAD和△CAE中
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ACE=∠B=60°，BD=CE=15cm，
∴BC=BD-CD=15cm-6cm=9cm，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC=9cm，
∵∠B+∠BAC=∠ACD=120°，∠ACE=∠B=60°，
∴∠ECD=60°，
故答案为9cm，60.
【点睛】本题考查了等边三角形性质和全等三角形的性质和判定，关键是推出△BAD≌△CAE，题目比较典型，是一道比较好的题目．
三、问答题
26．（2010上·江西新余·八年级统考期中）如图，在中，，，求和的度数．
【答案】∠B＝77°，∠C＝
【分析】根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理可求出∠B和∠ADB的度数，利用三角形外角性质即可求出∠C的度数．
【详解】解：∵AB＝AD，
∴∠B＝∠ADB＝×（180°﹣26°）＝77°，
∵AD＝DC，
∴∠C=∠DAC，
∴∠C＝∠ADB＝×77°＝．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质及三角形外角的性质，掌握等边对等角、三角形三个内角和等于180°和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题关键．
27．（2022上·山东德州·八年级校考期中）如图1，在中，于，，D是AE上的一点，且，连接、．
(1)试判断BD与AC的位置关系和数量关系，并说明理由；
(2)如图2，若将绕点E旋转一定的角度后，仍然有，，试判断与的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由；
(3)如图3，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变：
①试猜想与的数量关系，不用说明理由；
②你能求出与所成的锐角的度数吗？如果能，请直接写出该角的度数；如果不能，请说明理由．
【答案】(1)，，证明见解析；
(2)不变，证明见解析；
(3)①，②．
【分析】（1）延长交于，求出，证出≌，推出，，根据推出，求出即可；
（2）求出，证出≌，推出，，根据求出，求出即可；
（3）①如图中，结论：，只要证明≌即可；②求出，证出≌，推出，根据三角形内角和定理求出即可．
【详解】（1）解：结论：，，
理由是：延长交于．
，
，
在和中，
，
，，
，
，
，
，
，
；
（2）不发生变化．
理由：如图中
设与交于点
，
，
，
在和中，
，
，，
，
，
，
，
，
；
（3）①如图中，结论：，
理由是：和是等边三角形，
，，，，
，
，
在和中，
≌，
．
②能．与所成的角的度数为．
和是等边三角形，
，，，，
，
，
在和中，
，
，
，
即与所成的角的度数为．
【点睛】本题考查了等边三角形性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查了学生的推理能力．
28．（2022上·山东烟台·七年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=AC，点D为BC边上一动点（不与点B，C重合），过点D作射线DE交AB于点E，使∠ADE=∠B．
（1）如图1，判断∠BDE与∠CAD的大小关系，并说明理由；
（2）如图2，当∠DAE为直角时，请探索∠ADE与∠CAD的数量关系．
【答案】（1）∠BDE=∠CAD，理由见解析；（2）2∠ADE+∠CAD=90o，理由见解析
【分析】（1）根据等腰三角形的性质，平角的性质、三角形内角和定理，通过等量代换进行证明；
（2）根据三角形内角和定理及（1）中的结论，通过等量代换进行证明猜想的数量关系．
【详解】解：（1）∠BDE=∠CAD；
理由如下：
因为AB=AC，
所以∠B=∠C．
因为∠ADE=∠B，
所以∠ADE=∠C．
因为∠BDE+∠ADE+∠ADC=180o，
∠CAD+∠C+∠ADC=180o，
所以∠BDE=∠CAD；
（2）因为∠DAE为直角，
所以∠B+∠ADB=90o．
即∠B+∠BDE+∠ADE=90o．
由（1）知∠BDE=∠CAD，
又因为∠ADE=∠B，
所以2∠ADE+∠CAD=90o．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理、等腰三角形的性质，平角性质，解题的关键是掌握相关的知识点，通过等量代换的思想间接证明．
29．（2023·江苏宿迁·统考二模）如图，在中，的平分线交边于点于点．已知．
(1)求的度数；
(2)若，求的长度
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先利用角平分线的定义求出，然后利用三角形的外角性质进行计算即可解答；
（2）根据垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余求出，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质可得，再利用利用直角三角形的两个锐角互余求出，从而利用等腰直角三角形的性质即可解答．
【详解】（1）解：平分，
，
是的一个外角，
，
的度数为；
（2），
，
，
，
，
，
，
，
，
的长度为．
【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质，以及等腰直角三角形的性质是解题的关键．
30．（2022上·浙江舟山·八年级校考期中）如图，△ABC中，BA＝BC，CO⊥AB于点O，AO＝4，BO＝6．
（1）求BC，AC的长；
（2）若点D是射线OB上的一个动点，作DE⊥AC于点E，连结OE．
①当点D在线段OB上时，若△AOE是以AO为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的OD的长．
②设DE交直线BC于点F，连结OF，CD，若S△OBF：S△OCF＝1：4，求OD的长（直接写出结果）．
【答案】（1）8，；（2）①4或4﹣4；②或8．
【分析】（1）根据BA=BC可得BC的长，分别根据勾股定理可得OC和AC的长；
（2）①分两种情况：AO=OE和AO=AE时，分别画图，根据三角形的中位线定理和证明三角形全等可解决问题；
②分两种情况：
i）当D在线段OB上时，如图3，过B作BG⊥EF于G，根据同高三角形面积的比等于对应底边的比，得，可得BF=，根据平行线的性质证明∠BDG=∠BFG，得BD=BF=，最后利用勾股定理可得结论；
ii）当D在线段OB的延长线上时，如图4，过B作BG⊥DE于G，同理计算可得结论．
【详解】解：（1）由勾股定理得：CO＝＝＝8，
AC＝＝＝ =4；
（2）①分两种情况：
i）如图1，当AO＝OE＝4时，过O作ON⊥AC于N，
∴AN＝EN，
∵DE⊥AC，
∴ON∥DE，
∴AO＝OD＝4；
ii）当AO＝AE＝4时，如图2，
在△CAO和△DAE中，
，
∴△CAO≌△DAE（AAS），
∴AD＝AC＝4，
∴OD＝4﹣4；
②分两种情况：
i）当D在线段OB上时，如图3，过B作BG⊥EF于G，
∵S△OBF：S△OCF＝1：4，
∴
∴
∵CB＝10
∴BF＝
∵EF⊥AC，
∴BG∥AC，
∴∠GBF＝∠ACB，
∵AE∥BG，
∴∠A＝∠DBG，
∵AB＝BC，
∴∠A＝∠ACB，
∴∠DBG＝∠GBF，
∵∠DGB＝∠FGB，
∴∠BDG＝∠BFG，
∴BD＝BF＝，
∴OD＝OB﹣BD＝6﹣＝，
ii）当D在线段OB的延长线上时，如图4，过B作BG⊥DE于G，
同理得，
∵BC＝10，
∴BF＝2，
同理得：∠BFG＝∠BDF，
∴BD＝BF＝2，∴OD＝OB+BD＝8
故答案为：或8．
【点睛】本题考查了全等三角形的综合题，关键是根据全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的性质和判定、三角形的面积、勾股定理等知识解答，有难度．
31．（2022上·广东东莞·八年级东莞市东华初级中学校考期中）如图，中，，是边上的中线，点E在上，．求证：
(1)；
(2)是等腰三角形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据等腰三角形的性质，得出，，根据余角的性质得出，即可得出，根据平行线的判定得出答案即可；
（2）根据，得出，即可证明结论．
【详解】（1）证明：，是边上的中线，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∴是等腰三角形．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的判定，余角的性质，解题的关键是证明．
32．（2023下·浙江金华·九年级校联考阶段练习）如图，在的正方形网格中，点都在格点上，仅用无刻度的直尺按要求画图（保留画图痕迹，不写画法）：
(1)在图1中画出线段，使垂直平分，且点在格点上；
(2)在图2中画的角平分线．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【详解】（1）解：如图所示，，，过点沿着格线向右移动个格点到点，得，连接交于点，线段经过格点，连接，
∴线段即为的垂直平分线．
（2）解：由（1）可得，，线段即为的垂直平分线，连接，如图所述，
∴线段即为的角平分线．
【点睛】本题主要考查勾股定理与网格，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，格点作图，掌握以上知识是解题的关键．
33．（2022上·湖南衡阳·八年级校考期中）综合与探究：
如图在等边三角形ABC中，线段AM为BC边上的中线，动点D在直线AM上时，以CD为一边在CD的下方作等边三角形CDE，连接BE．
（1）填空：∠CAM＝ ；
（2）若点D在线段AM上时，求证：△ADC≌△BEC；
（3）当动点D在直线AM上时，设直线BE与直线AM的交点为O，
①当点D在线段AM上时，求∠AOB的度数；
②当动点D在直线AM上时，试判断∠AOB是否为定值？并说明理由．
【答案】（1）30°；（2）详见解析；（3）①60°；②∠AOB是定值，∠AOB＝60°，理由详见解析．
【分析】（1）根据等边三角形的性质可以直接得出结论；
（2）根据等边三角形的性质就可以得出AC＝AC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，由等式的性质就可以∠BCE＝∠ACD，根据SAS就可以得出△ADC≌△BEC；
（3）①由（2）可知△ACD≌△BCE，则∠CBE＝∠CAD＝30°，由等边三角形的性质得出AM⊥BC，即可得出答案；
②分情况讨论，当点D在线段AM上时，由①得：∠AOB＝60°；
当点D在线段AM的延长线上时，证明△ACD≌△BCE（SAS），得出∠CBE＝∠CAD＝30°即可得出答案；
当点D在线段MA的延长线上时，证明△ACD≌△BCE（SAS），得出∠CBE＝∠CAD，同理得出∠CAM＝30°，求出∠CBE＝∠CAD＝150°，得出∠CBO＝30°，即可得出答案．
【详解】（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∵线段AM为BC边上的中线，
∴∠CAM＝∠BAC，
∴∠CAM＝30°，
故答案为30°；
（2）证明：∵△ABC与△DEC都是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACD+∠DCB＝∠DCB+∠BCE，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ADC和△BEC中，，
∴△ACD≌△BCE（SAS）；
（3）①当点D在线段AM上时，如图1所示：
由（2）可知△ACD≌△BCE，则∠CBE＝∠CAD＝30°，
∵△ABC是等边三角形，线段AM为BC边上的中线
∴AM⊥BC，
∴∠BMO＝90°，
∴∠AOB＝90°﹣∠CBE＝90°﹣30°＝60°；
②∠AOB是定值，∠AOB＝60°，理由如下：
当点D在线段AM上时，由①得：∠AOB＝60°；
当点D在线段AM的延长线上时，如图2所示：
∵△ABC与△DEC都是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB+∠DCB＝∠DCB+∠DCE，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，，
∴△ACD≌△BCE（SAS）
∴∠CBE＝∠CAD＝30°，
∴∠AOB＝90°﹣∠CBE＝90°﹣30°＝60°；
当点D在线段MA的延长线上时，如图3所示：
∵△ABC与△DEC都是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACD+∠ACE＝∠BCE+∠ACE＝60°，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CBE＝∠CAD，
同理可得：∠CAM＝30°
∴∠CBE＝∠CAD＝150°
∴∠CBO＝30°，
∴∠AOB＝90°﹣∠CBO＝90°﹣30°＝60°；
综上所述，当动点D在直线AM上时，∠AOB是定值，∠AOB＝60°．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质的运用，直角三角形的性质的运用，等式的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解题的关键．
34．（2022上·吉林长春·七年级吉林省第二实验学校校考期末）【感知】如图①，是等边三角形，点D、E分别在边上，且，证明：．
【探究】如图②，是等边三角形，点D、E分别在边的延长线上，且，则图②中全等的三角形是______________________；若此时，，则___________．
【拓展】如图③，在中，，，点D、E分别在的延长线上，且，若，，则的大小为___________．
【答案】感知：见解析；探究：，，6；拓展：20
【分析】感知：根据证明三角形全等即可；
探究：证明，求出的面积即可；
拓展：先判断出，进而得出，再利用同高的两三角形的面积的比等于底的比求出，的面积，即可得出结论．
【详解】解：感知：如图①中，∵是等边三角形，
∴，，
在和中，，
∴；
探究：与全等，
理由：如图②中，
在等边中，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴．
故答案为：，，6；
拓展：如图③中，
∵，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴（同高的两三角形的面积比是底的比），
∴，
∵，
∴（同高的两三角形的面积比是底的比），
∴，
故答案为：20．
【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，同高的三角形面积的比等于底的比，解探究的关键是得出，解拓展的关键是求出．
35．（2022上·浙江杭州·八年级期末）如图1，两个完全相同的三角形纸片和重合放置，其中，．
（1）操作发现：如图2，固定，使绕点旋转，当点恰好落在边上时，填空：①线段与的位置关系是________；②设的面积为，的面积为，则与的数量关系是_____．
（2）猜想论证：当绕点旋转到如图3所示的位置时，请猜想（1）中与的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展探究：已知，平分，，，交于点（如图4）．若在射线上存在点，使，请求相应的的长．
【答案】（1）DE∥AC；S1=S2；（2）成立，证明见解析；（3）BF的长为3或6．
【分析】（1）①根据旋转的性质可得AC=CD，然后求出△ACD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠ACD=60°，然后根据内错角相等，两直线平行解答；
②根据等边三角形的性质可得AC=AD，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC=AB，然后求出AC=BD，再根据等边三角形的性质求出点C到AB的距离等于点D到AC的距离，然后根据等底等高的三角形的面积相等解答；
（2）根据旋转的性质可得BC=CE，AC=CD，再求出∠ACN=∠DCM，然后利用“角角边”证明△ACN和△DCM全等，根据全等三角形对应边相等可得AN=DM，然后利用等底等高的三角形的面积相等证明；
（3）过点D作DF1∥BE，求出四边形BEDF1是菱形，根据菱形的对边相等可得BE=DF1，然后根据等底等高的三角形的面积相等可知点F1为所求的点，过点D作DF2⊥BD，求出∠F1DF2=60°，从而得到△DF1F2是等边三角形，然后求出DF1=DF2，再求出∠CDF1=∠CDF2，利用“边角边”证明△CDF1和△CDF2全等，根据全等三角形的面积相等可得点F2也是所求的点，然后勾股定理求出EG的长，即可得解
【详解】（1）①∵△DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上，
∴AC=CD，
∵∠BAC=90°-∠B=90°-30°=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ACD=60°，
又∵∠CDE=∠BAC=60°，
∴∠ACD=∠CDE，
∴DE∥AC；
故答案为：DE∥AC；
②∵∠B=30°，∠C=90°，
∴CD=AC=AB，
∴BD=AD=AC，
根据等边三角形的性质，△ACD的边AC、AD上的高相等，
∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），
即S1=S2；
故答案为：S1=S2；
（2）如图，过点D作DM⊥BC于M，过点A作AN⊥CE交EC的延长线于N
∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到，
∴BC=CE，AC=CD，
∵∠ACN+∠BCN=90°，∠DCM+∠BCN=180°-90°=90°，
∴∠ACN=∠DCM，
∵在△ACN和△DCM中，
，
∴△ACN≌△DCM（AAS），
∴AN=DM，
∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），
即S1=S2；
（3）如图，过点D作DF1∥BE，易求四边形BEDF1是菱形，
所以BE=DF1，且BE、DF1上的高相等，
此时S△DCF1=S△BDE；
过点D作DF2⊥BD，
∵∠ABC=60°，F1D∥BE，
∴∠F2F1D=∠ABC=60°，
∵BF1=DF1，∠F1BD=∠ABC=30°，∠F2DB=90°，
∴∠F1DF2=∠ABC=60°，
∴△DF1F2是等边三角形，
∴DF1=DF2，过点D作DG⊥BC于G，
∵BD=CD，∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，
∴∠DBC=∠DCB=×60°=30°，BG=BC= ，
∴BD=3
∴∠CDF1=180°-∠BCD=180°-30°=150°，
∠CDF2=360°-150°-60°=150°，
∴∠CDF1=∠CDF2，
∵在△CDF1和△CDF2中，
，
∴△CDF1≌△CDF2（SAS），
∴点F2也是所求的点，
∵∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，DE∥AB，
∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=×60°=30°，
∴∠CDE=360°-∠CDF2-∠F2DB-DBE=360°-150°-90°-30°=90°，
∴∠CDG=90°-∠DCG=60°，
又∵BD=CD=3，
∴DG= ，
设EG为x，则DE=2x,
,
解得x=1.5,
∴BE=BG-EG=4.5-1.5 =3，
∴BF1=3，BF2=BF1+F1F2=3+3=6，
故BF的长为3或6．
【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，三角形的面积，等边三角形的判定与性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟练掌握等底等高的三角形的面积相等，以及全等三角形的面积相等是解题的关键，（3）要注意符合条件的点F有两个．
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微专题01 等腰三角形的证明与计算通关专练
一、单选题
1．（2022上·河南周口·八年级统考期末）“已知等腰三角形的底边和底边上的高，用尺规作图求作等腰三角形”里用到的基本作图是
A．作一条线段等于已知线段，作已知线段的垂直平分线 B．作已知角的平分线
C．过直线外一点作已知直线的垂线 D．作一个角等于已知角
2．（2022上·浙江·八年级期末）如图，中，，过点作交于点．若，则下列命题正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022上·福建福州·八年级福建省福州第一中学校考期中）若等腰三角形的一个内角为，则该三角形的顶角为（ ）
A． B． C．或 D．或
4．（2022下·江苏无锡·七年级无锡市第一女子中学校考期中）如图，已知AB、CD交于点O，AO＝CO，BO＝DO，则在以下结论中：①AD＝BC；②∠A＝∠C；③∠ADB＝∠CBD；④∠ABD＝∠CDB，正确结论的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
5．（2022下·甘肃白银·八年级校考期中）如图，在△ABC中，AB=AC=BD，∠DAC=∠DCA，则∠DAC=（ ）．
A．36° B．45° C．60° D．72°
6．（2022下·四川成都·八年级四川省成都市石室联合中学校考阶段练习）等腰三角形中，，中点为，过作于，，则等于（ ）
A．8cm B．7cm C．6cm D．4cm
7．（2022下·福建南平·九年级阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点A(－4，0)，点B(4，0)，若点C在一次函数的图象上，且△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
8．（2022上·湖南长沙·八年级统考期末）如图，，是角平分线上一点，，垂足为，点是的中点，且，如果点是射线上一个动点，则的最小值是（ ）
A．１ B． C．2 D．
9．（2022下·广西来宾·八年级统考期末）如图，直线y＝2x+b（b＞0）与x，y轴分别交于A，B两点，以OB为斜边在y轴右侧作等腰直角三角形OBC，将点C向左平移，使其对应点C恰好落在直线AB上，若OC＝2，则点的坐标为（ ）
A．(﹣1，2) B．(﹣1，) C．(﹣2，2) D．(﹣1，2)
10．（2022·陕西·统考模拟预测）在中，，，的平分线交于点，若，则长为（ ）
A． B．6 C． D．8
11．（2022下·河南平顶山·八年级统考期末）如图，点P在边OA上，，点M，N在边OB上，，若，的面积为，则（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
12．（2022上·贵州铜仁·八年级统考期中）等腰三角形的一边长为，一边长为，则此三角形的周长为（ ）
A． B． C． D．或
13．（2022·贵州黔东南·统考中考真题）将一副直角三角板按如图所示的方式放置，使用角的三角板的直角边和含角的三角板的直角边垂直，则∠1的度数为（ ）
A． B． C． D．
14．（2022下·陕西铜川·八年级统考期末）如图，在中，，，，点D是BC边上的一个动点（不与B、C重合），过点D作交AB边于点E，将沿直线DE翻折，点B落在射线BC上的F处，连接AF，当为直角三角形时，BD的长为（ ）
A．1 B．3 C．1或2 D．1或3
15．（2022上·重庆北碚·八年级西南大学附中校考期中）如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D为AB的中点，E为线段AD上一点，过E点的线段FG交CD的延长线于G点，交AC于F点，且EG＝AE，分别延长CE，BG交于点H，若EH平分∠AEG，HD平分∠CHG则下列说法：①∠GDH＝45°；②GD＝ED；③EF＝2DM；④CG＝2DE+AE，正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
二、填空题
16．（2022下·湖北武汉·九年级江夏一中校考期中）如图，△ABC中，AB=AC， D是BC边上一点，且BD=AB， AD=CD， 则∠BAC的度数是
17．（2022上·吉林松原·八年级统考期中）如图，在△中，以点为圆心，以长为半径画弧交边于点，连接．若，则 度．
18．（2022上·湖南长沙·八年级校考阶段练习）如图，是边上的中点，将△沿过点的直线折叠．使点落在边上处，若，则 ．
19．（2022上·浙江金华·八年级校考期中）把一副三角板如图放置，其中，，，连接，两三角板的斜边长分别为，，若，则线段的长为 cm．
20．（2022下·山西太原·七年级统考期末）如图，在三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，点D在AB边上（不与A、B重合），连接CD，将△ACD沿CD所在直线折叠得到△A′CD，A′C交AB于点E．
请从A、B两题中任选一题作答．我选择 题．
A．如图1，若A′D∥BC，则∠ACD的度数为 ．
B．如图2，若A′E＝A′D，则∠ACD的度数为 ．
21．（2022上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考阶段练习）如图，等边，点在线段的延长线上，连接，在上，在上，且，，，的周长为35，则 ．
22．（2022上·湖北十堰·八年级统考期末）如图，等腰三角形的底边长为，面积是，腰的垂直平分线分别交，于点、，若点为底边的中点，点为线段上一动点，则的周长的最小值为 .
23．（2022上·湖南长沙·八年级长郡中学校考期末）如图，在ABC中，ACB 90，BAC 30， AB2，D是AB边上的一个动点（点D不与点A、B重合），连接CD，过点D作CD的垂线交射线CA于点E．当ADE为等腰三角形时，AD的长度为 ．
24．（2022上·河南郑州·八年级校考开学考试）如图，过边长为2的等边△ABC的边AB上点P作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE长为 ．
25．（2022下·八年级单元测试）如图,点B,C,D在一条直线上,△ABC,△ADE是等边三角形,若CE=15cm,CD=6cm,则AC= ,∠ECD= .
三、问答题
26．（2010上·江西新余·八年级统考期中）如图，在中，，，求和的度数．
27．（2022上·山东德州·八年级校考期中）如图1，在中，于，，D是AE上的一点，且，连接、．
(1)试判断BD与AC的位置关系和数量关系，并说明理由；
(2)如图2，若将绕点E旋转一定的角度后，仍然有，，试判断与的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由；
(3)如图3，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变：
①试猜想与的数量关系，不用说明理由；
②你能求出与所成的锐角的度数吗？如果能，请直接写出该角的度数；如果不能，请说明理由．
28．（2022上·山东烟台·七年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=AC，点D为BC边上一动点（不与点B，C重合），过点D作射线DE交AB于点E，使∠ADE=∠B．
（1）如图1，判断∠BDE与∠CAD的大小关系，并说明理由；
（2）如图2，当∠DAE为直角时，请探索∠ADE与∠CAD的数量关系．
29．（2023·江苏宿迁·统考二模）如图，在中，的平分线交边于点于点．已知．
(1)求的度数；
(2)若，求的长度
30．（2022上·浙江舟山·八年级校考期中）如图，△ABC中，BA＝BC，CO⊥AB于点O，AO＝4，BO＝6．
（1）求BC，AC的长；
（2）若点D是射线OB上的一个动点，作DE⊥AC于点E，连结OE．
①当点D在线段OB上时，若△AOE是以AO为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的OD的长．
②设DE交直线BC于点F，连结OF，CD，若S△OBF：S△OCF＝1：4，求OD的长（直接写出结果）．
31．（2022上·广东东莞·八年级东莞市东华初级中学校考期中）如图，中，，是边上的中线，点E在上，．求证：
(1)；
(2)是等腰三角形．
32．（2023下·浙江金华·九年级校联考阶段练习）如图，在的正方形网格中，点都在格点上，仅用无刻度的直尺按要求画图（保留画图痕迹，不写画法）：
(1)在图1中画出线段，使垂直平分，且点在格点上；
(2)在图2中画的角平分线．
33．（2022上·湖南衡阳·八年级校考期中）综合与探究：
如图在等边三角形ABC中，线段AM为BC边上的中线，动点D在直线AM上时，以CD为一边在CD的下方作等边三角形CDE，连接BE．
（1）填空：∠CAM＝ ；
（2）若点D在线段AM上时，求证：△ADC≌△BEC；
（3）当动点D在直线AM上时，设直线BE与直线AM的交点为O，
①当点D在线段AM上时，求∠AOB的度数；
②当动点D在直线AM上时，试判断∠AOB是否为定值？并说明理由．
34．（2022上·吉林长春·七年级吉林省第二实验学校校考期末）【感知】如图①，是等边三角形，点D、E分别在边上，且，证明：．
【探究】如图②，是等边三角形，点D、E分别在边的延长线上，且，则图②中全等的三角形是______________________；若此时，，则___________．
【拓展】如图③，在中，，，点D、E分别在的延长线上，且，若，，则的大小为___________．
35．（2022上·浙江杭州·八年级期末）如图1，两个完全相同的三角形纸片和重合放置，其中，．
（1）操作发现：如图2，固定，使绕点旋转，当点恰好落在边上时，填空：①线段与的位置关系是________；②设的面积为，的面积为，则与的数量关系是_____．
（2）猜想论证：当绕点旋转到如图3所示的位置时，请猜想（1）中与的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展探究：已知，平分，，，交于点（如图4）．若在射线上存在点，使，请求相应的的长．
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