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微专题03 含30°角直角三角形通关专练
一、单选题
1．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第四十九中学校校考期中）如图，在中，，，，，则的长为（ ）.
A．2 B．4 C．6 D．8
2．（2023上·湖北武汉·八年级校联考期中）如图所示，在中，，将沿折叠，使点C落在边D点，若，则（ ）．
A．12 B．16 C．18 D．14
3．（2023下·全国·八年级专题练习）在中，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023上·辽宁辽阳·八年级辽阳市第一中学校考阶段练习）在三角形纸片中，，，，折叠该纸片，使点和点重合，折痕与、分别相交于点和点，则折痕的长为（ ）
A． B．1 C． D．2
5．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第六十九中学校校考阶段练习）如图，在中，于点，则与的周长之比为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023上·广西玉林·八年级统考期中）如图，在中，，，于点，是的平分线，且交于，若，则的长为（ ）
A．12 B．9 C．6 D．3
7．（2023上·福建福州·八年级福建省福州第十九中学校考期中）如图，是等边三角形，点D是的中点，，，则AC等于（ ）
A．6 B．8 C．9 D．12
8．（2023上·广东珠海·八年级珠海市第九中学校考期中）如图，在中，，，，，则（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
9．（2023上·湖北荆门·八年级统考期中）如图，已知，平分，，在上找一点M，在上找一点N，则的最小值是（ ）
A．40 B．32 C．24 D．20
10．（2023上·浙江台州·八年级校考期中）边长为4的等边三角形中，D，E，F分别是边上的点，且，有一只蚂蚁从点D出发，经过点E，F，最后回到点D，则蚂蚁所走的最短路程为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．9
11．（2023上·河南信阳·八年级统考期中）如图所示，已知，点在边上，，点在边上，，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
12．（2023上·山东临沂·八年级统考期中）如图，在中，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
13．（2023上·湖北武汉·八年级统考期中）如图，在中，平分交的延长线于点．则的面积是（ ）
A．18 B．36 C． D．
14．（2023上·浙江杭州·八年级校联考期中）如图是一副直角三角板放置，点C在的延长线上，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
15．（2023上·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图：是等边三角形，，，相交于点P，于Q，，，则的长是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
二、填空题
16．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC
17．（2018·天津和平·八年级统考期中）如图，在中，是高，，若，则 ．
18．（2022上·江苏无锡·八年级统考期末）如图，中，，是边上的高．若，则 ．
19．（2023上·北京西城·八年级校考期中）如图，，，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线运动，设点的运动时间为秒，当是锐角三角形时，满足的条件是 ．
20．（2023上·江苏泰州·八年级统考期中）如图，是等边三角形，点D是边上任意一点，于点E，于点F．若，则 ．
21．（2023上·湖南长沙·八年级校联考期中）如图，等边的三个顶点都在坐标轴上，，过点B作，交x轴于点D，则点D的坐标为 ．
22．（2023上·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期中）若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角为 ．
23．（2023上·江苏泰州·八年级校考期中）如图，中，，平分交于点D，当为等腰三角形时，线段的值为 ．
24．（2023上·浙江杭州·八年级杭州市公益中学校考期中）如图，在中，，，，以为边，在上方作一个等边．将四边形折叠，使点与点重合，折痕为，求点到直线的距离为 ．
25．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第四十九中学校校考期中）如图，在等边中，、两点分别在边、上，，连接、，并延长至点，连接，，若，时，则的长为 .
三、问答题
26．（2023上·辽宁葫芦岛·八年级统考期中）如图，一艘船在海岛望灯塔在北偏西方向上，上午8时此船从海岛出发，以30海里/时的速度向正北航行，上午10时到达海岛，此时望灯塔在北偏西方向上．
(1)求从海岛到灯塔的距离；
(2)如果船到达海岛后，不停留，继续沿正北方向航行，请问船什么时候距离灯塔最近？
27．（2023上·福建厦门·八年级厦门一中校考期中）如图，已知，点在边上，，点在边上，，若，求的长．
28．（2023上·广东中山·八年级校联考期中）如图，在中，，，，平分，交边于点，点是边的中点．点为边上的一个动点．
(1) ， 度；
(2)当四边形为轴对称图形时，求的长；
(3)若是等腰三角形，求的度数；
29．（2023上·江苏南通·八年级校联考期中）已知，，点A在边上，点P是边上一动点，．以线段为边在上方作等边，连接、，再以线段为边作等边（点C、P在的同侧），作于点H．
(1)如图1，．①依题意补全图形；②求的度数；
(2)如图2，当点P在射线上运动时，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．
30．（2023上·湖北十堰·八年级校联考期中）如图，是边长为9的等边三角形，P是边上的动点，由点A向点C运动（与A，C不重合），Q是延长线上的动点，与点P以相同的速度同时由点B向延长线方向运动（点Q不与点B重合），过点P作于点E，连接交于D．
(1)当时，求的长；
(2)在运动过程中线段的长是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果发生变化，请说明理由．
31．（2022上·湖北咸宁·八年级咸宁市温泉中学校考期中）如图，点D，E，F分别在等边的三条边上，且，．
(1)若，试判断的形状，并说明理由；
(2)若是直角三角形，求的长；
(3)如图2，若点D是边中点，点E，F分别在边上运动，当的周长最小时，直接写出此时的度数．
32．（2023上·湖北武汉·八年级校联考期中）在平面直角坐标系中，点A为y轴正半轴上一点，点B为x轴上一动点，连接，以为腰作等腰，．
(1)如图1，点B在x轴负半轴上，点C的坐标是，直接写出点A和点B的坐标；
(2)如图2，点B在x轴负半轴上，交x轴于点D，若平分．且点C的纵坐标是，求线段的长；
(3)如图3，点B在x轴正半轴上，以为边在左侧作等边，连接，，若，且，求的面积．
33．（2023上·湖南湘西·八年级统考阶段练习）如图，点是等边边上的一点，，于点，、相交于点．
(1)求证：；
(2)请你过点作，垂足为点，探究与之间的数量关系，并证明．
34．（2023上·四川成都·八年级成都市树德实验中学校考期末）如图，在中，，，延长交于点．
(1)如图1，证明：
(2)如图2，为线段上一点，且，连接并延长交于点，
①求证：．
②若，填空：=_______，_______．(不写过程)
35．（2023上·新疆乌鲁木齐·八年级新疆生产建设兵团第一中学校考期中）如图，在中，，的平分线交于点D，，垂足为D．
(1)求证：是等边三角形；
(2)若交于点F，，求的长．
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微专题03 含30°角直角三角形通关专练
一、单选题
1．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第四十九中学校校考期中）如图，在中，，，，，则的长为（ ）.
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】本题考查三角形内角和定理、等腰三角形的判定、三角形外角的性质及角三角形的性质，熟知这些内容是正确解题的关键。
利用已知条件可求的度数，进而知道，根据等腰三角形的判定得，再利用三角形外角性质得，然后根据含的直角三角形三边的关系可得到的长即可得．
【详解】解：
在中，，，
,
，
,
,
，
在中，，
．
故选：B．
2．（2023上·湖北武汉·八年级校联考期中）如图所示，在中，，将沿折叠，使点C落在边D点，若，则（ ）．
A．12 B．16 C．18 D．14
【答案】C
【分析】本题主要考查了折叠的性质，含角的直角三角形的直角．理解直角三角形中角所对边是斜边的一半是解题的关键．
【详解】解：根据折叠的性质，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选C．
3．（2023下·全国·八年级专题练习）在中，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据含30°角的直角三角形的性质得出，从而得出．
【详解】解：∵在中，，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，30°所对的直角边等于斜边的一半．是基础知识要熟练掌握．
4．（2023上·辽宁辽阳·八年级辽阳市第一中学校考阶段练习）在三角形纸片中，，，，折叠该纸片，使点和点重合，折痕与、分别相交于点和点，则折痕的长为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【分析】本题考查了翻折变换的性质、全等三角形的性质、含角的直角三角形的性质、角平分线的性质；本题综合性强，难度适中，求出是解决问题的关键．根据轴对称的性质可得，得出，，求出，得出，，设，则，得出方程，解方程即可．
【详解】解：根据轴对称的性质得：，
，，
，，
，
，
，，
设，则，
，
，
解得：，
即．
故选：B．
5．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第六十九中学校校考阶段练习）如图，在中，于点，则与的周长之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查的知识点是含30度角的直角三角形，关键是先由已知得出，再根据含30度角的直角三角形的性质求解．已知中，，，于点，可得，根据含30度角的直角三角形的性质，可得：，，，从而求出与的周长之比．
【详解】解：已知中，，，
，
，
，，，
，
与的周长之比为：，
故选：A．
6．（2023上·广西玉林·八年级统考期中）如图，在中，，，于点，是的平分线，且交于，若，则的长为（ ）
A．12 B．9 C．6 D．3
【答案】B
【分析】根据三角形内角和定理得到，则由角平分线的定义得到，求出，证明是等边三角形，得到，则，再由，得到，则．
【详解】解：∵在中，，，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选B．
【点睛】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，三角形内角和定理，等角对等边，等边三角形的性质与判定等等，证明是等边三角形是解题的关键．
7．（2023上·福建福州·八年级福建省福州第十九中学校考期中）如图，是等边三角形，点D是的中点，，，则AC等于（ ）
A．6 B．8 C．9 D．12
【答案】D
【分析】由是等边三角形，得到，，因为，故，则，由于点D是的中点，故可得到答案.
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵点D是的中点，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握等边三角形的性质．
8．（2023上·广东珠海·八年级珠海市第九中学校考期中）如图，在中，，，，，则（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
【答案】C
【分析】根据等腰三角形的性质求出，根据三角形内角和定理求出，求出，根据等腰三角形的判定得出，根据含角的直角三角形的性质得出，再求出答案即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，能求出和的度数是解此题的关键．
9．（2023上·湖北荆门·八年级统考期中）如图，已知，平分，，在上找一点M，在上找一点N，则的最小值是（ ）
A．40 B．32 C．24 D．20
【答案】D
【分析】本题考查了根据轴对称求最短距离，含的直角三角形，垂线段最短等知识点．作点C关于的对称点，连接，，故，可得当，M，N在同一直线上且时，有最小值，且等于线段的长，据此即可求解．
【详解】解：如图所示，作点C关于的对称点，连接，，
则，
∴，
当，M，N在同一直线上且时，有最小值，且等于线段的长，
又∵
∴，
∴中， ，
∴的最小值等于20，
故选：D．
10．（2023上·浙江台州·八年级校考期中）边长为4的等边三角形中，D，E，F分别是边上的点，且，有一只蚂蚁从点D出发，经过点E，F，最后回到点D，则蚂蚁所走的最短路程为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．9
【答案】A
【分析】作点关于的对称点为，得到，即当四点共线时，蚂蚁所走的路线最短，根据等边三角形的性质，含30度的直角三角形的性质，结合勾股定理进行求解即可．
【详解】解：作点关于的对称点为，则：，
∴，
∴当四点共线时，蚂蚁所走的路线最短，
∵边长为4的等边三角形中，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
同法可得：，
∴，
∴，
过点作，则：；
∴蚂蚁所走的最短路程为6；
故选A．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，轴对称的性质．解题的关键是构造轴对称，利用轴对称解决线段和最小问题．
11．（2023上·河南信阳·八年级统考期中）如图所示，已知，点在边上，，点在边上，，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了等腰三角形的性质，以及含度直角三角形的性质，过作于，利用三线合一得到为中点，求出的长，在中，利用度所对的直角边等于斜边的一半求出的长即可求解，熟练掌握直角三角形的性质是解本题的关键．
【详解】解：过作于，如图：
∵，
∴，
在 中, ，，
∴，
∴，
∴，
故选：．
12．（2023上·山东临沂·八年级统考期中）如图，在中，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了含 角的直角三角形的性质，三角形的面积的求法，过作于，根据的角所对的边等于斜边的一半求得，然后根据三角形的面积公式即可得到结论，熟知在直角三角形中的角所对的边等于斜边的一半是解题的关键．
【详解】如图，
过作于D，
∵，，
∴，
∴的面积，
故选：．
13．（2023上·湖北武汉·八年级统考期中）如图，在中，平分交的延长线于点．则的面积是（ ）
A．18 B．36 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查等腰三角形判定和性质，三角形的面积，含角的直角三角形，角平分线定义，延长交延长线于，由直角三角形的性质求出，得到，由角平分线定义得到，由垂直的定义定义得到，由三角形内角和定理推出，因此，求出的面积，由等腰三角形的性质推出，得到的面积的面积，即可求出的面积．
【详解】解：延长交延长线于，
∵，
，
平分
的面积的面积，
故选：A．
14．（2023上·浙江杭州·八年级校联考期中）如图是一副直角三角板放置，点C在的延长线上，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理的应用，含30度角的直角三角形的性质，平行线的性质．过点B作于点M，求出，在中求出，推出，即可求得答案．
【详解】解：过点B作于点M，
在中，，
∴，，
∵，
∴．
∴，，
在中，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴．
故选：B．
15．（2023上·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图：是等边三角形，，，相交于点P，于Q，，，则的长是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【分析】先利用等边三角形的性质证，得，，则，再求出，则，然后由含角的直角三角形的性质求出的长即可．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，三角形的外角性质等知识点，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
二、填空题
16．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC【答案】9
【详解】在Rt△ABC中，∠C=90°，BC∴B'E=2CE=6，∴BE=B'E=6，
∴BC=CE+BE=3+6=9.
17．（2018·天津和平·八年级统考期中）如图，在中，是高，，若，则 ．
【答案】8
【分析】先根据直角三角形的性质可得，再根据含30度角的直角三角形的性质求解即可得．
【详解】解：，，
，
是高，
，
在中，，
在中，，
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题关键．
18．（2022上·江苏无锡·八年级统考期末）如图，中，，是边上的高．若，则 ．
【答案】5
【分析】根据含30度角的直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵是边上的高，，
∴，
∴，
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，熟知含30度角的直角三角形中，30度角所对的直角边的长是斜边长的一半是解题的关键．
19．（2023上·北京西城·八年级校考期中）如图，，，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线运动，设点的运动时间为秒，当是锐角三角形时，满足的条件是 ．
【答案】
【分析】本题考查了含的直角三角形，解题的关键是分是直角三角形时的两种情况，求出t值，即可得到范围．
【详解】解：分两种情况：
当，如图：
在中，，，
∴；
当，如图：
在中，，，
∴，
∴当时，为锐角三角形，
∴，
故答案为：．
20．（2023上·江苏泰州·八年级统考期中）如图，是等边三角形，点D是边上任意一点，于点E，于点F．若，则 ．
【答案】4
【分析】本题考查了等边三角形的性质．设，则，利用等边三角形的性质以及含30度角的直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：设，则，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，，
∴．
故答案为：4．
21．（2023上·湖南长沙·八年级校联考期中）如图，等边的三个顶点都在坐标轴上，，过点B作，交x轴于点D，则点D的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了坐标与图形，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质．利用等边三角形的性质求得的长，再利用含30度角的直角三角形的性质求得的长，继而求得的长，即可求解．
【详解】解：∵是等边三角形，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点D的坐标为．
故答案为：．
22．（2023上·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期中）若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角为 ．
【答案】或
【分析】分该三角形顶角为锐角和该三角形顶角为钝角两种情况，结合“直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半”的逆用以及等腰三角形的性质，即可获得答案．
【详解】解：（1）当该三角形顶角为锐角时，如下图，
由题意可知，，，且，
∴，
∴；
（2）当该三角形顶角为钝角时，如下图，
由题意可知，，，且，
∴，
∴．
综上所述，这个等腰三角形的底角为或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义和性质等知识，运用分类讨论的思想分析问题是解题关键．
23．（2023上·江苏泰州·八年级校考期中）如图，中，，平分交于点D，当为等腰三角形时，线段的值为 ．
【答案】或
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，含有角的直角三角形三边关系，解题的关键是：对为等腰三角形进行分类讨论，即：①；②；③，三种情况，进行计算即可解答．
【详解】解：，平分，
，
①当时，如图所示：
此时，
，
，
，
，
可得；
②当时，过点作的垂线段交于点，如图所示：
此时，
，
设，
，
则，，，
，
，
故可得，
解得，
；
③当时，，
此时
，
故无法构成，故此种情况不存在，
综上所述，为或，
故答案为：或．
24．（2023上·浙江杭州·八年级杭州市公益中学校考期中）如图，在中，，，，以为边，在上方作一个等边．将四边形折叠，使点与点重合，折痕为，求点到直线的距离为 ．
【答案】
【分析】此题重点考查轴对称的性质、等边三角形的性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，证明并且根据勾股定理正确地列出方程是解题的关键．作于点，由，，，得，则，由等边三角形的性质得，，则，由折叠得，根据勾股定理得，求得，则，所以，于是得到问题的答案．
【详解】解：作于点，则，
，，，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
由折叠得，
，
解得，
，
，
，
点到直线的距离是，
故答案为：．
25．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第四十九中学校校考期中）如图，在等边中，、两点分别在边、上，，连接、，并延长至点，连接，，若，时，则的长为 .
【答案】11
【分析】由题意易证明，由全等三角形的性质得出，作，交的延长线于，．证明，由全等三角形的性质得出，，由直角三角形的性质可得出答案．
【详解】解：是等边三角形，
，，
在和中，
，
∴，
，
．
作，交的延长线于，．
，
在和中，
，
∴，
，，
在中，，
，
，，
，
，
在中，，
，
．
故答案为：11．
【点睛】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质等知识点，注意结合图形，作出适当的辅助线解决问题．
三、问答题
26．（2023上·辽宁葫芦岛·八年级统考期中）如图，一艘船在海岛望灯塔在北偏西方向上，上午8时此船从海岛出发，以30海里/时的速度向正北航行，上午10时到达海岛，此时望灯塔在北偏西方向上．
(1)求从海岛到灯塔的距离；
(2)如果船到达海岛后，不停留，继续沿正北方向航行，请问船什么时候距离灯塔最近？
【答案】(1)60海里
(2)11时
【分析】本题考查了直角三角形的特征、方向角：
（1）利用直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半即可求解；
（2）利用直角三角形的特征得，再根据速度、时间及路程的关系即可求解；
熟练掌握直角三角形的特征是解题的关键．
【详解】（1）解：，
，
，
，
（海里），
答：从海岛到灯塔的距离为60海里．
（2）作，垂足为H．
，
，
，
，
（），
（），
答：11时，船距离灯塔C最近．
27．（2023上·福建厦门·八年级厦门一中校考期中）如图，已知，点在边上，，点在边上，，若，求的长．
【答案】2
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、含角的直角三角形的性质．作交于，由等腰三角形的性质可得，由含角的直角三角形的性质得出，计算出即可得到答案．熟练掌握等腰三角形的三线合一以及直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半是解此题的关键．
【详解】解：如图，作交于，
，
，，
，
在中，，，，
，
，
，
，
．
28．（2023上·广东中山·八年级校联考期中）如图，在中，，，，平分，交边于点，点是边的中点．点为边上的一个动点．
(1) ， 度；
(2)当四边形为轴对称图形时，求的长；
(3)若是等腰三角形，求的度数；
【答案】(1)4，45
(2)4
(3)或或
【分析】本题考查了角平分线的性质、轴对称图形的性质、等腰三角形的性质及直角三角形的特征：
（1）利用角平分线的性质及角所对的直角边等于斜边的一半即可求解；
（2）根据轴对称图形的性质即可求解；
（3）分类讨论：当时，当时，当时，利用等腰三角形的性质即可求解；
熟练掌握相关性质是解题的关键．
【详解】（1）解：，，且平分，
，，
，
点是边的中点，
，
，
故答案为：4；45．
（2）四边形为轴对称图形，平分，
对称轴为直线，
．
（3）平分，
，
当时，
，
；
当时，
；
当时，
；
综上，的度数为或或．
29．（2023上·江苏南通·八年级校联考期中）已知，，点A在边上，点P是边上一动点，．以线段为边在上方作等边，连接、，再以线段为边作等边（点C、P在的同侧），作于点H．
(1)如图1，．①依题意补全图形；②求的度数；
(2)如图2，当点P在射线上运动时，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)①见解析；②
(2)，理由见解析
【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质、尺规作图、直角三角形的特征：
（1）①以点为圆心，为半径画弧，再以点为圆心，相同长度为半径画弧，交前弧与，过点作于点H，连接，，即可求解；
②利用等边三角形的性质及角的等量代换即可求解；
（2）连接，，根据等边三角形的性质及可得，进而可得，，再利用角所对的直角边等于斜边的一半即可求解；
熟练掌握相关判定及性质是解题的关键．
【详解】（1）解：①以点为圆心，为半径画弧，再以点为圆心，相同长度为半径画弧，交前弧与，过点作于点H，连接，，
如图所示，即为所求：
②是等边三角形，
，
，
，
．
（2），证明如下：
连接，，如图：
由（1）知：是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
．
30．（2023上·湖北十堰·八年级校联考期中）如图，是边长为9的等边三角形，P是边上的动点，由点A向点C运动（与A，C不重合），Q是延长线上的动点，与点P以相同的速度同时由点B向延长线方向运动（点Q不与点B重合），过点P作于点E，连接交于D．
(1)当时，求的长；
(2)在运动过程中线段的长是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果发生变化，请说明理由．
【答案】(1)
(2)不会改变，
【分析】（1）首先根据题意设，然后得到，，在中利用角直角三角形的性质列方程求解即可；
（2）过点P作的平线性交AB于点M，首先证明出是等边三角形，然后得到，然后证明出，得到，进而求解即可．
【详解】（1）根据题意可得，
∴设，
∵是边长为9的等边三角形，
∴，
∴，
∵在中，，
∴
∴，
∴
解得
∴；
（2）当点P、Q运动时，线段的长度不会改变，，
理由如下：
如图：过点P作的平线性交AB于点M，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，角直角三角形的性质，一元一次方程的应用等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
31．（2022上·湖北咸宁·八年级咸宁市温泉中学校考期中）如图，点D，E，F分别在等边的三条边上，且，．
(1)若，试判断的形状，并说明理由；
(2)若是直角三角形，求的长；
(3)如图2，若点D是边中点，点E，F分别在边上运动，当的周长最小时，直接写出此时的度数．
【答案】(1)是等边三角形，理由见解析
(2)的长为2或4；
(3)．
【分析】（1）先证明，推出，，利用三角形内角和定理求得，据此可证明是等边三角形；
（2）分两种情况讨论，当和时，利用含30度角的直角三角形的性质即可求解；
（3）先作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交、于、，此时的周长最小，再根据三角形内角和与等腰三角形的性质即可求解．
【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下，
∵是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴是等边三角形；
（2）解：当即时，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
当即时，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
综上，的长为2或4；
（3）解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交、于、，
、关于对称，、关于对称，
，，
∴，，
的周长，
当、、、四个点在同一直线上时，的周长最小，
、关于对称，、关于对称，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，用轴对称的性质解决最短路线问题，解决第3题的关键是作点D关于和的对称点，找到符合条件的动点E和F．
32．（2023上·湖北武汉·八年级校联考期中）在平面直角坐标系中，点A为y轴正半轴上一点，点B为x轴上一动点，连接，以为腰作等腰，．
(1)如图1，点B在x轴负半轴上，点C的坐标是，直接写出点A和点B的坐标；
(2)如图2，点B在x轴负半轴上，交x轴于点D，若平分．且点C的纵坐标是，求线段的长；
(3)如图3，点B在x轴正半轴上，以为边在左侧作等边，连接，，若，且，求的面积．
【答案】(1)，
(2)6
(3)8
【分析】（1）如图1，作于，由，可得，，证明，则，，进而可得，；
（2）如图2，作轴，交轴于，交的延长线于，证明，则，证明，根据，计算求解即可；
（3）如图3，在上截取，使，连接，则是等边三角形，证明，则，由，求得，如图3，作于，于，则，，，，，证明，则，根据，计算求解即可．
【详解】（1）解：如图1，作于，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，；
（2）解：如图2，作轴，交轴于，交的延长线于，
∴，
∵平分，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴的长为6；
（3）解：∵为等边三角形，
∴，，
如图3，在上截取，使，连接，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，即，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
如图3，作于，于，则，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为8．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线，含的直角三角形．熟练掌握一线三垂直的全等模型，由构造等边三角形证明全等是解题的关键．
33．（2023上·湖南湘西·八年级统考阶段练习）如图，点是等边边上的一点，，于点，、相交于点．
(1)求证：；
(2)请你过点作，垂足为点，探究与之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
【分析】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，三角形的外角性质、全等三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）根据为等边三角形，可得，，再由，可得，然后在直角三角形中可得，从而得到，再利用两边夹一角可证得；
（2）根据，可得，从而利用三角形的外角性质得到，进而得到，即可求解．
【详解】（1）证明： 是等边三角形，
，，
，即，
，
，
，
，
，
；
（2）解：．
证明：如图，过点作于，
，
，
，
，即，
，
．
34．（2023上·四川成都·八年级成都市树德实验中学校考期末）如图，在中，，，延长交于点．
(1)如图1，证明：
(2)如图2，为线段上一点，且，连接并延长交于点，
①求证：．
②若，填空：=_______，_______．(不写过程)
【答案】(1)见解析
(2)①见解析 ②；
【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定
（1）根据题干所给条件，可用证明三角形全等．
（2）①根据等腰三角形性质，可得出∠ADB=120°，由（1）可知 ，再证，可得，由三角形内角和定理，可求得，于是可证得．②构造含的直角三角形，即可求出和的长，从而求得,要求，根据为的中点，故求出面积，即可求得．
【详解】（1）证明∵
∴
在和中，
（2）解：①∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
故，
在和中，
，
∴，
∴
∴，
即．
②作的垂直平分线交于点，连接，则，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
故，
由①可知，
∴，
如图，连接,
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴点为中点，即是的中线，
故，，且，，，
∴
，
∴，
故答案为：；．
35．（2023上·新疆乌鲁木齐·八年级新疆生产建设兵团第一中学校考期中）如图，在中，，的平分线交于点D，，垂足为D．
(1)求证：是等边三角形；
(2)若交于点F，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)2
【分析】（1）证明，得出，求出，即可证明结论；
（2）根据等边三角形的性质得出，求出，根据直角三角形的性质得出，求出，中，根据，，得出．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴是等边三角形；
（2）解：由（1）知，是等边三角形，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴
在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质．
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