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微专题02 等边三角形的手拉手模型通关专练
一、单选题
1．（2023上·广东汕头·八年级汕头市龙湖实验中学校考期中）如图，已知和都是等边三角形，且A、C、E三点共线．与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接．以下五个结论： ①；②；③； ④是等边三角形； ⑤．其中正确结论的有（ ）个．
A．5 B．4 C．3 D．2
2．（2023上·四川达州·九年级四川省渠县中学校考开学考试）如图，在等边中，点A为上一动点（不与P，Q重合），连接．有以下结论：①平分；②；④；⑤当时（ ）
A．①②③ B．②③④ C．③④⑤ D．②③④⑤
3．（2023上·浙江·九年级专题练习）如图，在，将绕点C按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，则点与点B之间的距离为（ ）
A．4 B．2 C．3 D．
4．（2023下·陕西咸阳·八年级统考期中）如图，为等边三角形，于点D，点E为线段上的动点，连接，以为边在下方作等边，连接，则线段的最小值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
5．（2023下·陕西咸阳·七年级统考期末）如图，在中，，D为上的一点，，在的右侧作，使得，，交于点O，连接，若，则的度数为（ ）
A．120° B．102° C．150° D．124°
6．（2023上·四川自贡·八年级校考期中）如图，分别以的边，所在直线为对称轴作的对称图形和，，线段与相交于点，连接、、、．有如下结论：①；②；③是等边三角形；④．其中正确的结论个数是（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2022上·福建厦门·八年级校考期中）如图，是等边三角形，是的中点，在线段上，连接，以为边在的右侧作等边，连接，若存在实数，使得为定值，则和分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
8．（2022上·福建福州·八年级福州华伦中学校考期中）如图，边长为的等边中，是上中线且，点在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·福建福州·八年级福州日升中学校考期中）如图，在中，分别以、为边作等边三角形与等边三角形，连接、，与交于点，连接．有以下四个结论：①；②平分；③；④．其中结论一定正确的个数有（ ）
A．①②③④ B．①② C．①②③ D．①②④
10．（2022上·浙江·八年级专题练习）如图，在中，，点是外一点，连接、、，且交于点，在上取一点，使得，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
11．（2022下·江苏南京·八年级统考期末）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转60°，得到，连接，则的长是（ ）
A．2 B． C． D．
12．（2022下·四川雅安·八年级校考阶段练习）如图，P 是等边三角形 ABC 内的一点，且 PA＝3，PB＝4，PC＝5，以 BC 为边在△ABC 外作△BQC≌△BPA，连接 PQ，则以下结论中正确的有（ ）
①△BPQ 是等边三角形 ； ②△PCQ 是直角三角形；③∠APB＝150°；④∠APC＝120°；
A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④
13．（2022上·广西柳州·八年级统考期末）如图，和都是等边三角形，且，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
14．（2022·浙江宁波·统考中考真题）△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内．若求五边形DECHF的周长，则只需知道（ ）
A．△ABC的周长 B．△AFH的周长
C．四边形FBGH的周长 D．四边形ADEC的周长
15．（2017·安徽淮南·九年级淮南第二中学校考自主招生）如图，正的边长为4，过点的直线，且与关于直线对称，为线段上一动点，则的最小值是（ ）．
A． B． C．8 D．
二、填空题
16．（2023上·江苏镇江·八年级统考期中）如图，是的中线，，把沿直线折叠后，点C落在的位置上，那么 ．
17．（2023上·甘肃定西·八年级统考期中）如图，和均是等边三角形，A、C、B三点在一条直线上，分别与交于点M、N．现有如下结论：①；②；③；④．上述结论正确的有 ．
18．（2023上·四川绵阳·八年级盐亭县富驿镇初级中学校考阶段练习）如图，已知，点在边上，若，，则的度数为 ．
19．（2023下·湖北鄂州·八年级统考期末）如图，中，，，，动点在边上运动，将线段绕点逆时针旋转得，取的中点，当点从点开始向右运动到点时结束，则对应的点所经过的路线的长度为 ．
20．（2022上·贵州铜仁·八年级统考期中）如图，在中，，为线段上一动点（不与点、重合），连接，作，且，连接．若，，则的度数为 ．
21．（2023上·辽宁·八年级统考期中）如图，在等边中，是上中线且，点D在线段BF上，连接，在的右侧作等边，连接，则的最小值为 ．
22．（2023上·四川泸州·八年级泸县五中校考阶段练习）如右图，C是线段AB上的一点，和都是等边三角形，交于M，交于N，交于O，则：①；②；③是等腰三角形；④是等边三角形；⑤，其中，正确的有 ．
23．（2022上·上海静安·八年级上海市市北初级中学校考期中）如图，点是等边内一点，联结且．点D在外且．联结．若是以为腰的等腰三角形，则 度．
24．（2023上·全国·八年级专题练习）如图，在等边中，点D、E分别在和边上，以为边作等边，连接．若，．则的长是 ．
25．（2023下·江苏常州·八年级统考期中）如图，在等边△ABC中取点P，使得PA，PB，PC的长分别为m，m，，将线段BP以点B为旋转中心顺时针旋转60°得到线段BQ，连接CQ，则的大小为 ．
三、证明题
26．（2023上·广东珠海·八年级校联考期中）如图，、均是等边三角形，A，C，B三点在一条直线上，、分别与、交于点M、N，求证：
(1)；
(2) ；
(3)．
27．（2023上·湖北·八年级校考周测）（1）如图1，P为等边内一点，为等边三角形，则____（填，或）；
（2）如图2，P为等边外一点，且．猜想线段之间的数量关系，并证明．
28．（2023下·安徽宿州·八年级校联考期中）如图，在中，，在中，，，点A，D，E在同一条直线上，与相交于点F，连接．
(1)请直接写出和的形状．
(2)求证：．
(3)求的度数．
29．（2022上·江苏宿迁·八年级统考期中）已知：如图，和都是等边三角形，且点A、C、E在一条直线上，与相交于点P，与相交于点M，与相交于点N．求证：
（1）；
（2）．
30．（2022上·福建漳州·八年级统考期中）如图，在和中，，，垂足为，，点E、F分别在AB和AC上，且满足．
（1）求证：是等边三角形．
（2）求证：．
31．（2023上·广东江门·八年级校考期中）如图，在等腰与等腰中，，，，连接和相交于点P，交于点M，交于点N．
(1)求证：；
(2)以下结论：①平分，②平分；请选择正确的结论，并证明．
(3)若，则______（用含的式子表示）
(4)若，则、、的数量关系为______．
32．（2023上·湖北武汉·八年级统考期中）等边和等边中共线，连接和相交于点．
(1)如图1，当点分别在边上时，求证：；
(2)如图2，当点在的延长线上时，求证：；
(3)在（2）的条件下，若，直接写出与之间的数量关系为__________．
33．（2023上·广西南宁·八年级统考期中）综合与实践
【问题情境】如图，图，在等边三角形中，是边上一定点，是直线上一动点，以为一边作等边三角形，连接．
【问题解决】如图，若点在边上，在上截取，连接．
（1）请判断的形状，并说明理由．
（2）若，，求的长．
【类比探究】如图，若点在边的延长线上，请直接写出线段，与之间存在的数量关系．
34．（2023上·湖北鄂州·八年级统考期中）【问题原型】如图1、图2，已知点为线段上一点，分别以为边在线段同侧作和，且，，，直线与交于点．
(1)如图1，若，则的度数为________；
(2)【初步探究】如图2，若，连接，求的度数；
(3)【简单应用】将图1中的等边绕点顺时针旋转（如图3），连接，若，则的度数为________．
35．（2023上·北京海淀·八年级中央民族大学附属中学校考期中）小聪和小明两位同学在学习全等三角形时积极思考，提出了以下两个问题：
问题1：如图1，中，是的角平分线，求的值．
小聪同学经过思考，发现可以过D作于E，于N
问题2：如图2，为等边三角形，点D为外一点，且，连接，探究三者之间的数量关系．
小明同学经过思考，发现可以在上截取，构造等边三角形
(1)根据两位同学的思考，完成问题1、2的解答（直接写出结果）；
(2)根据问题1、2的结论，解决下面问题：如图3，和都是等边三角形，连接交于点F，设，若，直接写出．
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微专题02 等边三角形的手拉手模型通关专练
一、单选题
1．（2023上·广东汕头·八年级汕头市龙湖实验中学校考期中）如图，已知和都是等边三角形，且A、C、E三点共线．与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接．以下五个结论： ①；②；③； ④是等边三角形； ⑤．其中正确结论的有（ ）个．
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】A
【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定和性质，熟练应用三角形全等的证明是正确解答本题的关键．求出，证明，可得，①正确；求出，证明，可得，，③正确；证明为等边三角形，故④正确；求出，可得，⑤正确；证明，利用平行线的性质和三角形外角的性质可得，②正确．
【详解】解：∵和为等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，故①正确；
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，故③正确；
∴是等边三角形，故④正确；
∴，
∴，故⑤正确；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故②正确；
故选：A．
2．（2023上·四川达州·九年级四川省渠县中学校考开学考试）如图，在等边中，点A为上一动点（不与P，Q重合），连接．有以下结论：①平分；②；④；⑤当时（ ）
A．①②③ B．②③④ C．③④⑤ D．②③④⑤
【答案】D
【分析】根据点A为上一动点（不与P，Q重合），，可知与不一定相等，可判断①；证明出，可得，，即可判断出②③④，根据垂线段最短可知，当时，最小，即可判断⑤．
【详解】解：∵点A为上一动点（不与P，Q重合），
与不一定相等，故①不正确；
和都为等边三角形，
，，
，
，
，
，，
，，
∴②③④都正确，
根据垂线段最短可知，当时，
∴当时，的周长最小．
故选：D．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质和最短路线问题，判断出是解本题的关键．
3．（2023上·浙江·九年级专题练习）如图，在，将绕点C按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，则点与点B之间的距离为（ ）
A．4 B．2 C．3 D．
【答案】B
【分析】由旋转的性质，可证都是等边三角形，由勾股定理求出的长即可．
【详解】解：如图，连接，
∵将绕点C按逆时针方向旋转得到，
∴，
∵，
∴是等边三角形，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
在中，，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的性质，含度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，找到旋转角是解题的关键．
4．（2023下·陕西咸阳·八年级统考期中）如图，为等边三角形，于点D，点E为线段上的动点，连接，以为边在下方作等边，连接，则线段的最小值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】C
【分析】由等边三角形的性质可得三角形全等的条件，从而可证，推出，再由垂线段最短可知当时，值最小，利用含角的直角三角形的性质定理可求的值．
【详解】解：∵为等边三角形，，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴，
当时，值最小，此时，
∴，
即线段的最小值为1．
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质，构造全等三角形来求线段最小值，同时也考查了所对直角边等于斜边的一半及垂线段最短等几何知识点，具有较强的综合性．
5．（2023下·陕西咸阳·七年级统考期末）如图，在中，，D为上的一点，，在的右侧作，使得，，交于点O，连接，若，则的度数为（ ）
A．120° B．102° C．150° D．124°
【答案】A
【分析】根据已知条件证明，可得，由可得，再根据可得，求出，然后证明，是等边三角形，进而根据三角形内角和定理即可解决问题．
【详解】∵，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵ ，
∴，是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，判定，是等边三角形是解题的关键．
6．（2023上·四川自贡·八年级校考期中）如图，分别以的边，所在直线为对称轴作的对称图形和，，线段与相交于点，连接、、、．有如下结论：①；②；③是等边三角形；④．其中正确的结论个数是（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查了三角形内角和定理，等边三角形的判定与性质，轴对称的性质，根据轴对称的性质可得，再根据周角等于列式计算即可求出，判断出①正确；再求出，根据翻折可得，利用三角形的内角和定理可得，判断出②正确；根据全等三角形的对应边上的高相等，即可判断出③正确；在中，，在等边中，（当点P在点A或者点E时取等号），即有，判断出④错误．
【详解】解：和是的轴对称图形，
，，，
，故①正确．
，
由翻折的性质得，，
又，
，故②正确．
的对称图形和，
，，
，，
，
，
是等边三角形，故③正确．
∵，
∴在中，，
在等边中，（当点P在点A或者点E时取等号），，
∴，
，故④错误；
综上所述，结论正确的是①②③共3个．
故选：C．
7．（2022上·福建厦门·八年级校考期中）如图，是等边三角形，是的中点，在线段上，连接，以为边在的右侧作等边，连接，若存在实数，使得为定值，则和分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【分析】在上截取，连接，通过证明，可得，即可求解．
【详解】解：如图，在上截取，连接，
是等边三角形，
，
是的中点，
，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，
在与中，
，
．
，
，
，
，
，；
故选：A．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，本题的难点是作出辅助线，构成全等三角形．
8．（2022上·福建福州·八年级福州华伦中学校考期中）如图，边长为的等边中，是上中线且，点在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意等边三角形性质和全等三角形判定得出，进而作点A关于直线的对称点M，连接交于E′，此时的值最小，最后依据周长的最小值求值即可得出答案．
【详解】解：如图，
∵都是等边三角形，
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴点E在射线上运动()，
作点A关于直线的对称点M，连接交于，此时的值最小，
∵
∴是等边三角形，
∴
∵
∴
∴周长的最小值．
故选：B．
【点睛】本题考查轴对称最短路径问题和等边三角形的性质和判定以及全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用轴对称性质得出的值最小．
9．（2022·福建福州·八年级福州日升中学校考期中）如图，在中，分别以、为边作等边三角形与等边三角形，连接、，与交于点，连接．有以下四个结论：①；②平分；③；④．其中结论一定正确的个数有（ ）
A．①②③④ B．①② C．①②③ D．①②④
【答案】D
【分析】根据等腰三角形得性质证明，可证明结论①；作作于，于，证明，可证明结论②；在上截取，证明，可证明为等边三角形，由此可证明结论④；根据结论④即可证明结论③．
【详解】解：结论①，
∵等边三角形，等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，故结论①正确；
结论②，如图所示，作于，于，
∵，
∴，，
∴，
∵，，
∴点在的平分线上，
∴平方，故故结论②正确；
结论④，在上截取，连接，如图所示，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，故结论④正确；
结论③，由结论④正确，可知，，
∴，即，故结论③错误．
综上所述，正确的有①②④．
故选：．
【点睛】本题主要考查三角形综合题，包括等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，三角形内角和定理，掌握等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键．
10．（2022上·浙江·八年级专题练习）如图，在中，，点是外一点，连接、、，且交于点，在上取一点，使得，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据证明≌，再利用全等三角形的性质、三角形的外角性质和三角形的内角和解答即可．
【详解】解：，
，
即：；
在和中，
，
≌（SAS），
，
是和的外角，
，，
，
，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键，也是本题的难点．
11．（2022下·江苏南京·八年级统考期末）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转60°，得到，连接，则的长是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】连接CM，延长CN交AM于点O．由题意可求出AC的长，并易证，即可利用“SSS”证明，从而可证明CO为的角平分线，进而可证明，即得出为等腰直角三角形，即可求出ON的长．最后在中，利用勾股定理可求出CO的长，再利用，即可求出CN的长．
【详解】如图，连接CM，延长CN交AM于点O．
由题意可知．
由旋转可知，，，
∴为等边三角形，
∴，，
∴在和中，，
∴，
∴，即CO为的角平分线，
∴，，
∴为等腰直角三角形，
∴．
在中，，
∴．
故选B．
【点睛】本题考查旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形三线合一的性质以及勾股定理．正确的作出辅助线并利用数形结合的思想是解答本题的关键．
12．（2022下·四川雅安·八年级校考阶段练习）如图，P 是等边三角形 ABC 内的一点，且 PA＝3，PB＝4，PC＝5，以 BC 为边在△ABC 外作△BQC≌△BPA，连接 PQ，则以下结论中正确的有（ ）
①△BPQ 是等边三角形 ； ②△PCQ 是直角三角形；③∠APB＝150°；④∠APC＝120°；
A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④
【答案】C
【分析】①根据△ABC是等边三角形，得出∠ABC=60°，根据△BQC≌△BPA，得出∠CBQ=∠ABP，PB=QB=4，PA=QC=3，∠BPA=∠BQC，求出∠PBQ=60°，即可判断①；②根据勾股定理的逆定理即可判断得出②；③根据△BPQ是等边三角形，△PCQ是直角三角形即可判断；④求出∠APC=150°-∠QPC，和PC≠2QC，可得∠QPC≠30°，即可判断④．
【详解】解：①∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∵△BQC≌△BPA，
∴∠CBQ=∠ABP，PB=QB=4，
PA=QC=3，∠BPA=∠BQC，
∴∠PBQ=∠PBC+∠CBQ=∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°，
∴△BPQ是等边三角形，
所以①正确；
②PQ=PB=4，
PQ2+QC2=42+32=25，
PC2=52=25，
∴PQ2+QC2=PC2，
∴∠PQC=90°，
∴△PCQ是直角三角形，
所以②正确；
③∵△BPQ是等边三角形，
∴∠PQB=∠BPQ=60°，
∴∠APB=∠BQC=∠BQP+∠PQC=60°+90°=150°，
所以③正确；
④∠APC=360°-150°-60°-∠QPC=150°-∠QPC，
∵∠PQC=90°，PC≠2QC，
∴∠QPC≠30°，
∴∠APC≠120°．
所以④错误．
所以正确的有①②③．
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理的逆定理，解决本题的关键是综合应用以上知识．
13．（2022上·广西柳州·八年级统考期末）如图，和都是等边三角形，且，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由等边三角形的性质，得到AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=60°，然后证明△ACE≌△BCD，则∠CAE=∠CBD，由角的关系，求出∠ABE+∠BAE=58°，即可得到答案．
【详解】解：如图：
∵和都是等边三角形，
∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠ACE+∠BCE=∠BCD+∠BCE=60°，
∴∠ACE=∠BCD，
∴△ACE≌△BCD，
∴∠CAE=∠CBD，
即，
∵，
∴，
∴，
∴；
故选：B．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，以及角的和差关系，解题的关键是掌握所学的知识，正确求出．
14．（2022·浙江宁波·统考中考真题）△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内．若求五边形DECHF的周长，则只需知道（ ）
A．△ABC的周长 B．△AFH的周长
C．四边形FBGH的周长 D．四边形ADEC的周长
【答案】A
【分析】由等边三角形的性质和三角形的内角和定理可得：FH＝GH，∠ACB＝∠A＝60°，∠AHF＝∠HGC，进而可根据AAS证明△AFH≌△CHG，可得AF＝CH，然后根据等量代换和线段间的和差关系即可推出五边形DECHF的周长＝AB+BC，从而可得结论．
【详解】解：∵△GFH为等边三角形，
∴FH＝GH，∠FHG＝60°，
∴∠AHF+∠GHC＝120°，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠ACB＝∠A＝60°，
∴∠GHC+∠HGC＝120°，
∴∠AHF＝∠HGC，
∴△AFH≌△CHG（AAS），
∴AF＝CH．
∵△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，
∴BE＝FH，
∴五边形DECHF的周长＝DE+CE+CH+FH+DF
＝BD+CE+AF+BE+DF
＝（BD+DF+AF）+（CE+BE），
＝AB+BC．
∴只需知道△ABC的周长即可．
故选：A．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及多边形的周长问题，熟练掌握等边三角形的性质以及全等三角形的判定和性质是解题的关键．
15．（2017·安徽淮南·九年级淮南第二中学校考自主招生）如图，正的边长为4，过点的直线，且与关于直线对称，为线段上一动点，则的最小值是（ ）．
A． B． C．8 D．
【答案】C
【分析】如图（见解析），连接，先根据轴对称性得出也是边长为4的等边三角形，再根据等边三角形的性质、三角形全等的判定定理与性质得出，然后根据三角形的三边关系定理、两点之间线段最短找出取得最小值时，点D的位置，由此即可得出答案．
【详解】如图，连接
正的边长为4
与关于直线对称
也是边长为4的等边三角形
在和中，
由三角形的三边关系定理、两点之间线段最短可知，当点D与点B重合，即点共线时，取得最小值，最小值为
即的最小值为8
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称的性质、等边三角形的性质、三角形全等的判定定理与性质、两点之间线段最短等知识点，依据题意，正确找出取得最小值时，点D的位置是解题关键．
二、填空题
16．（2023上·江苏镇江·八年级统考期中）如图，是的中线，，把沿直线折叠后，点C落在的位置上，那么 ．
【答案】5
【分析】本题考查了折叠的性质，等边三角形的判定与性质．熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
由题意知，，由折叠的性质可知，，，证明是等边三角形，根据，求解即可．
【详解】解：∵是的中线，，
∴，
由折叠的性质可知，，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
故答案为：5．
17．（2023上·甘肃定西·八年级统考期中）如图，和均是等边三角形，A、C、B三点在一条直线上，分别与交于点M、N．现有如下结论：①；②；③；④．上述结论正确的有 ．
【答案】①②③④
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质．根据等边三角形的性质可得，，可证明，可得到，，，故③正确；再证明，，，故②④正确；进而得到，故①正确．
【详解】解：∵和均是等边三角形，
∴，
∴，，
∴，
∴，，，故③正确；
∵，，，
∴，
∴，，故②④正确；
∴，
∴，故①正确；
故答案为：①②③④
18．（2023上·四川绵阳·八年级盐亭县富驿镇初级中学校考阶段练习）如图，已知，点在边上，若，，则的度数为 ．
【答案】/135度
【分析】利用全等三角形的性质得出，，证出是等边三角形，再根据性质即可求解．
【详解】∵，，，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了全等三角形和等边三角形，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和等边三角形的判定与性质及其应用．
19．（2023下·湖北鄂州·八年级统考期末）如图，中，，，，动点在边上运动，将线段绕点逆时针旋转得，取的中点，当点从点开始向右运动到点时结束，则对应的点所经过的路线的长度为 ．
【答案】
【分析】如图，取的中点，连接，由题意得，，则是等边三角形，根据等边三角形的性质，得，，根据直角三角形中，所对的直角边是斜边的一半，再根据勾股定理，即可．
【详解】如图所示：把绕点A逆时针旋转得，
取的中点，连接，
∵线段绕点逆时针旋转得，
∴，，，
∴当点与点重合时，点与点重合时，是等边三角形；当点与点重合时，点在处，是等边三角形，
∴连接、两点，为点的运动路线，
∵是的中点，
∴，，
∴，
∵在中，，，，
∴，
∴，
∴在中，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查动点问题与几何的综合，旋转，三角形的知识，解题的关键是掌握等边三角形的判定和性质，勾股定理的运用，旋转的性质，动点的运动轨迹．
20．（2022上·贵州铜仁·八年级统考期中）如图，在中，，为线段上一动点（不与点、重合），连接，作，且，连接．若，，则的度数为 ．
【答案】/度
【分析】证明，可得，可证是等边三角形，可得，即可求解．
【详解】解：，
，
即，
在和中
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
是等边三角形，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，证明是等边三角形是解题的关键．
21．（2023上·辽宁·八年级统考期中）如图，在等边中，是上中线且，点D在线段BF上，连接，在的右侧作等边，连接，则的最小值为 ．
【答案】4
【分析】根据等边三角形的性质可得，，，利用得，进而可得，作点A关于的对称点M，连接交于，此时的值最小，此时，利用可得，进而可得，于是得到结论．
【详解】解：、都是等边三角形，
，，，
，
，
，
，
，
∴点E在射线上运动（），
作点A关于的对称点M，连接交于，
此时的值最小，即，
，，
是等边三角形，
是等边三角形，
，
，
即：的最小值是4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查的是轴对称的性质——最短路径问题、全等三角形的判定及性质、等边三角形的判定及性质，掌握轴对称的性质、全等三角形的判定及性质、等边三角形的判定和性质是解题的关键．
22．（2023上·四川泸州·八年级泸县五中校考阶段练习）如右图，C是线段AB上的一点，和都是等边三角形，交于M，交于N，交于O，则：①；②；③是等腰三角形；④是等边三角形；⑤，其中，正确的有 ．
【答案】①②④⑤
【分析】通过证明和，逐步判断，得到正确结论．
【详解】解：∵和都是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，①正确；
在和中，
，
∴，
∴，，故②正确，
∴是等边三角形，故④正确，
∵，
若是等腰三角形，则是等边三角形，
则显然不成立，
∴不是等腰三角形，故③错误，
∵，
∴，
∴，故⑤正确，
综上可知，正确的是①②④⑤，
故答案为：①②④⑤
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，本题中证明和是解题的关键．
23．（2022上·上海静安·八年级上海市市北初级中学校考期中）如图，点是等边内一点，联结且．点D在外且．联结．若是以为腰的等腰三角形，则 度．
【答案】125或110
【分析】利用等边三角形的性质结合，，可证得是等边三角形，，可知，，设，则，可得则，，，分两种情况：当时，，当时，，分别求解即可．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
又∵，则
∴，
∵，
∴是等边三角形，，
∴，，
设，则，
则，
，
，
当时，，即：，
解得：，即；
当时，，即：
解得：，即；
综上，或，
故答案为：125或110．
【点睛】此题考查等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，解题关键在于掌握相关图形的性质．
24．（2023上·全国·八年级专题练习）如图，在等边中，点D、E分别在和边上，以为边作等边，连接．若，．则的长是 ．
【答案】2
【分析】过D点作于M，证明为等边三角形，再证明，结合全等三角形的性质可得答案．
【详解】解：∵等边，
∴，，
过D点作于M，
∴，，
∴， 为等边三角形，
∴，
∴，
∵为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，．
∴．
∴．
故答案为：2．
【点睛】本题考查的是的是等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．
25．（2023下·江苏常州·八年级统考期中）如图，在等边△ABC中取点P，使得PA，PB，PC的长分别为m，m，，将线段BP以点B为旋转中心顺时针旋转60°得到线段BQ，连接CQ，则的大小为 ．
【答案】
【分析】由“”可证，可得，，由勾股定理的逆定理可得，．
【详解】解：将线段以点为旋转中心顺时针旋转得到线段，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
又，，
，
，，
，，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
三、证明题
26．（2023上·广东珠海·八年级校联考期中）如图，、均是等边三角形，A，C，B三点在一条直线上，、分别与、交于点M、N，求证：
(1)；
(2) ；
(3)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）利用等边三角形的性质及利用利用求证结论．
（2）利用全等三角形的判定及性质和等边三角形的性质即可求证结论．
（3）利用等边三角形的判定及性质和平行线的判定即可求证结论．
【详解】（1）证明：、均是等边三角形，
，，，
，
即，
在和中，
，
．
（2）∵由（1）可知：，
，
即，
、均是等边三角形，
，，
又点A、C、B在同一条直线上，
，
即，
，
在和中
，
，
．
（3）由（2）可知，
是等腰三角形，
又
为等边三角形（有一个角等于的等腰三角形是等边三角形），
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质、等边三角形的判定及性质、平行线的判定，熟练掌握其判定及性质是解题的关键．
27．（2023上·湖北·八年级校考周测）（1）如图1，P为等边内一点，为等边三角形，则____（填，或）；
（2）如图2，P为等边外一点，且．猜想线段之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）；（2），证明见解析
【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，再证明，即可证明，得到；
（2）如图所示，延长到D，使得，连接，先证明是等边三角形，则可得到，再证明，得到，即可推出．
【详解】解：（1）∵都是等边三角形，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
故答案为：；
（2），证明如下：
如图所示，延长到D，使得，连接，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
又∵是等边三角形，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
28．（2023下·安徽宿州·八年级校联考期中）如图，在中，，在中，，，点A，D，E在同一条直线上，与相交于点F，连接．
(1)请直接写出和的形状．
(2)求证：．
(3)求的度数．
【答案】(1)是等边三角形；是等边三角形
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据由一个角是的等腰三角形是等边三角形判断即可．
（2）证明即可得到结论．
（3）根据，三角形内角和定理计算即可．
【详解】（1）∵，，，
∴是等边三角形；是等边三角形．
（2）∵，
∴，
∴，
又∵
∴，
∴．
（3）∵，
∴，
∵，
根据三角形内角和定理，得：．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键．
29．（2022上·江苏宿迁·八年级统考期中）已知：如图，和都是等边三角形，且点A、C、E在一条直线上，与相交于点P，与相交于点M，与相交于点N．求证：
（1）；
（2）．
【答案】（1）见解析（2）见解析
【分析】（1）根据等边三角形的性质和题意，可以得到△ACD≌△BCE的条件，从而证明△ACD≌△BCE，故可求解；
（2）证得△ACM≌△BCN，就可以证得结论．
【详解】证明：（1）∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB＋∠BCD＝∠DCE＋∠BCD，
即∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴
（2）∵△ACD≌△BCE
∴∠CAD＝∠CBE．
又∵∠AMC＝∠BMP，
∴∠APB＝∠ACB＝60°；
在△ACM和△BCN中
∴△ACM≌△BCN（ASA），
∴CM＝CN．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
30．（2022上·福建漳州·八年级统考期中）如图，在和中，，，垂足为，，点E、F分别在AB和AC上，且满足．
（1）求证：是等边三角形．
（2）求证：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）先根据等腰三角形的三线合一得出，再根据等边三角形的判定即可得出结论；
（2）利用ASA得出△ADE≌△CDF即可得出结论；
【详解】解：（1）∵，，，
∴
∵，
∴是等边三角形；
（2）∵是等边三角形，
∴，，
∵
∴，
∴，
在△ADE和△CDF中，
∴△ADE≌△CDF
∴
【点睛】本题考查的是等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的三线合一，熟练掌握相关定理的运用是解题的关键．
31．（2023上·广东江门·八年级校考期中）如图，在等腰与等腰中，，，，连接和相交于点P，交于点M，交于点N．
(1)求证：；
(2)以下结论：①平分，②平分；请选择正确的结论，并证明．
(3)若，则______（用含的式子表示）
(4)若，则、、的数量关系为______．
【答案】(1)见解析
(2)②，见解析
(3)
(4)
【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．
（1）由得到，证明即可证明结论；
（2）过点作，由全等三角形的性质得到，由三角形面积公式得到，即可证明②正确；
（3）在线段上截取，连接，由全等三角形的性质得到，证明，得到，再由即可得到答案；
（4）证明为等边三角形，得到即可．
【详解】（1）证明： ，
，
，
，
在，中，
，
，
；
（2）证明：②是正确的，理由如下：
过点作，
，
，，
，
，
，
平分；
（3）解：在线段上截取，连接，
，
，
，
，
，
，
，
；
（4）证明：；
由（3）可得，
，
平分，
，
，
为等边三角形，
，
，
．
32．（2023上·湖北武汉·八年级统考期中）等边和等边中共线，连接和相交于点．
(1)如图1，当点分别在边上时，求证：；
(2)如图2，当点在的延长线上时，求证：；
(3)在（2）的条件下，若，直接写出与之间的数量关系为__________．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）证明得到，从而得到，即，即可推出；
（2）过作于点于点，在上截取，连接，证明得到，由三角形内角和定理得出，根据全等三角形对应边上的高相等，，得到，从而推出平分，证明为等边三角形，得到，，再证明得出，即可得证；
（3）过作于点于点，作于点，根据，，，可得，再由，，，即可得到答案．
【详解】（1）证明： 和是等边三角形，
，，，
在和中，
，
，
，
，即，
；
（2）解：过作于点于点，在上截取，连接，
，
和是等边三角形，
，，，
，，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
∵全等三角形对应边上的高相等，，，
，
平分，
，
为等边三角形，
，，
，即，
在和中，
，
，
，
；
（3）解：过作于点于点，作于点，
，
由（2）可得，
，，，
，
，，，
．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、等边三角形的判定与性质、角平分线的判定、三角形面积公式等知识，熟练掌握三角形全等的判定与性质，添加适当的辅助线是解此题的关键．
33．（2023上·广西南宁·八年级统考期中）综合与实践
【问题情境】如图，图，在等边三角形中，是边上一定点，是直线上一动点，以为一边作等边三角形，连接．
【问题解决】如图，若点在边上，在上截取，连接．
（1）请判断的形状，并说明理由．
（2）若，，求的长．
【类比探究】如图，若点在边的延长线上，请直接写出线段，与之间存在的数量关系．
【答案】问题解决：（1）是等边三角形，理由见解析；（2）；类比探究：线段，与之间的等量关系是．
【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的性质，全等三角形的判定是解答本题的关键．
问题解决：
（1）利用等边三角形的性质，得到是等边三角形．
（2）由于是等边三角形，得到，从而，所以，进而，得到答案．
类比探究：
过点作，交的延长线于点，由平行线的性质得到，得出为等边三角形，则，证明，得出，进而得到．
【详解】问题解决：
解：（1）是等边三角形理由是：
是等边三角形
又
是等边三角形．
（2） 是等边三角形，
，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，
，
在和中，
，
，
，
．
类比探究：
线段，与之间的等量关系是理由是：
是等边三角形，
，
过点作，交的延长线于点，如图，
，
，，
，
为等边三角形，
，，
为等边三角形，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
．
34．（2023上·湖北鄂州·八年级统考期中）【问题原型】如图1、图2，已知点为线段上一点，分别以为边在线段同侧作和，且，，，直线与交于点．
(1)如图1，若，则的度数为________；
(2)【初步探究】如图2，若，连接，求的度数；
(3)【简单应用】将图1中的等边绕点顺时针旋转（如图3），连接，若，则的度数为________．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）证明得到，由三角形外角的定义及性质得出，推出，最后由三角形内角和定理计算即可；
（2）证明得到，由三角形外角的定义及性质得出，推出，由三角形内角和定理计算出，作于，于，证明出平分，由此即可得出，此题得解；
（3）证明得到，由三角形内角和定理得出，最后由进行计算即可．
【详解】（1）解：，
，即，
在和中，
，
，
，
，
，即，
，
，
故答案为：；
（2）解：，
，即，
在和中，
，
，
，
，
，即，
，
，
如图，作于，于，
，
，
，，
，，
，
，，
平分，
；
（3）解：，
，即，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质、角平分线的判定与性质，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，证明三角形全等是解此题的关键．
35．（2023上·北京海淀·八年级中央民族大学附属中学校考期中）小聪和小明两位同学在学习全等三角形时积极思考，提出了以下两个问题：
问题1：如图1，中，是的角平分线，求的值．
小聪同学经过思考，发现可以过D作于E，于N
问题2：如图2，为等边三角形，点D为外一点，且，连接，探究三者之间的数量关系．
小明同学经过思考，发现可以在上截取，构造等边三角形
(1)根据两位同学的思考，完成问题1、2的解答（直接写出结果）；
(2)根据问题1、2的结论，解决下面问题：如图3，和都是等边三角形，连接交于点F，设，若，直接写出．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）问题1：过点D作于E，于F，根据角平分线的性质可得，根据三角形面积公式可得出答案；
问题2：在上截取，连接，证明，由全等三角形的性质可得出，则可得出结论；
（2）过点C作于G，于H，在上截取，证明，由全等三角形的性质得出，证出，则可得出答案．
【详解】（1）解：问题1：过点于E，于F，
∵是的角平分线，
∴，
∵
∴，
∴；
问题2：在上截取，连接，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由（1）可知，
∴，
∴，
过点C作于G，于H，
∵，
∴，
∴平分，
∴，
在上截取，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定与性质，三角形的面积，全等三角形的判定与性质；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
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