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专题01 等腰三角形
考点类型
知识一遍过
（一）等腰三角形
（1）等腰三角形性质：
①等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）
②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。（三线合一）
（2）等腰三角形的判定：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）.
（二）解题方法
（1）三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离等。
（2）三角形三个边的中垂线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
（3）常用辅助线：①三线合一；②过中点做平行线
考点一遍过
考点1：等腰三角形的性质——求角
典例1：（2023上·浙江·八年级校考期中）在中，，, 则（ ）
A． B． C． D．或
【变式1】（2023上·河北邢台·八年级校联考阶段练习）如图，点B在上，，，时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2022上·浙江金华·八年级校考阶段练习）已知锐角，如图，按下列步骤作图：①在边取一点，以为圆心，长为半径画，交于点，连接．②以为圆心，长为半径画，交于点，连接．则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
【变式3】（2023上·云南昆明·八年级昆明市第三中学校考期中）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，，点D、E可在槽中滑动．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
考点2：等腰三角形的性质——求线段
典例2：（2022上·河北邯郸·八年级校考期中）如图，D为内一点，平分，，垂足为D，交于点E，．若，，则的长为（ ）
A． B． C．2 D．1
【变式1】（2023下·广东河源·八年级统考期末）如图，在中，，点M在的延长线上于点N，交于点O，若，，则的长度为（ ）
A．12 B．9 C．10 D．11
【变式2】（2023上·广东珠海·八年级珠海市第九中学校考期中）如图，在中，，，，，则（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
【变式3】（2023上·福建福州·八年级校考期中）如图，，，于点D，则的长为（ ）
A． B． C． D．
考点3：等腰三角形的性质——三线合一
典例3：（2023上·湖南岳阳·八年级校考期中）如图，，分别为 的中线和高，，，，则面积为( )
A． B． C． D．
【变式1】（2023上·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，在中，点在边上，，，，，则点到边的距离是（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．4
【变式2】（2022上·浙江台州·八年级校联考期中）如图，在中，，，，点在的延长线上，点在边上，且，若，则的长等于( )
A．1 B． C．2 D．
【变式3】（2023下·湖南邵阳·八年级统考期末）如图，在中，，，点D为的中点，于点E，，则为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
考点4：等腰三角形的性质——规律探究
典例4：（2023上·浙江杭州·八年级校考开学考试）在平面直角坐标系中，若干个边长为1个单位长度的等边三角形，按如图中的规律摆放．点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿着等边三角形的边“”的路线运动，设第n秒运动到点（n为正整数），则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023下·北京海淀·七年级校考期中）如图，在一单位为1的方格纸上，，都是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形，若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023·安徽滁州·校联考二模）如图所示，在平面直角坐标系中，，，，都是等边三角形，其边长依次为，，，其中点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，，按此规律排下去，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2022·辽宁鞍山·统考一模）如图，直线OA的解析式为y＝x，点P1坐标为（1，0），过P1作PQ1⊥x轴交OA于Q1，过Q1作P2Q1⊥OA交x轴于P2，过P2作P2Q2⊥x轴交OA于Q2，过Q2作P3Q2⊥OA交x轴于P3，…，按此规律进行下去，则P100的坐标为（ ）
A．（2100﹣1，0） B．（5050，0） C．（299，0） D．（100，0）
考点5：等腰三角形的性质——动点问题
典例5：（2023上·广东惠州·八年级统考期中）如图，坐标平面内一点，O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．1
【变式1】（2023上·全国·八年级课堂例题）如图，是射线上一动点，，当为等腰三角形时，的度数一定不可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023·河北邢台·模拟预测）如图，在直角坐标系中，已知点，点为轴正半轴上一动点，连接，以为一边向下作等边三角形，连接，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2023下·山西运城·八年级统考期末）如图，在折线段中，可绕点旋转，，，线段上有一动点，将线段分成两部分，旋转，，当三条线段，，首尾顺次相连构成等腰三角形时，的长为（ ）
A．3 B．2或3 C．2或4 D．2或3或4
考点6：等腰三角形的判定——等角对等边
典例6：（2023上·山东济宁·七年级济宁学院附属中学校考期中）已知：如图中，平分，平分，过D作直线平行于，交，与E，F．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)求的周长．
【变式1】（2023上·福建福州·八年级校联考期中）如图，在中，，点是边上一点，且，过点作于点，与交于点，过点作，垂足为点．
(1)求证：；
(2)判断的形状，并说明理由．
【变式2】（2023上·湖南长沙·八年级湖南师大附中博才实验中学校考期中）如图，把四边形纸片沿折叠，点落在点处，与相交于点．已知在四边形纸片中，．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)若于点C，，，，求的面积．
【变式3】（2023上·全国·八年级专题练习）如图，在中，为边上的中线，为上的一点，交于点，已知，求证：．
考点7：等腰三角形的判定的实际应用
典例7：（2023下·北京朝阳·八年级北京八十中校考期中）上午10时，一条船从处出发，以每小时15海里的速度向正北航行，12时到达处．从处望灯塔为北偏东，从处望灯塔为北偏东，求轮船继续航行多长时间在灯塔的正西方向？并求出此时轮船和灯塔的距离．（结果保留根号）
【变式1】（2022上·河北邯郸·九年级邯郸市第二十三中学校考期末）在一次海上救援中，两艘专业救助船、同时收到某事故渔船的求救讯息，已知此时救助船在的正北方向，事故渔船在救助船的北偏西30°方向上，在救助船的西南方向上，且事故渔船与救助船相距60海里．
(1)求收到求救讯息时事故渔船与救助船之间的距离（结果保留根号）；
(2)求救助船、分别以20海里/小时，15海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达．
【变式2】（2022上·重庆·九年级重庆南开中学校考阶段练习）如图，是某城市定向徒步挑战赛的四边形赛道，点B位于点A的东北方向千米处．点C位于点B的正东方向5.7千米处，点D位于点A的正东方向且．
(1)赛道上有一医疗救护站E，且点E位于点B的南偏东30°方向，求DE的长；
(2)主办方现准备从起点A开始沿该赛道顺次设置工作点，根据完事组织标准，主办方每5千米需设置1个工作点，每个工作点需安排至少3名志愿者，由于A点也是赛道的终点，额外再需要5名志愿者．若主办方拟安排35名志愿者．那么本次定向徒步挑战赛能否达到完事组织标准？请通过计算说明理由．
【变式3】（2022上·广东广州·八年级广州市第十六中学校考期中）如图，一条船上午8时从A处以20海里/小时的速度向正南航行，上午10时到达B处，从A处测得灯塔C在南偏东30°的方向上，在B处测得灯塔C在南偏东60°的方向上．
(1)求B处离灯塔C的距离：
(2)轮船从B处出发，按原速度航行，再过多少小时灯塔C正好在船的正东方向．
考点8：等腰三角形的判定——坐标系
典例8：（2023上·湖北武汉·八年级校考阶段练习）已知点的坐标为，点的坐标为，点为坐标轴上一点，若为等腰三角形，则这样的点有（ ）个
A．4 B．5 C．6 D．7
【变式1】（2023上·北京西城·八年级北师大实验中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴和y轴上，点B坐标为且，在坐标轴上求作一点P，使得是等腰三角形，则符合条件的点P的个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【变式2】（2023上·内蒙古包头·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，B，C两点的坐标分别为和，，则点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2023下·广东江门·八年级统考期末）如图，点A的坐标为，点B在直线上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
同步一遍过
一、单选题
1．（2023下·河南驻马店·八年级校联考期中）已知等腰三角形的两边长分别为，则该等腰三角形的周长是（ ）
A． B． C．或者 D．
2．（2022上·浙江杭州·八年级统考期末）若等腰三角形的顶角为50°，则这个等腰三角形的底角度数为（ ）
A．50° B．65° C．80° D．130°
3．（2022·湖南长沙·八年级校考阶段练习）如图，是等腰三角形，点是底边上任意一点，、分别与两边垂直，等腰三角形的腰长为，面积为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023上·江苏·八年级专题练习）如图，点是的边上一点，．若，则( )
A． B． C． D．
5．（2022·浙江衢州·校考一模）如图，直线l1∥l2，以直线l2上的点A为圆心．适当长为半径画弧，分别交直线l1、l2于点B、C，连接AB、BC．若∠ACB=65°，则∠1的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
6．（2022上·黑龙江哈尔滨·八年级校联考阶段练习）如图．∠BAC＝100°若MP和NQ分别垂直平分AB和AC．则∠PAQ的度数是（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
7．（2023上·四川巴中·九年级校考阶段练习）已知等腰三角形的两条边长为1和，则这个三角形的周长为（ ）
A． B． C．或 D．
8．（2022上·甘肃平凉·八年级统考期中）等腰三角形的周长是，其中一边长为，其它两边长分别为（ ）
A．， B．，
C．，或 D．无法确定
9．（2023·湖南长沙·校联考三模）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线，交于点，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
10．（2022下·四川达州·七年级校考期末）△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是 BC边上的中线，过点 C作 CF⊥AE，垂足为点 F，过点 B作 BD⊥BC交 CF的延长线于点 D，BD＝2cm，则△ABE的面积为（ ）
A．2c B．4 c C．6c D．8c
二、填空题
11．（2022上·福建福州·八年级统考期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝BD，则3∠ADB﹣∠CAD＝ ．
12．（2022上·山东泰安·八年级统考期末）如图，,则 ．
13．（2022上·广东惠州·八年级校考阶段练习）如图，在中，，和的平分线分别交于点，，若，， ．
14．（2022下·湖北黄冈·八年级统考期中）如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝10cm，点D在AC上，DC＝4cm．将线段DC沿着CB的方向平移7cm得到线段EF，E、F分别落在边AB，BC上，则的周长为 cm．
15．（2022上·江西新余·八年级统考期中）中，的垂直平分线分别交于D、E，若，则 ．
16．（2022上·浙江·八年级期末）若一个三角形的两个内角之差是第三个内角的，则称这个三角形是“差半角三角形”．若一个等腰三角形是“差半角三角形”，则它的底角度数是 度．
三、解答题
17．（2022上·江苏常州·八年级统考期末）如图，点D是内部的一点，，过点D作，，垂足分别为E、F，且
求证：为等腰三角形．
18．（2022上·甘肃平凉·八年级校考期中）请将下列证明过程补充完整．
求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．
已知：如图，是的外角，平分，
求证：
证明：∵
∴（__________），（__________），
∵平分，
∴（__________），
∴_________，
∴（__________）．
19．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）如图，在中，，延长至，使得，连接，再延长至，使得，连接．求证：．
20．（2023上·广东广州·八年级广州市黄埔军校纪念中学校考期中）已知，，．
(1)画出关于轴对称的，并直接写出点的对称点的坐标；
(2)在轴上求作一点，使得最短，此时点的坐标是________；
(3)点在轴上，且满足为等腰三角形，则这样的点有________个．
21．（2022上·八年级单元测试）如图所示，在中，，分别是和的平分线，且．
（1）求的周长．
（2）若，求的度数．
22．（2022上·江苏盐城·八年级校考期中）等腰△ABC中，AB＝AC，∠ACB＝72°，
（1）如图1，若BD⊥AC于D，求∠ABD的度数；
（2）如图2，若CE平分∠ACB，求证：AE＝BC．
23．（2022上·湖北武汉·八年级校考阶段练习）已知，在中，是上一点，交 于点，连接．
（1）如图，，．求证：；
（2）如图，点与点重合，，， ．若，，求的长．
24．（2022上·北京·八年级人大附中校考期中）如图，在中，，为上一个动点．
(1)已知，求证：．
下面是两位同学分享的思路：
小快同学：从求证目标出发，倍长到，即，又，则只需证．
小乐同学：从已知条件角的关系出发，发现若将关于直线对称得到，则可证为等腰三角形．
请你选择一种思路，完成证明
(2)已知，，请直接写出的大小（用含式子表示）．
25．（2022上·广东珠海·八年级珠海市第九中学校考期中）如图，在△COP中，过点P作PE⊥OC于点E，点M在△OPE内部，连接OM，PM，其中OM、PM分别平分∠EOP、∠EPO．
（1）求∠OMP的度数；
（2）连接CM，若OC＝OP，试判断△CMP的形状，并说明理由．
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专题01 等腰三角形
考点类型
知识一遍过
（一）等腰三角形
（1）等腰三角形性质：
①等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）
②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。（三线合一）
（2）等腰三角形的判定：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）.
（二）解题方法
（1）三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离等。
（2）三角形三个边的中垂线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
（3）常用辅助线：①三线合一；②过中点做平行线
考点一遍过
考点1：等腰三角形的性质——求角
典例1：（2023上·浙江·八年级校考期中）在中，，, 则（ ）
A． B． C． D．或
【答案】C
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握“等腰三角形两底角相等”．
【详解】解：∵在中，，，
∴，
∴，
故选：C．
【变式1】（2023上·河北邢台·八年级校联考阶段练习）如图，点B在上，，，时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的性质，等边对等角的性质，平行线的性质，根据全等三角形对应边相等可得，全等三角形对应角相等可得，再根据等边对等角求出，然后求出，再根据两直线平行，内错角相等解答即可．熟记性质并准确识图是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
【变式2】（2022上·浙江金华·八年级校考阶段练习）已知锐角，如图，按下列步骤作图：①在边取一点，以为圆心，长为半径画，交于点，连接．②以为圆心，长为半径画，交于点，连接．则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据作图步骤得到，，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，，然后利用三角形外角性质可计算出的度数．
【详解】解：由作法得，，
，
，
，
，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了尺规作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质和尺规作图的基本原理．
【变式3】（2023上·云南昆明·八年级昆明市第三中学校考期中）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，，点D、E可在槽中滑动．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据，可得，根据三角形的外角性质可知，进一步根据三角形的外角性质可知，即可求出的度数，进而求出的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题的关键．
考点2：等腰三角形的性质——求线段
典例2：（2022上·河北邯郸·八年级校考期中）如图，D为内一点，平分，，垂足为D，交于点E，．若，，则的长为（ ）
A． B． C．2 D．1
【答案】D
【分析】由已知条件判定，得到，的等腰三角形，进而得到，由等角对等边判定，则易求．
【详解】解：∵平分，，
，，
在与中，
，
，
，
是等腰三角形，
，
又，
是等腰三角形，
，
，
∵，，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定与性质．熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题的关键．
【变式1】（2023下·广东河源·八年级统考期末）如图，在中，，点M在的延长线上于点N，交于点O，若，，则的长度为（ ）
A．12 B．9 C．10 D．11
【答案】C
【分析】由题意，根据等角对等边得到，再结合，即可求出答案．
【详解】解：∵于点N，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等角对等边，以及余角的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确得到．
【变式2】（2023上·广东珠海·八年级珠海市第九中学校考期中）如图，在中，，，，，则（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
【答案】C
【分析】根据等腰三角形的性质求出，根据三角形内角和定理求出，求出，根据等腰三角形的判定得出，根据含角的直角三角形的性质得出，再求出答案即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，能求出和的度数是解此题的关键．
【变式3】（2023上·福建福州·八年级校考期中）如图，，，于点D，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据等腰三角形的性质可得，再根据三角形外角的性质可得，再根据直角三角形的性质可得，即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形外角的性质及直角三角形的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．
考点3：等腰三角形的性质——三线合一
典例3：（2023上·湖南岳阳·八年级校考期中）如图，，分别为 的中线和高，，，，则面积为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了三角形的高与中线的定义与性质，等腰三角形的性质，根据三角形的面积公式求得即可求解．
【详解】解：，是高线，根据“三线合一”的性质，，
是中线，
是中点，
，
∴
故选：D．
【变式1】（2023上·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，在中，点在边上，，，，，则点到边的距离是（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．4
【答案】B
【分析】过点作，交延长线于点，过点作于点，首先根据等腰三角形“三线合一”的性质推导，再证明，由全等三角形的性质可得，即可获得答案．
【详解】解：如下图，过点作，交延长线于点，过点作于点，
∵，，，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴点到边的距离是2.
故选：B．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键．
【变式2】（2022上·浙江台州·八年级校联考期中）如图，在中，，，，点在的延长线上，点在边上，且，若，则的长等于( )
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【分析】如图所示过点作，根据所对边为斜边一半可计算长度，进而可计算的长度．
【详解】解：如图所示过点作于，在中，
， ，
，
，，
，
，
，
，于，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查直角三角形所对的边等于斜边的一半，等腰三角形的性质，在图中构造合适的辅助线的解题的关键．
【变式3】（2023下·湖南邵阳·八年级统考期末）如图，在中，，，点D为的中点，于点E，，则为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【分析】连接，利用等边对等角得，在中，得，在中，得，即可求出的长.
【详解】解：如图：连接，
，， 为的中点，
，平分，，
，
于，
，
，
在中，，，
，
在 中，，，
，
则．
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三线合一和含的特殊直角三角形的性质，熟练运用三线合一的性质是解题关键．
考点4：等腰三角形的性质——规律探究
典例4：（2023上·浙江杭州·八年级校考开学考试）在平面直角坐标系中，若干个边长为1个单位长度的等边三角形，按如图中的规律摆放．点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿着等边三角形的边“”的路线运动，设第n秒运动到点（n为正整数），则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】每6个点一个循环，它们的纵坐标规律为，0，，0，，0，点P的横坐标规律为，1，，2，，3， ，，即可求解．
【详解】解：由图可得，每6个点一个循环，它们的纵坐标规律为，0，，0，，0，
∵，
∴点的纵坐标为，
点P的横坐标规律为，1，，2，，3， ，，
∴点的横坐标为，
∴点的坐标为，
故选：D．
【点睛】本题考查点的规律，理解题意，根据所绘图形的特点，结合平面直角坐标系中点的特点及正三角形边的特点，确定点的坐标规律是解题的关键．
【变式1】（2023下·北京海淀·七年级校考期中）如图，在一单位为1的方格纸上，，都是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形，若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由等腰直角三角形的性质可得：直角顶点的纵坐标的长度为斜边的一半，然后求出下标为偶数的点的坐标，找到规律，进而求解.
【详解】解：∵各三角形都是等腰直角三角形，
∴直角顶点的纵坐标的长度为斜边的一半，
可得：，，，，，，……，
∵，
∴点在第一象限，横坐标是2，纵坐标是，
故选：D.
【点睛】本题考查了点的坐标规律探寻，找到规律是解题的关键.
【变式2】（2023·安徽滁州·校联考二模）如图所示，在平面直角坐标系中，，，，都是等边三角形，其边长依次为，，，其中点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，，按此规律排下去，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】观察所给图形，发现轴上方的点是4的倍数，确定点在轴上方，分别求出点的坐标为，点的坐标为，……，点的坐标为，即可求解．
【详解】解：观察所给图形，发现轴上方的点是的倍数，
，
点在轴上方，
，
，
，
，
，
点的坐标为，
同理可知，点的坐标为，
点的坐标为
故选：．
【点睛】本题考查点的坐标的变化规律；能够通过所给图形，找到点的坐标规律，利用有理数的运算解题是关键．
【变式3】（2022·辽宁鞍山·统考一模）如图，直线OA的解析式为y＝x，点P1坐标为（1，0），过P1作PQ1⊥x轴交OA于Q1，过Q1作P2Q1⊥OA交x轴于P2，过P2作P2Q2⊥x轴交OA于Q2，过Q2作P3Q2⊥OA交x轴于P3，…，按此规律进行下去，则P100的坐标为（ ）
A．（2100﹣1，0） B．（5050，0） C．（299，0） D．（100，0）
【答案】C
【分析】根据直线解析式确定，∠AOP1＝45°，再根据等腰直角三角形的判定与性质求得前面几个点的坐标，找出规律即可求解．
【详解】解：∵直线OA的解析式为y＝x，
∴∠AOP1＝45°，
∵PQ1⊥x轴，
∴△OP1Q1为等腰直角三角形，
∵点P1坐标为（1，0），
∴P1Q1＝OP1＝1，
∵P2Q1⊥OA，
∴∠P1Q1P2＝45°，
∴△P1P2Q1为等腰直角三角形，
∴P1P2＝P1Q1＝1，
∴P2（2，0），
同理可得P3（4，0），P4（8，0），……，Pn（2n﹣1，0），
∴P100（299，0），
故选：C．
【点睛】此题考查了坐标类规律的探索问题，涉及了正比例函数的性质、等腰直角三角形的性质。解题的关键是根据题意，利用性质找出前面几个点的坐标，正确找出规律，然后求解．
考点5：等腰三角形的性质——动点问题
典例5：（2023上·广东惠州·八年级统考期中）如图，坐标平面内一点，O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．1
【答案】C
【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①为等腰三角形底边；②为等腰三角形一条腰．
【详解】如图：
①为等腰三角形底边，符合条件的动点P有一个；
②为等腰三角形一条腰，符合条件的动点P有三个．
综上所述，符合条件的点P的个数共4个．
故选：C．
【变式1】（2023上·全国·八年级课堂例题）如图，是射线上一动点，，当为等腰三角形时，的度数一定不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分和三种情况，利用等腰三角形的性质结合三角形的内角和定理解答即可．
【详解】解：若为等腰三角形则有和三种情况，
①当时，则有，故；
②当时，则；
③当时，则，
综上可知：不可能为；
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，正确分类、熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
【变式2】（2023·河北邢台·模拟预测）如图，在直角坐标系中，已知点，点为轴正半轴上一动点，连接，以为一边向下作等边三角形，连接，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】以为对称轴作等边，连接并延长交x轴于F，证明得到，则点C在直线上运动，当时，最小，利用等腰三角形的判定与性质，结合含30度角的直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：如图，以为对称轴作等边，连接并延长交x轴于F，
则，，，
∴，
∴，
∴，
∴点C在直线上运动，
当时，最小，
∵，，，
∴，，
∴，即的最小值为2，
故答案为：
【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、垂线段最短，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加合适的辅助线构造等边三角形和全等三角形，进而确定点C的运动轨迹是解答的关键．
【变式3】（2023下·山西运城·八年级统考期末）如图，在折线段中，可绕点旋转，，，线段上有一动点，将线段分成两部分，旋转，，当三条线段，，首尾顺次相连构成等腰三角形时，的长为（ ）
A．3 B．2或3 C．2或4 D．2或3或4
【答案】A
【分析】分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和三角形的三边关系可求解．
【详解】解：当时，
，
，
当时，则，
，
三条线段，，不能构成三角形，
当时，则，
，
三条线段，，不能构成三角形，
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
考点6：等腰三角形的判定——等角对等边
典例6：（2023上·山东济宁·七年级济宁学院附属中学校考期中）已知：如图中，平分，平分，过D作直线平行于，交，与E，F．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)求的周长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义等，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）首先根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，可得，据此即可证得；
（2）同理（1）可得，根据的周长，求解即可．
【详解】（1）∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴的周长为：
C
．
【变式1】（2023上·福建福州·八年级校联考期中）如图，在中，，点是边上一点，且，过点作于点，与交于点，过点作，垂足为点．
(1)求证：；
(2)判断的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)是等腰三角形．理由见解析
【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，同角的余角相等，三角形的外角，熟练掌握三线合一，等角对等边证明等腰三角形是解题的关键．
（1）等腰三角形三线合一得到，，根据，得到，推出，即可得到；
（2）先求出，再根据角之间的关系和三角形的外角得到 推出，得到，即可．
【详解】（1）证明：
．
于点
．
（2）解：是等腰三角形．
理由：
，
由（1）知，，
．
，
即为等腰三角形．
【变式2】（2023上·湖南长沙·八年级湖南师大附中博才实验中学校考期中）如图，把四边形纸片沿折叠，点落在点处，与相交于点．已知在四边形纸片中，．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)若于点C，，，，求的面积．
【答案】(1)见解析；
(2)．
【分析】（）根据翻折的性质可得，由得出，从而即可证明；
（2）由求出，根据平行线的性质得出，再通过勾股定理得，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解．
【详解】（1）由折叠性质可知：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
由（）得：，
∴的面积为．
【点睛】此题考查了翻折变换的性质，等腰三角形的判定，平行线的性质和勾股定理，熟练掌握以上知识的应用是解题的关键．
【变式3】（2023上·全国·八年级专题练习）如图，在中，为边上的中线，为上的一点，交于点，已知，求证：．
【答案】见解析．
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，三角形中线的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线．
延长到，使得，连接，证明 得到且，再由等腰三角形的性质得到，继而证明，据此解题．
【详解】证明：延长到，使得，连接，
在和中 ，
，
∴，
∴ 且，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
考点7：等腰三角形的判定的实际应用
典例7：（2023下·北京朝阳·八年级北京八十中校考期中）上午10时，一条船从处出发，以每小时15海里的速度向正北航行，12时到达处．从处望灯塔为北偏东，从处望灯塔为北偏东，求轮船继续航行多长时间在灯塔的正西方向？并求出此时轮船和灯塔的距离．（结果保留根号）
【答案】轮船继续航行小时在灯塔在正西方向，此时轮船和灯塔的距离为海里．
【分析】求出，，可证，进而求出、的长即可．
【详解】如图，轮船与灯塔的距离是线段的长，由题意得，，，
∴，，
∴．
∵海里，
∴海里，
∴海里，
∴海里，小时．
所以轮船继续航行小时在灯塔在正西方向，此时轮船和灯塔的距离为海里．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，证明是解答本题的关键．
【变式1】（2022上·河北邯郸·九年级邯郸市第二十三中学校考期末）在一次海上救援中，两艘专业救助船、同时收到某事故渔船的求救讯息，已知此时救助船在的正北方向，事故渔船在救助船的北偏西30°方向上，在救助船的西南方向上，且事故渔船与救助船相距60海里．
(1)求收到求救讯息时事故渔船与救助船之间的距离（结果保留根号）；
(2)求救助船、分别以20海里/小时，15海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达．
【答案】(1)海里
(2)救助船先到达，计算过程见解析
【分析】（1）如图，作于，在中先求出的长，继而在中求出的长即可；
（2）根据“时间=路程÷速度”分别求出救助船A和救助船B所需的时间，进行比较即可．
【详解】（1）解：如图，过点P作于，
∴，
由题意得：海里，，，
∴海里，是等腰直角三角形，
∴海里，海里，
答：收到求救讯息时事故渔船与救助船之间的距离为海里；
（2）解：∵海里，海里，救助船分别以20海里/小时、15海里/小时的速度同时出发，
∴救助船所用的时间为(小时)，
救助船所用的时间为(小时)，
∵，
∴救助船先到达．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，涉及了含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定，勾股定理的应用等，熟练正确添加辅助线构建直角三角形是解题的关键．
【变式2】（2022上·重庆·九年级重庆南开中学校考阶段练习）如图，是某城市定向徒步挑战赛的四边形赛道，点B位于点A的东北方向千米处．点C位于点B的正东方向5.7千米处，点D位于点A的正东方向且．
(1)赛道上有一医疗救护站E，且点E位于点B的南偏东30°方向，求DE的长；
(2)主办方现准备从起点A开始沿该赛道顺次设置工作点，根据完事组织标准，主办方每5千米需设置1个工作点，每个工作点需安排至少3名志愿者，由于A点也是赛道的终点，额外再需要5名志愿者．若主办方拟安排35名志愿者．那么本次定向徒步挑战赛能否达到完事组织标准？请通过计算说明理由．
【答案】(1)2.5千米
(2)能，理由见解析
【分析】（1）根据一个角是的直角三角形和一个叫是的直角三角形的三边关系求解即可；
（2）先求四边形的总长度的近似值，然后根据题干要求进行计算比较即可．
【详解】（1）解：如图，过点作于点，，交于点，
由题意可知，，为等腰直角三角形，，
四边形为长方形，
，
，
（千米）；
（2）由（1）可知，
，
需要设置的工作点：，
需要的工作人员：（人），
，
本次定向徒步挑战赛可以达到完事组织标准．
【点睛】本题考查勾股定理的应用和方向角，能够灵活运勾股定理是解答本题的关键．
【变式3】（2022上·广东广州·八年级广州市第十六中学校考期中）如图，一条船上午8时从A处以20海里/小时的速度向正南航行，上午10时到达B处，从A处测得灯塔C在南偏东30°的方向上，在B处测得灯塔C在南偏东60°的方向上．
(1)求B处离灯塔C的距离：
(2)轮船从B处出发，按原速度航行，再过多少小时灯塔C正好在船的正东方向．
【答案】(1)B处离灯塔C的距离为40海里
(2)再过1时灯塔C正好在船的正东方向
【分析】（1）根据三角形外角的性质求出，从而得出，根据等角对等边求出海里；
（2）过点C作于点D，根据，得出，根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，得出海里，即可得出答案．
【详解】（1）解：根据题意可得：，，
∴，
∴，
∴（海里），
即B处离灯塔C的距离为40海里．
（2）解：过点C作于点D，如图所示：
∴，
∵，
∴，
∴海里，
∴（小时），
∴轮船从B处出发，按原速度航行，再过1小时灯塔C正好在船的正东方向．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，方位角，解题的关键是根据三角形外角的性质求出．
考点8：等腰三角形的判定——坐标系
典例8：（2023上·湖北武汉·八年级校考阶段练习）已知点的坐标为，点的坐标为，点为坐标轴上一点，若为等腰三角形，则这样的点有（ ）个
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【分析】根据等腰三角形两腰相等，分别以、为圆心以的长度为半径画圆，与坐标轴的交点即为所求的点，的垂直平分线与坐标轴的交点也可以满足是等腰三角形．
【详解】解：如下图，使得是等腰三角形，这样的点可以找到7个．
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，坐标与图形性质，作出图形，利用数形结合的思想求解更形象直观．
【变式1】（2023上·北京西城·八年级北师大实验中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴和y轴上，点B坐标为且，在坐标轴上求作一点P，使得是等腰三角形，则符合条件的点P的个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【分析】根据直角三角形的性质求得，再分类讨论：以为腰，以为底，分别根据等腰三角形的性质和勾股定理求点P坐标即可．
【详解】解：如图，以为腰时，、、、是等腰三角形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
以为底时，如图，是等腰三角形，过点作于点D，
在中，，
设，则，
∵，
在中，，
∴，
解得，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查坐标与图形的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、解一元一次方程，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
【变式2】（2023上·内蒙古包头·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，B，C两点的坐标分别为和，，则点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了坐标与图形性质，等腰三角形的性质，勾股定理；过点A作于点D，由等腰三角形的性质可得出，根据勾股定理求出，则点A的坐标可求出．
【详解】解：过点A作于点D，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
故选：A．
【变式3】（2023下·广东江门·八年级统考期末）如图，点A的坐标为，点B在直线上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】过点作直线于点，过点作轴于点，线段最短，由点在直线上，可得出，进而可得出为等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形的性质可得出，的长，进而可得出点的坐标．
【详解】解：过点作直线于点，过点作轴于点，线段最短，如图所示
点在直线上，
设点的坐标为，
，
为等腰直角三角形，
，
为等腰直角三角形．
点的坐标为，
，
，
点的坐标为．
故选D．
【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、垂线段最短以及等腰直角三角形的判定与性质，利用等腰直角三角形的性质，找出，的长是解题的关键．
同步一遍过
一、单选题
1．（2023下·河南驻马店·八年级校联考期中）已知等腰三角形的两边长分别为，则该等腰三角形的周长是（ ）
A． B． C．或者 D．
【答案】D
【分析】分类讨论：底边为，底边为，根据三角形的周长公式，可得答案．
【详解】解：底边为，腰长为，这个三角形的周长是，
底边为，腰长为，，不能以为底构成三角形，
故该等腰三角形的周长是．
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，利用了等腰三角形的性质，三角形三边的关系，分类讨论是解题关键．
2．（2022上·浙江杭州·八年级统考期末）若等腰三角形的顶角为50°，则这个等腰三角形的底角度数为（ ）
A．50° B．65° C．80° D．130°
【答案】B
【分析】已知给出了等腰三角形的顶角等于50°，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理直接刻求得答案．
【详解】∵等腰三角形的顶角等于50°，
又等腰三角形的底角相等，∴底角等于（180°﹣50°）65°．
故选B．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理和等腰三角形的性质；题目比较简单，属于基础题．
3．（2022·湖南长沙·八年级校考阶段练习）如图，是等腰三角形，点是底边上任意一点，、分别与两边垂直，等腰三角形的腰长为，面积为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接AO，根据三角形的面积公式即可得到ABOE＋ACOF＝15，根据等腰三角形的性质即可求得OE＋OF的值．
【详解】解：连接AO，如图，
∵AB＝AC＝6，
∴S△ABC＝S△ABO＋S△AOC＝ABOE＋ACOF＝15，
∵AB＝AC，
∴AB（OE＋OF）＝15，
∴OE＋OF＝5．
故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的面积，熟记等腰三角形的性质是解题的关键．
4．（2023上·江苏·八年级专题练习）如图，点是的边上一点，．若，则( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理得出，进而根据等腰边对等角以及三角形外角的性质即可求解．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理以及等腰三角形的性质，熟练掌握等边对等角是解题的关键．
5．（2022·浙江衢州·校考一模）如图，直线l1∥l2，以直线l2上的点A为圆心．适当长为半径画弧，分别交直线l1、l2于点B、C，连接AB、BC．若∠ACB=65°，则∠1的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】C
【分析】根据圆的基本性质可知AB=AC，即得出，再根据三角形内角和定理可求出，最后由平行线的性质即可求出答案．
【详解】根据题意可知AB=AC，
∴，
∴．
∵l1∥l2，
∴．
故选C．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及平行线的性质．利用数形结合的思想是解题关键．
6．（2022上·黑龙江哈尔滨·八年级校联考阶段练习）如图．∠BAC＝100°若MP和NQ分别垂直平分AB和AC．则∠PAQ的度数是（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
【答案】B
【分析】由AB=AC，∠BAC=100°，可求得∠B+∠C的度数，又由MP，NQ分别垂直平分AB，AC，根据线段垂直平分线的性质，可得AP=BP，AQ=CQ，继而求得∠BAP+∠CAQ的度数，则可求得答案．
【详解】解：∵AB=AC，∠BAC=100°，
∴∠B+∠C=180°∠BAC=80°，
∵MP，NQ分别垂直平分AB，AC，
∴AP=BP，AQ=CQ，
∴∠BAP=∠B，∠CAQ=∠C，
∴∠BAP+∠CAQ=80°，
∴∠PAQ=∠BAC（∠BAP+∠CAQ）=20°．
故选：B．
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
7．（2023上·四川巴中·九年级校考阶段练习）已知等腰三角形的两条边长为1和，则这个三角形的周长为（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】B
【分析】分1是腰长和底边长两种情况讨论求解．
【详解】解：1是腰时，三角形的三边分别为1、1、，
∵，
∴此时不能组成三角形；
1是底边时，三角形的三边分别为1、、，能够组成三角形，
周长为，
综上所述，这个三角形的周长为．
故选：B．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，等腰三角形的定义，难点在于要分情况讨论并利用三角形的三边关系判定是否能够组成三角形．
8．（2022上·甘肃平凉·八年级统考期中）等腰三角形的周长是，其中一边长为，其它两边长分别为（ ）
A．， B．，
C．，或 D．无法确定
【答案】B
【分析】根据等腰三角形三边的关系，分类讨论，①另一边的长为，第三边的长为；②等腰三角形另外两边的长相等，且为；根据三角形三边的大小关系即可求解．
【详解】解：∵等腰三角形的周长是，其中一边长为，
∴①另一边的长为，
∴第三边的长为，
∵，不能构成三角形，不符合题意，舍去；
②等腰三角形另外两边的长相等，且为，即边长分别为，，，
∵，能构成等腰三角形，符合题意；
综上所述，等腰三角形另外两边长分别为，，
故选：．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形三边大小的关系，掌握以上知识是解题的关键．
9．（2023·湖南长沙·校联考三模）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线，交于点，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意可得为的角平分线，则，由，可得，即可得，由，可得，再结合三角形内角和定理可列出关于的方程，进而可得出答案．
【详解】解：由题意可得为的角平分线，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得．
．
故选：D．
【点睛】本题考查作图基本作图、等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解答本题的关键．
10．（2022下·四川达州·七年级校考期末）△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是 BC边上的中线，过点 C作 CF⊥AE，垂足为点 F，过点 B作 BD⊥BC交 CF的延长线于点 D，BD＝2cm，则△ABE的面积为（ ）
A．2c B．4 c C．6c D．8c
【答案】B
【分析】由△DBC≌△ECA，推出DB=EC=2，由BE=EC，推出BE=EC=2，AC=BC=4，根据S△ABE= BE AC计算即可．
【详解】解：如图：
∵DB⊥BC，AE⊥CD，
∴∠DBC=∠ACE=∠AFC=90°，
∵∠DCB+∠ACF=90°，∠ACF+∠EAC=90°，
∴∠DCB=∠EAC，
∵BC=AC，
∴△DBC≌△ECA，
∴DB=EC=2，
∵BE=EC，
∴BE=EC=2，AC=BC=4，
∴S△ABE= BE AC=×2×4=4．
故选：B．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
二、填空题
11．（2022上·福建福州·八年级统考期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝BD，则3∠ADB﹣∠CAD＝ ．
【答案】180°
【分析】由条件可知∠B=∠C，∠ADB=∠BAD，再利用三形角形内角和定理和外角的性质可得到答案．
【详解】由条件可知∠B＝∠C，∠ADB＝∠BAD，再利用三角形内角和定理和外角的性质可得到答案．
解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵AB＝BD，
∴∠ADB＝∠DAB，
∴2∠ADB＝180°﹣∠B＝180°﹣∠C，
又∵∠ADB＝∠C+∠CAD，
∴∠C＝∠ADB﹣∠CAD，
∴2∠ADB＝180°﹣（∠ADB﹣∠CAD），
∴3∠ADB﹣∠CAD＝180°，
故答案为：180°．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理、外角的性质，掌握等边对等角是解题的关键，注意方程思想的应用．
12．（2022上·山东泰安·八年级统考期末）如图，,则 ．
【答案】
【分析】根据等腰三角形三线合一性质求得∠CAD与∠ADC的度数，再根据AD=AE，利用三角形内角和定理可求得∠ADE的度数，从而不难求解．
【详解】∵AB=AC，BD=CD，
∴AD平分∠BAC，AD⊥BC，
∴∠CAD=∠BAD=30°，∠ADC=90°．
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED===75°，
∴∠CDE=∠ADC-∠ADE=90°-75°=15°．
∴故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和等知识点，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
13．（2022上·广东惠州·八年级校考阶段练习）如图，在中，，和的平分线分别交于点，，若，， ．
【答案】9
【分析】由角平分线与平行线易得，从而得到，同理可得，再根据即可得答案．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
故答案为：9．
【点睛】本题考角平分线与平行线，掌握角平分线加平行线，可得等腰三角形这一几何模型是解题的关键．
14．（2022下·湖北黄冈·八年级统考期中）如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝10cm，点D在AC上，DC＝4cm．将线段DC沿着CB的方向平移7cm得到线段EF，E、F分别落在边AB，BC上，则的周长为 cm．
【答案】11
【分析】直接利用平移的性质得出EF＝DC＝4cm，进而得出BE＝EF＝4cm，进而求出答案．
【详解】解：∵将线段DC沿着CB的方向平移7cm得到线段EF，
∴EF＝DC＝4cm，FC＝7cm，∠C＝∠BFE，
∵AB＝AC，BC＝10cm，
∴∠B＝∠C，BF＝3cm，
∴∠B＝∠BFE，
∴BE＝EF＝4cm，
∴△EBF的周长为：4＋4＋3＝11cm．
故答案为：11
【点睛】此题主要考查了平移的性质，以及等腰三角形的判定与性质，根据题意得出BE的长是解题关键．
15．（2022上·江西新余·八年级统考期中）中，的垂直平分线分别交于D、E，若，则 ．
【答案】65或115/115或65
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形内角和定理分两种情形分别计算即可．
【详解】解：如图1，
∵分别垂直平分，
∴，
∴，
，
则，
解得，，
∴；
如图2中，
∵分别垂直平分，
∴，
∴，
，
则，
解得，，
∴，
故答案为：65或115．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
16．（2022上·浙江·八年级期末）若一个三角形的两个内角之差是第三个内角的，则称这个三角形是“差半角三角形”．若一个等腰三角形是“差半角三角形”，则它的底角度数是 度．
【答案】72或
【分析】设底角为α°，则另一个底角为α°，顶角为180°－2α°，根据差半角三角形的定义得出方程，由此解方程即可求得答案．
【详解】解：设底角为α°，则另一个底角为α°，顶角为180°－2α°，
当α°－（180°－2α°）＝α°时
解得：α＝72，
当（180°－2α°）－α＝α°时
解得：α＝，
故答案为：72或．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理以及等腰三角形的性质，读懂题意，设出未知数列出方程是解答此题的关键．
三、解答题
17．（2022上·江苏常州·八年级统考期末）如图，点D是内部的一点，，过点D作，，垂足分别为E、F，且
求证：为等腰三角形．
【答案】见解析.
【分析】欲证明AB＝AC，只要证明∠ABC＝∠ACB即可；
【详解】证明：，，
．
在和中，
≌，
，
，
，
，
即，
．
欲证明，只要证明即可；
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
18．（2022上·甘肃平凉·八年级校考期中）请将下列证明过程补充完整．
求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．
已知：如图，是的外角，平分，
求证：
证明：∵
∴（__________），（__________），
∵平分，
∴（__________），
∴_________，
∴（__________）．
【答案】两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；角平分线的定义；；同一个三角形中，等角对等边．
【分析】只需要利用平行线的性质和角平分线的定义证明，即可证明．
【详解】证明：∵
∴（两直线平行，同位角相等），（两直线平行，内错角相等），
∵平分，
∴（角平分线的定义），
∴，
∴（同一个三角形中，等角对等边）．
故答案为：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；角平分线的定义；；同一个三角形中，等角对等边．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，证明是解题的关键．
19．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）如图，在中，，延长至，使得，连接，再延长至，使得，连接．求证：．
【答案】见详解
【分析】先证明再根据判定证明即可．
【详解】解：∵在中，，
，
，，
．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．
20．（2023上·广东广州·八年级广州市黄埔军校纪念中学校考期中）已知，，．
(1)画出关于轴对称的，并直接写出点的对称点的坐标；
(2)在轴上求作一点，使得最短，此时点的坐标是________；
(3)点在轴上，且满足为等腰三角形，则这样的点有________个．
【答案】(1)画图见解析，
(2)画图见解析，
(3)3
【分析】（1）先根据，，找其关于y轴轴对称的点、、的坐标，再两两连线即可；
（2）连接交y轴于点P即为所求；
（3）以C为圆心，为半径画弧，交于x轴于点和，再作的垂直平分线交x轴于，即可作答．
【详解】（1）解：∵，，，
又∵关于y轴对称的两点，纵坐标不变，横坐标互为相反数，
∴，，，
顺次连接，作图如下：
则即为所求；
（2）解：如图所示，点P即为所求；
根据题意可得，点的坐标是；
（3）解：以C为圆心，为半径画弧，交于x轴于点和，再作的垂直平分线交x轴于，作图如下：
连接，，，，，，
根据作图可知：，，
即可知：，，，是等腰三角形，
即当Q点落在，，时，即可使得是等腰三角形，
由图可知：以A为圆心，为半径的圆与x轴没有交点，即不存在的情况，
即满足要求的Q点有3个，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了画关于y轴轴对称的图形，求解对应点的坐标以及等腰三角形的定义等知识，掌握关于y轴对称的两点，纵坐标不变，横坐标互为相反数，是解答本题的关键．
21．（2022上·八年级单元测试）如图所示，在中，，分别是和的平分线，且．
（1）求的周长．
（2）若，求的度数．
【答案】（1）8cm；（2）115°
【分析】（1）分别利用角平分线的性质和平行线的判定，求得△DBP和△ECP为等腰三角形，由等腰三角形的性质得BD=PD，CE=PE，那么△PDE的周长就转化为BC边的长，即为8cm．
（2）根据三角形内角和定理和角平分线的性质即可求得．
【详解】解：（1）∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠ABP=∠PBD，∠ACP=∠PCE，
∵PD∥AB，PE∥AC，
∴∠ABP=∠BPD，∠ACP=∠CPE，
∴∠PBD=∠BPD，∠PCE=∠CPE，
∴BD=PD，CE=PE，
∴△PDE的周长=PD+DE+PE=BD+DE+EC=BC=8cm．
（2）∵∠A=50°，
∴∠ABC+∠ACB=130°，
∠ABC+∠ACB=65°，
∵∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB，
∴∠PBC+∠PCB=65°，
∴∠BPC=180°-65°=115°．
【点睛】此题主要考查了平行线的判定，内角和定理，角平分线的性质及等腰三角形的性质等知识点．本题的关键是将△PDE的周长就转化为BC边的长．
22．（2022上·江苏盐城·八年级校考期中）等腰△ABC中，AB＝AC，∠ACB＝72°，
（1）如图1，若BD⊥AC于D，求∠ABD的度数；
（2）如图2，若CE平分∠ACB，求证：AE＝BC．
【答案】（1）∠ABD＝54°；（2）见解析
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和解答即可．
（2）根据角平分线的性质、等腰三角形的性质和判定以及三角形内角和解答即可．
【详解】解：∵等腰中，，，
∴，．
（1）∵于D，∴，
∴；
（2）∵CE平分∠ACB，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴ ，
∴，
∴．
【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质和判定以及角平分线的性质，解题的关键是熟记等腰三角形的性质和三角形内角和公式．
23．（2022上·湖北武汉·八年级校考阶段练习）已知，在中，是上一点，交 于点，连接．
（1）如图，，．求证：；
（2）如图，点与点重合，，， ．若，，求的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）4．
【分析】（1）由平行线的性质得到，根据全等三角形的判定证得，根据全等三角形的性质可证得结论；
（2）过作交的延长线于点，由平行线的性质得到，，由等腰三角形的判定得到，进而得到，根据等腰三角形的性质即可求得结果．
【详解】（1）证明：，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：如图2所示，过作交的延长线于点，
，，
，
，
，
又，
．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，正确作出辅助线是解决问题的关键．
24．（2022上·北京·八年级人大附中校考期中）如图，在中，，为上一个动点．
(1)已知，求证：．
下面是两位同学分享的思路：
小快同学：从求证目标出发，倍长到，即，又，则只需证．
小乐同学：从已知条件角的关系出发，发现若将关于直线对称得到，则可证为等腰三角形．
请你选择一种思路，完成证明
(2)已知，，请直接写出的大小（用含式子表示）．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）延长到，使，连接．证得等腰，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可；
（2）延长到E，使，连接CE，证得等腰和等腰，然后利用等三角形的性质与三角形外角的性质、三角形内角和定理即可求解．
【详解】（1）证明：延长到，使，连接．
∵，
∴为线段的中垂线，
∴，
∴．
在中，．
又，
∴．
在中，，
∴，
∴．
∴
∴．
即．
（2）解：延长到E，使，连接CE，
∵，
∴为线段的中垂线，
∴，
∴，
∵ ，
∴，
∵，
∴ ，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，通过作辅助线构造等腰三角形是解题的关键．
25．（2022上·广东珠海·八年级珠海市第九中学校考期中）如图，在△COP中，过点P作PE⊥OC于点E，点M在△OPE内部，连接OM，PM，其中OM、PM分别平分∠EOP、∠EPO．
（1）求∠OMP的度数；
（2）连接CM，若OC＝OP，试判断△CMP的形状，并说明理由．
【答案】（1）∠OMP=135°（2）△CMP的形状是等腰直角三角形，证明见详解．
【分析】（1）先求解得到由角平分线的性质证明再利用三角形的内角和定理可得答案；
（2）延长交于 利用等腰三角形的性质证明再利用垂直平分线的性质证明：再根据平角定义求解进而求出∠MCP=∠MPC=90°-∠HMP=90°-45°=45°，从而可得答案．
【详解】解：（1）∵PE⊥OC，
∴∠PEO=90°
∴∠EPO+∠EOP=90°，
∵OM、PM分别平分∠EOP、∠EPO，
∴∠EOP=2∠MOP，∠EPO=2∠MPO，
∴2∠MOP+2∠MPO=90°，
∴∠MOP+∠MPO=45°，
∴∠OMP=180°-∠MOP+∠MPO=180°-45°=135°；
（2）△CMP的形状是等腰直角三角形，理由如下：
延长交于
平分，
∴∠HMP=180°-∠OMP=180°-135°=45°，
∴∠MCP=∠MPC=90°-∠HMP=90°-45°=45°，
是等腰直角三角形．
【点睛】本题考查的是三角形的角平分线的定义，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，平角定义，直角三角形两锐角互余，等腰直角三角形的判定，掌握以上知识是解题的关键．
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