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专题02 等边三角形
考点类型
知识一遍过
（一）等边三角形
（1）等边三角形性质
①等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60
②在直角三角形中，如果一个锐角等于30 ，那么它所对的直角边等于斜边的一半
（2）等边三角形判定
①三个角都相等的三角形是等边三角形。
②有一个角是60 的等腰三角形是等边三角形。
（二）解题方法
（1）三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离等。
（2）三角形三个边的中垂线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
（3）常用辅助线：①三线合一；②过中点做平行线
（4）含30°角的直角三角形性质
（三）等腰三角形与等边三角形的区别
考点一遍过
考点1：等边三角形的性质——求角
典例1：（2023上·河南新乡·八年级新乡市第一中学校考期中）如图，和均为等边三角形，点、、在同一条直线上，连接，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023上·广东广州·八年级校联考阶段练习）如图，等边中，为边上的高，点、分别在、上，且，连、，当最小时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2022上·福建福州·八年级校考期中）如图所示，是等边三角形，，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2023下·安徽·九年级专题练习）如图，直线，是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交于点E，交于点F，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
考点2：等边三角形的性质——求线段
典例2：（2023上·广西南宁·九年级南宁三中校考期中）如图，过边长为4的等边的边上一点P，作于E，Q为延长线上一点，当时，连交边于D，则的长为（ ）
A． B．2 C． D．
【变式1】（2023上·福建福州·八年级福建省福州第十九中学校考期中）如图，是等边三角形，点D是的中点，，，则AC等于（ ）
A．6 B．8 C．9 D．12
【变式2】（2023上·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图：是等边三角形，，，相交于点P，于Q，，，则的长是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【变式3】（2022下·陕西榆林·八年级统考期末）如图，是等边三角形，点在的延长线上，点是的中点，连接并延长交于点，且，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
考点3：等边三角形的性质——手拉手全等
典例3：（2023上·湖北武汉·八年级校联考期中）如图，和均为等边三角形，直线交于点，点、分别为、的中点，下列结论：①；②；③；④为等边三角形；⑤平分，其中一定成立的有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式1】（2023上·辽宁抚顺·八年级统考期中）如图，和均是等边三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连接．以下五个结论：①；②；③；④；⑤平分．其中结论正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式2】（2023上·黑龙江鸡西·八年级统考阶段练习）如图，为线段上一动点（不与、重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接，以下五个结论：①；②；③；④；⑤，恒成立的结论有（ ）
A．①③⑤ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤
【变式3】（2023上·广东江门·八年级校考阶段练习）如图，已知点B是边上的动点（不与A，C重合），在的同侧作等边△ABD和等边，连接，下列结论正确的个数有（ ）
①；
②；
③；
④是等边三角形；
⑤平分；
⑥．
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
考点4：等边三角形的性质——证明
典例4：（2023上·山东临沂·八年级校考阶段练习）如图，和都是等边三角形，和相交于点O．
(1)求证：
(2)求的度数．
【变式1】（2023上·山东菏泽·八年级统考期中）已知：如图，点E是正方形ABCD内一点，是等边三角形，求的度数．
【变式2】（2023上·广西河池·八年级统考期中）如图，边长为的等边中，点、分别是边、上的动点（端点除外），点P从顶点A，点从顶点同时出发，且它们的速度都为，，交于点，在点、的运动过程中．
(1)求证：；
(2)的大小是否发生变化？若无变化，求的度数；若有变化；说明理由．
【变式3】（2023上·湖南长沙·八年级校联考期中）如图，等边三角形中，为边的中点，为的延长线上一点，过点作于点，并交于点，
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
考点5：含30°角直角三角形性质
典例5：（2023上·浙江金华·八年级校联考期中）如图，，点P在上，且，M是上的点，在上找点N，以为直角边，P，M，N为顶点作等腰直角三角形，则的长不可能是（ ）
A． B．3 C． D．
【变式1】（2023上·吉林·八年级校联考期中）如图，中，，，，点是边上的动点，则长不可能是（ ）
A．1.8 B．2.2 C．3.5 D．3.8
【变式2】（2023上·天津西青·八年级校考期中）如图，已知在中，，，垂直平分于点D，交于点E，若，则长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【变式3】（2023上·河南商丘·八年级校考期中）如图，在中，，，，是高，则的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
考点6：等边三角形的判定
典例6：（2023上·湖南长沙·八年级校联考期中）如图，点在的外部，点在边上，交于点，若，，．
(1)求证：；
(2)若，判断的形状，并说明理由．
【变式1】（2023上·江西南昌·八年级校联考期中）如图，在等腰中，，是的中线，于点E，于点F．
(1)若，求证：是等边三角形；
(2)求证：；
(3)若，，求的长．
【变式2】（2023上·福建福州·八年级福建省福州第一中学校考期中）如图，在中，点P为边上一点．
(1)尺规作图：请在上求作一点D，使得（保留作图痕迹，不写作法）．
(2)在（1）的条件下，，，求证：是等边三角形．
【变式3】（2023下·辽宁沈阳·八年级统考期中）如图，已知，点是的平分线上一点，点，分别是边，上的点，且．
(1)求证：是等边三角形；
(2)若点到的距离为，则 ______ ．
考点7：等边三角形综合
典例7：1．（2022上·湖北咸宁·八年级咸宁市温泉中学校考期中）如图，点D，E，F分别在等边的三条边上，且，．
(1)若，试判断的形状，并说明理由；
(2)若是直角三角形，求的长；
(3)如图2，若点D是边中点，点E，F分别在边上运动，当的周长最小时，直接写出此时的度数．
【变式1】（2023上·全国·八年级专题练习）如图，点O是等边内一点，D是外的一点，，，，，连接．
(1)求证：是等边三角形；
(2)当时，试判断的形状，并说明理由；
(3)探究：当α为多少度时，是等腰三角形．
【变式2】（2023上·福建泉州·八年级福建省泉州市培元中学校考期中）如图，在等边三角形中，点D、E分别在边、上，且，与交于点F，在上截取，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【变式3】（2023上·天津西青·八年级校考期中）已知：如图，点是等边内一点，点是BP延长线上一点，且，．
(1)求证：；
(2)求证：是等边三角形；
(3)线段三者之间有怎样的数量关系 并请你说明理由．
考点8：等边三角形综合——动点
典例8：（2023上·江苏苏州·八年级校考阶段练习）点、分别是边长为的等边的边、上的动点，点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都是，设运动时间为．
(1)连接、交于点，则在、运动过程中，变化吗？若变化，则说明理由；若不变，则求出它的度数；
(2)连接，当运动时间为多少时，是等边三角形，并说明理由；
(3)连接，当为直角三角形时，则________s．（直接写出结果）
【变式1】（2023上·内蒙古巴彦淖尔·八年级校考期末）如图，为线段上一动点（不与点重合），在同侧分别作正三角形和正三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连接．
(1)求证： ；
(2)求证：；
(3)判断的形状，并说明理由．
【变式2】（2023下·山东济南·七年级统考期末）在中，，点是直线上一点不与、重合，以为一边在的右侧作，使，，连接E．
(1)如图1，当点在线段上，如果．
①则与全等吗？请说明理由；
②求的度数；
(2)如图2，如果，当点在线段上移动，则的度数是 ；
(3)如图2，当点在线段上，如果，点为中边上的一个动点与、均不重合，当点运动到什么位置时，的周长最小？
【变式3】（2022上·江苏苏州·八年级统考期中）如图，等边的边长为，现有两动点M、N分别从点A、B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为，点N的速度为，当点N第一次到达点B时，点M、N同时停止运动．
(1)点M、N运动几秒后，M、N两点重合？
(2)点M、N运动几秒后，以点A、、N为顶点的三角形是等边三角形？
(3)当点M、N在边BC上运动时，连接，能否得到以为底边的等腰三角形？如能，请求出此时点M、N运动的时间．
考点9：等边三角形综合——规律
典例9：（2022上·北京昌平·八年级统考期末）如图，是等边三角形，D是线段上一点（不与点B，C重合），连接，点E，F分别在线段的延长线上，且，点D从B运动到C的过程中，周长的变化规律是（ ）
A．不变 B．一直变小 C．先变大后变小 D．先变小后变大
【变式1】（2023·河南安阳·统考一模）在平面直角坐标系中，将若干个边长为2个单位长度的等边三角形按如图所示的规律摆放，点P从原点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿着等边三角形的边→→→→…的路线运动，设第n秒运动到点（n为正整数），则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2022上·山东济宁·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标是，以为边在右侧作等边三角形，过点作x轴的垂线，垂足为点，以为边在右侧作等边三角形，再过点作x轴的垂线，垂足为点，以为边在右侧作等边三角形，……，按此规律继续作下去，得到等边三角形，则点的纵坐标为（ ）
A． B． C． D．
同步一遍过
一、单选题
1．（2022上·九年级课前预习）等边三角形的一边与这边上的高的比是（ ）
A．：2 B．：1 C．2： D．1：
2．（2022上·四川广安·八年级统考期末）下列说法正确的是（ ）
A．等腰三角形的中线，高线、角平分线重合
B．若多边形的边数增加，则它的外角和和内角和都会增加
C．一条线段的垂直平分线的垂足，也是这条线段的中点
D．有一个外角是的等腰三角形是等边三角形
3．（2022上·河北廊坊·八年级校联考期末）如图，中，，，以顶点为圆心、适当长为半径作弧，在边、上截取、；然后分别以点为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．若，为边上一动点，则的最小值为（ ）
A． B．2 C．1 D．无法确定
4．（2023下·河北保定·八年级校考阶段练习）如图，平分，，于D，若，，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（2022下·甘肃兰州·八年级校考期中）如图，等边的边长为6，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点，若，当取得最小值时，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022上·山东临沂·八年级统考期中）已知等边△ABC的边长为6，D是AB上的动点，过D作DE⊥AC于点E，过E作EF⊥BC于点F，过F作FG⊥AB于点G．当G与D重合时，AD的长是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2022上·海南海口·八年级海南中学校考期中）如图，在中，，交于点D，，，则的长为（ ）
A．6 B．7.5 C．9 D．10.5
8．（2022上·山东济宁·八年级统考期中）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，AD⊥BC于D，BE是∠ABC的平分线，且交AD于P，如果AP=2，则AC的长为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
9．（2022下·山东菏泽·八年级统考期末）如图，在△ABC中,∠C=90°，∠A=30°，CD=2，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，则AC的长是（ ）
A．4 B．3 C．6 D．5
10．（2022上·河南洛阳·八年级统考期末）如图，已知，，，，和交于点，则下列结论：：①；②；③平分；④．其中正确的有（ ）
A．①② B．①②③ C．①②③④ D．①②④
二、填空题
11．（2022上·重庆开州·八年级校联考期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE是AB的垂直平分线，BE=5，则AC的长为
12．（2023上·北京海淀·八年级北京市十一学校校考期中）已知等边中，，若点H在线段上运动，取最小值时，的值为 ．
13．（2022上·安徽阜阳·八年级统考期末），，若， ．
14．（2022上·江苏连云港·八年级统考阶段练习）如图1．在平面内取一定点O，引一条射线Ox，再取定一个长度单位，那么平面上任一点M的位置可由的长度m与的度数α确定，有序数对(m，α)称为M点的极坐标，这样建的坐标系称为极坐标系，如图2，在极坐标系下，有一个等边三角形，则点B的极坐标为 ．
15．（2022上·北京·八年级期中）如图，为等边三角形，点与点关于直线对称，，分别是边和上的点，，与交于点，交于点．下列四个结论中：①；②；③；④为等边三角形．所有正确结论的序号是 ．
16．（2023·四川成都·成都七中校考三模）如图，中，以点A为圆心任意长为半径画弧交线段于点M、N，分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP，交于点D，折叠，使点A与点D重合，折痕交线段于点E、F，若，，则 ．
三、解答题
17．（2023上·吉林松原·八年级统考期末）如图，在中，为边延长线上的一点，已知，．求证：是等边三角形．
18．（2022上·江苏泰州·八年级校考期中）如图，已知点、在的边上，，．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
19．（2022上·陕西商洛·八年级统考期末）如图，在等边中，点、分别在边、上，且，过点作，交的延长线于点．
（1）求的度数；
（2）若，求的长．
20．（2022上·吉林长春·八年级吉林省第二实验学校校考阶段练习）图①中所示的遮阳伞，伞柄垂直于地面，其示意图如图②．当伞收紧时，点P与点A重合；当伞慢慢撑开时，动点P由A向B移动；当点P到过点B时，伞张得最开．已知伞在撑开的过程中，总有PM＝PN＝CM＝CN＝6.0分米，CE＝CF＝18.0分米，BC＝2.0分米．
(1)求AP长的取值范围；
(2)当∠CPN＝60°时，求AP的值．
21．（2023上·福建福州·八年级校考阶段练习）如图，是等边三角形，、分别是、边上的点，连接、，且、相交于点，．
(1)求的度数；
(2)过点B作于，若，，求的长．
22．（2022下·九年级单元测试）已知O是等边三角形ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝135°，试问：
（1）以OA，OB，OC为边能否构成一个三角形？若能，求出该三角形各角的度数；若不能，请说明理由；
（2）如果∠AOB的大小保持不变，那么当∠BOC等于多少度时，以OA，OB，OC为边的三角形是一个直角三角形？
23．（2022上·吉林·八年级统考期中）在等边△ABC中，点E在AB上，点D在CB延长线上，且ED＝EC．
（1）当点E为AB中点时，如图1，AE DB（填“＞”、“＜”“＝”）；
（2）当点E为AB上任意一点时，如图2，AE DB（填“＞”、“＜”“＝”），并说明理由．（提示：过点E作EF∥BC，交AC于点F）．
24．（2022上·安徽淮南·八年级统考期末）在等边中，分别为边上的动点，以为一边作等边．
（1）如图1，若等边的顶点恰好在上，求证：；
（2）如图2，若，当点从点向点运动（不运动到点）时，连接，请判断的大小是否变化并说明理由．
25．（2022上·福建莆田·九年级统考期中）如图，∠AOB＝120°，OC平分∠AOB，∠MCN＝60°，CM与射线OA相交于M点，CN与直线BO相交于N点．把∠MCN绕着点C旋转．
（1）如图1，当点N在射线OB上时，求证：OC＝OM+ON；
（2）如图2，当点N在射线OB的反向延长线上时，OC与OM，ON之间的数量关系是 （直接写出结论，不必证明）
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专题02 等边三角形
考点类型
知识一遍过
（一）等边三角形
（1）等边三角形性质
①等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60
②在直角三角形中，如果一个锐角等于30 ，那么它所对的直角边等于斜边的一半
（2）等边三角形判定
①三个角都相等的三角形是等边三角形。
②有一个角是60 的等腰三角形是等边三角形。
（二）解题方法
（1）三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离等。
（2）三角形三个边的中垂线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
（3）常用辅助线：①三线合一；②过中点做平行线
（4）含30°角的直角三角形性质
（三）等腰三角形与等边三角形的区别
考点一遍过
考点1：等边三角形的性质——求角
典例1：（2023上·河南新乡·八年级新乡市第一中学校考期中）如图，和均为等边三角形，点、、在同一条直线上，连接，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定及性质，先证明，然根据证明，得出，进而得出，即可求解．
【详解】解：和均为等边三角形，
，，，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
．
故选：A．
【变式1】（2023上·广东广州·八年级校联考阶段练习）如图，等边中，为边上的高，点、分别在、上，且，连、，当最小时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如图1中，作，使得，连接，，证明，推出，由，可知当B、N、H共线时，的值最小，再利用全等三角形的性质即可求解．
【详解】解：作，使得，连接，，如图1：
是等边三角形，，，
，，
，
，，
在和中，
，
，
，
，
当B、N、H共线时，有最小值，
如图2中，当B、N、H共线时，
，且，
，
，
，
，
故选C
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，判断当B、N、H共线时，有最小是解决问题的关键．
【变式2】（2022上·福建福州·八年级校考期中）如图所示，是等边三角形，，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据等边三角形的性质可得：，，从而求出的度数，然后根据已知条件可得：，根据等边对等角和三角形的内角和即可求出，从而求出的度数．
【详解】解：为等边三角形，
，．
，，
，，
，
，
，
故选：A．
【点睛】此题考查的是等边三角形的性质和等腰三角形的性质，掌握等边三角形的内角都是和等边对等角是解决此题的关键．
【变式3】（2023下·安徽·九年级专题练习）如图，直线，是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交于点E，交于点F，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据等边三角形的性质可得，由三角形外角的性质可得的度数，由平行线的性质可得同旁内角互补，可得结论．
【详解】解：如图，
∵是等边三角形，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选C．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，平行线的性质，三角形外角的性质，题目比较基础，熟练掌握性质是解题的关键．
考点2：等边三角形的性质——求线段
典例2：（2023上·广西南宁·九年级南宁三中校考期中）如图，过边长为4的等边的边上一点P，作于E，Q为延长线上一点，当时，连交边于D，则的长为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【分析】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用，过P作交于F，得出等边三角形，推出，根据等腰三角形性质求出，证，推出，推出即可．能综合运用性质进行推理是解此题的关键，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，题型较好，难度适中．
【详解】解：过P作交于F，
∵，是等边三角形，
∴，是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴．
故选：B．
【变式1】（2023上·福建福州·八年级福建省福州第十九中学校考期中）如图，是等边三角形，点D是的中点，，，则AC等于（ ）
A．6 B．8 C．9 D．12
【答案】D
【分析】由是等边三角形，得到，，因为，故，则，由于点D是的中点，故可得到答案.
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵点D是的中点，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握等边三角形的性质．
【变式2】（2023上·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图：是等边三角形，，，相交于点P，于Q，，，则的长是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【分析】先利用等边三角形的性质证，得，，则，再求出，则，然后由含角的直角三角形的性质求出的长即可．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，三角形的外角性质等知识点，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
【变式3】（2022下·陕西榆林·八年级统考期末）如图，是等边三角形，点在的延长线上，点是的中点，连接并延长交于点，且，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据等边三角形的性质，的条件，可得的是含角的直角三角形，由此可求出的长，根据即可求解．
【详解】解：∵是等边三角形，点是的中点，连接，
∴，，平分，
∴，
∵，
∴，
∵，且是的外角，
∴，
∴，
∴，
在中，，且，
∴，即，
∴中，，
在中，，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
故选：．
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质的综合，掌握以上知识，图形结合分析是解题的关键．
考点3：等边三角形的性质——手拉手全等
典例3：（2023上·湖北武汉·八年级校联考期中）如图，和均为等边三角形，直线交于点，点、分别为、的中点，下列结论：①；②；③；④为等边三角形；⑤平分，其中一定成立的有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】由题意易得，则有，即，然后可得推出，则，在上截取一点H，使得，连接，进而根据全等三角形的性质与判定可进行求解．
【详解】解：∵和均为等边三角形，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，故①成立；
∵点、分别为、的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，故④成立；
在上截取一点H，使得，连接，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，故③成立；
假设成立，则根据可知：垂直平分，
∴，
而从题干中并不能推出点F为的中点，因为的大小不能确定，
∴②和⑤不能确定，
综上所述：①③④成立；
故选C．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定及等边三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定及等边三角形的性质与判定是解题的关键．
【变式1】（2023上·辽宁抚顺·八年级统考期中）如图，和均是等边三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连接．以下五个结论：①；②；③；④；⑤平分．其中结论正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】由和是正三角形，其性质得三边相等，三个角为，平角的定义和角的和差得，边角边证明，其性质得结论①正确；无法证明和，结论②③错误；由得到，得到，同理可得出，故④正确，角角边证明，其性质和角平分线性质定理的逆定理求出点在的平分线上，结论⑤正确；
【详解】等边和等边，
，，，
，
即，
在与中，
，
，
，
故①正确；
，
，
因为无法得出，
所以无法得出，
不能得出，故②错误；
，
但不能得出，
不能得出，故③错误；
，
，
，
，
，故④正确；
作，，
由，则对应边上的高相等，即，
点在的平分线上，
即平分，故⑤正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，角平分线的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
【变式2】（2023上·黑龙江鸡西·八年级统考阶段练习）如图，为线段上一动点（不与、重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接，以下五个结论：①；②；③；④；⑤，恒成立的结论有（ ）
A．①③⑤ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤
【答案】C
【分析】①根据全等三角形的判定方法，证出，即可得出，故结论①正确；③先证明，即可判断出，故结论③正确；②根据，可得为等边三角形，证出，得出，故结论②正确；④由图像可知：当变短时，则变长，这时变短，则变长，可知不一定等于，故结论④错误．⑤，故结论⑤正确；即可得出结论．
【详解】解：∵和都是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，故结论①正确；
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，故结论③正确；
又∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，故结论②正确．
∵，
∴，
∴，
∴故结论⑤正确．
∵为线段上一动点（不与、重合），
即：（定值），
由图形可知：当变短时，则变长，这时变短，则变长，
∴不一定等于，故结论④错误．
综上所述，可得正确的结论有4个：①②③⑤．
故选：C．
【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行线的判定，三角形外角的性质．熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
【变式3】（2023上·广东江门·八年级校考阶段练习）如图，已知点B是边上的动点（不与A，C重合），在的同侧作等边△ABD和等边，连接，下列结论正确的个数有（ ）
①；
②；
③；
④是等边三角形；
⑤平分；
⑥．
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】D
【分析】根据等边三角形的性质可以得到,然后推导,判断①正确；根据全等得到,然后根据三角形的外角的性质判断②；进而得到,得到,,判断④与③；根据角平分线的判定判断⑤；然后证明,得以判断⑥.
【详解】解: ∵为等边三角形,
∴,
∴,
∴,
在和中,
，
∴, 故①正确；
∴,
∴,
∴, 故②正确,
在和中,
，
∴,
∴,
∵,
∴是等边三角形, 故④正确,
∴,
∴, 故③正确,
∵,
∴和边上的高相等，
即点到和的距离相等，
∴平分, 所以⑤正确;
如图, 在上截取, 连接，
在和中,
，
∴,
∴,
∴
∴是等边三角形,
∴,
∴, 故⑥正确,
故选:.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质与判定，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键.
考点4：等边三角形的性质——证明
典例4：（2023上·山东临沂·八年级校考阶段练习）如图，和都是等边三角形，和相交于点O．
(1)求证：
(2)求的度数．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）根据等边三角形的性质得到得到，由“”可证；
（2）由全等三角形的性质可得，根据角的和差和对顶角的性质即可得到结论．
【详解】（1）证明：和都是等边三角形，
，
在和中，
，
；
（2）解：如图，设与的交点为F，
，
，
又，
且，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
【变式1】（2023上·山东菏泽·八年级统考期中）已知：如图，点E是正方形ABCD内一点，是等边三角形，求的度数．
【答案】
【分析】此题考查了正方形的性质以及等边三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
由E为正方形内一点，且是等边三角形，，再证得是等腰三角形，求出，，继而求得答案．
【详解】解：为正方形内一点，是等边三角形，
，，
是等腰三角形，
，
同理可求，
．
故答案为：．
【变式2】（2023上·广西河池·八年级统考期中）如图，边长为的等边中，点、分别是边、上的动点（端点除外），点P从顶点A，点从顶点同时出发，且它们的速度都为，，交于点，在点、的运动过程中．
(1)求证：；
(2)的大小是否发生变化？若无变化，求的度数；若有变化；说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)不变，
【分析】本题考查的是全等三角形的判定、三角形外角的性质，等边三角形的性质；
（1）根据等边三角形的性质得出，，根据点、的速度相同，可得，即可证明；
（2）根据全等三角形的性质得到，根据三角形的外角的性质解答．
【详解】（1）证明：∵是等边三角形，
∴，，
∵点、的速度相同，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：的大小不发生变化，
∵，
∴，
∴．
【变式3】（2023上·湖南长沙·八年级校联考期中）如图，等边三角形中，为边的中点，为的延长线上一点，过点作于点，并交于点，
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查等边三角形的性质，平行线的判定和性质，含角的直角三角形的性质的综合，掌握以上知识的灵活运用是结果的关键．
（1）根据垂直于同一条直线的两直线平行即可求解；
（2）根据等边三角形的性质可求出的值，根据，可求出的值，再根据含角的直角三角形的性质即可求解．
【详解】（1）解：∵，是的中点，
∴，
∵，
∴．
（2）解：∵是等边三角形，边长为6，
∴，，
由（1）可知，，
∴，则，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
考点5：含30°角直角三角形性质
典例5：（2023上·浙江金华·八年级校联考期中）如图，，点P在上，且，M是上的点，在上找点N，以为直角边，P，M，N为顶点作等腰直角三角形，则的长不可能是（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了等腰直角三角形，勾股定理和含角的直角三角形性质，根据点M的位置和等腰直角三角形的构成情况分类讨论．根据题意作等腰直角三角形：①点M在点P左侧，、为等腰直角三角形的腰；②点M在P点左侧，、为等腰直角三角形的腰；③点M在点P右侧，、为等腰直角三角形的腰；通过勾股定理即可判断．
【详解】解：①当点M在点P左侧，、为等腰直角三角形的腰，如图，
∵，，
∴即
∴．
∵，
∴，
当、为等腰直角三角形的腰，且点在P的右侧时，．
②当点M在P点左侧，、为等腰直角三角形的腰，如图，
∵，，
∴，
∴．
∵，
∴，
解得．
③当点M在点P右侧，、为等腰直角三角形的腰，如图，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
解得．
综上所述：的长为或或．
故选：．
【变式1】（2023上·吉林·八年级校联考期中）如图，中，，，，点是边上的动点，则长不可能是（ ）
A．1.8 B．2.2 C．3.5 D．3.8
【答案】A
【分析】利用垂线段最短分析可知：的最小值为3；根据含30度角的直角三角形的性质得出；接下来可知的最大值为6，由此即可得到答案．
【详解】解：根据垂线段最短，可知的最小值为
中，，，，
，
的最大值为6，
长不可能是1.8，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了垂线段最短和的性质和含30度角的直角三角形的理解和掌握，解答此题的关键是利用含30度角的直角三角形的性质得出．
【变式2】（2023上·天津西青·八年级校考期中）如图，已知在中，，，垂直平分于点D，交于点E，若，则长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【分析】连接，根据等腰三角形性质和三角形的内角和定理求，根据线段垂直平分线求出，求出，根据含角的直角三角形性质求出即可．
【详解】连接.
∵，
∴.
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴.
∵，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，含角的直角三角形性质等知识点，主要考查运用性质进行推理的能力．
【变式3】（2023上·河南商丘·八年级校考期中）如图，在中，，，，是高，则的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】D
【分析】求出，再根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半可得，，再根据代入数据计算即可得解．
【详解】解：，是高，，，
，，
，
∴，，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，同角的余角相等的性质，熟记性质是解题的关键．
考点6：等边三角形的判定
典例6：（2023上·湖南长沙·八年级校联考期中）如图，点在的外部，点在边上，交于点，若，，．
(1)求证：；
(2)若，判断的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)是等边三角形．理由见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理以及等边三角形的判定等知识．
（1）根据三角形内角和定理得到，再根据，判定，即可得到．
（2）根据等腰三角形的性质以及全等三角形的性质，可得，进而得出，可得是等边三角形．
【详解】（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）是等边三角形．理由：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形．
【变式1】（2023上·江西南昌·八年级校联考期中）如图，在等腰中，，是的中线，于点E，于点F．
(1)若，求证：是等边三角形；
(2)求证：；
(3)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)6
【分析】（1）利用三角形内角和定理求出，即可由等边三角形判定定理得出结论；
（2）由证明即可；
（3）由含角的直角三角形的性质得，，再由全等三角形的性质得，即可得出答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形；
（2）证明：，，
，
，
，
是的中线，
，
在与中，
，
；
（3）解：，是中线
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了等边三角形判定、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，含角的直角三角形的性质等知识． 熟练掌握等腰三角形的性质，等边三角形判定，证明三角形全等是解题的关键．
【变式2】（2023上·福建福州·八年级福建省福州第一中学校考期中）如图，在中，点P为边上一点．
(1)尺规作图：请在上求作一点D，使得（保留作图痕迹，不写作法）．
(2)在（1）的条件下，，，求证：是等边三角形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用利用同位角相等两条直线平行作，则即为所求；
（2）利用等边对等角得到，利用平行线得到，再根据三角形的内角和得到，即可得到结论．
【详解】（1）)如图所示:
利用同位角相等两条直线平行作则即为所求.
（2）
，
∵
，
∴，
，
为等边三角形.
【点睛】本题考查平行线的作图，等边三角形的判定，等腰三角形的性质，掌握等边三角形的判定定理是解题的关键．
【变式3】（2023下·辽宁沈阳·八年级统考期中）如图，已知，点是的平分线上一点，点，分别是边，上的点，且．
(1)求证：是等边三角形；
(2)若点到的距离为，则 ______ ．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）作于点，于点，可证≌，得，所以是等边三角形；
（2）由勾股定理可得的长度，再证明≌，据此即可求解．
【详解】（1）证明：作于点，于点，则，
，
，
，
，
，
平分，
，
在和中，
，
≌，
，
是等边三角形．
（2）解：，，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
≌，
，
，
故答案为：．
【点睛】此题重点考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
考点7：等边三角形综合
典例7：1．（2022上·湖北咸宁·八年级咸宁市温泉中学校考期中）如图，点D，E，F分别在等边的三条边上，且，．
(1)若，试判断的形状，并说明理由；
(2)若是直角三角形，求的长；
(3)如图2，若点D是边中点，点E，F分别在边上运动，当的周长最小时，直接写出此时的度数．
【答案】(1)是等边三角形，理由见解析
(2)的长为2或4；
(3)．
【分析】（1）先证明，推出，，利用三角形内角和定理求得，据此可证明是等边三角形；
（2）分两种情况讨论，当和时，利用含30度角的直角三角形的性质即可求解；
（3）先作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交、于、，此时的周长最小，再根据三角形内角和与等腰三角形的性质即可求解．
【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下，
∵是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴是等边三角形；
（2）解：当即时，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
当即时，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
综上，的长为2或4；
（3）解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交、于、，
、关于对称，、关于对称，
，，
∴，，
的周长，
当、、、四个点在同一直线上时，的周长最小，
、关于对称，、关于对称，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，用轴对称的性质解决最短路线问题，解决第3题的关键是作点D关于和的对称点，找到符合条件的动点E和F．
【变式1】（2023上·全国·八年级专题练习）如图，点O是等边内一点，D是外的一点，，，，，连接．
(1)求证：是等边三角形；
(2)当时，试判断的形状，并说明理由；
(3)探究：当α为多少度时，是等腰三角形．
【答案】(1)见解析
(2)是直角三角形，理由见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形可得证；
（2）根据全等易得，结合（1）中的结论可得，那么可得所求三角形的形状；
（3）根据题中所给的全等及的度数可得的度数，根据等腰三角形的两底角相等分类探讨即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形．
（2）解：是直角三角形．理由如下：
∵是等边三角形，
∴，
∵
∴，
∴，
∴是直角三角形．
（3）解：∵是等边三角形，
∴．
∵，
∴，
，
∴．
①当时，，
∴．
②当时，，
∴．
③当时，，
∴．
综上所述：当或或时，是等腰三角形．
【点睛】此题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．
【变式2】（2023上·福建泉州·八年级福建省泉州市培元中学校考期中）如图，在等边三角形中，点D、E分别在边、上，且，与交于点F，在上截取，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查等边三角形的性质及判定，三角形全等的性质与判定，三角形外角的性质：
（1）根据等边三角形的性质可得，，从而利用“”证得；
（2）由可得，从而，进而证得为等边三角形，因此，根据三角形的外角的性质即可求得的度数．
【详解】（1）∵是等边三角形，
∴，，
在和中，
．
（2）∵，
∴，
∴，
∵在等边三角形中，，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
，
∵，
．
【变式3】（2023上·天津西青·八年级校考期中）已知：如图，点是等边内一点，点是BP延长线上一点，且，．
(1)求证：；
(2)求证：是等边三角形；
(3)线段三者之间有怎样的数量关系 并请你说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)，理由见解析
【分析】（1）由等边三角形的性质可得，由“”即可证明；
（2）由（1）得：，得到，，证明，即可得到结论；
（3）由是等边三角形可得，最后由即可得到结论．
【详解】（1）证明：是等边三角形，
，
在和中，
，
；
（2）证明：由（1）得：，
，，
是等边三角形，
，
，
，即，
是等边三角形；
（3）解：，
理由如下：是等边三角形，
，
，即．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解此题的关键．
考点8：等边三角形综合——动点
典例8：（2023上·江苏苏州·八年级校考阶段练习）点、分别是边长为的等边的边、上的动点，点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都是，设运动时间为．
(1)连接、交于点，则在、运动过程中，变化吗？若变化，则说明理由；若不变，则求出它的度数；
(2)连接，当运动时间为多少时，是等边三角形，并说明理由；
(3)连接，当为直角三角形时，则________s．（直接写出结果）
【答案】(1)不变，；
(2)s；
(3)或
【分析】（1）利用等边三角形的性质可证明，则可求得，再利用三角形外角的性质可证得；
（2）由为等边三角形，可得，再建立方程求解即可；
（3）当为直角三角形时，分两种情况讨论，当，而，则；当时，则，再利用含的直角三角形的性质列方程求解即可．
【详解】（1）解：∵为等边三角形，
∴，
∵点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
∴，
∴在P、Q运动的过程中，不变，；
（2）解： 为等边三角形，
由题意得：，
，
，
解得：，
所以当为等边三角形时，则s；
（3）解：当为直角三角形时，
当，而，则，
，
，
解得：，
当时，则，
，
，
解得：，
综上：当s或s时，为直角三角形．
故答案为：或．
【点睛】本题考查的是等边三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，掌握“利用图形的性质得到边与边之间的关系，再建立方程求解”是解题的关键．
【变式1】（2023上·内蒙古巴彦淖尔·八年级校考期末）如图，为线段上一动点（不与点重合），在同侧分别作正三角形和正三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连接．
(1)求证： ；
(2)求证：；
(3)判断的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)为等边三角形，理由见解析
【分析】（1）由和是等边三角形可得，由可得，由“”即可证明；
（2）由和是等边三角形可得，由可得，从而得到，由可得，利用“”即可证明；
（3）由（2）可得：，由，可得，从而即可得到答案．
【详解】（1）证明：和是等边三角形，
，
，
，
在和中，
，
；
（2）证明：和是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
；
（3）解：为等边三角形，
理由如下：
由（2）可得：，
，
，
为等边三角形．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质是解题的关键．
【变式2】（2023下·山东济南·七年级统考期末）在中，，点是直线上一点不与、重合，以为一边在的右侧作，使，，连接E．
(1)如图1，当点在线段上，如果．
①则与全等吗？请说明理由；
②求的度数；
(2)如图2，如果，当点在线段上移动，则的度数是 ；
(3)如图2，当点在线段上，如果，点为中边上的一个动点与、均不重合，当点运动到什么位置时，的周长最小？
【答案】(1)①全等，见解析；②
(2)
(3)点运动到中点
【分析】（1）①根据已知条件直接证明；②根据，得出，根据等腰三角形的性质得出，进而即可求解；
（2）根据（1）的方法证明，同理可得结论；
（3）根据全等三角形的性质得出的周长，根据等边三角形的性质可得当最小时，即当点运动到中点时，的周长最小，即可求解．
【详解】（1）解：①与全等
证明：，
，即．
在与中，
，
②，
，
，
，
，
，
，
（2），
，即．
在与中，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（3）当点运动到中点时，的周长最小．
，
，
为等边三角形
，
的周长
；
当最小时，即当点运动到中点时，的周长最小．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
【变式3】（2022上·江苏苏州·八年级统考期中）如图，等边的边长为，现有两动点M、N分别从点A、B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为，点N的速度为，当点N第一次到达点B时，点M、N同时停止运动．
(1)点M、N运动几秒后，M、N两点重合？
(2)点M、N运动几秒后，以点A、、N为顶点的三角形是等边三角形？
(3)当点M、N在边BC上运动时，连接，能否得到以为底边的等腰三角形？如能，请求出此时点M、N运动的时间．
【答案】(1)6秒
(2)2秒
(3)能，8秒
【分析】（1）由点N运动路程点M运动路程间的路程，列出方程求解，即可克得出结论；
（2）由等边三角形的性质可得，可列方程求解，即可得出结论；
（3）由全等三角形的性质可得，可列方程求解，即可得出结论．
【详解】（1）设点、运动秒后重合
则
解得
∴点、运动6秒后重合；
（2）设点、运动秒后，是等边三角形
如图，，
当时，是等边三角形
即
解得
∴当点、运动2秒时，是等边三角形；
（3）如图
设点、运动秒
则，
假设是等腰三角形且MN是它的底边
则，
∴
∵
∴
∴
即
解得
∴当点、运动8秒时，是等腰三角形．
【点睛】此题主要考查等边三角形的性质与证明，解题的关键是熟知等边三角形的性质．
考点9：等边三角形综合——规律
典例9：（2022上·北京昌平·八年级统考期末）如图，是等边三角形，D是线段上一点（不与点B，C重合），连接，点E，F分别在线段的延长线上，且，点D从B运动到C的过程中，周长的变化规律是（ ）
A．不变 B．一直变小 C．先变大后变小 D．先变小后变大
【答案】D
【分析】先根据等边三角形的性质可得，从而可得，再根据等腰三角形的性质、角的和差可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得，从而可得周长为，最后根据点到直线的距离即可得出答案．
【详解】是等边三角形，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
在和中，，
，
，
则周长为，
在点D从B运动到C的过程中，长不变，长先变小后变大，其中当点D运动到的中点位置时，最小，
在点D从B运动到C的过程中，周长的变化规律是先变小后变大，
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、等边三角形的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，正确找出两个全等三角形是解题关键．
【变式1】（2023·河南安阳·统考一模）在平面直角坐标系中，将若干个边长为2个单位长度的等边三角形按如图所示的规律摆放，点P从原点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿着等边三角形的边→→→→…的路线运动，设第n秒运动到点（n为正整数），则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】通过观察可得，每6个点的纵坐标规律：，0，，0，，0，点的横坐标规律：1，2，3，4，5，6，…，n，点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿着等边三角形的边“…”的路线运动，1秒钟走一段，P运动每6秒循环一次，点P运动n秒的横坐标规律：1，2，3，4，5，6，…，n，点P的纵坐标规律：，0，，0，，0，…，确定循环的点即可．
【详解】解：过点作轴于B，
∵图中是边长为2个单位长度的等边三角形，
∴，
∴，
∴，，
同理，，
，，
，
…
∴中每6个点的纵坐标规律：，0，，0，，0，
点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿着等边三角形的边“…” 的路线运动，1秒钟走一段，
∴P运动每6秒循环一次，
∴点P的纵坐标规律：，0，，0，，0，…，
点P的横坐标规律： 1，2，3，4，5，6，…，，
∵，
∴点的纵坐标为，
∴点的横坐标为，
∴点的坐标，
故选C．
【点睛】本题考查点的坐标变化规律，平面直角坐标系中点的特点及等边三角形的性质，勾股定理，确定点的坐标规律是解题的关键．
【变式2】（2022上·山东济宁·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标是，以为边在右侧作等边三角形，过点作x轴的垂线，垂足为点，以为边在右侧作等边三角形，再过点作x轴的垂线，垂足为点，以为边在右侧作等边三角形，……，按此规律继续作下去，得到等边三角形，则点的纵坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用含的直角三角形的最短边是斜边的一半解题即可．
【详解】解：∵三角形为等边三角形，轴，
∴，
∴，
同理得：，，
综上可得：
故选A．
【点睛】本题主要考查含的直角三角形的性质，能够熟记性质并能够熟练进行指数计算是解题关键．
同步一遍过
一、单选题
1．（2022上·九年级课前预习）等边三角形的一边与这边上的高的比是（ ）
A．：2 B．：1 C．2： D．1：
【答案】C
【解析】略
2．（2022上·四川广安·八年级统考期末）下列说法正确的是（ ）
A．等腰三角形的中线，高线、角平分线重合
B．若多边形的边数增加，则它的外角和和内角和都会增加
C．一条线段的垂直平分线的垂足，也是这条线段的中点
D．有一个外角是的等腰三角形是等边三角形
【答案】C
【分析】根据等腰三角形的性质，多边形的内角和和外角和，垂直平分线的性质，等边三角形的判定判断即可．
【详解】解：等腰三角形底边上的中线、高线和所对角的角平分线互相重合，A选项错误，不符合题意；
若多边形的边数增加，则它的外角和是不变，内角和都会增加，B选项错误，不符合题意；
一条线段的垂直平分线的垂足，也是这条线段的中点，C选项正确，符合题意；
有一个外角是的等腰三角形不是等边三角形，D选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，多边形的内角和和外角和，垂直平分线的性质，等边三角形的判定，掌握这些知识点是解题的关键．
3．（2022上·河北廊坊·八年级校联考期末）如图，中，，，以顶点为圆心、适当长为半径作弧，在边、上截取、；然后分别以点为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．若，为边上一动点，则的最小值为（ ）
A． B．2 C．1 D．无法确定
【答案】C
【分析】由尺规作图步骤可得平分，从而得到，由含角的直角三角形的性质可得，由垂线段最短和角平分线的性质可得：当时，最小，的最小值为1．
【详解】解：由尺规作图步骤可得：平分，
，
，
，
，
由垂线段最短可得，当时，最小，此时，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、垂线段最短、含角的直角三角形的性质，熟练掌握角平分线的性质、垂线段最短、含角的直角三角形的性质，是解题的关键．
4．（2023下·河北保定·八年级校考阶段练习）如图，平分，，于D，若，，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】作于，根据直角三角形的性质求出，根据角平分线的定义求出的度数，根据平行线的性质得到，根据直角三角形的性质求出，根据角平分线的性质得到答案．
【详解】解：作于，
，，
，
平分，
，
，
，
，，
，
，
，
平分，，，
．
故选：C．
【点睛】本题考查的是直角三角形的性质和角平分线的性质，掌握在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半、角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
5．（2022下·甘肃兰州·八年级校考期中）如图，等边的边长为6，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点，若，当取得最小值时，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作点E关于对称的点M，连接，与交于点F，推出最小时即为，再根据等边三角形的性质可得结果．
【详解】解：作点E关于对称的点M，连接，与交于点F，
∵是等边三角形，是边上的中线，
∴，
∴M在上，
∴，
∴，
即此时最小，且为，
∵，
∴，即点M为中点，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，等边三角形的性质，等腰三角形的性质等知识点的应用，找到是解题的关键．
6．（2022上·山东临沂·八年级统考期中）已知等边△ABC的边长为6，D是AB上的动点，过D作DE⊥AC于点E，过E作EF⊥BC于点F，过F作FG⊥AB于点G．当G与D重合时，AD的长是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】设BD=x，根据等边三角形的性质得到∠A=∠B=∠C=60°，由垂直的定义得到∠BDF=∠DEA=∠EFC=90°，依次表示出BF、CF、CD、AE、AD，然后根据AD+BD=AB列方程即可求出x的值．
【详解】解：如图，设BD=x，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
∵DE⊥AC于点E，EF⊥BC于点F，FG⊥AB，
∴∠BDF=∠DEA=∠EFC=90°，
∴∠BFD=∠ADE=∠CEF=30°，
∴BF=2x，
∴CF=6-2x，
∴CE=2CF=12-4x，
∴AE=6-CE=4x-6，
∴AD=2AE=8x-12，
∵AD+BD=AB，
∴8x-12+x=6，
∴x=2，
∴AD=8x-12=16-12=4．
故选：D．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
7．（2022上·海南海口·八年级海南中学校考期中）如图，在中，，交于点D，，，则的长为（ ）
A．6 B．7.5 C．9 D．10.5
【答案】C
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，可得，，根据三角形外角的性质求出，可得，然后根据计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，即，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，含直角三角形的性质等知识，灵活运用各性质是解题的关键．
8．（2022上·山东济宁·八年级统考期中）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，AD⊥BC于D，BE是∠ABC的平分线，且交AD于P，如果AP=2，则AC的长为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】易得△APB为等腰三角形，求得BP长；利用直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半进行求解.
【详解】解：∵∠BAC=90°,∠C=30°,
∴∠ABC=60°,
∵AD⊥BC
∴∠ADB=90°
∴∠DAB=30°,
∵BE平分∠ABD,
∴∠ABE=∠DBP=30°=∠DAB,
∴AP=BP=2
∴DP=BP=1,
∴AD=2+1=3,
∴AC=2AD=6.
故选D
【点睛】本题考查直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半这一性质，理解运用性质定理是解答此题的关键.
9．（2022下·山东菏泽·八年级统考期末）如图，在△ABC中,∠C=90°，∠A=30°，CD=2，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，则AC的长是（ ）
A．4 B．3 C．6 D．5
【答案】C
【分析】由MN是AB的垂直平分线，即可得AD=BD，根据等腰三角形的性质，即可求得∠DBA的度数，又由直角三角形的性质，求得∠CBD=∠ABD=30°，然后根据角平分线的性质，求得DN的值，继而求得AD的值，则可求得答案．
【详解】解：∵MN是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，DN⊥AB，
∴∠DBA=∠A=30°，
∵∠C=90°，
∴∠ABC=90° ∠A=60°，
∴∠CBD=∠ABD=30°，
∴BD是∠ABC的平分线，
∴DN=CD=2，
∵∠A=30°，
∴AD=2DN=4，
∴AC=AD+CD=6.
故选：C．
【点睛】此题考查线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，含30度角的直角三角形，解题关键在于求得∠DBA．
10．（2022上·河南洛阳·八年级统考期末）如图，已知，，，，和交于点，则下列结论：：①；②；③平分；④．其中正确的有（ ）
A．①② B．①②③ C．①②③④ D．①②④
【答案】C
【分析】证明，由全等三角形的性质得到，可得，则，得出；，得到，利用角平分线的判定定理得平分，在上截取，根据可证明，得出，由此可以解决问题．
【详解】解：∵，，，
，
即，
在与中，
，
，
，，故①正确，
，，，
，
，故②正确，
连接，过分别作与，于，如图1，
，
，
，而，
，
平分，所以③正确，
在上截取，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
；
故④正确；
故选：．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的判定定理等知识，利用全等三角形面积相等证明高相等是解决问题的关键．
二、填空题
11．（2022上·重庆开州·八年级校联考期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE是AB的垂直平分线，BE=5，则AC的长为
【答案】2.5/
【分析】连接AE，根据线段垂直平分线的性质得到BE=AE，根据等腰三角形的性质得到∠B=∠EAB=15°，根据直角三角形的性质解答即可．
【详解】解:连接AE，
∵DE是AB的中垂线，
∴BE=AE，
∴∠B=∠EAB=15°，
∴∠AEC=30°，
∵∠C=90°，
∴AC=AE=BE=2.5．
故答案为：2.5．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质，含30°角的直角三角形性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质的应用，能求出∠AEC的度数和AE=BE是解此题的关键，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
12．（2023上·北京海淀·八年级北京市十一学校校考期中）已知等边中，，若点H在线段上运动，取最小值时，的值为 ．
【答案】4
【分析】过点作于点，连接，利用含30度的直角三角形的性质得到，可得，继而得出当、、三点依次在同直线上时，的值最小，再结合等边三角形的性质得到．
【详解】解：如图，过点作于点，连接，
是等边三角形，，
∴，，
，
，
当、、三点依次在同直线上时，的值最小，
此时，，，
∴，，
．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三边关系的应用，含30度角的直角三角形的性质，解决本题的关键是找到动点的位置．
13．（2022上·安徽阜阳·八年级统考期末），，若， ．
【答案】
【分析】根据，则垂直平分，又，则 为等边三角形，即可求得
【详解】 ，
为等边三角形
，
点在的垂直平分线上
则垂直平分
故答案为：
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质与判定，等边三角形的性质与判定，证明是的垂直平分线是解题的关键．
14．（2022上·江苏连云港·八年级统考阶段练习）如图1．在平面内取一定点O，引一条射线Ox，再取定一个长度单位，那么平面上任一点M的位置可由的长度m与的度数α确定，有序数对(m，α)称为M点的极坐标，这样建的坐标系称为极坐标系，如图2，在极坐标系下，有一个等边三角形，则点B的极坐标为 ．
【答案】(4，60°)
【分析】根据等边三角形的性质得到，结合极坐标的定义填空．
【详解】解：如图，
∵在等边中，，
∴点B的极坐标为（4，60°）．
故答案是：（4，60°）．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质，主要利用了正三角形的性质，读懂题目信息，理解“极坐标”的定义是解题的关键．
15．（2022上·北京·八年级期中）如图，为等边三角形，点与点关于直线对称，，分别是边和上的点，，与交于点，交于点．下列四个结论中：①；②；③；④为等边三角形．所有正确结论的序号是 ．
【答案】①②④
【分析】证明，即可判断①；延长至，使，证明，是等边三角形，，可得出，进而判断②；连接，不等于，即可判断③；连接，，进而可得，根据，进而可得是等边三角形，即可判断④．
【详解】解：①在和中，
，
，故①正确；
②延长至，使，
由①知，
，
，
，
是等边三角形，
，，
点与点关于直线对称，
，，
，
是等边三角形，
，，
，，
，
，，
，
，
，
，故②正确；
③连接，
不等于，可以证明，而不一定等于，故③错误；
④连接，
，
，即，
，，
，
，
，
，
是等边三角形，故④正确，
故答案为：①②④．
【点睛】此题考查的是全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、轴对称的性质，正确作出辅助线是解决此题关键．
16．（2023·四川成都·成都七中校考三模）如图，中，以点A为圆心任意长为半径画弧交线段于点M、N，分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP，交于点D，折叠，使点A与点D重合，折痕交线段于点E、F，若，，则 ．
【答案】2
【分析】由题意得为的角平分线，故可得，根据折叠的性质得到 ，，解直角三角形，即可解答．
【详解】解：如图，设与的交点为，
由题意，可得为的角平分线，
，
折叠，使点A与点D重合，
，，
，
，
在中，．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了翻折的性质，角平分线的性质，含有角的直角三角形的三边关系，熟知翻折的性质是解题的关键．
三、解答题
17．（2023上·吉林松原·八年级统考期末）如图，在中，为边延长线上的一点，已知，．求证：是等边三角形．
【答案】见解析
【分析】证明即可得到结论．
【详解】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形．
【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，等边三角形的判定，熟记等边三角形的判定方法是解本题的关键．
18．（2022上·江苏泰州·八年级校考期中）如图，已知点、在的边上，，．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）作于点，利用等腰三角形三线合一的性质得到，，相减后即可得到正确的结论；
（2）根据等边三角形的判定得到是等边三角形，根据等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及角的和差关系即可求解．
【详解】（1）证明：如图，过点作于．
，，
，，
，
．
（2） ，
是等边三角形，
，
，
，
，
．
答：的度数为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形和等边三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是本题的关键．
19．（2022上·陕西商洛·八年级统考期末）如图，在等边中，点、分别在边、上，且，过点作，交的延长线于点．
（1）求的度数；
（2）若，求的长．
【答案】（1）30°；（2）12
【分析】（1）根据平行线的性质可得∠EDC＝∠B＝60°，根据三角形内角和定理即可求解；
（2）易证△EDC是等边三角形，再根据直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∵DE∥AB，
∴∠EDC＝∠B＝60°，
∵EF⊥DE，
∴∠DEF＝90°，
∴∠F＝90° ∠EDC＝30°；
（2）∵∠ACB＝60°，∠EDC＝60°，
∴△EDC是等边三角形．
∴ED＝DC＝6，
∵∠DEF＝90°，∠F＝30°，
∴DF＝2DE＝12．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，以及直角三角形的性质，掌握直角三角形中，30度的角所对的直角边等于斜边的一半．
20．（2022上·吉林长春·八年级吉林省第二实验学校校考阶段练习）图①中所示的遮阳伞，伞柄垂直于地面，其示意图如图②．当伞收紧时，点P与点A重合；当伞慢慢撑开时，动点P由A向B移动；当点P到过点B时，伞张得最开．已知伞在撑开的过程中，总有PM＝PN＝CM＝CN＝6.0分米，CE＝CF＝18.0分米，BC＝2.0分米．
(1)求AP长的取值范围；
(2)当∠CPN＝60°时，求AP的值．
【答案】(1)0≤AP≤10；
(2)6分米
【分析】（1）根据题意，得AC=CN+PN，进一步求得AB的长，即可求得AP的取值范围；
（2）由等边三角形的判定和性质得出 CPN为等边三角形，CP=CN=PN=6分米，再结合图形求解即可．
【详解】（1）解：∵BC=2分米，AC=CN+PN=12分米，
∴AB=AC﹣BC=10分米．
∴AP的取值范围是：0≤AP≤10；
（2）根据题意得CN=PN，∠CPN＝60°，
∴ CPN为等边三角形，
∴CP=CN=PN=6分米，
∵AC=CN+PN=12分米，
∴AP=AC-CP=6分米．
【点睛】题目主要考查线段间的数量关系，等边三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质是解题关键．
21．（2023上·福建福州·八年级校考阶段练习）如图，是等边三角形，、分别是、边上的点，连接、，且、相交于点，．
(1)求的度数；
(2)过点B作于，若，，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等边三角形性质可得，又，进而求出，即可得出答案；
（2）根据题意求出，再根据直角三角形中的角的性质求出的长度，即可得出答案．
【详解】（1）解：由是等边三角形可得．
∵，
∴，即，
∴；
（2）解：∵于，，
∴．
又∵，
∴．
又∵，
∴．
【点睛】本题考查的是等边三角形，直角三角形中角的性质，需要熟练掌握等边三角形的基本性质．
22．（2022下·九年级单元测试）已知O是等边三角形ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝135°，试问：
（1）以OA，OB，OC为边能否构成一个三角形？若能，求出该三角形各角的度数；若不能，请说明理由；
（2）如果∠AOB的大小保持不变，那么当∠BOC等于多少度时，以OA，OB，OC为边的三角形是一个直角三角形？
【答案】（1）能，各角是50°、55°、75°；（2）∠BOC=150°或
【分析】（1）以OC为边作等边△OCD，连AD，证明△BCO≌△ACD，可得△OAD是以线段OA，OB，OC为边构成的三角形，再分别求解每个内角的大小即可；
（2）先求解∠OAD=50°，再分两种情况讨论，当∠AOD是直角时，当∠ADO是直角时，再分别求解即可.
【详解】解：（1）以OC为边作等边△OCD，连AD．
∵△ABC是等边三角形
∠BCO+∠ACO=60°，∠ACD+∠ACO=60°，
∴∠BCO=∠ACD
∴△BCO≌△ACD（SAS）
∴OB=AD，∠ADC=∠BOC
又∵OC=OD
∴△OAD是以线段OA，OB，OC为边构成的三角形
∵∠AOB=110°，∠BOC=135°
∴∠AOC=115°
∴∠AOD=115°-60°=55°
∵∠ADC=135°
∴∠ADO=135°-60°=75°
∴∠OAD=180°-55°-75°=50°
∴以线段OA，OB，OC为边构成的三角形的各角是50°、55°、75°．
（2）∠AOB+∠AOC+∠BOC=∠AOB+∠AOC+∠ADC
=∠AOB+（∠AOD+∠DOC）+（∠ADO+∠CDO）
=∠110°+（∠AOD+60°）+（∠ADO+60°）=360°
∴∠AOD+∠ADO=130°
∴∠OAD=50°
当∠AOD是直角时，∠AOD=90°，∠AOC=90°+60°=150°，∠BOC=100°；
当∠ADO是直角时，∠ADC=90°+60°=150°，∠BOC=150°．
【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，直角三角形的定义，掌握以上基础知识是解题的关键.
23．（2022上·吉林·八年级统考期中）在等边△ABC中，点E在AB上，点D在CB延长线上，且ED＝EC．
（1）当点E为AB中点时，如图1，AE DB（填“＞”、“＜”“＝”）；
（2）当点E为AB上任意一点时，如图2，AE DB（填“＞”、“＜”“＝”），并说明理由．（提示：过点E作EF∥BC，交AC于点F）．
【答案】（1）=；（2）=
【分析】（1）利用等边三角形三线合一的性质及等边对等角可以得出∠EDB=30°，再利用外角性质得到∠EDB=∠DEB=，结合等角对等边即可得到结论；
（2）如图2，过E作EF∥BC交AC于F，由等边三角形的性质就可以得出△DBE≌△EFC，就可以得出结论；
【详解】解：（1）∵△ABC是等边三角形，点E为AB中点，
∴∠BCE＝，
又∵ED＝EC，
∴∠EDB=∠BCE=，
又∵∠ABC=∠EDB+∠DEB=,
∴∠EDB=∠DEB=
∴DB=AE．
故答案为：=；
（2）AE=DB．
理由：如图2，过E作EF∥BC交AC于F，
∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∠FEC=∠BCE．
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠A=∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠A=∠AEF=∠AFE=60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴AE=AF=EF．
∴AB-AE=AC-AF，
∴BE=CF．
∵∠AFE+∠EFC=180°，∠DBE+∠ABC=180°，
∴∠DBE=∠EFC．
∵ED=EC，
∴∠D=∠BCE，
∴∠D=∠CEF．
在△DBE和△EFC中，
∴△DBE≌△EFC（AAS），
∴DB=EF，
∴DB=AE．
故答案为：（1）=；（2）=
【点睛】本题考查了等边三角形的判定及性质的运用，等式的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
24．（2022上·安徽淮南·八年级统考期末）在等边中，分别为边上的动点，以为一边作等边．
（1）如图1，若等边的顶点恰好在上，求证：；
（2）如图2，若，当点从点向点运动（不运动到点）时，连接，请判断的大小是否变化并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）不变，理由见解析．
【分析】（1）根据AAS证明即可；
（2）在AC上截取，连接FH，根据等边△和等边△DEF的性质证明△可得，得∠，进一步可得∠．
【详解】解：（1）证明：∵△ABC和△DEF是等边三角形
∴∠A=∠C=60°，∠DEF=60°，DE=EF
∵∠DEF=60°，
∴∠DEF+∠FEC=180°-60°=120°
∵∠C=60°
∴∠CFE+∠FEC=180°-60°=120°
∴∠
在△ADE和△CEF中，
∴；
（2）在AC上截取，连接FH，
设等边△的边长为
∵
∴
∵△是等边三角形
∴∠
∴∠
∵△DEF是等边三角形
∴∠
∴∠
∴∠
∴△
∴∠
∴
∴∠
∵∠
∴
∴∠
即∠
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、等边三角形的性质是解题的关键．
25．（2022上·福建莆田·九年级统考期中）如图，∠AOB＝120°，OC平分∠AOB，∠MCN＝60°，CM与射线OA相交于M点，CN与直线BO相交于N点．把∠MCN绕着点C旋转．
（1）如图1，当点N在射线OB上时，求证：OC＝OM+ON；
（2）如图2，当点N在射线OB的反向延长线上时，OC与OM，ON之间的数量关系是 （直接写出结论，不必证明）
【答案】（1）证明见解析；（2）OC＝OM﹣ON，理由见解析.
【分析】（1）作∠OCG＝60°，交OA于G，可得△OCG是等边三角形，得再证明△OCN≌△GCM（ASA）问题可解；
（2）仿照（1）中的解法．问题可解
【详解】（1）证明：如图
作∠OCG＝60°，交OA于G，
∵∠AOB＝120°，OC平分∠AOB，
∴∠CON＝∠COG＝60°，
∴∠OCG＝∠COG，
∴OC＝CG，
∴△OCG是等边三角形，
∴OC＝OG，∠CGM＝60°＝∠CON，
∵∠MCN＝∠OCG＝60°，
∴∠OCN＝∠GCM，
在△OCN和△GCM中，
，
∴△OCN≌△GCM（ASA），
∴ON＝GM，
∵OG＝OM+GM，
∴OC＝OM+ON；
（2）解：OC＝OM﹣ON，理由如下：
如图：
作∠OCG＝60°，交OA于G，：
∵∠AOB＝120°，OC平分∠AOB，
∴∠CON＝∠COG＝60°，
∴∠CON＝120°，∠OCG＝∠COG，
∴OC＝CG，
∴△OCG是等边三角形，
∴OC＝OG，∠CGO＝60°，
∴∠CGM＝120°＝∠CON，
∵∠MCN＝∠OCG＝60°，
∴∠OCN＝∠GCM，
在△OCN和△GCM中，
，
∴△OCN≌△GCM（ASA），
∴ON＝GM，
∵OG＝OM﹣GM，
∴OC＝OM﹣ON；
故答案为OC＝OM﹣ON
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及图形的旋转；解答关键是构造等边三角形进行证明．
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