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专题03 直角三角形
考点类型
知识一遍过
（一）直角三角形性质——角的关系
①直角三角形的两个锐角互余。
（二）直角三角形性质——等积法
如图：△ABC为直角三角形，AD⊥BC
S△ABC=AB×AC=AD×BC；则AB×AC=AD×BC
（三）勾股定理逆定理
表示方法：如图：三角形的三边分别为，，，若则三角形为直角三角形
（四）直角三角形全等的判定
（1）直角三角形全等
①斜边和一条直角边对应相等（HL）
②证明两个直角三角形全等同样可以用SAS,ASA和AAS.
考点一遍过
考点1：直角三角形的性质——角的关系
典例1：（2023上·河北廊坊·八年级校考期中）如图，在中，与互余，垂足为，若，则( )
A． B． C． D．条件不足，无法计算
【答案】A
【分析】本题考查了直角三角形中两个锐角互余，根据等角的补角相等，即可求解．
【详解】解：∵，
∴
∵，，
∴，
故选：A．
【变式1】（2023上·湖北恩施·八年级统考期中）已知中，为的高，为的角平分线，，，则的高与角平分线的夹角为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【分析】本题考查了直角三角形的特征及角平分线的性质，利用分类讨论及数形结合，根据直角三角形两锐角互余及角平分线的性质即可求解，熟练掌握直角三角形的特征及角平分线的性质，利用数形结合的思想解决问题是解题的关键．
【详解】解：当如图所示时：
为的高，
，
，
，
，
，
为的角平分线，
，
与角平分线的夹角为，
当如图所示时：
为的高，
，
，
，
，
，
为的角平分线，
，
与角平分线的夹角为，
综上所述，与角平分线的夹角为或，
故选D．
【变式2】（2023上·湖北武汉·八年级校联考期中）如图，，，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，作，，通过证明得到，即可求解．解题的关键是作辅助线构造出全等三角形，熟练掌握相关基本性质．
【详解】解：如图，作于点，于点，
∵，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
的面积为：．
故选：B．
【变式3】（2023上·湖北荆州·八年级统考期中）一副直角三角板如图放置，点C在的延长线上，，，，，则的度数（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余，直接利用三角板的特点，结合平行线的性质得出，再利用角的和差关系求出，掌握“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
【详解】∵，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故选：．
考点2：直角三角形的性质——求线段
典例2：（2023上·河北唐山·八年级统考期中）如图，在中，，，，连接并延长交于点，若，，则的长为（ ）
A．15 B．20 C．9 D．12
【答案】A
【分析】本题考查了直角三角形两个锐角互余，含角的直角三角形特征，熟练掌握直角三角形特征是解题关键．
【详解】解：，，
，
，，
，
，，
，即，
，
．
故选：A．
【变式1】（2023上·浙江宁波·八年级统考期末）如图，在中，，，平分，，为边的垂直平分线且分别交、于点、，若，，则的长是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】连接，根据已知条件得出，继而根据垂直平分线的性质，角平分线的定义，得出，，根据三角形外角的性质得出，即可得出是等腰直角三角形，进而求得的长，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵中，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
又
∴平分
∵平分，，
∴
∴，
∴是边的垂直平分线，
∴，
∴
∴
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了等角的余角相等，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，垂直平分线的性质，得出是等腰直角三角形是解题的关键．
【变式2】（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第六十九中学校校考期中）如图，在中，，，于，，则（ ）
A．2 B．3 C．2.5 D．1.5
【答案】B
【分析】首先根据“直角三角形两锐角互余”以及计算出，，进而可得，然后根据“直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半”，分别计算的值，即可获得答案．
【详解】解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
【变式3】（2023上·广东茂名·八年级校考阶段练习）如图所示，是等边三角形，为的中点，，垂足为．若，则的边长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】根据等边三角形的性质和直角三角形的两个锐角互余得到，进而利用含30度角的直角三角形的性质求得即可．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
在中，，则，
∵为的中点，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查等边三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质、直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解答的关键．
考点3：直角三角形性质——等积法
典例3：（2023上·广东佛山·八年级校考阶段练习）一个三角形的三边长分别为，，，则这个三角形最长边上的高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由勾股定理逆定理可判定该三角形为直角三角形，则可利用等面积法求斜边上的高．
【详解】解： ，
该三角形为直角三角形，且斜边为．
设斜边上的高为 ，
则该三角形的面积，
解得．
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握相关定理是解题的关键．
【变式1】（2022上·浙江杭州·八年级杭州外国语学校校考期末）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上AD⊥BC于点D，则AD的长为（ ）
A．5 B．3 C．5 D．2
【答案】D
【分析】首先由勾股定理得AB，AC，BC的三边长，从而有AB2+AC2=BC2，得∠BAC=90°，再根据，代入计算即可．
【详解】解：由勾股定理得：
∵AB2+AC2=25，BC2=25，
∴AB2+AC2=BC2，
∴∠BAC=90°，
∴
∴，
∴AD=2，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的的逆应用，通过勾股定理计算出三边长度，判断出∠BAC=90°是解题的关键．
【变式2】（2011下·重庆·八年级统考期中）如图，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到△ABC，则△ABC中AC边上的高是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作BD⊥AC于D，根据勾股定理求出AC的长，再利用三角形的面积公式求出△ABC中AC边上的高即可．
【详解】作BD⊥AC于D，如图所示：
∵小正方形的边长为1，
∴AC＝＝，
∵S△ABC＝2×2 ×1×1 ×2×1 ×2×1＝1.5，
∴S△ABC＝×AC×BD＝××CD＝1.5，
解得：CD＝．
故选D．
【点睛】此题主要考查了勾股定理以及三角形的面积；根据题意得出△ABC的面积等于正方形面积减去其他3个三角形的面积是解决问题的关键．
【变式3】（2022·八年级课时练习）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在格点上，则BC边上的高为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意可求得AB，AC，BC的长，作AD⊥BC于D，根据勾股定理就不难得到AD的长了．
【详解】根据题意得AB=AC=，
∴△ABC为一等腰三角形，
作AD⊥BC于D，
∴BD=，
AD=
即BC边上的高为
故选C
【点睛】解答本题要充分利用正方形的性质，注意在正方形中的特殊三角形的应用．
考点4：直角三角形性质——动点
典例4：（2022下·湖北鄂州·七年级统考期中）如图，三角形中，，，，，为直线上一动点，连接，则线段的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．2.4
【答案】D
【分析】先根据勾股定理的逆定理可得∠ACB=90°，再由当CP⊥AB时，线段PC的值最小，根据三角形的面积的求法，即可求解．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴∠ACB=90°，
当CP⊥AB时，线段PC的值最小，
此时，
即，解得：．
即线段PC的最小值为2.4
故选：D
【点睛】本题主要考查了勾股定理逆定理，垂线段最短，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键．
【变式1】（2022上·湖南永州·八年级校考阶段练习）如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB＝12米，AC＝6米，射线BM⊥AB，垂足为点B，动点E从A点出发以2米/秒沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED＝CB，当点E经过t秒时，由点D、E、B组成的三角形与△BCA全等．请问t有几种情况？（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【答案】D
【分析】首先分两种情况：当E在线段AB上和当E在BN上，然后再分成两种情况：AC＝BE和AB＝EB，分别进行计算，即可得出结果．
【详解】解：①当E在线段AB上，AC＝BE时，△ACB≌△BED，
∵AC＝6，
∴BE＝6，
∴AE＝12﹣6＝6，
∴点E的运动时间为6÷2＝3（秒）；
②当E在BN上，AC＝BE时，△ACB≌△BED，
∵AC＝6，
∴BE＝6，
∴AE＝12+6＝18，
∴点E的运动时间为18÷2＝9（秒）；
③当E在线段AB上，AB＝EB时，△ACB≌△BDE，
这时E在A点未动，因此时间为0秒；
④当E在BN上，AB＝EB时，△ACB≌△BDE，
∵AB＝12，
∴BE＝12，
∴AE＝12+12＝24，
∴点E的运动时间为24÷2＝12（秒），
综上所述t的值为：0，3，9，共4种情况．
故选D．
【点睛】本题考查了全等三角形的综合问题，解本题的关键在于找到所有符合题意的情况．
【变式2】（2023上·广东深圳·八年级深圳中学校考期中）如图，直线与轴、轴分别交于、两点，于点，点为直线上不与点、重合的一个动点．在轴上存在（ ）个点，使得以、、为顶点的三角形与全等．
A．2 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，全等三角形的判定，根据题意，可知，要使以、、为顶点的三角形与全等，则，再根据，只需再确定一组对边相等，即可得到两个三角形全等，进行讨论即可．
【详解】解：∵，
∴当时，，当时，，
∴，
∴，
∵，为直线上不与点、重合的一个动点，
∴，，
∴，
∴，
∵要使以、、为顶点的三角形与全等，则，
又∵，
∴分两种情况进行讨论，
①当时，此时或，，如图所示：
或 ，
②当时，此时或，，如图所示，
或 ；
综上，共存在个点；
故选B．
【变式3】（2022上·山东淄博·七年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=35°，D是BC边上的动点；连接AD，若△ABD为直角三角形，则∠DAC的度数为（ ）
A．20° B．35° C．20°或55° D．20°或35°
【答案】C
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，可得∠BAC=110°，然后分两种情况：当∠BAD=90°时，当∠ADB=90°时，即可求解．
【详解】解：∵AB=AC，∠B=35°，
∴∠B=∠C=35°，∠BAC=110°，
如图，
当∠BAD=90°时，∠DAC=∠BAC-∠BAD=20°；
当∠ADB=90°时，AD⊥BC，
∴∠DAC=∠DAB=55°，
综上所述，∠DAC的度数为20°或55°．
故选：C
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
考点5：直角三角形判定——网格图
典例5：（2023上·四川达州·八年级校考阶段练习）如图，图中小正方形的边长都为1，的顶点都在格点上，则是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断
【答案】A
【分析】先根据勾股定理求出各边的长，再根据勾股定理的逆定理判断出的形状即可．
【详解】解：由图形可知：；；，
∴，
∴是直角三角形．
故选：A．
【点睛】本题考查的是勾股定理及其逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
【变式1】（2023上·贵州贵阳·八年级校考阶段练习）如图是由6个边长相等的正方形组成的网格，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设小正方形的边长为1，根据勾股定理逆定理得到，再由三角形内角和定理进行计算即可．
【详解】解：如图，设小正方形的边长为1，
则，，，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
【变式2】（2022上·广东深圳·八年级统考期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点都在格点上，则下列结论错误的是（ ）
A．的面积为10 B．
C． D．点到直线的距离是2
【答案】A
【分析】求出，根据三角形的面积公式可以判断A；根据勾股定理逆定理可以判断B；根据勾股定理可以判断C；根据三角形的面积结合点到直线的距离的意义可以判断D．
【详解】解：，，，
，
，故B、C正确，不符合题意；
，故A错误，符合题意；
设点到直线的距离是，
，
，
，
点到直线的距离是2，故D正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理、三角形的面积公式、点到直线的距离，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
【变式3】（2023下·山东滨州·八年级校考阶段练习）如图，在正方形网格中，，，，，都是格点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接，通过平行线的性质可得，，则，通过勾股定理的求得、、的长度，再根据勾股定理的逆定理确定的形状，即可求解．
【详解】解：连接，找到格点，连接，如下图：
由题意可得：
∴，
∴
由勾股定理可得：，，
∴，
∴为等腰直角三角形
∴即
故选A
【点睛】此题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理以及平行线的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．
考点6：直角三角形的判定——勾股逆定理
典例6：（2023上·浙江温州·八年级校联考期中）如图，在中，，以为边作正方形，若正方形的面积是13，则阴影部分的面积为（ ）
A．3 B．6 C．10 D．16
【答案】C
【分析】本题主要考查了勾股定理，求阴影部分的面积时，采用了“分割法”．首先求得，利用勾股定理的逆定理证明，，然后由三角形的面积公式和正方形的面积公式解答．
【详解】解：∵正方形的面积为13，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴．
故选：C
【变式1】（2022上·四川南充·九年级校考阶段练习）如图，在四边形中，，，，，且，则四边形的面积是（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】C
【分析】连接，根据勾股定理可得，再由勾股定理的逆定理可得，再根据四边形的面积等于，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
在中，，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形的面积是 ．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．
【变式2】（2023下·黑龙江哈尔滨·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，，点P为直线上一点，连接，则线段的最小值是（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】C
【分析】如图，过作于，由题意知，最小，根据，可得是直角三角形，，根据，即，计算求解即可．
【详解】解：如图，过作于，
由题意知，最小，
∵，，，
∴，即，
∴是直角三角形，，
∵，
∴，解得，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，垂线段最短．解题的关键在于确定最小的线段．
【变式3】（2023下·安徽合肥·八年级统考期中）如图已知中，，，边上的中线，则的面积为（ ）．
A．30 B．130 C．60 D．120
【答案】C
【分析】根据中线，得到，再根据勾股定理的逆定理，得到是直角三角形，进而得到，再根据三角形中线得到，即可求出的面积．
【详解】解：是边上的中线，
为中点，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
为中点，
，
，
故选C．
【点睛】本题考查了三角形的中线，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键．
考点7：直角三角形全等——HL
典例7：（2023上·广东广州·八年级广州市第四十一中学校考期中）如图，、是的高，且，求证：
【答案】见解析
【分析】本题考查全等三角形判定定理中的判定直角三角形全等的定理，由题意可知和是直角三角形，结合及公共边利用证明三角形全等是解决问题的关键．
【详解】证明：∵、是的高，
∴，
在和中，，
∴．
【变式1】（2023上·河北唐山·八年级统考期中）如图，与的顶点A，，，在同一条直线上，与交于点，与交于点，，，．
(1)求证：
(2)若，求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握和证明三角形全等，是解题的关键．
（1）先证明，再根据证明；
（2）先证明，从而证明，进而即可求解．
【详解】（1）证明：，
，
即，
在和中
，
；
（2）解：，
， ，
，
即 ，
在和中
，
，
，
，
．
【变式2】（2023上·内蒙古巴彦淖尔·八年级统考阶段练习）如图，相交于点O，，．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】（1）由“”可证；
（2）由全等三角形的性质可得 ，即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴和都是直角三角形，
在和中，
，
∴；
（2）在中，
∵，
由（1）可知，
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明是本题的关键．
【变式3】（2023上·福建厦门·八年级厦门市槟榔中学校考期中）证明：如果两个三角形有两条边和其中一条边上的高分别相等，那么这两个三角形全等．（请根据图形，补全已知和求证，并写出证明过程）
已知：如图，在和中，，________，为边上的高，为边上的高，且．
求证：________________．
证明：
【答案】，，证明见解析．
【分析】添加，先证明，得到，即可证明△ABC≌△EFG．
【详解】已知：如图，在 和 中， ，， 为 边上的高， 为 边上的高，且 ．
求证：．
证明：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在和 中，
，
∴．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定，正确添加已知条件是解题的关键．
考点8：直角三角形全等——综合
典例8：（2023上·河南许昌·八年级统考期中）如图，于，于，若、，
(1)求证：平分；
(2)已知，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是：
（1）根据相“”定理得出，故可得出，所以平分；
（2）证明，所以，由此即可解决问题．
【详解】（1）解：证明：于，于，
，
与均为直角三角形，
在与中，
，
，
，
平分；
（2），平分，
，
，
，
在与中，
，
，
，
，，
．
【变式1】（2023上·重庆璧山·八年级重庆市璧山中学校校考期中）如图，与中，，，，过A作垂足为F，交的延长线于点G，连接．
(1)求证：平分；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】（1）先过点作于，判定，得出，再判定，即可得出；
（2）先判定，得出，再根据，求得的面积，进而得到的长．
【详解】（1）过点作于，
∵与中，，
∴ ，
∴，
又∵，
即，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即平分；
（2）∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴的面积，
∵，
∴，
解得．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，解题时注意：全等三角形的面积相等．
【变式2】（2023上·北京海淀·八年级首都师范大学附属中学校考阶段练习）如图，在中，，，D是边上一点，连接，，且，连接交于点F，交于点H．
(1)求证：；
(2)当时，求证：H是的中点．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据证明即可解决问题；
（2）根据全等三角形的性质和三角形内角和定理求出相应的角度，然后利用等腰三角形三线合一的性质即可解决问题．
【详解】（1）∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴；
（2）由（1）知，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
由（1）知，，
∴，
∴，
∴，
∴H是的中点．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
【变式3】（2023上·广东广州·八年级广州市培英中学校考期中）如图所示：和均是等边三角形，点在的延长线上，交于，连接，求证：
(1)；
(2)；
(3)平分．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）由和均是等边三角形，可知，证明即可；
（2）由，可知，根据，计算求解即可；
（3）如图，作于，于，由全等的性质可知，，即，解得，，证明，则，进而结论得证．
【详解】（1）证明：∵和均是等边三角形，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∴，
∴；
（3）证明：如图，作于，于，
∵，
∴，，即，
解得，，
∵，，
∴，
∴，
∴平分．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线，三角形内角和定理等知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
同步一遍过
一、单选题
1．（2023上·山东菏泽·八年级统考期中）下列结论中不能判定是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和，利用直角三角形的三边关系和三角形内角和为逐项判断．
【详解】解：A、，设，，，
则，
解得：，则，故不是直角三角形，符合题意；
B、，设，，，
则，即，
故是直角三角形，符合题意；
C、，即，故是直角三角形，不合题意；
D、，则，
又，
则，
解得：，故是直角三角形，不合题意；
故选：A．
2．（2023上·江苏宿迁·八年级统考期中）在单位长度为1的正方形网格中，下面的三角形是直角三角形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，由勾股定理求出三角形的边长，再根据勾股定理的逆定理判断即可得出答案．
【详解】解：A、三角形的三边为，，3，，则这个三角形不直角三角形，本选项不符合题意；
B、三角形的三边为，，，，则这个三角形不直角三角形，本选项不符合题意；
C、三角形的三边为，，，，则这个三角形是直角三角形，本选项符合题意；
D、三角形的三边为，，，这个三角形不直角三角形，本选项不符合题意；
故选：C．
3．（2023上·安徽宿州·八年级统考期中）若一个三角形的三边分别是7，24，25，则它的面积是( )
A．84 B．87.5 C．168 D．300
【答案】A
【分析】本题考查勾股定理逆定理的应用，先根据勾股定理逆定理证明三角形是直角三角形，再利用面积公式求解即可，关键在于熟悉常用的勾股数．
【详解】∵，
∴这个三角形是直角三角形，
∴面积为∶．
故选A．
4．（2023上·安徽亳州·八年级校联考期中）如图，已知于点，于点，，则的度数是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查直角三角形的两个锐角互余，同角的余角相等，先证明，可得，从而可得，掌握直角三角形两锐角互余是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
5．（2023上·浙江绍兴·八年级校联考期中）如图，在中，，点D是中点，，若，则的度数为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，同角的余角相等等知识，先利用等腰三角形“三线合一”的性质得出，从而得到，从而得到，继而得解，掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，点D是中点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
6．（2023上·河南郑州·八年级统考期中）放学后，彬彬先去同学晓华家写了一个小时的作业，然后才回到家里．已知学校A．晓华家，彬彬家的两两之间的距离如图所示，且晓华家在学校的正东方向，则彬彬家在学校的（ ）
A．正南方向 B．正东方向 C．正西方向 D．正北方向
【答案】D
【分析】本题考查勾股定理逆定理的应用，根据题意可求得即可求解．
【详解】解：由图可得：，
∴，
∴是直角三角形，
∴彬彬家在学校的正北方向，
故选：D．
7．（2023上·浙江温州·八年级校联考期中）如图，在中，，以为边作正方形，若正方形的面积是13，则阴影部分的面积为（ ）
A．3 B．6 C．10 D．16
【答案】C
【分析】本题主要考查了勾股定理，求阴影部分的面积时，采用了“分割法”．首先求得，利用勾股定理的逆定理证明，，然后由三角形的面积公式和正方形的面积公式解答．
【详解】解：∵正方形的面积为13，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴．
故选：C
8．（2023上·湖北荆州·八年级统考期中）一副直角三角板如图放置，点C在的延长线上，，，，，则的度数（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余，直接利用三角板的特点，结合平行线的性质得出，再利用角的和差关系求出，掌握“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
【详解】∵，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故选：．
9．（2023上·湖北武汉·八年级校联考期中）如图，，，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，作，，通过证明得到，即可求解．解题的关键是作辅助线构造出全等三角形，熟练掌握相关基本性质．
【详解】解：如图，作于点，于点，
∵，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
的面积为：．
故选：B．
10．（2023下·四川巴中·七年级统考期末）如图，在和中，，，连接，延长交于点F，连接．下列结论：①；②；③；④平分．其中正确的结论个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】先证明，再证明即可得到，故①符合题意；记、的交点为，结合三角形全等的性质以及三角形内角和定理可得，故③符合题意；根据在上可以是个动点，仍然满足中，，，可得不一定等于，故②不符合题意；作于，作于，由全等三角形的性质可得，再证明，即可得到④符合题意．
【详解】解：，
，即，
在和中，
，
，
，故①正确，符合题意；
如图，记、的交点为，
，
，
，
，，，
，故③正确，符合题意；
在上可以是个动点，仍然满足中，，，
不一定等于，故②错误，不符合题意；
如图，作于，作于，
，
则，
，
由全等三角形的对应高相等可得：，
在和中，
，
，
，
平分，故④正确，符合题意；
综上所述，正确的为①③④，共3个，
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、角平分线的定义，熟练掌握以上性质，添加适当的辅助线是解题的关键．
二、填空题
11．（2023上·辽宁大连·八年级统考期中）如图，，垂足分别为C，B，若用“”证明，则需要添加的条件是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．利用“”证明三角形全等的方法即可．
【详解】解：∵，
∴和均为直角三角形，
∵
若用“”证明，则需要添加的条件是．
故答案为：
12．（2023上·上海闵行·八年级校联考期中）如图，中，，，，若 恰好经过点，交于，则的度数为 °
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟记性质并准确识图是解答本题的关键．
根据直角三角形两锐角互余，求出，根据全等三角形对应边相等得到，全等三角形对应角相等可得，然后根据等腰三角形的性质求出，再求出，然后根据三角形的外角的性质得到结果．
【详解】解：由已知得，
，，
，
，
，，
，
，
，
在中，
．
故答案为：．
13．（2013上·江苏苏州·八年级统考期中）如图，每个小正方形的边长都相等，A、B、C是小正方形的顶点，则的度数为 ．
【答案】/45度
【分析】连接，利用勾股定理及其逆定理证明是等腰直角三角形即可．
【详解】解：连接，
由勾股定理得：，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
14．（2023上·新疆伊犁·八年级统考期中）如图，于E，于F，若，，则下列结论：①；②平分；③；④，中正确的是 ．
【答案】①②④
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．利用证明全等，根据全等三角形对应边相等可得，再证明，判断出平分，可得，再根据图形即可得到．
【详解】解：∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，①正确，符合题意；
又∵，，
∴，
∴，，即平分，②正确，符合题意；
∴，④正确，符合题意；
在中，，∴，③错误，不符合题意；
综上所述，正确的是①②④．
故答案为：①②④．
15．（2022上·江苏南京·八年级南京市第二十九中学校考阶段练习）如图，，且，，且，请按照图中所标注的数据计算的长为 ．
【答案】16
【分析】证明和，利用全等三角形的对应边相等求解即可．
【详解】解：由图知，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，，
又，，
∴，，
∴，，，，
∴，
故答案为：16．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余、等角的余角相等，熟练掌握全等三角形的对应边相等是解答的关键．
16．（2022上·福建厦门·八年级厦门外国语学校校考期中）如图，中，，的角平分线，相交于点，过作交的延长线于点，交于点，则下列结论：①；②；③；④连接，．其中正确的是 ．（填序号）
【答案】①②③④
【分析】根据直角三角形两锐角互余可得，再根据角平分线的定义可得，根据三角形内角和定理则可判断结论①；证明，可判断结论②；证明，可判断结论③；连接，，证明，结合全等的性质可得，，，最后根据进行恒等变换后即可判断结论④．
【详解】解：在中，，
∴，
又∵、分别平分、，
∴，
，，
∴，故结论①正确；
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，，故结论②正确；
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，故结论③正确；
连接，，
∵，，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴
，故结论④正确．
故答案为：①②③④．
【点睛】本题考查直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，，等边对等角，平行线的判定等知识点．证明三角形全等是解题的关键．
三、解答题
17．（2023上·广东茂名·九年级统考期中）如图，方格中小正方形的边长为1，的三个顶点都在格点（网格线的交点）上．请判断是不是直角三角形，并说明理由．
【答案】不是直角三角形，理由见详解
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理．先根据勾股定理求出的三条边长，再根据勾股定理的逆定理判定即可，灵活运用勾股定理及其逆定理是解题的关键．
【详解】解：不是直角三角形，理由如下：
根据勾股定理，得，，，
，
不是直角三角形．
18．（2023上·河南濮阳·八年级统考期中） 如图，为等腰直角三角形，，点 在 上，点 在 的延长线上，且．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)的度数为
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质找出的角和相等的边，再运用判定直角三角形全等即可；
（2）根据为等腰直角三角形，可知，则，再结合 以及（）中所证明得全等三角形可得，进而可得到答案．
【详解】（1）证明：∵为等腰直角三角形，，
∴，
在和中，
，，
∴．
（2）解：∵为等腰直角三角形，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
因此的度数为．
19．（2023上·广东东莞·八年级可园中学校考期中）如图，中，，平分，于D，于F，
(1)求的度数；
(2)求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题主要考查了三角形的内角和定理、三角形的外角的性质、以及角平分线定义和垂直定义等知识．
（1）根据三角形的内角和定理求得的度数，再根据平分，求得的度数；
（2）根据三角形的外角的性质就可求得，再结合就可求解．
【详解】（1）解：∵，
，
∵平分，
；
（2）解：由题意得：，
，
，
．
20．（2023上·山西太原·八年级统考期中）校园内有一处池塘，数学实践小组的同学想利用所学知识测量池塘两端，两点之间的距离，他们的操作过程如下：①沿延长线的方向，在池塘边的空地上选点，使米；②在的一侧选点，恰好使米，米；③测得米．请根据他们的操作过程，求出，两点间的距离．
【答案】，两点间的距离为15米
【分析】本题考查了勾股定理逆定理及勾股定理，由勾股定理逆定理得出是直角三角形，从而得出，再由勾股定理进行计算即可，熟练掌握勾股定理逆定理及勾股定理是解此题的关键．
【详解】解：米，米，米，
，，
，
是直角三角形，其中，
，
米，
在中，由勾股定理得，米，
答：，两点间的距离为15米．
21．（2023下·广东江门·八年级校考期中）如图，已知△ABC，若小方格边长均为，请你根据所学的知识完成下列问题：
(1)求的面积；
(2)判断的形状，并说明理由．
【答案】(1)
(2)为直角三角形，理由见解析
【分析】（1）本题考查运用割补法求不规则三角形面积，能判断如何割补是解题的关键．
（2）本题考查勾股定理的逆定理，能够正确求出各边的长是解题的关键．
【详解】（1）解： =．
故：；
（2）解：为直角三角形，理由如下：
∵小方格边长为，
由勾股定理得：，
，
，
∴，
∴为直角三角形．
22．（2023上·陕西西安·八年级统考期中）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与直线上两点，的距离、分别为、，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域．
(1)海港受台风影响吗？为什么？
(2)若台风中心移动的速度为，台风影响海港持续的时间有多长？
【答案】(1)受台风影响，理由见解析
(2)7小时
【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．
（1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而利用三角形面积得出的长，进而得出海港C是否受台风影响；
（2）利用勾股定理得出以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．
【详解】（1）解：海港受台风影响．
理由：如图，过点作于，
因为，，，
所以．
所以是直角三角形．
所以，
所以，
所以，
因为以台风中心为圆心周围以内为受影响区域，
所以海港受到台风影响．
（2）解：当，时，正好影响海港，
因为，
所以，
因为台风中心移动的速度为，
所以（小时）
即台风影响海港持续的时间为7小时．
23．（2023上·山东济南·八年级统考期中）我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．
(1)[概念理解]
如图1，四边形的对角线与相交于点O，若，试证明四边形为垂美四边形，并求的长度；
(2)[性质探索]
如图2，垂美四边形的对角线与相交于点O，猜想与有何关系 并证明你的猜想．
(3)[解决问题]
如图3，是长方形的一条对角线，过点A作于E，延长交于点F，，若，求的长度．
【答案】(1)证明见解析；；
(2)，见解析；
(3)
【分析】题目主要考查勾股定理及其逆定理的应用；
（1）直接利用勾股定理的逆定理得出为直角三角形，利用新定义即可判定，再由勾股定理求解即可；
（2）先根据垂美四边形的定义可得，再利用勾股定理解答即可；
（3）连接，则四边形是垂美四边形，根据题意得出，，利用（2）的结论代入求解即可；
理解题意，熟练掌握运用勾股定理是解题关键．
【详解】（1）解：四边形是垂美四边形，理由如下：
∵，
∴，
∵即，
∴为直角三角形，
∴，
∴四边形是垂美四边形；
∴；
（2）猜想，证明如下：
∵四边形是垂美四边形，
∴，
∴，
由勾股定理得：，，
∴；
（3）如图所示，连接，则四边形是垂美四边形，
∵，长方形，，
∴，，
由（2）结论得：
即，
∴，
解得：，
∴．
24．（2023上·湖南长沙·八年级校考期中）如图，平面直角坐标系中有点和y轴上一动点，以B点为直角顶点在第二象限内作等腰直角，设点C的坐标为．
(1)当时，则C点的坐标为（ ， ）．
(2)动点B在运动的过程中，试判断的值是否发生变化？若不变，请求出其值，若变，请说明理由．
(3)当时，在坐标平面内是否存在一点P（不与点C重合），使与全等？若存在，求出点P坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，6
(2)动点B在运动的过程中，的值不变，
(3)存在，符合条件的P的坐标是或或．
【分析】（1）先过点C作轴于E，证，推出，，即可得出点C的坐标；
（2）先过点C作轴于E，同理证，推出，，可得，即可得出点C的坐标，据此可得的值不变；
（3）分为三种情况讨论，分别画出符合条件的图形，构造直角三角形，证出三角形全等，根据全等三角形对应边相等即可得出答案．
【详解】（1）解：如图，过点C作轴于E，则．
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：，6；
（2）动点B在运动的过程中，的值不变．
理由：过点C作轴于E，则，
同（1）可得：，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
又∵点C的坐标为，
∴，即的值不变；
（3）存在点P，使与全等；
如图，过C作轴于M，过P作轴于E，则，
∵，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
在和中，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
即P的坐标是；
过P作轴于E，则，
∴，，
∴，
在和中，，
∴，
∴，，
∴，
即P的坐标是；
如图，过P作轴于E，则，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
在和中，，
∴，
∴，，
∴，
即P的坐标是，
综合上述，符合条件的P的坐标是或或．
【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，等腰直角三角形性质的应用，坐标与图形，考核了学生综合运用性质进行推理的能力，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形以及运用分类讨论的思想．
25．（2022上·四川达州·八年级校考阶段练习）阅读下面材料，并解决问题：
(1)如图（1），等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3、4、5，则 ．由于不在同一个三角形中，我们可以将绕顶点A逆时针旋转，得到 ．这样就可以利用全等三角形知识，将三条线段长度转化到一个三角形中，从而求出的度数．请给出计算证明过程．
(2)请你利用（1）题的解答思想和方法，解答下面的问题：
已知：如图（2），，D、E为上的点且，请你探索线段，三条线段之间的数量关系，并证明你的结论．
(3)请你利用第（2）题的结论，解答下面的问题
已知：如图（3），中，，D，E为边上的点，，，求的长．
【答案】(1)；；证明见解析
(2)；理由见解析
(3)的长为5
【分析】（1）由旋转的性质可得，再利用等边三角形的判定得出为等边三角形，即可得出的度数，由勾股定理的逆定理可求，即可得出答案；
（2）由“”可得，可得，然后可证明是直角三角形,从而根据勾股定理即可证明；
（3）将数据代入（2）的结论，即可求解．
【详解】（1）解：如图，将绕顶点A逆时针旋转，连接，
∵将绕顶点A旋转到处，
∴，
∴，
又，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
即：；
故答案为：；
（2），理由如下：
如图2，把绕点A逆时针旋转得到，
由旋转的性质得，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
即；
（3）由（2）可得，
∵，
∴，
∴．
【点晴】本题是三角形综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，读懂题目信息，理解利用旋转构造出全等三角形和等边三角形以及直角三角形是解题的关键．
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专题03 直角三角形
考点类型
知识一遍过
（一）直角三角形性质——角的关系
①直角三角形的两个锐角互余。
（二）直角三角形性质——等积法
如图：△ABC为直角三角形，AD⊥BC
S△ABC=AB×AC=AD×BC；则AB×AC=AD×BC
（三）勾股定理逆定理
表示方法：如图：三角形的三边分别为，，，若则三角形为直角三角形
（四）直角三角形全等的判定
（1）直角三角形全等
①斜边和一条直角边对应相等（HL）
②证明两个直角三角形全等同样可以用SAS,ASA和AAS.
考点一遍过
考点1：直角三角形的性质——角的关系
典例1：（2023上·河北廊坊·八年级校考期中）如图，在中，与互余，垂足为，若，则( )
A． B． C． D．条件不足，无法计算
【变式1】（2023上·湖北恩施·八年级统考期中）已知中，为的高，为的角平分线，，，则的高与角平分线的夹角为（ ）
A． B． C． D．或
【变式2】（2023上·湖北武汉·八年级校联考期中）如图，，，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2023上·湖北荆州·八年级统考期中）一副直角三角板如图放置，点C在的延长线上，，，，，则的度数（ ）
A． B． C． D．
考点2：直角三角形的性质——求线段
典例2：（2023上·河北唐山·八年级统考期中）如图，在中，，，，连接并延长交于点，若，，则的长为（ ）
A．15 B．20 C．9 D．12
【变式1】（2023上·浙江宁波·八年级统考期末）如图，在中，，，平分，，为边的垂直平分线且分别交、于点、，若，，则的长是（ ）
A．2 B． C． D．
【变式2】（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第六十九中学校校考期中）如图，在中，，，于，，则（ ）
A．2 B．3 C．2.5 D．1.5
【变式3】（2023上·广东茂名·八年级校考阶段练习）如图所示，是等边三角形，为的中点，，垂足为．若，则的边长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
考点3：直角三角形性质——等积法
典例3：（2023上·广东佛山·八年级校考阶段练习）一个三角形的三边长分别为，，，则这个三角形最长边上的高为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2022上·浙江杭州·八年级杭州外国语学校校考期末）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上AD⊥BC于点D，则AD的长为（ ）
A．5 B．3 C．5 D．2
【变式2】（2011下·重庆·八年级统考期中）如图，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到△ABC，则△ABC中AC边上的高是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2022·八年级课时练习）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在格点上，则BC边上的高为（ ）．
A． B． C． D．
考点4：直角三角形性质——动点
典例4：（2022下·湖北鄂州·七年级统考期中）如图，三角形中，，，，，为直线上一动点，连接，则线段的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．2.4
【变式1】（2022上·湖南永州·八年级校考阶段练习）如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB＝12米，AC＝6米，射线BM⊥AB，垂足为点B，动点E从A点出发以2米/秒沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED＝CB，当点E经过t秒时，由点D、E、B组成的三角形与△BCA全等．请问t有几种情况？（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【变式2】（2023上·广东深圳·八年级深圳中学校考期中）如图，直线与轴、轴分别交于、两点，于点，点为直线上不与点、重合的一个动点．在轴上存在（ ）个点，使得以、、为顶点的三角形与全等．
A．2 B．4 C．5 D．6
【变式3】（2022上·山东淄博·七年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=35°，D是BC边上的动点；连接AD，若△ABD为直角三角形，则∠DAC的度数为（ ）
A．20° B．35° C．20°或55° D．20°或35°
考点5：直角三角形判定——网格图
典例5：（2023上·四川达州·八年级校考阶段练习）如图，图中小正方形的边长都为1，的顶点都在格点上，则是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断
【变式1】（2023上·贵州贵阳·八年级校考阶段练习）如图是由6个边长相等的正方形组成的网格，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2022上·广东深圳·八年级统考期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点都在格点上，则下列结论错误的是（ ）
A．的面积为10 B．
C． D．点到直线的距离是2
【变式3】（2023下·山东滨州·八年级校考阶段练习）如图，在正方形网格中，，，，，都是格点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
考点6：直角三角形的判定——勾股逆定理
典例6：（2023上·浙江温州·八年级校联考期中）如图，在中，，以为边作正方形，若正方形的面积是13，则阴影部分的面积为（ ）
A．3 B．6 C．10 D．16
【变式1】（2022上·四川南充·九年级校考阶段练习）如图，在四边形中，，，，，且，则四边形的面积是（ ）
A．4 B． C． D．
【变式2】（2023下·黑龙江哈尔滨·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，，点P为直线上一点，连接，则线段的最小值是（ ）
A．4 B． C． D．
【变式3】（2023下·安徽合肥·八年级统考期中）如图已知中，，，边上的中线，则的面积为（ ）．
A．30 B．130 C．60 D．120
考点7：直角三角形全等——HL
典例7：（2023上·广东广州·八年级广州市第四十一中学校考期中）如图，、是的高，且，求证：
【变式1】（2023上·河北唐山·八年级统考期中）如图，与的顶点A，，，在同一条直线上，与交于点，与交于点，，，．
(1)求证：
(2)若，求线段的长．
【变式2】（2023上·内蒙古巴彦淖尔·八年级统考阶段练习）如图，相交于点O，，．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【变式3】（2023上·福建厦门·八年级厦门市槟榔中学校考期中）证明：如果两个三角形有两条边和其中一条边上的高分别相等，那么这两个三角形全等．（请根据图形，补全已知和求证，并写出证明过程）
已知：如图，在和中，，________，为边上的高，为边上的高，且．
求证：________________．
证明：
考点8：直角三角形全等——综合
典例8：（2023上·河南许昌·八年级统考期中）如图，于，于，若、，
(1)求证：平分；
(2)已知，，求的长．
【变式1】（2023上·重庆璧山·八年级重庆市璧山中学校校考期中）如图，与中，，，，过A作垂足为F，交的延长线于点G，连接．
(1)求证：平分；
(2)若，，求的长．
【变式2】（2023上·北京海淀·八年级首都师范大学附属中学校考阶段练习）如图，在中，，，D是边上一点，连接，，且，连接交于点F，交于点H．
(1)求证：；
(2)当时，求证：H是的中点．
【变式3】（2023上·广东广州·八年级广州市培英中学校考期中）如图所示：和均是等边三角形，点在的延长线上，交于，连接，求证：
(1)；
(2)；
(3)平分．
同步一遍过
一、单选题
1．（2023上·山东菏泽·八年级统考期中）下列结论中不能判定是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023上·江苏宿迁·八年级统考期中）在单位长度为1的正方形网格中，下面的三角形是直角三角形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023上·安徽宿州·八年级统考期中）若一个三角形的三边分别是7，24，25，则它的面积是( )
A．84 B．87.5 C．168 D．300
4．（2023上·安徽亳州·八年级校联考期中）如图，已知于点，于点，，则的度数是( )
A． B． C． D．
5．（2023上·浙江绍兴·八年级校联考期中）如图，在中，，点D是中点，，若，则的度数为( )
A． B． C． D．
6．（2023上·河南郑州·八年级统考期中）放学后，彬彬先去同学晓华家写了一个小时的作业，然后才回到家里．已知学校A．晓华家，彬彬家的两两之间的距离如图所示，且晓华家在学校的正东方向，则彬彬家在学校的（ ）
A．正南方向 B．正东方向 C．正西方向 D．正北方向
7．（2023上·浙江温州·八年级校联考期中）如图，在中，，以为边作正方形，若正方形的面积是13，则阴影部分的面积为（ ）
A．3 B．6 C．10 D．16
8．（2023上·湖北荆州·八年级统考期中）一副直角三角板如图放置，点C在的延长线上，，，，，则的度数（ ）
A． B． C． D．
9．（2023上·湖北武汉·八年级校联考期中）如图，，，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023下·四川巴中·七年级统考期末）如图，在和中，，，连接，延长交于点F，连接．下列结论：①；②；③；④平分．其中正确的结论个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题
11．（2023上·辽宁大连·八年级统考期中）如图，，垂足分别为C，B，若用“”证明，则需要添加的条件是 ．
12．（2023上·上海闵行·八年级校联考期中）如图，中，，，，若 恰好经过点，交于，则的度数为 °
13．（2013上·江苏苏州·八年级统考期中）如图，每个小正方形的边长都相等，A、B、C是小正方形的顶点，则的度数为 ．
14．（2023上·新疆伊犁·八年级统考期中）如图，于E，于F，若，，则下列结论：①；②平分；③；④，中正确的是 ．
15．（2022上·江苏南京·八年级南京市第二十九中学校考阶段练习）如图，，且，，且，请按照图中所标注的数据计算的长为 ．
16．（2022上·福建厦门·八年级厦门外国语学校校考期中）如图，中，，的角平分线，相交于点，过作交的延长线于点，交于点，则下列结论：①；②；③；④连接，．其中正确的是 ．（填序号）
三、解答题
17．（2023上·广东茂名·九年级统考期中）如图，方格中小正方形的边长为1，的三个顶点都在格点（网格线的交点）上．请判断是不是直角三角形，并说明理由．
18．（2023上·河南濮阳·八年级统考期中） 如图，为等腰直角三角形，，点 在 上，点 在 的延长线上，且．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
19．（2023上·广东东莞·八年级可园中学校考期中）如图，中，，平分，于D，于F，
(1)求的度数；
(2)求的度数．
20．（2023上·山西太原·八年级统考期中）校园内有一处池塘，数学实践小组的同学想利用所学知识测量池塘两端，两点之间的距离，他们的操作过程如下：①沿延长线的方向，在池塘边的空地上选点，使米；②在的一侧选点，恰好使米，米；③测得米．请根据他们的操作过程，求出，两点间的距离．
21．（2023下·广东江门·八年级校考期中）如图，已知△ABC，若小方格边长均为，请你根据所学的知识完成下列问题：
(1)求的面积；
(2)判断的形状，并说明理由．
22．（2023上·陕西西安·八年级统考期中）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与直线上两点，的距离、分别为、，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域．
(1)海港受台风影响吗？为什么？
(2)若台风中心移动的速度为，台风影响海港持续的时间有多长？
23．（2023上·山东济南·八年级统考期中）我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．
(1)[概念理解]
如图1，四边形的对角线与相交于点O，若，试证明四边形为垂美四边形，并求的长度；
(2)[性质探索]
如图2，垂美四边形的对角线与相交于点O，猜想与有何关系 并证明你的猜想．
(3)[解决问题]
如图3，是长方形的一条对角线，过点A作于E，延长交于点F，，若，求的长度．
24．（2023上·湖南长沙·八年级校考期中）如图，平面直角坐标系中有点和y轴上一动点，以B点为直角顶点在第二象限内作等腰直角，设点C的坐标为．
(1)当时，则C点的坐标为（ ， ）．
(2)动点B在运动的过程中，试判断的值是否发生变化？若不变，请求出其值，若变，请说明理由．
(3)当时，在坐标平面内是否存在一点P（不与点C重合），使与全等？若存在，求出点P坐标，若不存在，请说明理由．
25．（2022上·四川达州·八年级校考阶段练习）阅读下面材料，并解决问题：
(1)如图（1），等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3、4、5，则 ．由于不在同一个三角形中，我们可以将绕顶点A逆时针旋转，得到 ．这样就可以利用全等三角形知识，将三条线段长度转化到一个三角形中，从而求出的度数．请给出计算证明过程．
(2)请你利用（1）题的解答思想和方法，解答下面的问题：
已知：如图（2），，D、E为上的点且，请你探索线段，三条线段之间的数量关系，并证明你的结论．
(3)请你利用第（2）题的结论，解答下面的问题
已知：如图（3），中，，D，E为边上的点，，，求的长．
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