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专题04 垂直平分线的性质与判定
考点类型
知识一遍过
（一）垂直平分线
（1）概念：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）
（2）性质：线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；
（3）判定：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
（二）尺规作图——垂直平分线
（1）过一点作已知线段的垂线
求作：AB的垂线，使它经过点C
作法：①以点C为圆心，大于到线段距离为半径作弧，交AB与点D、E。
②分别以点D、E为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点F。
③作直线CF，CF即为所求的直线
（2）作已知线段的垂直平分线
作法：①以A为圆心大于长为半径作弧，以B为圆心大于长为半径作弧,两弧交于C、D两点
②连接CD，即为所求
考点一遍过
考点1：垂直平分线的性质——求线段
典例1：（2023上·江苏常州·八年级统考期中）如图，在中，的垂直平分线分别交于点．若的周长为23，的周长为15，则的长是（ ）
A．8 B．6 C．5 D．4
【答案】D
【分析】此题考查线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线得到，利用三角形周长得到，，进而求出，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
【详解】∵垂直平分，
∴，
∵的周长为23，的周长为15，
∴，
∴
故选：D．
【变式1】（2023上·江苏泰州·八年级统考期中）如图，在中，，线段的垂直平分线交于点N．若的周长是，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查的是线段垂直平分线的性质，根据垂直平分线上的任意一点到线段两边的距离相等即可解题．
【详解】解：∵线段的垂直平分线交于点N，
∴，
∵的周长是，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
【变式2】（2023上·河北石家庄·八年级统考期中）如图在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于、，直线交于点，交于点，连接，若，，则的周长是（ ）
A．19 B．24 C．31 D．34
【答案】C
【分析】此题考查了尺规作图-线段垂直平分线、线段垂直平分线的性质,熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
【详解】解：由作图的过程可知，是的垂直平分线，
，，
的周长．
故选：C．
【变式3】（2023上·山东菏泽·八年级统考期中）如图，在中，，的垂直平分线交于D，交于E．当时，下列结论不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据线段垂直平分线性质可判断B，根据30度角的性质可判断A；根据角平分线性质可判断D；根据垂线段最短可判断C．
【详解】解：∵的垂直平分线，
∴，故B正确；
∵，
∴，
∴，故A正确；
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，故D正确；
∵，
∴，故C错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，角平分线性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质等性质，能综合运用性质进行推理是解此题的关键．
考点2：垂直平分线的性质——求角
典例2：（2023上·江苏泰州·八年级校考阶段练习）如图，在中，的平分线与的垂直平分线交于点P，连接，，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据垂直平分线得到，从而得到，结合角平分线及得到，，结合得到，再根据三角形内角和定理求解即可得到答案；
【详解】解：∵的平分线与的垂直平分线交于点P，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C；
【点睛】本题考查垂直平分线上的点到线段两个端点相等，等边对等角，三角形内角和．
【变式1】（2023上·湖北武汉·八年级统考期中）中，，点M在的内部，BM、MC的垂直平分线分别交AB、AC于点P、Q，若连接PQ恰好经过点M，则（ ）（用含的代数式表示）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题主要考查垂直平分线的性质和三角形的内角和，根据垂直平分线的性质，可得, ,即得,,即可求解.
【详解】解：∵BM、MC的垂直平分线分别交AB、AC于点P、Q.
∴, .
.
∵.
∴.
.
故选：D.
【变式2】（2023上·山东威海·七年级校联考期中）如图，在中，，直线是的垂直平分线，E在上，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查线段垂直平分线的性质，等边对等角，直角三角形两锐角互余，根据线段垂直平分线得到，推出，设，利用直角三角形的性质得到，由此求出答案．
【详解】解：∵直线是的垂直平分线，
∴
∴
设，
∴
∴
解得，
∴
故选：B．
【变式3】（2023上·河北石家庄·八年级统考期中）如图，在锐角三角形中，直线为的垂直平分线，射线为的平分线，与相交于点，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据角平分线的定义，得到，再根据垂直平分线的性质和等边对等角的性质，得到，进而得出，然后利用三角形内角和定理，即可求出的度数．
【详解】解：射线为的平分线，，
，
直线为的垂直平分线，
，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题关键是掌握垂直平分线上的点到线段两端距离相等．
考点3：垂直平分线的性质——实际应用
典例3：（2023上·新疆伊犁·八年级统考期中）如图，兔子的三个洞口构成，猎狗想捕捉兔子，必须到三个洞口的距离都相等，则猎狗应蹲守在（ ）．
A．三条边的垂直平分线的交点 B．三个角的角平分线的交点
C．三角形三条高的交点 D．三角形三条中线的交点
【答案】A
【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质，以及三角形的角平分线、中线和高，用线段垂直平分线性质判断即可，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】解：猎狗到三个顶点的距离相等，则猎狗应蹲守在的三条边垂直平分线的交点．
故选：．
【变式1】（2013上·贵州黔西·九年级统考期末）如图所示，现要在一块三角形草坪上建一凉亭供大家休息，使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A．三条角平分线的交点 B．三条高所在直线的交点
C．三条中线的交点 D．三边的垂直平分线的交点
【答案】D
【分析】本题主要考查的是线段的垂直平分线的性质在实际生活中的应用．由于凉亭到草坪的三个顶点的距离相等，所以根据垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，可知是三条边垂直平分线的交点．由此即可确定凉亭位置．
【详解】解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等，
∴凉亭选择三边的垂直平分线的交点．
故选：D．
【变式2】（2023上·江苏无锡·八年级统考期中）在正方形网格中，的位置如图所示，且顶点在格点上，在内部有、、、四个格点，到三个顶点距离相等的点是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】B
【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，根据到三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线交点求解即可．
【详解】由图形可得，垂直平分，故排除A、C选项；
点很明显不在的垂直平分线上，故排除选项D；
故选：B．
【变式3】（2022上·河南鹤壁·八年级统考期末）如图，有三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一所小学，使小学到三个小区的距离相等，则小学应建在（ ）
A．两内角的平分线的交点处 B．两边高线的交点处
C．两边中线的交点处 D．两边垂直平分线的交点处
【答案】D
【分析】要求到三小区的距离相等，首先思考到A小区、B小区距离相等，根据线段垂直平分线定理的逆定理知满足条件的点在线段的垂直平分线上，同理到B小区、A小区的距离相等的点在线段的垂直平分线上，于是到三个小区的距离相等的点应是其交点，答案可得．
【详解】解：根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，超市应建在边的垂直平分线上，
故选：D．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
考点4：垂直平分线的性质——综合应用
典例4：（2023上·陕西延安·八年级校联考期中）如图，在中，为内一点，过点的直线分别交、于点，，若在的垂直平分线上，在的垂直平分线上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理的应用，熟练掌握性质和定理是解题的关键．根据题意，得，结合，计算即可．
【详解】∵在的垂直平分线上，在的垂直平分线上，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
故选B．
【变式1】（2023上·重庆江津·八年级校联考期中）如图，中，的平分线与边的垂直平分线相交于D，交的延长线于E，于F，现有下列结论：①；②；③平分；④；其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】由角平分线的定义结合题意可证明，即得出，故①正确；连接，由线段垂直平分线的定义结合题意易证，即得出，故②正确；由全等三角形的性质可知，即平分．再根据与不重合，即说明不平分，故③错误；由全等三角形的性质可知．即得出，故④正确．
【详解】解：∵为的平分线，
∴．
∵，，
∴．
又∵，
∴，
∴，故①正确；
如图，连接，
∵为的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴，即平分．
∵与不重合，
∴不平分，故③错误；
∵，
∴．
∵，，
∴，故④正确．
综上可知正确的有3个．
故选C．
【点睛】本题考查角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，三角形全等的判定和性质．连接常用的辅助线构造全等三角形是解题关键．
【变式2】（2023上·湖北荆门·八年级校联考期末）如图，在等腰中，，，的平分线与的中垂线交于点O，点C沿折叠后与点O重合，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用全等三角形的判定以及垂直平分线的性质得出，以及，再利用翻折变换的性质得出进而求出即可．
【详解】解：连接，
的平分线与的中垂线交于点O，
，，
，
∵在等腰中，，
，
，
在和中，
，
，
∵点C沿折叠后与点O重合，
，
，
．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了翻折变换的性质，垂直平分线的性质，三角形内角和定理等知识，利用翻折变换的性质得出对应相等关系是解题关键．
【变式3】（2023上·广西贵港·八年级统考期中）如图，在中，垂直平分边，垂足为的平分线交于点，交的延长线于点交于点．下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，线段的垂直平分线的性质“垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等”等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
证明，推出 ，证明，推出，可以证明正确，再利用8字型，证明正确即可．
【详解】∵平分
∴
∵，
∴，
在和中，
∴，
∵垂直平分线段，
在和中，
∴，
∴，
∴，
设交于点．
∴．
故选项A，B，D正确．
故选：C．
考点5：垂直平分线的判定
典例5：（2023上·北京海淀·八年级校考期中）如图，四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，根据所学知识，下列选项中正确的一项是（ ）
A．与互相垂直平分 B．垂直平分
C．平分一组对角 D．平分一组对角
【答案】C
【分析】由线段垂直平分线的判定可知是的垂直平分线，不一定是的垂直平分线，从而可判断A、B选项错误；通过证明可得，，可判定C选项正确；根据轴对称的性质可判定D选项错误．
【详解】解：∵，
∴点D在线段的垂直平分线上，
∵，
∴点B在线段的垂直平分线上，
∴是的垂直平分线，
∴垂直但不平分，
∵和不一定相等，和不一定相等，
∴不一定是的垂直平分线，故A，B选项错误；
在和中，
，
∴，
∴，，
∴对角线平分，，故C选项正确；
直线是筝形的对称轴，不是，故D选项错误．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定，对称性，解本题的关键是判断出．
【变式1】（2023下·陕西西安·八年级西安市曲江第一中学校考期末）如图，在四边形中，，，，点E在上，连接相交于点F，．若，则的长为（ ）
A．8 B．6 C．5 D．4
【答案】B
【分析】连接交于点O，由题意可证垂直平分，是等边三角形，可得，通过证明是等边三角形，可得，再利用，进行求解即可．
【详解】解：如图，连接交于点O，
∵，
∴垂直平分，是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
故选B．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，中垂线的判定和性质，熟练运用等边三角形的判定是本题的关键．
【变式2】（2022上·陕西渭南·八年级统考期中）如图，已知等腰，于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，，连接PC，下面的结论：①点O在BP的垂直平分线上；②；③；④是等边三角形，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】连接，延长至E，证明，即可得出点O在BP的垂直平分线上，可判定①正确；利用等腰三角形的性质求得，，，即可得出，可判定②正确；由与不一定相等，可判定③错误；利用三角形外角性质得，，即可得出，又由，可得出是等边三角形，可判定④正确．
【详解】解：连接，延长至E， 如图，
∵，，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴点O在BP的垂直平分线上，
故①正确；
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故②正确；
∵，，
点是线段上一点，
与不一定相等，
与不一定相等，
故③错误；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
故④正确；
∴正确的有①②④共3个，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，三角形内角和与外角性质，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．
【变式3】（2022上·福建福州·八年级统考期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，尺规作图：（1）分别以B，C为圆心，BC长为半径作弧，两弧交于点D；（2）连接DB、DA、DC，DA交BC于点E，则下列结论中错误的是（ ）
A．AD垂直平分BC
B．S四边形ABDC＝AD BC
C．若∠BAC＝120°，则DE＝3AE
D．若∠BAC＝60°，则BC垂直平分AD
【答案】B
【分析】根据作图方法可得△BCD是等边三角形，则BD=CD，∠BDC=60°，然后证明△ABD≌△ACD得到∠BDA=∠CDA，∠BAE=∠CAE=30°，即可判断A；利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理即可得到，由即可判断B；利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理即可得到即可判断C；由∠BAC=60°，可得∠BAE=∠BDE=30°，则AB=DB，由此即可判断D．
【详解】解：由作图方法可知，△BCD是等边三角形，
∴BD=CD，∠BDC=60°
又∵AB=AC，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD（SAS），
∴∠BDA=∠CDA，∠BAE=∠CAE=30°，
∴由三线合一定理可知AD垂直平分BC，故A选项不符合题意；
∴∠DEB=∠AEB，
∴，
∴，
∴，故B选项符合题意；
当∠BAC＝120°时，则∠ABE=30°，
∴，
∴，
∴，故C选项不符合题意；
∵∠BAC=60°，
∴∠BAE=∠BDE=30°，
∴AB=DB，
又∵BC⊥AD，
∴BC垂直平分AD，故D选项不符合题意，
故选B．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理的应用，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
考点6：尺规作图——垂直平分线
典例6：（2023上·广东珠海·八年级珠海市第九中学校考期中）如图，在中，，．
(1)尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交，于点和点，连接；（不写作法，保留作图浪迹）
(2)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据垂直平分线的作图方法作图即可；
（2）首先根据等腰三角形的概念和三角形内角和定理求出，然后根据垂直平分线的性质得到，进而求出，即可得到．
【详解】（1）解：线段的垂直平分线如图所示；
（2）∵，，
∴
∵垂直平分
∴
∴
∴
∴
∴
∴．
【点睛】本题考查尺规作垂线，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质．熟练掌握相关性质，是解题的关键．
【变式1】（2023上·辽宁抚顺·八年级统考期中）如图，已知．
(1)用尺规作图作出边上的高（保留作图痕迹，不写作法）．
(2)若，，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)9
【分析】（1）直接利用过直线外一点作已知垂线的作法得出答案；
（2）先利用等角对等边和三角形外角的性质得到，，利用含30度角的直角三角形的性质可得，即可得出答案．
【详解】（1）解：如图，
线段即为所求．
（2），，
，
是的外角，
，
由作图知：，，
，
则，
【点睛】本题主要考查了基本作图，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，正确掌握基本作图方法是解题关键．
【变式2】（2023上·江苏泰州·八年级校考阶段练习）已知三角形纸片（如图），将纸片折叠，使点A与点重合，折痕分别与边、交于点、，点关于直线的对称点为点．
(1)尺规作图：请画出直线和点F；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)连接、，如果，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据题意作线段的垂直平分线确定直线，再由轴对称图形的作法确定点F即可；
（2）根据折叠的性质可得，再由，可得到的度数，再由对顶角相等，即可得出结果．
【详解】（1）解：如图，直线和点即为所求；
（2）解：∵点关于直线的对称点为点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是翻折变换的性质，线段垂直平分线的作法及轴对称图形的作法，掌握基本图形的作法是解题的关键．
【变式3】（2023上·浙江杭州·八年级校考期中）如图，在中，．
(1)尺规作图在边上求作一点，使，并连接；(不写作法，保留作图痕迹)；
(2)在(1)的条件下，当，时，求的周长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了作垂直平分线，勾股定理，垂直平分线的性质．
（1）作的垂直平分线交于点；
（2）先利用勾股定理计算出，然后利用可得到的周长．
【详解】（1）解：如图，点为所作；
（2）在中， ，
，
的周长．
考点7：垂直平分线的性质与判定综合
典例7：（2023上·湖南怀化·八年级统考期中）如图所示，是等腰直角三角形，，是的中点，于，交直线于，连接交于．
(1)求证：；
(2)求证：垂直平分；
(3)连接，请判断的形状．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)是等腰三角形
【分析】（1）根据等腰直角三角形性质及角度互余，得到相关等量关系，利用三角形全等的判定与性质即可得证；
（2）由（1）中全等三角形性质及等腰直角三角形性质可知是等腰三角形，利用等腰三角形“三线合一”即可得证；
（3）由垂直平分线的性质，结合（1）中，即可得到是等腰三角形．
【详解】（1）证明：在等腰直角三角形中，，，
，
，
，即，
，
在和 中，
，
，
；
（2）证明：由（1）中 得到，
是的中点，
，
，
，
，
在等腰直角三角形中，，则，
是等腰顶角的角平分线，
根据等腰三角形“三线合一”性质即可得到，则垂直平分；
（3）解：如图所示：
由（2）可知垂直平分，
，
由（1）可知，
，
是等腰三角形．
【点睛】本题考查三角形综合，涉及等腰直角三角形性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、中垂线的判定与性质等知识，熟记相关几何性质，灵活运用，掌握几何推论是解决问题的关键．
【变式1】（2023上·湖南永州·八年级统考期中）阅读下列内容：
已知直线l外一点P，下面是某兴趣小组设计的“过点P作直线l的垂线”．
步骤如下：①在直线l上取点A，B；
②分别以点A、B为圆心，、为半径作弧，两弧在直线l下方交于点Q；
③作直线．
结论：．
证明：连接．
由作法可知，∵______，
∴点A在线段的垂直平分线上；
∵______，
∴点B在线段的垂直平分线上：（____________）
∴直线是线段的垂直平分线．（两点确定一条直线）
∴．
解决下列问题：
(1)请将证明“”的过程补充完整；
(2)请直接写出图中全等的三角形有哪些？（不用写证明过程）
【答案】(1)，，到线段两端点距离相等的点在这条线段垂直平分线上
(2)，，
【分析】本题考查了作图-复杂作图，直线的性质：两点确定一条直线，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定等知识．
（1）根据作图过程和线段垂直平分线的性质即可完成证明；
（2）根据三角形全等的判定定理判断即可．
【详解】（1）证明：连接．
由作法可知，
∵，
∴点A在线段的垂直平分线上；
∵，
∴点B在线段的垂直平分线上：（到线段两端点距离相等的点在这条线段垂直平分线上），
∴直线是线段的垂直平分线．（两点确定一条直线）
∴．
故答案为：，，到线段两端点距离相等的点在这条线段垂直平分线上．
（2）解：，，．理由如下：
连接．
在与中，
，
，
，，
∴在与中，
，
，
，
同理，
图中全等的三角形有：，，．
【变式2】（2023上·吉林松原·八年级校联考期中）如图，在中，，，是的垂直平分线，交于点D、E,连接．
求证：
(1)是等边三角形；
(2)点E在线段的垂直平分线上．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】（1）根据直角三角形的两个锐角互余可得，根据含度角的直角三角形的性质可得，根据是的垂直平分线，可得，即可证明是等边三角形；
（2）根据垂直平分线的性质可得，进而可得平分，根据角平分线的性质可得，根据等边三角形的性质可得，即可得证．
【详解】（1）证明：在中，，，
，，
是的垂直平分线，
∴，
，
是等边三角形；
（2）证明：是的垂直平分线，
，
，则，
，
平分，
，
，
是等边三角形，
，
∴点E在线段的垂直平分线上．
【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，垂直平分线的性质与判定，角平分线的性质，等边三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【变式3】（2023上·湖北荆门·八年级统考期中）如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，，边的垂直平分线分别交，于点，，，的延长线交于点．
(1)试判断点是否在的垂直平分线上，并说明理由；
(2)若，求的周长；
(3)若，求的度数．
【答案】(1)点在的垂直平分线上，证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）连接，，，根据线段垂直平分线的性质可得，，从而可得，然后利用线段垂直平分线性质定理的逆定理即可解答.
（2）根据线段垂直平分线的性质可得，，然后利用三角形的周长公式以及等量代换可得的周长，即可解答；
（3）根据“等边对等角”得，由三角形内角和可得的度数.
【详解】（1）点在的垂直平分线上，理由如下：
连接，，．
∵，分别是，的垂直平分线，
∴，，
∴，
∴点在的垂直平分线上；
（2）∵，的垂直平分线分别交于点，，
∴，，
的周长；
（3）∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
同步一遍过
一、单选题
1．（2022上·江苏无锡·八年级校考阶段练习）到的三个顶点的距离相等的点P应是的三条（ ）的交点．
A．角平分线 B．垂直平分线 C．中线 D．高
【答案】B
【分析】根据垂直平分线的性质可直接进行求解．
【详解】解：由到的三个顶点的距离相等的点P应是的三条垂直平分线的交点；
故选B．
【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
2．（2022上·辽宁大连·八年级统考期末）如图，在中，直线为的垂直平分线，并交于点D，连接．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，则．
【详解】解：∵直线为的垂直平分线，
∴，
∴，
故选A．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟知在线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键．
3．（2022上·贵州安顺·九年级统考期末）如图，在中，，分别以A，B两点为圆心，大于为半径画弧，两弧交于M，N两点，直线交于点D，交于点E，若，则AC的长度为（ ）
A．9 B．6 C．6 D．3
【答案】A
【分析】由作法得垂直平分，利用线段垂直平分线的性质得，所以，再计算出得到，然后计算即可．
【详解】解：由作法得垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
故选：A．
【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．同时考查了含的直角三角形的性质，等腰三角形的性质．
4．（2022上·北京·八年级北京市广渠门中学校考期中）在平面直角坐标系内点A、点B的坐标是分别为（0,3）、（4,3），在坐标轴上找一点C，使是等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（ ）
A．5个 B．6个
C．7个 D．8个
【答案】C
【分析】要使△ABC是等腰三角形，可分三种情况（①若AC＝AB，②若BC＝BA，③若CA＝CB）讨论，通过画图就可解决问题．
【详解】解：如图：
①若AC＝AB，则以点A为圆心，AB为半径画圆，与坐标轴有4个交点；
②若BC＝BA，则以点B为圆心，BA为半径画圆，与坐标轴有2个交点（A点除外）；
③若CA＝CB，则点C在AB的垂直平分线上，
∵A（0，3），B（4，3），
∴AB∥x轴，
∴AB的垂直平分线与坐标轴只有1个交点．
综上所述：符合条件的点C的个数有7个．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定、圆的定义、垂直平分线的性质的逆定理等知识，还考查了动手操作的能力，运用分类讨论的思想是解决本题的关键．
5．（2022·河南濮阳·一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90，AC=2BC，分别以A、B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点M和N．作直线MN交AC于点E，连接BE，若CE＝3，则BE＝（ ）
A．5 B．4 C．3 D．6
【答案】A
【分析】设BC=x，则AC=2x，结合垂直平分线性质得到BE=AE=2x-3，根据勾股定理列方程即可.
【详解】解：设BC=x，则AC=2BC=2x，
∵MN垂直平分AB，
∴BE=AE=2x-3，
在直角△BCE中，∠C=90°，根据勾股定理得
，
解得x1=0（舍去），x2=4，
BE=AE=2x-3=5，
故选：A
【点睛】本题考查勾股定理得应用，勾股定理主要两个作用：①直角三角形中已知两边求第三边；②利用勾股定理作为等量关系列方程.
6．（2022上·广西崇左·八年级统考期末）已知：如图，是的边上的垂直平分线，D为垂足，交于点E，且，，则的周长等于（ ）
A．17 B．13 C．22 D．16
【答案】B
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EA=EB，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】解：∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴EA=EB，
∴△BEC的周长=BC+CE+EB=BC+CE+EA=BC+AC=4+9=13，
故选：B．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
7．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨风华中学校考期中）如图，在中，点E在边上，是的垂直平分线，的周长为19，的周长为12，则线段的长为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】C
【分析】由是的垂直平分线，可得，由的周长为19，的周长为12，可得，，根据，计算求解即可．
【详解】解：∵是的垂直平分线，
∴，
∵的周长为19，的周长为12，
∴，，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质．解题的关键在于正确表示线段之间的数量关系．
8．（2022·四川宜宾·统考二模）如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，若，则的面积为（ ）
A．16 B．32 C．48 D．64
【答案】D
【分析】由于CD：DB＝3：5，可设DC＝3x，BD＝5x，由于MN是线段AB的垂直平分线，故AD＝DB，AD＝5x，又知AC＝16，即可据此列方程解答．
【详解】解：∵CD：DB＝3：5，
∴设DC＝3x，BD＝5x，
又∵MN是线段AB的垂直平分线，
∴AD＝DB＝5x，
又∵AC＝16cm，
∴3x＋5x＝16，
解得，x＝2，
∴CD＝6，DB＝10，
在Rt△BDC中，CD＝6，DB＝10，BC＝，
∴△ABC的面积＝AC×BC＝×16×8＝64．
故选D．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、勾股定理、解直角三角形的相关知识，熟练掌握勾股定理，是解题的关键．
9．（2022上·福建厦门·八年级统考期末）如图，在四边形中，，，E，F分别是，上的点，当的周长最小时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】要使的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于和的对称点，，即可得出，即可得出答案．
【详解】解：作A关于和的对称点，，连接，交于，交于，
∴，，
∴，，
则即为的周长最小值，
，
，
，
，，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查的是轴对称最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出，的位置是解题关键．
10．（2022上·浙江宁波·八年级校考期中）如图，在中，，，D为的中点，P为上一点，E为延长线上一点，且．有下列结论：①；②为等边三角形：③；④．其中正确的结论是（ ）
A．①②④ B．①③ C．②④ D．①②③④
【答案】A
【分析】连接，由等腰三角形的性质和线段的中垂线性质即可判断①；由三角形内角和定理可求，可得，可判断②；过点A作，在上截取，由“”可证，延长至H，使，则点P关于的对称点H，连接，根据对称性质即可判断③；过点A作，在上截取，由三角形的面积的和差关系可判断④．
【详解】解：如图，连接，
∵，点D是的中点，
∴，，，
∴是的中垂线，
∴，而，
∴，
∴，，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴而，
∴是等边三角形，故②正确；
如图，延长至H，使，则点P关于的对称点为H，连接，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．故③错误；
过点A作，在上截取，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，且，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．故④正确．
所以其中正确的结论是①②④．
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，等边三角形的判定和性质，含30°的直角三角形的性质，垂直平分线的定义与性质，添加恰当辅助线是本题的关键．
二、填空题
11．（2022上·八年级课时练习）M、N、A、B是同一平面上的四个点，如果，，则点 、 在线段 的垂直平分线上．
【答案】 M N
【分析】根据到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上，可得点M、N都在AB的垂直平分线上．
【详解】解：∵
∴点M在线段的垂直平分线上，
∵，
∴点N在线段的垂直平分线上，即点M、N在线段的垂直平分线上．
故填M、N、AB．
【点睛】本题主要考查了线段的垂直平分线定理，掌握到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上是解答本题的关键．
12．（2023·广东梅州·统考一模）如图，在中，，以点C为圆心，长为半径作弧，交于点D，连接；再分别以点B和点D为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线交于点F，若，则线段的长为 ．
【答案】8
【分析】根据题意，得出垂直平分，再根据垂直平分线的性质，得出，，再根据含角的直角三角形的性质，得出，再根据勾股定理，计算得出，进而得出 ，再根据，计算得出 ，同理得出，再根据，即可得出答案．
【详解】解：由题意得：垂直平分，
∴，，
在中，
∵，
，
，
，
∴ ，
∴ ，
在中，
∵，
，
，
，
∴ ．
∴．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图、线段垂直平分线的性质、含的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解本题的关键．
13．（2023·湖南永州·统考二模）如图，在中，，，，分别以A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，直线与交于点D，则的长为 ．
【答案】
【分析】先根据作图痕迹判断出垂直平分，则，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：根据作图痕迹，垂直平分，则，
∵在中，，，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查尺规作图-作线段垂直平分线、勾股定理，判断出垂直平分是解答的关键．
14．（2022·浙江杭州·统考二模）如图，是直角三角形，是斜边，，，的垂直平分线分别交，于，，则的长为 ．
【答案】
【分析】连接AD，由垂直平分线的性质得到AD=BD，在△ACD中，建立勾股关系方程，可解．
【详解】如图，连接AD
由垂直平分线的性质可知
AD=BD
∵△ABC为直角三角形，AC=3，AB=5
∴BC=4
设AD为m，则CD=4-m
在Rt△ACD中
AD2=CD2+AC2
m2=（4-m）2+32
解得m=
故答案为
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质和勾股定理的计算，考查比较全面，是很好的基础型问题．
15．（2022上·浙江·八年级期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点D，连结，点P、Q分别是和上的动点，则的最小值是 ．
【答案】4.8
【分析】先根据垂直平分线的性质以及勾股定理可求得，，然后做辅助线，延长DC至点，使得，连接，，，过点作于点H，由此可得到当且仅当点，P，Q同时在H上时，取得最小值，最小值为的长，最后利用等积法计算的长即可求得答案．
【详解】解：∵的垂直平分线交于点D，
∴AD＝BD，
∵，
∴，
设AD＝BD＝x，则CD＝BC－BD＝8－x，
又∵AC＝4，
∴，
解得：，
∴，，
如图，延长DC至点，使得，连接，，，过点作于点H，
∵，，
∴AC垂直平分，
∴，
∴，
当且仅当点，P，Q同时在H上时，取得最小值，最小值为的长，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴的最小值为4.8，
故答案为：4.8．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质与判定，勾股定理以及等积法的应用，作出正确的辅助线，发现当且仅当点，P，Q同时在H上时，取得最小值，最小值为的长是解决本题的关键．
16．（2023下·湖北武汉·八年级统考期末）如图所示，在四边形中，，，，E为的中点，连结，若，则的度数为 ．
【答案】52
【分析】连接，延长、交于点F，作于G，得出，由平行线的性质得出，由线段垂直平分线的性质得出，证出，得出，证明得出，，得出，由等腰三角形的性质即可得出结果．
【详解】解：连接，延长、交于点F，作于G，
如图所示：
∵，，
∴，
∵E为的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：52．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、平行线的性质等知识；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
三、问答题
17．（2022上·辽宁葫芦岛·八年级校联考期中）如图，中，，，的垂直平分线分别交、于点、．求的度数．
【答案】
【分析】根据等腰三角形的性质求出，根据线段垂直平分线的性质得到，得到答案．
【详解】解： ，，
，
垂直平分，
，
，
【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
18．（2022上·八年级单元测试）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点．若，，求的长．
【答案】
【分析】根据垂直平分线的性质得到，再做差即可．
【详解】垂直平分线，
，
，
又，，
．
【点睛】本题考查利用垂直平分线性质进行边长计算，须注意线段位置，正确的计算是解题的关键．
19．（2022下·河南平顶山·七年级统考期末）如图，在四边形ABCD中，，E为CD的中点，连接AE、BE，，延长AE交BC的延长线于点F．
(1)请判断FC与AD的数量关系，并说明理由；
(2)若AB＝6，AD＝2，求BC的长度．
【答案】(1)FC=AD，理由见解析
(2)
【分析】（1）根据AD∥BC可知∠ADC=∠ECF，再根据E是CD的中点可求出△ADE≌△FCE，根据全等三角形的性质即可解答；
（2）根据全等三角形的性质、线段垂直平分线的性质判断出AB=BF，据此求解即可．
【详解】（1）解：FC=AD，理由如下：
∵AD∥BC（已知），
∴∠ADC=∠ECF（两直线平行，内错角相等），
∵E是CD的中点（已知），
∴DE=EC（中点的定义）．
在△ADE与△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（ASA），
∴FC=AD（全等三角形的性质）；
（2）解：∵△ADE≌△FCE，
∴AE=EF，AD=CF（全等三角形的对应边相等），
∵BE⊥AE，
∴BE是线段AF的垂直平分线，
∴AB=BF=BC+CF，
∴AB=BC+AD，
∵AB=6，AD=2，
∴BC=4．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
20．（2022上·江西吉安·八年级统考期末）如图，在△ABC中，已知AB=8，BC=12，AC=18，直线DE是线段AB的垂直平分线，已知线段DE=3．
（1）求CD的长；
（2）连接BD，△DBC为何种特殊三角形？并说明理由．
【答案】（1）DC=13；（2）△BCD是直角三角形；理由见解析．
【分析】（1）根据勾股定理求出AD，然后即可得到CD的长；
（2）由DE是线段AB的垂直平分线，求出BD的长，然后根据勾股定理的逆定理即可得到答案．
【详解】解：（1）∵DE是线段AB的垂直平分线，AB=8
∴AE=EB=4，∠AED=90°；
在直角△ADE中，AE=4，DE=3，
∴；
∵AC=18，
∴DC=AC-AD=13；
（2）△BCD是直角三角形．
理由如下：
∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴DB=AD=5；
在△BCD中，BD=5，BC=12，CD=13.
∵
∴
∴△BCD是直角三角形
【点睛】本题考查了线段的垂直平分线，勾股定理以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
21．（2022上·江苏淮安·八年级统考期中）如图，在△ABC中，边AC的垂直平分线DE交AB于E，∠A＝30°，∠B＝70°，求∠BCE的度数．
【答案】50°
【分析】根据三角形内角和定理求出∠ACB，根据线段垂直平分线性质求出AE=CE，再根据等腰三角形的性质求出∠ACE＝∠A，即可得出∠BCE的度数．
【详解】解：∵AC的垂直平分线DE，
∴AE＝CE，
∴∠ACE＝∠A＝30°，
∵∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝80°，
∴∠BCE＝∠ACB﹣∠ACE＝80°﹣30°＝50°．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
22．（2022上·江苏盐城·八年级统考期中）如图，在△ABC中，AC边的垂直平分线DM交AC于D，BC边的垂直平分线EN交BC于E，DM与EN相交于点F．
（1）若△CMN的周长为20cm，求AB的长；
（2）若∠MFN=70°，求∠MCN的度数．
【答案】（1）20cm；（2）40°
【分析】（1）根据垂直平分线的性质可求的AB的长等于△CMN得周长；
（2）根据垂直的性质可知∠CDF=∠CEF=90°，然后根据四边形的内角和求得∠ACB=110°，再根据三角形的内角和求得∠A+∠B=70°，最后根据垂等腰三角形的性质可求得结论．
【详解】解：（1）∵DM垂直平分AC，
∴AM=CM，
∵EN垂直平分BC，∴BN=CN，
∴C△CMN=CM+CN+MN= AM+BN+MN=AB=20cm．
（2）∵DM⊥AC，EN⊥BC，
∴∠CDF=∠CEF=90°，
∵∠MFN=70°，
∴∠ACB=110°，
∴∠A+∠B=70°，
∵AM=CM，BN=CN，
∴∠A=∠ACM，∠B=∠BCN，
∴∠ACM +∠BCN =70°，
∴∠MCN=110°-70°=40°．
23．（2023下·陕西汉中·七年级统考期末）如图，在中，线段的垂直平分线交于点D，交于点E，连接．
(1)若的周长是11，，求的周长；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由垂直平分得到，．由的周长，，则，即可得到的周长；
（2）由等边对等角得到，根据三角形内角和定理得到，则，由等边对等角即可得到的度数．
【详解】（1）解：∵垂直平分，
∴，．
∵的周长，，
∴，
∴的周长．
（2）∵，，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质是解题的关键．
四、作图题
24．（2022上·江苏泰州·八年级统考期末）如图，有一个长方形花园，对角线AC是一条小路，现要在AD边上找一个位置建报亭H，使报亭H到小路两端点A、C的距离相等．
（1）用尺规作图的方法，在图中找出报亭H的位置（不写作法，但需保留作图痕迹，交代作图结果）
（2）如果AD＝80m，CD＝40m，求报亭H到小路端点A的距离．
【答案】（1）详见解析；（2）报亭到小路端点A的距离50m．
【分析】(1)作AC的垂直平分线交AD与点H，进而得出答案；
(2)利用勾股定理以及线段垂直平分线的性质得出即可．
【详解】(1)如图所示：H点即为所求；
(2)根据作图可知：AH=HC，
设AH=xm，则DH=(80﹣x)m，HC=xm，
在Rt△DHC中，
，
∴，
解得：x=50，
答：报亭到小路端点A的距离50m．
【点睛】本题主要考查了应用设计与作图以及勾股定理和线段垂直平分线的性质和作法等知识，得出AH=HC，进而利用勾股定理得出是解题关键．
25．（2022上·北京·八年级校联考期末）如图，∠MON45°，点A是OM上一点，点B，C是ON上两点，且ABAC，作出点B关于OM对称的点D，连接AD，CD．
（1）按要求补全图形；
（2）判断∠DAC °；
（3）判断AD与DC的数量关系 ，并证明．
【答案】（1）见解析；（2）∠DAC=90°；（3），证明见解析.
【分析】（1）根据题意绘图即可.
（2）过A作AE⊥BC于E，证明∠OAE=45°，接着证明∠DAC=2∠OAE，得∠DAC＝90°.
（3）根据点B与点D关于AO对称，易得AD＝AB，AD＝AC再通过角的等量代换即可得到△ADC是等腰直角三角形，通过勾股定理即可得到
【详解】解：（1）如图
（2）∠DAC＝90°
理由：∵B点与D点关于OM对称，
∴∠DAO=∠BAO，
过A作AE⊥BC于E，
∵AB=AC，
∴∠BAE=∠CAE，∠OAE=∠MON=45°，
∴∠DAC=∠DAO＋∠BAO＋∠BAE＋∠CAE
=2∠OAE
=90°.
（3） DC=.
证明：∵点B与点D关于AO对称
∴BD被AO垂直平分
∴AD=AB
又∵AB=AC
∴AD=AC
∵∠ABC=∠ACB=∠O+∠OAB
∴∠BAC=90°－2∠OAB
∴∠DAC=90°
∴△ADC是等腰直角三角形
∴DC=.
【点睛】本题主要考查的是绘图、识图能力、垂直平分线的性质、等腰直角三角形性质、勾股定理，熟练掌握并运用是本题的解题关键.
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专题04 垂直平分线的性质与判定
考点类型
知识一遍过
（一）垂直平分线
（1）概念：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）
（2）性质：线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；
（3）判定：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
（二）尺规作图——垂直平分线
（1）过一点作已知线段的垂线
求作：AB的垂线，使它经过点C
作法：①以点C为圆心，大于到线段距离为半径作弧，交AB与点D、E。
②分别以点D、E为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点F。
③作直线CF，CF即为所求的直线
（2）作已知线段的垂直平分线
作法：①以A为圆心大于长为半径作弧，以B为圆心大于长为半径作弧,两弧交于C、D两点
②连接CD，即为所求
考点一遍过
考点1：垂直平分线的性质——求线段
典例1：（2023上·江苏常州·八年级统考期中）如图，在中，的垂直平分线分别交于点．若的周长为23，的周长为15，则的长是（ ）
A．8 B．6 C．5 D．4
【变式1】（2023上·江苏泰州·八年级统考期中）如图，在中，，线段的垂直平分线交于点N．若的周长是，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023上·河北石家庄·八年级统考期中）如图在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于、，直线交于点，交于点，连接，若，，则的周长是（ ）
A．19 B．24 C．31 D．34
【变式3】（2023上·山东菏泽·八年级统考期中）如图，在中，，的垂直平分线交于D，交于E．当时，下列结论不成立的是（ ）
A． B． C． D．
考点2：垂直平分线的性质——求角
典例2：（2023上·江苏泰州·八年级校考阶段练习）如图，在中，的平分线与的垂直平分线交于点P，连接，，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023上·湖北武汉·八年级统考期中）中，，点M在的内部，BM、MC的垂直平分线分别交AB、AC于点P、Q，若连接PQ恰好经过点M，则（ ）（用含的代数式表示）．
A． B． C． D．
【变式2】（2023上·山东威海·七年级校联考期中）如图，在中，，直线是的垂直平分线，E在上，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2023上·河北石家庄·八年级统考期中）如图，在锐角三角形中，直线为的垂直平分线，射线为的平分线，与相交于点，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
考点3：垂直平分线的性质——实际应用
典例3：（2023上·新疆伊犁·八年级统考期中）如图，兔子的三个洞口构成，猎狗想捕捉兔子，必须到三个洞口的距离都相等，则猎狗应蹲守在（ ）．
A．三条边的垂直平分线的交点 B．三个角的角平分线的交点
C．三角形三条高的交点 D．三角形三条中线的交点
【变式1】（2013上·贵州黔西·九年级统考期末）如图所示，现要在一块三角形草坪上建一凉亭供大家休息，使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A．三条角平分线的交点 B．三条高所在直线的交点
C．三条中线的交点 D．三边的垂直平分线的交点
【变式2】（2023上·江苏无锡·八年级统考期中）在正方形网格中，的位置如图所示，且顶点在格点上，在内部有、、、四个格点，到三个顶点距离相等的点是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【变式3】（2022上·河南鹤壁·八年级统考期末）如图，有三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一所小学，使小学到三个小区的距离相等，则小学应建在（ ）
A．两内角的平分线的交点处 B．两边高线的交点处
C．两边中线的交点处 D．两边垂直平分线的交点处
考点4：垂直平分线的性质——综合应用
典例4：（2023上·陕西延安·八年级校联考期中）如图，在中，为内一点，过点的直线分别交、于点，，若在的垂直平分线上，在的垂直平分线上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023上·重庆江津·八年级校联考期中）如图，中，的平分线与边的垂直平分线相交于D，交的延长线于E，于F，现有下列结论：①；②；③平分；④；其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式2】（2023上·湖北荆门·八年级校联考期末）如图，在等腰中，，，的平分线与的中垂线交于点O，点C沿折叠后与点O重合，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2023上·广西贵港·八年级统考期中）如图，在中，垂直平分边，垂足为的平分线交于点，交的延长线于点交于点．下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
考点5：垂直平分线的判定
典例5：（2023上·北京海淀·八年级校考期中）如图，四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，根据所学知识，下列选项中正确的一项是（ ）
A．与互相垂直平分 B．垂直平分
C．平分一组对角 D．平分一组对角
【变式1】（2023下·陕西西安·八年级西安市曲江第一中学校考期末）如图，在四边形中，，，，点E在上，连接相交于点F，．若，则的长为（ ）
A．8 B．6 C．5 D．4
【变式2】（2022上·陕西渭南·八年级统考期中）如图，已知等腰，于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，，连接PC，下面的结论：①点O在BP的垂直平分线上；②；③；④是等边三角形，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式3】（2022上·福建福州·八年级统考期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，尺规作图：（1）分别以B，C为圆心，BC长为半径作弧，两弧交于点D；（2）连接DB、DA、DC，DA交BC于点E，则下列结论中错误的是（ ）
A．AD垂直平分BC
B．S四边形ABDC＝AD BC
C．若∠BAC＝120°，则DE＝3AE
D．若∠BAC＝60°，则BC垂直平分AD
考点6：尺规作图——垂直平分线
典例6：（2023上·广东珠海·八年级珠海市第九中学校考期中）如图，在中，，．
(1)尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交，于点和点，连接；（不写作法，保留作图浪迹）
(2)求证：．
【变式1】（2023上·辽宁抚顺·八年级统考期中）如图，已知．
(1)用尺规作图作出边上的高（保留作图痕迹，不写作法）．
(2)若，，求的面积．
【变式2】（2023上·江苏泰州·八年级校考阶段练习）已知三角形纸片（如图），将纸片折叠，使点A与点重合，折痕分别与边、交于点、，点关于直线的对称点为点．
(1)尺规作图：请画出直线和点F；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)连接、，如果，求的度数．
【变式3】（2023上·浙江杭州·八年级校考期中）如图，在中，．
(1)尺规作图在边上求作一点，使，并连接；(不写作法，保留作图痕迹)；
(2)在(1)的条件下，当，时，求的周长．
考点7：垂直平分线的性质与判定综合
典例7：（2023上·湖南怀化·八年级统考期中）如图所示，是等腰直角三角形，，是的中点，于，交直线于，连接交于．
(1)求证：；
(2)求证：垂直平分；
(3)连接，请判断的形状．
【变式1】（2023上·湖南永州·八年级统考期中）阅读下列内容：
已知直线l外一点P，下面是某兴趣小组设计的“过点P作直线l的垂线”．
步骤如下：①在直线l上取点A，B；
②分别以点A、B为圆心，、为半径作弧，两弧在直线l下方交于点Q；
③作直线．
结论：．
证明：连接．
由作法可知，∵______，
∴点A在线段的垂直平分线上；
∵______，
∴点B在线段的垂直平分线上：（____________）
∴直线是线段的垂直平分线．（两点确定一条直线）
∴．
解决下列问题：
(1)请将证明“”的过程补充完整；
(2)请直接写出图中全等的三角形有哪些？（不用写证明过程）
【变式2】（2023上·吉林松原·八年级校联考期中）如图，在中，，，是的垂直平分线，交于点D、E,连接．
求证：
(1)是等边三角形；
(2)点E在线段的垂直平分线上．
【变式3】（2023上·湖北荆门·八年级统考期中）如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，，边的垂直平分线分别交，于点，，，的延长线交于点．
(1)试判断点是否在的垂直平分线上，并说明理由；
(2)若，求的周长；
(3)若，求的度数．
同步一遍过
一、单选题
1．（2022上·江苏无锡·八年级校考阶段练习）到的三个顶点的距离相等的点P应是的三条（ ）的交点．
A．角平分线 B．垂直平分线 C．中线 D．高
2．（2022上·辽宁大连·八年级统考期末）如图，在中，直线为的垂直平分线，并交于点D，连接．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022上·贵州安顺·九年级统考期末）如图，在中，，分别以A，B两点为圆心，大于为半径画弧，两弧交于M，N两点，直线交于点D，交于点E，若，则AC的长度为（ ）
A．9 B．6 C．6 D．3
4．（2022上·北京·八年级北京市广渠门中学校考期中）在平面直角坐标系内点A、点B的坐标是分别为（0,3）、（4,3），在坐标轴上找一点C，使是等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
5．（2022·河南濮阳·一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90，AC=2BC，分别以A、B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点M和N．作直线MN交AC于点E，连接BE，若CE＝3，则BE＝（ ）
A．5 B．4 C．3 D．6
6．（2022上·广西崇左·八年级统考期末）已知：如图，是的边上的垂直平分线，D为垂足，交于点E，且，，则的周长等于（ ）
A．17 B．13 C．22 D．16
7．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨风华中学校考期中）如图，在中，点E在边上，是的垂直平分线，的周长为19，的周长为12，则线段的长为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
8．（2022·四川宜宾·统考二模）如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，若，则的面积为（ ）
A．16 B．32 C．48 D．64
9．（2022上·福建厦门·八年级统考期末）如图，在四边形中，，，E，F分别是，上的点，当的周长最小时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．（2022上·浙江宁波·八年级校考期中）如图，在中，，，D为的中点，P为上一点，E为延长线上一点，且．有下列结论：①；②为等边三角形：③；④．其中正确的结论是（ ）
A．①②④ B．①③ C．②④ D．①②③④
二、填空题
11．（2022上·八年级课时练习）M、N、A、B是同一平面上的四个点，如果，，则点 、 在线段 的垂直平分线上．
12．（2023·广东梅州·统考一模）如图，在中，，以点C为圆心，长为半径作弧，交于点D，连接；再分别以点B和点D为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线交于点F，若，则线段的长为 ．
13．（2023·湖南永州·统考二模）如图，在中，，，，分别以A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，直线与交于点D，则的长为 ．
14．（2022·浙江杭州·统考二模）如图，是直角三角形，是斜边，，，的垂直平分线分别交，于，，则的长为 ．
15．（2022上·浙江·八年级期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点D，连结，点P、Q分别是和上的动点，则的最小值是 ．
16．（2023下·湖北武汉·八年级统考期末）如图所示，在四边形中，，，，E为的中点，连结，若，则的度数为 ．
三、问答题
17．（2022上·辽宁葫芦岛·八年级校联考期中）如图，中，，，的垂直平分线分别交、于点、．求的度数．
18．（2022上·八年级单元测试）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点．若，，求的长．
19．（2022下·河南平顶山·七年级统考期末）如图，在四边形ABCD中，，E为CD的中点，连接AE、BE，，延长AE交BC的延长线于点F．
(1)请判断FC与AD的数量关系，并说明理由；
(2)若AB＝6，AD＝2，求BC的长度．
20．（2022上·江西吉安·八年级统考期末）如图，在△ABC中，已知AB=8，BC=12，AC=18，直线DE是线段AB的垂直平分线，已知线段DE=3．
（1）求CD的长；
（2）连接BD，△DBC为何种特殊三角形？并说明理由．
21．（2022上·江苏淮安·八年级统考期中）如图，在△ABC中，边AC的垂直平分线DE交AB于E，∠A＝30°，∠B＝70°，求∠BCE的度数．
22．（2022上·江苏盐城·八年级统考期中）如图，在△ABC中，AC边的垂直平分线DM交AC于D，BC边的垂直平分线EN交BC于E，DM与EN相交于点F．
（1）若△CMN的周长为20cm，求AB的长；
（2）若∠MFN=70°，求∠MCN的度数．
23．（2023下·陕西汉中·七年级统考期末）如图，在中，线段的垂直平分线交于点D，交于点E，连接．
(1)若的周长是11，，求的周长；
(2)若，，求的度数．
四、作图题
24．（2022上·江苏泰州·八年级统考期末）如图，有一个长方形花园，对角线AC是一条小路，现要在AD边上找一个位置建报亭H，使报亭H到小路两端点A、C的距离相等．
（1）用尺规作图的方法，在图中找出报亭H的位置（不写作法，但需保留作图痕迹，交代作图结果）
（2）如果AD＝80m，CD＝40m，求报亭H到小路端点A的距离．
25．（2022上·北京·八年级校联考期末）如图，∠MON45°，点A是OM上一点，点B，C是ON上两点，且ABAC，作出点B关于OM对称的点D，连接AD，CD．
（1）按要求补全图形；
（2）判断∠DAC °；
（3）判断AD与DC的数量关系 ，并证明．
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