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专题05 角平分线的性质与判定
考点类型
知识一遍过
（一）角平分线的性质
（1）概念：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
（2）角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等；
数学语言：
∵∠MOP=∠NOP，PA⊥OM PB⊥ON
∴PA=PB
（二）角平分线的判定
（1）判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上．
数学语言：
∵PA⊥OM PB⊥ON PA=PB
∴∠MOP=∠NOP
（三）尺规作图——角平分线
作法：①在OA和OB上分别截取OD、OE，使OD=OE。
②分别以D、E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C
③作射线OC，则OC就是∠AOB的平分线
考点一遍过
考点1：角平分线的性质——求线段
典例1：（2023上·江苏南京·八年级校联考期中）如图，点在的平分线上（不与点重合），于点，，若是边上任意一点，连接，则下列关于线段的说法一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点到的距离为，再根据垂线段最短解答．
【详解】解：∵点在的平分线上，，，
∴点到边的距离等于，
∴点到的距离为，
∵点是边上的任意一点，
∴的最小值为3，即．
故选：D．
【点睛】本题考查角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键．
【变式1】（2023上·江苏南京·八年级校联考期中）如图，在中，，平分，交于点，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过点作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，然后利用的面积列式计算即可得解．
【详解】解：如图，过点作于，
∵，平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴的长为．
故选：C．
【点睛】本题考查角平分线的性质、三角形的面积公式的运用．解题的关键是作辅助线，利用角平分线的性质进行计算．
【变式2】（2023上·湖南长沙·八年级校考期中）如图，在中，是的平分线，，，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是角平分线的性质及三角形的面积公式，由角平分线的性质及三角形的面积公式作出辅助线是解答此题的关键．作于，于，由角平分线的性质可知，，再由三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：作于，于，
是的平分线，
，
．
故选：D．
【变式3】（2023上·四川绵阳·八年级统考期中）如图，是的角平分线，于点E，，，，则（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】C
【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．作于F，如图，根据角平分线的性质得，再利用三角形面积公式得到，然后解方程即可．
【详解】解：作于F，如图，
∵是的角平分线，，，
∴，
∵，
∴
∴．
故选：C．
考点2：角平分线的性质——求角
典例2：（2023上·湖北·八年级校联考期中）如图，在中，，，点在的延长线上，的平分线与的平分线相交于点，连接，则度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了角平线的性质和判定，三角形的外角性质，过点分别作，，，可证到，得到平分，再利用三角形外角性质即可求解，熟练掌握这些性质是解题的关键．
【详解】解：过点分别作，，，垂足分别是点，
∵平分，，，
∴，
同理可得，，
∴，
∵，，
∴平分，
∵，，
∴，
∴，
故选：．
【变式1】（2022下·四川巴中·七年级统考期末）如图：已知，BD、CD、BE分别平分的内角、外角、外角，其中点D、C、E在同一条直线上，以下结论：错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出和的外角，再由角平分线定义求出∠∠∠从而求出，由D、C、E在同一条直线上可求出∠，由三角形内角和定理可得，由直角三角形两锐角互余可得，再进行判断即可得到结论．
【详解】解：在△中，∠
∴∠
∵是∠的平分线，是∠的平分线，是∠的平分线，
∴∠
∠
∠
∴∠
∵D、C、E在同一条直线上，
∴∠，
∵∠
∴∠
∵∠，
∴∠，
∴∠
∴选项A，B，D正确，选项C错误，
故选：C
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．
【变式2】（2023上·四川绵阳·八年级统考阶段练习）如图，分别平分的外角，内角，以下结论：①；②；③．其中正确的有（ ）
A．①③ B．②③ C．①②③ D．①②
【答案】D
【详解】根据角平分线的定义和三角形的外角性质得出可判断①正确；再根据平行线的性质和角平分线的定义得出可判断②正确；根据等腰三角形的三线合一性质可判断③错误，进而可得答案．
解：如图，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，故①正确；
∴，
∵平分，
∴，
∴，故②正确；
∵平分，
∴只有当时，，故③错误，
综上，正确的有①②，
故选：D．
【点睛】本题考查角平分线的定义、三角形的外角性质、平行线的判定与性质、三角形的内角和定理、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，并正确推理是解答的关键．
【变式3】（2022·河北石家庄·校考二模）如图，有一锐角三角形纸张，其中，现将折至，使点与点重合，之后将三角形还原，再将折至，使点与点重合，之后将三角形还原．若两次的折线交于点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由已知，P是AC、AB垂直平分线的交点，连结PB、PC、AP并延长AP交BC于点D后根据垂直平分线的性质、三角形外角性质和等边对等角可以得到解答．
【详解】解：如图，由已知，P是AC、AB垂直平分线的交点，连结PB、PC、AP并延长AP交BC于点D，
根据垂直平分线的性质，PB=PA，∴∠PAB=∠PBA，∴∠BPD=∠PAB+∠PBA=2∠PAB，
同理可得：∠DPC=2∠PAC，
∴∠BPC=∠BPD+∠DPC=2∠PAB+2∠PAC=2(∠PAB+∠PAC)=2∠BAC=140°，
故选D．
【点睛】本题考查三角形的应用，灵活运用垂直平分线的性质、三角形外角性质和等边对等角求解是解题关键．
考点3：角平分线的性质——求面积
典例3：（2022上·北京东城·八年级统考期末）如图所示，点O是内一点，平分，于点D，连接，若，，则的面积是（ ）
A．20 B．30 C．50 D．100
【答案】C
【分析】根据角平分线的性质求出，最后用三角形的面积公式即可解答．
【详解】解：过O作于点E，
∵平分，，
∴，
∴的面积，
故选：C．
【点睛】此题考查角平分线的性
故选：C．
【点睛】此题考查了角平分线的性质．注意掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，注意数形结合思想的应用，小心漏解．
【变式1】（2023上·山东菏泽·八年级统考期中）如图，的三边、，的长分别是、、，点为三内角平分线的交点，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了角平分线上的一点到两边的距离相等的性质及三角形的面积公式；利用角平分线上的一点到角两边的距离相等的性质，可知三个三角形高相等，底分别是、、，所以面积之比就是．
【详解】过点作于，于，于，
点是内心，
，
∴
：：
：：，
故选：B．
【变式2】（2023上·湖北武汉·八年级统考期中）如图，在中，平分，延长至点，使，连接． 若，则为（ ）．
A．12 B．16 C．18 D．20
【答案】C
【分析】本题主要考查了角平分线的性质、三角形面积公式，作于，于，利用角平分线的性质可得，再运用等高的两个三角形面积比等于底之比即可得出答案．
【详解】解：如图，作于，于，
平分，，，
，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
【变式3】（2023上·江苏徐州·八年级校考期中）如图，在四边形中，，对角线平分，若，则的面积为（ ）
A．6 B． C． D．
【答案】B
【分析】过点D作于点E，根据角平分线的性质定理得到，根据三角形面积公式即可得到答案．熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键．
【详解】解：过点D作于点E，
∵，对角线平分，，
∴，
∴
∴，
故选：B
考点4：角平分线的性质——实际应用
典例4：（2023上·北京·八年级校考期中）为进一步美化校园，我校计划在校园绿化区增设3条绿化带，如图所示，绿化带，绿化带交绿化带于，交绿化带于．若要建一喷灌处到三条绿化带的距离相等，则可供选择的喷灌处修建点有（ ）
A．4处 B．3处 C．2处 D．1处
【答案】C
【分析】由角平分线的交点到角边的距离相等，两同旁内角平分线的交点满足条件；这样的点有2个，可得可供选择的地址有2个．
【详解】解：∵和的平分线的交点到、、距离相等，
∴这两个角的平分线的交点满足条件；
∵和的平分线的交点到、、距离相等，
∴这两个角的平分线的交点满足条件；
∴满足这条件的点有2个；
如图：点P是两条外角平分线的交点，
过点P作于，于，于，
∴，，
∴，
∴点P到的三边的距离相等，
∴两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有3个；
综上，到三条公路的距离相等的点共有4个，
∴可供选择的地址有4处．
故选：D．
【变式1】（2023上·湖北武汉·八年级统考期中）如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路旁边的平地上修建一个游客中心，要使这个游客中心到三条公路的距离相等，游客中心可以选择的位置有（ ）种
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】D
【分析】本题考查了角平分线的性质．注意掌握角平分线上的点到角两边的距离相等的应用，三角形内角平分线的交点满足条件；然后利用角平分线的性质，可证得三角形两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，这样的点有3个，进而可得可供选择的地址共有4个．
【详解】解：∵内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，
∴内角平分线的交点满足条件；
质，关键是根据角平分线的性质得到．
【变式2】（2023上·黑龙江绥化·八年级校考期中）三条公路将三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（ ）
A．三条高的交点 B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点
【答案】C
【分析】本题考查了角平分线的性质，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，即可得到答案，熟练掌握角平分线的性质是解此题的关键．
【详解】解：在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，
根据角平分线的性质，集贸市场应建在的角平分线的交点处，
故选：C．
【变式3】（2022上·山西吕梁·九年级统考阶段练习）黄河社区是由三条路围成的小型社区，现在越来越多的人们选择购买电动汽车，为了让生活设施跟上时代的发展，黄河社区准备在社区内修建一个电动车充电点．现社区人员计划将充电点建设在到三条路的距离相等的位置，则充电点应该建在三角形（ ）
A．三个角的平分线的交点处 B．三条中线的交点处
C．三条高线的交点处 D．三条边的垂直平分线的交点处
【答案】A
【分析】根据角平分线的性质定理的逆定理，即可解答．
【详解】解：现社区人员计划将充电点建设在到三条路的距离相等的位置，则充电点应该建在三角形三个角的平分线的交点处，
故选：A．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质定理的逆定理是解题的关键．
考点5：角平分线与等边三角形
典例5：（2022下·陕西西安·七年级西安市第三中学校联考阶段练习）如图，已知点B是AC边上的动点（不与A、C重合），在AC的同侧作等边△ABD和等边△BCE，连接AE，CD，下列结论正确的个数有（ ）
①△ABE≌△DBC；②∠CHE＝60°；③△AGB≌△DFB；④；⑤△BFG是等边三角形；⑥BH平分∠AHC；⑦AH＝DH＋BH
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【答案】D
【分析】根据全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质及各角之间的数量关系依次判断即可.
【详解】解：∵ ABD、 BCE为等边三角形，
∴AB=DB，∠ABD=∠CBE=60°，BE=BC，
∴∠DBE=60°，
∴∠ABE=∠DBC，
在 ABE和 DBC中，
∴ ABE DBC，故①正确；
∴∠BAE=∠BDC，
∴∠CHE=∠BAE+∠BCD，
∴∠CHE=∠BDC+∠BCD=∠ABD=60°，故②正确，
在 AGB和 DFB中，
∴ AGB DFB，故③正确，
∴BG=BF，
∵∠DBF=60°，
∴ GBF是等边三角形，故⑤正确，
∴∠BGF=60°=∠ABD，
∴GF//AC，故④正确，
∵ ABE DBC，
∴AE和DC边上的高相等，
即B点到AE和DC的距离相等，
∴BH平分∠AHC，所以⑥正确；
如图，在AE上截取AN=DH，连接BN
在 ABN和 DBH中，
∴ ABN DBH，
∴BN=BH，∠ABN=∠DBH，
∴∠ABN+∠DBN=∠DBH+∠DBN=∠NBH=∠ABD=60°
∴ BNH是等边三角形，
∴BH=NH，
∴AH=AN+NH=DH+BH，故⑦正确，
故选：D.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质与判定，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键.
【变式1】（2022下·重庆·七年级重庆一中校考期末）如图，等边中，、分别为、边上的点，=，连接、交于点，、的平分线交于边上的点，与交于点，连接．下列说法：①；②；③；④；⑤，其中正确的说法有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】A
【分析】①正确．根据证明三角形全等即可．②正确．证明，即可．③正确．证明，即可．④正确．过点作于，于，于，想办法证明，即可．⑤正确．由题意，，因为，推出，又因为，由此可得结论．
【详解】解：是等边三角形，
，，
在和中，
，
，故①正确，
，
，
，
，
，
，
、的平分线交于边上的点，
，，
，
，故②正确，
平分，平分，
同法可得，
，
，
，故③正确，
过点作于，于，于，
平分，平分，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，故④正确，
，
，
，
，
，故⑤正确，
故选：．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
【变式2】（2023上·北京西城·八年级北师大实验中学校考期中）如图，在等边和等边中，B，C，D三点共线，与，与，与分别交于点F，点H，点G，下列四个结论中：①；②平分；③；④．所有正确的结论是（ ）
A．①② B．①③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】D
【分析】根据等边三角形的性质，利用可证明，可判断①；过点C作于点G，于点H，根据全等三角形的性质可得，即可判断②；证明，得出，证明为等边三角形，得出，得出，可判断③；在上截取，证明，得出，，证明为等边三角形，得出，可判断④．
【详解】解：在等边中，，，
在等边中，，，
∵B、C、D共线，
∴，，
即，
在与中，
，
∴，
∴，故①正确；
过点C作于点N，于点M，如图所示：
∵，
∴，，
即，
∴，
∴平分，故②正确；
∵，B、C、D共线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴，故③正确；
在上截取，如图所示：
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，故④正确，
综上所述，正确的有①②③④．
故选：D．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，三角形的面积等知识，本题综合性较强，难度较大．
【变式3】（2022上·安徽黄山·八年级统考期末）如图，已知等边和等边，点在的延长线上，的延长线交于点，连接，有下列结论：
①； ②； ③平分； ④，其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【分析】证明得到，即可判断①；由，得到，再由，推出，即可判断②；过点B作于N， 于F，证明得到，得到平分，即可判定③；在上截取 ，连接 ，先证明，即可证明得到，推出为等边三角形，则 ， ，即可判断④．
【详解】证明：①∵等边和等边，
∴，，，
在和中，
∴，
∴，故①符合题意；
②∵，
∴，
∵，
则，故②符合题意；
③过点B作于N， 于F，
∵，
∴，
在 和中，
，
∴，
∴，
∴平分，故③符合题意；
④在上截取，连接 ，
由②知，
∴，
由③知：平分，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和 中
∴，
∴，
∴为等边三角形，则， 故 ，
故④符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质与判定，角平分线的判定等知识，解题关键是作出合适的辅助线，熟练掌握全等三角形的性质与判定方法．
考点6：角平分线判定
典例6：（2023上·河南洛阳·八年级校考期中）如图，在和中，，，，，连接，连接．下列结论：①；②；③；④平分．其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据“”证明，得，可判断①正确；
设交于点G，因为，所以，可判断②正确；
作于点I，于点J，由得，即可证明平分，可判断④正确；
假设，利用等量代换可得，由，，得，即可推导出，得，与已知条件相矛盾，可判断③错误，于是得到问题的答案．
【详解】解：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
故①正确；
设交于点G，
∴，
故②正确；
作于点I，于点J，
∵，
∴，
∴，
∴点A在的平分线上，
∴平分，
故④正确；
假设，则，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，与已知条件相矛盾，
∴，
故③错误，
∴①②④这3个结论正确，
故选：C．
【点睛】本题重点考查全等三角形的判定与性质、根据面积等式证明线段相等、角平分线的判定、三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
【变式1】（2023上·广东广州·八年级广州市南武中学校联考期中）如图，四边形中，对角线平分，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了角平分线的定义、角平分线的性质和判定、三角形外角的定义及性质，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解此题的关键．作于，于，于，根据角平分线的性质可得，再由三角形外角的性质及角平分线的定义可得，即可得到答案．
【详解】解：如图，作于，于，于，
，
平分，，，
，
，,
，，
，
平分，
，，
，
，
平分，
，
平分，
，
，
故选：B．
【变式2】（2022上·广西南宁·八年级校考阶段练习）如图，的角平分线交于点，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】过点D作于点M，于点N，于点P，根据角平分线的性质得出，，证明，根据角平分线的判定得出平分，即可得出答案．
【详解】解：过点D作于点M，于点N，于点P，如图所示：
∵分别为的角平分线，
∴，，
∴，
∴平分，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了角平分线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握角平分线的判定得出平分．
【变式3】（2023上·河南周口·八年级校联考阶段练习）如图，已知点是内一点，且，，垂足分别为，，作射线，若，则的度数为（ ）
A．22° B．30° C．32° D．68°
【答案】A
【分析】根据直角三角形的两锐角互余可以求出，再根据角平分线的判定得到解题即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
故选A
【点睛】本题考查角平分线的判定，直角三角形的两锐角互余，掌握角平分线的判定是解题的关键．
考点7：尺规作图——角平分线
典例7：（2023上·云南昆明·八年级云南省昆明市第二中学校联考期中）如图，在中，，E是的中点．
(1)实践与操作：尺规作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）．
①作的平分线；
②连接并延长，交于点F．
(2)猜想与证明：试猜想与有怎样的数量关系，并证明你的结论．
【答案】(1)见解析
(2)，，见解析
【分析】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质．
（1）①以点A为圆心，任意长为半径画弧，交于两点；再以两点为圆心，大于两点之间的距离为半径画弧，两弧相交于一点，连接点A和两弧交点，即为所求；②延长交于F点；
（2）利用等腰三角形的性质和三角形外角性质证明，从而得到，然后证明得到．
【详解】（1）解：①如图，为所作；
②为所作；
（2）解：，．
理由如下：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∵E是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【变式1】（2023上·新疆伊犁·八年级统考期中）尺规画图：（不写作法，保留作图痕迹．）
如图，在中，已知其周长为．
(1)在中，用直尺和圆规作边的垂直平分线分别交、于点D，E；
(2)画的平分线交于点F；
(3)连接，若为，求的周长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了基本作图，垂直平分线和角平分线；
（1）根据“作线段的垂直平分线的基本作法”作图；
（2）根据“作角平分线的基本作法”作图；
（3）根据线段的垂直平分线的性质求解．
解题的关键是掌握常见的几种基本作图，垂直平分线的性质．
【详解】（1）解：点D、E即为所求；
（2）解：点F即为所求；
（3）解：∵垂直平分，
∴，，
∵中的周长为：，
∴，
∴，
即的周长为：．
【变式2】（2023上·山东济宁·八年级统考期中）如图，已知．
(1)尺规作图：作的平分线，与边相交于点D（保留作图痕迹）；
(2)若，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图，角平分线的定义，全等三角形的性质与判定，等边对等角，三角形外角的性质等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
（1）根据角平分线的尺规作图方法作图即可；
（2）如图所示，在上取一点H使得，连接，证明，进而证明得到，再根据线段的和差关系即可得到结论．
【详解】（1）解：如图所示，点D即为所求；
（2）证明：如图所示，在上取一点H使得，连接，
∴，
∴，
∵，
∴，
由角平分线的定义可得，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【变式3】（2023上·河北石家庄·八年级统考期中）如图，已知．
(1)尺规作图，作的角平分线交于点（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)如果，，的面积为18，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了作图——角平分线，角平分线的性质，三角形面积，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键．
（1）根据角平分线的作法作图即可；
（2）过点作、，根据角平分线的性质，得到，再根据三角形面积公式，求得，即可求出的面积．
【详解】（1）解：如图即为所求作；
（2）解：如图，过点作交与点，作交与点，
平分，
，
的面积为18，
，
，，
，
，
．
考点8：角平分线的性质与判定综合
典例8：（2023上·云南曲靖·八年级校考期中）如图，中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为，且，连接．
(1)求证：平分；
(2)若，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）过点E作于G，于H，先通过计算得出，根据角平分线的判定与性质得，则，由到角两边距离相等的点在角的平分线上结论得证；
（2）设，则，根据，即：，求得，，根据，计算求解即可．
【详解】（1）明：如图，过点E作于G，于H，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为的平分线，
又，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴点E在的平分线上，
∴平分；
（2）解：设，则，
∴，即：，
解得，，
∴，
∴的面积为．
【点睛】本题主要考查了角平分线的判定与性质，三角形内角和定理，三角形的高．熟练掌握：角平分线上的点到角的两边距离相等，到角两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键．
【变式1】（2023上·天津南开·八年级南开中学校考期中）如图，中，点在边延长线上，的平分线交于点，过点作垂足为，且
(1)求的度数；
(2)求证： 平分
(3)若，且求的面积．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质，三角形内角和定理的应用；
（1）先求出，再根据直角三角形的两个锐角互余可得，然后根据即可得；
（2）过点作于点，作于点，先根据角平分线的性质可得，从而可得，再根据角平分线的判定即可得证；
（3）过点作于点，作于点，则，设，再根据和三角形的面积公式可得的值，从而可得的值，然后利用三角形的面积公式即可得．
【详解】（1）解：，
，
，
，
．
（2）证明：如图，过点作于点，作于点，
平分，，
，
由（1）可知，，即平分，
，
，
又点在的内部，
平分．
（3）解：如图，过点作于点，作于点，
由（2）已得：，
设，
，
，
，即，
又，
，
，
，
的面积为．
【变式2】（2023上·湖北武汉·八年级统考期中）在中，、分别平分、．
(1)如图1，若，则________；
(2)如图2，连结，求证：平分；
(3)如图3，若，，，求的长．
【答案】(1)；
(2)见解析；
(3)3；
【分析】（1）本题考查与角平分线有关的三角形内角和关系，根据得到，再结合角平分线求出，即可得到答案；
（2）本题考查角平分线判定与性质，过作，，，根据角平分线性质得到，结合角平分线的判定即可证明；
（3）本题主要考查三角形全等的性质与判定，解题的关键是根据截长补短作出辅助线，在上截取一点D，使，连，证明，即可得到答案；
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵、分别平分、，
∴，
∴；
（2）证明：过作，，，
∵、分别平分、，
∴，，
∴，
∴平分 ；
（3）解：在上截取一点D，使，连，
设，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵平分，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【变式3】（2023上·江苏扬州·八年级高邮市南海中学校考阶段练习）如图，中，点在边延长线上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且．
(1)直接写出的度数 ；
(2)求证：平分；
(3)若，，且，求的面积．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据邻补角的定义和垂直的定义可得、，进而得到,然后根据即可解答；
（2）如图：过点分别作于，与，根据角平分线的性质定理以及角平分线的定义可得、平分、，最后根据角平分线的判定定理即可解答；
（3）根据结合已知条件可得，最后运用三角形的面积公式即可解答．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）证明：如图：过点分别作于，与，
∵平分，
∴，
∵，
∴平分，
∴，
∴，
∴平分．
（3）解：∵，
∴，
即，解得，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了邻补角的性质、角平分线的性质与判定定理、三角形的面积等知识点，灵活运用相关知识点成为解答本题的关键．
同步一遍过
一、单选题
1．（2022上·北京·八年级北京市文汇中学校考期中）如图，在中，，是的平分线，交于点D，若，，面积是（ ）
A．2 B．5 C．10 D．20
【答案】B
【分析】由已知条件，根据角平分线的性质，边上的高等于的长2，再由三角形的面积公式求得的面积．
【详解】解：∵是的平分线，，
∴点D到的距离为的长，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了角平分线的性质和三角形面积的计算．本题比较简单，直接应用角平分线的性质进行解题，属于基础题．
2．（2022上·湖北十堰·八年级十堰市实验中学校考阶段练习）下列说法中错误的是（ ）
A．三角形的三条中线交于一点 B．三角形任意两外角平分线的交点到三边的距离相等
C．三角形具有稳定性 D．形状完全相同的两个三角形全等
【答案】D
【分析】根据三角形的中线，角平分线的性质，三角形的稳定性以及全等三角形的概念分别判断．
【详解】解：A、三角形的三条中线交于一点，故正确，不合题意；
B、三角形任意两外角平分线的交点到三边的距离相等，故正确，不合题意；
C、三角形具有稳定性，故正确，不合题意；
D、大小，形状完全相同的两个三角形全等，故错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的中线，角平分线的性质，三角形的稳定性以及全等三角形的概念，属于基础几何知识，熟记各性质是解题的关键．
3．（2022上·北京海淀·八年级海淀实验中学校考期中）如图，平分，于点A，点Q是射线上的一个动点．若，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】由垂线段最短可知：的最小值为点到射线的垂线段的长度； 根据角平分线的性质定理求解即可；
【详解】解：当时，有最小值；
∵平分，
∴
故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线的性质定理、垂线段最短；熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键．
4．（2023上·湖北荆州·八年级统考期中）如图，已知平分，于点E，，，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】本题考查了角平分线的性质、平行线的性质及直角三角形的特征，过点C作于F，根据角平分线的性质可得，，根据平行线的性质可得，根据直角三角形的特征可得，进而可求解，熟练掌握角平分线的性质及含角的直角三角形的特性是解题的关键．
【详解】解：过点C作于F，如图：
平分，，，
，，
，
，
，
，
，
故选A．
5．（2023·江苏宿迁·统考三模）如图，直线相交于点O，，根据图中的尺规作图痕迹，则的度数是（ ）
A．64° B．56° C．58° D．45°
【答案】C
【分析】通过对图中作图痕迹观察得到是平角的角平分线， 是的角平分线，故而再通过对顶角相等算出的度数，最终得出答案．
【详解】解：由题意得
是平角的角平分线， 是的角平分线，，
，，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了尺规作图作角平分线，角的运算，其中对作图痕迹的准确理解是解题的关键．
6．（2022上·福建厦门·八年级厦门市湖滨中学校考期中）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=32，DE =4，AB=6,则AC 的长是( )
A．8 B．9 C．10 D．12
【答案】C
【分析】作DF⊥AC于F，如图，根据角平分线定理得到DE=DF=4，再利用三角形面积公式和S△ADB+S△ADC=S△ABC列方程，然后解一次方程即可．
【详解】作DF⊥AC于F，如图，
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF=4，
∵S△ADB+S△ADC=S△ABC，
∴×6×4+×AC×4=32，
∴AC=10．
故选C．
【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
7．（2023上·重庆铜梁·八年级重庆市巴川中学校校考期中）如图，在中，，平分交于点D，平分交于点E，、交于点F．则下列说法正确的个数为（ ）
①；②；③；④若点E是的中点，则．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定；①先得出，再根据角平分线的定义得出，即可得出，即可判断①；②在上截取，先证明，得出，则，即可求证，得出，即可判断②；③过点G作，根据角平分线的性质得出，即可得出，在根据，，得出，即可判断③；④延长至点Q，使，连接，通过证明，得出，则，推出，则，即可判断④．
【详解】解：①∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，故①正确，符合题意；
②在上截取，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，故②正确，符合题意；
③过点G作，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，即，故③正确，符合题意；
④∵延长至点Q，使，连接，
∵点E是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴．
综上：正确的有①②③④，共4个，
故选：D．
8．（2022下·江苏南通·七年级如东县实验中学校考阶段练习）如图，在中，，，D为形外一点，DA平分∠BAC，且，则∠DCB的度数为（ ）
A． B．60° C． D．
【答案】C
【分析】如图，延长AB到P，延长AC到Q，作DH⊥AP于H，DE⊥AQ于E，DF⊥BC于F．证明DE＝DF，推出DC平分∠QCB即可解决问题．
【详解】解：如图，延长AB到P，延长AC到Q，作DH⊥AP于H，DE⊥AQ于E，DF⊥BC于F．
∵∠PBC＝∠BAC+∠ACB＝+，，
∴∠DBC＝∠DBH，
∵DF⊥BC，DH⊥BP，
∴DF＝DH，
又∵DA平分∠PAQ，DH⊥PA，DE⊥AQ，
∴DE＝DH，
∴DE＝DF，
∴CD平分∠QCB，
∵∠QCB＝180°﹣∠ACB＝180°－，
∴∠DCB＝∠QCB＝（180°－）＝，
故选：C．
【点睛】本题考查三角形的外角的性质，角平分线的性质定理和判定定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题．
9．（2022上·河北石家庄·八年级石家庄市第四十中学校考期末）如图，已知锐角．在射线上取一点，以点为圆心，的长为半径作弧，交射线于点，连接；分别以点，为圆心，的长为半径作弧，两弧在内部交于点，连接，；作射线，交于点．根据以上作图过程及所作图形，有下列结论①；②；③．其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①③ C．②③ D．①②
【答案】C
【分析】根据“边边边”，证明，得到，即可判断结论②；根据三线合一的性质，得到，即，即可判断结论③；根据不一定等于，得到不一定平行，即可判断结论①，综合即可得出结论．
【详解】解：由题意得：，，
又∵，
∴，
∴，故②正确；
∵，，
∴，即，故③正确；
由，
∴，，
但不一定等于，
∴不一定平行，故①不正确，
综上所述，正确的结论是②③．
故选：C
【点睛】本题考查了尺规作图，全等三角形判定与性质，三线合一的性质，理解尺规作图，得到，，进而得到是解题关键．
10．（2023上·广西南宁·八年级统考期中）如图，已知，分别以、为边向外作等边和等边，和交于O点，则下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的有（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【答案】D
【分析】结合等边三角形和的性质，利用可证，由全等三角形的性质可知①正确；由三角形内角和为度易求的度数，可知②正确；连接，过A分别作与P，于Q，由可知，易知OA平分∠FOE，所以③正确；在上截取，利用可证，由全等三角形对应边相等易得，故④正确．
【详解】解：∵和是等边三角形，
∴，
∴，即，
在与中，
，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴，
∴，故②正确；
连接，过A分别作与P，于Q，如图1，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点在的角平分线上，
∴平分，所以③正确；
如图2，在上截取，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，故④正确．
故选D．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，三角形的内角和定理，灵活利用易知条件结合图形证明三角形全等是解题的关键．
二、填空题
11．（2022上·辽宁鞍山·八年级统考期中）如图，在中，，平分，于D．如果，那么等于 ．
【答案】10cm
【分析】由角平分线的性质定理可得DE=CD，则AE+DE=AE+CE=AC，问题即解决．
【详解】∵平分，，
∴DE=CE
∴AE+DE=AE+CE=AC=10cm
故答案为：10cm
【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，掌握此定理是关键．
12．（2023上·广西玉林·八年级统考期中）如图，在中，，，根据尺规作图的痕迹，若，可得的长为 ．
【答案】2
【分析】由作图方法可知，平分，垂直平分，则，根据含30度角的直角三角形的性质得到，则由角平分线的性质得到．
【详解】解： 由作图方法可知，平分，垂直平分，
∴，
∵，，，
∴，
∵平分，，
∴．
故答案为：2 ．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的尺规作图，角平分线的尺规作图等等，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
13．（2022上·山东潍坊·八年级统考期末）如图，在中，是的平分线，，，垂足为．若，，则 ．
【答案】
【分析】过点作于点，根据角平分线的性质得出，根据题意得出是等腰直角三角形，得出，进而根据三角形面积公式即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，
∵是的平分线，，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了角平分线的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，掌握角平分线的性质是解题的关键．
14．（2022上·广东广州·八年级统考期中）如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE、BF相交于点O，AE交BC于点E，BF交AC于点F，过点O作OD⊥BC于点D，则下列三个结论：①∠AOB＝90°+∠C；②当∠C＝60°时，AF+BE＝AB；③若OD＝a，AB+BC+CA＝2b，则S△ABC＝ab．其中正确的是 ．
【答案】①②
【分析】利用角平分线的定义和三角形内角和定理可得①正确；构造全等三角形，即可确定②正确；利用角平分线性质，通过等面积法，分解成三个三角形表示即可确定③错误．
【详解】解：∵∠BAC和∠ABC的平分线AE、BF相交于点O，
∴∠OBA＝，，
∴∠AOB＝180°﹣∠OBA﹣∠OAB
＝
＝
＝
＝，故①正确；
∵∠C＝60°，
∴∠BAC+∠ABC＝120°，
∵AE、BF分别平分∠BAC与∠ABC，
∴∠OAB+∠OBA＝＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∴∠AOF＝60°，
∴∠BOE＝60°，
如图，在AB上取一点H，使BH＝BE，
∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠HBO＝∠EBO，
在△HBO与△EBO中，
，
∴△HBO≌△EBO（SAS），
∴∠BOH＝∠BOE＝60°，
∴∠AOH＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠AOH＝∠AOF，
在△HAO与△FAO中，
，
∴△HAO≌△FAO（ASA），
∴AH＝AF，
∴AB＝BH+AH＝BE+AF，故②正确；
作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，
∵∠BAC与∠ABC的平分线相交于点O，
∴点O在∠C的平分线上，
∴OH＝OM＝OD＝a，
∵AB+AC+BC＝2b，
∴
＝
＝ab，故③错误，
故答案为：①②．
【点睛】本题考查角平分线的定义和性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积等知识，结合问题作出恰当的辅助线是解决问题的关键．
15．（2022上·北京海淀·八年级人大附中校考期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD为△ABC的角平分线，过点D作直线lAB，点P为直线l上的一个动点，若△BCD的面积为16，BC＝8，则AP最小值为 ．
【答案】4
【分析】根据三角形的面积公式求得CD，再根据角平分的性质求得DE，根据平行线之间的距离可得AP的最小值．
【详解】解：∵∠C＝90°，△BCD的面积为16，BC＝8，
∴,即，
作DE⊥AB，
∵BD为△ABC的角平分线，
∴,
∵直线lAB，
∴AP最小值与DE相等为4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查角平分线的性质，平行线之间的距离，理解平行线之间距离的定义和点到直线的距离垂线段最短是解题关键．
16．（2022下·广东揭阳·八年级校考阶段练习）如图，一张直角三角形的纸片，像图中那样折叠，使A与B重合，∠B=30°，AC=，则折痕DE等于 ．
【答案】1
【分析】由折叠的性质可得，∠B＝∠DAE＝30°，BE＝AE，DE⊥AB，求出∠CAD＝30°，然后根据含30度直角三角形的性质和勾股定理列式求出DC，再根据角平分线的性质得出结论．
【详解】解：由折叠的性质可得，∠B＝∠DAE＝30°，BE＝AE，DE⊥AB，
∴在直角△ABC中，∠BAC＝90°－30°＝60°，
∴∠CAD＝30°，
∴在直角△ACD中，AD＝2CD，
由勾股定理得：，
∴，
∴CD＝1，
∵∠CAD＝∠DAE＝30°，DC⊥AC，DE⊥AE，
∴DE＝DC＝1，
故答案为：1．
【点睛】此题考查了折叠的性质，含30度直角三角形的性质，勾股定理以及角平分线的性质，关键是掌握折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，对应点连线被对称轴垂直平分．
三、问答题
17．（2022下·山西·七年级校联考期末）如图，已知的高，的平分线，，，求的度数．
【答案】
【分析】先根据三角形外角性质计算出，再根据角平分线定义得到，接着再利用三角形外角性质得到∠ACD，再利用三角形内角和可得∠CAD．
【详解】解：，，
．
平分，
，
，
．
【点睛】本题考查三角形内角和定理：三角形内角和是180°，合理使用三角形外角性质计算角度及掌握角平分线性质是解题关键．
18．（2022·山东青岛·校联考一模）请在平面内确定一点，使得点到的两边、的距离相等，且点到、两点的距离也相等.
【答案】见解析
【分析】根据角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质即可解决问题．
【详解】解：如图，作的角平分线，
作的中垂线，
两线的交点为.
结论：点即为所求.
【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线性质、角平分线的性质，解题的关键是灵活运用线段垂直平分线的性质以及角平分线的性质解决问题．
19．（2023上·黑龙江大庆·八年级校联考阶段练习）如图，中，，，是的角平分线，若，求的长．
【答案】见解析．
【分析】过作，交于点，由为的平分线，且，即，，利用角平分线定理得到， 再由为等腰直角三角形, 得出, 再由, 利用三角形内角和定理得到，即为等腰直角三角形，可得出与的长，利用勾股定理即可求出的长.
【详解】如图，过作，交于点，
∵为的平分线，且，即，，
∴，又，
∴
又∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴， 又
∴为等腰直角三角形，
∴，
在中，根据勾股定理得：
．
【点睛】此题考查了角平分线定理，等腰直角三角形的判定与性质，以及勾股定理，熟练掌握定理与性质是解题的关键．
20．（2022下·陕西西安·八年级统考期中）如图，在中，．请用尺规在边上作一点，使点到点的距离与点到边的距离．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】画图见解析
【分析】作∠BAC的平分线交BC于点P即可求解．
【详解】解：如图，点即为所求．
【点睛】本题考查的是作图-基本作图，以及角平分线的性质，熟知角平分线的作法是解答此题的关键．
21．（2022·福建厦门·统考二模）（1）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个锐角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”小明作图的依据是 ．
（2）尺规作图作∠AOB的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧OA、OB于C、D，再分别以点C、D为圆心，以大于CD长为半径画弧，两弧交于点P，则作射线OP即为所求．由作法得△OCP≌△ODP的根据是 ．
【答案】（1）角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上；（2）三边分别相等的两个三角形全等．
【分析】（1）根据角平分线的判定定理解答即可;
（2）根据全等三角形的判定定理即可求解．
【详解】解：（1）如图所示：过两把直尺的交点C作CE⊥AO，CF⊥BO，
∵两把完全相同的长方形直尺，
∴CE＝CF，
∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），
故答案为：角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上；
（2）∵在△OPC和△OPD中，
∴△OPC≌△OPD（SSS），
故答案为：三边分别相等的两个三角形全等．
【点睛】本题考查的是角平分线与全等三角形的判定，掌握到角的两边的距离相等的点在角平分线上是解题的关键．
22．（2022上·江苏泰州·八年级校考阶段练习）（1）如图1，在△ABC中，利用直尺和圆规按要求作图（不写作法，保留作图痕迹）：
①在BC边上作点P，使得点P到AB和AC的距离相等；
②在射线AP上作点Q，使得AQ＝CQ．
（2）如图2，在△ABC中，∠A＝27°，∠C＝72°，请你在图2中画一条线段将△ABC分成两个等腰三角形，并标出等腰三角形顶角的度数．
【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）见解析．
【分析】（1）①作∠BAC的角平分线AM，交BC于点P即可；
②作AC的垂直平分线EF，交AP于点Q即可；
（2）作AB的中垂线，交AC于点D，连接BD即可，然后根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可标出角度．
【详解】解：（1）①作∠BAC的角平分线AM，交BC于点P，由角平分线的性质可得点P到AB和AC的距离相等，如图所示，点P即为所求；
②作AC的垂直平分线EF，交AP于点Q，根据垂直平分线的性质可得AQ＝CQ，如图所示，点Q即为所求；
（2）作AB的中垂线，交AC于点D，连接BD，
∴DA=DB
∴∠A=∠DBA=27°
∴∠ADB=180°－∠A－∠DBA=126°
∴∠CDB=180°－∠ADB=54°
∴∠CBD=180°－∠CDB－∠C=54°
∴∠CDB=∠CBD
∴CD=CB
即线段BD将△ABC分成两个等腰三角形，如图所示，BD即为所求，标出等腰三角形顶角的度数如图所示．
【点睛】此题考查的是角平分线的性质、垂直平分线的性质、等腰三角形的性质及它们的作法，掌握角平分线的性质、垂直平分线的性质、等腰三角形的性质是解题关键．
23．（2022上·北京·八年级校考期中）如图，在四边中，对角平分，，，，．
（1）求证；
（2）求四边形的周长．
【答案】（1）见解析；（2）70
【分析】（1）在BC上截取BE=BA，连接DE，证明，由全等三角形的性质得，再通过证明，得，从而证得；
（2）由（1）可以证得是等边三角形，所以，又有，就可以求出四边形的周长．
【详解】解：（1）如图，在BC上截取BE=BA，连接DE，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）由（1）知，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，角平分线的性质和等边三角形的性质和判定，解题的关键是掌握这些性质定理进行证明求解．
24．（2022上·江苏镇江·八年级统考期末）如图，△ABC中，∠C=90°．
（1）在BC边上作一点P，使得点P到点C的距离与点P到边AB的距离相等（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，若AC=8，BC=6，求CP的长．
【答案】（1）见解析；（2）．
【详解】试题分析：（1）作∠BAC的平分线交BC于P点，则点P到点C的距离与点P到边AB的距离相等；
（2）作PD⊥AB于点，如图，根据角平分线性质得PD=PC，则可证明Rt△ADP≌Rt△ACP得到AD=AC=8，再利用勾股定理计算出AB=10，则BD=2，设PC=x，则PD=x，BP=6﹣x，在Rt△BDP中，利于勾股定理得（6﹣x）2=x2+22，然后解方程即可．
解：（1）如图，点P即为所求；
（2）作PD⊥AB于点，如图，
∵AP平分∠CAB，PD⊥AB于D，∠C=90°，
∴PD=PC．
在Rt△ADP和Rt△ACP中
，
∴Rt△ADP≌Rt△ACP（HL），
∴AD=AC=8，
在Rt△ABC中，AB==10，
∴BD=10﹣8=2，
设PC=x，则PD=x，BP=6﹣x，
在Rt△BDP中，∵PD2+BD2=PB2，
∴（6﹣x）2=x2+22，解得x=．
答：CP的长为．
考点：作图—基本作图；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；勾股定理．
25．（2022下·江苏泰州·八年级统考期中）数学阅读：古希腊数学家海伦曾提出一个利用三角形三边之长求面积的公式：若一个三角形的三边长分别为a、b、c，则这个三角形的面积为，其中．这个公式称为“海伦公式”．数学应用：如图1，在 中，已知，，．
(1)请运用海伦公式求△ABC的面积；
(2)设边上的高为，边上的高，求的值；
(3)如图2，、为的两条角平分线，它们的交点为I，求的面积．
【答案】(1)面积是
(2)
(3)
【分析】（1）直接代入海伦公式计算．
（2）利用海伦公式求出面积，再用一般求三角形面积公式求高．
（3）角平分线的交点，到各个边的距离相等，所以可以用三个三角形的面积等于总面积，且高都相等，列方程可求出角分线到各边的距离．
【详解】（1）解： =12
∴面积是；
（2）解：
∴
（3）解：如图，过点I作、、，垂足分别为点F、G、H，
∵、分别为的角平分线，
∴，
∵，
∴，解得
故．
【点睛】本题考查了二次根式的应用和角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质，并根据新公式代入计算．
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专题05 角平分线的性质与判定
考点类型
知识一遍过
（一）角平分线的性质
（1）概念：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
（2）角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等；
数学语言：
∵∠MOP=∠NOP，PA⊥OM PB⊥ON
∴PA=PB
（二）角平分线的判定
（1）判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上．
数学语言：
∵PA⊥OM PB⊥ON PA=PB
∴∠MOP=∠NOP
（三）尺规作图——角平分线
作法：①在OA和OB上分别截取OD、OE，使OD=OE。
②分别以D、E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C
③作射线OC，则OC就是∠AOB的平分线
考点一遍过
考点1：角平分线的性质——求线段
典例1：（2023上·江苏南京·八年级校联考期中）如图，点在的平分线上（不与点重合），于点，，若是边上任意一点，连接，则下列关于线段的说法一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023上·江苏南京·八年级校联考期中）如图，在中，，平分，交于点，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023上·湖南长沙·八年级校考期中）如图，在中，是的平分线，，，则为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2023上·四川绵阳·八年级统考期中）如图，是的角平分线，于点E，，，，则（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
考点2：角平分线的性质——求角
典例2：（2023上·湖北·八年级校联考期中）如图，在中，，，点在的延长线上，的平分线与的平分线相交于点，连接，则度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2022下·四川巴中·七年级统考期末）如图：已知，BD、CD、BE分别平分的内角、外角、外角，其中点D、C、E在同一条直线上，以下结论：错误的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023上·四川绵阳·八年级统考阶段练习）如图，分别平分的外角，内角，以下结论：①；②；③．其中正确的有（ ）
A．①③ B．②③ C．①②③ D．①②
【变式3】（2022·河北石家庄·校考二模）如图，有一锐角三角形纸张，其中，现将折至，使点与点重合，之后将三角形还原，再将折至，使点与点重合，之后将三角形还原．若两次的折线交于点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
考点3：角平分线的性质——求面积
典例3：（2022上·北京东城·八年级统考期末）如图所示，点O是内一点，平分，于点D，连接，若，，则的面积是（ ）
A．20 B．30 C．50 D．100
【变式1】（2023上·山东菏泽·八年级统考期中）如图，的三边、，的长分别是、、，点为三内角平分线的交点，则等于（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023上·湖北武汉·八年级统考期中）如图，在中，平分，延长至点，使，连接． 若，则为（ ）．
A．12 B．16 C．18 D．20
【变式3】（2023上·江苏徐州·八年级校考期中）如图，在四边形中，，对角线平分，若，则的面积为（ ）
A．6 B． C． D．
考点4：角平分线的性质——实际应用
典例4：（2023上·北京·八年级校考期中）为进一步美化校园，我校计划在校园绿化区增设3条绿化带，如图所示，绿化带，绿化带交绿化带于，交绿化带于．若要建一喷灌处到三条绿化带的距离相等，则可供选择的喷灌处修建点有（ ）
A．4处 B．3处 C．2处 D．1处
【变式1】（2023上·湖北武汉·八年级统考期中）如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路旁边的平地上修建一个游客中心，要使这个游客中心到三条公路的距离相等，游客中心可以选择的位置有（ ）种
A．一 B．二 C．三 D．四
【变式2】（2023上·黑龙江绥化·八年级校考期中）三条公路将三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（ ）
A．三条高的交点 B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点
【变式3】（2022上·山西吕梁·九年级统考阶段练习）黄河社区是由三条路围成的小型社区，现在越来越多的人们选择购买电动汽车，为了让生活设施跟上时代的发展，黄河社区准备在社区内修建一个电动车充电点．现社区人员计划将充电点建设在到三条路的距离相等的位置，则充电点应该建在三角形（ ）
A．三个角的平分线的交点处 B．三条中线的交点处
C．三条高线的交点处 D．三条边的垂直平分线的交点处
考点5：角平分线与等边三角形
典例5：（2022下·陕西西安·七年级西安市第三中学校联考阶段练习）如图，已知点B是AC边上的动点（不与A、C重合），在AC的同侧作等边△ABD和等边△BCE，连接AE，CD，下列结论正确的个数有（ ）
①△ABE≌△DBC；②∠CHE＝60°；③△AGB≌△DFB；④；⑤△BFG是等边三角形；⑥BH平分∠AHC；⑦AH＝DH＋BH
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【变式1】（2022下·重庆·七年级重庆一中校考期末）如图，等边中，、分别为、边上的点，=，连接、交于点，、的平分线交于边上的点，与交于点，连接．下列说法：①；②；③；④；⑤，其中正确的说法有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【变式2】（2023上·北京西城·八年级北师大实验中学校考期中）如图，在等边和等边中，B，C，D三点共线，与，与，与分别交于点F，点H，点G，下列四个结论中：①；②平分；③；④．所有正确的结论是（ ）
A．①② B．①③④ C．①②④ D．①②③④
【变式3】（2022上·安徽黄山·八年级统考期末）如图，已知等边和等边，点在的延长线上，的延长线交于点，连接，有下列结论：
①； ②； ③平分； ④，其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
考点6：角平分线判定
典例6：（2023上·河南洛阳·八年级校考期中）如图，在和中，，，，，连接，连接．下列结论：①；②；③；④平分．其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1】（2023上·广东广州·八年级广州市南武中学校联考期中）如图，四边形中，对角线平分，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2022上·广西南宁·八年级校考阶段练习）如图，的角平分线交于点，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2023上·河南周口·八年级校联考阶段练习）如图，已知点是内一点，且，，垂足分别为，，作射线，若，则的度数为（ ）
A．22° B．30° C．32° D．68°
考点7：尺规作图——角平分线
典例7：（2023上·云南昆明·八年级云南省昆明市第二中学校联考期中）如图，在中，，E是的中点．
(1)实践与操作：尺规作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）．
①作的平分线；
②连接并延长，交于点F．
(2)猜想与证明：试猜想与有怎样的数量关系，并证明你的结论．
【变式1】（2023上·新疆伊犁·八年级统考期中）尺规画图：（不写作法，保留作图痕迹．）
如图，在中，已知其周长为．
(1)在中，用直尺和圆规作边的垂直平分线分别交、于点D，E；
(2)画的平分线交于点F；
(3)连接，若为，求的周长．
【变式2】（2023上·山东济宁·八年级统考期中）如图，已知．
(1)尺规作图：作的平分线，与边相交于点D（保留作图痕迹）；
(2)若，求证：．
【变式3】（2023上·河北石家庄·八年级统考期中）如图，已知．
(1)尺规作图，作的角平分线交于点（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)如果，，的面积为18，求的面积．
考点8：角平分线的性质与判定综合
典例8：（2023上·云南曲靖·八年级校考期中）如图，中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为，且，连接．
(1)求证：平分；
(2)若，求的面积．
【变式1】（2023上·天津南开·八年级南开中学校考期中）如图，中，点在边延长线上，的平分线交于点，过点作垂足为，且
(1)求的度数；
(2)求证： 平分
(3)若，且求的面积．
【变式2】（2023上·湖北武汉·八年级统考期中）在中，、分别平分、．
(1)如图1，若，则________；
(2)如图2，连结，求证：平分；
(3)如图3，若，，，求的长．
【变式3】（2023上·江苏扬州·八年级高邮市南海中学校考阶段练习）如图，中，点在边延长线上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且．
(1)直接写出的度数 ；
(2)求证：平分；
(3)若，，且，求的面积．
同步一遍过
一、单选题
1．（2022上·北京·八年级北京市文汇中学校考期中）如图，在中，，是的平分线，交于点D，若，，面积是（ ）
A．2 B．5 C．10 D．20
2．（2022上·湖北十堰·八年级十堰市实验中学校考阶段练习）下列说法中错误的是（ ）
A．三角形的三条中线交于一点 B．三角形任意两外角平分线的交点到三边的距离相等
C．三角形具有稳定性 D．形状完全相同的两个三角形全等
3．（2022上·北京海淀·八年级海淀实验中学校考期中）如图，平分，于点A，点Q是射线上的一个动点．若，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2023上·湖北荆州·八年级统考期中）如图，已知平分，于点E，，，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2023·江苏宿迁·统考三模）如图，直线相交于点O，，根据图中的尺规作图痕迹，则的度数是（ ）
A．64° B．56° C．58° D．45°
6．（2022上·福建厦门·八年级厦门市湖滨中学校考期中）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=32，DE =4，AB=6,则AC 的长是( )
A．8 B．9 C．10 D．12
7．（2023上·重庆铜梁·八年级重庆市巴川中学校校考期中）如图，在中，，平分交于点D，平分交于点E，、交于点F．则下列说法正确的个数为（ ）
①；②；③；④若点E是的中点，则．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2022下·江苏南通·七年级如东县实验中学校考阶段练习）如图，在中，，，D为形外一点，DA平分∠BAC，且，则∠DCB的度数为（ ）
A． B．60° C． D．
9．（2022上·河北石家庄·八年级石家庄市第四十中学校考期末）如图，已知锐角．在射线上取一点，以点为圆心，的长为半径作弧，交射线于点，连接；分别以点，为圆心，的长为半径作弧，两弧在内部交于点，连接，；作射线，交于点．根据以上作图过程及所作图形，有下列结论①；②；③．其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①③ C．②③ D．①②
10．（2023上·广西南宁·八年级统考期中）如图，已知，分别以、为边向外作等边和等边，和交于O点，则下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的有（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
二、填空题
11．（2022上·辽宁鞍山·八年级统考期中）如图，在中，，平分，于D．如果，那么等于 ．
12．（2023上·广西玉林·八年级统考期中）如图，在中，，，根据尺规作图的痕迹，若，可得的长为 ．
13．（2022上·山东潍坊·八年级统考期末）如图，在中，是的平分线，，，垂足为．若，，则 ．
14．（2022上·广东广州·八年级统考期中）如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE、BF相交于点O，AE交BC于点E，BF交AC于点F，过点O作OD⊥BC于点D，则下列三个结论：①∠AOB＝90°+∠C；②当∠C＝60°时，AF+BE＝AB；③若OD＝a，AB+BC+CA＝2b，则S△ABC＝ab．其中正确的是 ．
15．（2022上·北京海淀·八年级人大附中校考期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD为△ABC的角平分线，过点D作直线lAB，点P为直线l上的一个动点，若△BCD的面积为16，BC＝8，则AP最小值为 ．
16．（2022下·广东揭阳·八年级校考阶段练习）如图，一张直角三角形的纸片，像图中那样折叠，使A与B重合，∠B=30°，AC=，则折痕DE等于 ．
三、问答题
17．（2022下·山西·七年级校联考期末）如图，已知的高，的平分线，，，求的度数．
18．（2022·山东青岛·校联考一模）请在平面内确定一点，使得点到的两边、的距离相等，且点到、两点的距离也相等.
19．（2023上·黑龙江大庆·八年级校联考阶段练习）如图，中，，，是的角平分线，若，求的长．
20．（2022下·陕西西安·八年级统考期中）如图，在中，．请用尺规在边上作一点，使点到点的距离与点到边的距离．（保留作图痕迹，不写作法）
21．（2022·福建厦门·统考二模）（1）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个锐角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”小明作图的依据是 ．
（2）尺规作图作∠AOB的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧OA、OB于C、D，再分别以点C、D为圆心，以大于CD长为半径画弧，两弧交于点P，则作射线OP即为所求．由作法得△OCP≌△ODP的根据是 ．
22．（2022上·江苏泰州·八年级校考阶段练习）（1）如图1，在△ABC中，利用直尺和圆规按要求作图（不写作法，保留作图痕迹）：
①在BC边上作点P，使得点P到AB和AC的距离相等；
②在射线AP上作点Q，使得AQ＝CQ．
（2）如图2，在△ABC中，∠A＝27°，∠C＝72°，请你在图2中画一条线段将△ABC分成两个等腰三角形，并标出等腰三角形顶角的度数．
23．（2022上·北京·八年级校考期中）如图，在四边中，对角平分，，，，．
（1）求证；
（2）求四边形的周长．
24．（2022上·江苏镇江·八年级统考期末）如图，△ABC中，∠C=90°．
（1）在BC边上作一点P，使得点P到点C的距离与点P到边AB的距离相等（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，若AC=8，BC=6，求CP的长．
25．（2022下·江苏泰州·八年级统考期中）数学阅读：古希腊数学家海伦曾提出一个利用三角形三边之长求面积的公式：若一个三角形的三边长分别为a、b、c，则这个三角形的面积为，其中．这个公式称为“海伦公式”．数学应用：如图1，在 中，已知，，．
(1)请运用海伦公式求△ABC的面积；
(2)设边上的高为，边上的高，求的值；
(3)如图2，、为的两条角平分线，它们的交点为I，求的面积．
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