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期中预测模拟卷02
考试范围：第1-4章；考试时间：120分钟；总分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
评卷人得分
一、单选题
1．2023年10月26日，神舟十七号载人飞船发射取得圆满成功．下列中国航天图标可看成是中心对称图形的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了中心对称图形的识别即将一个图形绕一点旋转180度后能与自身完全重合的图形叫中心对称图形，掌握轴中心对称图形的概念是解题关键．
【详解】A. 是中心对称图形，符合题意；
B. 不是中心对称图形，不符合题意；
C. 不是中心对称图形，不符合题意；
D. 不是中心对称图形，不符合题意；
故选：A．
2．下列由左到右的变形，属于因式分解的是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了因式分解的意义，根据因式分解的定义：把整式分解为几个整式乘积的形式，即可作出判断．
【详解】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项错误；
B、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项错误；
C、，因而不是因式分解，故本选项错误；
D、是因式分解，故本选项正确．
故选：D．
3．不等式组的解集在数轴上表示为 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先求出不等式组的解集，再将解集表示在数轴上，注意大于等于号用实心，大于号用空心．
【详解】解：解不等式3x－1＞2得：x＞1，
∴不等式组的解集为x≥2，
将解集表示在数轴上为：
，
故选：A．
【点睛】本题考查解不等式组、数轴，正确用数轴表示不等式组的解集是解答的关键．
4．在中，、，则的长是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【分析】本题利用勾股定理直角边的平方之和等于斜边平方，分别讨论∠C是否是直角的情况下列式解答即可.
【详解】当∠C=90°时，则，所以C=5；若∠C≠90°时，则，所以C=，故答案选D.
【点睛】本题的关键是掌握勾股定理，技巧是利用勾股定理分类讨论∠C是否为直角的情况列方程解答.
5．如图，平分，于点A，点是射线上的一个动点，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作于，根据角平分线的性质求出的长即可．
【详解】解：作于，
∵平分，，，
∴，
又∵为上动点，
∴，
∴，最小值为，
故选：．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质；垂线段最短，掌握以上知识是解题的关键．
6．用反证法证明“在同一平面内，有三条直线，，，若，，则”时，应先假设（ ）
A． B． C．与相交 D．与相交
【答案】C
【分析】根据反证法的第一步是假设结论不成立进而解答即可．
【详解】用反证法时应假设结论不成立，即假设a//c的对立面a与c相交．
故选：C．
【点睛】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．
7．若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用不等式的性质逐一分析判定即可．
【详解】解：A． 若，则，故该选项不成立，不符合题意；
B． 若，则，故该选项成立，符合题意；
C． 若， 时，有，故该选项不一定成立，不符合题意；
D． 若，则，故该选项不成立，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了不等式的性质，正确运用不等式的性质是解题的关键．
8．如图，已知直线和直线交于点，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】把化为，结合函数图象可得：一次函数的图象要在正比例函数图象的上方，结合函数图象可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
结合函数图象可得：
，
故选B
【点睛】本题考查的是一次函数与正比例函数的图象，熟练的利用图象法解不等式是解本题的关键．
9．如图，有三个正方形，，，点，，，，都在同一直线上，若正方形，的面积分别为和，则正方形的面积为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．11
【答案】B
【分析】运用正方形边长相等，再根据同角的余角相等可得，然后证明，再结合全等三角形的性质和勾股定理来求解即可．
【详解】解：∵四边形，，都是正方形，
∴，；
∴，
∴，
∴（），
∴，，
∵正方形，的面积分别为和，
∴，
∴正方形的面积
故选∶B．
【点睛】此题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，直角三角形的性质以及正方形的性质，关键是证明，做题时要灵活运用所学的知识点．
10．小明将某服装店的促销活动内容如实告诉好友小惠后，小惠假设某一商品的定价为x元，并列出关系式为0.2(2x-80)<800，则小明告诉小惠的内容可能是（ ）
A．买两件等值的商品可打8折，再减80元，最后不到800元
B．买两件等值的商品可减80元，再打8折，最后不到800元
C．买两件等值的商品可打2折，再减80元，最后不到800元
D．买两件等值的商品可减80元，再打2折，最后不到800元
【答案】D
【分析】根据不等式结合选项判断即可．
【详解】解： 0.2(2x-80)<800 可以理解为：买两件等值的商品可减80元，再打2折，最后不到800元．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据已知最后打2折，再得出不等关系是解题关键．
第II卷（非选择题）
评卷人得分
二、填空题
11．如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BPA，连接PQ，则以下结论中正确的有 （填序号）①△BPQ是等边三角形②△PCQ是直角三角形③∠APB＝150° ④∠APC＝120°
【答案】①②③
【分析】①根据△ABC是等边三角形，得出∠ABC＝60°，根据△BQC≌△BPA，得出∠CBQ＝∠ABP，PB＝QB＝4，PA＝QC＝3，∠BPA＝∠BQC，求出∠PBQ＝60°，即可判断①；
②根据勾股定理的逆定理即可判断得出②；
③根据△BPQ是等边三角形，△PCQ是直角三角形即可判断；
④求出∠APC＝150°﹣∠QPC，和PC≠2QC，可得∠QPC≠30°，即可判断④．
【详解】解：①∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵△BQC≌△BPA，
∴∠CBQ＝∠ABP，PB＝QB＝4，PA＝QC＝3，∠BPA＝∠BQC，
∴∠PBQ＝∠PBC+∠CBQ＝∠PBC+∠ABP＝∠ABC＝60°，
∴△BPQ是等边三角形，
所以①正确；
②PQ＝PB＝4，
PQ2+QC2＝42+32＝25，
PC2＝52＝25，
∴PQ2+QC2＝PC2，
∴∠PQC＝90°，
∴△PCQ是直角三角形，
所以②正确；
③∵△BPQ是等边三角形，
∴∠PQB＝∠BPQ＝60°，
∴∠APB＝∠BQC＝∠BQP+∠PQC＝60°+90°＝150°，
所以③正确；
④∠APC＝360°﹣150°﹣60°﹣∠QPC＝150°﹣∠QPC，
∵∠PQC＝90°，PC≠2QC，
∴∠QPC≠30°，
∴∠APC≠120°．
所以④错误．
所以正确的有①②③．
故答案为：①②③．
【点睛】此题考查的是等边三角形的性质及判定、全等三角形的性质和直角三角形的判定及性质，掌握等边三角形的性质及判定、全等三角形的性质和直角三角形的判定及性质是解决此题的关键．
12．不等式的解集是 ．
【答案】
【分析】按照移项，合并同类项的步骤解不等式即可．
【详解】解：
移项得：，
合并同类项得：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
13．如图，将沿着射线向右平移4个单位，平移后所得图形是，，那么的长是 ．
【答案】6
【分析】线段的长度即为平移距离，据此即可求解．
【详解】解：∵将沿着射线向右平移4个单位，平移后所得图形是
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：6．
【点睛】本题考查平移的性质．熟记相关结论是解题关键．
14．如图，在中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点D，连接．若，，则的周长为 ．
【答案】15
【分析】本题考查作图—线段垂直平分线、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的作法得出垂直且平分是解题的关键．由题意可得垂直且平分，根据垂直平分线的性质可得，然后根据周长公式求解即可．
【详解】解：由题意可得，垂直且平分，
∴，
∴，
故答案为：15．
15．已知：，则的值是 ．
【答案】1
【分析】先根据多项式乘以多项式的计算法则求出，从而得到a、b的值，然后代值计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式，正确计算出的结果是解题的关键．
16．已知关于x的不等式组的整数解有且只有3个，则m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】先求出每个不等式的解集，确定整数解，根据已知不等式组的整数解得出关于的解集即可．
【详解】解：不等式组整理得：，
解集为，
由不等式组的整数解只有3个，得到整数解为2，1，0，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查对解一元一次不等式，不等式的性质，解题的关键是对解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解等知识点的理解和掌握，能根据不等式组的解集得到不等式的整数解是解此题的关键．
评卷人得分
三、解答题
17．因式分解：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
（1）先提取公因式，然后利用十字相乘解题即可；
（2）先分组，然后利用平方差公式进行因式分解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）
．
18．解不等式组，并把解集在数轴上表示．
【答案】，见解析
【分析】先解不等式组中每个不等式，然后求出它们的解集，最后在数轴上把解集表示出来 .
【详解】解：对于不等式组，
由①得，
由②得，，，
∴不等式组的解集为，
将解集表示在数轴上如下：
【点睛】 本题考查一元一次不等式组的应用，熟练掌握一元一次不等式组的解法及用数轴表示解集的方法是解题关键.
19．如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，的三个顶点都在格点上．
(1)在网格中画出向下平移3个单位得到的；
(2)在网格中画出关于直线m对称的；
(3)在直线m上画一点P，使得的值最小．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查了几何图形的平移，轴对称，
（1）根据平移的性质作图即可；
（2）根据轴对称的特点作图即可；
（3）连接交直线m于点P，问题得解．
【详解】（1）如图，即为所求；
（2）如图，即为所求；
（3）连接交直线m于点P，则点P即为所求点．
20．如图，点B、F、C、E存同一直线上，，、相交于点G，，垂足为B，，垂足为E，且，．
(1)求证：；
(2) ．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）求出，利用可直接证明；
（2）根据直角三角形两锐角互余和全等三角形的性质求出，再根据三角形外角的性质得出答案．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
又∵，且和是直角三角形，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，三角形外角的性质，熟练掌握证明三角形全等的方法是解题的关键．
21．如图，在中，，．
(1)在线段上找到一个点，使得．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
(2)在（1）的条件下，连接，求证：是等边三角形．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析
【分析】（1）作线段AC的垂直平分线即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质可得DA＝DC，根据等边对等角可得∠CAD＝∠C，进而可得∠ADB＝∠B＝∠DAB＝60°，然后可得答案．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）∵∠BAC＝90°，∠C＝30°
∴∠B＝60°，
又∵点D在AC的垂直平分线上，
∴DA＝DC，
∴∠CAD＝∠C＝30°，
∴∠DAB＝60°，
∴∠ADB＝∠B＝∠DAB＝60°，
即△ABD是等边三角形．
【点睛】此题主要考查了基本作图，以及线段垂直平分线的性质，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
22．随着“双减”政策的逐步落实，某校体育社团报名人数激增，社团决定从某体育用品店购买若干篮球和足球，用于日常训练．已知每个篮球的价格比每个足球的价格高30元，用1500元购买足球的数量和用2400元购买篮球的数量相同．
(1)求篮球和足球的单价各是多少元？
(2)根据学生报名情况，社团需一次性购买篮球和足球共100个，且要求购买足球数量不超过篮球数量的，实际购买时，每个篮球恰好降价m元（），求实际购买费用的最小值（结果可用含m的代数式表示）．
【答案】(1)篮球的单价是元，足球的单价是元；
(2)时，实际购买费用的最小值为；时，实际购买费用的最小值为；时，实际购买费用的最小值为
【分析】（1）设足球的单价是元，则篮球的单价是元，根据题意列出分式方程即可求解；
（2）设购买篮球个，则购买足球个，根据题意可求出的取值范围．建立购买费用与的函数关系即可求解．
【详解】（1）解：设足球的单价是元，则篮球的单价是元，
根据题意得；
解得：
经检验，是该分式方程的解，且符合题意
∴
答：篮球的单价是元，足球的单价是元．
（2）解：设购买篮球个，则购买足球个，
由题意得：，
解得：，
设实际购买费用为元，则：
，
时，随的增大而减小，
∵，且均为正整数，
∴当时，取最小值，
；
时，；
时，随的增大而增大，
∴当时，取最小值，
，
故：时，实际购买费用的最小值为；时，实际购买费用的最小值为；时，实际购买费用的最小值为．
【点睛】本题考查分式方程、一次函数的实际应用．根据题意建立等量关系、函数关系是解题关键．
23．数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．请你利用数形结合的思想解决以下数学问题．
(1)根据图中大正方形面积的两种不同表示方法，可得出代数恒等式________；
(2)如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为厘米的大正方形，2块是边长都为厘米的小正方形，5块是长为厘米，宽为厘米的全等的小长方形，且．
①观察图形，可以发现代数式可以因式分解为________；
②若阴影部分的面积为20平方厘米，大长方形纸板的周长为24厘米，求图中空白部分的面积．
(3)若，请你构造合适的图形，直接写出的最小值是_________．
【答案】(1)
(2)；空白部分面积为（平分厘米）
(3)13
【分析】（1）根据正方形的面积相等可得
（2）①根据长方形面积的两种表达方式即可求解。②由阴影部分面积及大长方形周长可得两方程，联立组成方程组可求解出即可求出空白部分面积。
（3）作线段AB，使构造和以AB，AD为邻边构造矩形ABCD，设可得当点C，E，D三点共线时有最小值，即当是直角三角形时，利用勾股定理即可求出。
【详解】（1）由正方形面积相等可得
（2）①观察图形可得图形面积为
利用长方形面积公式可得图形的面积为
②∵图中阴影部分的面积为20平方厘米，
∵大长方形纸板的周长为24厘米，
∴空白部分面积为（平分厘米）
（3）构造图形如下图：
作线段AB，使构造和以AB，AD为邻边构造矩形ABCD
设
当点C，E，D三点共线时有最小值，
即当是直角三角形时
的最小值是13。
故答案为：13。
【点睛】本题主要考查了因式分解及其应用，三角形性质的应用和数形结合的思想，解题关键是通过分割图形面积求解及数形结合。
24．在中，，，点为的中点．
(1)若，两边分别交，于，两点．如图1，当点，分别在边和上时，求证：；
(2)如图2，若，当点，分别在和的延长线上时，连接，若，则______;
(3)如图3，若，两边分别交边于，交的延长线于，连接，若，，试求的长．
【答案】(1)见解析
(2)18
(3)2
【分析】（1）连接，证明即可；
（2）连接，，得出，利用三角形面积公式进行计算即可；
（3）连接，过点作，交的延长线于点，证明，得出，，证明，得出，即可得出答案．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵，，点为的中点，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，
∵，，点为的中点，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：18．
（3）解：如图，连接，过点作，交的延长线于点，
∵，，点为的中点，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，余角的性质，作出辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．
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期中预测模拟卷02
考试范围：第1-4章；考试时间：120分钟；总分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
评卷人得分
一、单选题
1．2023年10月26日，神舟十七号载人飞船发射取得圆满成功．下列中国航天图标可看成是中心对称图形的是（ ）
A．B．C． D．
2．下列由左到右的变形，属于因式分解的是( )
A． B．
C． D．
3．不等式组的解集在数轴上表示为 （ ）
A． B．
C． D．
4．在中，、，则的长是（ ）
A． B． C． D．或
5．如图，平分，于点A，点是射线上的一个动点，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．用反证法证明“在同一平面内，有三条直线，，，若，，则”时，应先假设（ ）
A． B． C．与相交 D．与相交
7．若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，已知直线和直线交于点，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，有三个正方形，，，点，，，，都在同一直线上，若正方形，的面积分别为和，则正方形的面积为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．11
10．小明将某服装店的促销活动内容如实告诉好友小惠后，小惠假设某一商品的定价为x元，并列出关系式为0.2(2x-80)<800，则小明告诉小惠的内容可能是（ ）
A．买两件等值的商品可打8折，再减80元，最后不到800元
B．买两件等值的商品可减80元，再打8折，最后不到800元
C．买两件等值的商品可打2折，再减80元，最后不到800元
D．买两件等值的商品可减80元，再打2折，最后不到800元
第II卷（非选择题）
评卷人得分
二、填空题
11．如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BPA，连接PQ，则以下结论中正确的有 （填序号）①△BPQ是等边三角形②△PCQ是直角三角形③∠APB＝150° ④∠APC＝120°
12．不等式的解集是 ．
13．如图，将沿着射线向右平移4个单位，平移后所得图形是，，那么的长是 ．
14．如图，在中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点D，连接．若，，则的周长为 ．
15．已知：，则的值是 ．
16．已知关于x的不等式组的整数解有且只有3个，则m的取值范围是 ．
评卷人得分
三、解答题
17．因式分解：
(1)；
(2)．
18．解不等式组，并把解集在数轴上表示．
19．如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，的三个顶点都在格点上．
(1)在网格中画出向下平移3个单位得到的；
(2)在网格中画出关于直线m对称的；
(3)在直线m上画一点P，使得的值最小．
20．如图，点B、F、C、E存同一直线上，，、相交于点G，，垂足为B，，垂足为E，且，．
(1)求证：；
(2) ．
21．如图，在中，，．
(1)在线段上找到一个点，使得．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
(2)在（1）的条件下，连接，求证：是等边三角形．
22．随着“双减”政策的逐步落实，某校体育社团报名人数激增，社团决定从某体育用品店购买若干篮球和足球，用于日常训练．已知每个篮球的价格比每个足球的价格高30元，用1500元购买足球的数量和用2400元购买篮球的数量相同．
(1)求篮球和足球的单价各是多少元？
(2)根据学生报名情况，社团需一次性购买篮球和足球共100个，且要求购买足球数量不超过篮球数量的，实际购买时，每个篮球恰好降价m元（），求实际购买费用的最小值（结果可用含m的代数式表示）．
23．数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．请你利用数形结合的思想解决以下数学问题．
(1)根据图中大正方形面积的两种不同表示方法，可得出代数恒等式________；
(2)如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为厘米的大正方形，2块是边长都为厘米的小正方形，5块是长为厘米，宽为厘米的全等的小长方形，且．
①观察图形，可以发现代数式可以因式分解为________；
②若阴影部分的面积为20平方厘米，大长方形纸板的周长为24厘米，求图中空白部分的面积．
(3)若，请你构造合适的图形，直接写出的最小值是_________．
24．在中，，，点为的中点．
(1)若，两边分别交，于，两点．如图1，当点，分别在边和上时，求证：；
(2)如图2，若，当点，分别在和的延长线上时，连接，若，则______;
(3)如图3，若，两边分别交边于，交的延长线于，连接，若，，试求的长．
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