2025年浙江省中考数学一轮复习专题检测 专题23 圆的基本性质（含解析）

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专题23 圆的基本性质
一．选择题
1．（2024 西乡塘区模拟）如图，OB，OC是⊙O的半径，∠D＝32°，则∠BOC等于（　　）
A．32° B．58° C．60° D．64°
2．（2024 天府新区模拟）如图，AB是⊙O的弦，若⊙O的半径OA＝10，圆心O到弦AB的距离OC＝6，则弦AB的长为（　　）
A．8 B．12 C．16 D．20
3．（2024 宜宾）如图，AB是⊙O的直径，若∠CDB＝60°，则∠ABC的度数等于（　　）
A．30° B．45° C．60° D．90°
4．（2024 凉山州）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交于点C，测出AB＝40cm，CD＝10cm，则圆形工件的半径为（　　）
A．50cm B．35cm C．25cm D．20cm
5．（2024 甘谷县三模）如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC＝CD＝DA＝4，则⊙O的周长为（　　）
A．4π B．6π C．8π D．9π
6．（2024 江北区一模）如图，在⊙O中，△AOB是正三角形，点C在上，若∠CAB＝20°，则∠ABC＝（　　）
A．10° B．15° C．20° D．25°
7．（2024 济宁）如图，分别延长圆内接四边形ABCD的两组对边，延长线相交于点E，F．若∠E＝54°41'，∠F＝43°19'，则∠A的度数为（　　）
A．42° B．41°20' C．41° D．40°20'
8．（2024 义乌市模拟）如图，AE是⊙O直径，半径OD与弦AB垂直于点C，连接EC．若AB＝8，CD＝2，则CE的长为（　　）
A．8 B．2 C．3 D．2
9．（2024 浙江模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若所对圆心角的度数为80°，则∠C＝（　　）
A．110° B．120° C．135° D．140°
10．（2024 定海区三模）如图所示，⊙O的半径是3，直线l与⊙O相交于A，B两点，点M，N在直线l的异侧，且是⊙O上的两个动点，且∠ANB＝135°，则四边形MANB面积的最大值是（　　）
A．9 B． C．18 D．
二．填空题
11．（2024秋 泗阳县期末）在⊙O中，弦AB＝3，圆心角∠A0B＝60°，则⊙O的半径为　 　 ．
12．（2024 西宁）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为直径CD延长线上一点，＝，∠ADE＝110°，则∠DAB＝ 　 　 ．
13．（2024 牡丹江）如图，在⊙O中，直径AB⊥CD于点E，CD＝6，BE＝1，则弦AC的长为 　 　 ．
14．（2024 富阳区一模）如图，AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，CD＝8，弦CD与直径AB之间的距离为3，则AB＝　 　 ．
15．（2024 杭州模拟）江南水乡杭州有很多小河和石拱桥，石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，它的主桥拱是圆弧形．如图，已知曲院风荷的一座石拱桥的跨度AB＝6米，拱高米，那么桥拱所在圆的半径OA＝　 　 米，弧AB的长度为 　 　 米．
16．（2024 镇海区校级模拟）如图，AB、CD是⊙O中的两条弦，相交于点E，且AB⊥CD，AE＝DE，点H为劣弧AD上一动点，G为HE中点，若CE＝1，DE＝7，连结AG，则AG最小值为 　 　 ．
三．解答题
17．（2024 南京）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AD＝BC，对角线AC是⊙O的直径．求证：四边形ABCD是矩形．
18．（2024 凉州区二模）点A，B，C都在⊙O上，且CA＝CB，若AB＝8，⊙O的半径为5，连接CO，求AC的长．
19．（2025 广东校级模拟）如图，AB、CD是⊙O的两条弦，AC与BD相交于点E，AB＝CD．
（1）求证：AC＝BD；
（2）连接BC，作直线EO，求证：EO⊥BC．
20．（2024 鹿城区校级三模）如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O交AC于D且OD∥BC，⊙O交BC于点E．
（1）求证：CD＝DE；
（2）若AB＝12，AD＝4，求CE的长度．
21．（2024 雁塔区校级模拟）如图，AB是圆O的直径，AC是一条弦，D是弧AC的中点．过点D作DE⊥AB于点E，交AC于点F，延长DE交圆O于点H，DB交AC于点G．
（1）求证：DF＝GF．
（2）若AF＝4，，求圆O的半径．
22．（2025 南通模拟）如图1，BC是⊙O的直径，点A、D在⊙O上，连接BD、CD，DB∥OA，BC＝10，．
（1）求证：AO⊥CD；
（2）求BD的长；
（3）如图2，连接AB，作∠CAB的角平分线交⊙O于F，求AF的长度．
23．（2024 十堰一模）如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，过O作OE∥BC交⊙O于点E，连接AE，BE，AD．
（1）求证：∠ABE＝∠CBE；
（2）若∠C＝45°，∠CAE＝15°，求∠ABC的度数；
（3）若DF＝1，，求AE的长．
24．（2024 金寨县模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD平分∠ABC，交AC于点M．
（1）如图1，求证：AD2＝DM DB．
（2）如图2，若AC经过圆心O，且AB＝4，BC＝3，求BD的长．
答案与解析
一．选择题
1．（2024 西乡塘区模拟）如图，OB，OC是⊙O的半径，∠D＝32°，则∠BOC等于（　　）
A．32° B．58° C．60° D．64°
【点拨】利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可解得本题．
【解析】解：∵OB、OC是⊙O的半径，∠D＝32°，
∴∠BOC＝2∠D＝64°．
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理，同圆或等圆中同弧所对的圆周角是圆心角的一半．
2．（2024 天府新区模拟）如图，AB是⊙O的弦，若⊙O的半径OA＝10，圆心O到弦AB的距离OC＝6，则弦AB的长为（　　）
A．8 B．12 C．16 D．20
【点拨】由垂径定理得到AB＝2AC，由勾股定理求出AC＝＝8，即可得到AB的长．
【解析】解：∵OC⊥AB，
∴AB＝2AC，
∵OA＝10，OC＝6，
∴AC＝＝8，
∴AB＝2×8＝16．
故选：C．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是由垂径定理得到AB＝2AC，由勾股定理求出AC的长．
3．（2024 宜宾）如图，AB是⊙O的直径，若∠CDB＝60°，则∠ABC的度数等于（　　）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【点拨】根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB＝90°，再根据同弧所对的圆周角相等可得∠A＝∠CDB＝60°，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算，即可解答．
【解析】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠CDB＝60°，
∴∠A＝∠CDB＝60°，
∴∠ABC＝90°﹣∠A＝30°，
故选：A．
【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
4．（2024 凉山州）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交于点C，测出AB＝40cm，CD＝10cm，则圆形工件的半径为（　　）
A．50cm B．35cm C．25cm D．20cm
【点拨】根据垂径定理可以得到BD的长，再根据勾股定理，即可求得圆形工件的半径．
【解析】解：设圆心为O，连接OB，如图所示，
∵CD垂直平分AB，AB＝40cm，
∴BD＝20cm，
∵CD＝10cm，OC＝OB，
∴OD＝OB﹣10，
∵∠ODB＝90°，
∴OD2+BD2＝OB2，
∴（OB﹣10）2+202＝OB2，
解得OB＝25，
即圆形工件的半径为25cm，
故选：C．
【点睛】本题考查垂径定理的应用、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
5．（2024 甘谷县三模）如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC＝CD＝DA＝4，则⊙O的周长为（　　）
A．4π B．6π C．8π D．9π
【点拨】如图，连接OD、OC．根据圆心角、弧、弦的关系证得△AOD是等边三角形，则⊙O的半径长为BC＝4cm；然后由圆的周长公式进行计算．
【解析】解：如图，连接OC、OD．
∵AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，BC＝CD＝DA＝4，
∴＝＝，
∴∠AOD＝∠DOC＝∠BOC＝60°．
又OA＝OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴OA＝AD＝4，
∴⊙O的周长＝2×4π＝8π．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等边三角形的判定与性质．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等，即四者有一个相等，则其它三个都相等．
6．（2024 江北区一模）如图，在⊙O中，△AOB是正三角形，点C在上，若∠CAB＝20°，则∠ABC＝（　　）
A．10° B．15° C．20° D．25°
【点拨】连接OC，根据正三角形的性质求出∠BOC＝60°，根据圆周角定理可求解∠COB的度数，根据角的和差求出∠AOC＝20°，再利用圆周角定理求解即可．
【解析】解：连接OC，
∵△AOB是正三角形，
∴∠BOC＝60°，
∵∠CAB＝20°，
∴∠COB＝2∠CAB＝40°，
∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝20°，
∴∠ABC＝∠AOC＝10°，
故选：A．
【点睛】本题主要考查圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．
7．（2024 济宁）如图，分别延长圆内接四边形ABCD的两组对边，延长线相交于点E，F．若∠E＝54°41'，∠F＝43°19'，则∠A的度数为（　　）
A．42° B．41°20' C．41° D．40°20'
【点拨】根据圆内接四边形对角互补得出∠A+∠BCD＝180°，再根据三角形外角的性质得出∠CDF＝∠A+∠E，∠BCD＝∠F+∠CDF，由此得到2∠A+∠F+∠E＝180°，即可求解．
【解析】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A+∠BCD＝180°，
∵∠CDF是△ADE的外角，
∴∠CDF＝∠A+∠E，
∵∠BCD是△CDF的外角，
∴∠BCD＝∠F+∠CDF，
∴∠BCD＝∠F+∠A+∠E，
∵∠A+∠F+∠A+∠E＝180°，
∴2∠A+∠F+∠E＝180°，
∵∠E＝54°41'，∠F＝43°19'，
∴2∠A+54°41'+43°19'＝180°，
∴∠A＝41°，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质及三角形外角的性质，度分秒的换算，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
8．（2024 义乌市模拟）如图，AE是⊙O直径，半径OD与弦AB垂直于点C，连接EC．若AB＝8，CD＝2，则CE的长为（　　）
A．8 B．2 C．3 D．2
【点拨】先根据垂径定理求出AC的长，设⊙O的半径为r，在Rt△OAC中利用勾股定理求出r的值，连接BE，由AE是直径，根据圆周角定理得到∠ABE＝90°，利用OC是△ABE的中位线得到BE＝2OC＝6，然后在Rt△CBE中利用勾股定理可计算出CE．
【解析】解：∵OD⊥AB，AB＝8，
∴AC＝AB＝×8＝4，
设⊙O的半径OA＝r，
∴OC＝OD﹣CD＝r﹣2，
在Rt△OAC中，
r2＝（r﹣2）2+42，
解得：r＝5，
连接BE，如图，
∵OD＝5，CD＝2，
∴OC＝3，
∵AE是直径，
∴∠ABE＝90°，
∵OC是△ABE的中位线，
∴BE＝2OC＝6，
在Rt△CBE中，CE＝＝＝2．
故选：B．
【点睛】本题考查了垂径定理及圆周角定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，作出恰当的辅助线是解答此题的关键．
9．（2024 浙江模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若所对圆心角的度数为80°，则∠C＝（　　）
A．110° B．120° C．135° D．140°
【点拨】连接OD，根据题意求出∠BOD＝80°，根据圆周角定理求出∠A，再根据圆内接四边形的性质求出∠C．
【解析】解：如图，连接OD，
∵所对圆心角的度数为80°，
∴∠BOD＝80°，
由圆周角定理得：∠A＝∠BOD＝40°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠C＝180°，
∴∠C＝180°﹣40°＝140°，
故选：D．
【点睛】本题考查的是圆周角定理、圆内接四边形的性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
10．（2024 定海区三模）如图所示，⊙O的半径是3，直线l与⊙O相交于A，B两点，点M，N在直线l的异侧，且是⊙O上的两个动点，且∠ANB＝135°，则四边形MANB面积的最大值是（　　）
A．9 B． C．18 D．
【点拨】过点O作OC⊥AB于C，交⊙O于D，E两点，连结OA，OB，DA，DB，EA，EB，先证明∠AOB＝90°，得到△OAB为等腰直角三角形，求出AB的长，然后利用S四边形MANB＝S△MAB+S△NAB，得出当M点运动到D点，N点运动到E点，四边形MANB面积最大值，由此计算S四边形DAEB，即得答案．
【解析】解：如图，过点O作OC⊥AB于C，交⊙O于D，E两点，连结OA，OB，DA，DB，EA，EB，
∵∠ANB＝135°，
∴∠AMB＝45°，
∴∠AOB＝2∠AMB＝90°，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴，
∵S四边形MANB＝S△MAB+S△NAB，
∴当点M到AB的距离最大时，△MAB的面积最大，当点N到AB的距离最大时，△NAB的面积最大，
即M点运动到D点，N点运动到E点，
此时四边形MANB面积的最大值
＝S四边形DAEB＝S△DAB+S△EAB
＝
＝
＝
＝
＝．
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，找到使四边形MANB面积最大的点M与点N的位置是解题的关键．
二．填空题
11．（2024秋 泗阳县期末）在⊙O中，弦AB＝3，圆心角∠A0B＝60°，则⊙O的半径为　3　 ．
【点拨】根据等边三角形的判定定理证明△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质得到答案．
【解析】解：∵OA＝OB，∠A0B＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝AB＝3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系和等边三角形的判定和性质，根据题意证明△AOB是等边三角形是解题的关键．
12．（2024 西宁）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为直径CD延长线上一点，＝，∠ADE＝110°，则∠DAB＝ 　125°　 ．
【点拨】根据圆的性质和圆内接四边形的性质，可以求得∠DAB的度数．
【解析】解：连接OA、OB，如图所示，
∵∠ADE＝110°，∠ADE+∠ADO＝180°，
∴∠ADO＝70°，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA＝70°，
∴∠AOD＝40°，
∴∠AOC＝140°，
∵＝，
∴∠AOB＝∠BOC＝70°，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝55°，
∵四边形ABCD为圆内接四边形，
∴∠DAB+∠OCB＝180°，
∴∠DAB＝125°，
故答案为：125°．
【点睛】本题考查圆内接四边形、圆心角、弧、弦的关系，解答本题的关键是明确题意，利用圆内接四边形的性质解答．
13．（2024 牡丹江）如图，在⊙O中，直径AB⊥CD于点E，CD＝6，BE＝1，则弦AC的长为 　　 ．
【点拨】由垂径定理得，设⊙O的半径为r，则O E＝O B﹣E B＝r﹣1，在Rt△OED中，由勾股定理得出方程，求出r＝5，即可得出AE＝9，在Rt△AEC中，由勾股定理即可求解．
【解析】解：∵A B⊥C D，C D＝6，
∴，
设⊙O的半径为r，则O E＝O B﹣E B＝r﹣1，
在Rt△OED中，由勾股定理得：OE2+DE2＝OD2，即（r﹣1）2+32＝r2，
解得：r＝5，
∴OA＝5，OE＝4，
∴AE＝OA+OE＝9，
在Rt△AEC中，由勾股定理得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．
14．（2024 富阳区一模）如图，AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，CD＝8，弦CD与直径AB之间的距离为3，则AB＝　10　 ．
【点拨】过O作OH⊥CD于H，由垂径定理得到CH＝CD＝4，由AB∥CD，得到OH⊥AB，因此OH＝3，由勾股定理求出OC＝＝5，即可得到AB＝2OC＝10．
【解析】解：过O作OH⊥CD于H，
∴CH＝CD＝×8＝4，
∵AB∥CD，
∴OH⊥AB，
∴OH＝3，
∴OC＝＝5，
∴AB＝2OC＝10．
故答案为：10．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是由勾股定理求出OC的长．
15．（2024 杭州模拟）江南水乡杭州有很多小河和石拱桥，石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，它的主桥拱是圆弧形．如图，已知曲院风荷的一座石拱桥的跨度AB＝6米，拱高米，那么桥拱所在圆的半径OA＝　2　 米，弧AB的长度为 　　 米．
【点拨】根据题意构造直角三角形，进而利用勾股定理求出答案，再根据特殊角的三角函数值求出∠DOB的值，利用弧长公式即可求解．
【解析】解：由题意可知，AD＝BD，OD⊥AB，
∵AB＝6米，
∴BD＝3米，
拱高CD＝米，
设OB＝x，则DO＝x﹣，
BD2+DO2＝AO2，
根据题意可得：
32+（x﹣）2＝x2
解得：x＝2，
即圆弧形桥拱所在圆的半径是2米．
∵sin∠DOB＝＝＝，
∴∠DOB＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∴弧AB的长度＝＝π．
故答案为：2，π．
【点睛】此题主要考查了垂径定理的应用以及勾股定理，正确应用垂径定理是解题关键．
16．（2024 镇海区校级模拟）如图，AB、CD是⊙O中的两条弦，相交于点E，且AB⊥CD，AE＝DE，点H为劣弧AD上一动点，G为HE中点，若CE＝1，DE＝7，连结AG，则AG最小值为 　　 ．
【点拨】连接AO，DO，过点O作OK⊥AE，交AE于点K，OF⊥CD，交DE于点F，构造正方形，计算圆的半径，然后作OE的中点M，连接MG，连接OH，推导出点G的运动轨迹是以M为圆心的圆，连接AM与圆M的交点就是AG的最小值．
【解析】解：如图所示，连接AO，DO，过点O作OK⊥AE，交AE于点K，OF⊥CD，交DE于点F，
∵CE＝1，DE＝7，∴CD＝CE+DE＝1+7＝8，
∵OF⊥CD，
∴，
∴EF＝CF﹣CE＝4﹣1＝3，
∵AE＝DE，OA＝OD，OE＝OE，
∴△AOE≌△DOE（SSS），
∴，
∵OK⊥AE，OF⊥CD，
∴OK＝OF，
∵∠AED＝90°，
∴四边形OKEF是正方形，
∴OK＝KE＝EF＝OF＝3，
∴，，
如图所示，作OE的中点M，连接MG，连接OH，
∵点M是OE的中点，G为HE中点，
∴，
∴点G在以点M为圆心，以 为半径的圆上运动，
连接AM交⊙M于点G’，过点M作MN⊥AE，
∴当点A，G，M三点共线时，即点G和点G'重合时，AG的值最小，
∵点M是OE的中点，，
∵MN⊥AE，∠NEM＝45°，
∴∠NME＝45°，
∴△NME是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
，
∴ACG的最小值为 ，
故答案为：．
【点睛】本题考查的重点是垂径定理，解直角三角形，中位线等知识，难点是找点G的运动轨迹，当找到点G的运动轨迹以后再利用两点之间直线最短就可以计算出AG的最小值．
三．解答题
17．（2024 南京）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AD＝BC，对角线AC是⊙O的直径．求证：四边形ABCD是矩形．
【点拨】由AC是⊙O的直径，可得∠B＝∠D＝90°，证明Rt△ABC≌Rt△CDA，得到AB＝CD，可证明四边形ABCD是平行四边形，即可解答．
【解析】证明：∵对角线AC是⊙O的直径，
∴∠B＝∠D＝90°，
∴△ABC和△CDA是直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△CDA中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△CDA（HL），
∴AB＝CD，
又∵AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠B＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形．
【点睛】本题考查了矩形的判定，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识．
18．（2024 凉州区二模）点A，B，C都在⊙O上，且CA＝CB，若AB＝8，⊙O的半径为5，连接CO，求AC的长．
【点拨】连接OA，OB，根据垂径定理得到，然后利用勾股定理求解即可．
【解析】解：如图，连接OA，OB，
∴OA＝OB，
∵CA＝CB，
∴OC垂直平分AB，即CO⊥AB，
∵AB＝8，
∴，
∵⊙O的半径为5，
∴，
∴CD＝OC﹣OD＝5﹣3＝2，
∴．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆的基本性质，解题的关键是利用所判定的垂直，结合垂径定理得到．
19．（2025 广东校级模拟）如图，AB、CD是⊙O的两条弦，AC与BD相交于点E，AB＝CD．
（1）求证：AC＝BD；
（2）连接BC，作直线EO，求证：EO⊥BC．
【点拨】（1）根据利用弧、弦、圆心角的关系得出，进而可得AC＝BD；
（2）因为AB＝CD，所以，即∠ACB＝∠DBC．结合OB＝OC，得出E、O都在BC的垂直平分线上，即可作答．
【解析】证明：（1）∵AB＝CD，
∴＝，
∴+＝+，
即＝，
∴AC＝BD；
（2）连接OB、OC、BC，
∵AB＝CD，
∴＝，
∴∠ACB＝∠DBC，
∴EB＝EC，
∵OB＝OC，
∴E、O都在BC的垂直平分线上，
∴EO⊥BC．
【点睛】本题考查了垂直平分线的判定与性质，利用弧、弦、圆心角的关系求证，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
20．（2024 鹿城区校级三模）如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O交AC于D且OD∥BC，⊙O交BC于点E．
（1）求证：CD＝DE；
（2）若AB＝12，AD＝4，求CE的长度．
【点拨】（1）根据平行线的性质得∠ADO＝∠C，根据圆内接四边形的性质得到∠A+∠BED＝180°，再根据∠CED+∠BED＝180°，OA＝OD，∠ODA＝∠A，得∠C＝∠CED，即可得出结论；
（2）连接AE，根据OD∥BC，得＝＝＝，所以BC＝2OD＝12，AC＝2AD＝8，再根据勾股定理得AE2＝AC2﹣CE2＝AB2﹣BE2，设CE＝x，64﹣x2＝144﹣（12﹣x）2，解方程即可得出答案．
【解析】（1）证明：∵OD∥BC，
∴∠ADO＝∠C，
∴四边形ABED为⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠BED＝180°，
∵∠CED+∠BED＝180°，
∴∠CED＝∠A，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠A，
∴∠C＝∠CED，
∴CD＝DE；
（2）解：如图，连接AE，
∵AB⊙O的直径，
∴AE⊥BC，
∵OD∥BC，
∴＝＝＝，
∴BC＝2OD＝12，AC＝2AD＝8，
在Rt△ACE和Rt△ABE中，根据勾股定理得，
AE2＝AC2﹣CE2＝AB2﹣BE2，
设CE＝x，
∴64﹣x2＝144﹣（12﹣x）2，
解得x＝，
∴CE的长度为．
【点睛】本题考查了圆周角定理，平行线的性质以及勾股定理，正确地作出辅助线和利用圆周角定理，平行线的性质以及勾股定理是解题的关键．
21．（2024 雁塔区校级模拟）如图，AB是圆O的直径，AC是一条弦，D是弧AC的中点．过点D作DE⊥AB于点E，交AC于点F，延长DE交圆O于点H，DB交AC于点G．
（1）求证：DF＝GF．
（2）若AF＝4，，求圆O的半径．
【点拨】（1）D是弧AC的中点，得出＝，再由垂径定理得出＝，∠ADB＝90°，根据等弧所对圆周角相等得出∠ADH＝∠CAD，再根据等角的余角相等得∠DGF＝∠BDH，最后由等角对等边证明即可；
（2）连接连接OD，根据 ，设AE＝x，DE＝2x，利用勾股定理求得x，再利用正切函数计算即可．
【解析】（1）证明：∵D是弧AC的中点，
∴＝，
∵AB⊥DH，且AB是⊙O的直径，
∴＝，∠ADB＝90°，
∴＝，
∴∠ADH＝∠CAD，
∵∠ADB＝90°，
∴∠ADH+∠BDH＝90°，∠DAC+∠DGF＝90°
∴∠DGF＝∠BDH，
∴DF＝GF；
（2）连接OD，
∵DE⊥AB于点E，AB是⊙O的直径，
∴∠ADE＝90°﹣∠DAE＝∠ABD，
∵，
∴，
设AE＝x，DE＝2x，
由（1）得∠ADH＝∠CAD，
∴AF＝DF＝4，
∴EF＝DE﹣DF＝2x﹣4，
在Rt△AEF中，由勾股定理得：EF2+AE2＝AF2，即（2x﹣4）2+x2＝42，
解得：或x＝0（舍去），
∴，
∵，
∴，
∴，
∴AB＝AE+BE＝16，
∴⊙O的半径为8．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，一元二次方程的解法，正切函数，熟练掌握垂径定理，勾股定理，圆周角定理，正切函数是解题的关键．
22．（2025 南通模拟）如图1，BC是⊙O的直径，点A、D在⊙O上，连接BD、CD，DB∥OA，BC＝10，．
（1）求证：AO⊥CD；
（2）求BD的长；
（3）如图2，连接AB，作∠CAB的角平分线交⊙O于F，求AF的长度．
【点拨】（1）先根据圆周角定理得出∠BDC＝90°，再由DB∥OA即可得出结论；
（2）作AH⊥BC于H，OM⊥BD于M，如图1，则BM＝DM，利用勾股定理计算出AB的长，再利用面积法得到AH的长，接着利用勾股定理计算出OH的长，然后证明△AOH≌△OBM得到BM＝OH，而得到BD的长；
（3）作CG⊥AF于G，连接CF、BF，如图2，证明△CBF为等腰直角三角形得到CF＝BC，利用△ACG为等腰直角三角形得到CG＝AG＝AC，然后利用勾股定理计算出GF，从而得到AF的长．
【解析】（1）证明：∵BC是⊙O的直径，
∴∠D＝90°，
∵OA∥BD，
∴∠CEO＝∠D＝90°，
∴AO⊥CD；
（2）解：连接AB，作AH⊥BC于H，OM⊥BD于M，如图1，则BM＝DM，
∵BC为⊙O的直径，
∴∠CAB＝90°，
∴AB＝＝4，
∵AH BC＝AC AB，
∴AH＝＝4，
在Rt△OAH中，OH＝＝＝3，
∵OA∥BD，
∴∠AOH＝∠EBO，
在△AOH和△OBM中，
，
∴△AOH≌△OBM（ASA），
∴BM＝OH＝3，
∴BD＝2BM＝6；
（3）解：作CG⊥AF于G，连接CF、BF，如图2，
∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF＝∠BAF＝45°，
∴CF＝BF，
∴△CBF为等腰直角三角形，
∴CF＝BC＝5，
在Rt△ACG中，CG＝AG＝AC＝，
在Rt△GFC中，GF＝＝2，
∴AF＝AG+GF＝+2＝3．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理．
23．（2024 十堰一模）如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，过O作OE∥BC交⊙O于点E，连接AE，BE，AD．
（1）求证：∠ABE＝∠CBE；
（2）若∠C＝45°，∠CAE＝15°，求∠ABC的度数；
（3）若DF＝1，，求AE的长．
【点拨】（1）由圆的半径相等可得OB＝OE，根据等边对顶角得∠ABE＝∠OEB，再由平行线性质可得∠OEB＝∠CBE，利用等量代换即可证得结论；
（2）延长AE交BC于G，可证得∠BAE＝∠BGE＝∠C+∠CAE＝45°+15°＝60°，运用三角形内角和定理可得答案；
（3）由OA＝OB，可得S△AOE＝S△ABE，进而可得＝，再证得△ABE∽△FBD，可得＝，结合DF＝1，即可求得答案．
【解析】（1）证明：∵OB＝OE，
∴∠ABE＝∠OEB，
∵OE∥BC，
∴∠OEB＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠CBE；
（2）解：如图，延长AE交BC于G，
∵AB是⊙O的直径，
∴BE⊥AE，
∵∠ABE＝∠CBE，
∴∠BAE＝∠BGE＝∠C+∠CAE＝45°+15°＝60°，
∴∠ABC＝∠AOE＝60°；
（3）∵OA＝OB＝AB，
∴S△AOE＝S△ABE，
∵＝，
∴＝，
∵∠ABE＝∠CBE，即∠ABE＝∠FBD，
又∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝∠BDF＝90°，
∴△ABE∽△FBD，
∴＝（）2，
∴（）2＝，
∴＝，
∵DF＝1，
∴AE＝．
【点睛】本题考查圆的综合问题，涉及平行线的性质，三角形的外角的性质，三角形中线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质等知识，需要学生灵活运用所学知识．
24．（2024 金寨县模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD平分∠ABC，交AC于点M．
（1）如图1，求证：AD2＝DM DB．
（2）如图2，若AC经过圆心O，且AB＝4，BC＝3，求BD的长．
【点拨】（1）由角平分线的定义可得∠ABD＝∠CBD，即可得出，结合圆周角定理推出△ADM∽△BDA，由相似三角形的性质可得，即可得证；
（2）由圆周角定理结合角平分线的定义得出，从而得出，推出AD＝CD，由勾股定理得出AC＝5，结合等腰直角三角形的性质得出，作CE⊥BD于E，求出BE、DE的长，即可得解．
【解析】（1）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴，
∴∠ABD＝∠DAC，
∵∠ADB＝∠ADM，
∴△ADM∽△BDA，
∴，
∴AD2＝DM DB；
（2）解：∵AC为直径，
∴∠ABC＝∠ADC＝90°，
∵BD平分∠ABC，
∴，
∴，
∴AD＝CD，
∵在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝3，
∴，
在Rt△ADC中，AD＝CD，AC＝5，
∴，
作CE⊥BD于E，
，
在Rt△BCE中，∠CBE＝45°，BC＝3，
∴，
在Rt△DCE中，，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
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