2025年浙江省中考数学一轮复习专题检测 专题32 概率（含解析）

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专题32 概率
一．选择题
1．（2024 武汉）小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势，这个事件是（　　）
A．随机事件 B．不可能事件 C．必然事件 D．确定性事件
2．（2024 仙居县三模）下列说法正确的是（　　）
A．为了解全国中小学生的心理健康状况，应采用全面调查方法
B．天气预报说“明天的降水概率为80%”，意味着明天有80%的时间在下雨
C．某人连续抛掷一枚质地均匀的硬币5次，结果都是正面朝上，则他第6次抛掷这枚硬币必定正面朝上
D．“买中奖率为的奖券100张，中奖”是随机事件
3．（2024 上城区一模）如图，转盘中8个扇形的面积都相等，涂色的为灰色部分，其余为白色部分，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在灰色区域的概率是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024 辽宁）一个不透明袋子中装有4个白球，3个红球，2个绿球，1个黑球，每个球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，则下列事件发生的概率为的是（　　）
A．摸出白球 B．摸出红球 C．摸出绿球 D．摸出黑球
5．（2024 温州模拟）一个不透明的袋子内装有3个红球，2个黄球，1个蓝球，它们除颜色外其余均相同．现从中随机摸出一球，记下颜色后不放回搅匀，如此继续．根据上表，小明在摸完两次后，第三次摸球摸到红色的概率是（　　）
次数 第一次摸球 第二次摸球 第三次摸球
颜色 红色 红色 ？
A． B． C． D．
6．（2024 山西）一个不透明的盒子里装有一个红球、一个白球和一个绿球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出一个球，则两次摸到的球恰好有一个红球的概率是（　　）
A． B． C． D．
7．（2024 浙江一模）小明所在的班级有20人去体育场观看演出，20张票分别为A区第10排1号到20号．采用随机抽取的办法分票，小明第一个抽取得到10号座位，接着小亮从其余的票中任意抽取一张，取得的一张恰与小明邻座的概率是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025 平塘县一模）做“抛掷一个质地均匀标有1，2，3，4四个数字的正四面体试验”，在大量重复试验中，对于事件“着地面为奇数”的频率和概率，下列说法正确的是（　　）
A．概率等于频率 B．频率等于
C．当试验次数很多时，频率稳定在概率附近 D．试验得到的频率和概率不可能相等
9．（2025 深圳模拟）地面上铺满了正方形的地砖（40cm×40cm），现在向这一地面上抛掷半径为5cm的圆碟．为了估计圆碟与地砖间的间隙相交的概率，数学兴趣小组进行试验，得到了如下数据：
抛掷总次数 50 100 300 500 800 1000
圆碟与地砖间的间隙相交的次数 29 45 133 219 353 440
圆碟与地砖间的间隙相交的频率 0.580 0.450 0.443 0.438 0.441 0.440
由此可估计圆碟与地砖间的间隙相交的概率大约为（　　）
A．0.42 B．0.44 C．0.50 D．0.58
10．（2025 广西模拟）如图，△ABC的面积为10cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP，垂足为P，连接CP，若三角形内有一点M，则点M落在△BPC内（包括边界）的概率为（　　）
A． B． C． D．
二．填空题
11．（2024 天津）不透明袋子中装有10个球，其中有3个绿球、4个黑球、3个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为 　 　 ．
12．（2024 济南）如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成四个扇形，转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域的概率为 　 　 ．
13．（2024 淮安）一只不透明的袋中装有8个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中．通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是0.4，则袋中约有红球 　 　 个．
14．（2025 余姚市一模）某校运会百米预赛用抽签方式确定赛道，8条赛道的编号分别为1到8．若琪琪第一个抽签，她随机抽取一签，则抽到6号赛道的概率是 　 　 ．
15．（2024 西湖区一模）一个仅装有球的不透明布袋里共有6个红球和n个白球（仅有颜色不同）．若从中任意摸出一个球是红球的概率为，则n＝ 　 　 ．
16．（2024 婺城区模拟）我国魏晋时期数学家刘徽首创“割圆术”，估算圆周率近似为3.14．实际上，由圆的面积公式S＝πr2，可得，即求圆周率π的问题就可归结为求圆的面积．而圆的面积S可以用圆内接正多边形的面积来近似估计的，因为当圆的内接正多边形的边数逐渐增加时，它的面积就越来越接近圆的面积．如图，若用半径为2的圆内接正八边形面积近似估计圆的面积，可得π的估计值为 　 　 （结果保留根号）．
三．解答题
17．（2024 榆林二模）某校生物兴趣小组在相同的试验条件下，对某植物种子发芽率进行试验研究时，收集的试验结果如表所示：
试验的种子粒数（n） 500 1000 1500 2000 3000 4000
发芽的种子粒数（m） 471 946 1425 1898 2853 3812
发芽频率 0.942 0.946 0.950 0.949 x 0.953
（1）求表中x的值；
（2）任取一粒这种植物的种子，请你估计它能发芽的概率（精确到0.01）；
（3）若该学校劳动基地需要这种植物幼苗7600株，试估算该小组至少需要准备多少粒种子进行发芽培育．
18．（2024 甘肃）在一只不透明的布袋中，装有质地、大小均相同的四个小球，小球上分别标有数字1，2，3，4．甲乙两人玩摸球游戏，规则为：两人同时从袋中随机各摸出1个小球，若两球上的数字之和为奇数，则甲胜；若两球上的数字之和为偶数，则乙胜．
（1）请用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率．
（2）这个游戏规则对甲乙双方公平吗？请说明理由．
19．（2024 温州模拟）有四张分别标有数字2，4，5，7的卡片，它们的背面都相同，从中任意抽出一张卡片，不放回再从卡片里任意抽出一张．
（1）请用树状图或列表法表示出所有可能的结果；
（2）求两张卡片的数字之和为奇数的概率．
20．（2025 钱塘区一模）已知一个不透明的盒子中装有2个红球，1个白球，它们除颜色外其余均相同．甲乙同学进行摸球游戏，请分别求出下列两个游戏中甲同学获胜的概率．
项目 游戏一 游戏二
摸球规则 摸出1个球 先摸出1个球，记下颜色后放回，再摸出1个球
获胜规则 若摸出红球，则甲胜 若摸出两球颜色相同，则甲胜
若摸出白球，则乙胜 若摸出两球颜色不同，则乙胜
21．（2025 余姚市一模）某市教育局随机抽取几所学校部分初中生进行调查，统计他们平均每天完成作业的时间，并根据调查结果绘制如下不完整的统计图．
请根据图表中提供的信息，解答下面的问题：
（1）教育局抽取的初中生有 　 　 人，扇形统计图中m的值是 　 　 ．
（2）已知平均每天完成作业时长在“100≤x＜110“分的9名初中生中有5名男生和4名女生，若从这9名学生中随机抽取一名进行访谈，且每一名学生被抽到的可能性相同，则恰好抽到男生的概率是 　 　 ．
（3）若该市共有初中生10000名，则平均每天完成作业时长在“70≤x＜80”分的初中生约有多少人？
22．（2025 伊川县一模）李老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球试验，每次摸出一个球（随机摸出记下颜色后放回），如表是活动进行中的一组统计数据．
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到黑球的次数m 23 31 60 130 200 250
摸到黑球的频率 0.23 0.21 0.30 0.26 0.25 a
（1）表中a＝ 　 　 ，并根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是 　 　 ；
（2）请估计袋中白球的个数；
（3）在（2）的条件下，若小艳同学从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球，用画树状图或列表的方法求出她两次都摸出白球的概率．
23．（2025 碑林区一模）劳动教育具有树德、增智、强体、育美的综合育人价值，有利于学生树立正确的劳动观念．为促进学校劳动教育，提升学生劳动技能，实验中学举办了劳动技能大赛，现将项目制做成卡片（除正面不同外，其余均相同），洗匀背面朝上放置在桌面上．大赛规定每位参赛者都从这四个项目中随机抽取其中一个项目进行比赛（每个项目被抽中的可能性相等）．
（1）参赛者小辰从中随机抽取一个项目，则抽到“挑水浇园”的概率为　 　 ；
（2）请利用列表或画树状图的方法，求小辉和小浩两位同学所抽项目不相同的概率．
24．（2024 宁波模拟）2023年10月26日，神舟十七号发射成功，三位宇航员将在太空驻留约6个月．某校为了调查本校学生对航空航天知识的知晓情况，开展了航空航天知识竞赛，从参赛学生中随机抽取若干名学生的成绩进行统计，得到如下不完整的统计图表：
成绩/分 频数/人 频率
60≤x＜70 10 0.1
70≤x＜80 15 b
80≤x＜90 a 0.35
90≤x≤100 40 c
请根据图表信息解答下列问题：
（1）直接写出a，c的值并补全频数分布直方图；
（2）估计此次航天知识竞赛的平均成绩；
（3）某班有2名男生和1名女生的成绩都为100分，若从这3名学生中随机抽取2名学生参加演讲，用列表或画树状图的方法，求抽取的2名学生恰好为1男1女的概率．
答案与解析
一．选择题
1．（2024 武汉）小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势，这个事件是（　）
A．随机事件 B．不可能事件 C．必然事件 D．确定性事件
【点拨】根据必然事件、随机事件的定义进行判断即可．
【解析】解：小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势，这个事件是随机事件．
故选：A．
【点睛】本题考查的是随机事件，熟知在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件是解题的关键．
2．（2024 仙居县三模）下列说法正确的是（　　）
A．为了解全国中小学生的心理健康状况，应采用全面调查方法
B．天气预报说“明天的降水概率为80%”，意味着明天有80%的时间在下雨
C．某人连续抛掷一枚质地均匀的硬币5次，结果都是正面朝上，则他第6次抛掷这枚硬币必定正面朝上
D．“买中奖率为的奖券100张，中奖”是随机事件
【点拨】根据概率的意义、全面调查与抽样调查的定义、随机事件的定义进行解题即可．
【解析】解：A、为了解全国中小学生的心理健康状况，应采用抽样调查方法，故该项不正确，不符合题意；
B、天气预报说“明天的降水概率为80%”，意味着明天有80%的概率下雨，故该项不正确，不符合题意；
C、某人连续抛掷一枚质地均匀的硬币5次，结果都是正面朝上，则他第6次抛掷这枚硬币不一定正面朝上，故该项不正确，不符合题意；
D、“买中奖率为的奖券100张，中奖”是随机事件，故该项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查概率的意义、全面调查与抽样调查、随机事件、概率公式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
3．（2024 上城区一模）如图，转盘中8个扇形的面积都相等，涂色的为灰色部分，其余为白色部分，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在灰色区域的概率是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】首先确定在图中阴影区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针落在灰色区域的概率．
【解析】解：∵圆被等分成8份，其中灰色区域占2份，
∴指针落在灰色区域的概率为．
故选：B．
【点睛】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．
4．（2024 辽宁）一个不透明袋子中装有4个白球，3个红球，2个绿球，1个黑球，每个球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，则下列事件发生的概率为的是（　　）
A．摸出白球 B．摸出红球 C．摸出绿球 D．摸出黑球
【点拨】分别求得各个事件发生的概率，即可得出答案．
【解析】解：∵一个不透明袋子中装有4个白球，3个红球，2个绿球，1个黑球，共有10个球，
∴从中随机摸出一个球，摸出白球的概率为＝，
摸出红球的概率为，
摸出绿球的概率为＝，
摸出黑球的概率为．
故选：B．
【点睛】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
5．（2024 温州模拟）一个不透明的袋子内装有3个红球，2个黄球，1个蓝球，它们除颜色外其余均相同．现从中随机摸出一球，记下颜色后不放回搅匀，如此继续．根据上表，小明在摸完两次后，第三次摸球摸到红色的概率是（　　）
次数 第一次摸球 第二次摸球 第三次摸球
颜色 红色 红色 ？
A． B． C． D．
【点拨】袋子内装有3个红球，2个黄球，1个蓝球，前两次摸出红球不放回，则袋子剩余的小球为1个红球，2个黄球，1个蓝球，利用概率公式求解即可．
【解析】解：∵袋子内装有3个红球，2个黄球，1个蓝球，前两次摸出红球不放回，
则袋子剩余的小球为1个红球，2个黄球，1个蓝球，
∴第三次摸球摸到红色的概率是．
故选：B．
【点睛】本题考查概率公式，熟练掌握概率公式是解答本题的关键．
6．（2024 山西）一个不透明的盒子里装有一个红球、一个白球和一个绿球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出一个球，则两次摸到的球恰好有一个红球的概率是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】列表可得出所有等可能的结果数以及两次摸到的球恰好有一个红球的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解析】解：列表如下：
红 白 绿
红 （红，白） （红，绿）
白 （白，红） （白，绿）
绿 （绿，红） （绿，白）
共有6种等可能的结果，其中两次摸到的球恰好有一个红球的结果有：（红，白），（红，绿），（白，红），（绿，红），共4种，
∴两次摸到的球恰好有一个红球的概率为．
故选：B．
【点睛】本题考查列表法与树状图法和概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
7．（2024 浙江一模）小明所在的班级有20人去体育场观看演出，20张票分别为A区第10排1号到20号．采用随机抽取的办法分票，小明第一个抽取得到10号座位，接着小亮从其余的票中任意抽取一张，取得的一张恰与小明邻座的概率是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】直接利用概率公式求解．
【解析】解：因为与10号座位相邻得有2个座位，
所以小亮从其余的票中任意抽取一张，取得的一张恰与小明邻座的概率为．
故选：A．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：灵活运用概率公式是解决问题的关键．
8．（2025 平塘县一模）做“抛掷一个质地均匀标有1，2，3，4四个数字的正四面体试验”，在大量重复试验中，对于事件“着地面为奇数”的频率和概率，下列说法正确的是（　　）
A．概率等于频率 B．频率等于
C．当试验次数很多时，频率稳定在概率附近 D．试验得到的频率和概率不可能相等
【点拨】大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近．
【解析】大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值，而不是一种必然的结果．
A、频率只能估计概率，故此选项错误；
B、概率等于一，故此选项错误；
C、大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值，故此选项正确；
D、试验得到的频率和概率不可能相等，故此选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查的是模拟实验，大量反复试验下频率稳定值即概率．
9．（2025 深圳模拟）地面上铺满了正方形的地砖（40cm×40cm），现在向这一地面上抛掷半径为5cm的圆碟．为了估计圆碟与地砖间的间隙相交的概率，数学兴趣小组进行试验，得到了如下数据：
抛掷总次数 50 100 300 500 800 1000
圆碟与地砖间的间隙相交的次数 29 45 133 219 353 440
圆碟与地砖间的间隙相交的频率 0.580 0.450 0.443 0.438 0.441 0.440
由此可估计圆碟与地砖间的间隙相交的概率大约为（　　）
A．0.42 B．0.44 C．0.50 D．0.58
【点拨】根据频率估计概率即可．
【解析】解：根据试验数据得：当试验次数逐渐增大时，圆碟与地砖间的间隙相交的频率在0.44左右，
∴可估计圆碟与地砖间的间隙相交的概率大约为0.44．
故选：B．
【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，熟练掌握根据频率估计概率的方法是解题的关键．
10．（2025 广西模拟）如图，△ABC的面积为10cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP，垂足为P，连接CP，若三角形内有一点M，则点M落在△BPC内（包括边界）的概率为（　　）
A． B． C． D．
【点拨】由角平分线的性质和垂线的定义得出△ABP≌△EBP，根据全等三角形的性质得到AP＝PE，得出S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，推出，根据面积概率可得的答案．
【解析】解：延长AP交BC于E，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠EBP，
∵AP⊥BP，
∴∠APB＝∠EPB＝90°，
在△ABP和△EBP中，
，
∴△ABP≌△EBP（ASA），
∴AP＝PE，
∴S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，
∴，
∴点M落在△BPC内（包括边界）的概率为：．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，几何概率．熟练掌握全等三角形的性质和判定，三角形的面积公式，概率公式是解题的关键．
二．填空题
11．（2024 天津）不透明袋子中装有10个球，其中有3个绿球、4个黑球、3个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为 　　 ．
【点拨】直接根据概率公式解答即可．
【解析】解：∵不透明袋子中装有10个球，其中有3个绿球，
∴从袋子中随机取出1个球，它是绿球的概率＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是概率公式，熟记概率公式是解题的关键．
12．（2024 济南）如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成四个扇形，转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域的概率为 　　 ．
【点拨】首先确定在图中红色区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针指向红色区域的概率．
【解析】解：∵圆被等分成4份，其中红色部分占1份，
∴落在红色区域的概率＝．
故答案为：．
【点睛】此题考查几何概率问题，关键是根据概率＝相应的面积与总面积之比解答．
13．（2024 淮安）一只不透明的袋中装有8个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中．通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是0.4，则袋中约有红球 　12　 个．
【点拨】根据白球个数和频率，可以估算出球的总数，然后即可计算出红球个数．
【解析】解：由题意可得，
袋中约有红球：8÷0.4﹣8
＝20﹣8
＝12（个），
故答案为：12．
【点睛】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确题意，利用频率的知识估算出红球的个数．
14．（2025 余姚市一模）某校运会百米预赛用抽签方式确定赛道，8条赛道的编号分别为1到8．若琪琪第一个抽签，她随机抽取一签，则抽到6号赛道的概率是 　　 ．
【点拨】直接由概率公式求解即可．
【解析】解：∵8条赛道的编号分别为1到8，
∴若琪琪第一个抽签，她随机抽取一签，则抽到6号赛道的概率是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了概率公式：概率＝所求情况数与总情况数之比．熟记概率公式是解题的关键．
15．（2024 西湖区一模）一个仅装有球的不透明布袋里共有6个红球和n个白球（仅有颜色不同）．若从中任意摸出一个球是红球的概率为，则n＝ 　2　 ．
【点拨】根据概率公式列出分式方程求解，即可解题．
【解析】解：由题意得，
＝，
解得n＝2，
经检验n＝2是所列分式方程的根，
∴n＝2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查已知概率求数量、以及解分式方程，解题的关键是掌握概率公式．
16．（2024 婺城区模拟）我国魏晋时期数学家刘徽首创“割圆术”，估算圆周率近似为3.14．实际上，由圆的面积公式S＝πr2，可得，即求圆周率π的问题就可归结为求圆的面积．而圆的面积S可以用圆内接正多边形的面积来近似估计的，因为当圆的内接正多边形的边数逐渐增加时，它的面积就越来越接近圆的面积．如图，若用半径为2的圆内接正八边形面积近似估计圆的面积，可得π的估计值为 　2　 （结果保留根号）．
【点拨】过点A作AH⊥OB于H，根据正八边形的性质求出∠AOB，根据等腰直角三角形的性质求出AH，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【解析】解：如图，过点A作AH⊥OB于H，
∵八边形是正八边形，
∴∠AOB＝＝45°，
∴AH＝OA＝2×＝，
∴S△AOB＝×2×＝，
∴八边形的面积为8，
则π＝＝2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查的是利用频率估计概率、正多边形的计算，熟记正八边形的性质是解题的关键．
三．解答题
17．（2024 榆林二模）某校生物兴趣小组在相同的试验条件下，对某植物种子发芽率进行试验研究时，收集的试验结果如表所示：
试验的种子粒数（n） 500 1000 1500 2000 3000 4000
发芽的种子粒数（m） 471 946 1425 1898 2853 3812
发芽频率 0.942 0.946 0.950 0.949 x 0.953
（1）求表中x的值；
（2）任取一粒这种植物的种子，请你估计它能发芽的概率（精确到0.01）；
（3）若该学校劳动基地需要这种植物幼苗7600株，试估算该小组至少需要准备多少粒种子进行发芽培育．
【点拨】（1）根据发芽频率＝，代入对应的数值即可求解；
（2）根据概率是大量重复试验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率；
（3）根据（2）中的概率，可以用发芽棵树＝幼苗棵树×概率可得出结论．
【解析】解：（1）；
（2）概率是大量重复试验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率；
∴这种种子在此条件下发芽的概率约为0.95．
（3）若该学校劳动基地需要这种植物幼苗7600棵，
需要准备（粒）种子进行发芽培育．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，解题的关键是掌握：频率＝所求情况数与总情况数之比．
18．（2024 甘肃）在一只不透明的布袋中，装有质地、大小均相同的四个小球，小球上分别标有数字1，2，3，4．甲乙两人玩摸球游戏，规则为：两人同时从袋中随机各摸出1个小球，若两球上的数字之和为奇数，则甲胜；若两球上的数字之和为偶数，则乙胜．
（1）请用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率．
（2）这个游戏规则对甲乙双方公平吗？请说明理由．
【点拨】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，利用概率公式求出甲获胜的概率即可；
（2）根据树状图计算乙获胜的概率，比较作出判断即可．
【解析】解：（1）画树状图得：
共有12种等可能的结果，其中甲获胜的结果有8种，
∴甲获胜的概率为；
（2）不公平．
由树状图可知，乙获胜的结果有4种，
∴乙获胜的概率为，
∵，
∴游戏不公平．
【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
19．（2024 温州模拟）有四张分别标有数字2，4，5，7的卡片，它们的背面都相同，从中任意抽出一张卡片，不放回再从卡片里任意抽出一张．
（1）请用树状图或列表法表示出所有可能的结果；
（2）求两张卡片的数字之和为奇数的概率．
【点拨】（1）首先根据题意画出树状图，得出所有等可能的结果数；
（2）根据（1）得出所有等可能的结果数和两张卡片的数字之和为奇数的情况数，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解析】解：（1）根据题意画图如下：
共有12种等情况数；
（2）根据（1）可得：共有12种等情况数，摸出的两张卡片的数字之和为奇数的有8种，
则摸出的两张卡片的数字之和为奇数的概率是．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率，解答本题的关键要注意画树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意此题属于不放回实验．
20．（2025 钱塘区一模）已知一个不透明的盒子中装有2个红球，1个白球，它们除颜色外其余均相同．甲乙同学进行摸球游戏，请分别求出下列两个游戏中甲同学获胜的概率．
项目 游戏一 游戏二
摸球规则 摸出1个球 先摸出1个球，记下颜色后放回，再摸出1个球
获胜规则 若摸出红球，则甲胜 若摸出两球颜色相同，则甲胜
若摸出白球，则乙胜 若摸出两球颜色不同，则乙胜
【点拨】游戏一：由题意知，共有3种等可能的结果，其中摸出红球的结果有2种，利用概率公式可得答案；游戏二：列表可得出所有等可能的结果数以及摸出两球颜色相同的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解析】解：游戏一：由题意知，共有3种等可能的结果，其中摸出红球的结果有2种，
∴甲同学获胜的概率为．
游戏二：列表如下：
红 红 白
红 （红，红） （红，红） （红，白）
红 （红，红） （红，红） （红，白）
白 （白，红） （白，红） （白，白）
共有9种等可能的结果，其中摸出两球颜色相同的结果有5种，
∴甲同学获胜的概率为．
【点睛】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
21．（2025 余姚市一模）某市教育局随机抽取几所学校部分初中生进行调查，统计他们平均每天完成作业的时间，并根据调查结果绘制如下不完整的统计图．
请根据图表中提供的信息，解答下面的问题：
（1）教育局抽取的初中生有 　抽样调查　 人，扇形统计图中m的值是 　300　 ．
（2）已知平均每天完成作业时长在“100≤x＜110“分的9名初中生中有5名男生和4名女生，若从这9名学生中随机抽取一名进行访谈，且每一名学生被抽到的可能性相同，则恰好抽到男生的概率是 　　 ．
（3）若该市共有初中生10000名，则平均每天完成作业时长在“70≤x＜80”分的初中生约有多少人？
【点拨】（1）根据教育局随机抽取几所学校部分初中生进行调查即可得出答案；
（2）根据概率公式求解；
（3）根据样本中70≤t＜80的人数占抽样人数的30%估计全市人数即可．
【解析】解：（1）∵教育局随机抽取几所学校部分初中生进行调查，
∴教育局采取的调查方式是抽样调查，
故答案为：抽样调查；
（2）∵所有可能抽到的结果数为9，抽到男生的结果数为5，且每一名学生被抽到的可能性相同，
∴P（抽到男生）＝，
故答案为：；
（3）10000×30%＝3000（人），
故答案为：3000．
【点睛】本题考查了概率公式，全面调查与抽样调查，扇形统计图，用样本估计总体，用样本中70≤t＜80的人数占抽样人数的30%估计全市人数是解题的关键．
22．（2025 伊川县一模）李老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球试验，每次摸出一个球（随机摸出记下颜色后放回），如表是活动进行中的一组统计数据．
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到黑球的次数m 23 31 60 130 200 250
摸到黑球的频率 0.23 0.21 0.30 0.26 0.25 a
（1）表中a＝ 　0.25　 ，并根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是 　0.25　 ；
（2）请估计袋中白球的个数；
（3）在（2）的条件下，若小艳同学从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球，用画树状图或列表的方法求出她两次都摸出白球的概率．
【点拨】（1）用大量重复试验中事件发生的频率稳定到某个常数来表示该事件发生的概率即可；
（2）利用概率公式列出方程求解即可；
（3）用画树状图将所有等可能的结果列举出来，然后利用概率公式求解即可．
【解析】解：（1）a＝250÷1000＝0.25，
由表格的数据可是，通过多次摸球试验后发现其中摸到黑球的频率稳定在0.25左右，
∴估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是0.25；
故答案为：0.25，0.25；
（2）设袋中白球的个数为x，
∵袋中有1个黑球，
∴＝0.25，
解得x＝3，
经检验，x＝3是分式方程的解，
∴估计袋中白球的个数为3；
（3）树状图如下：
共有16种等可能的情况，两次都摸出白球的情况有9种，
∴P（两次都摸出白球）＝．
【点睛】本题考查频率与概率，概率公式，画树状图或列表法求概率，熟知以上知识是解题的关键．
23．（2025 碑林区一模）劳动教育具有树德、增智、强体、育美的综合育人价值，有利于学生树立正确的劳动观念．为促进学校劳动教育，提升学生劳动技能，实验中学举办了劳动技能大赛，现将项目制做成卡片（除正面不同外，其余均相同），洗匀背面朝上放置在桌面上．大赛规定每位参赛者都从这四个项目中随机抽取其中一个项目进行比赛（每个项目被抽中的可能性相等）．
（1）参赛者小辰从中随机抽取一个项目，则抽到“挑水浇园”的概率为　　 ；
（2）请利用列表或画树状图的方法，求小辉和小浩两位同学所抽项目不相同的概率．
【点拨】（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到“挑水浇园”的结果有1种，利用概率公式可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及小辉和小浩两位同学所抽项目不相同的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解析】解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到“挑水浇园”的结果有1种，
∴抽到“挑水浇园”的概率为．
故答案为：．
（2）列表如下：
A B C D
A （A，A） （A，B） （A，C） （A，D）
B （B，A） （B，B） （B，C） （B，D）
C （C，A） （C，B） （C，C） （C，D）
D （D，A） （D，B） （D，C） （D，D）
共有16种等可能的结果，其中小辉和小浩两位同学所抽项目不相同的结果有12种，
∴小辉和小浩两位同学所抽项目不相同的概率为．
【点睛】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
24．（2024 宁波模拟）2023年10月26日，神舟十七号发射成功，三位宇航员将在太空驻留约6个月．某校为了调查本校学生对航空航天知识的知晓情况，开展了航空航天知识竞赛，从参赛学生中随机抽取若干名学生的成绩进行统计，得到如下不完整的统计图表：
成绩/分 频数/人 频率
60≤x＜70 10 0.1
70≤x＜80 15 b
80≤x＜90 a 0.35
90≤x≤100 40 c
请根据图表信息解答下列问题：
（1）直接写出a，c的值并补全频数分布直方图；
（2）估计此次航天知识竞赛的平均成绩；
（3）某班有2名男生和1名女生的成绩都为100分，若从这3名学生中随机抽取2名学生参加演讲，用列表或画树状图的方法，求抽取的2名学生恰好为1男1女的概率．
【点拨】（1）由成绩在60≤x＜70的频数除以频率得出调查的学生人数，即可解决问题；
（2）根据加权平均数的定义列式计算即可；
（3）画树状图，共有6种等可能出现的结果，其中抽取的2名学生恰好为1男1女的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【解析】解：（1）调查的学生人数为：10÷0.1＝100（人），
∴a＝0.35×100＝35，c＝40÷100＝0.4，
补全频数分布直方图如下：
（2）（65×10+75×15+85×35+95×40）＝85.5（分），
答：估计此次航天知识竞赛的平均成绩为85.5分；
（3）画树状图如下：
共有6种等可能出现的结果，其中抽取的2名学生恰好为1男1女的结果有4种，
∴抽取的2名学生恰好为1男1女的概率为＝．
【点睛】本题考查的是用列表法或树状图法求概率以及频数分布表和频数分布直方图等知识．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
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