19．2 平行四边形
第5课时 三角形的中位线
知识梳理
1．连接三角形两边__ __的线段叫做三角形的中位线．
2．三角形两边中点连线__ __于第三边，并且等于第三边的__ __．
3．三角形的三条中线的交点就是三角形的__ __．
4．三角形的三条中线相交于__ __点，这点和各边中点的距离等于相应各边上中线的__ __．
三角形的中位线与中线有着本质的区别，首先是定义的不同，其次是位置和性质的不同，切莫混为一谈．
重难突破
重难点 三角形中位线性质的运用
【典例】如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，连接BE，过点C作CF∥BE，交DE的延长线于点F，若DE＝1，求DF的长．
三角形中位线的性质包含两个内容：(1)从位置上讲，三角形的中位线平行于第三边，这一性质经常用来判定两条直线的位置关系是否平行；(2)从数量上来讲，三角形的中位线等于第三边的一半，这一性质经常用来进行线段的计算或者等量(倍分)关系的转化．
【对点训练】
1．如图，在△ABC中，AD是△ABC中的∠BAC的平分线，BD⊥AD，E是边BC的中点，如果AB＝6，AC＝14，求DE的长．
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AE平分∠CAB，CE⊥AE于点E，延长CE交AB于点D.
(1)求证：CE＝DE；
(2)若点F为BC的中点，求EF的长．
课堂10分钟
1．在△ABC中，D，E分别是AB，AC边的中点，且DE＝5，则BC边的长为( )
A．8 B．9 C．10 D．12
2．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，作BF平分∠ABC交DE于点F，若AB＝10，EF＝1，则BC的长为( )
A．10 B．11 C．12 D．14
3．如图所示，△ABC的两条中线CD，AE相交于点F，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝8，则DE＝__ __，EF＝__ __.
4．如图，在四边形ABCD中，∠A＝60°，AD＝2，AB＝3，M，N分别为线段BC，AB上的动点(含端点，但点M不与点B重合)，E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为__ __．
5．如图，在四边形ABCD中，AC＝BD，AC，BD相交于点O，E，F分别是AB，CD的中点，EF分别交AC，BD于点H，G.求证：OG＝OH.19．2 平行四边形
第5课时 三角形的中位线
知识梳理
1．连接三角形两边__中点__的线段叫做三角形的中位线．
2．三角形两边中点连线__平行__于第三边，并且等于第三边的__一半__．
3．三角形的三条中线的交点就是三角形的__重心__．
4．三角形的三条中线相交于__一__点，这点和各边中点的距离等于相应各边上中线的____．
三角形的中位线与中线有着本质的区别，首先是定义的不同，其次是位置和性质的不同，切莫混为一谈．
重难突破
重难点 三角形中位线性质的运用
【典例】如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，连接BE，过点C作CF∥BE，交DE的延长线于点F，若DE＝1，求DF的长．
解：∵D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，BC＝2DE＝2.
∵CF∥BE，EF∥BC，
∴四边形FEBC为平行四边形，
∴EF＝BC＝2，∴DF＝EF＋DE＝3.
三角形中位线的性质包含两个内容：(1)从位置上讲，三角形的中位线平行于第三边，这一性质经常用来判定两条直线的位置关系是否平行；(2)从数量上来讲，三角形的中位线等于第三边的一半，这一性质经常用来进行线段的计算或者等量(倍分)关系的转化．
【对点训练】
1．如图，在△ABC中，AD是△ABC中的∠BAC的平分线，BD⊥AD，E是边BC的中点，如果AB＝6，AC＝14，求DE的长．
如图，延长BD交AC于点F，
∵BD⊥AD，
∴∠ADB＝∠ADF.
∵AD是△ABC中∠BAC的平分线，∴∠BAD＝∠FAD.
在△BAD与△FAD中，
∴△BAD≌△FAD(ASA)，
∴BD＝DF，AF＝AB＝6，∴CF＝AC－AF＝8.
∵E是边BC的中点，∴BE＝CE，
∴CF＝AC－AF＝8，∴DE＝CF＝4，
故DE的长为4.
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AE平分∠CAB，CE⊥AE于点E，延长CE交AB于点D.
(1)求证：CE＝DE；
(2)若点F为BC的中点，求EF的长．
(1)∵AE平分∠CAB，∴∠CAE＝∠BAE.
∵CE⊥AE，∴∠AEC＝∠AED＝90°.
在△AEC和△AED中，
∴△AEC≌△AED(ASA)，∴CE＝DE；
(2)在Rt△ABC中，∵AC＝6，BC＝8，
∴AB2＝AC2＋BC2＝62＋82＝100，∴AB＝10.
∵△AEC≌△AED，∴AD＝AC＝6，
∴BD＝AB－AD＝4.
∵E为CD的中点，F为BC的中点，∴EF＝BD＝2.
课堂10分钟
1．在△ABC中，D，E分别是AB，AC边的中点，且DE＝5，则BC边的长为( C )
A．8 B．9 C．10 D．12
2．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，作BF平分∠ABC交DE于点F，若AB＝10，EF＝1，则BC的长为( C )
A．10 B．11 C．12 D．14
∵D，E分别是AB，AC的中点，∴DE∥BC，DE＝BC，AD＝BD＝AB＝5，
∴∠DFB＝∠FBC.∵BF是∠ABC的平分线，
∴∠ABF＝∠FBC，∴∠DBF＝∠DFB，
∴DB＝DF＝5，∴DE＝DF＋EF＝5＋1＝6，
∴BC＝2DE＝12.
3．如图所示，△ABC的两条中线CD，AE相交于点F，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝8，则DE＝__3__，EF＝____.
∵∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝8，
∴AC2＝AB2－BC2＝102－82＝36，∴AC＝6.
∵△ABC的两条中线CD，AE相交于点F，
∴DE＝AC＝3，EF＝AE，CE＝BC＝4.
∵AE2＝AC2＋CE2＝62＋42＝52，
∴AE＝2，∴EF＝.
4．如图，在四边形ABCD中，∠A＝60°，AD＝2，AB＝3，M，N分别为线段BC，AB上的动点(含端点，但点M不与点B重合)，E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为____．
∵ED＝EM，MF＝FN，EF＝DN，∴DN最大时，EF最大，∴N与B重合时DN＝DB最大．
在Rt△ADH中，∵∠A＝60°，∴∠ADH＝30°，
∴AH＝2×＝1，DH＝AH＝，
∴BH＝AB－AH＝3－1＝2，
∴DB2＝DH2＋BH2＝()2＋22＝7，
∴DB＝，∴EFmax＝DB＝.
5．如图，在四边形ABCD中，AC＝BD，AC，BD相交于点O，E，F分别是AB，CD的中点，EF分别交AC，BD于点H，G.求证：OG＝OH.
如图，取BC边的中点M，连接EM，FM.
∵M，F分别是BC，CD边的中点，
∴MF∥BD，MF＝BD.
同理，ME∥AC，ME＝AC，
∵AC＝BD，∴ME＝MF，
∴∠MEF＝∠MFE.
∵MF∥BD，∴∠MFE＝∠OGH.
同理∠MEF＝∠OHG，
∴∠OGH＝∠OHG，∴OG＝OH.
