19．2 平行四边形
第1课时 平行四边形边和角的性质
知识梳理
1．两组对边分别__平行__的四边形叫做平行四边形．
2．平行四边形的对边__相等__，对角__相等__．
3．两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫做这两条平行线之间的__距离__．
4．两条平行线之间的距离__处处相等__．
两条平行线之间的平行线段相等，两条平行线之间的距离处处相等，不要因为相等就混淆它们之间的区别．
重难突破
重难点 平行四边形对边的性质的运用
【典例】如图，在平行四边形ABCD中，E是AD的中点，连接BE并延长，交CD的延长线于点F.求证：DF＝CD.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠ABE＝∠F.
∵E是AD的中点，∴AE＝DE.
在△ABE和△DFE中，
∴△ABE≌△DFE(AAS)，∴AB＝DF，∴DF＝CD.
平行四边形的对边平行且相等，对边平行经常用来判定两个角之间的关系，对边相等经常作为过渡条件运用于进一步的证明之中．
【对点训练】
1．如图，在 ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，并且AF＝CE.求证：BF＝DE.
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，∠DAC＝∠BCA.
∵AF＝CE，∴AE＝CF.
在△ADE和△CBF中，
∴△ADE≌△CBF(SAS)，∴BF＝DE.
2．在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的点，BE＝DF，求证：AE∥CF.
∵四边形ABCD为平行四边形，
∵AD＝BC，AD∥BC，∴∠ADE＝∠CBF.
∵BE＝DF，∴DE＝BF.
在△ADE与△CBF中，
∴△ADE≌△CBF(SAS)，
∴∠AED＝∠CFB，∴AE∥CF.
课堂10分钟
1．如图，在 ABCD中，∠B＝42°，则∠D的度数是( D )
A．148° B．138°
C．48° D．42°
2．在平行四边形ABCD中，如果∠A＋∠C＝160°，那么∠C等于( A )
A．80° B．60°
C．40° D．20°
3．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，A(0，3)，D(1，0)，点C落在x轴的正半轴上，点B落在第一象限内，按如图步骤作图，则点H的坐标为( A )
A．(，3) B．(－3，3)
C．(3，3) D．(－1，3)
4．如图，E，F分别是平行四边形ABCD的边AB，CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若S△APD＝17 cm2，S△BQC＝27 cm2，则阴影部分的面积为__44__cm2.
如图，连接EF，
∵△ADF与△DEF同底等高，∴S△ADF＝S△DEF，即S△ADF－S△DPF＝S△DEF－S△DPF，
即S△APD＝S△EPF＝17 cm2.同理可得S△BQC＝S△EFQ＝27 cm2，∴阴影部分的面积为S△EPF＋S△EFQ＝17＋27＝44 cm2.
5．如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD且交BC于点E，∠D＝70°，求∠AEC的度数．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠D＋∠BAD＝180°，∠DAE＋∠AEC＝180°.
∵∠D＝70°，
∴∠BAD＝180°－∠D＝110°.
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE＝∠BAD＝55°.
∵AD∥BC，
∴∠AEC＝180°－∠DAE＝180°－55°＝125°.
6．如图，在 ABCD中，E，F分别是BC，AD上的点，BE＝DF.
(1)求证：AE＝CF；
(2)若∠BCD＝2∠B，求∠B的度数．
(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠B＝∠D.
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF，
∴AE＝CF；
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∴∠B＋∠BCD＝180°.
又∵∠BCD＝2∠B，∴∠B＝60°.
第2课时 平行四边形对角线的性质
知识梳理
平行四边形的对角线__互相平分__．
平行四边形的对角线互相平分，每一条对角线不一定是所在的四边形的内角的平分线．
重难突破
重难点 平行四边形对角线性质的运用
【典例】已知：四边形ABCD是平行四边形，O是对角线AC，BD的交点，EF过点O且与AB，CD分别相交于点E，F，连接EC，AF.
求证：(1)DF＝EB；(2)AF＝CE.
证明：(1)(方法一)∵四边形ABCD是平行四边形，O是对角线AC，BD的交点，
∴AO＝CO，DC∥AB，DC＝AB，
2∴∠FCA＝∠CAB.
在△FOC和△EOA中，
∴△FOC≌△EOA(ASA)，∴FC＝AE，
∴DC－FC＝AB－AE，即DF＝EB.
(方法二)∵四边形ABCD是平行四边形，O是对角线AC，BD的交点，
∴DO＝BO，DC∥AB，∴∠FDO＝∠EBO.
在△DOF和△BOE中，
∴△DOF≌△BOE(ASA)，
∴DF＝EB；
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB，∠ADF＝∠CBE，
在△ADF和△CBE中，
∴△ADF≌△CBE(SAS)，∴AF＝CE.
平行四边形的对角线相等的性质经常结合全等三角形的判定与性质综合运用．
【对点训练】
1．如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点，连接DE，BF，试判断线段DE与BF的关系，并说明理由．
DE＝BF，且DE∥BF.
理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，∴OA＝OC，OD＝OB.
∵点E，F分别是OA，OC的中点，
∴OE＝OA，OF＝OC，∴OE＝OF.
在△DOE和△BOF中，
∴△DOE≌△BOF(SAS)，
∴DE＝BF，∠ODE＝∠OBF，∴DE∥BF.
2．平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别为线段BO，DO的两点，BE＝DF，求证：AF∥CE.
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，∴OD＝OB，OA＝OC.
∵BE＝DF，∴OD－DF＝OB－BE，∴OF＝OE.
在△AOF和△COE中，
∴△AOF≌△COE(SAS)，∴∠AFO＝∠CEO，
∴AF∥CE.
课堂10分钟
1．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，AC与BD相交于点O，则下列说法正确的是( B )
A．AO＝BO B．∠ABC＝∠ADC
C．∠BAC＝∠ADC D．AC＝BD
2．如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知BD＝12，AC＝6，△AOB的周长为14，则DC的长为( C )
A．3 B．4 C．5 D．6
∵ ABCD的对角线AC，BD交于点O，BD＝12，AC＝6，∴AO＝AC＝3，BO＝BD＝6，CD＝AB.又∵△AOB的周长为14，
∴AO＋BO＋AB＝14，
∴CD＝AB＝14－3－6＝5.
3．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3 cm，BC＝5 cm，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是( A )
A．1 cm＜OA＜4 cm B．2 cm＜OA＜8 cm
C．2 cm＜OA＜5 cm D．3 cm＜OA＜8 cm
∵AB＝3 cm，BC＝5 cm，
∴2 cm＜AC＜8 cm.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝AC，
∴1 cm＜OA＜4 cm.
4．在 ABCD中，AB＝，对角线AC，BD相交于点O，AC＝2，BD＝4，则BC的长是( A )
A． B．3
C．2 D．5
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝AC＝1，BO＝BD＝2.
∵12＋()2＝4＝22，即AB2＋AO2＝BO2，∴△AOB是直角三角形，且∠BAO＝90°，
∴BC2＝AB2＋AC2＝7，
∴BC＝.
5．如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BD⊥CD，AC＝6，BD＝4，则AB的长为____．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AO＝CO＝AC＝×6＝3，BO＝DO＝BD＝×4＝2.
∵对角线AC，BD相交于点O，BD⊥CD，
∴∠ABD＝∠CDB＝90°.
在Rt△ABO中，AB2＝AO2－OB2＝32－22＝5，
∴AB＝.
6．如图，在 ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且AE＝CF，EF，BD相交于点O，求证：直线AC经过O点．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠ODE＝∠OBF.
∵AE＝CF，
∴DE＝BF.
在△DOE和△BOF中，
∴△DOE≌△BOF(AAS)，
∴OD＝OB.
∵平行四边形的对角线互相平分，
∴直线AC经过O点．19．2 平行四边形
第1课时 平行四边形边和角的性质
知识梳理
1．两组对边分别__ __的四边形叫做平行四边形．
2．平行四边形的对边__ __，对角__ __．
3．两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫做这两条平行线之间的__ __．
4．两条平行线之间的距离__ __．
两条平行线之间的平行线段相等，两条平行线之间的距离处处相等，不要因为相等就混淆它们之间的区别．
重难突破
重难点 平行四边形对边的性质的运用
【典例】如图，在平行四边形ABCD中，E是AD的中点，连接BE并延长，交CD的延长线于点F.求证：DF＝CD.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠ABE＝∠F.
∵E是AD的中点，∴AE＝DE.
在△ABE和△DFE中，
∴△ABE≌△DFE(AAS)，∴AB＝DF，∴DF＝CD.
平行四边形的对边平行且相等，对边平行经常用来判定两个角之间的关系，对边相等经常作为过渡条件运用于进一步的证明之中．
【对点训练】
1．如图，在 ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，并且AF＝CE.求证：BF＝DE.
2．在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的点，BE＝DF，求证：AE∥CF.
课堂10分钟
1．如图，在 ABCD中，∠B＝42°，则∠D的度数是( )
A．148° B．138°
C．48° D．42°
2．在平行四边形ABCD中，如果∠A＋∠C＝160°，那么∠C等于( )
A．80° B．60°
C．40° D．20°
3．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，A(0，3)，D(1，0)，点C落在x轴的正半轴上，点B落在第一象限内，按如图步骤作图，则点H的坐标为( )
A．(，3) B．(－3，3)
C．(3，3) D．(－1，3)
4．如图，E，F分别是平行四边形ABCD的边AB，CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若S△APD＝17 cm2，S△BQC＝27 cm2，则阴影部分的面积为__ __cm2.
5．如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD且交BC于点E，∠D＝70°，求∠AEC的度数．
6．如图，在 ABCD中，E，F分别是BC，AD上的点，BE＝DF.
(1)求证：AE＝CF；
(2)若∠BCD＝2∠B，求∠B的度数．
第2课时 平行四边形对角线的性质
知识梳理
平行四边形的对角线__ __．
平行四边形的对角线互相平分，每一条对角线不一定是所在的四边形的内角的平分线．
重难突破
重难点 平行四边形对角线性质的运用
【典例】已知：四边形ABCD是平行四边形，O是对角线AC，BD的交点，EF过点O且与AB，CD分别相交于点E，F，连接EC，AF.
求证：(1)DF＝EB；(2)AF＝CE.
平行四边形的对角线相等的性质经常结合全等三角形的判定与性质综合运用．
【对点训练】
1．如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点，连接DE，BF，试判断线段DE与BF的关系，并说明理由．
2．平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别为线段BO，DO的两点，BE＝DF，求证：AF∥CE.
课堂10分钟
1．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，AC与BD相交于点O，则下列说法正确的是( )
A．AO＝BO B．∠ABC＝∠ADC
C．∠BAC＝∠ADC D．AC＝BD
2．如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知BD＝12，AC＝6，△AOB的周长为14，则DC的长为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
3．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3 cm，BC＝5 cm，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是( )
A．1 cm＜OA＜4 cm B．2 cm＜OA＜8 cm
C．2 cm＜OA＜5 cm D．3 cm＜OA＜8 cm
4．在 ABCD中，AB＝，对角线AC，BD相交于点O，AC＝2，BD＝4，则BC的长是( )
A． B．3
C．2 D．5
5．如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BD⊥CD，AC＝6，BD＝4，则AB的长为__ __．
6．如图，在 ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且AE＝CF，EF，BD相交于点O，求证：直线AC经过O点．
