19．2 平行四边形
第3课时 平行四边形的判定(1)
知识梳理
一组对边__ __且__ __的四边形是平行四边形．
平行四边形的判定定理1中“平行”是指两条对边的位置关系，“相等”是指两条对边的数量关系，两者缺一不可．
重难突破
重难点 平行四边形的判定定理1的运用
【典例】如图，E，F是四边形ABCD对角线AC上的两点，AD∥BC，DF∥BE，AE＝CF.
求证：(1)△AFD≌△CEB；
(2)四边形ABCD是平行四边形．
四边形对边的等量关系可以通过已知条件或者三角形全等的判定与性质得到证明，对边的位置关系可以通过已知条件或者“三线八角”进行判定．
【对点训练】
1．如图，△ABC为等边三角形，D，F分别为BC，AB上的点，且CD＝BF.
(1)求证：△ACD≌△CBF；
(2)以AD为边作等边三角形△ADE，点D在线段BC上的何处时，四边形CDEF是平行四边形．
2．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12 cm，BC＝15 cm，点P自点A向点D以1 cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向点B以2 cm/s的速度运动，到B点即停止，点P，Q同时出发，设运动时间为t(s).
(1)用含t的代数式表示：
AP＝__ __；DP＝__ __；BQ＝__ __；CQ＝__ __；
(2)当t为何值时，四边形APQB是平行四边形？
(3)当t为何值时，四边形PDCQ是平行四边形？
课堂10分钟
1．小军不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，他带了两块碎玻璃到商店配成了一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带的碎玻璃编号是( )
A．①② B．③④ C．②③ D．①④
2．如图，点A(0，3)，B(－1，－1)，C(4，0)在平面直角坐标系中，将点O平移后可得到点D，则下列平移可得到平行四边形ABCD的是( )
A．点O向右平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度得点D
B．点O向右平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度得点D
C．点O向右平移5个单位长度，再向上平移4个单位长度得点D
D．点O向右平移5个单位长度，再向上平移5个单位长度得点D
3．在四边形ABCD中，AD＝BC，添加一个条件__ __，可得四边形ABCD成为平行四边形．
4．在平面直角坐标系中，已知点A(1，0)，B(2，1)，C(－1，1)，若以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标是__ __．
5．如图，已知△ABC是等边三角形，D，E分别在边BC，AC上，且CD＝CE，连接DE并延长至点F，使EF＝AE，连接AF，BE和CF.
(1)请在图中找出一对全等三角形，用符号“≌”表示，并加以证明；
(2)判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由．
第4课时 平行四边形的判定(2)
知识梳理
1．两组对边分别相等的四边形是__ __．
2．对角线__ __的四边形是平行四边形．
平行四边形的判定方法多样，针对具体题目要采用合理简洁的证明方法，不能因为局限于唯一思路出错．
重难突破
重难点 平行四边形判定方法的灵活运用
【典例】如图，△ABD，△APE和△BPC均为直线AB同侧的等边三角形，点P在△ABD内．
(1)求证：四边形PEDC为平行四边形；
(2)若在△APB中，AB＝3，PA＝，PB＝2，求四边形PEDC的面积．
从两组对边的角度出发，可以从位置关系判定一个四边形的形状是否为平行四边形，也可以从数量关系判定一个四边形的形状是否为平行四边形，对于具体题目要灵活运用判定方法，切忌生搬硬套．
【对点训练】
1．如图，在平行四边形ABCD中，点E和点F分别在边AD，BC上，且∠BAF＝∠DCE.求证：四边形AFCE是平行四边形．
2．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD的平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E.
(1)请写出BE与CD的数量关系__ __；
(2)若BF恰好平分∠ABE，连接AC，DE，求证：四边形ACED是平行四边形；
(3)若BF⊥AE，∠BEA＝60°，AB＝4，求BF的长．
课堂10分钟
1．下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A．∠A＝∠C，∠B＝∠D
B．AB＝CD，AD∥BC
C．AB＝CD，AD＝BC
D．∠A＋∠B＝180°，∠B＋∠C＝180°
2．下面判定四边形是平行四边形的方法中，错误的是( )
A．一组对边平行，另一组对边也平行的四边形是平行四边形
B．一组对角相等，另一组对角也相等的四边形是平行四边形
C．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
3．依据所标数据，下列图形一定为平行四边形的是( )
4．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，现在请你添加一个适当的条件：__ __，使得四边形AECF为平行四边形(图中不再添加点和线).
5．在 ABCD中，AC，BD相交于点O，分别过点A作AE⊥BD于点E，在BD上取点F，连接CF，使∠DCF＝∠BAE.连接AF，CE.
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)若AF＝10，EF＝8，BE＝4，求△BEC的面积．19．2 平行四边形
第3课时 平行四边形的判定(1)
知识梳理
一组对边__平行__且__相等__的四边形是平行四边形．
平行四边形的判定定理1中“平行”是指两条对边的位置关系，“相等”是指两条对边的数量关系，两者缺一不可．
重难突破
重难点 平行四边形的判定定理1的运用
【典例】如图，E，F是四边形ABCD对角线AC上的两点，AD∥BC，DF∥BE，AE＝CF.
求证：(1)△AFD≌△CEB；
(2)四边形ABCD是平行四边形．
证明：(1)∵AD∥BC，DF∥BE，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.
又∵AE＝CF，∴AE＋EF＝CF＋EF，即AF＝CE.
在△AFD与△CEB中，
∴△AFD≌△CEB(ASA)；
(2)由(1)知，△AFD≌△CEB，则AD＝CB.
又∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
四边形对边的等量关系可以通过已知条件或者三角形全等的判定与性质得到证明，对边的位置关系可以通过已知条件或者“三线八角”进行判定．
【对点训练】
1．如图，△ABC为等边三角形，D，F分别为BC，AB上的点，且CD＝BF.
(1)求证：△ACD≌△CBF；
(2)以AD为边作等边三角形△ADE，点D在线段BC上的何处时，四边形CDEF是平行四边形．
(1)∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝∠ACD＝60°，AC＝BC.
在△ACD和△CBF中，
∴△ACD≌△CBF(SAS)；
(2)点D在线段BC上任意位置(但D，C不重合)时，四边形CDEF是平行四边形．
∵△ACD≌△CBF，∴∠BCF＝∠DAC，AD＝CF.
∵AD＝DE，∴DE＝CF.
∵∠ACD＝∠ADE＝60°，∠ADB＝∠ADE＋∠BDE＝∠ACD＋∠DAC，
∴60°＋∠DAC＝60°＋∠BDE，
∴∠DAC＝∠BDE.
∵∠BCF＝∠DAC，∴∠BDE＝∠BCF，
∴DE∥CF.
∵DE＝CF，
∴四边形CDEF的形状是平行四边形．
2．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12 cm，BC＝15 cm，点P自点A向点D以1 cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向点B以2 cm/s的速度运动，到B点即停止，点P，Q同时出发，设运动时间为t(s).
(1)用含t的代数式表示：
AP＝__t__；DP＝__12－t__；BQ＝__15－2t__；CQ＝__2t__；
(2)当t为何值时，四边形APQB是平行四边形？
(3)当t为何值时，四边形PDCQ是平行四边形？
(2)根据题意，得AP＝t cm，CQ＝2t cm，PD＝(12－t)cm，BQ＝(15－2t)cm.
∵AD∥BC，∴当AP＝BQ时，四边形APQB是平行四边形．
∴t＝15－2t，解得t＝5.
∴t＝5 s时四边形APQB是平行四边形；
(3)由AP＝t cm，CQ＝2t cm，
∵AD＝12 cm，BC＝15 cm，
∴PD＝AD－AP＝(12－t) cm.
如图，∵AD∥BC，即PD∥CQ，
∴当PD＝QC时，四边形PDCQ是平行四边形．
即12－t＝2t，解得t＝4 s，
∴当t＝4 s时，四边形PDCQ是平行四边形．
课堂10分钟
1．小军不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，他带了两块碎玻璃到商店配成了一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带的碎玻璃编号是( B )
A．①② B．③④ C．②③ D．①④
2．如图，点A(0，3)，B(－1，－1)，C(4，0)在平面直角坐标系中，将点O平移后可得到点D，则下列平移可得到平行四边形ABCD的是( C )
A．点O向右平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度得点D
B．点O向右平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度得点D
C．点O向右平移5个单位长度，再向上平移4个单位长度得点D
D．点O向右平移5个单位长度，再向上平移5个单位长度得点D
3．在四边形ABCD中，AD＝BC，添加一个条件__AD∥BC(答案不唯一)__，可得四边形ABCD成为平行四边形．
4．在平面直角坐标系中，已知点A(1，0)，B(2，1)，C(－1，1)，若以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标是__(0，2)或(4，0)或(－2，0)__．
分三种情况：①BC为对角线时，点D的坐标为(0，2)，②AB为对角线时，点D的坐标为(4，0)，③AC为对角线时，点D的坐标为(－2，0)，综上所述，点D的坐标为(0，2)或(4，0)或(－2，0).
5．如图，已知△ABC是等边三角形，D，E分别在边BC，AC上，且CD＝CE，连接DE并延长至点F，使EF＝AE，连接AF，BE和CF.
(1)请在图中找出一对全等三角形，用符号“≌”表示，并加以证明；
(2)判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由．
(1)△BDE≌△FEC.
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC，∠ACB＝60°.
∵CD＝CE，∴△EDC是等边三角形，
∴∠EDC＝∠DEC＝60°，∠DEC＝60°＝∠AEF.
∵AF＝EF，
∴∠BDE＝∠FEC＝120°，△AEF是等边三角形，
∴AE＝EF＝AE.
∵CD＝CE，
∴BC－CD＝AC－CE，
∴BD＝AE.
又∵EF＝AE，∴BD＝FE.
在△BDE与△FEC中，∵
∴△BDE≌△FEC(SAS)；
(2)四边形ABDF是平行四边形，
理由如下：∵∠AEF＝∠CED＝60°，EF＝EA，
∴△AEF为等边三角形，
∴∠AFE＝∠FDC＝60°，
∴AF∥BD.
∵AF＝AE＝AC－CE＝BC－CD＝BD，
∴AF∥BD且AF＝BD，
∴四边形ABDF为平行四边形．
第4课时 平行四边形的判定(2)
知识梳理
1．两组对边分别相等的四边形是__平行四边形__．
2．对角线__互相平分__的四边形是平行四边形．
平行四边形的判定方法多样，针对具体题目要采用合理简洁的证明方法，不能因为局限于唯一思路出错．
重难突破
重难点 平行四边形判定方法的灵活运用
【典例】如图，△ABD，△APE和△BPC均为直线AB同侧的等边三角形，点P在△ABD内．
(1)求证：四边形PEDC为平行四边形；
(2)若在△APB中，AB＝3，PA＝，PB＝2，求四边形PEDC的面积．
(1)证明：∵△APE，△ABD是等边三角形，
∴AE＝AP，AD＝AB，∠EAP＝∠DAB＝60°，
∴∠EAD＝∠PAB，
∴△EAD≌△PAB(SAS)，∴DE＝BP.
∵PC＝PB，∴DE＝PC.
同理PE＝CD，
∴四边形PEDC是平行四边形；
(2)解：如图所示，过点C作CH垂直EP的延长线于点H.
∵AB＝3，PA＝，
PB＝2，
∴PA2＋PB2＝AB2，
∴∠APB＝90°.
又∵∠APE＝∠BPC＝60°，
∴∠EPC＝150°，
∴∠CPH＝30°，而∠PHC＝90°，
∴CH＝CP＝PB＝1.
又∵PE＝PA＝，
∴S平行四边形PEDC＝CH×EP＝1×＝.
从两组对边的角度出发，可以从位置关系判定一个四边形的形状是否为平行四边形，也可以从数量关系判定一个四边形的形状是否为平行四边形，对于具体题目要灵活运用判定方法，切忌生搬硬套．
【对点训练】
1．如图，在平行四边形ABCD中，点E和点F分别在边AD，BC上，且∠BAF＝∠DCE.求证：四边形AFCE是平行四边形．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，AB＝CD，BC＝AD.
在△ABF和△CDE中，
∴△ABF≌△CDE(ASA)，
∴AF＝CE，BF＝DE，
∴BC－BF＝AD－DE，即CF＝AE，
∴四边形AFCE是平行四边形．
2．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD的平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E.
(1)请写出BE与CD的数量关系__BE＝CD__；
(2)若BF恰好平分∠ABE，连接AC，DE，求证：四边形ACED是平行四边形；
(3)若BF⊥AE，∠BEA＝60°，AB＝4，求BF的长．
(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD，
∴∠DAE＝∠AEB.
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB，∴BE＝AB，
∴BE＝CD；
(2)由(1)知BE＝AB，
∵BF平分∠ABE，∴AF＝EF.
在△ADF和△ECF中，
∴△ADF≌△ECF(ASA)，
∴DF＝CF.
又∵AF＝EF，
∴四边形ACED是平行四边形；
(3)由(1)知BE＝AB，
又∵∠BEA＝60°，∴△ABE是等边三角形，
∴AB＝AE＝4.
∵BF⊥AE，∴AF＝EF＝AE＝2.
在Rt△ABF中，由勾股定理，得BF2＝AB2－AF2＝42－22＝12，∴BF＝2.
课堂10分钟
1．下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( B )
A．∠A＝∠C，∠B＝∠D
B．AB＝CD，AD∥BC
C．AB＝CD，AD＝BC
D．∠A＋∠B＝180°，∠B＋∠C＝180°
2．下面判定四边形是平行四边形的方法中，错误的是( D )
A．一组对边平行，另一组对边也平行的四边形是平行四边形
B．一组对角相等，另一组对角也相等的四边形是平行四边形
C．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
3．依据所标数据，下列图形一定为平行四边形的是( C )
4．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，现在请你添加一个适当的条件：__BE＝DF(答案不唯一)__，使得四边形AECF为平行四边形(图中不再添加点和线).
5．在 ABCD中，AC，BD相交于点O，分别过点A作AE⊥BD于点E，在BD上取点F，连接CF，使∠DCF＝∠BAE.连接AF，CE.
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)若AF＝10，EF＝8，BE＝4，求△BEC的面积．
(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BA＝CD，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，
∴∠ABD＝∠CDF.
∵∠FCD＝∠EAB，∴△DCF≌△BAE(ASA)，
∴DF＝BE，∴OB－BE＝OD－DF，
∴OE＝OF.
又∵OA＝OC，
∴四边形AECF是平行四边形；
(2)∵AE⊥BD，∴∠AEB＝∠AED＝90°，
由(1)得∠DFC＝∠AEB＝90°.
在Rt△AEF中，由勾股定理，得AE2＋EF2＝AF2，
即AE2＋82＝102，∴AE＝CF＝6.
∵BE＝4，∴S△BEC＝BE·CF＝×4×6＝12.
