19.3.3．正方形
知识梳理
1．有一个角是__ __，且有一组邻边__ __的平行四边形叫做正方形．
2．正方形的四条边都__ __，四个角都是直角．
3．正方形的对角线__ __且互相__ __．
4．有一个角是__ __的菱形是正方形．
5．有两条邻边__ __的矩形是正方形．
正方形是特殊的矩形，又是特殊的菱形，更是特殊的平行四边形，因此正方形具有这些图形的所有性质，不能因疏忽出错．
重难突破
重难点 正方形的判定与性质的综合运用
【典例】如图，在正方形ABCD和平行四边形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC，点G在BC边上．
(1)求证：四边形BEFG是矩形；
(2)PG与PC的夹角为__________°时，四边形BEFG是正方形，请说明理由．
本题考查了正方形的判定与性质、矩形的判定与性质、菱形的判定以及全等三角形的判定与性质等知识．综合性比较强，解题时要注意数形结合思想的应用．
【对点训练】
如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E是对角线AC上的一点，连接DE.过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接AG.
(1)求证：矩形DEFG是正方形；
(2)求AG＋AE的值；
(3)若F恰为AB中点，请直接写出正方形DEFG的面积．
课堂10分钟
1．如图，将长方形纸片折叠，使A点落在BC上的F处，折痕为BE，若沿EF剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是( )
A．邻边相等的矩形是正方形
B．对角线相等的菱形是正方形
C．两个全等的直角三角形构成正方形
D．轴对称图形是正方形
2．如图，在正方形ABCD中，E为边BA延长线上一点，点F在边BC上，且AE＝CF，连接DF，EF.若∠FDC＝α，则∠AEF＝( )
A．90°－2α B．45°－α
C．45°＋α D．α
3．如图，E为正方形ABCD外一点，且ED＝CD，连接AE，交BD于点F.若∠CDE＝36°，则∠DCF的度数为( )
A．27° B．36° C．25° D．30°
4．如图，四边形ABCD是正方形，点E，F分别在AB，BC的延长线上，且BE＝CF，设AD＝a，AE＝b，AF＝c.给出下面三个结论：①a＋b＞c；②2ab＜c2；③＞2a.上述结论中，所有正确结论的序号是( )
A．①② B．②③
C．①③ D．①②③
5．如图，以△ABC的三边为边在BC上方分别作等边△ACD，△ABE，△BCF，且点A在△BCF内部．给出以下结论：①四边形ADFE是平行四边形；
②当AB＝AC时，四边形ADFE是菱形；
③当∠BAC＝90°时，四边形ADFE是矩形；
④当AB＝AC，且∠BAC＝90°时，四边形ADFE是正方形．其中正确结论有__ __(填上所有正确结论的序号).
6．如图，在 ABCD中，∠A＝45°，过点D作ED⊥AD交AB的延长线于点E，且BE＝AB，连接BD，CE.
(1)求证：四边形BDCE是正方形；
(2)P为线段BC上一点，点M，N在直线AE上，且PM＝PB，∠DPN＝∠BPM.求证：AN＝PB.19.3.3．正方形
知识梳理
1．有一个角是__直角__，且有一组邻边__相等__的平行四边形叫做正方形．
2．正方形的四条边都__相等__，四个角都是直角．
3．正方形的对角线__相等__且互相__垂直平分__．
4．有一个角是__直角__的菱形是正方形．
5．有两条邻边__相等__的矩形是正方形．
正方形是特殊的矩形，又是特殊的菱形，更是特殊的平行四边形，因此正方形具有这些图形的所有性质，不能因疏忽出错．
重难突破
重难点 正方形的判定与性质的综合运用
【典例】如图，在正方形ABCD和平行四边形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC，点G在BC边上．
(1)求证：四边形BEFG是矩形；
(2)PG与PC的夹角为__________°时，四边形BEFG是正方形，请说明理由．
解：(1)∵在正方形ABCD中，∠ABC＝90°，
∴∠EBG＝90°，
∴平行四边形BEFG是矩形．
(2)90；
理由：如图，延长GP交DC于点H，
∵正方形ABCD和平行四边形BEFG中，AB∥DC，BE∥GF，
∴DC∥GF，
∴∠HDP＝∠GFP，
∠DHP＝∠FGP.
∵P是线段DF的中点，
∴DP＝FP，∴△DHP≌△FGP，
∴HP＝GP.
当∠CPG＝90°时，∠CPH＝∠CPG.
∵CP＝CP，
∴△CPH≌△CPG(SAS)，
∴CH＝CG.
∵在正方形ABCD中，DC＝BC，
∴DH＝BG.
∵△DHP≌△FGP(SAS)，
∴DH＝GF，
∴BG＝GF，
∴ BEFG是菱形．
由(1)知四边形BEFG是矩形，
∴四边形BEFG是正方形．
本题考查了正方形的判定与性质、矩形的判定与性质、菱形的判定以及全等三角形的判定与性质等知识．综合性比较强，解题时要注意数形结合思想的应用．
【对点训练】
如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E是对角线AC上的一点，连接DE.过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接AG.
(1)求证：矩形DEFG是正方形；
(2)求AG＋AE的值；
(3)若F恰为AB中点，请直接写出正方形DEFG的面积．
(1)如图，作EM⊥AD于点M，EN⊥AB于点N.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EAD＝∠EAB.
∵EM⊥AD于点M，EN⊥AB于点N，
∴EM＝EN.
∵∠EMA＝∠ENA＝∠DAB＝90°，
∴四边形ANEM是矩形．
∵EF⊥DE，∴∠MEN＝∠DEF＝90°，
∴∠DEM＝∠FEN.
∵∠EMD＝∠ENF＝90°，∴△EMD≌△ENF，
∴ED＝EF.
∵四边形DEFG是矩形，
∴矩形DEFG是正方形；
(2)∵四边形DEFG是正方形，四边形ABCD是正方形，∴DG＝DE，DC＝DA＝AB＝4，∠GDE＝∠ADC＝90°，∴∠ADG＝∠CDE，
∴△ADG≌△CDE(SAS)，
∴AG＝CE，
∴AE＋AG＝AE＋EC＝AC＝AD＝4.
(3)如图，连接DF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝4，AB∥CD.
∵F是AB的中点，
∴AF＝FB，∴DF＝＝2，
∴正方形DEFG的面积为2××2×＝10.
课堂10分钟
1．如图，将长方形纸片折叠，使A点落在BC上的F处，折痕为BE，若沿EF剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是( A )
A．邻边相等的矩形是正方形
B．对角线相等的菱形是正方形
C．两个全等的直角三角形构成正方形
D．轴对称图形是正方形
2．如图，在正方形ABCD中，E为边BA延长线上一点，点F在边BC上，且AE＝CF，连接DF，EF.若∠FDC＝α，则∠AEF＝( B )
A．90°－2α B．45°－α
C．45°＋α D．α
如图，连接ED，在正方形ABCD中，
∠ADC＝∠BAD＝∠C＝90°，
AD＝DC，
∵AE＝CF，
∴Rt△ADE≌Rt△CDF(SAS)，
∴∠FDC＝∠ADE＝α，DE＝DF，
∴∠CDF＋∠ADF＝∠ADE＋∠ADF＝90°，
∴∠EFD＝∠FED＝45°，∴∠AGE＝∠FED＋∠ADE＝45°＋α，∴∠AEF＝90°－∠AGE＝90°－(45°＋α)＝45°－α.
3．如图，E为正方形ABCD外一点，且ED＝CD，连接AE，交BD于点F.若∠CDE＝36°，则∠DCF的度数为( A )
A．27° B．36° C．25° D．30°
∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝AD，∠ADC＝90°，∠CDF＝∠ADF＝45°，
∵∠CDE＝36°，∴∠ADE＝90°＋36°＝126°，
∵ED＝CD，∴AD＝ED，
∴∠DAE＝∠DEA＝＝27°.
在△CDF和△ADF中，
∴△CDF≌△ADF(SAS)，
∴∠DCF＝∠DAF＝27°.
4．如图，四边形ABCD是正方形，点E，F分别在AB，BC的延长线上，且BE＝CF，设AD＝a，AE＝b，AF＝c.给出下面三个结论：①a＋b＞c；②2ab＜c2；③＞2a.上述结论中，所有正确结论的序号是( A )
A．①② B．②③
C．①③ D．①②③
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠DAB＝90°.
∵BE＝CF，∴BF＝AE，
∴△ADE≌△BAF(SAS)，∴DE＝AF＝c.
∵AD＋AE＞DE，∴a＋b＞c，故①正确；
∵DE2＝DA2＋AE2，∴c2＝a2＋b2，
∵AE＞AB，∴b－a＞0，∴(b－a)2＞0，
∴a2＋b2－2ab＞0，
∴2ab＜c2，故②正确；
∵E是动点，∴DE＝不是定值，且≥a，∴③错误．
5．如图，以△ABC的三边为边在BC上方分别作等边△ACD，△ABE，△BCF，且点A在△BCF内部．给出以下结论：①四边形ADFE是平行四边形；
②当AB＝AC时，四边形ADFE是菱形；
③当∠BAC＝90°时，四边形ADFE是矩形；
④当AB＝AC，且∠BAC＝90°时，四边形ADFE是正方形．其中正确结论有__①②__(填上所有正确结论的序号).
①∵△ACD，△ABE，△CBF是等边三角形，∴BE＝AB，BF＝CB，∠EBA＝∠FBC＝∠ACB＝∠ACD＝60°，AC＝AD，
∴∠EBF＝∠ABC＝60°－∠ABF，
∴△EFB≌△ACB(SAS)，
∴EF＝AC，∴EF＝AC＝AD.
同理，又△CDF≌△CAB，∴AB＝DF，
∴DF＝AB＝AE.由AE＝DF，AD＝EF即可得出四边形 ADFE是平行四边形，故结论①正确；②由①知AB＝AE，AC＝AD，四边形 AEFD是平行四边形，
∴当AB＝AC时，AE＝AD，
∴平行四边形ADFE是菱形，故结论②正确；③当∠BAC＝90°时，∠EAD＝360°－∠BAE－∠BAC－∠CAD＝360°－60°－90°－60°＝150°，由①知四边形ADFE是平行四边形，
∴平行四边形ADFE不是矩形，故结论③错误； ④根据结论②可知，当AB＝AC时，四边形ADFE是菱形，当∠BAC＝90°时，四边形ADFE不是矩形，∴四边形ADFE不是正方形，故结论④错误；综上分析可知，正确的结论为①②.
6．如图，在 ABCD中，∠A＝45°，过点D作ED⊥AD交AB的延长线于点E，且BE＝AB，连接BD，CE.
(1)求证：四边形BDCE是正方形；
(2)P为线段BC上一点，点M，N在直线AE上，且PM＝PB，∠DPN＝∠BPM.求证：AN＝PB.
(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD.
∵BE＝AB，∴BE∥CD，
∴四边形BDCE是平行四边形．
∵ED⊥AD，∠A＝45°，
∴∠A＝∠DEA＝45°，∴AD＝DE，
∴△ADE是等腰直角三角形．
又∵AB＝BE，∴DB＝BE，DB⊥BE，
∴平行四边形BDCE是正方形；
(2)∵四边形BDCE是正方形，
∴BD＝BE＝AB，∠DBP＝∠EBP＝45°.
∵PM＝PB，∴∠PBM＝∠PMB＝45°，
∴∠BPM＝90°，
∴∠DPN＝∠BPM＝90°，
∴∠DPB＝∠NPM.
在△DBP和△NMP中，
∴△DBP≌△NMP(ASA)，
∴DB＝MN，
∴AB＝NM，
∴AN＝BM.
∵BP＝PM，∠BPM＝90°，
∴BM＝BP，
∴AN＝BP.
