19.3.1．矩形
第1课时 矩形的性质
知识梳理
1．有一个角是__直角__的平行四边形叫做矩形．
2．矩形的四个角都是__直角__．
3．矩形的对角线__相等__．
4．直角三角形斜边上的中线等于斜边的__一半__．
矩形是一种特殊的平行四边形，并非所有的平行四边形都是矩形，矩形具有平行四边形的所有性质．
重难突破
重难点 矩形性质与推论的综合运用
【典例】如图，矩形ABCD的边AB，BC的长分别为12，5，延长BC至点E，CE＝10，连接AE并取AE的中点F，连接CF，DF，求CF的长．
解：延长DF交BE于点G.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BE，∠BCD＝90°，
∴∠DAF＝∠E，∠ADF＝∠EGF.
∵F是AE中点，
∴AF＝EF，
∴△ADF≌△EGF(AAS)，
∴GE＝AD＝5，DF＝FG.
∵CE＝10，
∴CG＝CE－EG＝10－5＝5.
∵CD＝12，
∴DG2＝CD2＋GC2＝122＋52＝132，
∴DG＝13.
∵∠DCG＝180°－90°＝90°，FD＝FG，
∴CF＝DG＝6.5.
矩形的性质经常结合勾股定理、直角三角形斜边上的中线的性质综合运用，必要时添加辅助线作为证明或计算时沟通已知与结论的桥梁．
【对点训练】
1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，延长BD至点E，延长DB至点F，使BF＝DE.
(1)求证：四边形AFCE是平行四边形；
(2)若∠ECA＝90°，∠CEF＝30°，试判断BD与EF之间的数量关系，并说明理由．
(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵BF＝DE.
∴OF＝OE，
∴四边形AFCE是平行四边形；
(2)BD＝EF.
理由：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB＝OD＝AO＝CO.
∵∠ACE＝90°，∠CEF＝30°，
∴OC＝OE，∴OD＝OE.
∵OF＝OE，∴OB＝OF，
∴BD＝EF.
2．如图，在矩形ABCD中，AD＝4，AB＝6，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是CD，DA延长线上的点，且DE＝3，AF＝2，连接EF，G为EF的中点．连接OE，交AD于点H，连接GH.
(1)猜想：H是OE的中点吗？并加以证明；
(2)求GH的长．
(1)H是OE的中点．
证明：取AD中点N，连接ON，如图．
∵在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴BO＝DO，AB∥CD.
又∵N是AD的中点，
∴AN＝DN＝2，ON∥AB，ON＝AB＝4，
∴ON∥CD，ON＝ED＝4，∠ANO＝∠DAB＝90°，
∴∠NOH＝∠DEH.
在△NHO和△DHE中，
∴△NHO≌△DHE(AAS)，
∴EH＝HO，∴H是OE的中点；
(2)如图，连接OF.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°.
∵ON∥DC，∴∠FNO＝∠ADC，
∴∠FNO＝90°.
∵AD＝4，N是AD的中点，
∴AN＝AD＝2.
∵AF＝2，∴FN＝4.
∴在△FON中，∠FNO＝90°，ON＝3，FN＝4.
由勾股定理，得OF＝5.
∵G是EF的中点，H是OE的中点，
∴GH＝OF＝.
课堂10分钟
1．如图，在矩形ABCD中，O是对角线AC的中点，连接DO.若AB＝12，AD＝16，则DO的长为( D )
A．7 B．8
C．9 D．10
2．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8.对角线AC，BD相交于点O.点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF，则△AEF的周长为( D )
A．6 B．7 C．8 D．9
∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝8，∠BAD＝90°，OB＝OD＝OA＝OC.
在Rt△BAD中，∵BD＝＝＝10，
∴OD＝OA＝OB＝5.
∵E，F分别是AO，AD中点，
∴EF＝OD＝，AE＝，AF＝4，
∴△AEF的周长为9.
3．如图，在矩形ABCD中，BD＝2，AB在x轴上．且点A的横坐标为－1，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交x轴的正半轴于点M，则点M的坐标为( C )
A．(2＋，0) B．(2＋1，0)
C．(2－1，0) D．(2，0)
4．如图，已知四边形ABCD是矩形，AB＝6，点E在AD上，DE＝2.若EC平分∠BED，则BC的长为__10__．
∵EC平分∠BED，∴∠BEC＝∠CED.
∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠DEC＝∠BCE，
∴∠BEC＝∠BCE，∴BE＝BC.
∵BE2＝AB2＋AE2，
∴BC2＝36＋(BC－2)2，∴BC＝10.
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，E是边BC上一动点，F是对角线BD上一动点，且BE＝DF，则DE＋CF的最小值为____．
如图，延长DA到点G，使DG＝DB，连接FG，CG.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝2，DC＝AB＝1，∠BAD＝∠GDC＝90°，
∴∠GDF＝∠DBE.
在△DGF和△BDE中，
∴△DGF≌△BDE(SAS).
∴FG＝DE，∴DE＋CF＝FG＋CF≥GC，
∴当点G，F，C共线时，FG＋CF最小，最小值为CG的长，∴(DE＋CF)的最小值为CG.
∵∠BAD＝90°，
∴BD＝＝＝，
在Rt△GDC中，GD＝BD＝，∠GDC＝90°，
∴CG＝＝＝，
∴DE＋CF的最小值为.
6．如图，矩形ABCD的边BC在x轴的正半轴上，B点坐标为(m，0)，AB＝a，BC＝b，且满足b＝－＋15.问m取何值时△OAC是直角三角形？
∵b＝－＋15，
∴a＝8，b＝15，
∴OA2＝AB2＋OB2＝64＋m2，AC2＝AB2＋BC2＝64＋225＝289，OC2＝(m＋15)2.
∵m＞0，点C在x轴上，
∴只能是∠OAC＝90°，
∴OA2＋AC2＝OC2，即64＋m2＋289＝(m＋15)2，
∴m＝，
∴m取时，△OAC是直角三角形．
第2课时 矩形的判定
知识梳理
1．对角线__相等__的平行四边形是矩形．
2．三个角是__直角__的四边形是矩形．
矩形的证明不仅可以按照定义的要求进行说理，也可以按照判定定理的要求进行说理，不能机械于唯一的说理思路，导致证明的路径断绝．
重难突破
重难点 矩形判定方法的灵活运用
【典例】如图，在 ABCD中，E是AD的中点，连接BE，BE，CD的延长线相交于点F，连接AF，BD.
(1)求证：四边形ABDF是平行四边形；
(2)若∠BEA＋2∠C＝180°，求证：四边形ABDF是矩形．
证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∴∠BAE＝∠FDE.
∵E是AD的中点，∴AE＝DE.
在△BEA和△FED中，
∴△BEA≌△FED(ASA)，
∴AB＝DF.
又∵AB∥DF，
∴四边形ABDF是平行四边形；
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAE＝∠C.
∵∠BEA＋∠BAE＋∠ABE＝180°，
∠BEA＋2∠C＝180°，
∴∠BAE＝∠ABE，∴BE＝AE.由(1)知，四边形ABDF是平行四边形，∴BE＝BF.
∵AE＝AD，∴BF＝AD，∴平行四边形ABDF是矩形．
矩形的判定既可以从定义的角度寻找证明的突破口，也可以按照判定定理的指引寻找证明的突破口．
【对点训练】
1．如图，在 ABCD中，点E在边BC上，点F在边AD上，BE＝DF，连接AE，CF.
(1)求证：AE＝CF；
(2)若AE⊥BC，求证：四边形AECF是矩形．
(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，AB＝CD，
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(SAS)，∴AE＝CF；
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵△ABE≌△CDF，∴BE＝DF，∴AF＝CE，
∴四边形AECF是平行四边形．
∵AE⊥BC，∴∠AEC＝90°，
∴四边形AECF是矩形．
2．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，连接DE并延长至点F，使得DE＝EF，连接CF.
(1)求证：四边形ADFC是平行四边形；
(2)若∠A＝∠B，连接CD，BF.求证：四边形BFCD是矩形．
(1)∵D，E分别是AB，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝AC，DE∥AC.
又∵DE＝EF，∴DF＝DE＋EF＝AC，
∴四边形ADFC是平行四边形；
(2)如图，由(1)，得四边形ADFC是平行四边形，
∴CF∥AD，CF＝AD.
又∵D是AB的中点，∴AD＝BD，∴CF＝BD，
∴四边形BFCD是平行四边形．
∵∠A＝∠ABC，∴AC＝BC.
∵D是AB的中点，∴CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，∴平行四边形BFCD是矩形．
课堂10分钟
1．如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，添加下列条件不能判定 ABCD为矩形的只有( C )
A．AC＝BD
B．AB＝6，BC＝8，AC＝10
C．AC⊥BD
D．∠1＝∠2
2．如图，诚诚用橡胶皮和布料自制了一块四边形鼠标垫，为了检验这块鼠标垫是不是标准的矩形，他想出了以下几种方案，其中合理的是( C )
A．测量一组对边是否平行且相等
B．测量两组对边是否分别相等
C．测量其中的三个角是否都为直角
D．测量对角线是否相等
3．在四边形ABCD中，AD∥BC，下列选项中，不能判定四边形ABCD为矩形的是( C )
A．AD＝BC且AC＝BD
B．AD＝BC且∠A＝∠B
C．AB＝CD且∠A＝∠C
D．AB∥CD且AC＝BD
4．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，要使四边形DBCE成为矩形，可添加一个条件是__CD＝BE或∠ADB＝90°或CE⊥DE__．(只要写出一个条件即可)
5．如图，四边形ABCD是平行四边形，下列条件①AC＝BD，②AC⊥BD，③AB⊥BC，④∠ABD＝∠CBD，⑤∠ODC＝∠OCD中能判定四边形ABCD是矩形的是__①③⑤__．
∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，故①符合题意；
∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，故②不符合题意；
∵四边形ABCD是平行四边形，AB⊥BC，
∴四边形ABCD是矩形，故③符合题意；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，
∵∠ABD＝∠CBD，
∴∠CDB＝∠CBD，
∴BC＝CD，∴四边形ABCD是菱形，故④不符合题意；
∵∠ODC＝∠OCD，∴OD＝OC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∴OA＝OB＝OC＝OD，AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形，故⑤符合题意．
6．如图，已知平行四边形ABCD.
(1)若E，F是BD上两点，且BE＝DF，求证：△ABE≌△CDF；
(2)若AE⊥AF，求证：四边形AECF是矩形．
(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF.
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(SAS)；
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵BE＝DF，∴OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形．
又∵AE⊥AF，
∴四边形AECF是矩形．19.3.1．矩形
第1课时 矩形的性质
知识梳理
1．有一个角是__ __的平行四边形叫做矩形．
2．矩形的四个角都是__ __．
3．矩形的对角线__ __．
4．直角三角形斜边上的中线等于斜边的__ __．
矩形是一种特殊的平行四边形，并非所有的平行四边形都是矩形，矩形具有平行四边形的所有性质．
重难突破
重难点 矩形性质与推论的综合运用
【典例】如图，矩形ABCD的边AB，BC的长分别为12，5，延长BC至点E，CE＝10，连接AE并取AE的中点F，连接CF，DF，求CF的长．
矩形的性质经常结合勾股定理、直角三角形斜边上的中线的性质综合运用，必要时添加辅助线作为证明或计算时沟通已知与结论的桥梁．
【对点训练】
1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，延长BD至点E，延长DB至点F，使BF＝DE.
(1)求证：四边形AFCE是平行四边形；
(2)若∠ECA＝90°，∠CEF＝30°，试判断BD与EF之间的数量关系，并说明理由．
2．如图，在矩形ABCD中，AD＝4，AB＝6，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是CD，DA延长线上的点，且DE＝3，AF＝2，连接EF，G为EF的中点．连接OE，交AD于点H，连接GH.
(1)猜想：H是OE的中点吗？并加以证明；
(2)求GH的长．
课堂10分钟
1．如图，在矩形ABCD中，O是对角线AC的中点，连接DO.若AB＝12，AD＝16，则DO的长为( )
A．7 B．8
C．9 D．10
2．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8.对角线AC，BD相交于点O.点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF，则△AEF的周长为( )
A．6 B．7 C．8 D．9
3．如图，在矩形ABCD中，BD＝2，AB在x轴上．且点A的横坐标为－1，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交x轴的正半轴于点M，则点M的坐标为( )
A．(2＋，0) B．(2＋1，0)
C．(2－1，0) D．(2，0)
4．如图，已知四边形ABCD是矩形，AB＝6，点E在AD上，DE＝2.若EC平分∠BED，则BC的长为__ __．
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，E是边BC上一动点，F是对角线BD上一动点，且BE＝DF，则DE＋CF的最小值为__ __．
6．如图，矩形ABCD的边BC在x轴的正半轴上，B点坐标为(m，0)，AB＝a，BC＝b，且满足b＝－＋15.问m取何值时△OAC是直角三角形？
第2课时 矩形的判定
知识梳理
1．对角线__ __的平行四边形是矩形．
2．三个角是__ __的四边形是矩形．
矩形的证明不仅可以按照定义的要求进行说理，也可以按照判定定理的要求进行说理，不能机械于唯一的说理思路，导致证明的路径断绝．
重难突破
重难点 矩形判定方法的灵活运用
【典例】如图，在 ABCD中，E是AD的中点，连接BE，BE，CD的延长线相交于点F，连接AF，BD.
(1)求证：四边形ABDF是平行四边形；
(2)若∠BEA＋2∠C＝180°，求证：四边形ABDF是矩形．
矩形的判定既可以从定义的角度寻找证明的突破口，也可以按照判定定理的指引寻找证明的突破口．
【对点训练】
1．如图，在 ABCD中，点E在边BC上，点F在边AD上，BE＝DF，连接AE，CF.
(1)求证：AE＝CF；
(2)若AE⊥BC，求证：四边形AECF是矩形．
2．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，连接DE并延长至点F，使得DE＝EF，连接CF.
(1)求证：四边形ADFC是平行四边形；
(2)若∠A＝∠B，连接CD，BF.求证：四边形BFCD是矩形．
课堂10分钟
1．如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，添加下列条件不能判定 ABCD为矩形的只有( )
A．AC＝BD
B．AB＝6，BC＝8，AC＝10
C．AC⊥BD
D．∠1＝∠2
2．如图，诚诚用橡胶皮和布料自制了一块四边形鼠标垫，为了检验这块鼠标垫是不是标准的矩形，他想出了以下几种方案，其中合理的是( )
A．测量一组对边是否平行且相等
B．测量两组对边是否分别相等
C．测量其中的三个角是否都为直角
D．测量对角线是否相等
3．在四边形ABCD中，AD∥BC，下列选项中，不能判定四边形ABCD为矩形的是( )
A．AD＝BC且AC＝BD
B．AD＝BC且∠A＝∠B
C．AB＝CD且∠A＝∠C
D．AB∥CD且AC＝BD
4．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，要使四边形DBCE成为矩形，可添加一个条件是__ __．(只要写出一个条件即可)
5．如图，四边形ABCD是平行四边形，下列条件①AC＝BD，②AC⊥BD，③AB⊥BC，④∠ABD＝∠CBD，⑤∠ODC＝∠OCD中能判定四边形ABCD是矩形的是__ __．
6．如图，已知平行四边形ABCD.
(1)若E，F是BD上两点，且BE＝DF，求证：△ABE≌△CDF；
(2)若AE⊥AF，求证：四边形AECF是矩形．
