19．4 综合与实践 多边形的镶嵌
知识梳理
用形状相同或不同的平面封闭图形，覆盖平面区域，使图形间既无__缝隙__，又不__重叠__地全部覆盖，在几何里面叫做平面镶嵌．
平面镶嵌可以由单一的图形完成，也可以由几种图形组合完成，并非所有的图形都可以用于平面镶嵌．
重难突破
重难点 平面镶嵌的运用
【典例】综合实践：
在生活中经常看到一些拼合图案如图所示，它们或是用单独的正方形或是用多种正多边形混合拼接成的，拼成的图案要求严丝合缝，不留空隙．从数学角度看，这些工作就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌)的问题．
(1)如果限用一种正多边形来覆盖平面的一部分，正六边形是否能镶嵌成一个平面图形？请说明理由；
(2)同时用正方形和正八边形是否能镶嵌成一个平面图形？请说明理由．
解：(1)如限于用一种正多边形镶嵌，则由一顶点的周围角的和等于360°即可，
360°÷120°＝3，
即正六边形能镶嵌成一个平面图形；
(2)设在一个顶点周围有m个正方形的角，n个正八边形的角，
那么m，n应是方程90°m＋135°n＝360°的正整数解．
即2m＋3n＝8的正整数解，
有m＝1，n＝2，
∴同时用正方形和正八边形能镶嵌成一个平面图形．
用多个平面图形围绕某个点P进行镶嵌时，所有以P为顶点的角的和等于360°.
【对点训练】
1．用一批相同的各边相等、各内角也相等的多边形地砖铺地，要求顶点聚在一起，且砖与砖之间不留空隙，这种多边形的边数有哪几种可能？
若是正三角形地砖，正三角形的每个内角是60°，能整除360°，能够铺满地面；
若是正四角形地砖，正方形的每个内角是90°，能整除360°，能够铺满地面；
若是正六角形地砖，正六边形的每个内角是120°，能整除360°，能够铺满地面；
故这种多边形的边数有3，4，6.
2．以下是一幅幅平面镶嵌图案，它们由相同的灰色正方形和白色等边三角形排列而成，观察图案，如图1，当正方形只有1个时，等边三角形有4个；如图2，当正方形有2个时，等边三角形有7个；以此类推……
…
(1)第5个图案中正方形有__5__个，等边三角形有__16__个；
(2)第n个图案中正方形有__n__个，等边三角形有__(3n＋1)__个；
(3)若此类图案中有2 026个等边三角形，该图案中正方形有多少个？
(1)观察第1和2个图案可知图案中每增加1个正方形，则等边三角形增加3个，
∴第5个图案中正方形有5个，等边三角形有4＋3＋3＋3＋3＝16(个).
(2)第1个图案：正方形有1个，等边三角形有4(个)，
第2个图案：正方形有2个，等边三角形有4＋3＝7(个)，
第3个图案：正方形有3个，等边三角形有4＋2×3＝10(个)，
第4个图案：正方形有4个，等边三角形有4＋3×3＝13(个)，
第n个图案：正方形有n个，等边三角形有4＋3(n－1)＝(3n＋1)个．
(3)∵3n＋1＝2 026，解得n＝675，
∴按此规律镶嵌图案，该图案中正方形有675个．
课堂10分钟
1．某人用同种正多边形瓷砖铺设无缝地板，他购买的瓷砖形状可能是( B )
A．正五边形 B．正六边形
C．正七边形 D．正九边形
2．用正三角形和正六边形镶嵌，若每一个顶点周围有m个正三角形、n个正六边形，则m，n满足的关系式是( D )
A．2m＋3n＝12 B．m＋n＝8
C．2m＋n＝6 D．m＋2n＝6
3．如图是工人师傅用边长均为a的一块正六边形和一块正方形地砖绕着点B进行的铺设，若将一块边长为a的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在∠ABC处，则这块正多边形地砖的边数是__12__．
∵一块正六边形和一块正方形地砖绕着点B进行的铺设，∴∠ABC＝360°－－90°＝150°，∴这块正多边形地砖的边数是(n－2)×180°＝n×150°，解得n＝12.
4．某广场的地面是由相同的正五边形与相同的四角星形(四个尖角的度数相同)铺成的无缝隙、不重叠的图形，如图是该广场地面的一部分，则图中四角星形的尖角∠ABC的度数为__18°__．
5．如图1所示，7×5的正方形网格中，阴影部分已被覆盖．现需用图3中的四块矩形放置到图1中，实现剩余空白部分的完全覆盖，如图2.
张顺同学在实践之后发现了三条结论：(1)覆盖的方案有多种；(2)在各种方案中，有一个矩形的位置是固定的，这个矩形是__①__(填写序号)；(3)有一个矩形在每种方案中的位置都不一样，这个矩形是__④__(填写序号).请完善以上结论．
(1)覆盖的方案有多种，如图所示．
(2)最左边一列位置较特殊，形状唯一，所以在各种方案中，这个矩形的位置是固定的，这个矩形是①；
(3)由于第四个矩形为2×3矩形，所以它的摆放位置多，且每种方案中的位置都不一样，这个矩形是④.
6．某公园广场的地面由形状、大小完全相同的一种地砖密铺(无空隙、不重叠的拼接)而成，铺设方式如图1.图2是其中一块地砖的示意图，AB＝EF，CD＝GH，BC＝FG，BC∥FG，AB∥CD∥GH∥EF，部分尺寸如图所示(单位：dm).结合图1、图2信息，求BC的长度．
如图所示，
作CM⊥AB，
设AB＝a dm，CD＝b dm，
由图一，可知
GF＝BC＝AB＋CD，DN＝7－3＝4 dm，
四边形CDNM是矩形，
则MN＝CD＝b，∠BMC＝90°，
则BM＝10－AB－MN＝10－(a＋b)，
∵CM2＋BM2＝BC2，
∴(a＋b)2＝42＋[10－(a＋b)]2，
∴a＋b＝5.8，
∴BC＝5.8(dm).19．4 综合与实践 多边形的镶嵌
知识梳理
用形状相同或不同的平面封闭图形，覆盖平面区域，使图形间既无__ __，又不__ __地全部覆盖，在几何里面叫做平面镶嵌．
平面镶嵌可以由单一的图形完成，也可以由几种图形组合完成，并非所有的图形都可以用于平面镶嵌．
重难突破
重难点 平面镶嵌的运用
【典例】综合实践：
在生活中经常看到一些拼合图案如图所示，它们或是用单独的正方形或是用多种正多边形混合拼接成的，拼成的图案要求严丝合缝，不留空隙．从数学角度看，这些工作就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌)的问题．
(1)如果限用一种正多边形来覆盖平面的一部分，正六边形是否能镶嵌成一个平面图形？请说明理由；
(2)同时用正方形和正八边形是否能镶嵌成一个平面图形？请说明理由．
用多个平面图形围绕某个点P进行镶嵌时，所有以P为顶点的角的和等于360°.
【对点训练】
1．用一批相同的各边相等、各内角也相等的多边形地砖铺地，要求顶点聚在一起，且砖与砖之间不留空隙，这种多边形的边数有哪几种可能？
2．以下是一幅幅平面镶嵌图案，它们由相同的灰色正方形和白色等边三角形排列而成，观察图案，如图1，当正方形只有1个时，等边三角形有4个；如图2，当正方形有2个时，等边三角形有7个；以此类推……
…
(1)第5个图案中正方形有__ __个，等边三角形有__ __个；
(2)第n个图案中正方形有__ __个，等边三角形有__ __个；
(3)若此类图案中有2 026个等边三角形，该图案中正方形有多少个？
课堂10分钟
1．某人用同种正多边形瓷砖铺设无缝地板，他购买的瓷砖形状可能是( )
A．正五边形 B．正六边形
C．正七边形 D．正九边形
2．用正三角形和正六边形镶嵌，若每一个顶点周围有m个正三角形、n个正六边形，则m，n满足的关系式是( )
A．2m＋3n＝12 B．m＋n＝8
C．2m＋n＝6 D．m＋2n＝6
3．如图是工人师傅用边长均为a的一块正六边形和一块正方形地砖绕着点B进行的铺设，若将一块边长为a的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在∠ABC处，则这块正多边形地砖的边数是__ __．
4．某广场的地面是由相同的正五边形与相同的四角星形(四个尖角的度数相同)铺成的无缝隙、不重叠的图形，如图是该广场地面的一部分，则图中四角星形的尖角∠ABC的度数为__ __．
5．如图1所示，7×5的正方形网格中，阴影部分已被覆盖．现需用图3中的四块矩形放置到图1中，实现剩余空白部分的完全覆盖，如图2.
张顺同学在实践之后发现了三条结论：(1)覆盖的方案有多种；(2)在各种方案中，有一个矩形的位置是固定的，这个矩形是__ __(填写序号)；(3)有一个矩形在每种方案中的位置都不一样，这个矩形是__ __(填写序号).请完善以上结论．
