16.2.1．二次根式的乘除
第1课时 二次根式的乘法
知识梳理
1．如果a≥0，b≥0，那么有·＝____．
2．如果a≥0，b≥0，那么有＝__·___．
二次根式的乘法实质上是二次根式性质的逆运用，应用公式时，一定要注意其适用的条件．
重难突破
重难点 二次根式的乘法
【典例】计算：6×.
解：6×
＝(6×)×(×)
＝4
＝4×5
＝20.
形如a·b形式的二次根式的乘法运算要注意分类进行，即a·b＝ab，同时注意把化为最简二次根式．
【对点训练】
1．计算：×.
(1) × ＝＝＝12.
2．计算：3×2.
3×2 ＝6＝30.
课堂10分钟
1．已知化简·的结果是一个整数，则正整数a的最小值是( D )
A．2 B．3 C．5 D．6
2．已知点P(x，y)在第二象限内，化简的结果是( A )
A．－x B．x
C．－x D．x
3．计算：×＝__2__．
4．计算：×＝____．
5．化简：a2.
∵a2有有意义，∴－＞0，
∴a＜0，
∴a2＝－a＝－a.
6．计算：·.
原式＝ ＝ ＝· ＝.
第2课时 二次根式的除法
知识梳理
1．如果a≥0，b>0，那么有＝____．
2．如果a≥0，b>0，那么有＝____．
运用二次根式的除法运算公式时，需要特别注意分母不等于0的要点，特别是解答选择题时，更需要注意．
重难突破
重难点 二次根式的除法运算
【典例】计算：
(1)；(2)÷.
解：(1)＝＝＝2；
(2)÷
＝(÷)(÷)
＝
＝
＝×
＝.
形如a÷b形式的二次根式的除法运算要注意分类进行，即a÷b＝(a÷b)·(÷)，同时注意把化为最简二次根式．
【对点训练】
1．计算：的结果是( A )
A． B． C． D．
2．计算：÷＝__2__．
课堂10分钟
1．计算：－÷(－)的结果是( D )
A． B．－
C．－3 D．3
2．如果ab＞0，a＋b＜0，那么下列各式中正确的是( B )
A．＝ B．·＝1
C．÷＝b D．()2＝－ab
3．现有一个体积为252 cm3的长方体纸盒，该纸盒的长为3 cm，宽为2 cm，则该纸盒的高为( D )
A.2 cm B．2 cm
C．3 cm D．3 cm
4．计算：÷□＝2，则□中的数为____．
5．计算：÷(－).
原式＝－＝ ＝－＝－.
6．计算：÷.
÷ ＝＝＝＝.
第3课时 二次根式的乘除混合运算与大小比较
知识梳理
1．满足下列两个条件的二次根式就是最简二次根式：
(1)被开方数的因数是__整数__，因式是__整式__；
(2)被开方数中不含能开得尽方的__因数__或__因式__．
2．二次根式的乘除混合运算类似实数的运算，先算__乘方__，再算__乘除__，同级运算，按照从__左__到__右__的顺序进行计算，如果有括号，先算__括号__里面的，运算结果要化为__最简二次根式__．
3．二次根式的大小比较，常用的有三种方法：(1)__平方法__；(2)__作差法__；(3)__求商法__．
1．二次根式的运算结果必须化为最简二次根式或整式，杜绝没有分母有理化的结果存在；
2．两个二次根式的大小比较的方法多样，只要合理都是正确的比较方法，没有唯一的方法比较两个二次根式的大小．
重难突破
重难点1 二次根式的乘除混合运算
【典例1】计算：÷3×.
解：原式＝＝＝×2a＝.
二次根式的混合运算中，被开方数中所含的字母如果没有特殊说明，默认为非负数或正数，不需要进行讨论其取值范围．
【对点训练】
1．计算：÷×(c＞0).
÷×(c＞0)
＝
＝
＝3c.
2．化简：÷(－)×(a＞0，b＞0).
÷(－)×
＝÷(－)×
＝×(－)×＝－.
重难点2 二次根式的大小比较
【典例2】(1)比较大小：①2＋1__________2；②3＋__________2；③8＋8__________2(填“＞”，“＜”，或“＝”)；
(2)猜想证明：通过上面三个计算，可以初步对任意的非负实数a，b做出猜想：a＋b__________2(填“＞”“＜”“≥”或“≤”)，并请你对猜想的结论进行证明；
(3)结论应用．如图，某同学用竹条做两个面积为1 800 cm2，对角线相互垂直的四边形玩具时，用来做对角线的竹条至少要多长？
解：(1)∵(－1)2＞0，
∴2－2＋1＞0，
∴2＋1＞2.
同理，可得3＋＞2.
∵8＋8＝16，2＝2×8＝16，
∴8＋8＝2.
故答案为：＞，＞，＝；
(2)猜想：a＋b≥2(a≥0，b≥0).
理由是：∵a≥0，b≥0，
∴(－)2≥0.
∵(－)2＝a＋b－2，
∴a＋b－2≥0，
∴a＋b≥2；
故答案为：≥；
(3)设AC＝a，BD＝b，
由题意，得ab＝1 800，∴ab＝3 600.
∵a＋b≥2，∴a＋b≥2，
∴a＋b≥120，
∴用来做对角线的竹条至少要2×120＝240(厘米).
任意两个数的平方和不小于它们乘积的2倍.
【对点训练】
3．下列说法正确的是( D )
A．－1>1 B．－1<0
C．2>3 D．2<3
4．比较大小：__>__4.
课堂10分钟
1．若式子(＋1)□的运算结果是有理数，那么“□”中的运算符号可以是( B )
A．＋ B．－ C．× D．÷
2．若x为实数，在(＋1)□x的“□”中添上一种运算符号(在“＋，－，×，÷”中选择)后，其运算的结果为有理数，则x不可能是( D )
A．＋1 B．－1
C．1－ D．2
3．(2－)2 025(2＋)2 026的值为( D )
A．－1 B．(2－)
C．2＋ D．－2－
4．若a＋6＝(m＋n)2，当a，m，n均为正整数时，则的值为__2或2__．
∵a＋6＝(m＋n)2 ，
∴a＋6＝m2＋2nm＋3n2(a，m，n均为整数)，
∴a＝m2＋3n2，2mn＝6，
∴mn＝3，①m＝1，n＝3，a＝28，②m＝3，n＝1，a＝12，故的值为2或2.
5．计算：÷×.
原式＝＝＝＝2.
6．试比较5与4的大小
∵(5 )2＝150，(4 )2＝112，150>112，
∴5 >4 .16.2.1．二次根式的乘除
第1课时 二次根式的乘法
知识梳理
1．如果a≥0，b≥0，那么有·＝__ __．
2．如果a≥0，b≥0，那么有＝__ _ __．
二次根式的乘法实质上是二次根式性质的逆运用，应用公式时，一定要注意其适用的条件．
重难突破
重难点 二次根式的乘法
【典例】计算：6×.
形如a·b形式的二次根式的乘法运算要注意分类进行，即a·b＝ab，同时注意把化为最简二次根式．
【对点训练】
1．计算：×.
2．计算：3×2.
课堂10分钟
1．已知化简·的结果是一个整数，则正整数a的最小值是( )
A．2 B．3 C．5 D．6
2．已知点P(x，y)在第二象限内，化简的结果是( )
A．－x B．x
C．－x D．x
3．计算：×＝__ __．
4．计算：×＝__ __．
5．化简：a2.
6．计算：·.
第2课时 二次根式的除法
知识梳理
1．如果a≥0，b>0，那么有＝__ __．
2．如果a≥0，b>0，那么有＝__ __．
运用二次根式的除法运算公式时，需要特别注意分母不等于0的要点，特别是解答选择题时，更需要注意．
重难突破
重难点 二次根式的除法运算
【典例】计算：
(1)；(2)÷.
形如a÷b形式的二次根式的除法运算要注意分类进行，即a÷b＝(a÷b)·(÷)，同时注意把化为最简二次根式．
【对点训练】
1．计算：的结果是( )
A． B． C． D．
2．计算：÷＝__ __．
课堂10分钟
1．计算：－÷(－)的结果是( )
A． B．－
C．－3 D．3
2．如果ab＞0，a＋b＜0，那么下列各式中正确的是( )
A．＝ B．·＝1
C．÷＝b D．()2＝－ab
3．现有一个体积为252 cm3的长方体纸盒，该纸盒的长为3 cm，宽为2 cm，则该纸盒的高为( )
A.2 cm B．2 cm
C．3 cm D．3 cm
4．计算：÷□＝2，则□中的数为__ __．
5．计算：÷(－).
6．计算：÷.
第3课时 二次根式的乘除混合运算与大小比较
知识梳理
1．满足下列两个条件的二次根式就是最简二次根式：
(1)被开方数的因数是__ __，因式是__ __；
(2)被开方数中不含能开得尽方的__ __或__ __．
2．二次根式的乘除混合运算类似实数的运算，先算__ __，再算__ __，同级运算，按照从__ __到__ __的顺序进行计算，如果有括号，先算__ __里面的，运算结果要化为__ __．
3．二次根式的大小比较，常用的有三种方法：(1)__ __；(2)__ __；(3)__ __．
1．二次根式的运算结果必须化为最简二次根式或整式，杜绝没有分母有理化的结果存在；
2．两个二次根式的大小比较的方法多样，只要合理都是正确的比较方法，没有唯一的方法比较两个二次根式的大小．
重难突破
重难点1 二次根式的乘除混合运算
【典例1】计算：÷3×.
二次根式的混合运算中，被开方数中所含的字母如果没有特殊说明，默认为非负数或正数，不需要进行讨论其取值范围．
【对点训练】
1．计算：÷×(c＞0).
2．化简：÷(－)×(a＞0，b＞0).
重难点2 二次根式的大小比较
【典例2】(1)比较大小：①2＋1__________2；②3＋__________2；③8＋8__________2(填“＞”，“＜”，或“＝”)；
(2)猜想证明：通过上面三个计算，可以初步对任意的非负实数a，b做出猜想：a＋b__________2(填“＞”“＜”“≥”或“≤”)，并请你对猜想的结论进行证明；
(3)结论应用．如图，某同学用竹条做两个面积为1 800 cm2，对角线相互垂直的四边形玩具时，用来做对角线的竹条至少要多长？
任意两个数的平方和不小于它们乘积的2倍.
【对点训练】
3．下列说法正确的是( )
A．－1>1 B．－1<0
C．2>3 D．2<3
4．比较大小：__ __4.
课堂10分钟
1．若式子(＋1)□的运算结果是有理数，那么“□”中的运算符号可以是( )
A．＋ B．－ C．× D．÷
2．若x为实数，在(＋1)□x的“□”中添上一种运算符号(在“＋，－，×，÷”中选择)后，其运算的结果为有理数，则x不可能是( )
A．＋1 B．－1
C．1－ D．2
3．(2－)2 025(2＋)2 026的值为( )
A．－1 B．(2－)
C．2＋ D．－2－
4．若a＋6＝(m＋n)2，当a，m，n均为正整数时，则的值为__ __．
5．计算：÷×.
6．试比较5与4的大小
