19.3.2．菱形
第1课时 菱形的性质
知识梳理
1．有一组邻边__相等__的平行四边形叫做菱形．
2．菱形的四条边都__相等__．
3．菱形的对角线互相__垂直__．
菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，一般的任意平行四边形仅是中心对称图形，这是两者的本质区别．
重难突破
重难点 菱形性质定理的运用
【典例】如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE.
(1)求证：BD＝EC；
(2)若∠E＝50°，求∠BAO的大小．
(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CD，AB∥CD.
又∵BE＝AB，
∴BE＝CD，BE∥CD，
∴四边形BECD是平行四边形，
∴BD＝EC；
(2)解：∵四边形BECD是平行四边形，
∴BD∥CE，
∴∠ABO＝∠E＝50°.
又∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠BAO＝90°－∠ABO＝40°.
菱形的对角线互相垂直既是证明直线位置关系的依据，也是计算角之间数量关系的必要条件．
【对点训练】
1．已知：如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，AD边上，AE＝AF，连接CE，CF.求证：∠BEC＝∠DFC.
如图，连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BAC＝∠DAC.
∵AC＝AC，AE＝AF，
∴△AEC≌△AFC(SAS)，
∴∠AEC＝∠AFC，
∴∠BEC＝∠DFC.
2．如图，已知平行四边形ABCD，O为BD的中点，点E 在AD上，连接EO并延长交BC于点F，连接BE，DF.
(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；
(2)若AB＝3，AD＝6，∠BAD＝135°，当四边形BEDF为菱形时，求AE的长．
(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，
∴∠ADB＝∠CBD.
又∵O为BD的中点，
∴BO＝OD.
∵在△DOE和△BOF中，
∴△DOE≌△BOF(ASA)，
∴ED＝BF，
∴四边形BEDF是平行四边形；
(2)如图，过点B作BH⊥AD，交DA延长线于点H.
∵∠BAD＝135°，
∴∠BAH＝45°.
在Rt△ABH中，AB＝3，
∴2BH2＝AB2＝18，
∴BH＝HA＝3.
设AE＝x，则HE＝3＋x.
∵四边形BEDF为菱形，
∴EB＝ED＝6－x.
在Rt△BHE中，BH2＋HE2＝BE2，
∴32＋(3＋x)2＝(6－x)2，
解得x＝1，
∴AE＝1.
课堂10分钟
1．如图，在菱形ABCD中，P，Q分别是AD，AC的中点，如果PQ＝2，那么菱形ABCD的周长是( A )
A．16 B．8
C．4 D．2
2．如图，在平面直角坐标系中，O是菱形ABCD的对角线BD的中点，AD∥x轴且AD＝8，∠A＝60°，点C的坐标是( D )
A．(4，4) B．(4，－4)
C．(6，2) D．(6，－2)
设AD与y轴交于点E，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB.∵AD＝8，∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，则BD＝AD＝8.
∵O是菱形ABCD的对角线BD的中点，
∴OD＝BD＝4.∵AD∥x轴，则∠DEO＝90°，
∴∠EOD＝30°，∴DE＝OD＝2，OE＝＝2，∴A(－6，2).
∵A，C关于点O对称，∴C(6，－2).
3．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，连接OE.若OB＝6，菱形ABCD的面积为54，则OE的长为( B )
A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
4．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，BD＝8，点P为线段BD上不与端点重合的一个动点．过点P作直线BC，直线CD的垂线，垂足分别为E，F.连接PA，在点P的运动过程中，PE＋PA＋PF的最小值等于__7.8__．
如图，连接AC交BD于点O，连接PC.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB＝BD＝×8＝4，AB＝BC＝CD＝5.在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA＝＝＝3，
∴OC＝OA＝3.
∵PE⊥BC，PF⊥CD，S△BCP＋S△CDP＝S△BCD，
∴BC·PE＋CD·PF＝BD·OC，
∴5PE＋5PF＝8×3，解得PE＋PF＝4.8，
即PE＋PF的值为定值4.8，当PA最小时，PE＋PA＋PF有最小值．
∵当PA⊥BD时，PA的最小值＝OA＝3，
∴PE＋PA＋PF的最小值＝4.8＋3＝7.8.
5．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，且BE＝BF.求证：DE＝DF.
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠A＝∠C，AB＝CB＝AD＝DC.
∵BE＝BF，
∴AB－BE＝CB－BF，即AE＝CF.
在△ADE和△CDF中，
∴△ADE≌△CDF(SAS)，
∴DE＝DF.
6．如图，O是菱形ABCD对角线的交点，CE∥BD，EB∥AC，连接OE，交BC于点F.
(1)求证：OE＝CB；
(2)如果OC∶OB＝1∶2，OE＝2，求菱形ABCD的面积．
(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD.
∵CE∥BD，EB∥AC，
∴四边形OCEB是平行四边形，
∴四边形OCEB是矩形，
∴OE＝CB；
(2)由(1)知，AC⊥BD，BC＝OE＝2，
∵OC∶OB＝1∶2，
∴设OC＝x，则OB＝2x，
在Rt△BOC中，由勾股定理，得BC2＝OC2＋OB2，即4＝x2＋4x2，解得x＝(负值已舍)，
∴CO＝，OB＝.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC＝，BD＝，
∴菱形ABCD的面积是BD·AC＝.
第2课时 菱形的判定
知识梳理
1．四条边都__相等__的四边形是菱形．
2．对角线__互相垂直__的平行四边形是菱形．
菱形的两个判定定理是在定义的基础上发展起来的，因此证明一个四边形是菱形时，可以先证明它是一个平行四边形，再证明它是一个菱形，对于定理的理解要严谨，不能似是而非．
重难突破
重难点 菱形判定定理的运用
【典例】如图，在菱形ABCD中，E，F分别为AD，AB上的点，且AE＝AF，连接并延长EF，与CB的延长线相交于点G，连接BD.
(1)求证：四边形EGBD是平行四边形．
(2)连接AG，若∠FGB＝30°，GB＝AE＝6，求AG的长．
(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AD＝AB，
∴ED∥BC，∠AEF＝∠G.
∵AE＝AF，∴∠AEF＝∠AFE，
∴∠G＝∠AFE.
又∵∠AFE＝∠GFB，
∴∠G＝∠GFB，
∴GB＝FB.
∵AD＝AB，AE＝AF，
∴ED＝BF，∴GB＝ED，
∴四边形EGBD是平行四边形．
(2)解：如图，过点A作AH⊥BC于点H，
由(1)可得，GE∥BD.
∵∠FGB＝30°，GE∥BD，
∴∠DBC＝30°，
∴∠ABH＝2∠DBC＝60°.
∵GB＝AE＝6，∴AB＝AD＝12.
∵∠ABH＝90°，∴∠BAH＝30°，
∴BH＝AB＝6，
∴GH＝12.
在Rt△ABH中，AH＝＝6，
在Rt△AGH中，AG＝＝6.
与菱形相关的计算中，经常借助于其对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理计算某些线段的长度，特殊情况下，可以适当添加垂线段作为解题的桥梁．
【对点训练】
1．已知，如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD是△ABC的中线，F是BD的中点，连接CF并延长到点E，使FE＝CF，连接BE，AE.
(1)求证：四边形AEBD是菱形；
(2)若BC＝8，BE＝5，求菱形AEBD的面积．
(1)∵F是BD的中点，
∴DF＝BF.
∵CF＝EF，∠CFD＝∠EFB，
∴△CDF≌△EBF(SAS)，
∴CD＝BE，∠FCD＝∠FEB，
∴BE∥CD.
∵∠ABC＝90°，BD是△ABC的中线，
∴BD＝BC＝AD＝CD，
∴BE＝CD＝AD，
∴四边形AEBD是平行四边形．
∵BD＝AD，
∴平行四边形AEBD是菱形；
(2)如图，连接ED，
∵BE∥CD，CD＝BE，
∴四边形BCDE是平行四边形，
∴DE＝BC＝8.
∵AD＝BE＝5，BD是△ABC中线，
∴AC＝2AD＝10.
∵∠ABC＝90°，BC＝8，
∴AB＝＝＝6，
∴菱形AEBD的面积＝AB·DE＝×6×8＝24.
2．如图，菱形ABCD的边长为8，∠ABC＝60°，对角线AC，BD相交于点O，点E在对角线BD上，连接AE，作∠AEF＝120°，且边EF与直线DC相交于点F.
(1)求菱形ABCD的面积；
(2)求证：AE＝EF
(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝8，AC⊥BD，BD＝2OB.
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝BA＝8，BO＝AB＝4，
∴BD＝8，
∴菱形ABCD的面积＝AC·BD＝×8×8＝32；
(2)如图，连接EC.
∵BD垂直平分AC，
∴EA＝EC，
∴∠EAC＝∠ECA.
∵DA＝DC，
∴∠DAC＝∠DCA，
∴∠EAC＋∠DAC＝∠ECA＋∠DCA，
∴∠DCE＝∠DAE.
∵∠AEF＝120°，∠ADC＝∠ABC＝60°，
∴∠EAD＋∠F＝360°－∠AEF－∠ADC＝180°.
∵∠ECD＋∠ECF＝180°，
∴∠F＝∠ECF，
∴EF＝EC，
∴EF＝AE.
课堂10分钟
1．如图， ABCD对角线AC，BD相交于点O，请添加一个条件：________使得 ABCD是菱形( B )
A．AB＝AC B．AC⊥BD
C．AB＝CD D．AC＝BD
2．在 ABCD中，AC，BD是对角线，补充一个条件使得四边形ABCD为菱形，这个条件可以是( C )
A．AC＝BD B．AB＝AC
C．AC⊥BD D．∠ABC＝90°
3．下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不一定是菱形的是( C )
4．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，添加下列条件后，可推出平行四边形ABCD是菱形的是( C )
A．AB＝CD B．AC＝BD
C．AO⊥OD D．AB∥CD
5．在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD，请你添加一个条件__AB＝AD(答案不唯一)__，使四边形ABCD是菱形．
6．如图，在△ABC中，点D是BC上一点，过点D作DE∥AB，F是AD的中点，连接EF，并延长EF交AB于点G.
(1)连接DG，求证：四边形AGDE是平行四边形；
(2)若使四边形AGDE是菱形，△ABC应为什么特殊三角形？点D在BC的什么位置？证明你的猜想．
(1)∵DE∥AB，
∴∠BAD＝∠ADE，∠AGE＝∠DEG.
又∵AF＝DF，
∴△AFG≌△DFE(AAS)，
∴DE＝AG，
∴四边形AGDE是平行四边形．
(2)若使四边形AGDE是菱形，则△ABC是等腰三角形 (AB＝AC)，D是BC的中点．
证明：如图，
∵D是BC的中点，且DE∥AB，
∴DE是△ABC 的中位线，∴DE＝AB.
同理，DG＝AC，
∴DE＝DG.
∵ AGDE两邻边相等，
∴四边形AGDE是菱形．19.3.2．菱形
第1课时 菱形的性质
知识梳理
1．有一组邻边__ __的平行四边形叫做菱形．
2．菱形的四条边都__ __．
3．菱形的对角线互相__ __．
菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，一般的任意平行四边形仅是中心对称图形，这是两者的本质区别．
重难突破
重难点 菱形性质定理的运用
【典例】如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE.
(1)求证：BD＝EC；
(2)若∠E＝50°，求∠BAO的大小．
菱形的对角线互相垂直既是证明直线位置关系的依据，也是计算角之间数量关系的必要条件．
【对点训练】
1．已知：如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，AD边上，AE＝AF，连接CE，CF.求证：∠BEC＝∠DFC.
2．如图，已知平行四边形ABCD，O为BD的中点，点E 在AD上，连接EO并延长交BC于点F，连接BE，DF.
(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；
(2)若AB＝3，AD＝6，∠BAD＝135°，当四边形BEDF为菱形时，求AE的长．
课堂10分钟
1．如图，在菱形ABCD中，P，Q分别是AD，AC的中点，如果PQ＝2，那么菱形ABCD的周长是( )
A．16 B．8
C．4 D．2
2．如图，在平面直角坐标系中，O是菱形ABCD的对角线BD的中点，AD∥x轴且AD＝8，∠A＝60°，点C的坐标是( )
A．(4，4) B．(4，－4)
C．(6，2) D．(6，－2)
3．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，连接OE.若OB＝6，菱形ABCD的面积为54，则OE的长为( )
A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
4．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，BD＝8，点P为线段BD上不与端点重合的一个动点．过点P作直线BC，直线CD的垂线，垂足分别为E，F.连接PA，在点P的运动过程中，PE＋PA＋PF的最小值等于__ __．
5．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，且BE＝BF.求证：DE＝DF.
6．如图，O是菱形ABCD对角线的交点，CE∥BD，EB∥AC，连接OE，交BC于点F.
(1)求证：OE＝CB；
(2)如果OC∶OB＝1∶2，OE＝2，求菱形ABCD的面积．
第2课时 菱形的判定
知识梳理
1．四条边都__ __的四边形是菱形．
2．对角线__ __的平行四边形是菱形．
菱形的两个判定定理是在定义的基础上发展起来的，因此证明一个四边形是菱形时，可以先证明它是一个平行四边形，再证明它是一个菱形，对于定理的理解要严谨，不能似是而非．
重难突破
重难点 菱形判定定理的运用
【典例】如图，在菱形ABCD中，E，F分别为AD，AB上的点，且AE＝AF，连接并延长EF，与CB的延长线相交于点G，连接BD.
(1)求证：四边形EGBD是平行四边形．
(2)连接AG，若∠FGB＝30°，GB＝AE＝6，求AG的长．
与菱形相关的计算中，经常借助于其对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理计算某些线段的长度，特殊情况下，可以适当添加垂线段作为解题的桥梁．
【对点训练】
1．已知，如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD是△ABC的中线，F是BD的中点，连接CF并延长到点E，使FE＝CF，连接BE，AE.
(1)求证：四边形AEBD是菱形；
(2)若BC＝8，BE＝5，求菱形AEBD的面积．
2．如图，菱形ABCD的边长为8，∠ABC＝60°，对角线AC，BD相交于点O，点E在对角线BD上，连接AE，作∠AEF＝120°，且边EF与直线DC相交于点F.
(1)求菱形ABCD的面积；
(2)求证：AE＝EF
课堂10分钟
1．如图， ABCD对角线AC，BD相交于点O，请添加一个条件：________使得 ABCD是菱形( )
A．AB＝AC B．AC⊥BD
C．AB＝CD D．AC＝BD
2．在 ABCD中，AC，BD是对角线，补充一个条件使得四边形ABCD为菱形，这个条件可以是( )
A．AC＝BD B．AB＝AC
C．AC⊥BD D．∠ABC＝90°
3．下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不一定是菱形的是( )
4．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，添加下列条件后，可推出平行四边形ABCD是菱形的是( )
A．AB＝CD B．AC＝BD
C．AO⊥OD D．AB∥CD
5．在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD，请你添加一个条件__ __，使四边形ABCD是菱形．
6．如图，在△ABC中，点D是BC上一点，过点D作DE∥AB，F是AD的中点，连接EF，并延长EF交AB于点G.
(1)连接DG，求证：四边形AGDE是平行四边形；
(2)若使四边形AGDE是菱形，△ABC应为什么特殊三角形？点D在BC的什么位置？证明你的猜想．
