16.2.2．二次根式的加减
第1课时 二次根式的加减
知识梳理
1．几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数__相同__，这样的二次根式叫做同类二次根式．
2．二次根式相加减，先把各个二次根式化为__同类二次根式__，再把__同类二次根式__合并，合并__同类二次根式__与合并同类项相似，因此二次根式的加减可以比照整式的加减进行．
3．在二次根式的加减运算中，实数的运算性质和法则__同样__适用．
二次根式的加减运算中，特别需要注意把各个二次根式化为最简根式时的计算要精确，被开方数中带有字母的，要注意其中是否隐含条件．
重难突破
重难点 二次根式的加减
【典例】计算：－4－(－).
解：原式＝2－－(－2)＝2－－＋2＝＋.
二次根式的加减一是确定同类二次根式的符号，二是确定同类二次根式系数的和的运算．
【对点训练】
1．计算：－＋6；
原式＝2－2＋＝2－2＋2＝2.
2．化简：
(1)－(m＞3)；
(2)|－2|－.
(1)原式＝|3－m|－|m－2|，
∵m＞3，∴3－m＜0，m－2＞0，
∴原式＝－(3－m)－(m－2)＝－3＋m－m＋2＝－1；
(2)∵2＜＜3，∴－2＞0，－3＜0，
∴原式＝|－2|－|－3|＝－2＋(－3)＝－2＋－3＝2－5.
课堂10分钟
1．已知－1＜a＜0，化简－＝( B )
A．－a＋5 B．3a－1
C．－a－5 D．－3a＋5
∵－1＜a＜0，
∴a＋2＞0，2a－3＜0，
∴－＝a＋2－(3－2a)＝a＋2－3＋2a＝a＋2a－3＋2＝3a－1.
2．若某三角形的三边长分别为2，5，n，则化简＋|8－n|的结果为( A )
A．5 B．2n－10
C．2n－6 D．10
∵三角形的三边长分别为2，5，n，
∴5－2 ＜n＜5＋2，
∴3＜n＜7，
∴＋|8－n|＝|3－n|＋|8－n|＝n－3＋8－n＝5.
3．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简－－的结果为( B )
A．2(b－a) B．－2b
C．2a D．0
观察数轴可知a＜0，b＞0，|b|＞|a|，
∴a－b＜0，∴－－＝－a－b－(b－a)＝－a－b－b＋a＝－2b.
4．已知2＜a＜3，化简：＋＝__3__．
原式＝＋，
∵2＜a＜3，
∴原式＝a－1＋(4－a)＝3.
5．计算：2＋3－5－3.
原式＝2＋6－20－9＝－21.
6．已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|a|－＋－.
由数轴可知c＜a＜－b＜0＜b＜－a＜－c，
∴a－c＞0，c－a＜0，
∴原式＝－a－(a－c)－(c－a)－b＝－a－a＋c－c＋a－b＝－a－b.
第2课时 二次根式的混合运算
知识梳理
二次根式的混合运算，先算__乘方__，再算__乘除__，最后算__加减__，有括号，先算__括号__里面的．
二次根式的混合运算容易因为运算顺序出错，或者绝对值的计算有误，导致计算结果出错．
重难突破
重难点 二次根式的混合运算
【典例】计算：
(1)(3－2＋)÷2；
(2)＋＋＋…＋.
解：(1)原式＝(6－＋4)÷2＝×＝.
(2)原式＝＋＋＋…＋
＝－1＋－＋－＋…＋－
＝－1
＝10－1
＝9.
二次根式的混合运算一是注意运算顺序要正确，二是注意精确计算绝对值．
【对点训练】
1．计算：÷＋×－.
÷＋×－
＝＋－2
＝4＋－2
＝4－.
2．计算：÷×－＋(－1)2.
原式＝3×2－4＋3－2
＝6－4＋3－2
＝3.
课堂10分钟
1．如图，正方形M的边长为m，面积为8；正方形N的边长为n，面积为32.计算(m－n)÷的结果为( B )
A．1 B．－2 C． D．－
2．＝10，＝100，＝1 000，＝10 000，观察上述式子，总结存在的规律，运用得到的规律可得的值为( D )
A．102 022 B．102 023
C．102 024 D．102 025
∵＝10＝101，＝100＝102，＝1 000＝103，＝10 000＝104 ，
∴＝102 025.
3．已知－＝2，则＋＝( B )
A．7 B．8 C．9 D．10
设＝a，＝b，
∴a2＝15＋x2，b2＝19－x2，
∴a2＋b2＝15＋x2＋19－x2＝34，
∵－＝2，
∴a－b＝2，
∴(a－b)2＝4，即a2－2ab＋b2＝4，
∴2ab＝34－4＝30，
∴(＋)2＝(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＝30＋34＝64，
∵a≥0，b≥0，
∴＋＝8.
4．问题探究：因为(－1)2＝3－2，所以＝－1，因为(＋1)2＝3＋2，所以＝＋1，请你根据以上规律，结合你的经验化简下列各式：＝__－1__．
5．观察下列二次根式的化简：
S1＝＝1＋－；
S2＝＋＝(1＋－)＋(1＋－)；
S3＝＋＋＝(1＋－)＋(1＋－)＋(1＋－)；
…
则＝____．
由题意，知S2 025＝＋＋＋…＋＋ ＝＋＋＋…＋＋＝1＋－＋1＋－＋1＋－＋…＋1＋－＋1＋－ ＝1＋2 025－ ＝2 025＋，
∴＝＝1＋＝.
6．如图，李明家有一块长方形空地ABCD，长BC为 m，宽AB为 m，现要在空地中挖一个长方形的水池(即图中阴影部分)，其余部分种植草莓．其中长方形水池的长为(＋1) m，宽为(－1) m．
(1)求长方形空地ABCD的周长；(结果化为最简二次根式)
(2)已知李明家种植的草莓售价为8元/千克，且每平方米产草莓15千克，若李明家将所种的草莓全部销售完，销售收入为多少元？
(1)长方形空地ABCD的周长＝2×(＋)＝2×(6＋4)＝20(m)，
答：长方形空地ABCD的周长为20m.
(2)种草莓的面积为×－(＋1)×(－1)＝48－(10－1)＝39(m2)，
39×15×8＝4 680(元)，答：销售收入为4 680元．16.2.2．二次根式的加减
第1课时 二次根式的加减
知识梳理
1．几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数__ __，这样的二次根式叫做同类二次根式．
2．二次根式相加减，先把各个二次根式化为__ __，再把__ __合并，合并__ __与合并同类项相似，因此二次根式的加减可以比照整式的加减进行．
3．在二次根式的加减运算中，实数的运算性质和法则__ __适用．
二次根式的加减运算中，特别需要注意把各个二次根式化为最简根式时的计算要精确，被开方数中带有字母的，要注意其中是否隐含条件．
重难突破
重难点 二次根式的加减
【典例】计算：－4－(－).
二次根式的加减一是确定同类二次根式的符号，二是确定同类二次根式系数的和的运算．
【对点训练】
1．计算：－＋6；
2．化简：
(1)－(m＞3)；
(2)|－2|－.
课堂10分钟
1．已知－1＜a＜0，化简－＝( )
A．－a＋5 B．3a－1
C．－a－5 D．－3a＋5
2．若某三角形的三边长分别为2，5，n，则化简＋|8－n|的结果为( )
A．5 B．2n－10
C．2n－6 D．10
3．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简－－的结果为( )
A．2(b－a) B．－2b
C．2a D．0
4．已知2＜a＜3，化简：＋＝__ __．
5．计算：2＋3－5－3.
6．已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|a|－＋－.
第2课时 二次根式的混合运算
知识梳理
二次根式的混合运算，先算__ __，再算__ __，最后算__ __，有括号，先算__ __里面的．
二次根式的混合运算容易因为运算顺序出错，或者绝对值的计算有误，导致计算结果出错．
重难突破
重难点 二次根式的混合运算
【典例】计算：
(1)(3－2＋)÷2；
(2)＋＋＋…＋.
二次根式的混合运算一是注意运算顺序要正确，二是注意精确计算绝对值．
【对点训练】
1．计算：÷＋×－.
2．计算：÷×－＋(－1)2.
课堂10分钟
1．如图，正方形M的边长为m，面积为8；正方形N的边长为n，面积为32.计算(m－n)÷的结果为( )
A．1 B．－2 C． D．－
2．＝10，＝100，＝1 000，＝10 000，观察上述式子，总结存在的规律，运用得到的规律可得的值为( )
A．102 022 B．102 023
C．102 024 D．102 025
3．已知－＝2，则＋＝( )
A．7 B．8 C．9 D．10
4．问题探究：因为(－1)2＝3－2，所以＝－1，因为(＋1)2＝3＋2，所以＝＋1，请你根据以上规律，结合你的经验化简下列各式：＝__ __．
5．观察下列二次根式的化简：
S1＝＝1＋－；
S2＝＋＝(1＋－)＋(1＋－)；
S3＝＋＋＝(1＋－)＋(1＋－)＋(1＋－)；
…
则＝__ __．
6．如图，李明家有一块长方形空地ABCD，长BC为 m，宽AB为 m，现要在空地中挖一个长方形的水池(即图中阴影部分)，其余部分种植草莓．其中长方形水池的长为(＋1) m，宽为(－1) m．
(1)求长方形空地ABCD的周长；(结果化为最简二次根式)
(2)已知李明家种植的草莓售价为8元/千克，且每平方米产草莓15千克，若李明家将所种的草莓全部销售完，销售收入为多少元？
