17．2 一元二次方程的解法
1．配方法
知识梳理
1．方程x2＝m(m≥0)的根是__ __．
2．对原一元二次方程配方，使它出现__ __，再直接__ __求解的方法，叫做配方法．
直接开平方解方程时，容易出现丢解的错误．
重难突破
重难点 配方法解一元二次方程
【典例】解方程：
(1)9x2－12x＝12；
(2)x2＋4x－7＝0.
配方法解一元二次方程的关键是使方程左边出现一个完全平方式，右边为一个非负常数的形式．
【对点训练】
1．用配方法解方程：x2－6x＝1.
2．用配方法解方程：x2－4x＋2＝0.
课堂10分钟
1．用配方法解方程x2－6x－5＝0时，配方结果正确的是( )
A．(x－3)2＝4 B．(x－6)2＝41
C．(x＋3)2＝14 D．(x－3)2＝14
2．用配方法解方程x2－4x－7＝0时，原方程应变形为( )
A．(x＋2)2＝11 B．(x－2)2＝11
C．(x＋4)2＝23 D．(x－4)2＝23
3．方程x2－2x－3＝0配方后可化成(x＋m)2＝n的形式，则m＋n的值为( )
A．5 B．4 C．3 D．1
4．延时课上，4个同学以接龙的方式解一元二次方程，每人负责完成一个步骤，如图所示，其中有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是( )
A．小张 B．小王 C．小李 D．小赵
5．用配方法解一元二次方程x2－2x－5＝0时，将它化为(x＋a)2＝b的形式，则a＋b的值为__ __．
6．解方程：
(1)(x＋3)2－25＝0；
(2)2x2＋4x＋1＝0.
2．公式法
知识梳理
用公式法解方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，且b2－4ac≥0)时，方程的根为x＝__ __．
运用一元二次方程求根公式时，一定要注意前提条件b2－4ac≥0的运用，否则会产生错误．
重难突破
重难点 用公式法解一元二次方程
【典例】解一元二次方程：
(1)x2＋3x－1＝0；
(2)x2－4x＋2＝0.
用公式法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)时，首先确定对应的a，b，c的值，然后计算b2－4ac的值是否满足b2－4ac≥0，再确定能否使用公式法解方程．
【对点训练】
1．解方程：x2－3x＋1＝0.
2．解一元二次方程：3x2＋2x－2＝0.
课堂10分钟
1．在用求根公式x＝求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到x＝，则她求解的一元二次方程是( )
A．2x2－3x－1＝0 B．2x2＋4x－1＝0
C．－x2－3x＋2＝0 D．3x2－2x＋1＝0
2．方程x2＋x－1＝0的一个根是( )
A．1－ B．
C．－1＋ D．
3．利用公式解可得一元二次方程式2x2－4x－1＝0的两解为a，b，且a＞b，则a的值为( )
A． B．
C． D．
4．若矩形的面积为12，长和宽的比为2∶1，则矩形的周长为__ __．
5．解方程：2x2－2x－1＝0.
6．解方程：x2＋3＝2(x＋2).
3．因式分解法
知识梳理
1．如果两个因式的积等于0，那么这两个因式中至少有__ __个因式等于0；反过来，如果两个因式中有一个等于0，那么它们的积就等于__ __．
2．通过因式分解，将一个一元二次方程转化为两个一次方程来求解的方法叫做__ __．
因式分解法解一元二次方程时，方程变形后的左边是两个因式的乘积，右边等于0，不符合这种形式的方程不能采用因式分解法解方程．
重难突破
重难点 用因式分解法解一元二次方程
【典例】解方程：x2－4x＋3＝0.
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，且b2－4ac≥0)通过因式分解转化为(px＋q)·(mx＋n)＝0的形式后，转化为两个一元一次方程px＋q＝0与mx＋n＝0，这两个一元一次方程的根即为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，且b2－4ac≥0)的根．
【对点训练】
1．解方程：x2＋3x－4＝0.
2．解方程：2x2－5x－12＝0.
课堂10分钟
1．x2＋3x＝0的解为( )
A．x＝0 B．x＝－3
C．x1＝0，x2＝－3 D．x1＝0，x2＝3
2．方程(x＋2)(x－3)＝0的解是( )
A．x＝2 B．x＝－3
C．x1＝－2，x2＝3 D．x1＝2，x2＝－3
3．已知关于x的方程x2＋px＋q＝0的两个实数根分别为2和－1，则二次三项式x2＋px＋q可以因式分解为( )
A．(x－2)(x＋1) B．(x－2)(x－1)
C．(x＋2)(x＋1) D．(x＋2)(x－1)
4．三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程x2－6x＋8＝0的解，则这个三角形的周长是( )
A．－11 B．13
C．11或8 D．11和13
5．新定义运算：a※b＝a2－ab＋b，例如2※1＝22－2×1＋1＝3，则方程x※2＝5的根是__ __．
6．解方程：
(1)x2－2x－35＝0；
(2)(x＋3)2＝2x＋6.17．2 一元二次方程的解法
1．配方法
知识梳理
1．方程x2＝m(m≥0)的根是__x1＝，x2＝－__．
2．对原一元二次方程配方，使它出现__完全平方式__，再直接__开平方__求解的方法，叫做配方法．
直接开平方解方程时，容易出现丢解的错误．
重难突破
重难点 配方法解一元二次方程
【典例】解方程：
(1)9x2－12x＝12；
(2)x2＋4x－7＝0.
解：(1)∵9x2－12x＝12，∴(3x－2)2＝16，
∴3x－2＝±4，∴3x－2＝4或3x－2＝－4，
∴x1＝2，x2＝－.
(2)∵x2＋4x－7＝0，
∴x2＋4x＝7，
∴x2＋4x＋4＝7＋4，
∴(x＋2)2＝11，
∴x＋2＝±，
∴x1＝－2＋，x2＝－2－.
配方法解一元二次方程的关键是使方程左边出现一个完全平方式，右边为一个非负常数的形式．
【对点训练】
1．用配方法解方程：x2－6x＝1.
原方程化为x2－6x＋9＝10，
∴(x－3)2＝10，即x－3＝±
∴x1＝3＋，x2＝3－.
2．用配方法解方程：x2－4x＋2＝0.
x2－4x＋2＝0
∴x2－4x＝－2
∴x2－4x＋4＝－2＋4
∴(x－2)2＝2，则x－2＝± ，
解得x1＝2＋，x2＝2－.
课堂10分钟
1．用配方法解方程x2－6x－5＝0时，配方结果正确的是( D )
A．(x－3)2＝4 B．(x－6)2＝41
C．(x＋3)2＝14 D．(x－3)2＝14
2．用配方法解方程x2－4x－7＝0时，原方程应变形为( B )
A．(x＋2)2＝11 B．(x－2)2＝11
C．(x＋4)2＝23 D．(x－4)2＝23
3．方程x2－2x－3＝0配方后可化成(x＋m)2＝n的形式，则m＋n的值为( C )
A．5 B．4 C．3 D．1
4．延时课上，4个同学以接龙的方式解一元二次方程，每人负责完成一个步骤，如图所示，其中有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是( D )
A．小张 B．小王 C．小李 D．小赵
5．用配方法解一元二次方程x2－2x－5＝0时，将它化为(x＋a)2＝b的形式，则a＋b的值为__5__．
6．解方程：
(1)(x＋3)2－25＝0；
(2)2x2＋4x＋1＝0.
(1)(x＋3)2－25＝0，
∴(x＋3)2＝25，∴x＋3＝±5，
∴x1＝2，x2＝－8；
(2)2x2＋4x＋1＝0，
∴x2＋2x＝－，∴x2＋2x＋1＝，
∴(x＋1)2＝，∴x＋1＝± ，
∴x1＝－1－，x2＝－1＋.
2．公式法
知识梳理
用公式法解方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，且b2－4ac≥0)时，方程的根为x＝____．
运用一元二次方程求根公式时，一定要注意前提条件b2－4ac≥0的运用，否则会产生错误．
重难突破
重难点 用公式法解一元二次方程
【典例】解一元二次方程：
(1)x2＋3x－1＝0；
(2)x2－4x＋2＝0.
解：(1)x2＋3x－1＝0，
a＝1，b＝3，c＝－1，
b2－4ac＝32－4×1×(－1)＝13＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝；
(2)x2－4x＋2＝0，
化简，得x2－8x＋4＝0，
a＝1，b＝－8，c＝4，
b2－4ac＝(－8)2－4×1×4＝48＞0，
∴x＝＝＝4±2，
∴x1＝4＋2，x2＝4－2.
用公式法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)时，首先确定对应的a，b，c的值，然后计算b2－4ac的值是否满足b2－4ac≥0，再确定能否使用公式法解方程．
【对点训练】
1．解方程：x2－3x＋1＝0.
x2－3x＋1＝0，
则b2－4ac＝(－3)2－4×1×1＝5＞0，
所以x＝，
所以x1＝，x2＝.
2．解一元二次方程：3x2＋2x－2＝0.
3x2＋2x－2＝0.
b2－4ac＝22－4×3×(－2)＝28＞0，
∴x＝＝，
x1＝，x2＝.
课堂10分钟
1．在用求根公式x＝求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到x＝，则她求解的一元二次方程是( A )
A．2x2－3x－1＝0 B．2x2＋4x－1＝0
C．－x2－3x＋2＝0 D．3x2－2x＋1＝0
2．方程x2＋x－1＝0的一个根是( D )
A．1－ B．
C．－1＋ D．
3．利用公式解可得一元二次方程式2x2－4x－1＝0的两解为a，b，且a＞b，则a的值为( A )
A． B．
C． D．
4．若矩形的面积为12，长和宽的比为2∶1，则矩形的周长为__6__．
5．解方程：2x2－2x－1＝0.
2x2－2x－1＝0，
这里a＝2，b＝－2，c＝－1，
b2－4ac＝(－2)2－4×2×(－1)＝12＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝.
6．解方程：x2＋3＝2(x＋2).
方程化为一般式为x2－2x－1＝0，
b2－4ac＝(－2)2－4×1×(－1)＝8＞0，
x＝＝＝1±，
∴x1＝1＋，x2＝1－.
3．因式分解法
知识梳理
1．如果两个因式的积等于0，那么这两个因式中至少有__1__个因式等于0；反过来，如果两个因式中有一个等于0，那么它们的积就等于__0__．
2．通过因式分解，将一个一元二次方程转化为两个一次方程来求解的方法叫做__因式分解法__．
因式分解法解一元二次方程时，方程变形后的左边是两个因式的乘积，右边等于0，不符合这种形式的方程不能采用因式分解法解方程．
重难突破
重难点 用因式分解法解一元二次方程
【典例】解方程：x2－4x＋3＝0.
解：∵x2－4x＋3＝0，
∴(x－1)(x－3)＝0，
∴x－1＝0或x－3＝0，∴x1＝1，x2＝3.
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，且b2－4ac≥0)通过因式分解转化为(px＋q)·(mx＋n)＝0的形式后，转化为两个一元一次方程px＋q＝0与mx＋n＝0，这两个一元一次方程的根即为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，且b2－4ac≥0)的根．
【对点训练】
1．解方程：x2＋3x－4＝0.
∵x2＋3x－4＝0，∴(x＋4)(x－1)＝0，
∴x＋4＝0或x－1＝0，
∴x1＝－4，x2＝1.
2．解方程：2x2－5x－12＝0.
∵2x2－5x－12＝0，∴(2x＋3)(x－4)＝0，
∴2x＋3＝0，x－4＝0，
∴x1＝－，x2＝4.
课堂10分钟
1．x2＋3x＝0的解为( C )
A．x＝0 B．x＝－3
C．x1＝0，x2＝－3 D．x1＝0，x2＝3
2．方程(x＋2)(x－3)＝0的解是( C )
A．x＝2 B．x＝－3
C．x1＝－2，x2＝3 D．x1＝2，x2＝－3
3．已知关于x的方程x2＋px＋q＝0的两个实数根分别为2和－1，则二次三项式x2＋px＋q可以因式分解为( A )
A．(x－2)(x＋1) B．(x－2)(x－1)
C．(x＋2)(x＋1) D．(x＋2)(x－1)
4．三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程x2－6x＋8＝0的解，则这个三角形的周长是( B )
A．－11 B．13
C．11或8 D．11和13
x2－6x＋8＝0，(x－2)(x－4)＝0，∴x－2＝0或x－4＝0，∴x1＝2，x2＝4.因为三角形两边的长分别为3和6，所以第三边的长必须大于3，故周长＝3＋6＋4＝13.
5．新定义运算：a※b＝a2－ab＋b，例如2※1＝22－2×1＋1＝3，则方程x※2＝5的根是__－1和3__．
因为a※b＝a2－ab＋b，所以由x※2＝5，得x2－2x＋2＝5，则x2－2x－3＝0，
所以(x＋1)(x－3)＝0，解得x1＝－1，x2＝3，即方程x※2＝5的根是－1和3.
6．解方程：
(1)x2－2x－35＝0；
(2)(x＋3)2＝2x＋6.
(1)∵x2－2x－35＝0，∴(x－7)(x＋5)＝0，
∴x－7＝0或x＋5＝0，
∴x1＝7，x2＝－5；
(2)∵(x＋3)2＝2x＋6，
∴(x＋3)2－2(x＋3)＝0，
∴(x＋3)(x＋3－2)＝0，
∴x＋3＝0或x＋3－2＝0，
∴x1＝－3，x2＝－1.
