17．3 一元二次方程根的判别式
知识梳理
1．我们把__ __叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的判别式，通常用符号“Δ”来表示，即Δ＝__ __．
2．对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当Δ>0时，有两个__ __的实数根；当Δ＝0时，有两个__ __的实数根；当Δ<0时，__ __实数根．
对于方程ax2＋bx＋c＝0无解与有解的区分，需要注意a的取值范围，当a≠0时，方程ax2＋bx＋c＝0有解的条件是Δ≥0，当a＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0有解的条件是b≠0.
重难突破
重难点 一元二次方程根的判别式的运用
【典例】已知关于x的一元二次方程x2－2x＋m－1＝0有两个实数根．设p是方程的一个实数根，且满足(p2－2p＋3)(m＋4)＝7，求m的值．
判定一元二次方程ax2＋bx＋c＝0解的渠道是Δ的取值，依据方程解的不同情况，可以据此确定方程中所含待定系数的取值或者取值范围．
【对点训练】
1．已知关于x的方程x2－2x＋2m－1＝0，若方程有实数根，求m的取值范围．
2．关于x的一元二次方程x2－2mx＋(m－1)2＝0有两个不相等的实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)当m＝1时，求此时方程的根．
课堂10分钟
1．若关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为( )
A．3 B．2 C．1 D．－1
2．关于一元二次方程(x－3)2＝－5根的情况，下列说法中正确的是( )
A．无实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．无法确定
3．若关于x的方程(m－3)x2＋2x＋1＝0有实数根，则m的取值范围是( )
A．m＜4 B．m≥4
C．m≤4且m≠3 D．m≤4
4．关于x的一元二次方程x2－x＋c＝0没有实数根(c是常数)，则c的取值范围是__ __．
5．若|b－1|＋＝0，且一元二次方程kx2＋ax＋b＝0有实数根，则k的取值范围是__ __．
6．已知关于x的方程x2－(k＋2)x＋2k－1＝0.
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)如果方程的一个根为x＝3，求k的值及方程的另一根．17．3 一元二次方程根的判别式
知识梳理
1．我们把__b2－4ac__叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的判别式，通常用符号“Δ”来表示，即Δ＝__b2－4ac__．
2．对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当Δ>0时，有两个__不相等__的实数根；当Δ＝0时，有两个__相等__的实数根；当Δ<0时，__没有__实数根．
对于方程ax2＋bx＋c＝0无解与有解的区分，需要注意a的取值范围，当a≠0时，方程ax2＋bx＋c＝0有解的条件是Δ≥0，当a＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0有解的条件是b≠0.
重难突破
重难点 一元二次方程根的判别式的运用
【典例】已知关于x的一元二次方程x2－2x＋m－1＝0有两个实数根．设p是方程的一个实数根，且满足(p2－2p＋3)(m＋4)＝7，求m的值．
解：根据题意，得Δ＝b2－4ac＝4－4×(m－1)≥0，
解得m≤2；
p是方程的一个实数根，则p2－2p＋m－1＝0，
则p2－2p＋3＝4－m，
则(p2－2p＋3)(m＋4)＝7即(4－m)(4＋m)＝7，
解得m＝3(舍去)或m＝－3.
故m的值为－3.
判定一元二次方程ax2＋bx＋c＝0解的渠道是Δ的取值，依据方程解的不同情况，可以据此确定方程中所含待定系数的取值或者取值范围．
【对点训练】
1．已知关于x的方程x2－2x＋2m－1＝0，若方程有实数根，求m的取值范围．
∵方程x2－2x＋2m－1＝0有实数根，
∴Δ≥0，即(－2)2－4(2m－1)≥0，
解得m≤1，
∴m的取值范围是m≤1.
2．关于x的一元二次方程x2－2mx＋(m－1)2＝0有两个不相等的实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)当m＝1时，求此时方程的根．
(1)由题意，得Δ＝(－2m)2－4(m2－1)＝4＞0，
解得m为任意实数；
(2)当m＝1时，方程为x2－2x＝0，
则x(x－2)＝0，
解得x1＝0，x2＝2.
课堂10分钟
1．若关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为( C )
A．3 B．2 C．1 D．－1
2．关于一元二次方程(x－3)2＝－5根的情况，下列说法中正确的是( A )
A．无实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．无法确定
3．若关于x的方程(m－3)x2＋2x＋1＝0有实数根，则m的取值范围是( D )
A．m＜4 B．m≥4
C．m≤4且m≠3 D．m≤4
4．关于x的一元二次方程x2－x＋c＝0没有实数根(c是常数)，则c的取值范围是__c>__．
5．若|b－1|＋＝0，且一元二次方程kx2＋ax＋b＝0有实数根，则k的取值范围是__k≤4且k≠0__．
∵|b－1|＋＝0，∴b＝1，a＝4，∴原方程为kx2＋4x＋1＝0.∵该一元二次方程有实数根，∴Δ＝16－4k≥0，解得k≤4.∵方程kx2＋ax＋b＝0是一元二次方程，∴k≠0，k的取值范围是k≤4且k≠0.
6．已知关于x的方程x2－(k＋2)x＋2k－1＝0.
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)如果方程的一个根为x＝3，求k的值及方程的另一根．
(1)由于x2－(k＋2)x＋2k－1＝0是一元二次方程，Δ＝b2－4ac＝[－(k＋2)]2－4×1×(2k－1)＝k2－4k＋8＝(k－2)2＋4，
无论k取何实数，总有(k－2)2≥0，(k－2)2＋4＞0，
所以方程总有两个不相等的实数根；
(2)把x＝3代入方程x2－(k＋2)x＋2k－1＝0，有32－3(k＋2)＋2k－1＝0，整理，得 2－k＝0.
解得 k＝2，此时方程可化为 x2－4x＋3＝0.
解此方程，得 x1＝1，x2＝3.
所以方程的另一根为x＝1.
