17．5 一元二次方程的应用
第1课时 一元二次方程的应用(1)
知识梳理
1．长方形的面积＝__长__×__宽__．
2．原数量×(1＋__增长率__)＝实际数量．
一元二次方程的实际应用问题要注意审题，理清数量之间的关系，不要因为粗心出错．
重难突破
重难点 增长率问题的实际应用
【典例】随着环保意识日渐深入人心，新能源汽车的市场需求逐年上升．
(1)某汽车企业2020年到2022年这两年新能源汽车的销售总量增长了96%.求该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率；
(2)某汽车企业下属的一个专卖店经销一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆．若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元，并且尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价．
解：(1)设该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为x，该汽车企业2020年新能源汽车销售总量为a辆，则该汽车企业2022年新能源汽车销售总量为(1＋96%)a辆．
根据题意，得a(1＋x)2＝(1＋96%)a，
解得x1＝0.4＝40%，x2＝－2.4(不符合题意，舍去).
答：该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为40%；
(2)设下调后每辆汽车的售价为y万元，则每辆汽车的销售利润为(y－15)万元，平均每周可售出8＋×1＝(58－2y)辆．
根据题意，得(y－15)(58－2y)＝96，
整理，得y2－44y＋483＝0，解得y1＝21，y2＝23.
又∵要尽量让利于顾客，
∴y＝21.
答：下调后每辆汽车的售价为21万元．
细心审题，找准数量关系，设定适当的未知数，列出合理的方程是解题的关键所在．
【对点训练】
1．某水果批发商场经销一种高档水果，商场为了在中秋节和国庆节期间扩大销量，将售价从原来的每千克40元经两次调价后调至每千克32.4元．
(1)若该商场两次调次的降价率相同，求这个降价率；
(2)现在假期结束了，商场准备适当涨价，如果现在每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6 000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
(1)设这个降价率为x，
依题意，得40(1－x)2＝32.4，
解得x1＝0.1＝10%，x2＝1.9(舍去).
答：这个降价率为10%.
(2)设每千克应涨价y元，
则每天可售出(500－20y)千克，
依题意，得(10＋y)(500－20y)＝6 000，
整理，得y2－15y＋50＝0，解得y1＝10，y2＝5.
∵要使顾客得到实惠，
∴y＝5.
答：每千克应涨价5元．
2．受益于国家对高新技术企业的大力扶持，某新材料企业的利润逐月增加．据统计，该企业今年一月的利润为128亿元，到三月末累计利润为608亿元，若该企业利润的月平均增长率相同．
(1)求该企业从一月到三月利润的月平均增长率；
(2)若该企业四月份保持前两个月利润的月平均增长率，求该企业四月份的利润．
(1)设该企业从一月到三月利润的月平均增长率为x，则该企业今年二月的利润为128(1＋x)亿元，三月的利润为128(1＋x)2亿元，根据题意，得128＋128(1＋x)＋128(1＋x)2＝608，
整理，得4x2＋12x－7＝0，解得x1＝0.5＝50%，x2＝－3.5(不符合题意，舍去).
答：该企业从一月到三月利润的月平均增长率为50%；
(2)根据题意，得128×(1＋0.5)3＝432(亿元).
答：该企业四月份的利润为432亿元．
课堂10分钟
1．某小区内的一家快递驿站第一天共收到225件快递，第三天共收到324件快递，设该快递驿站收件量的日平均增长率为x，则下列方程正确的是( B )
A．225(1＋x2)＝324
B．225(1＋x)2＝324
C．225(1＋2x)＝324
D．225＋225(1＋x)＝324
2．如图，某小区有一块长16 m、宽10 m的矩形花园，现要修三条入口宽度相等的小路，每条小路的两边是互相平行的．若使剩余面积为126 m2，求小路的入口宽度．若设小路的入口宽度为x m，则根据题意所列方程正确的是( C )
A.(16＋2x)(10＋x)＝126
B．(16＋x)(10＋2x)＝126
C．(16－2x)(10－x)＝126
D．(16－x)(10－2x)＝126
3．某玩具店销售某款玩具，单价为20元，为扩大销售，该玩具店连续两次对该款玩具进行降价促销，已知降价后的单价为12.8元，且两次降价的百分比均为x，则可列方程为( B )
A．12.8(1－x)2＝20
B．20(1－x)2＝12.8
C．20(1－x)2＝20－12.8
D．20(1－2x)＝12.8
4．某公司年报显示，该公司2023年的利润为6 600万元，受市场波动影响，2023年利润增长率为2022年利润增长率的一半，若该公司2021年的利润为5 000万元，则该公司2023年利润增长率为( B )
A．5% B．10% C．15% D．20%
5．如图，在一块长30 m、宽20 m的矩形花园基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，若种植花苗的面积为522 m2，则道路的宽为__1__m.
6．如图，某校进行校园改造，准备将一块正方形空地划出部分区域栽种鲜花，原空地一边减少了4 m，另一边减少了5 m，剩余部分面积为650 m2，求原正方形空地的边长．
设原正方形空地的边长为x m，则剩余部分长(x－4)m，宽(x－5)m，
依题意，得(x－4)(x－5)＝650
整理，得x2－9x－630＝0，解得x1＝30，x2＝－21(不合题意，舍去).
答：原正方形空地的边长为30 m．
第2课时 一元二次方程的应用(2)
知识梳理
1．一个两位数，其十位数字是a，个位数字是b，则这个两位数可以表示为__10a＋b__．
2．利润＝__利润率__×成本．
可化为一元二次方程的分式方程的应用问题中，需要特别注意审题，明确题目中的数量关系，同时注意进行检验，杜绝错误的结论出现．
重难突破
重难点 可化为一元二次方程的分式方程的应用
【典例】某学校要修建一个占地面积为64平方米的矩形体育活动场地，四周要建上高为1米的围挡．学校准备了可以修建45米长的围挡材料(可以不用完).设矩形地面的边长AB＝x米，BC＝y米．若矩形地面的造价为1千元/平方米，侧面围挡的造价为0.5千元/平方米，建好矩形场地的总费用为80.4千元，求出x的值．(总费用＝地面费用＋围挡费用)
解：依题意，得1×64＋0.5×1×2(x＋)＝80.4，
整理，得x2－16.4x＋64＝0，解得x1＝10，x2＝6.4.
经检验，x1＝10，x2＝6.4均为原分式方程的解，且符合题意．
答：x的值为10或6.4.
可化为一元二次方程的分式方程的应用问题中，所求得的解既要是所列方程的解，还要符合实际问题的要求，两个检验缺一不可．
【对点训练】
1．甲，乙两人分别骑车从A，B两地相向而行，甲先行1小时后，乙才出发，又经过4小时两人在途中的C地相遇，相遇后两人按原来的方向继续前进，乙在由C地达到A地的途中因故停了20分钟，结果乙由C地到达A地时比甲由C地到达B地还提前了40分钟，已知乙比甲每小时多行驶4千米，求甲，乙两人骑车的速度．
设甲的速度为x千米/时，乙的速度为(x＋4)千米/时，由题意，得＝－－，
解得x＝16或x＝－2(不合题意，舍去)
经检验x＝16是原分式方程的解．
x＋4＝20，
答：甲的速度为16千米/时，乙的速度为20千米/时．
2．5G手机的下载速度很快，比4G下载速度每秒多95 MB，下载一部1 000 MB的电影，5G比4G要快190秒，求5G手机的下载速度．
设5G手机的下载速度是x MB/秒，则4G下载速度是(x－95)MB/秒，
根据题意，得＝＋190，
解得x1＝100，x2＝－5(不合题意，舍去)，
经检验，x1＝100是原方程的解，
答：5G手机的下载速度是100 MB/秒．
课堂10分钟
1．某校七年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为每两班之间赛两场，共需安排42场比赛．设七年级共有x个班，则下列方程正确的是( A )
A．x(x－1)＝42 B．x(x＋1)＝42
C．x(x＋1)＝42 D．x(x－1)＝42
2．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮就会有81台电脑被感染．设每轮感染中平均一台电脑可感染x台，下面所列方程正确的是( D )
A．x2＝81 B．1＋x2＝81
C．1＋x＋x2＝81 D．1＋x＋x (x＋1)＝81
3．一个两位数，个位数字是十位数字的两倍，将这个两位数的十位数字与个位数字交换后，所得的两位数与原来的两位数的乘积是2 268，则原来的两位数是__36__．
4．在过去的2023年，直播电商一词，我们并不陌生．原本以内容为主的视频平台在入局电商后，大力开拓直播带货模式，并实现高速增长．某电商上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为__50__元．
5．《代数学》中记载，形如x2＋8x＝33的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为2x的长方形，得到大正方形的面积为33＋16＝49，则该方程的正数解为 7－4＝3.”小唐按此方法解关于x的方程x2＋12x＝m时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为64，则该方程的正数解为__4__．
x2＋12x＝m，∵阴影部分的面积为64，
∴x2＋12x＝64，设4a＝12，则a＝3，同理，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为3x的矩形，得到大正方形的面积为64＋32×4＝64＋36＝100，则该方程的正数解为10－6＝4.
6．某地建立了一个劳动实践基地，小亮从中了解到如下信息：
信息1：2025年计划将100亩(亩，市制面积单位)的土地全部种植甲乙两种蔬菜；其中，甲种蔬菜种植面积不少于20亩，乙种蔬菜种植面积不少于50亩；
信息2：甲种蔬菜每亩种植成本y(单位：元)与其种植面积x(单位：亩)之间满足函数关系为y＝x＋10，乙种蔬菜每亩种植成本为50元．
根据以上信息完成下列问题：
(1)若甲种蔬菜每亩种植成本30元，求乙种蔬菜总种植成本；
(2)如何分配两种蔬菜的种植面积，使甲、乙两种蔬菜总种植成本为4 272元？
(1)由题意，得y＝x＋10＝30，
解得x＝40，符合题意，
∴100－x＝100－40＝60，
∴50×60＝3 000(元)，
答：乙种蔬菜总种植成本为3 000元；
(2)由题意，可知甲种蔬菜种植面积为x亩，则乙种蔬菜种植面积为(100－x)亩，
由题意，得(x＋10)x＋50(100－x)＝4 272，
整理，得x2－80x＋1 456＝0，
解得x1＝28，x2＝52，
当x＝28时，100－x＝72；
当x＝52时，100－x＝48，不符合题意，舍去；
答：甲种蔬菜种植面积为28亩，乙种蔬菜种植面积为72亩，使甲、乙两种蔬菜总种植成本为4 272元．17．5 一元二次方程的应用
第1课时 一元二次方程的应用(1)
知识梳理
1．长方形的面积＝__ __×__ __．
2．原数量×(1＋__ __)＝实际数量．
一元二次方程的实际应用问题要注意审题，理清数量之间的关系，不要因为粗心出错．
重难突破
重难点 增长率问题的实际应用
【典例】随着环保意识日渐深入人心，新能源汽车的市场需求逐年上升．
(1)某汽车企业2020年到2022年这两年新能源汽车的销售总量增长了96%.求该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率；
(2)某汽车企业下属的一个专卖店经销一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆．若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元，并且尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价．
细心审题，找准数量关系，设定适当的未知数，列出合理的方程是解题的关键所在．
【对点训练】
1．某水果批发商场经销一种高档水果，商场为了在中秋节和国庆节期间扩大销量，将售价从原来的每千克40元经两次调价后调至每千克32.4元．
(1)若该商场两次调次的降价率相同，求这个降价率；
(2)现在假期结束了，商场准备适当涨价，如果现在每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6 000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
2．受益于国家对高新技术企业的大力扶持，某新材料企业的利润逐月增加．据统计，该企业今年一月的利润为128亿元，到三月末累计利润为608亿元，若该企业利润的月平均增长率相同．
(1)求该企业从一月到三月利润的月平均增长率；
(2)若该企业四月份保持前两个月利润的月平均增长率，求该企业四月份的利润．
课堂10分钟
1．某小区内的一家快递驿站第一天共收到225件快递，第三天共收到324件快递，设该快递驿站收件量的日平均增长率为x，则下列方程正确的是( )
A．225(1＋x2)＝324
B．225(1＋x)2＝324
C．225(1＋2x)＝324
D．225＋225(1＋x)＝324
2．如图，某小区有一块长16 m、宽10 m的矩形花园，现要修三条入口宽度相等的小路，每条小路的两边是互相平行的．若使剩余面积为126 m2，求小路的入口宽度．若设小路的入口宽度为x m，则根据题意所列方程正确的是( )
A.(16＋2x)(10＋x)＝126
B．(16＋x)(10＋2x)＝126
C．(16－2x)(10－x)＝126
D．(16－x)(10－2x)＝126
3．某玩具店销售某款玩具，单价为20元，为扩大销售，该玩具店连续两次对该款玩具进行降价促销，已知降价后的单价为12.8元，且两次降价的百分比均为x，则可列方程为( )
A．12.8(1－x)2＝20
B．20(1－x)2＝12.8
C．20(1－x)2＝20－12.8
D．20(1－2x)＝12.8
4．某公司年报显示，该公司2023年的利润为6 600万元，受市场波动影响，2023年利润增长率为2022年利润增长率的一半，若该公司2021年的利润为5 000万元，则该公司2023年利润增长率为( )
A．5% B．10% C．15% D．20%
5．如图，在一块长30 m、宽20 m的矩形花园基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，若种植花苗的面积为522 m2，则道路的宽为__ __m.
6．如图，某校进行校园改造，准备将一块正方形空地划出部分区域栽种鲜花，原空地一边减少了4 m，另一边减少了5 m，剩余部分面积为650 m2，求原正方形空地的边长．
第2课时 一元二次方程的应用(2)
知识梳理
1．一个两位数，其十位数字是a，个位数字是b，则这个两位数可以表示为__ __．
2．利润＝__ __×成本．
可化为一元二次方程的分式方程的应用问题中，需要特别注意审题，明确题目中的数量关系，同时注意进行检验，杜绝错误的结论出现．
重难突破
重难点 可化为一元二次方程的分式方程的应用
【典例】某学校要修建一个占地面积为64平方米的矩形体育活动场地，四周要建上高为1米的围挡．学校准备了可以修建45米长的围挡材料(可以不用完).设矩形地面的边长AB＝x米，BC＝y米．若矩形地面的造价为1千元/平方米，侧面围挡的造价为0.5千元/平方米，建好矩形场地的总费用为80.4千元，求出x的值．(总费用＝地面费用＋围挡费用)
可化为一元二次方程的分式方程的应用问题中，所求得的解既要是所列方程的解，还要符合实际问题的要求，两个检验缺一不可．
【对点训练】
1．甲，乙两人分别骑车从A，B两地相向而行，甲先行1小时后，乙才出发，又经过4小时两人在途中的C地相遇，相遇后两人按原来的方向继续前进，乙在由C地达到A地的途中因故停了20分钟，结果乙由C地到达A地时比甲由C地到达B地还提前了40分钟，已知乙比甲每小时多行驶4千米，求甲，乙两人骑车的速度．
2．5G手机的下载速度很快，比4G下载速度每秒多95 MB，下载一部1 000 MB的电影，5G比4G要快190秒，求5G手机的下载速度．
课堂10分钟
1．某校七年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为每两班之间赛两场，共需安排42场比赛．设七年级共有x个班，则下列方程正确的是( )
A．x(x－1)＝42 B．x(x＋1)＝42
C．x(x＋1)＝42 D．x(x－1)＝42
2．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮就会有81台电脑被感染．设每轮感染中平均一台电脑可感染x台，下面所列方程正确的是( )
A．x2＝81 B．1＋x2＝81
C．1＋x＋x2＝81 D．1＋x＋x (x＋1)＝81
3．一个两位数，个位数字是十位数字的两倍，将这个两位数的十位数字与个位数字交换后，所得的两位数与原来的两位数的乘积是2 268，则原来的两位数是__ __．
4．在过去的2023年，直播电商一词，我们并不陌生．原本以内容为主的视频平台在入局电商后，大力开拓直播带货模式，并实现高速增长．某电商上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为__ __元．
5．《代数学》中记载，形如x2＋8x＝33的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为2x的长方形，得到大正方形的面积为33＋16＝49，则该方程的正数解为 7－4＝3.”小唐按此方法解关于x的方程x2＋12x＝m时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为64，则该方程的正数解为__ __．
6．某地建立了一个劳动实践基地，小亮从中了解到如下信息：
信息1：2025年计划将100亩(亩，市制面积单位)的土地全部种植甲乙两种蔬菜；其中，甲种蔬菜种植面积不少于20亩，乙种蔬菜种植面积不少于50亩；
信息2：甲种蔬菜每亩种植成本y(单位：元)与其种植面积x(单位：亩)之间满足函数关系为y＝x＋10，乙种蔬菜每亩种植成本为50元．
根据以上信息完成下列问题：
(1)若甲种蔬菜每亩种植成本30元，求乙种蔬菜总种植成本；
(2)如何分配两种蔬菜的种植面积，使甲、乙两种蔬菜总种植成本为4 272元？
