19．1 多边形内角和
知识梳理
1．在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的__ __叫做多边形，组成多边形的线段叫做多边形的__ __，相邻两边的公共端点叫做多边形的__ __，多边形中相邻两边组成的角叫做多边形的__ __，简称多边形的__ __；在顶点处一边与另一边的延长线所组成的角叫做多边形的__ __．
2．一个多边形，如果把它任何一边双向延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的多边形就是__ __.
3．多边形中连接不相邻两个顶点的线段叫做多边形的__ __．
4．n边形的内角和等于__ __(n为__ __的整数).
5．n边形的外角和等于__ __(n为__ __的整数).
6．各条边都__ __，各个内角都__ __的多边形叫做正多边形．
7．四边形具有__ __性．
多边形随着边数的增加，其内角和逐渐增大，其外角和恒等于360°.
重难突破
重难点 多边形的内角和
【典例1】已知一个多边形的边数为n.
(1)若n＝8，求这个多边形的内角和；
(2)若这个多边形的每个内角都比与它相邻外角的3倍还多20°，求n的值．
掌握多边形内角和计算公式是解题的关键．
【对点训练】
1．一个多边形中，每个内角都相等，并且每个外角都等于它的相邻内角的，求这个多边形的边数及内角和？
2．一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数．
课堂10分钟
1．过多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成8个三角形，这个多边形的边数是( )
A．8 B．9
C．10 D．11
2．若一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形的边数是( )
A．3 B．4
C．5 D．6
3．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，延长BC至点E，连接AC，AE，AE交CD于点F.若∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠B＝∠3＝2∠2，则∠D的度数为( )
A．70° B．71°
C．72° D．73°
4．一个棱柱有10个面，则这个棱柱的底面是__ __边形．
5．如图，将五边形ABCDE沿虚线裁去一个角得到六边形ABCDGF，则该六边形的周长一定比原五边形的周长__ __(填“大”或“小”)，理由为__ __．
6．用小棒按下面的方式拼图形．
五边形个数 拼成的形状 小棒根数
1 5
2 9
3 13
4 17
……
(1)填表，并把发现的规律写出来；
(2)按规律拼成10个这样的五边形，一共用多少根小棒？请写出算式．19．1 多边形内角和
知识梳理
1．在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的__封闭图形__叫做多边形，组成多边形的线段叫做多边形的__边__，相邻两边的公共端点叫做多边形的__顶点__，多边形中相邻两边组成的角叫做多边形的__内角__，简称多边形的__角__；在顶点处一边与另一边的延长线所组成的角叫做多边形的__外角__．
2．一个多边形，如果把它任何一边双向延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的多边形就是__凸多边形__.
3．多边形中连接不相邻两个顶点的线段叫做多边形的__对角线__．
4．n边形的内角和等于__(n－2)·180°__(n为__不小于3__的整数).
5．n边形的外角和等于__360°__(n为__不小于3__的整数).
6．各条边都__相等__，各个内角都__相等__的多边形叫做正多边形．
7．四边形具有__不稳定__性．
多边形随着边数的增加，其内角和逐渐增大，其外角和恒等于360°.
重难突破
重难点 多边形的内角和
【典例1】已知一个多边形的边数为n.
(1)若n＝8，求这个多边形的内角和；
(2)若这个多边形的每个内角都比与它相邻外角的3倍还多20°，求n的值．
解：(1)多边形的内角和＝(8－2)×180°＝1 080°，
答：这个多边形的内角和1 080°；
(2)设这个多边形的每个外角为x°，则每个内角为(3x＋20)°，依题意，得3x＋20＋x＝180，
解得x＝40，∴n＝360°÷40°＝9，
答：这个多边形的边数n为9.
掌握多边形内角和计算公式是解题的关键．
【对点训练】
1．一个多边形中，每个内角都相等，并且每个外角都等于它的相邻内角的，求这个多边形的边数及内角和？
设这个多边形的一个外角的度数为x，
由x＝(180°－x)
解得x＝36°，
360÷36＝10，
(10－2)×180°＝1 440°，
此多边形为十边形，内角和为1 440°.
2．一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数．
设这个多边形的边数是n，
依题意，得(n－2)×180°＝3×360°－180°，
n－2＝6－1，
∴n＝7.
答：这个多边形的边数是7.
课堂10分钟
1．过多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成8个三角形，这个多边形的边数是( C )
A．8 B．9
C．10 D．11
2．若一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形的边数是( B )
A．3 B．4
C．5 D．6
3．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，延长BC至点E，连接AC，AE，AE交CD于点F.若∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠B＝∠3＝2∠2，则∠D的度数为( C )
A．70° B．71°
C．72° D．73°
4．一个棱柱有10个面，则这个棱柱的底面是__八__边形．
5．如图，将五边形ABCDE沿虚线裁去一个角得到六边形ABCDGF，则该六边形的周长一定比原五边形的周长__小__(填“大”或“小”)，理由为__两点之间，线段最短(或三角形两边之和大于第三边)__．
6．用小棒按下面的方式拼图形．
五边形个数 拼成的形状 小棒根数
1 5
2 9
3 13
4 17
……
(1)填表，并把发现的规律写出来；
(2)按规律拼成10个这样的五边形，一共用多少根小棒？请写出算式．
(1)拼1个五边形，需要小棒根数5根；
拼2个五边形，需要小棒根数5＋4＝9(根)；
拼3个五边形，需要小棒根数5＋4＋4＝13(根)；
拼4个五边形，需要小棒根数5＋4＋4＋4＝17(根)；
…；
有拼n个五边形，需要小棒根数5＋4×(n－1)＝(4n＋1)(根)；
(2)当n＝10时，所需小棒根数4×10＋1＝40＋1＝41(根).
答：拼成10个这样的五边形，一共要用 41根小棒．
