上海市位育中学2016届高三上学期零次（9月）考试数学试题

位育中学2015学年第一学期零次考试高三数学试卷
2015-9-2 _____班，_____号，姓名_____________
一、填空题（本大题满分56分，每小题4分）
1．函数的定义域为______________．
2．若双曲线的一个焦点为，则实数______________．
3．在五个数字1，2，3，4，5中随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是______．
4．二项式的展开式中的常数项为______________．
5．已知，则实数的取值范围是______________．
6．已知点，若，则点C的坐标为______________．
7．等比数列中，，，则公比=______________．
8．对一切实数都有，那么实数的取值范围是______________．
9．过点且和抛物线有且仅有一个公共点的直线有______________条．
10．函数的递减区间是______________．
11．已知的最小正周期为______________．
12．某企业开发了一个受政府扶持的新项目 ( http: / / www.21cnjy.com )，得到政府无息贷款50万元购买了一套设备，若该
设备在使用过程中第一天维护费用是101元，…，第n天的维护费用是100n元，设使用m天后，平均每天消耗的设备费用（总设备费用购置费维护费）最低，则m _________．
13．已知定义在R上的函数是偶函数，且满足，若当时，，则______________．
14．设是各项均不为零的等差数列()，且公差，若将此数列删去某一项得到的数列(按原来的顺序)是等比数列，则的所有可能的值是______________．
二、选择题（本大题满分20分，每小题5分）
15．若集合，，，则下列结论正确的是 （ ）
A． B． C． D．
16．如果函数的图像经过第二、三、四象限，则 （ ）
A． B． C． D．
17．设函数的反函数为，且的图像过点，则的图像必过点 （ ）
A． B． C． D．
18．已知数列的通项为，下列表述正确的是 （ ）
A．最大项为0，最小项为 B．最大项为0，最小项不存在
C．最大项不存在，最小项为 D．以上答案都不对
三、解答题（本大题满分74分）
19．（本题满分12分）第1小题6分，第2小题6分．
矩形ABCD的边长AB4，AD6，P是矩形ABCD所在平面外一点，且PA3，PB5，，求 (1) 点P到平面ABCD的距离；(2) 点C到平面PAB的距离．
( http: / / www.21cnjy.com )
20．（本题满分14分）第1小题6分，第2小题8分．
已知点A,B,C的坐标分别为A(3,0),B(0,3),，．
(1) 若，求角的值；
(2) 若，求的值．
21．（本题满分14分）第1小题6分，第2小题8分．
设x,y R，,为直角坐标平面内x,y轴正方向上的单位向量，若向量，，且．
(1) 求点M(x,y)的轨迹C的方程；
(2) 过点(0,3)作直线l与曲线C交于A,B两点，设，是否存在这样的直线l，使得？若存在，求出直线l的方程；若不存在，试说明理由．
22．（本题满分16分）第1小题6分，第2小题4分，第3小题6分．
已知函数（a>0且a1）．
(1)讨论f(x)的奇偶性与单调性； (2) 求f(x)的反函数f1(x)；
(3) 若，解关于x的不等式f1(x)23．（本题满分18分）第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．
定义：如果数列{an}的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称{an}为“三角形数列”．对于“三角形数列”{an}，如果函数yf(x)使得bnf(an)仍为一个“三角形数列”，则称yf(x)是数列{an}的“保三角形函数”，（n N*）．
(1) 已知{an}是首项为2，公差为1的等差数列，若f(x)kx,（k>1）是数列{an}的“保三角形函数”，求k的取值范围；
(2) 已知数列{cn}的首项为2010，Sn是数列{cn}的前n项和，且满足4Sn13Sn8040，证明{cn}是“三角形数列”；
(3) 根据“保三角形函数”的定义，对函数 ( http: / / www.21cnjy.com )h(x)x22x,x [1,A]，和数列1,1d,12d，（d>0）提出一个正确的命题，并说明理由．
位育中学2015学年第一学期零次考试高三年级
数学 试卷（答案）
2015-9-2
一、填空题（本大题满分56分，每小题4分）
1． 2．3 3．
4．15 5． 6．(7,11)
7．2, 8．[0,) 9．3
10． 11．2 12．1000
13． 14．1或4
二、选择题（本大题满分20分，每小题5分）
15．C 16．D 17．C 18．A
三、解答题（本大题满分74分）
19．（本题满分12分）
解：(1) 由已知易得：PA AB，PA PD，PAD60，
∵ AB AD，AB PA，∴ AB 平面PAD， 2分
作PH AD，垂足为H，
则AB PH，PH 平面ABCD， 4分
∴ 点P到平面ABCD的距离； 6分
(2) 由平面PAB外直线CD//AB，得CD//平面PAB， 8分
∵ PD AB，PD PA，∴ PD 平面PAB， 10分
故点C到平面PAB的距离等于点D到平面PAB的距离． 12分
20．（本题满分14分）
解：(1) ，， 2分
由，化简可得sin cos，又，∴ ； 6分
(2) 由，可得，， 10分
∴ ． 14分
21．（本题满分14分）
解：(1) 由，得， 2分
设F1(0,2)、F2(0,2)，则|MF1||MF2|8，
点M的轨迹C是以F1、F2为焦点，长轴长2a8的椭圆， 4分
∵ a4，c2，∴ ，
∴ 轨迹C的方程是； 6分
(2) 由知四边形OAPB是平行四边形，
欲使，只需， 8分
显然直线l的斜率存在，设直线l方程为ykx3，
由方程组消y得， 10分
设A(x1,y1)、B(x2,y2)，则，，
，
而，
∴ ，整理得，
故存在直线l:，满足条件． 14分
22．（本题满分16分）
解：(1) 2分
∵对任意x(1,1)，都有f(x)f(x)0，∴f(x)是奇函数； 4分
当a>1时，f(x)单调递增，当0(2) 10分
(3) 由，得a2， 13分
解不等式，得
当m1时，xR；当123．（本题满分18分）
解：(1) 显然，对任意正整数n都成立，即{an}是三角形数列．
∵k>1，显然有，
由，得，解得，
∴当时，f(x)kx是数列{an}的“保三角形函数”； 4分
(2) 由4Sn13Sn8040，得4Sn3Sn18040（n2)，
两式相减，得，
由c12010，4S23S18040，得c21507.5，满足上式，
∴， 7分
显然，
∵
∴{cn}是“三角形数列”； 10分
(3) 探究过程：函数数h(x)x22x,x [1,A]是数列1,1d,12d，（d>0）的“保三角形函数”，必须满足三个条件：
1是“三角形数列”，∴11d>12d，即02数列中的各项必须在定义域内，即12dA； 14分
3h(1),h(1d),h(12d)是“三角形数列”，由于h(x)x22x,x [1,A]是单调递减函数，∴h(1d)h(12d)> h(1)，解得 18分
P
D
C
B
A