第八章整式乘法压轴题练习期中复习（含答案）

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第八章整式乘法压轴题练习期中复习苏科版2024—2025学年七年级下册
一、选择题
1．若x﹣m与3x﹣2的乘积中不含x的一次项，则m的值为（　　）
A． B． C． D．3
2．如图在边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，把余下的部分沿虚线剪开，拼成一个矩形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，可以验证的等式是（　　）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．a2+ab＝a（a+b）
3．在展开多项式（x2+x﹣3）（x2﹣2x+2a）中，常数项为﹣30，则a等于（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．图1是长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片将6张如图1的纸片按图2的方式不重叠地放在长方形ABCD内，已知CD的长度固定不变，BC的长度可以变化，图中阴影部分（即两个长方形）的面积分别表示为S1，S2，若a＝4，b＝2，S1﹣S2的值是（　　）
A．8 B．16 C．12 D．32
5．已知（x﹣2024）2+（x﹣2026）2＝38，则（x﹣2025）2的值是（　　）
A．4 B．18 C．12 D．16
6．已知实数a，b满足，则3a2+4b2+1012a﹣2024b+1的值是（　　）
A．65 B．105 C．115 D．2025
二、填空题
7．求值：（2+1）×（22+1）×（24+1）×（28+1）×...×（264+1）＝　 　．
8．已知11．已知x＝3y+5，且x2﹣7xy+9y2＝24，则x2y﹣3xy2的值为 　 　．
9．m2﹣9n2＝5，m2+6mn+9n2＝5﹣m﹣3n，那么n的值为 　　．
10．如图，点B是线段CG上一点，以BC，BE为边向两边作正方形，面积分别是S1和S2，设CG＝6，两个正方形的面积之和S1+S2＝20，则阴影部分△BCE的面积为 　 　．
11．小明将（2022x+2023）2展开后得到；小亮将（2023x﹣2022）2展开后得到，若两人计算过程无误，则c1﹣c2的值为 　 　．
三、解答题
12．在一次测试中，甲、乙两同学计算同一道整式乘法：（2x+a）（3x+b），甲由于抄错了第一个多项式中a的符号，得到的结果为6x2+11x﹣10；乙由于漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为2x2﹣9x+10．
（1）试求出式子中a，b的值；
（2）请你计算出这道整式乘法的正确结果．
13．已知关于x的一次二项式ax+b与x2﹣3x+1的积不含二次项，一次项的系数是4．求：
（1）系数a与b的值；
（2）二项式ax+b与x2﹣3x的积．
14．若（x+4）（x2﹣2ax﹣4b）的展开式中不含x的二次项和一次项．
（1）求ba的值；
（2）求（a+1）（a2+1）（a4+1） （a64+1）+1的值．
15．完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题．例如：
若a+b＝4，ab＝2，求a2+b2的值．
解：∵a+b＝4，ab＝2，
∴（a+b）2＝16，2ab＝4．
即a2+b2+2ab＝16．
∴a2+b2＝12．
根据上面的解题思路与方法解决下列问题：
（1）a+b＝3，ab＝﹣1，则（a﹣b）2的值为 　 　；
（2）如图，C是线段AB上的一点，分别以AC，BC为边向两边作正方形，AB＝8，两正方形面积的和为24，设AC＝a，BC＝CF＝b，求△AFC的面积；
（3）若（6﹣x）（x﹣2）＝3，求（6﹣x）2+（x﹣2）2的值．
16．如图，两个形状大小相同的长方形ABCD和长方形AEFG，点E在AB边上，AB＝a，BC＝b，且a＞b＞0．
（1）分别连接BD，DF，BF，试比较△ABD与△DFG的面积大小，并说明理由．
（2）用含a，b的代数式表示图中阴影部分的面积．
（3）当a+b＝10，ab＝20．求图中阴影部分的面积．
17．在数学中，通常可以运用一些公式来解决问题．比如，运用两数和的完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2，能够在三个代数式a+b，ab，a2+b2中，当已知其中任意两个代数式的值时，求出第三个代数式的值．例如：已知a+b＝3，ab＝2，求a2+b2的值．
解：将a+b＝3两边同时平方，得（a+b）2＝32，
即a2+2ab+b2＝9，
因为ab＝2，
等量代换，得a2+b2+2×2＝9，
所以a2+b2＝5．
请根据以上信息，解答下列问题．
（1）已知a﹣b＝1，a2+b2＝17，求ab的值．
（2）如图，已知两个正方形的边长分别为a、b，若a+b＝7，ab＝9，求图中阴影部分的面积．
（3）若（2025﹣x）（x﹣2024）＝﹣6，则（2025﹣x）2+（x﹣2024）2的值为 　 　．
18．当我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式，例如，由图1，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2
（1）由图2，可得等式：　 　；
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝13，ab+bc+ac＝28，求a2+b2+c2的值；
（3）如图3，一个小长方形的长为a+b，宽为a，把6个大小相同的小长方形放入到大长方形内（如图4）．求在大长方形中，阴影部分的面积（用含a、b的式子来表示）．
19．甲、乙两个长方形，它们的边长如图1所示，面积分别S1，S2（m为正整数）．
（1）写出S1与S2的大小关系：S1　 　S2．（填“＞”“＜”或“＝”）；
（2）若|S1﹣S2|≤2025，求满足这个不等式的m的最大值；
（3）设有4块长方形甲，3块长方形乙，以及两块面积分别为S3，S4的矩形恰好拼成一个矩形图案，如图2所示．问：是否存在m，使得2S3＝S4，若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．
20．小聪学习多项式研究了多项式值为0的问题，发现当mx+n＝0或px+q＝0时，多项式A＝（mx+n）（px+q）＝mpx2+（mq+np）x+nq的值为0，把此时x的值称为多项式A的零点．
（1）已知多项式（3x+2）（x﹣3），则此多项式的零点为　　．
（2）已知多项式B＝（x﹣2）（x+m）＝x2+（a﹣1）x﹣3a有一个零点为2，求多项式B的另一个零点；
（3）订正：小聪继续研究（x﹣4）（x﹣2），x（x﹣6）及等，发现在x轴上表示这些多项式零点的两个点关于直线x＝3对称，他把这些多项式称为“3﹣系多项式”．若多项式M＝（2x﹣b）（cx﹣7c）＝ax2﹣（8a﹣4c）x+5b﹣4是“3﹣系多项式”，则a＝　　，b＝　　，c＝　　．
21．有这样一类题：代数式ax﹣y+6+3x﹣5y﹣1的值与x的取值无关，求a的值．
通常的解题方法为把x，y看作字母，a看作系数合并同类项，即原式＝（a+3）x﹣6y+5，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即a+3＝0，所以a＝﹣3．
[理解应用]
（1）若关于x的多项式（2m﹣3） x+2m2﹣3m的值与x的取值无关，求m的值．
（2）已知3[（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y）]+6（﹣x2+xy﹣1）的值与x无关，求y的值．
（3）如图①，小长方形纸片的长为a、宽为b，有7张如图①所示的纸片按照图②中的方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为S1，左下角的面积为S2．当AB的长变化时，S1﹣S2的值始终保持不变，求a与b的等量关系．
22．如图1，将边长（a+b）的正方形剪出两个边长分别为a，b的正方形（阴影部分），观察图形，解答下列问题：
（1）用两种不同的方法表示图一阴影部分的面积，即用两个不同的代数式表示阴影部分的面积．
方法1：　　，方法2：　　；从中你发现什么结论呢？　　；
（2）运用你发现的结论，解决下列问题：
①已知（2023﹣x）2+（x﹣2022）2＝9，求（2023﹣x）（x﹣2022）的值；
②如图2，C是线段AB上一点，以AC，BC为边向两边作正方形，AC+BC＝8，两个正方形的面积和S1+S2＝40，求图中阴影部分的面积．
23．【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．
例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题：
【直接应用】（1）若x+y＝3，x2+y2＝5，求xy的值；
【类比应用】（2）若（x﹣3）（x﹣4）＝1，求（x﹣3）2+（x﹣4）2的值；
【知识迁移】（3）两块全等的特制直角三角板（∠AOB＝∠COD＝90°）如图2所示放置，其中A，O，D在一直线上，连接AC，BD，若AD＝16，S△AOC+S△BOD＝68，求一块直角三角板的面积．
参考答案
一、选择题
1．【解答】解：（x﹣m）（3x﹣2）
＝3x2﹣2x﹣3mx+2m
＝3x2﹣（2+3m）x+2m，
由题意得，﹣（2+3m）＝0，
解得m，
故选：A．
2．【解答】解：∵图中阴影部分的面积＝a2﹣b2，图中阴影部分的面积＝（a+b）（a﹣b），
而两个图形中阴影部分的面积相等，
∴阴影部分的面积＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故选：A．
3．【解答】解：观察式子（x2+x﹣3）（x2﹣2x+2a）中常数项为﹣3×2a＝﹣6a，
∵常数项为﹣30，
∴﹣6a＝﹣30，
∴a＝5；
故选：C．
4．【解答】解：设EF＝x，
S1＝（4b+x） 2b＝（8+x）×4＝32+4x，
S2＝（a+x） a＝（4+x）×4＝16+4x，
∴S1﹣S2＝（32+4x）﹣（16+4x）＝32+4x﹣16﹣4x＝16．
故选：B．
5．【解答】解：设x﹣2025＝a，
∵（x﹣2024）2+（x﹣2026）2＝38，
∴（x﹣2025+1）2+（x﹣2025﹣1）2＝38，
∴（a+1）2+（a﹣1）2＝38，
∴a2+2a+1+a2﹣2a+1＝38，
∴2a2+2＝38，
∴2a2＝36，
∴a2＝18，
即（x﹣2025）2＝18，
故选：B．
6．【解答】解：，
，
，
，
，
，
∴，，
∴a＝4，b＝2，
∴3a2+4b2+1012a﹣2024b+1
＝3×42+4×22+1012×4﹣2024×2+1
＝3×16+4×4+4048﹣4048+1
＝48+16+1
＝65，
故选：A．
二、填空题
7．【解答】解：（2+1）×（22+1）×（24+1）×（28+1）×……×（264+1）
＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）×……×（264+1）
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）×……×（264+1）
＝2128﹣1；
故答案为：2128﹣1．
8．【解答】解：∵x＝3y+5，
∴x﹣3y＝5，
两边平方，可得x2﹣6xy+9y2＝25，
又∵x2﹣7xy+9y2＝24，
两式相减，可得xy＝1，
∴x2y﹣3xy2＝xy（x﹣3y）＝1×5＝5，
故答案为：5．
9.【解答】解：∵m2﹣9n2＝5，
∴（m+3n）（m﹣3n）＝5，
又∵m2+6mn+9n2＝5﹣m﹣3n，
∴（m+3n）（m+3n+1）＝5，
∴m﹣3n＝m+3n+1，
解得n，
故答案为：．
10．【解答】解：设BE＝a，BC＝b，
∴，，a+b＝6，
则S1+S2＝a2+b2＝20，
阴影部分的面积为BE BCab[（a+b）2﹣（a2+b2）][36﹣20]＝4，
故答案为：4．
11．【解答】解：∵（2022x+2023）2展开后得到，
∴c1＝20232，
∵（2023x﹣2022）2展开后得到，
∴c2＝20222，
∴c1﹣c2＝20232﹣20222
＝（2023+2022）（2023﹣2022）
＝4045×1
＝4045，
故答案为：4045．
三、解答题
12．【解答】解：（1）由题意得（2x﹣a）（3x+b）
＝6x2+（2b﹣3a）x﹣ab
＝6x2+11x﹣10，
（2x+a）（x+b）
＝2x2+（a+2b）x+ab
＝2x2﹣9x+10，
所以2b﹣3a＝11，①
a+2b＝﹣9．②
由②得2b＝﹣9﹣a，代入①得﹣9﹣a﹣3a＝11，
所以a＝﹣5．
所以2b＝﹣4．
所以b＝﹣2．
（2）当a＝﹣5，b＝﹣2时，由（1）得（2x+a）（3x+b）＝（2x﹣5）（3x﹣2）＝6x2﹣19x+10．
13．【解答】解：（1）根据题意得：
（ax+b）（x2﹣3x+1）
＝ax3﹣3ax2+ax+bx2﹣3bx+b
＝ax3+（b﹣3a）x2+（a﹣3b）x+b，
∵关于x的一次二项式ax+b与x2﹣3x+1的积不含二次项，一次项的系数是4，
∴，
解得：，
∴系数a的值为，系数b的值为；
（2）由（1）得：系数a的值为，系数b的值为，
∴二项式ax+b与x2﹣3x的积为：
＝．
14．【解答】解：（1）（x+4）（x2﹣2ax﹣4b）
＝x3﹣2ax2﹣4bx+4x2﹣8ax﹣16b
＝x3+（4﹣2a）x2+（﹣4b﹣8a）x﹣16b，
∵（x+4）（x2﹣2ax﹣4b）的展开式中不含x的二次项和一次项，
∴4﹣2a＝0，﹣4b﹣8a＝0，
∴a＝2，b＝﹣4，
∴ba＝（﹣4）2＝16；
（2）由（1）可知a＝2，
∴（a+1）（a2+1）（a4+1） （a64+1）+1
＝（2+1）（22+1）（24+1）...（264+1）+1，
＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）...（264+1）+1
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）...（264+1）+1
＝（24﹣1）（24+1）...（264+1）+1
＝（28﹣1）...（264+1）+1
＝（264﹣1）（264+1）+1
＝2128﹣1+1
＝2128．
15．【解答】解：（1）∵a+b＝3，ab＝﹣1，
∴（a+b）2﹣2ab＝a2+b2＝32﹣2×（﹣1）＝11，
∴（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝11﹣2×（﹣1）＝13，
故答案为：13；
（2）设AC＝a，BC＝CF＝b，
由题意得：a2+b2＝24，a+b＝8，
∴（a+b）2﹣（a2+b2）＝2ab，即82﹣24＝64﹣24＝40，
∴2ab＝40，即ab＝20，
∴△AFC的面积：；
（3）∵（6﹣x）（x﹣2）＝3，
∴设6﹣x＝a，x﹣2＝b，则a+b＝4，
∴（6﹣x）2+（x﹣2）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝42﹣2×3＝16﹣6＝10．
16．【解答】解：（1）S△ABD＞S△DFG，理由如下：
∵S△ABDAB ADab，
S△DFGDG FG（a﹣b） babb2ab，
∵a＞b＞0，
∴S△ABD＞S△DFG．
（2）如图，延长BC，GF交于I，
S阴影＝S ABIG﹣S△ABD﹣S△DFG﹣S△BIF，
∴S阴影＝a2ab b （a﹣b） a （a﹣b）a2b2ab；
∴阴影部分的面积用代数式表示为：a2b2ab；
（3）当a+b＝10，ab＝20时，a2b2ab（a+b）2ab10220＝20．
17．【解答】解：（1）∵a﹣b＝1，a2+b2＝17，（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab，
∴12＝17﹣2ab，
解得：ab＝8；
（2）根据题意可得：
图中阴影部分的面积．
∵a+b＝7，
∴（a+b）2＝72，
即a2+2ab+b2＝49，
∵ab＝9，
∴a2+b2+2×9＝49，
即a2+b2＝31，
∴图中阴影部分的面积＝31﹣9＝22；
（3）令2025﹣x＝m，x﹣2024＝n，
则m+n＝2025﹣x+x﹣2024＝1，
∵（2025﹣x）（x﹣2024）＝﹣6，
∴mn＝﹣6，
则（2025﹣x）2+（x﹣2024）2＝m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝12﹣2×（﹣6）＝13．
故答案为：13．
18．【解答】解：（1）由图示可知：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
（2）由条件可知：
a2+b2+c2
＝（a+b+c）2﹣2（ab+ac+bc）
＝132﹣2×28
＝169﹣56
＝113；
（3）大长方形的面积为（a+a+b）（3a+a+b）
＝8a2+2ab+4ab+b2
＝8a2+6ab+b2，
故阴影部分的面积为：8a2+6ab+b2﹣6a（a+b）
＝8a2+6ab+b2﹣6a2﹣6ab
＝2a2+b2．
19．【解答】解：（1）S1＝（m+7）（m+1）
＝m2+m+7m+7
＝m2+8m+7；
S2＝（m+4）（m+2）
＝m2+2m+4m+8
＝m2+6m+8；
，
因为m为正整数，
所以2m﹣1＞0，
所以S1＞S2．
故答案为：＞．
（2）因为S1﹣S2＝2m﹣1，|S1﹣S2|≤2025，
即|2m﹣1|≤2025，
2m﹣1≤2025，
2m≤2026，
m≤1013．
所以m得最大值是1013．
（3）S3＝[（m+4）×3+2m﹣9﹣（m+1）×4]×（m+7）
＝（3m+12+2m﹣9﹣4m﹣4）×（m+7）
＝（m﹣1）（m+7）
＝m2+7m﹣m﹣7
＝m2+6m﹣7；
S4＝（2m﹣9）（m+2）
＝2m2+4m﹣9m﹣18
＝2m2﹣5m﹣18；
因为2S3＝S4，
所以2×（m2+6m﹣7）＝2m2﹣5m﹣18，
即2m2+12m﹣14＝2m2﹣5m﹣18，
17m＝﹣4，
，
因为m为正整数，
所以m 不存在．
20．【解答】解：（1）根据题意，令（3x+2）（x﹣3）＝0，
∴3x+2＝0或x﹣3＝0，
解得：x＝或x＝3，
故答案为：或3；
（2）根据题意，把x＝2代入B，得B＝4+2（a﹣1）﹣3a＝0，
解得：a＝2，
把a＝2代入B，得B＝x2+x﹣6＝（x﹣2）（x+3），
令x+3＝0，
解得：x＝﹣3，
∴多项式B的另一个零点是﹣3；
（3）∵M＝（2x﹣b）（cx﹣7），
∴M的两个零点分别是或，
根据“3﹣系多项式”的定义，有，
∴bc+14＝12c，
∴，
把代入M，
得M＝（2x﹣b）（cx﹣7）
＝
＝，
∵M＝ax2﹣（8a﹣4c）x+5b﹣4，
∴，5b﹣4＝7b，
解得：b＝﹣2，
把b＝﹣2代入，
∴．
故答案为：2，﹣2，1．
21．【解答】解：（1）∵关于x的多项式（2m﹣3） x+2m2﹣3m的值与x的取值无关，
∴2m﹣3＝0，
解得：m＝1.5；
（2）∵3[（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y）]+6（﹣x2+xy﹣1）＝（﹣6+15y）x﹣9，
由题意得：﹣6+15y＝0，
解得：y＝0.4；
（3）设AB＝x，由图可知S1＝a（x﹣3b），S2＝2b（x﹣2a），
∴S1﹣S2＝a（x﹣3b）﹣2b（x﹣2a）＝（a﹣2b）x+ab，
∵当AB的长变化时，S1﹣S2的值始终保持不变，
∴S1﹣S2取值与x无关，
∴a﹣2b＝0，
∴a＝2b．
22．【解答】解：（1）根据题意可知，方法1：阴影部分面积是边长为a的正方形面积和边长为b的正方形面积之和，
∴；
方法2：阴影部分面积＝边长为（a+b）的正方形面积﹣长为a，宽为b的长方形面积×2，
∴．
又∵两种方式表示的阴影部分面积是相等的：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab．
故答案为：a2+b2；（a+b）2﹣2ab；a2+b2＝（a+b）2﹣2ab；
（2）①设a＝2023﹣x，b＝x﹣2022，
则a2+b2＝9，a+b＝2023﹣x+x﹣2022＝223﹣2022＝1，
根据（1）可知：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，即9＝12﹣2ab，
∴，
即（2023﹣x）（x﹣2022）＝﹣4；
②设AC＝x，BC＝y，
∵AC+BC＝x+y＝8，S1+S2＝x2+y2＝40，
联立方程组可得：，
∴，
∴阴影部分的面积为．
23．【解答】解：（1）∵x+y＝3，
∴（x+y）2＝32，
∴x2+2xy+y2＝9，
即：2xy＝9﹣（x2+y2），
又∵x2+y2＝5，
∴2xy＝9﹣5＝4，
∴xy＝2；
（2）∵（x﹣3）﹣（x﹣4）＝1，
∴[（x﹣3）﹣（x﹣4）]2＝1，
∴（x﹣3）2+（x﹣4）2﹣2（x﹣3）（x﹣4）＝1，
∴（x﹣3）2+（x﹣4）2＝1+2（x﹣3）（x﹣4），
又∵（x﹣3）（x﹣4）＝1，
∴（x﹣3）2+（x﹣4）2＝1+2×1＝3；
（3）设OA＝OC＝x，OB＝OD＝y，
∵∠AOB＝∠COD＝90°，A，O，D在一直线上，
∴S△AOC＝OA OC＝x2，S△BOD＝OB OD＝y2，
∵S△AOC+S△BOD＝68，
∴x2+y2＝68，
∴x2+y2＝136，
∵AD＝16，
∴x+y＝16，
∴（x+y）2＝162，
即：x2+y2+2xy＝256，
∴2xy＝256﹣（x2+y2）＝120，
∴xy＝60，
∴S△AOB＝OA OB＝xy＝×60＝30．
∴一块直角三角板的面积为30．
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