第十二章二次根式期末复习（含答案）

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第十二章二次根式期末复习苏科版2024—2025学年八年级下册
一、选择题
1．下列二次根式中属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（　　）
A．x≠3 B．x≥5 C．x≤5且x≠﹣3 D．x≤5且x≠3
3．实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简得（　　）
A．a﹣2b B．﹣a﹣2b C．﹣2a﹣b D．a+2b
4．已知等腰三角形的两边长分别为，4，则此等腰三角形的周长为（　　）
A． B．或
C． D．
5．若3﹣b，则（　　）
A．b＞3 B．b＜3 C．b≥3 D．b≤3
6．如果最简二次根式和是同类二次根式，那么a，b的值为（　　）
A．a＝1，b＝﹣2 B．a＝﹣1，b＝1 C．a＝2，b＝0 D．a＝0，b＝2
7．把根号外的因式移到根号内，结果为（　　）
A． B． C． D．
8．如果实数a满足|2024﹣a|a．那么a﹣20242的值是（　　）
A．2025 B．2024 C．2023 D．2022
二、填空题
9．已知最简二次根式与可以合并，则a的值为　 　 ．
10．已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简的结果为 　 　 ．
11．已知，则a﹣b＝　 　 ．
12．已知实数x，y，若，则x﹣y＝ 　 　 ．
三、解答题
13．计算：
（1）；
（2）．
14．已知x，y是Rt△ABC的两边，且满足．
（1）求2x+y的算术平方根；
（2）求Rt△ABC的面积．
15．我们在学习二次根式时，了解了分母有理化及其应用．
如：
（1）化简： 　 　 ；
（2）比较和的大小；
（3）化简：．
16．我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得，如果ax+b＝0，其中a、b为有理数，x为无理数，那么a＝0，且b＝0，运用上述知识解决下列问题：
（1）如果，其中a、b为有理数，那么a＝ 　 　 ，b＝ 　 　 ；
（2）如果，其中a、b为有理数，求a+8b的算术平方根；
（3）若a、b都是有理数，且，试求a+b的立方根．
17．若无理数的被开方数T（T为正整数）满足n2＜T＜（n+1）2（其中n为正整数），则称无理数的“阳光区间”为（n，n+1）；同理规定无理数的“阳光区间”为（﹣n﹣1，﹣n）．例如：因为12＜2＜22，所以，所以的“阳光区间”为（1，2），的“阳光区间”为（﹣2，﹣1）．请解答下列问题：
（1）的“阳光区间”是　 　 ；的“阳光区间”是　 　 ；
（2）若无理数（a为正整数）的“阳光区间”为（﹣3，﹣2），的“阳光区间”为（3，4），求的值；
（3）实数x，y，m满足关系式：
，求m的算术平方根的“阳光区间”．
18．阅读与思考
配方思想，是初中数学重要的思想方法之一，用配方思想方法，可以简化数学运算，常用的配方公式有：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，a2+b2＝（a﹣b）2+2ab．用配方思想方法，解答下面问题：
（1）已知：，求的值；
（2）已知：，，求3x2﹣2xy+3y2的值；
（3）已知：，，（a≥0，b≥0），求a+2b的值．
参考答案
一、选择题
1．【解答】解：A、含有能开得尽方的因数9，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
B、是最简二次根式，故此选项符合题意；
C、含有能开得尽方的因数25，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
D、被开方数含有分母，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
故选：B．
2．【解答】解：∵代数式在实数范围内有意义，
∴，
解得：，
∴实数x的取值范围是x≤5且x≠﹣3．
故选：C．
3．【解答】解：由各点在数轴上的位置可得a＜0，b＞0，|a|＞|b|，
∴a+b＜0，b﹣a＞0，
∴原式
＝|a+b|﹣|b﹣a|+|a|
＝﹣（a+b）﹣（b﹣a）+（﹣a）
＝﹣a﹣b﹣b+a﹣a
＝﹣a﹣2b．
故选：B．
4．【解答】解：当腰长是，底边长为时，
∵，，
∴此时不构成三角形；
当腰长是，底边长是时，
∵，
∴能构成三角形，
∴这个等腰三角形的周长为，
故选：C．
5．【解答】解：∵3﹣b，
∴3﹣b≥0，
∴b≤3．
故选：D．
6．【解答】解：根据题意得b﹣a＝2，3b＝2b﹣a+2，
解得a＝0，b＝2．
故选：D．
7．【解答】解：根据题意得，
∴x＜0，
∴，
故选：A．
8．【解答】解：∵有意义，
∴a﹣2025≥0，
∴a≥2025，
∴2024﹣a＜0，
∴，
∴，
∴a＝20242+2025，
∴a﹣20242＝20242+2025﹣20242＝2025．
故选：A．
二、填空题
9．【解答】解：，
∵最简二次根式与可以合并，
∴a﹣3＝2，
∴a＝5，
故答案为：5．
10．【解答】解：由数轴可得a﹣b＜0，b+c＞0，
∴，
故答案为：﹣a﹣c．
11．【解答】解：已知a+b＝3，
两边同时平方并整理得：（a+b）2＝14+6，
∵ab＝3，
∴（a﹣b）2
＝（a+b）2﹣4ab
＝14+612
＝14﹣6
＝（3）2，
则a+b＝3或3，
故答案为：3或3．
12．【解答】解：根据题意，得2﹣x≥0且x﹣2≥0．
所以x＝2．
所以y＝5．
所以x﹣y＝2﹣5＝﹣3．
故答案为：﹣3．
三、解答题
13．【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
＝6+1﹣5+3
＝6+1+3﹣5
＝5．
14．【解答】解：（1）由题意，得，
解得x＝4，
∴y＝3，
∴2x+y＝2×4+3＝11，
∴2x+y的算术平方根为；
（2）分两种情况：
①当x，y是直角边时，则Rt△ABC的面积；
②当x＝4是斜边时，则由勾股定理，得另一条直角边，
∴Rt△ABC的面积，
综上所述，Rt△ABC的面积为6或．
15．【解答】解：（1）原式
，
故答案为：；
，
，
，
∵19＞17，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）原式
＝22．
16．【解答】解：（1）如果，其中a、b为有理数，则a＝﹣2，b＝3；
故答案为：﹣2；3；
（2）由条件可知a+b＝4，2b﹣a＝5，
解得a＝1，b＝3，
∴a+8b＝1+24＝25，
∴a+8b的算术平方根为5；
（3）由条件可知，解得，
a+b＝1或﹣9，
∴a+b的立方根为1或．
17．【解答】解：（1）∵，
∴
∴的“阳光区间”是（3，4），的“阳光区间”是（﹣5，﹣4），
故答案为：（3，4），（﹣5，﹣4）；
（2）由题意可得：
，
∴22＜a＜32，即4＜a＜9，
∵的“阳光区间”为（3，4），
∴，
∴32＜a+3＜42，即9＜a+3＜16，
∴6＜a＜13，
∴6＜a＜9，
∵a为正整数，
∴a＝7或a＝8，
当a＝7时，，
当a＝8时，，
∴的值为或3；
（3）由题意可得：
x+y﹣2024≥0，2024﹣x﹣y≥0，
∴x+y﹣2024＝0，
∴x+y＝2024，
∴，
∴2x+3y﹣m＝0，3x+4y﹣2m＝0，
两式相减，得x+y﹣m＝0，
∴m＝x+y＝2024，
∴m的算术平方根为，
∵442＜2024＜452，
∴，
∴m的算术平方根的“阳光区间”是（44，45）．
18．【解答】解：（1）由条件可知；
（2），
，
，
，
原式＝3[（x+y）2﹣2xy]﹣2xy
＝3（x+y）2﹣8xy
＝3×122﹣8×1
＝424；
（3）∵，，
∴．
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