§1 指数幂的拓展
学习任务 核心素养
1．理解分数指数幂的概念，会进行分数指数幂与根式的互化．(重点) 2．了解无理数指数幂的概念，了解无理数指数幂可以用有理数指数幂逼近的思想方法．(易混点) 1．通过指数幂的拓展的学习，培养逻辑推理素养． 2．通过分数指数幂与根式的互化，培养数学运算素养．
1．正分数指数幂的定义是什么？
2．负分数指数幂的定义是什么？
1．正分数指数幂
(1)定义：给定正数a和正整数m，n(n>1，且m，n互素)，若存在唯一的正数b，使得bn＝am，则称b为a的次幂，记作b＝．这就是正分数指数幂．
(2)性质：①当k是正整数时，分数指数幂满足：．②＝．
2．负分数指数幂
给定正数a和正整数m，n(n>1，且m，n互素)，定义＝．
能否将＝－3写成＝－3
[提示] 不能．因为在指数幂的概念中，总有a>0．于是，尽管有＝－3，但不可以写成＝－3的形式．
1．把下列各式中的b(b>0)写成分数指数幂的形式：
(1)b4＝35；
(2)b-3＝32.
[解] (1)∵b4＝35，∴b＝．
(2)∵b-3＝32，∴b＝．
2．计算：
＝________；
＝________．
(1)2 (2) [(1)设b＝，由定义，得b3＝8，b＝2，所以＝2.
(2)由负分数指数幂的定义，得.
设b＝，由定义，得b3＝272＝93，b＝9，
所以.]
类型1 根式的化简与求值
【例1】 化简：
(1)(x＜π，n∈N*)；
(2).
[解] (1)∵x＜π，∴x－π＜0.
当n为偶数时，＝|x－π|＝π－x；
当n为奇数时，＝x－π.
综上可知，
(2)
正确区分与
(1)表示a的n次方的n次方根，而表示a的n次方根的n次方，因此从运算角度看，运算顺序不同．
(2)运算结果不同
①＝a.②
[跟进训练]
1．若xy≠0，则使＝－2xy成立的条件可能是( )
A．x＞0，y＞0 B．x＞0，y＜0
C．x≥0，y≥0 D．x＜0，y＜0
B [∵＝2|xy|＝－2xy，∴xy≤0.
又∵xy≠0，∴xy＜0，故选B.]
2．若，则实数a的取值范围为________．
[＝＝1－2a.因为|2a－1|＝1－2a，故2a－1≤0，所以a≤.]
类型2 根式与分数指数幂的互化
【例2】 可化为( )
A． B．
C． D．
(2)可化为( )
[思路点拨] 熟练应用是解决该类问题的关键．
(1)D (2)A [.
(2).]
根式与分数指数幂的互化规律
(1)关于式子的两点说明
①根指数n即分数指数的分母；
②被开方数的指数m即分数指数的分子．
(2)通常规定中的底数a>0.
[跟进训练]
3．将下列各根式化为分数指数幂的形式：
(1)；(2).
[解] (1).
(2).
类型3 求指数幂的值
【例3】 求下列各式的值：
；.
[思路点拨] 结合分数指数幂的定义，即满足bn＝am时＝b(m，n∈N＋，a，b>0)求解．
[解] (1)设＝x，则x3＝642＝4 096，
又∵163＝4 096，∴＝16.
(2)设＝x,则x4＝81-1＝，
又∵，∴.
解决此类问题时，根据分数指数幂的定义将分数指数幂转化为熟悉的整数指数幂，进而转化为正整数指数幂．
[跟进训练]
4．求下列各式的值：
；.
[解] (1)设＝x，则x3＝125，
又∵53＝125，
∴＝5.
(2)设＝x，则x7＝128-1＝，
又∵，
∴.
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
表示个2相乘． ( )
(a>0，m，n∈N＋，且n>1)． ( )
(a>0，m，n∈N＋，且n>1)． ( )
[答案] (1)× (2)× (3)√
2．可化为( )
[答案] A
3．计算等于( )
A．9 B．3
C．±3 D．－3
B [由35＝243，得＝3.]
4．若b-3n＝5m(m，n∈N＋)，则b＝________．
[答案]
5．用分数指数幂表示下列各式(式中a>0)．
(1)＝________；
(2)＝________．
[(1).
(2).]
课时分层作业(二十) 指数幂的拓展
一、选择题
1．下列各式正确的是( )
A．＝－3 B．＝a
C．＝－2 D．＝2
C [由于＝－2，故选项A，B，D错误，故选C.]
＝( )
A． B．
C． D．
D [，设b＝，则b4＝，所以b＝(b>0)，所以.
故选D.]
3．下列各式中正确的是( )
A．
B．
C．
D．
[答案] D
4．若有意义，则a的取值范围是( )
A．a≥0 B．a＝2
C．a≠2 D．a≥0且a≠2
D [由题知得a≥0且a≠2，故选D.]
5．下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是( )
A．－
(x≠0)
D．
C [
故选C.]
二、填空题
中x的取值范围是________．
[要使该式有意义，需3－2x>0，即x<.]
7．的值为________．
－6 [＝＝4－－4，
所以原式＝－6＋4－－4＝－6.]
8．化简：＝________.
6 [原式＝＝6.]
三、解答题
9．化简下列各式：
(1)；(2)；(3).
[解] (1)＝－2.
(2)＝10.
(3)
10．化简：.
[解] 原式＝|x－2|＋|x＋2|.
当x≤－2时，原式＝(2－x)＋[－(x＋2)]＝－2x；
当－2当x≥2时，原式＝(x－2)＋(x＋2)＝2x.
综上，＝
11．给出下列4个等式：①＝±2；②；③若a∈R，则＝1；④设，则＝a.其中正确的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
B [①中＝2，所以①错误；
②错误；
③因为a2－a＋1>0恒成立，所以有意义且恒等于1，所以③正确；
④若n为奇数，则＝a，若n为偶数，则，所以当n为偶数时，a<0时不成立，所以④错误．故选B.]
12．已知a＜，则化简的结果是( )
A． B．－
C． D．－
C [由a＜知，4a－1＜0，所以，故选C.]
13．当a>0时，等于________．
－x [因为a>0，所以x≤0，，∴.]
14．若81的平方根为a，－8的立方根为b，则a＝___________，a＋b＝________．
±9 －11或7 [因为81的平方根为±9，所以a＝±9.
又因为－8的立方根为－2，所以b＝－2.
所以a＋b＝－11或a＋b＝7.]
15．已知a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，且a>b>0，求的值．
[解] ∵a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，
∴∵a＞b＞0，
∴>，
∴.(共19张PPT)
§1 指数幂的拓展
第三章 指数运算与指数函数
学习任务 核心素养
1．理解分数指数幂的概念，会进行分数指数幂与根式的互化．(重点)
2．了解无理数指数幂的概念，了解无理数指数幂可以用有理数指数幂逼近的思想方法．(易混点) 1．通过指数幂的拓展的学习，培养逻辑推理素养．
2．通过分数指数幂与根式的互化，培养数学运算素养．
必备知识·情境导学探新知
1．正分数指数幂的定义是什么？
2．负分数指数幂的定义是什么？
体验1．把下列各式中的b(b>0)写成分数指数幂的形式：
(1)b4＝35；
(2)b-3＝32.
2
关键能力·合作探究释疑难
√
√
√
反思领悟 解决此类问题时，根据分数指数幂的定义将分数指数幂转化为熟悉的整数指数幂，进而转化为正整数指数幂．
学习效果·课堂评估夯基础
2
4
3
题号
1
5
×
×
√
√
2
4
3
题号
1
5
√
2
4
3
题号
1
5
4．若b-3n＝5m(m，n∈N＋)，则b＝________．
2
4
3
题号
1
5
2
4
3
题号
1
5
:
21世织纪教痘
2订世看
,27G2@P
1.正分数指数幂
(1)定义：给定正数a和正整数m,n(>1,且m,n互素)，若存在唯一的
m
正数b,使得b”=am,则称b为a的次幂，记作b=a元.这就是正分数
指数幂
m
m
(2)性质：①当k是正整数时，分数指数幂an满足：a
2.负分数指数幂
给定正数a和正整数m,n(n>1,且m,n互素)，定义an=
2
9
反思领悟正确区分Vaπ与(V@n
(1)Vaπ表示a的n次方的n次方根，而(Van表示a的n次方根的n次方
因此从运算角度看，运算顺序不同.
(2)运算结果不同
①(V回m-a.②a-{a,n为奇数，
la,n为偶数.
反思领悟根式与分数指数幂的互化规律
m
(1)关于式子Vam=an的两点说明
①根指数n即分数指数的分母；
②被开方数的指数m即分数指数的分子
(2)通常规定an中的底数a>0.
