第2课时 指数函数及其性质的应用
类型1 指数式的大小比较
【例1】 (1)设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝，则( )
A．y3＞y1＞y2 B．y2＞y1＞y3
C．y1＞y2＞y3 D．y1＞y3＞y2
(2)已知a＝0.80.7，b＝0.80.9，c＝1.20.8，则a，b，c的大小关系是( )
A．a＞b＞c B．b＞a＞c
C．c＞b＞a D．c＞a＞b
(3)已知a＝0.30.6，b＝0.30.5，c＝0.40.5，则( )
A．a＞b＞c B．a＞c＞b
C．b＞c＞a D．c＞b＞a
(1)D (2)D (3)D [(1)y1＝21.8，y2＝21.44，y3＝21.5，根据函数y＝2x是R上的增函数知，21.8＞21.5＞21.44，即y1＞y3＞y2，故选D.
(2)0.80.9＜0.80.7＜1，1.20.8＞1，因此c＞a＞b，故选D.
(3)0.30.6＜0.30.5，函数y＝在(0，＋∞)上单调递增，
所以0.30.5＜0.40.5，因此0.30.6＜0.30.5＜0.40.5，即c＞b＞a，故选D.]
比较指数式大小的3种类型及处理方法
[跟进训练]
1．比较下列各题中两个值的大小：
(1)0.8-0.1，1.250.2；
(2)1.70.3，0.93.1；
(3)a0.5与a0.6(a>0，且a≠1)．
[解] (1)∵0<0.8<1，
∴y＝0.8x在R上是减函数．
∵－0.2<－0.1，∴0.8-0.2>0.8-0.1，
而0.8-0.2＝＝1.250.2，
即0.8-0.1<1.250.2.
(2)∵1.70.3>1.70＝1，0.93.1<0.90＝1，
∴1.70.3>0.93.1.
(3)a0.5与a0.6可看做指数函数y＝ax的两个函数值．
当0
∵0.5<0.6，∴a0.5>a0.6.
当a>1时，函数y＝ax在R上是增函数．
∵0.5<0.6，∴a0.5综上所述，当0a0.6；当a>1时，a0.5类型2 解含指数型不等式
【例2】 求解下列不等式：
(1)已知3x≥，求实数x的取值范围；
(2)若a-5x>ax+7(a>0，且a≠1)，求x的取值范围．
[解] (1)因为＝30.5，所以由3x≥可得3x≥30.5，因为y＝3x在R上为增函数，故x≥0.5.
(2)①当0ax+7可得－5x－.
②当a>1时，函数y＝ax在R上是增函数，则由a-5x>ax+7可得－5x>x＋7，解得x<－.
综上，当0－；当a>1时，x<－.
指数型不等式的解法
(1)指数型不等式af (x)>ag(x)(a>0，且a≠1)的解法：
当a>1时，f (x)>g(x)；
当0(2)如果不等式的形式不是同底指数式的形式，要首先进行变形将不等式两边的底数进行统一，此时常用到以下结论：1＝a0(a>0，且a≠1)，a－x＝(a>0，且a≠1)等．
[跟进训练]
2．不等式≤2x的解集为________．
{x|x≥1，或x≤－2} [∵＝(2-1)x2－2＝，
∴原不等式等价于≤2x.
∵y＝2x是R上的增函数，
∴2－x2≤x，
∴x2＋x－2≥0，即x≤－2或x≥1，
∴原不等式的解集是{x|x≥1，或x≤－2}．]
类型3 指数型函数性质的应用
指数型函数的单调性问题
【例3】 求函数y＝的单调区间．
[解] 令t＝x2－2x＋3，则由二次函数的性质可知该函数在(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，且y＝为减函数，故函数y＝的单调递增区间为(－∞，1]，单调递减区间为[1，＋∞)．
指数型函数的奇偶性问题
【例4】 若函数y＝a－为奇函数．
(1)确定a的值；
(2)求函数的定义域．
[解] (1)由奇函数的定义，可得f (－x)＋f (x)＝0，
即a－＋a－＝0，
∴2a＋＝0.
∴a＝－.
(2)∵y＝－，
∴2x－1≠0，
即x≠0，
∴函数y＝－的定义域为{x|x≠0}．
指数型函数性质的综合问题
【例5】 已知f (x)是定义在(－1，1)上的奇函数，当x∈(0，1)时，f (x)＝.
(1)求f (x)在(－1，1)上的解析式；
(2)求f (x)的值域．
[解] (1)当x∈(－1，0)时，－x∈(0，1)．
∵函数f (x)为奇函数，∴f (x)＝－f (－x)＝－＝－.
又f (0)＝0，故当x∈(－1，1)时，f (x)的解析式为f (x)＝
(2)f (x)＝在(0，1)上单调递减，证明如下：
任取x1，x2∈(0，1)，且x1则f (x1)－f (x2)＝
＝.
∵0－1>0.
∴f (x1)－f (x2)>0，
即f (x1)>f (x2)，
∴f (x)在(0，1)上单调递减．
由奇函数的对称性知f (x)在(－1，0)上也单调递减．
∴当0即f (x)∈；
当－1f (x)∈，
即f (x)∈.
而f (0)＝0，故函数f (x)在(－1，1)上的值域为∪{0}.
1．对于形如f (x)＝ag(x)(a>0，且a≠1)的函数，可以利用复合函数的单调性，转化为指数函数y＝ax及函数g(x)的单调性来处理．
2．指数函数本身不具有奇偶性，但是与指数函数有关的函数可以具有奇偶性，其解决方法一般是利用函数奇偶性的定义和性质．
[跟进训练]
3．已知函数f (x)＝，求f (x)的值域与单调区间．
[解] 令u＝2x－x2，则u＝－(x－1)2＋1≤1，定义域为R，故u＝2x－x2在(－∞，1)上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减，又y＝为减函数，所以根据复合函数的“同增异减”得y＝f (x)＝在(－∞，1)上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，所以＝，故函数f (x)＝的值域为，单调递增区间为[1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，1)．
4．求函数y＝4x－2×2x＋5的单调区间．
[解] 函数的定义域为R，令t＝2x，x∈R时，t∈(0，＋∞)．
y＝(2x)2－2×2x＋5＝t2－2t＋5＝(t－1)2＋4，t∈(0，＋∞)．
当t≥1时，2x≥1，x≥0；
当0∵y＝(t－1)2＋4在[1，＋∞)上单调递增，t＝2x在[0，＋∞)上单调递增，
∴函数y＝4x－2×2x＋5的单调递增区间为[0，＋∞)．
同理可得单调递减区间为(－∞，0].
1．若函数f (x)＝(1－2a)x在实数集R上是减函数，则实数a的取值范围是( )
A． B．
C． D．
B [由已知，得0<1－2a<1，解得02．下列判断正确的是( )
A．2.52.5>2.53 B．0.82<0.83
D．0.90.3>0.90.5
D [根据指数函数的单调性逐一排除，可知选D.]
3．若f (x)＝3x＋1，则( )
A．f (x)在[－1，1]上单调递减
B．y＝3x＋1与y＝＋1的图象关于y轴对称
C．f (x)的图象过点(0，1)
D．f (x)的值域为[1，＋∞)
B [f (x)＝3x＋1在R上为增函数，则A错误；y＝3x＋1与y＝3－x＋1的图象关于y轴对称，则B正确；由f (0)＝2，得f (x)的图象过点(0，2)，则C错误；由3x>0，可得f (x)>1，则D错误．故选B.]
4．函数y＝的单调递增区间为________．
(－∞，＋∞) [由已知得，f (x)的定义域为R.
设u＝1－x，则y＝.
因为u＝1－x在R上为减函数，
又因为y＝在R上为减函数，
所以y＝在R上为增函数，所以函数y＝的单调递增区间为(－∞，＋∞)．]
5．不等式>5x+1的解集是________．
[由>5x+1，得2x2>x＋1，解得x<－或x>1.]
课时分层作业(二十三) 指数函数及其性质的应用
一、选择题
1．函数y＝ax在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y＝2ax－1在[0，1]上的最大值是( )
A．6 B．1
C．3 D．
C [函数y＝ax在[0，1]上是单调的，最大值与最小值都在端点处取到，故有a0＋a1＝3，解得a＝2，因此函数y＝2ax－1＝4x－1在[0，1]上单调递增，当x＝1时，ymax＝3.]
2．设a，b满足0A．aaC．aaC [由于y＝ax与y＝bx为减函数，故A、B错误；因为>1，a>0，所以>1，所以aa1，b>0，所以>1，所以ab3．函数y＝|2x－1|的大致图象是( )
A B
C D
C [如图先作y＝2x的图象，再向下平移1个单位得y＝2x－1的图象，再把y＝2x－1的图象在x轴下方的图象翻折上去得y＝|2x－1|的图象，如图实线部分．故选C.
]
4．函数y＝的单调递增区间为( )
A．(1，＋∞) B．
C． D．
D [设U(x)＝2x2－3x＋1，则U(x)＝2－，U(x)在上单调递减，在上单调递增．
又y＝5U是增函数，则y＝在上单调递增．故选D.]
5．如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y(m2)与时间t(月)的关系：y＝at，有以下叙述：
①这个指数函数的底数是2；
②第5个月时，浮萍的面积就会超过30 m2；
③浮萍从4 m2蔓延到12 m2需要经过1.5个月；
④浮萍每个月增加的面积都相等．
其中正确的是( )
A．①②③ B．①②③④
C．②③④ D．①②
D [由a1＝2，得a＝2，所以y＝2t，故①正确；
当t＝5时，y＝25＝32>30，故②正确；
当y＝4时，t＝2，经过1.5个月后面积为23.5＜12，故③错误；
＝2，故④错误．]
二、填空题
6．解方程：52x－6×5x＋5＝0的解集为________.
{0，1} [令t＝5x，则原方程可化为t2－6t＋5＝0，
所以t＝5或t＝1，
即5x＝5或5x＝1，
所以x＝1或x＝0.]
7．函数f ＝3－x2＋2ax在(－∞，1)上单调递增，则a的取值范围是________.
[1，＋∞) [设u＝－x2＋2ax，则y＝3u是R上的增函数，而原函数在(－∞，1)上单调递增，所以u＝－x2＋2ax在(－∞，1)上单调递增，而u＝－x2＋2ax的单调递增区间为(－∞，a)，
所以a≥1.]
8．若关于x的方程＋m＝0有实数解，则实数m的取值范围是________．
[－1，0) [∵0<≤1，
∴m<＋m≤m＋1.
要使方程＋m＝0有解，只要m<0≤m＋1，
解得－1≤m<0，故实数m的取值范围是[－1，0)．]
三、解答题
9．已知指数函数f (x)的图象过点.
(1)求函数f (x)的解析式；
(2)已知f >f (1)，求x的取值范围．
[解] (1)设f (x)＝ax(a>0，且a≠1)．
将点代入得＝a2.
解得a＝.
故f (x)＝.
(2)由(1)知f (x)＝，显然f (x)在R上是减函数，
又f >f (1)，
所以|x|<1，解得－1即x的取值范围为(－1，1)．
10．已知f (x)＝.
(1)讨论f (x)的奇偶性；
(2)讨论f (x)的单调性．
[解] (1)f (x)的定义域为R，
又f (－x)＝＝
＝－＝－f ，
所以f (x)是奇函数．
(2)f (x)＝＝1－，
又y＝(－1)x是减函数，且y>0，
所以y＝是增函数，
所以f (x)是减函数．
11．(2023·新高考Ⅰ卷)设函数f (x)＝2x(x－a)在区间(0，1)单调递减，则a的取值范围是( )
A．(－∞，－2] B．[－2，0)
C．(0，2] D．[2，＋∞)
D [法一(复合函数法)：因为y＝2x在R上单调递增，所以y＝x(x－a)在区间(0，1)单调递减，所以x＝≥1，解得a≥2.故选D.
法二(特值法)：取a＝3，则y＝x(x－3)＝－在(0，1)单调递减，所以f (x)＝2x(x-3)在(0，1)单调递减，所以a＝3符合题意，排除A，B，C，故选D.]
12．已知实数a，b满足等式＝，给出下列五个关系式：①0A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
B [画出函数y＝与y＝的图象，如图所示．
当x<0时，＝，则有a当x>0时，＝，则有a>b>0；
当x＝0时，＝，则有a＝b＝0.
所以题中的五个关系式中不可能成立的有两个．]
13．设函数y＝，若函数在(－∞，1]上有意义，则实数a的取值范围是________．
[由题意可知1＋2x＋a·4x≥0在(－∞，1]上恒成立，
即a≥－－在(－∞，1]上恒成立．
又y＝－－＝－－在(－∞，1]上的最大值为－，
∴a≥－.]
14．已知函数f (x)＝，则函数f (x)的单调递增区间是________.
(－∞，1] [令u＝|x－1|，因为f (x)＝y＝在R上单调递减，故要求f (x)的单调递增区间，只需求u＝|x－1|的单调递减区间，为(－∞，1]，所以f (x)的单调递增区间为(－∞，1].]
15．定义：对于函数f (x)，若在定义域内存在实数x满足f (－x)＝－f (x)，则称f (x)为“局部奇函数”．若f (x)＝2x＋m是定义在区间[－1，1]上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．
[解] f (x)＝2x＋m，f (－x)＝－f (x)可化为2x＋2－x＋2m＝0，
因为f (x)的定义域为[－1，1]，
所以方程2x＋2－x＋2m＝0在[－1，1]内有解，
令t＝2x，则t∈，
故－2m＝t＋，
设g(t)＝t＋，则在(0，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，
所以当t∈时，g(t)∈，
即－2m∈，
所以m∈.(共23张PPT)
第2课时 指数函数及其性质的应用
§3 指数函数
3.1 指数函数的概念
3.2 指数函数的图象和性质
第三章 指数运算与指数函数
关键能力·合作探究释疑难
√
√
(3)已知a＝0.30.6，b＝0.30.5，c＝0.40.5，则( )
A．a＞b＞c B．a＞c＞b
C．b＞c＞a D．c＞b＞a
√
反思领悟 比较指数式大小的3种类型及处理方法
[跟进训练]
1．比较下列各题中两个值的大小：
(1)0.8-0.1，1.250.2；
(2)1.70.3，0.93.1；
(3)a0.5与a0.6(a>0，且a≠1)．
(2)∵1.70.3>1.70＝1，0.93.1<0.90＝1，∴1.70.3>0.93.1.
(3)a0.5与a0.6可看做指数函数y＝ax的两个函数值．
当0∵0.5<0.6，∴a0.5>a0.6.
当a>1时，函数y＝ax在R上是增函数．
∵0.5<0.6，∴a0.5综上所述，当0a0.6；当a>1时，a0.5{x|x≥1，或x≤－2}
反思领悟 1．对于形如f (x)＝ag(x)(a>0，且a≠1)的函数，可以利用复合函数的单调性，转化为指数函数y＝ax及函数g(x)的单调性来处理．
2．指数函数本身不具有奇偶性，但是与指数函数有关的函数可以具有奇偶性，其解决方法一般是利用函数奇偶性的定义和性质．
4．求函数y＝4x－2×2x＋5的单调区间．
[解] 函数的定义域为R，令t＝2x，x∈R时，t∈(0，＋∞)．
y＝(2x)2－2×2x＋5＝t2－2t＋5＝(t－1)2＋4，t∈(0，＋∞)．
当t≥1时，2x≥1，x≥0；
当0∵y＝(t－1)2＋4在[1，＋∞)上单调递增，t＝2x在[0，＋∞)上单调递增，∴函数y＝4x－2×2x＋5的单调递增区间为[0，＋∞)．
同理可得单调递减区间为(－∞，0].
学习效果·课堂评估夯基础
√
2
4
3
题号
1
5
√
2
4
3
题号
1
5
D [根据指数函数的单调性逐一排除，可知选D.]
√
2
4
3
题号
1
5
B [f (x)＝3x＋1在R上为增函数，则A错误；y＝3x＋1与y＝3－x＋1的图象关于y轴对称，则B正确；由f (0)＝2，得f (x)的图象过点(0，2)，则C错误；由3x>0，可得f (x)>1，则D错误．故选B.]
2
4
3
题号
1
5
(－∞，＋∞)
2
4
3
题号
1
5
