(共24张PPT)
1.1 利用函数性质判定方程解的存在性
§1 方程解的存在性及方程的近似解
第五章 函数应用
学习任务 核心素养
1．理解函数的零点、方程的根与图象交点三者之间的关系．(重点、易混点)
2．会借助零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间．(重点)
3．能借助函数单调性及图象判断零点个数．(重点、难点) 1．通过对函数零点概念的学习，培养数学抽象素养．
2．通过把函数零点问题转化为对应函数图象交点的问题加以解决，培养直观想象素养．
必备知识·情境导学探新知
1．函数零点的概念是什么？
2．如何判断函数的零点？
3．零点存在定理的内容是什么？
4．方程的根、函数的图象与x轴的交点、函数的零点三者之间有什么联系？
1．函数的零点概念
(1)概念：使得________的数x0称为方程f (x)＝0的解，也称为函数f (x)的零点．
(2)方程、函数、图象之间的关系：
函数y＝f (x)的____就是函数y＝f (x)的图象与________________，也就是方程f (x)＝0的解．
2．零点存在定理
若函数y＝f (x)在闭区间[a，b]上的图象是一条____的曲线，并且在区间端点的函数值________，即_____________，则在开区间(a，b)内，函数y＝f (x)至少有一个零点，即在区间(a，b)内相应的方程f (x)＝0至少有一个解．
f (x0)＝0
零点
x轴交点的横坐标
连续
一正一负
f (a)·f (b)<0
思考(1)函数的“零点”是一个点吗？
(2)若f (a)·f (b)>0，那么函数y＝f (x)在区间(a，b)内一定没有零点吗？
[提示] (1)不是，函数的“零点”是一个数，一个使f (x)＝0的实数x.实际上是函数y＝f (x)的图象与x轴交点的横坐标．
(2)不一定．如y＝x2－1在区间(－2，2)上有两个零点，但f (2)·f (－2)
>0.
体验1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)所有的函数都有零点． ( )
(2)若方程f (x)＝0有两个不等实数解x1，x2，则函数y＝f (x)的零点为(x1，0)，(x2，0)． ( )
(3)若函数y＝f (x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f (a)·f (b)<0．
( )
体验2．函数f (x)＝log2x的零点是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
×
×
×
√
关键能力·合作探究释疑难
反思领悟 函数零点的两种方法
(1)代数法：求方程f (x)＝0的实数根；
(2)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f (x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
[跟进训练]
1．函数f (x)＝(lg x)2－lg x的零点为________．
1和10 [由(lg x)2－lg x＝0，得lg x(lg x－1)＝0，
∴lg x＝0或lg x＝1，∴x＝1或x＝10.]
1和10
类型2 判断函数零点所在的区间
【例2】 已知函数f (x)＝x3－x－1仅有一个正零点，则此零点所在的区间是( )
A．(3，4) B．(2，3)
C．(1，2) D．(0，1)
C [∵f (0)＝－1<0，f (1)＝－1<0，f (2)＝5>0，f (3)＝23>0，f (4)＝59>0．∴f (1)·f (2)<0，此零点一定在(1，2)内．]
√
反思领悟 确定函数f (x)零点所在区间的常用方法
(1)解方程法：当对应方程f (x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上．
(2)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f (a)·f (b)<0．若f (a)·f (b)<0，则函数y＝f (x)在区间(a，b)内必有零点．
(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．
[跟进训练]
2．函数f (x)＝ex＋x－2的零点所在的区间是( )
A．(－2，－1) B．(－1，0)
C．(0，1) D．(1，2)
√
C [∵f (0)＝e0＋0－2＝－1<0，f (1)＝e1＋1－2＝e－1>0，
∴f (0)·f (1)<0，∴f (x)在(0，1)内有零点．]
[母题探究]
1．若本例(1)中的函数改为“f (x)＝x2＋2mx＋2m＋1”，且f (x)在区间(－1，0)和(1，2)内各有一个零点，求实数m的取值范围．
2．将本例(2)中的函数改为“f (x)＝2x＋lg (x＋1)－2”，试判断零点的个数．
[解] 法一：∵f (0)＝1＋0－2＝－1<0，f (1)＝2＋lg 2－2>0，∴f (x)在(0，1)上必定存在零点．又显然f (x)＝2x＋lg (x＋1)－2在(－1，＋∞)上为增函数．故函数f (x)有且只有一个零点．
法二：在同一坐标系下作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg (x＋1)的草图．
由图象知g(x)＝lg (x＋1)的图象和h(x)＝2－2x的
图象有且只有一个交点，即f (x)＝2x＋lg (x＋1)
－2有且只有一个零点．
反思领悟 判断函数零点个数的四种常用方法
(1)利用方程根，转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个零点．
(2)画出函数y＝f (x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数．
(3)结合单调性，利用零点存在定理，可判定y＝f (x)在(a，b)上零点的个数．
(4)转化成两个函数图象的交点问题．
[跟进训练]
3．若abc≠0，且b2＝ac，则函数f (x)＝ax2＋bx＋c的零点的个数是________．
0 [∵ax2＋bx＋c＝0的根的判别式Δ＝b2－4ac，b2＝ac，且abc≠0，∴Δ＝－3b2<0，
∴方程ax2＋bx＋c＝0无实根．
∴函数f (x)＝ax2＋bx＋c无零点．]
0
学习效果·课堂评估夯基础
2
4
3
题号
1
5
√
×
×
×
2
4
3
题号
1
5
2．下列各图象表示的函数中没有零点的是( )
√
2
4
3
题号
1
5
D [选项D中的函数图象与x轴没有交点，故该函数没有零点．]
A B C D
√
2
4
3
题号
1
5
4．函数f (x)＝x2－5x的零点是________．
2
4
3
题号
1
5
0和5 [令x2－5x＝0，
解得x1＝0或x2＝5，
所以函数f (x)＝x2－5x的零点是0和5.]
0和5
2
4
3
题号
1
5．已知函数f (x)的图象是连续不断的，有如下x，f (x)的对应值表：
5
则函数f (x)在区间[1，6]上的零点至少有_____个．
3 [由题表可知f (2)·f (3)<0，f (3)·f (4)<0，f (4)·f (5)<0，又函数f (x)的图象是连续不断的曲线，故f (x)在区间[1，6]上至少有3个零点．]
x 1 2 3 4 5 6
f (x) 15 10 －7 6 －4 －5
3 §1 方程解的存在性及方程的近似解
1.1 利用函数性质判定方程解的存在性
学习任务 核心素养
1．理解函数的零点、方程的根与图象交点三者之间的关系．(重点、易混点) 2．会借助零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间．(重点) 3．能借助函数单调性及图象判断零点个数．(重点、难点) 1．通过对函数零点概念的学习，培养数学抽象素养． 2．通过把函数零点问题转化为对应函数图象交点的问题加以解决，培养直观想象素养．
1．函数零点的概念是什么？
2．如何判断函数的零点？
3．零点存在定理的内容是什么？
4．方程的根、函数的图象与x轴的交点、函数的零点三者之间有什么联系？
1．函数的零点概念
(1)概念：使得f (x0)＝0的数x0称为方程f (x)＝0的解，也称为函数f (x)的零点．
(2)方程、函数、图象之间的关系：
函数y＝f (x)的零点就是函数y＝f (x)的图象与x轴交点的横坐标，也就是方程f (x)＝0的解．
2．零点存在定理
若函数y＝f (x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续的曲线，并且在区间端点的函数值一正一负，即f (a)·f (b)<0，则在开区间(a，b)内，函数y＝f (x)至少有一个零点，即在区间(a，b)内相应的方程f (x)＝0至少有一个解．
(1)函数的“零点”是一个点吗？
(2)若f (a)·f (b)>0，那么函数y＝f (x)在区间(a，b)内一定没有零点吗？
[提示] (1)不是，函数的“零点”是一个数，一个使f (x)＝0的实数x.实际上是函数y＝f (x)的图象与x轴交点的横坐标．
(2)不一定．如y＝x2－1在区间(－2，2)上有两个零点，但f (2)·f (－2)>0.
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)所有的函数都有零点． ( )
(2)若方程f (x)＝0有两个不等实数解x1，x2，则函数y＝f (x)的零点为(x1，0)，(x2，0)． ( )
(3)若函数y＝f (x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f (a)·f (b)<0． ( )
[答案] (1)× (2)× (3)×
2．函数f (x)＝log2x的零点是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] A
类型1 求函数的零点
【例1】 求下列函数的零点．
(1)f (x)＝x2＋7x＋6；
(2)f (x)＝1－log2(x＋3)；
(3)f (x)＝2x-1－3；
(4)f (x)＝.
[解] (1)解方程f (x)＝x2＋7x＋6＝0，
得x＝－1或x＝－6，所以函数的零点是－1，－6.
(2)解方程f (x)＝1－log2(x＋3)＝0，得x＝－1，所以函数的零点是－1.
(3)解方程f (x)＝2x-1－3＝0，得x＝log26，所以函数的零点是log26.
(4)解方程f (x)＝＝0，得x＝－6，所以函数的零点为－6.
函数零点的两种方法
(1)代数法：求方程f (x)＝0的实数根；
(2)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f (x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
[跟进训练]
1．函数f (x)＝(lg x)2－lg x的零点为________．
1和10 [由(lg x)2－lg x＝0，得lg x(lg x－1)＝0，
∴lg x＝0或lg x＝1，∴x＝1或x＝10.]
类型2 判断函数零点所在的区间
【例2】 已知函数f (x)＝x3－x－1仅有一个正零点，则此零点所在的区间是( )
A．(3，4) B．(2，3)
C．(1，2) D．(0，1)
C [∵f (0)＝－1<0，f (1)＝－1<0，f (2)＝5>0，f (3)＝23>0，f (4)＝59>0．∴f (1)·f (2)<0，此零点一定在(1，2)内．]
确定函数f (x)零点所在区间的常用方法
(1)解方程法：当对应方程f (x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上．
(2)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f (a)·f (b)<0．若f (a)·f (b)<0，则函数y＝f (x)在区间(a，b)内必有零点．
(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．
[跟进训练]
2．函数f (x)＝ex＋x－2的零点所在的区间是( )
A．(－2，－1) B．(－1，0)
C．(0，1) D．(1，2)
C [∵f (0)＝e0＋0－2＝－1<0，f (1)＝e1＋1－2＝e－1>0，∴f (0)·f (1)<0，∴f (x)在(0，1)内有零点．]
类型3 函数零点的个数问题
【例3】 判断下列函数零点的个数．
(1)f (x)＝x2－x＋；
(2)f (x)＝ln x＋x2－3.
[解] (1)由f (x)＝0，即x2－x＋＝0，
得Δ＝－4×＝－<0，
所以方程x2－x＋＝0没有实数根，即f (x)零点的个数为0.
(2)法一：函数对应的方程为ln x＋x2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y＝ln x与y＝3－x2的图象交点个数．
在同一直角坐标系下，作出两函数的图象(如图)．
由图象知，函数y＝3－x2与y＝ln x的图象只有一个交点．从而方程ln x＋x2－3＝0只有一个根，即函数y＝－3有一个零点．
法二：由于f (1)＝ln 1＋12－3＝－2<0，f (2)＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1>0，所以f (1)·f (2)<0，又f (x)＝ln x＋x2－3的图象在(1，2)上是不间断的，
所以f (x)在(1，2)上必有零点，又f (x)在(0，＋∞)上是递增的，所以零点只有一个．
[母题探究]
1．若本例(1)中的函数改为“f (x)＝x2＋2mx＋2m＋1”，且f (x)在区间(－1，0)和(1，2)内各有一个零点，求实数m的取值范围．
[解] 函数f (x)＝x2＋2mx＋2m＋1的零点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，
即函数f (x)＝x2＋2mx＋2m＋1的图象与x轴的交点一个在(－1，0)内，一个在(1，2)内，
根据图象列出不等式组
解得∴－∴实数m的取值范围是.
2．将本例(2)中的函数改为“f (x)＝2x＋lg (x＋1)－2”，试判断零点的个数．
[解] 法一：∵f (0)＝1＋0－2＝－1<0，f (1)＝2＋lg 2－2>0，∴f (x)在(0，1)上必定存在零点．又显然f (x)＝2x＋lg (x＋1)－2在(－1，＋∞)上为增函数．
故函数f (x)有且只有一个零点．
法二：在同一坐标系下作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg (x＋1)的草图．
由图象知g(x)＝lg (x＋1)的图象和h(x)＝2－2x的图象有且只有一个交点，
即f (x)＝2x＋lg (x＋1)－2有且只有一个零点．
判断函数零点个数的四种常用方法
(1)利用方程根，转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个零点．
(2)画出函数y＝f (x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数．
(3)结合单调性，利用零点存在定理，可判定y＝f (x)在(a，b)上零点的个数．
(4)转化成两个函数图象的交点问题．
[跟进训练]
3．若abc≠0，且b2＝ac，则函数f (x)＝ax2＋bx＋c的零点的个数是________．
0 [∵ax2＋bx＋c＝0的根的判别式Δ＝b2－4ac，b2＝ac，且abc≠0，∴Δ＝－3b2<0，
∴方程ax2＋bx＋c＝0无实根．
∴函数f (x)＝ax2＋bx＋c无零点．]
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数f (x)＝x－1的零点是x＝1，而不是(1，0)． ( )
(2)设f (x)＝，由于f (－1)·f (1)<0，所以f (x)＝在(－1，1)内有零点． ( )
(3)若函数f (x)在(a，b)内有零点，则f (a)·f (b)<0． ( )
(4)若函数f (x)的图象在区间[a，b]上是一条连续不断的曲线，且f (a)·f (b)<0，则f (x)在(a，b)内只有一个零点． ( )
[提示] (1)正确．由函数零点的定义可知(1)正确．
(2)错误．由于f (x)＝的图象在[－1，1]上不是连续不断的曲线，所以不能得出其有零点的结论．
(3)错误．反例：f (x)＝x2－2x，区间为(－1，3)，
则f (－1)·f (3)>0.
(4)错误．反例：f (x)＝x(x－1)(x－2)，区间为(－1，3)，满足条件，但f (x)在(－1，3)内有0，1，2三个零点．
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×
2．下列各图象表示的函数中没有零点的是( )
A B C D
D [选项D中的函数图象与x轴没有交点，故该函数没有零点．]
3．函数f (x)＝2x－的零点所在的区间是( )
A．(1，＋∞) B．
C． D．
B [f (1)＝2－1＝1，f ＝－2＝－2<0，
即f ·f (1)<0，
且f (x)的图象在内是一条连续不断的曲线，
故f (x)的零点所在的区间是.]
4．函数f (x)＝x2－5x的零点是________．
0和5 [令x2－5x＝0，
解得x1＝0或x2＝5，
所以函数f (x)＝x2－5x的零点是0和5.]
5．已知函数f (x)的图象是连续不断的，有如下x，f (x)的对应值表：
x 1 2 3 4 5 6
f (x) 15 10 －7 6 －4 －5
则函数f (x)在区间[1，6]上的零点至少有__________________个．
3 [由题表可知f (2)·f (3)<0，f (3)·f (4)<0，f (4)· f (5)<0，又函数f (x)的图象是连续不断的曲线，故f (x)在区间[1，6]上至少有3个零点．]
课时分层作业(二十九) 利用函数性质判定方程解的存在性
一、选择题
1．函数f (x)＝2x2－4x－3的零点有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．不能确定
C [由f (x)＝0，即2x2－4x－3＝0，因为Δ＝－4×2×(－3)＝40>0．所以方程2x2－4x－3＝0有两个根，即f (x)有两个零点．]
2．函数f (x)＝4x－2x－2的零点是( )
A．(1，0) B．1
C． D．－1
B [由f (x)＝4x－2x－2＝(2x－2)(2x＋1)＝0得2x＝2，解得x＝1.]
3．已知函数f (x)＝－log2x，在下列区间中，包含f (x)零点的区间是( )
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，4) D．(4，＋∞)
C [由题意知，函数f (x)在(0，＋∞)上为减函数．f (1)＝6－0＝6＞0，f (2)＝3－1＝2＞0，f (4)＝－log24＝－2＝－＜0．由零点存在定理可知函数f (x)在区间(2，4)上必存在零点．]
4．函数f (x)＝ln x－的零点的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
C [如图，画出y＝ln x与y＝的图象，由图知y＝ln x与y＝(x>0，且x≠1)的图象有两个交点．
故函数f (x)＝ln x－的零点有2个．]
5．已知函数f (x)在区间[a，b]上单调，且图象是连续不断的，若f (a)·f (b)＜0，则方程f (x)＝0在区间[a，b]上( )
A．至少有一实数根 B．至多有一实数根
C．没有实数根 D．必有唯一的实数根
D [由题意知函数f (x)为连续函数．∵f (a)·f (b)＜0，∴函数f (x)在区间[a，b]上至少有一个零点．又∵函数f (x)在区间[a，b]上是单调函数，∴函数f (x)在区间[a，b]上至多有一个零点．故函数f (x)在区间[a，b]上有且只有一个零点，即方程f (x)＝0在区间[a，b]内必有唯一的实数根．故选D.]
二、填空题
6．已知函数f (x)＝ax2＋2ax＋c(a≠0)的一个零点为1，则它的另一个零点为________．
－3 [设函数f (x)的两个零点为x1，x2，根据函数解析式，由一元二次方程根与系数的关系，得x1＋x2＝－＝－2.又因为x1＝1，所以x2＝－3.]
7．函数f (x)＝x2－2x在R上的零点个数是________．
3 [由题意可知，函数f (x)＝x2－2x的零点个数，等价于函数y＝2x，y＝x2的图象交点个数．如图，画出函数y＝2x，y＝x2的大致图象．
由图象可知有3个交点，即f (x)＝x2－2x有3个零点．]
8．若函数f (x)＝mx－1在(0，1)内有零点，则实数m的取值范围是________．
(1，＋∞) [f (0)＝－1，要使函数f (x)＝mx－1在(0，1)内有零点，需f (1)＝m－1>0，即m>1.]
三、解答题
9．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．
(1)f (x)＝；
(2)f (x)＝x2＋2x＋4.
[解] (1)令f (x)＝0即＝0，故x＝－3.
所以函数f (x)＝的零点是－3.
(2)令f (x)＝0，即x2＋2x＋4＝0，因为Δ＝4－4×4＝－12<0，所以此方程无解，故函数f (x)＝x2＋2x＋4无零点．
10．已知函数f (x)＝2x－x2，问：方程f (x)＝0在区间[－1，0]内是否有解？为什么？
[解] 有解．因为f (－1)＝2-1－(－1)2＝－<0，f (0)＝20－02＝1>0，
且函数f (x)＝2x－x2的图象是连续曲线，
所以f (x)在区间[－1，0]内有零点，即方程f (x)＝0在区间[－1，0]内有解．
11．函数y＝x2＋a存在零点，则a的取值范围是( )
A．a>0 B．a≤0
C．a≥0 D．a<0
B [函数y＝x2＋a存在零点，则x2＝－a有解，所以a≤0.]
12．(多选)下列说法中正确的是( )
A．f (x)＝x＋1(x∈[－2，0])的零点为(－1，0)
B．f (x)＝x＋1(x∈[－2，0])的零点为－1
C．函数y＝f (x)的零点，即y＝f (x)的图象与x轴的交点
D．函数y＝f (x)的零点，即y＝f (x)的图象与x轴的交点的横坐标
BD [根据函数零点的定义，可知f (x)＝x＋1(x∈[－2，0])的零点为－1；函数y＝f (x)的零点即y＝f (x)的图象与x轴交点的横坐标．因此，只有说法BD正确，AC错误．]
13．已知函数f (x)＝3x＋x－5的零点x0∈[a，b]，且b－a＝1，a，b∈N*，则a＝________，b＝________．
1 2 [∵函数f (x)＝3x＋x－5，∴f (1)＝31＋1－5＝－1<0，f (2)＝32＋2－5＝6>0，∴f (1)·f (2)<0，且函数f (x)在R上单调递增，∴f (x)的零点x0在区间(1，2)内．∴a＝1，b＝2.]
14．已知函数f (x)是定义域为R的奇函数，－2是它的一个零点，且在(0，＋∞)上是增函数，则该函数有________个零点，这几个零点的和等于________．
3 0 [因为函数f (x)是定义域为R的奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，所以f (0)＝0.又因为f (－2)＝0，所以f (2)＝－f (－2)＝0，故该函数有3个零点，这3个零点之和等于0.]
15．已知函数f (x)＝x＋.
(1)用单调性的定义证明f (x)在定义域上是单调函数；
(2)证明：f (x)有零点；
(3)设f (x)的零点x0落在区间内，求正整数n的值．
[解] (1)证明：显然f (x)的定义域为(0，＋∞)．
任取x1，x2∈(0，＋∞)，不妨设x10，x1x2>0，则＝>0，x1>x2，即x1－x2>0，所以f (x1)－f (x2)＝(x1－x2)＋>0，所以f (x1)>f (x2)．故f (x)在定义域(0，＋∞)上是减函数．
(2)证明：因为f (1)＝0＋＝－8<0，f ＝4＋8－＝>0，所以f (1)·f <0，又因为f (x)在区间上是连续的，所以f (x)有零点．
(3)f ＝
＝log211－3>log28－3＝0，
f ＝＋5－
＝log210－＝log25－
＝log2－log2<0，
所以f ·f <0，
所以f (x)的零点x0落在区间内．故n＝10.
