北师大版高中数学必修第一册第五章1-2利用二分法求方程的近似解课件+学案

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名称 北师大版高中数学必修第一册第五章1-2利用二分法求方程的近似解课件+学案
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文件大小 2.1MB
资源类型 试卷
版本资源 北师大版(2019)
科目 数学
更新时间 2025-04-09 12:00:51

文档简介

(共30张PPT)
1.2 利用二分法求方程的近似解
§1 方程解的存在性及方程的近似解
第五章 函数应用
学习任务 核心素养
1.探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图.(重点)
2.能借助计算工具用二分法求方程近似解.(重点)
3.体会二分法中蕴含的逐步逼近与程序化思想.(重点、难点) 1.通过对二分法概念的学习,培养数学抽象素养.
2.通过利用二分法求函数零点的近似解,培养数学运算素养.
必备知识·情境导学探新知
1.若x0是满足精度ε的近似值,则x0应满足什么条件?
2.二分法的定义是什么?
3.如何用二分法求函数的零点或方程的近似解?
f (a)·f (b)<0
中点
2.二分法求方程近似解的步骤
利用二分法求方程近似解的过程可以
用右图表示出来.
其中:
“初始区间”是一个两端点函数值____的区间;
新区间的一个端点是原区间的____,另一端点是原区间两端点中的一个,并且新区间两端点的函数值____.
异号
中点
异号
思考 (1)所有函数的零点都可以用二分法求出吗?
(2)“精确到0.1”与“精确度为0.1”一样吗?
体验1.观察下列函数的图象,判断能用二分法求其零点的是(  )
A [只有选项A中的函数有变号零点,所以能用二分法求其零点的近似值.]
A       B
C       D

体验2.用二分法求函数f (x)=x3+5的零点可以取的初始区间是(  )
A.(-2,-1)   B.(-1,0)
C.(0,1)   D.(1,2)

A [∵f (-2)=-3<0,f (-1)=4>0,f (-2)·f (-1)<0,故可取(-2,-1)作为初始区间,用二分法逐次计算.]
关键能力·合作探究释疑难
类型1 二分法的概念理解
【例1】 下列图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求函数零点的是(  )
A        B
C        D

A [按定义,f (x)在[a,b]上是连续的,且f (a)·f (b)<0,才能不断地把函数零点所在的区间一分为二,进而利用二分法求出函数的零点.故结合各图象可得选项B、C、D满足条件,而选项A不满足,在A中,图象经过零点x0时,函数值不变号,因此不能用二分法求解.故选A.]
反思领悟 判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是:其图象在零点附近是连续不断的,且该零点为变号零点.因此,用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合,对函数的不变号零点不适合.

[跟进训练]
1.下列函数中能用二分法求零点的为(  )
B [函数图象连续不断,函数零点附近的函数值异号,这样的函数零点才能使用二分法求解,观察四个函数图象,只有B选项符合.]
A     B      C     D
类型2 利用二分法求方程的近似解
【例2】 求方程x3-3=0的一个近似解.(精确度为0.02)
[思路点拨] 利用二分法求解.
[解] 考查函数f (x)=x3-3,基于零点存在定理,从一个两端点函数值异号的区间开始,应用二分法逐步缩小方程解所在的区间.
经计算f (1)=-2<0,f (2)=5>0,所以方程x3-3=0在区间(1,2)内有解.
取区间(1,2)的中点1.5,f (1.5)=0.375>0,所以方程x3-3=0在区间(1,1.5)内有解.
如此下去,得到方程x3-3=0的解所在区间(如下表):
次数 左端点 左端点
函数值 右端点 右端点
函数值 区间长度
第1次 1 -2 2 5 1
第2次 1 -2 1.5 0.375 0.5
第3次 1.25 -1.047 1.5 0.375 0.25
第4次 1.375 -0.400 1.5 0.375 0.125
第5次 1.437 5 -0.030 1.5 0.375 0.062 5
至此可以看出区间[1.437 5,1.453 125]的区间长度小于0.02,而方程的近似解就在这个区间内,因此区间内任意一个数都是满足精确度的近似解,例如,1.45就是方程x3-3=0精确度为0.02的一个近似解.
次数 左端点 左端点
函数值 右端点 右端点
函数值 区间长度
第6次 1.437 5 -0.030 1.468 75 0.168 0.031 25
第7次 1.437 5 -0.030 1.453 1 25 0.068 4 0.015 625
[母题探究]
1.本例变为:根据下表,用二分法求函数f (x)=x3-3x+1在区间(1,2)上的零点的近似值(精确度为0.1)是________.
f (1)=-1 f (2)=3 f (1.5)=-0.125
f (1.75)=1.109 375 f (1.625)=
0.416 015 625 f (1.562 5)=
0.127 197 265
1.5 [由表中数据知f (1.5)·f (2)<0,f (1.5)·f (1.562 5)<0,所以函数零点在区间(1.5,1.562 5)上,又因为|1.562 5-1.5|=0.062 5<0.1,所以函数f (x)=x3-3x+1在区间(1,2)上的零点的近似值可以取1.5.]
1.5 
用二分法逐次计算,列表如下:
区间 中点的值 中点函数值
(1,2) 1.5 1.375
(1,1.5) 1.25 -0.046 9
(1.25,1.5) 1.375 0.599 6
(1.25,1.375) 1.312 5 0.261 0
(1.25,1.312 5) 1.281 25 0.103 3
(1.25,1.281 25) 1.265 625 0.027 3
(1.25,1.265 625) 1.257 812 5 -0.010 0
反思领悟
1.用二分法求方程近似解应遵循的原则
(1)需依据图象估计零点所在的初始区间[m,n](一般采用估计值的方法完成).
(2)取区间端点的中点c,计算f (c),确定有解区间是(m,c)还是(c,n),逐步缩小区间的“长度”,直到区间的两个端点符合精确度要求,终止计算,得到函数零点的近似值.
2.二分法求方程近似解步骤的记忆口诀
定区间,找中点,中值计算两边看.
同号丢,异号算,零点落在异号间.
重复做,何时止,利用精度把关口.
[跟进训练]
2.用二分法求方程2x3+3x-3=0的一个正实数近似解.(精确度为0.1)
[解] 令f (x)=2x3+3x-3,
经计算,f (0)=-3<0,f (1)=2>0,f (0)·f (1)<0,
所以函数f (x)在(0,1)内存在零点,
即方程2x3+3x-3=0在(0,1)内有解.
取(0,1)的中点0.5,经计算f (0.5)<0,
又f (1)>0,
所以方程2x3+3x-3=0在(0.5,1)内有解.
如此继续下去,得到方程的正实数根所在的区间,如表:
由于|0.687 5-0.75|=0.062 5<0.1,所以0.75可作为方程的一个正实数近似解.
(a,b) 中点c f (a) f (b)
(0,1) 0.5 f (0)<0 f (1)>0 f (0.5)<0
(0.5,1) 0.75 f (0.5)<0 f (1)>0 f (0.75)>0
(0.5,0.75) 0.625 f (0.5)<0 f (0.75)>0 f (0.625)<0
(0.625,0.75) 0.687 5 f (0.625)<0 f (0.75)>0 f (0.687 5)<0
(0.687 5,0.75) |0.687 5-0.75|=0.062 5 <0.1
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二分法的实际应用
乒乓球是两个半圆的球粘成的,好的乒乓球在黏合时是加热的,所以里面有塑料和胶水的气味,乒乓球虽小,但打时的速度快,变化多,技术要求高,特别是对判断力的锻炼,要求运动员眼疾手快,抓住稍纵即逝的机会,对培养顽强拼搏的精神,很有好处.因此,乒乓球已经成为一项世界性、普遍性的体育运动.
现有a个乒乓球,从外观上看完全相同,除了1个乒乓球质量不符合标准外,其余的乒乓球质量均相同.你能尽快把这个“坏乒乓球”找出来吗?用一架天平,限称b次,并说明此乒乓球是偏轻还是偏重.
1.当a=12,b=3时,该如何称?
[提示] 第一次,天平左右各放4个乒乓球,有两种情况:(1)若平,则“坏乒乓球”在剩下的4个乒乓球中.第二次,取剩下的4个乒乓球中的3个乒乓球为一边,取3个好乒乓球为另一边,放在天平上.
①若仍平,则“坏乒乓球”为剩下的4个乒乓球中未取到的那个乒乓球,将此乒乓球与1个好乒乓球放上天平一看,即知“坏乒乓球”是偏轻还是偏重;
②若不平,则“坏乒乓球”在取出的3个乒乓球之中,且知是轻还是重.任取其中2个乒乓球放在天平上,无论平还是不平,均可确定“坏乒乓球”.
(2)若不平,则“坏乒乓球”在天平上的8个乒乓球中,不妨设右边较重.从右边4个乒乓球中取出3个乒乓球置于一容器内,然后从左边4个乒乓球中取3个乒乓球移入右边,再从外面好乒乓球中取3个乒乓球补入左边.看天平,有三种可能.
①若平,则“坏乒乓球”是容器内3个乒乓球之一且偏重;
②若左边重,“坏乒乓球”已从一边换到另一边.因此,“坏乒乓球”只能是从左边移入右边的3个乒乓球之一,并且偏轻;
③若右边重,据此知“坏乒乓球”未变动位置,而未被移动过的乒乓球只有两个(左右各一),“坏乒乓球”是其中之一(暂不知是轻还是重).
显然对于以上三种情况的任一种,再用一次天平,即可找出“坏乒乓球”,且知其是轻还是重.
2.若“坏乒乓球偏轻”,当a=26时,求b的最大值.
[提示] 将26枚乒乓球平均分成两份,分别放在天平两端,则“坏乒乓球”一定在质量小的那13个乒乓球里面;从这13个乒乓球中拿出1个,然后将剩下的12个乒乓球平均分成两份,分别放在天平两端,若天平平衡,则“坏乒乓球”一定是拿出的那一个,若天平不平衡,则“坏乒乓球”一定在质量小的那6个乒乓球里面;将这6个乒乓球平均分成两份,分别放在天平两端,则“坏乒乓球”一定在质量小的那3个乒乓球里面;从这3个乒乓球中任拿出2个,分别放在天平两端,若天平平衡,则剩下的那一个即是“坏乒乓球”,若天平不平衡,则质量小的那一枚即是“坏乒乓球”.
综上可知,最多称4次就可以发现这个“坏乒乓球”.
学习效果·课堂评估夯基础
1.思考辨析(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)二分法所求出的方程的解都是近似解. (  )
(2)函数f (x)=|x|可以用二分法求零点. (  )
(3)用二分法求函数零点的近似值时,每次等分区间后,零点必定在右侧区间. (  )
2
4
3
题号
1
5
[提示] (1)错误.如函数f (x)=x-2用二分法求出的解就是精确解.
(2)错误.对于函数f (x)=|x|,不存在区间(a,b),使f (a)f (b)<0,所以不能用二分法求其零点.
(3)错误. 函数的零点也可能是区间的中点或在左侧区间内.
×
×
×
2.已知定义在R上的函数f (x)的图象是连续不断的,且有如下对应值表:

2
4
3
题号
1
5
B [因为f (1)>0,f (2)<0,由零点存在定理可知f (x)一定存在零点的区间是(1,2).]
x 0 1 2 3
f (x) 3.1 0.1 -0.9 -3
那么函数f (x)一定存在零点的区间是(  )
A.(0,1)   B.(1,2)
C.(2,3)   D.(3,+∞)

2
4
3
题号
1
5
4.用二分法研究函数f (x)=x3+3x-1的零点时,第一次经计算得f (0)<0,f (0.5)>0,可得其中一个零点x0∈________,第二次应计算__________.
2
4
3
题号
1
5
(0,0.5) 
f (0.25) 
2
4
3
题号
1
5.函数f (x)=x2+ax+b有零点,但不能用二分法求出,则a,b的关系是__________.
5
a2=4b [∵函数f (x)=x2+ax+b有零点,但不能用二分法,∴函数f (x)=x2+ax+b图象与x轴相切.
∴Δ=a2-4b=0.∴a2=4b.]
a2=4b 1.2 利用二分法求方程的近似解
学习任务 核心素养
1.探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图.(重点) 2.能借助计算工具用二分法求方程近似解.(重点) 3.体会二分法中蕴含的逐步逼近与程序化思想.(重点、难点) 1.通过对二分法概念的学习,培养数学抽象素养. 2.通过利用二分法求函数零点的近似解,培养数学运算素养.
1.若x0是满足精度ε的近似值,则x0应满足什么条件?
2.二分法的定义是什么?
3.如何用二分法求函数的零点或方程的近似解?
1.二分法的概念
(1)满足精确度ε的近似解:设是方程f (x)=0的一个解,给定正数ε,若x0满足|x0-|<ε,就称x0是满足精确度ε的近似解.
(2)二分法的定义:对于一般的函数y=f (x),x∈[a,b],若函数y=f (x)的图象是一条连续的曲线,f (a)·f (b)<0,则每次取区间的中点,将区间一分为二,再经比较,按需要留下其中一个小区间的求方程近似解的方法称为二分法.
2.二分法求方程近似解的步骤
利用二分法求方程近似解的过程可以用下图表示出来.
其中:
“初始区间”是一个两端点函数值异号的区间;
新区间的一个端点是原区间的中点,另一端点是原区间两端点中的一个,并且新区间两端点的函数值异号.
(1)所有函数的零点都可以用二分法求出吗?
(2)“精确到0.1”与“精确度为0.1”一样吗?
[提示] (1)不是,例如函数y=(x+)2的零点-就无法用二分法求出.
(2)不一样.比如得数是1.25或1.34,精确到0.1都是通过四舍五入后保留一位小数得1.3.而“精确度为0.1”指零点近似值所在区间(a,b)满足|a-b|<0.1,比如零点近似值所在区间(1.25,1.34).若精确度为0.1,则近似值可以是1.25,也可以是1.34.
1.观察下列函数的图象,判断能用二分法求其零点的是(  )
A        B
C        D
A [只有选项A中的函数有变号零点,所以能用二分法求其零点的近似值.]
2.用二分法求函数f (x)=x3+5的零点可以取的初始区间是(  )
A.(-2,-1)   B.(-1,0)
C.(0,1)   D.(1,2)
A [∵f (-2)=-3<0,f (-1)=4>0,f (-2)·f (-1)<0,故可取(-2,-1)作为初始区间,用二分法逐次计算.]
类型1 二分法的概念理解
【例1】 下列图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求函数零点的是(  )
A        B
C        D
A [按定义,f (x)在[a,b]上是连续的,且f (a)·f (b)<0,才能不断地把函数零点所在的区间一分为二,进而利用二分法求出函数的零点.故结合各图象可得选项B、C、D满足条件,而选项A不满足,在A中,图象经过零点x0时,函数值不变号,因此不能用二分法求解.故选A.]
 判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是:其图象在零点附近是连续不断的,且该零点为变号零点.因此,用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合,对函数的不变号零点不适合.
[跟进训练]
1.下列函数中能用二分法求零点的为(  )
A    B     C    D
B [函数图象连续不断,函数零点附近的函数值异号,这样的函数零点才能使用二分法求解,观察四个函数图象,只有B选项符合.]
类型2 利用二分法求方程的近似解
【例2】 求方程x3-3=0的一个近似解.(精确度为0.02)
[思路点拨] 利用二分法求解.
[解] 考查函数f (x)=x3-3,基于零点存在定理,从一个两端点函数值异号的区间开始,应用二分法逐步缩小方程解所在的区间.
经计算f (1)=-2<0,f (2)=5>0,所以方程x3-3=0在区间(1,2)内有解.
取区间(1,2)的中点1.5,f (1.5)=0.375>0,所以方程x3-3=0在区间(1,1.5)内有解.
如此下去,得到方程x3-3=0的解所在区间(如下表):
次数 左端点 左端点函数值 右端点 右端点函数值 区间长度
第1次 1 -2 2 5 1
第2次 1 -2 1.5 0.375 0.5
第3次 1.25 -1.047 1.5 0.375 0.25
第4次 1.375 -0.400 1.5 0.375 0.125
第5次 1.437 5 -0.030 1.5 0.375 0.062 5
第6次 1.437 5 -0.030 1.468 75 0.168 0.031 25
第7次 1.437 5 -0.030 1.453 1 25 0.068 4 0.015 625
至此可以看出区间[1.437 5,1.453 125]的区间长度小于0.02,而方程的近似解就在这个区间内,因此区间内任意一个数都是满足精确度的近似解,例如,1.45就是方程x3-3=0精确度为0.02的一个近似解.
[母题探究]
1.本例变为:根据下表,用二分法求函数f (x)=x3-3x+1在区间(1,2)上的零点的近似值(精确度为0.1)是________.
f (1)=-1 f (2)=3 f (1.5)=-0.125
f (1.75)=1.109 375 f (1.625)= 0.416 015 625 f (1.562 5)= 0.127 197 265
1.5 [由表中数据知f (1.5)·f (2)<0,f (1.5)·f (1.562 5)<0,所以函数零点在区间(1.5,1.562 5)上,又因为|1.562 5-1.5|=0.062 5<0.1,所以函数f (x)=x3-3x+1在区间(1,2)上的零点的近似值可以取1.5.]
2.如何求的近似值?(精确度为0.01)
[解] 设x=,则x3=2,即x3-2=0,
令f (x)=x3-2,则函数f (x)的零点的近似值就是的近似值,以下用二分法求其零点.
由f (1)=-1<0,f (2)=6>0,故可以取区间(1,2)为计算的初始区间.
用二分法逐次计算,列表如下:
区间 中点的值 中点函数值
(1,2) 1.5 1.375
(1,1.5) 1.25 -0.046 9
(1.25,1.5) 1.375 0.599 6
(1.25,1.375) 1.312 5 0.261 0
(1.25,1.312 5) 1.281 25 0.103 3
(1.25,1.281 25) 1.265 625 0.027 3
(1.25,1.265 625) 1.257 812 5 -0.010 0
由于|1.265 625-1.257 812 5|=0.007 812 5<0.01,所以1.265 625是函数的零点的近似值,即的近似值是1.265 625.
1.用二分法求方程近似解应遵循的原则
(1)需依据图象估计零点所在的初始区间[m,n](一般采用估计值的方法完成).
(2)取区间端点的中点c,计算f (c),确定有解区间是(m,c)还是(c,n),逐步缩小区间的“长度”,直到区间的两个端点符合精确度要求,终止计算,得到函数零点的近似值.
2.二分法求方程近似解步骤的记忆口诀
定区间,找中点,中值计算两边看.
同号丢,异号算,零点落在异号间.
重复做,何时止,利用精度把关口.
[跟进训练]
2.用二分法求方程2x3+3x-3=0的一个正实数近似解.(精确度为0.1)
[解] 令f (x)=2x3+3x-3,
经计算,f (0)=-3<0,f (1)=2>0,f (0)·f (1)<0,
所以函数f (x)在(0,1)内存在零点,
即方程2x3+3x-3=0在(0,1)内有解.
取(0,1)的中点0.5,经计算f (0.5)<0,
又f (1)>0,
所以方程2x3+3x-3=0在(0.5,1)内有解.
如此继续下去,得到方程的正实数根所在的区间,如表:
(a,b) 中点c f (a) f (b) f
(0,1) 0.5 f (0)<0 f (1)>0 f (0.5)<0
(0.5,1) 0.75 f (0.5)<0 f (1)>0 f (0.75)>0
(0.5,0.75) 0.625 f (0.5)<0 f (0.75)>0 f (0.625)<0
(0.625,0.75) 0.687 5 f (0.625)<0 f (0.75)>0 f (0.687 5)<0
(0.687 5,0.75) |0.687 5-0.75|=0.062 5 <0.1
由于|0.687 5-0.75|=0.062 5<0.1,所以0.75可作为方程的一个正实数近似解.
二分法的实际应用
乒乓球是两个半圆的球粘成的,好的乒乓球在黏合时是加热的,所以里面有塑料和胶水的气味,乒乓球虽小,但打时的速度快,变化多,技术要求高,特别是对判断力的锻炼,要求运动员眼疾手快,抓住稍纵即逝的机会,对培养顽强拼搏的精神,很有好处.因此,乒乓球已经成为一项世界性、普遍性的体育运动.
现有a个乒乓球,从外观上看完全相同,除了1个乒乓球质量不符合标准外,其余的乒乓球质量均相同.你能尽快把这个“坏乒乓球”找出来吗?用一架天平,限称b次,并说明此乒乓球是偏轻还是偏重.
1.当a=12,b=3时,该如何称?
[提示] 第一次,天平左右各放4个乒乓球,有两种情况:(1)若平,则“坏乒乓球”在剩下的4个乒乓球中.第二次,取剩下的4个乒乓球中的3个乒乓球为一边,取3个好乒乓球为另一边,放在天平上.
①若仍平,则“坏乒乓球”为剩下的4个乒乓球中未取到的那个乒乓球,将此乒乓球与1个好乒乓球放上天平一看,即知“坏乒乓球”是偏轻还是偏重;
②若不平,则“坏乒乓球”在取出的3个乒乓球之中,且知是轻还是重.任取其中2个乒乓球放在天平上,无论平还是不平,均可确定“坏乒乓球”.
(2)若不平,则“坏乒乓球”在天平上的8个乒乓球中,不妨设右边较重.从右边4个乒乓球中取出3个乒乓球置于一容器内,然后从左边4个乒乓球中取3个乒乓球移入右边,再从外面好乒乓球中取3个乒乓球补入左边.看天平,有三种可能.
①若平,则“坏乒乓球”是容器内3个乒乓球之一且偏重;
②若左边重,“坏乒乓球”已从一边换到另一边.因此,“坏乒乓球”只能是从左边移入右边的3个乒乓球之一,并且偏轻;
③若右边重,据此知“坏乒乓球”未变动位置,而未被移动过的乒乓球只有两个(左右各一),“坏乒乓球”是其中之一(暂不知是轻还是重).
显然对于以上三种情况的任一种,再用一次天平,即可找出“坏乒乓球”,且知其是轻还是重.
2.若“坏乒乓球偏轻”,当a=26时,求b的最大值.
[提示] 将26枚乒乓球平均分成两份,分别放在天平两端,则“坏乒乓球”一定在质量小的那13个乒乓球里面;从这13个乒乓球中拿出1个,然后将剩下的12个乒乓球平均分成两份,分别放在天平两端,若天平平衡,则“坏乒乓球”一定是拿出的那一个,若天平不平衡,则“坏乒乓球”一定在质量小的那6个乒乓球里面;将这6个乒乓球平均分成两份,分别放在天平两端,则“坏乒乓球”一定在质量小的那3个乒乓球里面;从这3个乒乓球中任拿出2个,分别放在天平两端,若天平平衡,则剩下的那一个即是“坏乒乓球”,若天平不平衡,则质量小的那一枚即是“坏乒乓球”.
综上可知,最多称4次就可以发现这个“坏乒乓球”.
1.思考辨析(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)二分法所求出的方程的解都是近似解. (  )
(2)函数f (x)=|x|可以用二分法求零点. (  )
(3)用二分法求函数零点的近似值时,每次等分区间后,零点必定在右侧区间. (  )
[提示] (1)错误.如函数f (x)=x-2用二分法求出的解就是精确解.
(2)错误.对于函数f (x)=|x|,不存在区间(a,b),使f (a)f (b)<0,所以不能用二分法求其零点.
(3)错误. 函数的零点也可能是区间的中点或在左侧区间内.
[答案] (1)× (2)× (3)×
2.已知定义在R上的函数f (x)的图象是连续不断的,且有如下对应值表:
x 0 1 2 3
f (x) 3.1 0.1 -0.9 -3
那么函数f (x)一定存在零点的区间是(  )
A.(0,1)   B.(1,2)
C.(2,3)   D.(3,+∞)
B [因为f (1)>0,f (2)<0,由零点存在定理可知f (x)一定存在零点的区间是(1,2).]
3.定义在R上的函数f (x)的图象是连续不断的曲线,已知函数f (x)在区间(a,b)上有一个零点x0,且f (a)·f (b)<0,用二分法求x0时,当f =0时,则函数f (x)的零点是(  )
A.(a,b)外的点
B.x=
C.区间或内的任意一个实数
D.x=a或b
B [因为f =0,所以x=就是函数f (x)的零点.]
4.用二分法研究函数f (x)=x3+3x-1的零点时,第一次经计算得f (0)<0,f (0.5)>0,可得其中一个零点x0∈________,第二次应计算________.
(0,0.5) f (0.25) [因为f (0)<0,f (0.5)>0,所以f (0)·f (0.5)<0,故f (x)的一个零点x0∈(0,0.5),利用二分法,则第二次应计算f =f (0.25).]
5.函数f (x)=x2+ax+b有零点,但不能用二分法求出,则a,b的关系是________.
a2=4b [∵函数f (x)=x2+ax+b有零点,但不能用二分法,∴函数f (x)=x2+ax+b图象与x轴相切.
∴Δ=a2-4b=0.∴a2=4b.]
课时分层作业(三十) 利用二分法求方程的近似解
一、选择题
1.用二分法求如图所示的函数f (x)的零点时,不可能求出的零点是(  )
A.x1   B.x2
C.x3   D.x4
C [能用二分法求零点的函数必须满足在区间[a,b]上连续,且f (a)·f (b)<0.而x3两边的函数值都小于零,不符合二分法求零点的条件,故选C.]
2.用“二分法”可求近似解,对于精确度ε说法正确的是(  )
A.ε越大,零点的精确度越高
B.ε越大,零点的精确度越低
C.重复计算次数就是ε
D.重复计算次数与ε无关
B [依“二分法”的具体步骤可知,ε越大,零点的精确度越低.]
3.设f (x)=3x+3x-8,用二分法求方程3x+3x-8=0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f (1)<0,f (1.5)>0,f (1.25)<0,则方程3x+3x-8=0的根落在区间(  )
A.(1.25,1.5)   B.(1,1.25)
C.(1.5,2)   D.不能确定
A [易知f (x)在R上是增函数.由题意可知f (1.25)·f (1.5)<0,故函数f (x)=3x+3x-8的零点落在区间(1.25,1.5)内.故选A.]
4.用二分法求函数f (x)=ln x-的零点时,初始区间大致可选(  )
A.(1,2)   B.(2,3)
C.(3,4)   D.(e,+∞)
B [f (x)=ln x-,由于f (2)=ln 2-1<0,f (3)=ln 3->0,f (2)·f (3)<0,故初始区间可选(2,3).]
5.用二分法求函数f (x)=2x+3x-7在区间[0,4]上的零点近似值,取区间中点2,则下一个存在零点的区间为(  )
A.(0,1)   B.(0,2)
C.(2,3)   D.(2,4)
B [因为f (0)=20+0-7=-6<0,
f (2)=22+6-7>0,
f (4)=24+12-7>0,所以f (0)·f (2)<0,所以零点在区间(0,2)内.]
二、填空题
6.设函数y=f (x)在区间[a,b]上的图象是连续不间断的曲线,且f (a)·f (b)<0,取x0=,若f (a)·f (x0)<0,则利用二分法求方程根时,取有根区间为________.
(a,x0) [由于f (a)·f (x0)<0,则(a,x0)为有根区间.]
7.在用二分法求方程f (x)=0在区间[0,1]上的近似解时,经计算,f (0.625)<0,f (0.75)>0,f (0.687 5)<0,即可得出方程的一个近似解为________(精确度为0.1).
0.75(答案不唯一) [0.75-0.687 5=0.062 5<0.1,又精确度为0.1,故可取近似解为0.75.]
8.求函数f (x)=x3-x-1在区间(1,1.5)内的一个零点(精确度ε=0.1),用“二分法”逐次计算列表如下:
端(中) 点的值 中点函数值符号 零点所在区间 区间长度
(1,1.5) 0.5
1.25 f (1.25)<0 (1.25,1.5) 0.25
1.375 f (1.375)>0 (1.25,1.375) 0.125
1.312 5 f (1.312 5)<0 (1.312 5,1.375) 0.062 5
则函数零点的近似值为________.
1.312 5(答案不唯一) [∵精确度ε=0.1,由表可知|1.375-1.312 5|=0.062 5<0.1,
∴函数零点的近似值为1.312 5.]
三、解答题
9.求函数f (x)=x2-5的一个零点近似解.(精确度为0.1)
[解] 由于f (-2)=-1<0,f (-3)=4>0,
故取区间(-3,-2)作为计算的初始区间,用二分法逐次计算,列表如下:
区间 中点的值 中点函数近似值
(-3,-2) -2.5 1.25
(-2.5,-2) -2.25 0.062 5
(-2.25,-2) -2.125 -0.484 4
(-2.25,-2.125) -2.187 5 -0.214 8
由于|-2.25-(-2.187 5)|=0.062 5<0.1,所以函数的一个近似解可取-2.25.
10.求函数y=2x+3x-7的近似零点.(精确度为0.1)
[解] 设f (x)=2x+3x-7,根据二分法逐步缩小方程的解所在的区间.
经计算,f (1)=-2<0,f (2)=3>0,所以函数f (x)=2x+3x-7在(1,2)内存在零点,
即方程2x+3x-7=0在(1,2)内有解.
取(1,2)的中点1.5,经计算,f (1.5)≈0.33>0,
又f (1)=-2<0,所以方程2x+3x-7=0在(1,1.5)内有解.
如此下去,得到方程2x+3x-7=0实数解所在的区间,如下表:
左端点 左端点函数值 右端点 右端点函数值 区间长度
第1次 1 -2 2 3 1
第2次 1 -2 1.5 0.33 0.5
第3次 1.25 -0.872 1.5 0.33 0.25
第4次 1.375 -0.281 1.5 0.33 0.125
第5次 1.375 -0.281 1.437 5 0.021 0.062 5
由表可以看出,区间(1.375,1.437 5)内的所有值都可以看成是函数精确度为0.1时的近似零点.
所以函数y=2x+3x-7的一个近似零点可以是1.4.
11.(多选)某同学求函数f (x)=ln x+2x-6的零点时,用计算器算得部分函数值如表所示:
f (2)≈-1.307 f (3)≈1.099 f (2.5)≈-0.084
f (2.75)≈0.512 f (2.625)≈0.215 f (2.562 5)≈0.066
则方程ln x+2x-6=0的近似解(精确度为0.1)可取为(  )
A.2.52   B.2.56
C.2.66   D.2.75
AB [由表格可知方程ln x+2x-6=0的近似根在(2.5,2.562 5)内,因此选项A中2.52符合,选项B中2.56也符合,故选AB.]
12.已知f (x)的一个零点x0∈(2,3),用二分法求精确度为0.01的x0近似值时,判断各区间中点的函数值的符号最多需要的次数为(  )
A.6   B.7
C.8   D.9
B [函数f (x)的零点所在区间的长度是1,用二分法经过7次分割后区间的长度变为<0.01.]
13.某同学在借助计算器求“方程lg x=2-x的近似解(精确度为0.1)”时,设f (x)=lg x+x-2,算得f (1)<0,f (2)>0;在以下过程中,他用“二分法”又取了4个x的值,计算了其函数值的正负,并得出判断:方程的近似解是x≈1.8.那么他再取的x的4个值依次是________.
1.5,1.75,1.875,1.812 5 [第一次用二分法计算得区间(1.5,2),第二次得区间(1.75,2),第三次得区间(1.75,1.875),第四次得区间(1.75,1.812 5).]
14.在用二分法求方程的近似解时,若初始区间的长度为1,精确度为0.05,则取中点的次数不小于________.
5 [∵初始区间的长度为1,精确度为0.05,
∴≤0.05,即2n≥20.
又∵n∈N+,∴n≥5,
∴取中点的次数不小于5.]
15.在一个风雨交加的夜里,某水库闸房(设为A)到防洪指挥部(设为B)的电话线路发生了故障.这是一条10 km长的线路,如何迅速查出故障所在?如果沿着线路一小段查找,困难很多,每查一个点需要很长时间.
(1)维持线路的工人师傅应怎样工作,才能每查一次,就把待查的线路长度缩减一半?
(2)要把故障可能发生的范围缩小到50~100 m左右,最多要查多少次?
[解] (1)如图所示,他首先从中点C查,用随身带的话机向两端测试时,假设发现AC段正常,断定故障在BC段,再到BC段中点D查,这次若发现BD段正常,可见故障在CD段,再到CD段中点E查,依次类推…
(2)每查一次,可以把待查的线路长度缩减一半,因此最多只要7次就够了.