(共39张PPT)
§2 实际问题中的函数模型
第五章 函数应用
学习任务 核心素养
1．会用函数图象的变化刻画变化过程．(重点、难点)
2．能够用已知的函数模型刻画实际问题．(难点)
3．理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具．在实际情境中，会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律．(重点、难点) 1． 通过把实际应用问题转化为数学问题，培养数学抽象素养．
2．通过利用函数模型解决实际问题，培养数学建模素养．
必备知识·情境导学探新知
1．常见的函数模型有哪几种？
2．解决函数应用题一般有哪几个步骤？
kx
kx＋b
ax2＋bx＋c
abx＋c
mlogax＋n
axn＋b
2．应用函数模型解决问题的基本过程
用函数模型解应用题的四个步骤：
(1)审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；
(2)建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型；
(3)求模——求解数学模型，得出数学模型；
(4)还原——将数学结论还原为实际问题．
思考 (1)对于解决实际应用问题时得到的函数，如何确定其定义域？
(2)求函数最大值或最小值的方法一般有哪些？
[提示] (1)在实际问题中，除了要使函数式有意义外，还要考虑变量的实际含义，如人必须为自然数等．
(2)利用函数的单调性，利用基本不等式，利用基本初等函数的值域等．
体验1．某同学最近5年内的学习费用y(千元)与时间x(年)的关系如图所示，则可选择的模拟函数模型是( )
B [因为图中的点基本分布在一条抛物线上，所以可选择的函数模型应为二次函数，故选B.]
A．y＝ax＋b
B．y＝ax2＋bx＋c
C．y＝aex＋b
D．y＝a ln x＋b
√
体验2．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x(1≤x≤4，x∈N*)之间关系的是( )
A．y＝100x B．y＝50x2－50x＋100 C．y＝50×2x D．y＝100x
√
C [当x＝4时，A中，y＝400；B中，y＝700；C中，y＝800；D中，y＝1004.故选C.]
体验3．某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，设这种动物第1年有100只，则第7年它们繁殖到________只．
300
关键能力·合作探究释疑难
类型1 利用二次函数模型解决实际问题
【例1】 某个体经营者把前六个月试销A，B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表：
月投资A种商品的金属/万元 1 2 3 4 5 6
纯利润/万元 0.65 1.39 1.85 2 1.84 1.40
月投资B种商品的金额/万元 1 2 3 4 5 6
纯利润/万元 0.25 0.49 0.76 1 1.26 1.51
试经营者准备下个月投入12万元经营这两种商品，但不知投入A，B两种商品各多少万元才最合算．请你帮助制订一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大纯利润，并求出最大纯利润．(精确到0.1万元)
[解] 以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，画出散点图，如图所示．
据此，可考虑用函数y＝－a(x－4)2＋2(a>0) ①表示投资A种商品的金额与其纯利润的关系，用y＝bx(b>0) ②表示投资B种商品的金额与其纯利润的关系．
把x＝1，y＝0.65代入①式，得0.65＝－a(1－4)2＋2，解得a＝0.15，经检验，解析式满足题意，故所获纯利润关于月投资A种商品的金额的函数解析式可近似地用y＝－0.15(x－4)2＋2来表示．
把x＝4，y＝1代入②式，解得b＝0.25，经检验，解析式满足题意，故所获纯利润关于月投资B种商品的金额的函数解析式可近似地用y＝0.25x来表示．
反思领悟 利用二次函数求最值的方法及注意点
(1)方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题．
(2)注意：取得最值时的自变量与实际意义是否相符．
反思领悟 指数函数模型的应用
在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示．通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．
反思领悟 应用分段函数时的三个注意点
(1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏．
(2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集．
(3)分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论．
[跟进训练]
3．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；
(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f (x)＝x·v(x)可以达到最大？并求出最大值．(精确到1辆/时)
类型4 建立拟合函数模型解决实际问题
【例4】 为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度x与当年灌溉面积y.现有连续10年的实测资料，如表所示．
年序 最大积雪深度x(cm) 灌溉面积y(公顷)
1 15.2 28.6
2 10.4 21.1
3 21.2 40.5
4 18.6 36.6
年序 最大积雪深度x(cm) 灌溉面积y(公顷)
5 26.4 49.8
6 23.4 45.0
7 13.5 29.2
8 16.7 34.1
9 24.0 45.8
10 19.1 36.9
(1)描点画出灌溉面积随积雪深度变化的图象；
(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型，并画出图象；
(3)根据所建立的函数模型，估计若今年最大积雪深度为25 cm，则可以灌溉土地多少公顷？
图①
作出函数图象(如图②)，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映积雪面积与灌溉面积的关系．
(3)由(2)得y＝2.4＋1.8×25，求得y＝47.4，即当积雪深度为25 cm时，可以灌溉土地47.4公顷．
图②
反思领悟 建立拟合函数与预测的基本步骤
[跟进训练]
4．芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物，不仅可美化居室、净化空气，又可美容保健，因此深受人们欢迎，在国内占有很大的市场．某人准备进军芦荟市场，栽培芦荟，为了了解行情，进行市场调研，从4月1日起，芦荟的种植成本Q(单位：元/10 kg)与上市时间t(单位：天)的数据情况如表：
(1)根据表中数据，从下列函数中选取一个最能反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝alogbt，并说明理由；
(2)利用你选择的函数，求芦荟种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．
t 50 110 250
Q 150 108 150
学习效果·课堂评估夯基础
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)实际问题中两个变量之间一定有确定的函数关系． ( )
(2)函数模型中，要求定义域只需使函数式有意义． ( )
(3)用函数模型预测的结果和实际结果必须相等，否则函数模型就无存在意义了． ( )
2
4
3
题号
1
5
×
×
×
[提示] (1)错误．实际问题中的两个变量之间不一定有确定的函数关系．
(2)错误．在函数模型中，函数的定义域除了使函数式有意义，还要满足实际问题的要求．
(3)错误．用函数模型预测结果和实际结果可能不完全相等，但是函数模型也有意义．
2
4
3
题号
1
5
2．某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的函数解析式为y＝5x＋4 000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为( )
A．200副 B．400副
C．600副 D．800副
√
2
4
3
题号
1
5
D [由5x＋4 000≤10x，解得x≥800，即日产手套至少800副时才不亏本．]
3．随着我国经济的不断发展，2016年年底某偏远地区农民人均年收入为3 000元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6%的年平均增长率增长，那么2023年年底该地区的农民人均年收入为( )
A．3 000×1.06×7元 B．3 000×1.067元
C．3 000×1.06×8元 D．3 000×1.068元
√
2
4
3
题号
1
5
B [根据题意，逐年归纳，总结规律建立关于年份的指数型函数模型，设经过x年，该地区的农民人均年收入为y元，依题意有y＝3 000×1.06x，因为2016年年底到2023年年底经过了7年，故把x＝7代入，即可求得y＝3 000×1.067.故选B.]
4．设在海拔x m处的大气压强为y kPa，y与x的函数关系可近似表示为y＝100eax，已知在海拔1 000 m处的大气压强为90 kPa，则根据函数关系式，在海拔2 000 m处的大气压强为________kPa.
2
4
3
题号
1
5
81
2
4
3
题号
1
5．新能源汽车包括纯电动汽车、增程式电动汽车、混合动力汽车、燃料电池电动汽车、氢发动机汽车、其他新能源汽车等．它是未来汽车的发展方向．一个新能源汽车制造厂引进了一条新能源汽车整车装配流水线，这条流水线生产的新能源汽车数量x(辆)与创造的价值y(万元)之间满足二次函数关系．已知产量为0时，创造的价值也为0；当产量为40 000辆时，创造的价值达到最大6 000万元．若这家工厂希望利用这条流水线创收达到5 625万元，则它可能生产的新能源汽车数量是_________________辆．
5
30 000或50 000
2
4
3
题号
1
5§2 实际问题中的函数模型
学习任务 核心素养
1．会用函数图象的变化刻画变化过程．(重点、难点) 2．能够用已知的函数模型刻画实际问题．(难点) 3．理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具．在实际情境中，会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律．(重点、难点) 1． 通过把实际应用问题转化为数学问题，培养数学抽象素养． 2．通过利用函数模型解决实际问题，培养数学建模素养．
1．常见的函数模型有哪几种？
2．解决函数应用题一般有哪几个步骤？
1．常见的函数模型
(1)正比例函数模型：f (x)＝kx(k为常数，k≠0)；
(2)反比例函数模型：f (x)＝(k为常数，k≠0)；
(3)一次函数模型：f (x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)；
(4)二次函数模型：f (x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)；
(5)指数函数模型：f (x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a≠0，b>0，b≠1)；
(6)对数函数模型：f (x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，m≠0，a>0，a≠1)；
(7)幂函数模型：f (x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠1)．
(8)分段函数模型：f (x)＝
2．应用函数模型解决问题的基本过程
用函数模型解应用题的四个步骤：
(1)审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；
(2)建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型；
(3)求模——求解数学模型，得出数学模型；
(4)还原——将数学结论还原为实际问题．
(1)对于解决实际应用问题时得到的函数，如何确定其定义域？
(2)求函数最大值或最小值的方法一般有哪些？
[提示] (1)在实际问题中，除了要使函数式有意义外，还要考虑变量的实际含义，如人必须为自然数等．
(2)利用函数的单调性，利用基本不等式，利用基本初等函数的值域等．
1．某同学最近5年内的学习费用y(千元)与时间x(年)的关系如图所示，则可选择的模拟函数模型是( )
A．y＝ax＋b B．y＝ax2＋bx＋c
C．y＝aex＋b D．y＝a ln x＋b
B [因为图中的点基本分布在一条抛物线上，所以可选择的函数模型应为二次函数，故选B.]
2．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x(1≤x≤4，x∈N*)之间关系的是( )
A．y＝100x B．y＝50x2－50x＋100
C．y＝50×2x D．y＝100x
C [当x＝4时，A中，y＝400；B中，y＝700；C中，y＝800；D中，y＝1004.故选C.]
3．某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，设这种动物第1年有100只，则第7年它们繁殖到________只．
[答案] 300
类型1 利用二次函数模型解决实际问题
【例1】 某个体经营者把前六个月试销A，B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表：
月投资A种 商品的金属/ 万元 1 2 3 4 5 6
纯利润/ 万元 0.65 1.39 1.85 2 1.84 1.40
月投资B 种商品的 金额/万元 1 2 3 4 5 6
纯利润/ 万元 0.25 0.49 0.76 1 1.26 1.51
试经营者准备下个月投入12万元经营这两种商品，但不知投入A，B两种商品各多少万元才最合算．请你帮助制订一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大纯利润，并求出最大纯利润．(精确到0.1万元)
[解] 以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，画出散点图，如图所示．
据此，可考虑用函数y＝－a(x－4)2＋2(a>0) ①表示投资A种商品的金额与其纯利润的关系，用y＝bx(b>0) ②表示投资B种商品的金额与其纯利润的关系．
把x＝1，y＝0.65代入①式，得0.65＝－a(1－4)2＋2，解得a＝0.15，经检验，解析式满足题意，故所获纯利润关于月投资A种商品的金额的函数解析式可近似地用y＝－0.15(x－4)2＋2来表示．
把x＝4，y＝1代入②式，解得b＝0.25，经检验，解析式满足题意，故所获纯利润关于月投资B种商品的金额的函数解析式可近似地用y＝0.25x来表示．
设下个月投入A，B两种商品的资金分别是xA万元，xB万元，纯利润W万元，
得
即W＝－0.15＋0.15×＋2.6.
故当xA＝≈3.2时，W取得最大值，约为4.1，
此时，xB＝8.8.
即下个月投入A，B两种商品的资金分别约为3.2万元，8.8万元时，可获得最大纯利润，约为4.1万元．
利用二次函数求最值的方法及注意点
(1)方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题．
(2)注意：取得最值时的自变量与实际意义是否相符．
[跟进训练]
1．某水厂的蓄水池中有400吨水，每天零点开始由池中放水向居民供水，同时以每小时60吨的速度向池中注水，若t小时内向居民供水总量为100(0≤t≤24)，则每天何时蓄水池中的存水量最少．
[解] 设t小时后，蓄水池中的存水量为y吨，则y＝400＋60t－100(0≤t≤24)．
设u＝，则u∈[0，2]，y＝60u2－100u＋400
＝60＋150，
∴当u＝，
即t＝小时时，蓄水池中的存水量最少．
类型2 利用指数、对数型函数模型解决实际问题
【例2】 一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且使森林面积每年比上一年减少p%，10年后森林面积变为.为保护生态环境，所剩森林面积至少要为原面积的.已知到今年为止，森林面积为a.
(1)求p%的值；
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
(3)该森林今后最多还能砍伐多少年？
[解] (1)由题意得a(1－p%)10＝，即(1－p%)10＝，解得p%＝1－．
(2)设经过m年森林面积为a，则a(1－p%)m＝a，
即＝，＝，解得m＝5.
故到今年为止，已砍伐了5年．
(3)设从今年开始，n年后森林面积为a·(1－p%)n.
令a(1－p%)n≥a，
即(1－p%)n≥≥，
得，解得n≤15，
故今后最多还能砍伐15年．
指数函数模型的应用
在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示．通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．
[跟进训练]
2．某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若最初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，问：至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？(取lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
[解] 依题意，得·，即.则n(lg 2－lg 3)≤－(1＋lg 2)，
故n≥≈7.4，考虑到n∈N，即至少要过滤8次才能达到市场要求．
类型3 利用分段函数模型解决实际问题
【例3】 某车间生产一种仪器的固定成本为10 000元，每生产一台该仪器需要增加投入100元，已知总收入满足函数：H(x)＝
其中x是仪器的月产量．
(1)将利润表示为月产量的函数(用f (x)表示)；
(2)当月产量为何值时，车间所获利润最大？最大利润为多少元？(总收入＝总成本＋利润)
[解] (1)设每月产量为x台，则总成本为t＝10 000＋100x.又f (x)＝H(x)－t，
∴f (x)＝
(2)当0≤x≤200时，f (x)＝－(x－150)2＋12 500，
所以当x＝150时，有最大值12 500；
当x>200时，f (x)＝30 000－100x是减函数，
f (x)<30 000－100×200<12 500.
所以当x＝150时，f (x)取最大值，最大值为12 500.
所以每月生产150台仪器时，利润最大，最大利润为12 500元．
应用分段函数时的三个注意点
(1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏．
(2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集．
(3)分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论．
[跟进训练]
3．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；
(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f (x)＝x·v(x)可以达到最大？并求出最大值．(精确到1辆/时)
[解] (1)由题意，当0≤x≤20时，v(x)＝60；
当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b(a≠0)，
由已知得解得
故函数v(x)的表达式为
v(x)＝
(2)依题意并结合(1)可得
f (x)＝
当0≤x≤20时，f (x)为增函数，故当x＝20时，f (x)在区间[0，20]上取得最大值60×20＝1 200；
当20所以当x＝100时，f (x)在区间(20，200]上取得最大值.
综上可得，当x＝100时，f (x)在区间[0，200]上取得最大值≈3 333.
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/时．
类型4 建立拟合函数模型解决实际问题
【例4】 为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度x与当年灌溉面积y.现有连续10年的实测资料，如表所示．
年序 最大积雪深度x(cm) 灌溉面积y(公顷)
1 15.2 28.6
2 10.4 21.1
3 21.2 40.5
4 18.6 36.6
5 26.4 49.8
6 23.4 45.0
7 13.5 29.2
8 16.7 34.1
9 24.0 45.8
10 19.1 36.9
(1)描点画出灌溉面积随积雪深度变化的图象；
(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型，并画出图象；
(3)根据所建立的函数模型，估计若今年最大积雪深度为25 cm，则可以灌溉土地多少公顷？
[解] (1)描点，作图如图①所示．
(2)从图①可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，设灌溉面积y和最大积雪深度x满足线性模型：y＝a＋bx.取其中的两组数据(10.4，21.1)，(24.0，45.8)，代入y＝a＋bx，即解得a≈2.4，b≈1.8，
所以该函数模型为：y＝2.4＋1.8x.
图①
作出函数图象(如图②)，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映积雪面积与灌溉面积的关系．
图②
(3)由(2)得y＝2.4＋1.8×25，求得y＝47.4，即当积雪深度为25 cm时，可以灌溉土地47.4公顷．
建立拟合函数与预测的基本步骤
[跟进训练]
4．芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物，不仅可美化居室、净化空气，又可美容保健，因此深受人们欢迎，在国内占有很大的市场．某人准备进军芦荟市场，栽培芦荟，为了了解行情，进行市场调研，从4月1日起，芦荟的种植成本Q(单位：元/10 kg)与上市时间t(单位：天)的数据情况如表：
t 50 110 250
Q 150 108 150
(1)根据表中数据，从下列函数中选取一个最能反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝alogbt，并说明理由；
(2)利用你选择的函数，求芦荟种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．
[解] (1)由所提供的数据可知，刻画芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数不可能是常数函数，若用函数Q＝at＋b，Q＝a·bt，Q＝alogbt中的任意一个来反映时都应有a≠0，且上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不符合，所以应选用二次函数Q＝at2＋bt＋c进行描述．将表格所提供的三组数据分别代入函数Q＝at2＋bt＋c，可得：
解得a＝，b＝－，c＝.
所以刻画芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数Q＝t2－t＋.
(2)当t＝－＝150(天)时，芦荟种植成本最低为Q＝×1502－×150＋＝100(元/10 kg)．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)实际问题中两个变量之间一定有确定的函数关系． ( )
(2)函数模型中，要求定义域只需使函数式有意义． ( )
(3)用函数模型预测的结果和实际结果必须相等，否则函数模型就无存在意义了． ( )
[提示] (1)错误．实际问题中的两个变量之间不一定有确定的函数关系．
(2)错误．在函数模型中，函数的定义域除了使函数式有意义，还要满足实际问题的要求．
(3)错误．用函数模型预测结果和实际结果可能不完全相等，但是函数模型也有意义．
[答案] (1)× (2)× (3)×
2．某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的函数解析式为y＝5x＋4 000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为( )
A．200副 B．400副
C．600副 D．800副
D [由5x＋4 000≤10x，解得x≥800，即日产手套至少800副时才不亏本．]
3．随着我国经济的不断发展，2016年年底某偏远地区农民人均年收入为3 000元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6%的年平均增长率增长，那么2023年年底该地区的农民人均年收入为( )
A．3 000×1.06×7元 B．3 000×1.067元
C．3 000×1.06×8元 D．3 000×1.068元
B [根据题意，逐年归纳，总结规律建立关于年份的指数型函数模型，设经过x年，该地区的农民人均年收入为y元，依题意有y＝3 000×1.06x，因为2016年年底到2023年年底经过了7年，故把x＝7代入，即可求得y＝3 000×1.067.故选B.]
4．设在海拔x m处的大气压强为y kPa，y与x的函数关系可近似表示为y＝100eax，已知在海拔1 000 m处的大气压强为90 kPa，则根据函数关系式，在海拔2 000 m处的大气压强为________kPa.
81 [将(1 000，90)代入y＝100eax，可得a＝，y与x的函数关系可近似表示为y＝，当x＝2 000时，y＝100(eln 0.9)2＝81.]
5．新能源汽车包括纯电动汽车、增程式电动汽车、混合动力汽车、燃料电池电动汽车、氢发动机汽车、其他新能源汽车等．它是未来汽车的发展方向．一个新能源汽车制造厂引进了一条新能源汽车整车装配流水线，这条流水线生产的新能源汽车数量x(辆)与创造的价值y(万元)之间满足二次函数关系．已知产量为0时，创造的价值也为0；当产量为40 000辆时，创造的价值达到最大6 000万元．若这家工厂希望利用这条流水线创收达到5 625万元，则它可能生产的新能源汽车数量是________辆．
30 000或50 000 [设二次函数关系为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则根据题意得
解得
故y＝－×10-5x2＋x，
令y＝5 625，解得x＝30 000或x＝50 000.
故答案为30 000或50 000.]
课时分层作业(三十一) 实际问题中的函数模型
一、选择题
1．一个模具厂一年中12月份的产量是1月份产量的m倍，那么该模具厂这一年中产量的月平均增长率是( )
A． B．
C．－1 D．－1
D [设每月的产量增长率为x，1月份产量为a，则a(1＋x)11＝ma，所以1＋x＝，即x＝－1.]
2．某自行车存车处在某一天总共存放车辆4 000辆次，存车费为：电动自行车0.3元/辆，普通自行车0.2元/辆．若该天普通自行车存车x辆次，存车费总收入为y元，则y与x的函数关系式为( )
A．y＝0.2x(0≤x≤4 000)
B．y＝0.5x(0≤x≤4 000)
C．y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)
D．y＝0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)
C [由题意得y＝0.3(4 000－x)＋0.2x＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)．]
3．据报道，某淡水湖的湖水在50年内减少了10%，若按此规律，设该淡水湖今年的湖水量为m，从今年起，经过x年后湖水量y与x的函数关系为( )
A．y＝ B．y＝)m
C．y＝m D．y＝(1－0.150x)m
C [设每年湖水量为上一年的q%，则(q%)50＝0.9.
∴q%＝，
∴x年后的湖水量为y＝m，故选C.]
4．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x，y应为( )
A．x＝15，y＝12 B．x＝12，y＝15
C．x＝14，y＝10 D．x＝10，y＝14
A [由三角形相似得＝，
得x＝(24－y)，
∴S＝xy＝－(y－12)2＋180(8≤y<24)．
∴当y＝12时，S有最大值，此时x＝15.]
5．(多选)某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费)；超过3 km 但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．下列结论正确的是( )
A．出租车行驶4 km，乘客需付费9.6元
B．出租车行驶10 km，乘客需付费25.45元
C．某人乘出租车行驶5 km两次的费用超过他乘出租车行驶10 km一次的费用
D．某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了9 km
BCD [在A中，出租车行驶4 km，乘客需付费8＋1×2.15＋1＝11.15(元)，A错误；在B中，出租车行驶10 km，乘客需付费8＋2.15×5＋2.85×(10－8)＋1＝25.45(元)，B正确；在C中，乘出租车行驶5 km，乘客需付费8＋2×2.15＋1＝13.30(元)，乘坐两次需付费26.6元，26.6>25.45，C正确；在D中，设出租车行驶x km时，付费y元，由8＋5×2.15＋1＝19.75<22.6知x>8，因此由y＝8＋2.15×5＋2.85(x－8)＋1＝22.6，解得x＝9，D正确．]
二、填空题
6．用一根长为12 m的铁丝弯成一个矩形的铁框架，则能弯成的框架的最大面积是________m2.
9 [设矩形的一边长为x m，则与这条边垂直的边长为 m，
所以矩形面积S＝x·＝－x2＋6x(07．工厂生产某种产品的月产量y(万件)与月份x满足关系y＝a·0.5x＋b，现已知该厂今年1月份，2月份生产该产品分别为1万件，1.5万件，则此工厂3月份生产该产品的产量为________万件．
1.75 [由题意有解得
∴y＝－2×0.5x＋2，
∴3月份产量为y＝－2×0.53＋2＝1.75(万件)．]
8．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批后方可投入生产．已知该生产线连续生产n年的累计产量为f (n)＝n(n＋1)(2n＋1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是________年．
7 [由题意知，第一年产量为a1＝×1×2×3＝3，
以后各年产量分别为an＝f (n)－f (n－1)＝n(n＋1)(2n＋1)－n(n－1)(2n－1)＝3n2(n∈N*)，
令3n2≤150，得1≤n≤5 1≤n≤7，故生产期限最长为7年．]
三、解答题
9．某公司试销某种“上海世博会”纪念品，每件按30元销售，可获利50%，设每件纪念品的成本为a元．
(1)试求a的值；
(2)公司在试销过程中进行了市场调查，发现销售量y(件)与每件销售价x(元)满足关系y＝－10x＋800．设每天销售利润为W(元)，求每天销售利润W(元)与每件销售价x(元)之间的函数解析式；当每件售价为多少时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？
[解] (1)∵按30元销售，可获利50%，∴a(1＋50%)＝30，解得a＝20.
(2)∵销售量y(件)与每件销售价x(元)满足关系y＝－10x＋800，则每天销售利润W(元)与每件销售价x(元)满足W＝(－10x＋800)(x－20)＝－10x2＋1 000x－16 000＝－10(x－50)2＋9 000，
故当x＝50时，W取最大值9 000，
即每件销售价为50元时，每天获得的利润最大，最大利润是9 000元．
10．国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若旅行团人数在30人或30人以下，每人需交费用900元；若旅行团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，人均费用减少10元，直到达到规定人数75人为止．旅行社需支付各种费用共计15 000元．
(1)写出每人需交费用y关于人数x的函数；
(2)旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
[解] (1)当0即y＝
(2)设旅行社所获利润为S元，则当0当30＝－10x2＋1 200x－15 000；
即S＝
因为当0当30即x＝60时，Smax＝21 000>12 000.
所以当旅行团人数为60时，旅行社可获得最大利润．
11．(多选)如图①是反映某条公交线路收支差额(即营运所得票价收入与付出成本的差)y与乘客量x之间关系的图象．由于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议，如图②③所示．
图① 图② 图③
则下列说法中，正确的有( )
A．图②的建议：提高成本，并提高票价
B．图②的建议：降低成本，并保持票价不变
C．图③的建议：提高票价，并保持成本不变
D．图③的建议：提高票价，并降低成本
BC [根据题意和图②知，两直线平行即票价不变，直线向上平移说明当乘客量为0时，收入是0，但是支出变少了，即说明此建议是降低成本而保持票价不变，故B正确；由图③可以看出，当乘客量为0时，支出不变，但是直线的倾斜角变大，即相同的乘客量时收入变大，即票价提高了，即说明此建议是提高票价而保持成本不变，故C正确．]
12．某公园要建造一个直径为20 m的圆形喷水池，计划在喷水池的周边靠近水面的位置安装一圈喷水头，使喷出的水柱在离池中心2 m处达到最高，最高的高度为8 m．另外还要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷来的水柱在此处汇合，则这个装饰物的高度应该为( )
A．5 m B．3.5 m
C．5.5 m D．7.5 m
D [根据题意易知，水柱上任意一个点距水池中心的水平距离为x，与此点的高度y之间的函数关系式是：y＝a1(x＋2)2＋8(－10≤x＜0)或y＝a2(x－2)2＋8(0≤x≤10)，由x＝－10，y＝0，可得a1＝－；由x＝10，y＝0，可得a2＝－，于是所求函数解析式是y＝－(x＋2)2＋8(－10≤x<0)或y＝－(x－2)2＋8(0≤x≤10)．当x＝0时，y＝7.5，∴装饰物的高度为7.5 m．故选D.]
13．某市居民生活用水收费标准如下：
用水量x/t 每吨收费标准/元
不超过2 t部分 m
超过2 t不超过4 t部分 3
超过4 t部分 n
已知某用户1月份用水量为8 t，缴纳的水费为33元；2月份用水量为6 t，缴纳的水费为21元．设用户每月缴纳的水费为y元．
(1)若某用户3月份用水量为3.5 t，则该用户需缴纳的水费为________元；
(2)若某用户希望4月份缴纳的水费不超过24元，则该用户最多可以用水________吨．
(1)7.5 (2)6.5 [(1)由题设可得
y＝
当x＝8时，y＝33；当x＝6时，y＝21，
代入得
解得
所以y关于x的函数解析式为
y＝
当x＝3.5时，y＝3×3.5－3＝7.5.
故该用户3月份需缴纳的水费为7.5元．
(2)令6x－15≤24，解得x≤6.5.
故该用户最多可以用6.5 t水．]
14．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(米/秒)和燃料的质量M(千克)、火箭(除燃料外)的质量m(千克)的函数关系式是v＝2 000·ln .当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12千米/秒．
e6－1 [当v＝12 000时，2 000·ln
＝12 000，∴ln ＝6，
∴＝e6－1.]
15．某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商店一种小物品的销售情况的调查发现：该小物品在过去的一个月内(以30天计)每件的销售价格P(x)(单位：元)与时间x(单位：天)的函数关系近似满足P(x)＝1＋(k为正常数)，日销售量Q(x)(单位：件)与时间x(单位：天)的部分数据如下表所示：
x/天 10 20 25 30
Qx/件 110 120 125 120
已知第10天的日销售收入为121元．
(1)求k的值；
(2)给出以下四种函数模型：
①Q(x)＝ax＋b，②Q(x)＝a|x－25|＋b，③Q(x)＝a·bx，④Q(x)＝a·logbx.
请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述日销售量Q(x)与时间x的变化关系，并求出该函数的解析式；
(3)求该小物品的日销售收入(单位：元)f (x)的最小值．
[解] (1)依题意知第10天的日销售收入为P(10)·Q(10)＝×110＝121，解得k＝1.
(2)由表中的数据知，当时间变化时，日销售量有增有减并不单调，故只能选②Q(x)＝a|x－25|＋b.从表中任意取两组值代入可求得Q(x)＝125－|x－25|(1≤x≤30，x∈N＋)．
(3)由(2)知Q(x)＝125－|x－25|
＝
所以f (x)＝P()·Q()
＝
当1≤x<25时，y＝x＋在[1，10]上单调递减，在[10，25)上单调递增，所以当x＝10时，f (x)取得最小值，f (x)min＝121；
当25≤x≤30时，y＝－x为减函数，所以当x＝30时，f (x)取得最小值，f (x)min＝124.
综上所述，当x＝10时，f (x)取得最小值，f (x)min＝121.
所以该小物品的日销售收入的最小值为121元．
