§2 常用逻辑用语
2.1 必要条件与充分条件
学习任务 核心素养
1．通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系．(重点) 2．通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系．(重点) 3．通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系．(重点、难点) 1．通过必要条件、充分条件的判断，提升逻辑推理素养． 2．借助必要条件、充分条件的应用，培养数学运算素养．
1．什么是必要条件？
2．什么是充分条件？
3．什么是充要条件？
知识点1 必要条件与性质定理
一般地，当命题“若p，则q”是真命题时，称q是p的必要条件．也就是说，一旦q不成立，p一定也不成立，即q对于p的成立是必要的．
知识点2 充分条件与判定定理
一般地，当命题“若p，则q”是真命题时，称p是q的充分条件．
综上，对于真命题“若p，则q”，即p q时，称q是p的必要条件，也称p是q的充分条件．
1．(1)若p是q的充分条件，这样的条件p是唯一的吗？
(2)以下五种表述形式：①p q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗？
[提示] (1)不唯一，如1＜x＜3和x＞5，2＜x＜7等都是x＞0的充分条件．
(2)这五种表述形式是等价的．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)“两角不相等”是“两角不是对顶角”的必要条件． ( )
(2)若p是q的充分条件，则p是唯一的． ( )
(3)若q不是p的必要条件，则“pq”成立． ( )
(4)“x>1”是“x>0”的充分条件． ( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
2．设集合M＝{x|0
[答案] 必要
知识点3 充要条件
(1)一般地，如果p q，且q p，那么称p是q的充分且必要条件，简称p是q的充要条件，记作p q．
(2)p是q的充要条件也常常说成“p成立当且仅当q成立”，或“p与q等价”．
(3)当p是q的充要条件时，q也是p的充要条件．
2．(1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？
(2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？
[提示] (1)正确．若p是q的充要条件，则p q，即p等价于q.
(2)①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论．
②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论．
3．“x<2”是“<0”的( )
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] A
4．设p：“四边形为菱形”，q：“四边形的对角线互相垂直”，则p是q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] A
5．若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的________条件．
[答案] 充要
类型1 充分、必要、充要条件的判断
【例1】 下列各题中，p是q的什么条件？(指充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要条件)
(1)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝；
(2)p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直平分；
(3)p：xy>0，q：x>0，y>0；
(4)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形．
[解] (1)因为x＝1或x＝2 x－1＝，x－1＝ x＝1或x＝2，所以p是q的充要条件．
(2)若一个四边形是正方形，则它的对角线互相垂直平分，即p q.反之，若四边形的对角线互相垂直平分，该四边形不一定是正方形，即qp.
所以p是q的充分不必要条件．
(3)因为xy>0时，x>0，y>0或x<0，y<0.
故pq，但q p.
所以p是q的必要不充分条件．
(4)因为
所以p是q的既不充分也不必要条件．
充分、必要、充要条件的判断方法
(1)定义法
若p q，qp，则p是q的充分不必要条件；
若pq，q p，则p是q的必要不充分条件；
若p q，q p，则p是q的充要条件；
若pq，qp，则p是q的既不充分也不必要条件．
(2)集合法
对于集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，具体情况如下：
若A B，则p是q的充分条件；
若A B，则p是q的必要条件；
若A＝B，则p是q的充要条件；
若A?B，则p是q的充分不必要条件；
若A?B，则p是q的必要不充分条件．
[跟进训练]
1．(1)已知m，n∈R，则“－1＝0”是“m－n＝0”成立的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)(多选)下列选项中，是“a＞1”的充分不必要条件的是( )
A．a＞2 B．a＞3
C．a＜2 D．a＜3
(1)A (2)AB [(1)由－1＝0可得到m－n＝0，但m－n＝0成立，－1＝0不一定成立，如m＝n＝0时，－1＝0不成立，
因此“－1＝0”是“m－n＝0”的充分不必要条件．故选A.
(2)对于A，{a|a＞2}是{a|a＞1}的真子集，故“a＞2”是“a＞1”的充分不必要条件，故A正确；
对于B，{a|a＞3}是{a|a＞1}的真子集，故“a＞3”是“a＞1”的充分不必要条件，故B正确；
对于C，a＜2不能推出a＞1，a＞1也不能推出a＜2，故“a＜2”是“a＞1”的既不充分也不必要条件，故C错误；
对于D，同理可知“a＜3”是“a＞1”的既不充分也不必要条件，故D错误．故选AB.]
类型2 必要条件、充分条件的应用
【例2】 已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
[解] 由p是q的充分不必要条件，得集合{x|－2≤x≤10}是集合{x|1－m≤x≤1＋m}的真子集，
所以或
解得m≥9.
所以实数m的取值范围是m≥9.
[母题探究]
1．把本例中的“p是q的充分不必要条件”改为“p是q的必要不充分条件”，其他条件不变，试求实数m的取值范围．
[解] 由p是q的必要不充分条件，得集合{x|1－m≤x≤1＋m}是集合{x|－2≤x≤10}的真子集，
当＝ ，即m<0时，符合题意；
当≠ ，即m≥0时，
可得
或
解得0≤m≤3.
综上得，实数m的取值范围是m≤3.
2．本例中，是否存在实数m，使p是q的充要条件，若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．
[解] 若p是q的充要条件，
则＝，即
由于该方程组无解，所以实数m不存在．
利用必要条件与充分条件求参数的取值范围的步骤
(1)化简p与q；
(2)把p与q之间的关系转化为相应集合之间的关系；
(3)利用集合之间的关系建立不等式；
(4)解不等式求出参数的取值范围．
类型3 充要条件的探求与证明
【例3】 求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是<0.
[证明] ①必要性：因为方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，所以两根之积小于零，即<0.
②充分性：由<0，得ac<0，所以Δ＝b2－4ac>0，所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，设这两个实根分别为x1，x2，由一元二次方程根与系数的关系得x1x2＝<0，所以两根异号．
综上所述，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是<0.
充要条件的证明思路
(1)在证明有关充要条件的问题时，通常从“充分性”和“必要性”两个方面来证明．在证明时，要注意：若证明“p的充要条件是q”，那么“充分性”是q p，“必要性”是p q；若证明“p是q的充要条件”，则与之相反．
(2)证明充要条件问题，其实质就是证明一个命题的原命题和其逆命题都成立．若不易直接证明，可根据命题之间的关系进行等价转换，然后加以证明．
注意：证明时一定要注意证明的方向性，分清充分性与必要性的证明方向．
[跟进训练]
2．求证：关于x的方程ax3＋bx2＋cx＋d＝0有一根为1的充要条件是a＋b＋c＋d＝0.
[证明] 充分性：∵a＋b＋c＋d＝0，
∴a×13＋b×12＋c×1＋d＝0成立，
故x＝1是方程ax3＋bx2＋cx＋d＝0的一个根．
必要性：关于x的方程ax3＋bx2＋cx＋d＝0有一个根为1，
∴a＋b＋c＋d＝0.
综上所述，关于x的方程ax3＋bx2＋cx＋d＝0有一根为1的充要条件是a＋b＋c＋d＝0.
1．设x∈R，则“1A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B [“12．“两个三角形面积相等”是“两个三角形全等”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B [由两个三角形全等可得：两个三角形面积相等．反之不成立．
即“两个三角形面积相等”是“两个三角形全等”的必要不充分条件．故选B.]
3．设a，b是实数，则“a＋b>0”是“ab>0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
D [若a＋b>0，取a＝3，b＝－2，则ab>0不成立；反之，若ab>0，取a＝－2，b＝－3，则a＋b>0也不成立，因此“a＋b>0”是“ab>0”的既不充分也不必要条件．]
4．在判定定理中，条件是结论的________条件．
[答案] 充分
5．若“x<－1”是“x≤a”的必要不充分条件，则a的取值范围是________．
{a|a<－1} [若“x<－1”是“x≤a”的必要不充分条件，
则{x|x≤a}?{x|x<－1}，则a<－1，
即实数a的取值范围是{a|a<－1}．]
课时分层作业(六) 必要条件与充分条件
一、选择题
1．“x>0”是“x≠0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
A [若x>0，则x≠0.
若x≠0，则x＞0或x＜0，
所以x>0是x≠0的充分不必要条件，故选A.]
2．若a∈R，则“a<1”是“>1”成立的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
B [由>1，得01”的必要不充分条件，故选B.]
3．(多选)x2＝1的充分不必要条件是( )
A．x＝±1 B．x＝1
C．x＝－1 D．x≠1且x≠－1
BC [解方程x2＝1，得x＝±1，所以x＝1是x2＝1的充分不必要条件，x＝－1也是x2＝1的充分不必要条件．故选BC.]
4．设a∈R，则a＞4的一个必要不充分条件是( )
A．a＞1 B．a＜1
C．a＞5 D．a＜5
A [由a＞4可得a＞1，但a＞1成立，a＞4不一定成立，
因此“a＞1”是“a＞4”的必要不充分条件．故选A.]
5．(2023·天津高考)“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
B [法一：若a2＝b2，则当a＝－b≠0时，有a2＋b2＝2a2，2ab＝－2a2，即a2＋b2≠2ab，所以由a2＝b2D/ a2＋b2＝2ab；若a2＋b2＝2ab，则有a2＋b2－2ab＝0，即(a－b)2＝0，所以a＝b，则有a2＝b2，即a2＋b2＝2ab a2＝b2．所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件．故选B.
法二：因为“a2＝b2” “a＝－b或a＝b”，“a2＋b2＝2ab” “a＝b”，所以本题可以转化为判断“a＝－b或a＝b”与“a＝b”的关系，又“a＝－b或a＝b”是“a＝b”的必要不充分条件，所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件．故选B.]
二、填空题
6．在△ABC中，“∠B＝∠C”是“△ABC是等腰三角形”的________条件．
[答案] 充分不必要
7．若“1－x<0”是“x>a”的充分条件，则实数a的取值范围是________．
a≤1 [由题意得， ，故a≤1.]
8．在下列四个结论中，正确的是________．(填序号)
①“x≠0”是“x＋|x|＞0”的必要不充分条件；
②已知a，b∈R，则“|a＋b|＝|a|＋|b|”的充要条件是ab＞0；
③“a≠0，Δ＝b2－4ac＜0”是“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0无实数根”的充要条件；
④“x≠1”是“x2≠1”的充分不必要条件．
①③ [对于①，当x<0时，x＋＝0，且当x＋|x|＞0时，x＞0，可推出x≠0，故①正确；
对于②，当ab＝0时，＝，故②错误；
对于④，当x＝－1时，x2＝1，故④错误；
只有①③正确．]
三、解答题
9．是否存在实数m，使2x＋m<0是x2>1的充分条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．
[解] 由x2>1，得x>1或x<－1，
要使2x＋m<0是x2>1的充分条件，
只需 ，
即只需－≤－1，解得m≥2.
所以，存在实数m≥2，使2x＋m<0是x2>1的充分条件．
10．求证：关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充要条件是m≥2.
[证明] (1)充分性：因为m≥2，所以Δ＝m2－4≥0，
方程x2＋mx＋1＝0有两个实根，设两个实根为x1，x2，
由根与系数的关系知x1x2＝1>0，
所以x1，x2同号；
又因为x1＋x2＝－m≤－2，
所以x1，x2同为负根．
(2)必要性：因为x2＋mx＋1＝0的两个实根x1，x2均为负，且x1x2＝1，
所以m－2＝－(x1＋x2)－2＝－－2＝＝－≥0，
所以m≥2，
综合(1)，(2)知命题得证．
11．关于x的方程x2－4x＋a＝0没有实数根的一个充分不必要条件是( )
A．a＞4 B．a＜4
C．a＞5 D．a＜5
C [方程x2－4x＋a＝0没有实数根的充要条件是Δ＝16－4a＜0，即a＞4.又a＞4的一个充分不必要条件是a＞5，故选C.]
12．(多选)设计如图所示的四个电路图，若p：开关S闭合，q：灯泡L亮，则p是q的充要条件的电路图是( )
A B C D
BD [由题知，电路图A中，开关S闭合，灯泡L亮，而灯泡L亮开关S不一定闭合，故A中p是q的充分不必要条件；电路图B中，开关S闭合，灯泡L亮，且灯泡L亮，则开关S一定闭合，故B中p是q的充要条件；电路图C中，开关S闭合，灯泡L不一定亮，灯泡L亮则开关S一定闭合，故C中p是q的必要不充分条件；电路图D中，开关S闭合则灯泡L亮，灯泡L亮则一定有开关S闭合，故D中p是q的充要条件．故选BD.]
13．已知集合A＝{x|x>5}，集合B＝{x|x>a}，若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．
a<5 [由题意得，A是B的真子集，故a<5.]
14．下列不等式：①x<1；②0－1．其中，可以作为x2<1的一个充分不必要条件的所有序号为________；可以作为x2<1的一个必要不充分条件的所有序号为________.
②③ ①⑤ [由x2<1，得－1－1}，所以x<1和x>－1均可作为x2<1的一个必要不充分条件．]
15．求证：方程x2＋ax＋1＝0(x∈R)的两实根的平方和大于3的必要条件是|a|>，这个条件是其充分条件吗？为什么？
[证明] ∵方程x2＋ax＋1＝0(a∈R)有两实根，
则Δ＝a2－4≥0，∴a≤－2或a≥2.
设方程x2＋ax＋1＝0的两实根分别为x1，x2，
则＝(x1＋x2)2－2x1x2＝a2－2＞3.
∴|a|＞>.
∴方程x2＋ax＋1＝0(a∈R)的两实根的平方和大于3的必要条件是|a|>；
但a＝2时＝2＜3．因此这个条件不是其充分条件．(共28张PPT)
2.1 必要条件与充分条件
§2 常用逻辑用语
第一章 预备知识
学习任务 核心素养
1．通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系．(重点)
2．通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系．(重点)
3．通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系．(重点、难点) 1．通过必要条件、充分条件的判断，提升逻辑推理素养．
2．借助必要条件、充分条件的应用，培养数学运算素养．
2.1 必要条件与充分条件
必备知识·情境导学探新知
1．什么是必要条件？
2．什么是充分条件？
3．什么是充要条件？
知识点1 必要条件与性质定理
一般地，当命题“若p，则q”是真命题时，称__是__的必要条件．也就是说，一旦q不成立，p一定也不成立，即__对于__的成立是必要的．
知识点2 充分条件与判定定理
一般地，当命题“若p，则q”是真命题时，称__是__的充分条件．
综上，对于真命题“若p，则q”，即p q时，称q是p的____条件，也称p是q的____条件．
q
p
q
p
p
q
必要
充分
思考1．(1)若p是q的充分条件，这样的条件p是唯一的吗？
(2)以下五种表述形式：①p q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗？
[提示] (1)不唯一，如1＜x＜3和x＞5，2＜x＜7等都是x＞0的充分条件．
(2)这五种表述形式是等价的．
体验1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)“两角不相等”是“两角不是对顶角”的必要条件． ( )
(2)若p是q的充分条件，则p是唯一的． ( )
(3)若q不是p的必要条件，则“p q”成立． ( )
(4)“x>1”是“x>0”的充分条件． ( )
体验2．设集合M＝{x|0×
×
√
√
必要
知识点3 充要条件
(1)一般地，如果______，且______，那么称p是q的充分且必要条件，简称p是q的充要条件，记作______．
(2)p是q的充要条件也常常说成“p成立当且仅当q成立”，或“p与q____”．
(3)当p是q的充要条件时，q也是p的____条件．
p q
q p
p q
等价
充要
思考2．(1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？
(2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？
[提示] (1)正确．若p是q的充要条件，则p q，即p等价于q.
(2)①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论．
②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论．
√
体验4．设p：“四边形为菱形”，q：“四边形的对角线互相垂直”，则p是q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
√
体验5．若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的_________条件．
充要
关键能力·合作探究释疑难
反思领悟 充分、必要、充要条件的判断方法
(1)定义法
若p q，q p，则p是q的充分不必要条件；
若p q，q p，则p是q的必要不充分条件；
若p q，q p，则p是q的充要条件；
若p q，q p，则p是q的既不充分也不必要条件．
(2)集合法
对于集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，具体情况如下：
若A B，则p是q的充分条件；
若A B，则p是q的必要条件；
若A＝B，则p是q的充要条件；
若A B，则p是q的充分不必要条件；
若A B，则p是q的必要不充分条件．
√
√
√
类型2 必要条件、充分条件的应用
【例2】 已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
[母题探究]
1．把本例中的“p是q的充分不必要条件”改为“p是q的必要不充分条件”，其他条件不变，试求实数m的取值范围．
2．本例中，是否存在实数m，使p是q的充要条件，若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．
反思领悟 利用必要条件与充分条件求参数的取值范围的步骤
(1)化简p与q；
(2)把p与q之间的关系转化为相应集合之间的关系；
(3)利用集合之间的关系建立不等式；
(4)解不等式求出参数的取值范围．
反思领悟 充要条件的证明思路
(1)在证明有关充要条件的问题时，通常从“充分性”和“必要性”两个方面来证明．在证明时，要注意：若证明“p的充要条件是q”，那么“充分性”是q p，“必要性”是p q；若证明“p是q的充要条件”，则与之相反．
(2)证明充要条件问题，其实质就是证明一个命题的原命题和其逆命题都成立．若不易直接证明，可根据命题之间的关系进行等价转换，然后加以证明．
注意：证明时一定要注意证明的方向性，分清充分性与必要性的证明方向．
[跟进训练]
2．求证：关于x的方程ax3＋bx2＋cx＋d＝0有一根为1的充要条件是a＋b＋c＋d＝0.
[证明] 充分性：∵a＋b＋c＋d＝0，
∴a×13＋b×12＋c×1＋d＝0成立，
故x＝1是方程ax3＋bx2＋cx＋d＝0的一个根．
必要性：关于x的方程ax3＋bx2＋cx＋d＝0有一个根为1，
∴a＋b＋c＋d＝0.
综上所述，关于x的方程ax3＋bx2＋cx＋d＝0有一根为1的充要条件是a＋b＋c＋d＝0.
学习效果·课堂评估夯基础
√
1．设x∈R，则“1A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2
4
3
题号
1
5
B [“12．“两个三角形面积相等”是“两个三角形全等”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
√
2
4
3
题号
1
5
B [由两个三角形全等可得：两个三角形面积相等．反之不成立．
即“两个三角形面积相等”是“两个三角形全等”的必要不充分条件．故选B.]
3．设a，b是实数，则“a＋b>0”是“ab>0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
√
2
4
3
题号
1
5
D [若a＋b>0，取a＝3，b＝－2，则ab>0不成立；反之，若ab>0，取a＝－2，b＝－3，则a＋b>0也不成立，因此“a＋b>0”是“ab>0”的既不充分也不必要条件．]
4．在判定定理中，条件是结论的________条件．
2
4
3
题号
1
5
充分
2
4
3
题号
1
5．若“x<－1”是“x≤a”的必要不充分条件，则a的取值范围是_________．
5
{a|a<－1} [若“x<－1”是“x≤a”的必要不充分条件，
则{x|x≤a} {x|x<－1}，则a<－1，
即实数a的取值范围是{a|a<－1}．]
{a|a<－1}