§3 不等式
3.1 不等式的性质
学习任务 核心素养
1．梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质．(重点) 2．能利用不等式的性质对不等式进行简单的变形．(重点、难点) 1．通过实数大小的比较及不等式性质的证明，培养逻辑推理素养． 2．借助不等式性质的应用，提升数学运算素养．
1．如何比较两个实数的大小？
2．等式的基本性质有哪些？
3．不等式的基本性质有哪些？
知识点1 实数a，b大小比较的基本事实
1．文字叙述
如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b等于0，那么a＝b；如果a－b是负数，那么a
2．符号表示
a－b>0 a>b；a－b＝0 a＝b；a－b<0 a1．(1)两个实数a，b之间，有且只有a＞b，a＝b，a＜b三种关系中的一种吗？
(2)p q的含义是什么？
[提示] (1)是．
(2)p q的含义是：p可以推出q，q也可以推出p，即p与q可以互推．
1.当m>1时，m3与m2－m＋1的大小关系为________．
m3>m2－m＋1 [m3－(m2－m＋1)
＝m3－m2＋m－1＝m2(m－1)＋(m－1)
＝(m－1)(m2＋1)．
∵m>1，故(m－1)(m2＋1)>0.]
知识点2 不等式的性质
性质1：如果a>b，且b>c，那么a>c．
性质2：如果a>b，那么a＋c>b＋c.
性质3：(1)如果a>b，c>0，那么ac>bc；
(2)如果a>b，c<0，那么ac性质4：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.
性质5：(1)如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd；
(2)如果a>b>0，c性质6：当a>b>0时，>，其中n∈N＋，n≥2.
2．(1)同向不等式相加与相乘的条件是一致的吗？
(2)若a>b，c>d，那么ac>bd成立吗？
[提示] (1)不一致，同向不等式相乘时各项均为正数．
(2)不一定，但当a>b>0，c>d>0时，一定成立．
2．已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系是( )
A．a>b>－b>－a
B．a>－b>－a>b
C．a>－b>b>－a
D．a>b>－a>－b
[答案] C
3．下列命题正确的是( )
A．a>b，c≠0 ac2>bc2
B．aC．a>b且cb＋d
D．a>b a2>b2
[答案] A
4．若a>b>0，n>0，则________.(填“>”“<”或“＝”)
[答案] <
类型1 数式的大小比较
【例1】 (1)已知x<1，比较x3－1与2x2－2x的大小；
(2)已知a>0，试比较a与的大小．
[解] (1)(x3－1)－(2x2－2x)
＝(x－1)(x2＋x＋1)－2x(x－1)
＝(x－1)(x2－x＋1)
＝(x－1).
∵x<1，∴x－1<0.
又＋>0，
∴(x－1)<0.
即x3－1<2x2－2x.
(2)a－＝＝，
∵a>0，
∴当a>1时，>0，有a>；
当a＝1时，＝0，有a＝；
当0综上，当a>1时，a>；
当a＝1时，a＝；
当0 1．利用作差法比较大小的四个步骤
(1)作差：对要比较大小的两个式子作差．
(2)变形：对差式通过通分、因式分解、配方等手段进行变形．
(3)判断符号：对变形后的结果结合题设条件判断出差的符号．
(4)作出结论．
注意：上述步骤可概括为“三步一结论”，这里的“判断符号”是目的，“变形”是关键．其中变形的技巧较多，常见的有因式分解法、配方法、有理化法等．
2．作商法比较大小
如果两实数同号，亦可采用作商法来比较大小，即作商后看商是大于1，等于1，还是小于1．方法图示如下：
依据 a>0，b>0 >1 a>b； ＝1 a＝b； <1 a1 ab
应用范围 同号两数比较大小或分式、积、幂之间比较大小
步骤 (1)作商；(2)变形；(3)判断商值与1的大小；(4)下结论
[跟进训练]
1．若x∈R，y∈R，则( )
A．x2＋y2>2xy－1 B．x2＋y2＝2xy－1
C．x2＋y2<2xy－1 D．x2＋y2≤2xy－1
A [因为x2＋y2－(2xy－1)＝x2－2xy＋y2＋1＝(x－y)2＋1>0，所以x2＋y2>2xy－1，故选A.]
2．已知a，b为正实数，试比较与的大小．
[解] 由于－()＝＝＝＝，再由a，b为正实数可得＞0，＞0，()2≥0，可得≥0，所以，当且仅当a＝b时，取等号．
类型2 不等式的性质
【例2】 (1)对于实数x，y，z，下列结论正确的是( )
A．若x＞y，则xz2＞yz2
B．若y＜z＜0，则＞
C．若x＜y＜0，则＜
D．若x＜y＜0，则x2＞xy＞y2
(2)若c>a>b>0，求证：>.
(1)D [对于A，当z＝0时，xz2＝yz2，故A错误．
对于B，＞1，0＜＜1，因此，＜，故B错误．
对于C，当x＜y＜0时，＞，故C错误．
对于D，由x＜y＜0得，x2＞xy，xy＞y2，
因此x2＞xy＞y2，故D正确.]
(2)证明：因为a>b>0 －a<－b c－a因为c>a，所以c－a>0.
所以0上式两边同乘，得>>0.
又因为a>b>0，所以>.
1．利用不等式的性质判断正误的2种方法
(1)直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质或函数的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可．
(2)特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性．
2．利用不等式的性质证明不等式的注意事项
(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．
(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．
[跟进训练]
3．已知a>b>c，且a＋b＋c＝0，则下列不等式恒成立的是( )
A．ab>bc B．ac>bc
C．ab>ac D．a|b|>|b|c
C [因为a>b>c，且a＋b＋c＝0，所以a>0，c<0，所以ab>ac.]
4．若a>b>0，c.
[证明] ∵c－d>0.
又a>b>0，∴a－c>b－d>0，
则(a－c)2>(b－d)2>0，
两边同乘，
得0<<.
又e<0，
∴>.
类型3 不等式的性质的应用
【例3】 已知12＜a＜60，15＜b＜36，求a－b，的取值范围．
[解] ∵15＜b＜36，∴－36＜－b＜－15.
又12＜a＜60，∴12－36＜a－b＜60－15.
∴－24＜a－b＜45.
又＜＜，∴＜＜.∴＜＜4.
[母题探究]
1．在例3的条件下，求a－b的取值范围．
[解] ∵12＜a＜60，15＜b＜36，
∴6∴－62．若将本例中的条件改为“2≤a－b≤4，1≤a＋b≤2”，求2a－b的取值范围．
[解] 设2a－b＝m(a－b)＋n(a＋b)，
即2a－b＝(m＋n)a＋(n－m)b.
于是解得
∴2a－b＝.
又∵2≤a－b≤4，1≤a＋b≤2，
∴≤7.
即≤2a－b≤7.
求代数式的范围时，先用已知的代数式表示目标式，再利用“若等式恒成立，则等式两边对应项系数相等”求出待定系数的取值，最后利用不等式的性质求出目标式的范围．
[跟进训练]
5．已知－1≤a＋b≤1，1≤a－2b≤3，求a＋3b的取值范围．
[解] 设a＋3b＝λ1(a＋b)＋λ2(a－2b)＝(λ1＋λ2)a＋(λ1－2λ2)b，
解得λ1＝，λ2＝－.
又－(a＋b)≤，－2≤－(a－2b)≤－，
所以－≤a＋3b≤1.
故a＋3b的取值范围为－≤a＋3b≤1.
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)不等式 x≥2 的含义是指x不小于2． ( )
(2)若 a>b，则ac>bc． ( )
(3)当n∈N*时，若a>b，则an>bn． ( )
[答案] (1)√ (2)× (3)×
2．设P＝3x2－x＋1，Q＝2x2＋x则( )
A．P≥Q B．P≤Q
C．P>Q D．PA [因为P－Q＝x2－2x＋1＝≥0，所以P≥Q.]
3．若abcd<0，且a>0，b>c，d<0，则( )
A．b<0，c<0 B．b>0，c>0
C．b>0，c<0 D．0D [由a>0，d<0，且abcd<0，知bc>0，
又∵b>c，∴04．已知A＝a2＋b2－4a＋2b＋5，则A与0的大小关系是________．
A≥0 [A＝a2＋b2－4a＋2b＋5＝＋≥0.]
5．若x＜y＜0，则(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)(x＋y)的大小关系是________．
> [(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)
＝(x－y)[(x2＋y2)－(x＋y)2]＝－2xy(x－y)．
∵x＜y＜0，∴xy＞0，x－y＜0，
∴－2xy(x－y)＞0，
∴(x2＋y2)(x－y)＞(x2－y2)(x＋y)．]
课时分层作业(八) 不等式的性质
一、选择题
1．限速40 km/h的路标，提示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h，写成不等式就是( )
A．v<40 B．v≤40
C．v>40 D．v≥40
B [不超过即小于或等于．]
2．已知a>b>c>0，若P＝，Q＝，则( )
A．P≥Q B．P≤Q
C．P>Q D．PD [由a>b>c>0，得a－c>b－c>0，①
>>0，②
两式相乘，得>.则P3．已知－1<α<0，1<β<2，则－β的范围为( )
A． B．
C．(－1，0) D．(－1，1)
A [－<<0，－2<－β<－1，
同向不等式相加，得－<－β<－1.]
4．已知a＝，b＝，则下列关系正确的是( )
A．a＞b B．a≤b
C．a≥b D．a＜b
D [a＝，b＝，
∵＞＞0，
∴＜，即a＜b，故选D.]
5．(多选)已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是( )
A．若a>b，c>d，则ac>bd
B．若ab>0，bc－ad>0，则>0
C．若a>b，c>d，则a－d>b－c
D．若a>b，c>d>0，则>
BC [若a>0>b，0>c>d，则ac0，bc－ad>0，则>0，化简得>0，故B正确；若c>d，则－d>－c，又a>b，则a－d>b－c，故C正确；若a＝－1，b＝－2，c＝2，d＝1，则＝－1，＝－1，＝＝－1，故D错误．故选BC.]
二、填空题
6．b克糖水中有a克糖(b＞a＞0)，若再加入m克糖(m＞0)，则糖水更甜了，试根据这个事实写出一个不等式________．
[答案] >
7．已知1＜a＜2，3＜b＜5，则的取值范围是________．
＜＜ [∵3＜b＜5，∴＜＜.又1＜a＜2，∴＜＜.]
8．设a＝2－，b＝－2，c＝5－2，则a，b，c之间的大小关系为________．
c>b>a [a＝2－＝<0，b＝－a>0，c＝>0，
由b－c＝3－7＝<0，得b所以c>b>a.]
三、解答题
9．已知a>b，e>f ，c>0，求证：f －ac[证明] ∵a>b，c>0，
∴ac>bc.∴－bc>－ac.又∵e>f ，
∴e－bc>f －ac.即f －ac10．已知a＞0，b＞0，试比较M＝与N＝的大小．
[解] 因为
M－N＝
＝
＝＝(a－b)
＝－.
因为a＞0，b＞0，
所以(1＋a)(1＋b)＞0，－(a－b)2≤0，得M－N≤0，当a＝b时，M＝N；
当a≠b时，M＜N.
11．已知a＝，b＝4，c＝，则a，b，c的大小关系为( )
A．a＞b＞c B．c＞a＞b
C．c＞b＞a D．b＞c＞a
D [∵a2＝8＋，b2＝16＝8＋，c2＝8＋，
∴b2＞c2＞a2，
又a＞0，b＞0，c＞0，
∴b＞c＞a.故选D.]
12．有外表一样，质量不同的四个小球，它们的质量分别是a，b，c，d.已知a＋b＝c＋d，a＋d＞b＋c，a＋c＜b，则这四个小球的质量由大到小的排列顺序是( )
A．d＞b＞a＞c B．b＞c＞d＞a
C．d＞b＞c＞a D．c＞a＞d＞b
A [由a＋b＝c＋d，a＋d＞b＋c得2a＋b＋d＞2c＋b＋d，
即2a＞2c，即a＞c.所以b＜d，
又a＋c＜b.∴a＜b，综上可得d＞b＞a＞c，故选A.]
13．已知－1≤x＋y≤4，且2≤x－y≤3，则z＝2x－3y的取值范围是________．
3≤z≤8 [∵z＝－(x＋y)＋(x－y)，
－2≤－(x＋y)≤，5≤(x－y)≤，
∴3≤－(x＋y)＋(x－y)≤8，
∴z的取值范围是3≤z≤8.]
14．若x＞y，a＞b，则在①a－x＞b－y；②a＋x＞b＋y；③ax＞by；④x－b＞y－a；⑤＞这五个式子中，恒成立的不等式的序号是________．
②④ [若x＞y，a＞b，则－x＜－y，
∴a－y＞b－x.
若x＞y,a＞b，则－b＞－a，
∴x－b＞y－a，
若x＞y，a＞b，则推不出ax＞by.
若x＞y，a＞b，推不出＞.
综上，①③⑤错误，②④正确．]
15．若a>b>0，c|c|.
(1)求证：b＋c>0.
(2)求证：<.
(3)在(2)中的不等式中，能否找到一个代数式，满足<所求式<？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由．
[解] (1)证明：因为|b|>|c|，且b>0，c<0，所以b>－c，所以b＋c>0.
(2)证明：因为c－d>0.
又a>b>0，所以由同向不等式的可加性可得a－c>b－d>0，
所以(a－c)2>(b－d)2>0，
所以0<<，①
因为a>b＞0，0＞d>c，所以由同向不等式的可加性可得a＋d>b＋c，所以a＋d>b＋c>0，②
所以由不等式同向同正可乘性，
①②相乘得<.
(3)因为a＋d>b＋c>0，0<<，所以<<或<<.(只要写出其中一个即可)(共30张PPT)
3.1 不等式的性质
§3 不等式
第一章 预备知识
学习任务 核心素养
1．梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质．(重点)
2．能利用不等式的性质对不等式进行简单的变形．(重点、难点) 1．通过实数大小的比较及不等式性质的证明，培养逻辑推理素养．
2．借助不等式性质的应用，提升数学运算素养．
3.1 不等式的性质
必备知识·情境导学探新知
1．如何比较两个实数的大小？
2．等式的基本性质有哪些？
3．不等式的基本性质有哪些？
知识点1 实数a，b大小比较的基本事实
1．文字叙述
如果a－b是正数，那么a__b；如果a－b等于0，那么a__b；如果a－b是负数，那么a__b，反过来也成立．
2．符号表示
a－b>0 a__b；a－b＝0 a__b；a－b<0 a__b.
>
＝
<
>
＝
<
思考1．(1)两个实数a，b之间，有且只有a＞b，a＝b，a＜b三种关系中的一种吗？
(2)p q的含义是什么？
[提示] (1)是．
(2)p q的含义是：p可以推出q，q也可以推出p，即p与q可以互推．
体验1.当m>1时，m3与m2－m＋1的大小关系为______________．
m3>m2－m＋1 [m3－(m2－m＋1)
＝m3－m2＋m－1＝m2(m－1)＋(m－1)
＝(m－1)(m2＋1)．
∵m>1，故(m－1)(m2＋1)>0.]
m3>m2－m＋1
a>c
>
>
<
>
>
<
>
思考2．(1)同向不等式相加与相乘的条件是一致的吗？
(2)若a>b，c>d，那么ac>bd成立吗？
[提示] (1)不一致，同向不等式相乘时各项均为正数．
(2)不一定，但当a>b>0，c>d>0时，一定成立．
体验2．已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系是( )
A．a>b>－b>－a
B．a>－b>－a>b
C．a>－b>b>－a
D．a>b>－a>－b
√
√
<
关键能力·合作探究释疑难
反思领悟 1．利用作差法比较大小的四个步骤
(1)作差：对要比较大小的两个式子作差．
(2)变形：对差式通过通分、因式分解、配方等手段进行变形．
(3)判断符号：对变形后的结果结合题设条件判断出差的符号．
(4)作出结论．
注意：上述步骤可概括为“三步一结论”，这里的“判断符号”是目的，“变形”是关键．其中变形的技巧较多，常见的有因式分解法、配方法、有理化法等．
2．作商法比较大小
如果两实数同号，亦可采用作商法来比较大小，即作商后看商是大于1，等于1，还是小于1．方法图示如下：
依据
应用范围 同号两数比较大小或分式、积、幂之间比较大小
步骤 (1)作商；(2)变形；(3)判断商值与1的大小；(4)下结论
[跟进训练]
1．若x∈R，y∈R，则( )
A．x2＋y2>2xy－1 B．x2＋y2＝2xy－1
C．x2＋y2<2xy－1 D．x2＋y2≤2xy－1
A [因为x2＋y2－(2xy－1)＝x2－2xy＋y2＋1＝(x－y)2＋1>0，所以x2＋y2>2xy－1，故选A.]
√
√
反思领悟 1．利用不等式的性质判断正误的2种方法
(1)直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质或函数的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可．
(2)特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性．
2．利用不等式的性质证明不等式的注意事项
(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．
(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．
[跟进训练]
3．已知a>b>c，且a＋b＋c＝0，则下列不等式恒成立的是( )
A．ab>bc B．ac>bc
C．ab>ac D．a|b|>|b|c
√
C [因为a>b>c，且a＋b＋c＝0，所以a>0，c<0，所以ab>ac.]
2．若将本例中的条件改为“2≤a－b≤4，1≤a＋b≤2”，求2a－b的取值范围．
反思领悟 求代数式的范围时，先用已知的代数式表示目标式，再利用“若等式恒成立，则等式两边对应项系数相等”求出待定系数的取值，最后利用不等式的性质求出目标式的范围．
[跟进训练]
5．已知－1≤a＋b≤1，1≤a－2b≤3，求a＋3b的取值范围．
学习效果·课堂评估夯基础
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)不等式x≥2 的含义是指x不小于2． ( )
(2)若a>b，则ac>bc． ( )
(3)当n∈N*时，若a>b，则an>bn． ( )
2
4
3
题号
1
5
√
×
×
2．设P＝3x2－x＋1，Q＝2x2＋x则( )
A．P≥Q B．P≤Q
C．P>Q D．P√
2
4
3
题号
1
5
3．若abcd<0，且a>0，b>c，d<0，则( )
A．b<0，c<0 B．b>0，c>0
C．b>0，c<0 D．0√
2
4
3
题号
1
5
D [由a>0，d<0，且abcd<0，知bc>0，
又∵b>c，∴04．已知A＝a2＋b2－4a＋2b＋5，则A与0的大小关系是________．
2
4
3
题号
1
5
A≥0
2
4
3
题号
1
5．若x＜y＜0，则(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)(x＋y)的大小关系是_____．
5
> [(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)
＝(x－y)[(x2＋y2)－(x＋y)2]＝－2xy(x－y)．
∵x＜y＜0，∴xy＞0，x－y＜0，
∴－2xy(x－y)＞0，
∴(x2＋y2)(x－y)＞(x2－y2)(x＋y)．]
>