(共31张PPT)
3.2 基本不等式
§3 不等式
第一章 预备知识
学习任务 核心素养
1．通过利用基本不等式求最值，提升数学运算素养．
2．借助基本不等式在实际问题中的应用，培养数学建模素养．
3.2 基本不等式
必备知识·情境导学探新知
1．基本不等式的内容是什么？
2．算术平均值和几何平均值的概念是什么？
3．基本不等式成立的条件是什么？
4．利用基本不等式求最值时，应注意哪些问题？
x＝y
a＝b
算术平均值
算术
几何
√
√
x>2y [因为不等式成立的前提条件是各项均为正，所以x－2y>0，即x>2y.]
x>2y
知识点2 基本不等式与最值
当x，y均为正数时，下面的命题均成立：
(1)若x＋y＝s(s为定值)，则当且仅当x＝y时，xy取得最大值___；
(2)若xy＝p(p为定值)，则当且仅当x＝y时，x＋y取得最小值____．
体验4．已知0
4
关键能力·合作探究释疑难
√
√
√
反思领悟 利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项
(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．
(2)注意事项：
①多次运用基本不等式时，要注意等号能否成立；
②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意运用；
③对不能直接运用基本不等式证明的，可重新组合，构成基本不等式模型再运用．
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9
反思领悟 利用基本不等式求最值的方法
利用基本不等式，通过恒等变形及配凑，使“和”或“积”为定值．常见的变形方法有拆、并、配．
(1)拆——裂项拆项
对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式凑定积创造条件．
(2)并——分组并项
目的是分组后各组可以单独应用基本不等式；或分组后先对一组应用基本不等式，再在组与组之间应用基本不等式得出最值．
(3)配——配式配系数
有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值．
[跟进训练]
2．已知x>0，y>0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为( )
A．16 B．25
C．9 D．36
√
类型3 利用基本不等式解应用题
【例3】 某货轮匀速行驶在相距300海里的甲、乙两地间运输货物，运输成本由燃料费用和其他费用组成．已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比(比例系数为0.5)，其他费用为每小时800元，且该货轮的最大航行速度为50海里/时．
(1)请将该货轮从甲地到乙地的运输成本y(元)表示为航行速度x(海里/时)的函数；
(2)要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以多大的航行速度行驶？
反思领悟 利用基本不等式解决实际问题要遵循以下几点：
(1)在理解题意的基础上设变量，确定问题中量与量之间的关系，初步确定用怎样的函数模型；
(2)建立相应的函数解析式，将实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内，求出函数的最大值或最小值；
(4)回到实际问题中，检验并写出正确答案．
[跟进训练]
3．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．
5
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阅读材料·拓展数学大视野
学习效果·课堂评估夯基础
√
1．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是( )
A．a＝±1 B．a＝1
C．a＝－1 D．a＝0
2
4
3
题号
1
5
B [由a2＋1＝2a，得a＝1，即a＝1时，等号成立．]
√
2
4
3
题号
1
5
√
2
4
3
题号
1
5
B [仅②④正确．]
4．已知a>0，b>0，a＋2b＝2，则ab的最大值是__________．
2
4
3
题号
1
5
2
4
3
题号
1
53.2 基本不等式
学习任务 核心素养
1．掌握基本不等式(a≥0，b≥0，当且仅当a＝b时等号成立)．(重点、易错点) 2．结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题．(难点) 1．通过利用基本不等式求最值，提升数学运算素养． 2．借助基本不等式在实际问题中的应用，培养数学建模素养．
1．基本不等式的内容是什么？
2．算术平均值和几何平均值的概念是什么？
3．基本不等式成立的条件是什么？
4．利用基本不等式求最值时，应注意哪些问题？
知识点1 重要不等式与基本不等式
1．重要不等式
对任意实数x和y，有≥xy，当且仅当x＝y时，等号成立．
2．基本不等式
设a≥0，b≥0，有，当且仅当a＝b时，等号成立．
其中，称为a，b的算术平均值，称为a，b的几何平均值．
基本不等式又称为均值不等式，也可以表述为：两个非负实数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值．
1．(1)不等式a2＋b2≥2ab与成立的条件相同吗？
(2)基本不等式成立的条件“a≥0，b≥0”能省略吗？请举例说明．
[提示] (1)不相同．不等式a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，不等式成立的条件是a≥0，b≥0.
(2)不能，如是不成立的．
1．(多选)下列结论正确的是( )
A．对于任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2均成立
B．若a，b同号，则≥2
C．若a>0，b<0，则ab≤恒成立
D．若a>0，b>0，且a≠b，则a＋b>2
[答案] BD
2．不等式(x－2y)＋≥2成立的前提条件为________．
x>2y [因为不等式成立的前提条件是各项均为正，所以x－2y>0，即x>2y.]
知识点2 基本不等式与最值
当x，y均为正数时，下面的命题均成立：
(1)若x＋y＝s(s为定值)，则当且仅当x＝y时，xy取得最大值；
(2)若xy＝p(p为定值)，则当且仅当x＝y时，x＋y取得最小值．
2．x＋的最小值是2吗？
[提示] 当x>0时，x＋的最小值是2.
当x<0时，x＋没有最小值．
3．如果a>0，那么a＋＋2的最小值是________.
4 [因为a>0，所以a＋＋2＝2＋2＝4，当且仅当a＝1时，等号成立．]
4．已知0 [因为00，
所以x(1－x)≤，
当且仅当x＝1－x，即x＝时“＝”成立，即当x＝时，x(1－x)取得最大值.]
类型1 利用基本不等式判断或证明不等式
【例1】 (1)(多选)若a＞0，b＞0，则下列不等式恒成立的是( )
A．a2＋1＞a
B．a2＋9＞6a
C．(a＋b)≥4
D．≥4
(2)已知a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1．求证：≥8.
(1)ACD [对于A选项，a2＋1－a＝＞0，故A选项中的不等式恒成立；
对于B选项，a2＋9－6a＝(a－3)2≥0，故B选项中的不等式不恒成立；
对于C选项，(a＋b)＝4，当且仅当，即a＝b时取等号，故C选项中的不等式恒成立；
对于D选项，因为a＋≥2，所以≥4，当且仅当a＝，即a＝b＝1时取等号，故D选项中的不等式恒成立．故选ACD.]
(2)[证明] 因为a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1，
所以，同理.
上述三个不等式两边均为正，由不等式同向同正可乘性，分别相乘，
得＝8.
当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．
[母题探究]
(变设问)在本例(2)条件下，求证：≥9.
[证明] 因为a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1，
所以＝
＝3＋≥3＋2＋2＋2＝9.
当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．
利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项
(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．
(2)注意事项：
①多次运用基本不等式时，要注意等号能否成立；
②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意运用；
③对不能直接运用基本不等式证明的，可重新组合，构成基本不等式模型再运用．
[跟进训练]
1．已知a，b，c均为正实数，求证：≥3.
[证明] ∵a，b，c均为正实数，
∴≥2(当且仅当a＝2b时等号成立)，
≥2(当且仅当a＝3c时等号成立)，
≥2(当且仅当2b＝3c时等号成立)，
将上述三式相加得≥6(当且仅当a＝2b＝3c时等号成立)，
∴≥3(当且仅当a＝2b＝3c时等号成立)，
即≥3(当且仅当a＝2b＝3c时等号成立)．
类型2 利用基本不等式求最值
【例2】 (1)已知x>2，则x＋的最小值为________．
(2)若0(3)若x>0，y>0，且x＋4y＝1，则的最小值为________．
(1)6 (2) (3)9 [(1)因为x>2，所以x－2>0，
所以x＋＋2＝6，
当且仅当x－2＝，即x＝4时，等号成立．所以x＋的最小值为6.
(2)因为0所以1－2x>0，
所以x(1－2x)＝×2x×(1－2x)≤，
当且仅当2x＝1－2x，即当x＝时，等号成立，
所以x(1－2x)的最大值为.
(3)因为x>0，y>0，x＋4y＝1，
所以＝9，
当且仅当，即x＝时，等号成立，
所以的最小值为9.]
利用基本不等式求最值的方法
利用基本不等式，通过恒等变形及配凑，使“和”或“积”为定值．常见的变形方法有拆、并、配．
(1)拆——裂项拆项
对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式凑定积创造条件．
(2)并——分组并项
目的是分组后各组可以单独应用基本不等式；或分组后先对一组应用基本不等式，再在组与组之间应用基本不等式得出最值．
(3)配——配式配系数
有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值．
[跟进训练]
2．已知x>0，y>0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为( )
A．16 B．25
C．9 D．36
B [因为x>0，y>0，且x＋y＝8，所以(1＋x)·(1＋y)＝1＋x＋y＋xy＝9＋xy≤9＋＝9＋42＝25，当且仅当x＝y＝4时等号成立，所以(1＋x)(1＋y)的最大值为25.]
类型3 利用基本不等式解应用题
【例3】 某货轮匀速行驶在相距300海里的甲、乙两地间运输货物，运输成本由燃料费用和其他费用组成．已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比(比例系数为0.5)，其他费用为每小时800元，且该货轮的最大航行速度为50海里/时．
(1)请将该货轮从甲地到乙地的运输成本y(元)表示为航行速度x(海里/时)的函数；
(2)要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以多大的航行速度行驶？
[解] (1)由题意，每小时的燃料费用为0.5x2元，从甲地到乙地所用的时间为小时，
则y＝0.5x2·
＝150(0(2)由(1)得y＝150＝12 000，
当且仅当x＝，即x＝40时取等号．
故当货轮的航行速度为40海里/时时，能使该货轮从甲地到乙地的运输成本最少．
利用基本不等式解决实际问题要遵循以下几点：
(1)在理解题意的基础上设变量，确定问题中量与量之间的关系，初步确定用怎样的函数模型；
(2)建立相应的函数解析式，将实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内，求出函数的最大值或最小值；
(4)回到实际问题中，检验并写出正确答案．
[跟进训练]
3．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．
5 8 [每台机器运转x年的年平均利润为，且x>0，故＝8，当且仅当x＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．]
基本不等式的拓广应用
阅读下列材料：
二元基本不等式：设a，b为正数，则，当且仅当a＝b时等式成立．
证明：因为(a＋b)2－4ab＝(a－b)2≥0，所以(a＋b)2≥4ab，从而得，当且仅当a＝b时等式成立．
三元基本不等式：设a，b，c为正数，则，当且仅当a＝b＝c时等式成立．
证明：设d为正数，由二元基本不等式，得，当且仅当a＝b＝c＝d时，等式成立．
令d＝，即a＋b＋c＝3d，代入上述不等式，得d≥，
由此推出d3≥abc，因此，当且仅当a＝b＝c时等式成立．
当满足什么条件时，可以利用三元基本不等式求的最小值？
[提示] 当a，b，c均为正数，且a，b，c能取到相等的值时，可以利用三元基本不等式求的最小值．
1．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是( )
A．a＝±1 B．a＝1
C．a＝－1 D．a＝0
B [由a2＋1＝2a，得a＝1，即a＝1时，等号成立．]
2．已知a>0，b>0，则下列不等式中错误的是( )
A．ab≤ B．ab≤
C． D．
D [由基本不等式知A，C正确，由重要不等式知B正确，由≥，得ab≤，∴，故选D.]
3．下列各不等式：①a2＋1>2a；②≥2；≤2；④x2＋≥1，其中正确的个数是( )
A．3 B．2
C．1 D．0
B [仅②④正确．]
4．已知a>0，b>0，a＋2b＝2，则ab的最大值是__________．
[因为a＋2b≥2，所以2≤2，
所以ab≤，当且仅当a＝2b＝1时取等号．]
5．某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率x与增长率的平均值的大小关系为________．
x≤ [用两种方法求出第三年的产量分别为A(1＋a)(1＋b)，A(1＋x)2，则有(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)．
∴1＋x＝，
∴x≤.当且仅当a＝b时等号成立．]
课时分层作业(九) 基本不等式
一、选择题
1．若x＋在x＝a时取最小值，则a等于( )
A．1＋ B．1＋
C．3 D．4
C [当x>2时，x－2＋＋2＝4，
当且仅当x－2＝，即x＝3时取等号，所以x＝3，即a＝3，故选C.]
2．设x，y为正数，则的最小值为( )
A．6 B．9
C．12 D．15
B [＝5+4＝9.当且仅当]
3．已知x＋y＝1，x，y∈R＋，则t＝的最小值是( )
A．6 B．7
C．8 D．9
D [∵x＋y＝1，x＞0，y＞0，
∴xy≤，在x＝y＝时取等号．
∴＋1＝9.故选D.]
4．要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )
A．80元 B．120元
C．160元 D．240元
C [设底面相邻两边的边长分别为x m，y m，总造价为T元，则xy·1＝4 xy＝4.
T＝4×20＋(2x＋2y)×1×10＝80＋20(x＋y)≥80＋20×2＝80＋20×4＝160(当且仅当x＝y时取等号)．
故该容器的最低总造价是160元．]
5．当x＞3时，不等式x＋≥a恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，2] B．(－∞，5]
C．[0，＋∞) D．[2，5]
B [∵x＋≥a恒成立，
∴a必须小于或等于x＋的最小值．
∵x＞3，∴x－3＞0.
∴x＋＝(x－3)＋＋3≥5，
当且仅当x＝4时取最小值5.
故选B.]
二、填空题
6．(－6≤a≤3)的最大值为________．
[因为－6≤a≤3，所以3－a≥0，a＋6≥0，则由基本不等式可知，，当且仅当a＝－时等号成立．]
7．若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是________．
[因为x>0，所以x＋≥2.当且仅当x＝1时取等号，
所以，
即的最大值为，故a≥.]
8．设x，y，z均为正实数，满足x－2y＋3z＝0，则的最小值为________．
3 [由已知，得y＝，
所以＝3.
当且仅当x＝y＝3z时，
取得最小值3.]
三、解答题
9．为了改善居民的居住条件，某城建公司承包了旧城拆建工程，按合同规定在4个月内完成．若提前完成，则每提前一天可获2 000元奖金，但要追加投入费用；若延期完成，则每延期一天将被罚款5 000元．追加投入的费用按以下关系计算：6x＋－118(千元)，其中x表示提前完工的天数．试问提前多少天，才能使公司获得最大附加效益？(附加效益＝所获奖金－追加费用)
[解] 设城建公司获得的附加效益为y千元，由题意得
y＝2x－
＝118－
＝130－≤130－2
＝130－112＝18(千元)，
当且仅当4(x＋3)＝，即x＝11时取等号．
所以提前11天完工，能使公司获得最大附加效益．
10．当x>3时，求函数y＝的最小值．
[解] ∵x>3，∴x－3>0.
又y＝＝＝2(x－3)＋＋12≥2＋12＝24，
当且仅当2(x－3)＝，即x＝6时，上式等号成立．
所以y＝的最小值为24.
11．制作一个面积为2 m2，形状为直角三角形的铁支架框，有下列四种长度的铁管供选择，较经济(够用，又耗材最少)的是( )
A．6.2 m B．6.8 m
C．7 m D．7.2 m
C [设两直角边的长度分别为a，b，a＞0，b＞0，则ab＝4，铁支架框的周长l＝a＋b＋≥2＝4＋2≈6.828，当且仅当a＝b＝2时取等号．故选C.]
12．已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为( )
A．2 B．4
C．6 D．8
B [不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则(x＋y)·≥(1＋)2≥9，∴≥2，即a≥4，故正实数a的最小值为4.]
13．已知a>0，b>0，且2a＋b＝ab.
(1)则ab的最小值为________；
(2)则a＋2b的最小值为________．
(1)8 (2)9 [因为2a＋b＝ab，所以＝1.
(1)因为a>0，b>0，
所以1＝≥2，
当且仅当＝＝，即a＝2，b＝4时取等号，
所以ab≥8，即ab的最小值为8；
(2)a＋2b＝(a＋2b)＝5＋≥5＋2＝9，
当且仅当＝，即a＝b＝3时取等号，
所以a＋2b的最小值为9.]
14．设a＞b＞c，n∈N＋，则使不等式成立的n的最大值为________．
4 [∵a－c＞0，要使原不等式成立，
只需≥n成立．即≥n成立．
也就是2＋≥n成立．又≥2，
∴n≤4，∴n有最大值为4.]
15．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0.
求(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值．
[解] (1)∵x>0，y>0，
∴xy＝2x＋8y≥2，即xy≥8，
∴≥8，即xy≥64.
当且仅当2x＝8y，即x＝16，y＝4时，“＝”成立．
∴xy的最小值为64.
(2)∵x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，
∴2x＋8y＝xy，即＝1.
∴x＋y＝(x＋y)·＝10＋≥10＋2＝18，
当且仅当＝，即x＝2y＝12时“＝”成立．
∴x＋y的最小值为18.
